Ngayon at sa mga sumusunod, ipagpalagay namin na kahit isa sa mga numerong ito ay iba sa zero. Kung ang lahat ng ibinigay na mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang kanilang karaniwang divisor ay anumang integer, at dahil mayroong walang katapusang maraming integer, hindi natin mapag-uusapan ang pinakamalaki sa kanila. Samakatuwid, ang isa ay hindi maaaring magsalita tungkol sa pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero, ang bawat isa ay katumbas ng zero.

Ngayon ay maaari na tayong magbigay paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor dalawang numero.

Kahulugan.

Pinakamahusay na Common Divisor ng dalawang integer ay ang pinakamalaking integer na naghahati sa dalawang ibinigay na integer.

Ang pagdadaglat na GCD ay kadalasang ginagamit upang paikliin ang pinakamalaking karaniwang divisor - Pinakamahusay na Karaniwang Divisor. Gayundin, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero a at b ay madalas na tinutukoy bilang gcd(a, b) .

Dalhin natin Greatest Common Divisor (gcd) halimbawa dalawang integer. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 6 at −15 ay 3 . Patunayan natin ito. Isulat natin ang lahat ng divisors ng number six: ±6, ±3, ±1, at ang divisors ng number −15 ay ang mga numerong ±15, ±5, ±3 at ±1. Ngayon ay mahahanap mo ang lahat ng mga karaniwang divisors ng mga numero 6 at −15, ito ang mga numero −3, −1, 1 at 3. Mula noong −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Ang kahulugan ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga integer ay katulad ng kahulugan ng gcd ng dalawang numero.

Kahulugan.

Pinakamahusay na Common Divisor tatlo o higit pang mga integer ang pinakamalaking integer na sabay-sabay na naghahati sa lahat ng ibinigay na numero.

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng n integers a 1 , a 2 , …, a n ay tutukuyin natin bilang gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Kung ang halaga b ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay matatagpuan, maaari tayong sumulat GCD(a 1 , a 2 , …, a n)=b.

Bilang halimbawa, ibinigay ang gcd ng apat na integer −8 , 52 , 16 at −12 , ito ay katumbas ng 4 , iyon ay, gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . Masusuri ito sa pamamagitan ng pagsusulat ng lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero, pagpili ng mga common divisors mula sa kanila, at pagtukoy sa pinakamalaking common divisor.

Tandaan na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga integer ay maaaring katumbas ng isa sa mga numerong ito. Ang pahayag na ito ay totoo kung ang lahat ng ibinigay na mga numero ay mahahati ng isa sa kanila (ang patunay ay ibinigay sa susunod na talata ng artikulong ito). Halimbawa, gcd(15, 60, −45)=15 . Totoo ito dahil hinahati ng 15 ang 15 , 60 , at −45 , at walang karaniwang divisor ng 15 , 60 , at −45 na mas malaki sa 15 .

Ang partikular na interes ay ang tinatawag na relatibong prime na mga numero, - tulad ng mga integer, ang pinakamalaking karaniwang divisor kung saan ay katumbas ng isa.

Pinakamahusay na Karaniwang Mga Katangian ng Divisor, Euclid's Algorithm

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay may bilang ng mga katangiang resulta, sa madaling salita, isang bilang ng mga katangian. Ililista namin ngayon ang pangunahing mga katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd), bubuuin natin ang mga ito sa anyo ng mga theorems at agad na magbibigay ng mga patunay.

Bubuo kami ng lahat ng mga katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga positibong integer, habang isasaalang-alang lamang namin ang mga positibong divisor ng mga numerong ito.

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b ay katumbas ng pinakamalaking karaniwang divisor ng b at a , iyon ay, gcd(a, b)=gcd(a, b) .

Direktang sumusunod ang GCD property na ito mula sa kahulugan ng pinakamalaking karaniwang divisor.

Kung ang a ay nahahati ng b , kung gayon ang hanay ng mga karaniwang divisors ng a at b ay kapareho ng set ng mga divisors ng b , sa partikular na gcd(a, b)=b .

Patunay.

Anumang karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay isang divisor ng bawat isa sa mga numerong ito, kasama ang numero b. Sa kabilang banda, dahil ang a ay isang multiple ng b, kung gayon ang anumang divisor ng number b ay isa ring divisor ng number a dahil sa katotohanan na ang divisibility ay may katangian ng transitivity, samakatuwid, ang anumang divisor ng number b ay a karaniwang divisor ng mga numerong a at b. Ito ay nagpapatunay na kung ang a ay nahahati ng b, kung gayon ang hanay ng mga divisors ng mga numerong a at b ay tumutugma sa hanay ng mga divisors ng isang numero b. At dahil ang pinakamalaking divisor ng numero b ay ang numero b mismo, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a at b ay katumbas din ng b , iyon ay, gcd(a, b)=b .

Sa partikular, kung ang mga numero a at b ay pantay, kung gayon gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Halimbawa, gcd(132, 132)=132 .

Nagbibigay-daan sa amin ang napatunayang pinakamalaking divisor property na mahanap ang gcd ng dalawang numero kapag ang isa sa mga ito ay nahahati ng isa. Sa kasong ito, ang GCD ay katumbas ng isa sa mga numerong ito, kung saan ang isa pang numero ay nahahati. Halimbawa, ang gcd(8, 24)=8 dahil ang 24 ay multiple ng walo.

Kung ang a=b q+c , kung saan ang a , b , c at q ay mga integer, kung gayon ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong a at b ay tumutugma sa hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numero b at c , sa partikular, gcd( a, b)=gcd (b, c) .

Bigyan natin ng katwiran ang pag-aari na ito ng GCD.

Dahil ang pagkakapantay-pantay na a=b·q+c ay hawak, kung gayon ang anumang karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay naghahati din sa c (ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng divisibility). Para sa parehong dahilan, bawat karaniwang divisor ng b at c divides a . Samakatuwid, ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong a at b ay kapareho ng set ng mga karaniwang divisors ng mga numero b at c. Sa partikular, ang pinakamalaki sa mga karaniwang divisor na ito ay dapat ding tumugma, ibig sabihin, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay dapat na wastong gcd(a, b)=gcd(b, c) .

Ngayon kami ay bumalangkas at nagpapatunay ng isang teorama, na Ang algorithm ni Euclid. Binibigyang-daan ka ng algorithm ng Euclid na mahanap ang GCD ng dalawang numero (tingnan ang paghahanap ng GCD gamit ang Euclid algorithm). Bukod dito, ang algorithm ng Euclid ay magbibigay-daan sa amin na patunayan ang mga sumusunod na katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor.

Bago ibigay ang pahayag ng theorem, inirerekomenda namin na i-refresh ang memorya ng theorem mula sa seksyon ng teorya, na nagsasaad na ang dibidendo a ay maaaring katawanin bilang b q + r, kung saan ang b ay isang divisor, q ay ilang integer na tinatawag na partial quotient, at ang r ay isang integer na nakakatugon sa kundisyon, na tinatawag na natitira.

Kaya, hayaan para sa dalawang di-zero na positibong integer a at b, isang serye ng mga pagkakapantay-pantay ay totoo

nagtatapos kapag r k+1 =0 (na hindi maiiwasan, dahil ang b>r 1 >r 2 >r 3 , … ay isang serye ng mga bumababang integer, at ang seryeng ito ay hindi maaaring maglaman ng higit sa isang may hangganang bilang ng mga positibong numero), pagkatapos ay r k – ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b , ibig sabihin, r k =gcd(a, b) .

Patunay.

Patunayan muna natin na ang r k ay isang karaniwang divisor ng mga numero a at b , pagkatapos nito ay ipapakita natin na ang r k ay hindi lamang isang divisor, ngunit ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a at b .

Susundan natin ang nakasulat na pagkakapantay-pantay mula sa ibaba hanggang sa itaas. Mula sa huling pagkakapantay-pantay, masasabi natin na ang r k−1 ay nahahati sa r k . Dahil sa katotohanang ito, pati na rin ang nakaraang pag-aari ng GCD, ang penultimate equality r k−2 =r k−1 q k +r k ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang r k−2 ay nahahati ng r k , dahil ang r k−1 ay nahahati ng r k at r k ay nahahati. ni r k . Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula sa ikatlong pagkakapantay-pantay mula sa ibaba ay napagpasyahan namin na ang r k−3 ay nahahati sa r k . At iba pa. Mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin na ang b ay nahahati ng r k , at mula sa unang pagkakapantay-pantay ay nakuha natin na ang a ay nahahati ng r k . Samakatuwid, ang r k ay isang karaniwang divisor ng a at b.

Ito ay nananatiling patunayan na r k =gcd(a, b) . Sapagkat, sapat na upang ipakita na ang anumang karaniwang divisor ng mga numero a at b (tinutukoy namin ito sa pamamagitan ng r 0 ) ay naghahati sa r k .

Susundan natin ang mga unang pagkakapantay-pantay mula sa itaas hanggang sa ibaba. Sa bisa ng nakaraang pag-aari, sumusunod mula sa unang pagkakapantay-pantay na ang r 1 ay nahahati sa r 0 . Pagkatapos ay mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay makuha natin na ang r 2 ay nahahati sa r 0 . At iba pa. Mula sa huling pagkakapantay-pantay nakuha natin na ang r k ay nahahati sa r 0 . Kaya, r k =gcd(a, b) .

Ito ay sumusunod mula sa itinuturing na pag-aari ng pinakadakilang karaniwang divisor na ang hanay ng mga karaniwang divisor ng mga numerong a at b ay tumutugma sa hanay ng mga divisor ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito. Ang corollary na ito mula sa algorithm ng Euclid ay nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang lahat ng karaniwang divisors ng dalawang numero bilang divisors ng gcd ng mga numerong ito.

Hayaang ang a at b ay mga integer na hindi magkasabay na katumbas ng zero, pagkatapos ay mayroong mga ganoong integer na u 0 at v 0 , kung gayon ang equality gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 ay totoo. Ang huling pagkakapantay-pantay ay isang linear na representasyon ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b, ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na Bezout ratio, at ang mga numerong u 0 at v 0 ay ang Bezout coefficients.

Patunay.

Ayon sa algorithm ni Euclid, maaari nating isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay



Mula sa unang pagkakapantay-pantay mayroon tayong r 1 =a−b q 1 , at, na nagsasaad ng 1=s 1 at −q 1 =t 1 , ang pagkakapantay-pantay na ito ay nasa anyong r 1 =s 1 a+t 1 b , at ang mga numerong s 1 at ang t 1 ay mga integer. Pagkatapos mula sa pangalawang pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin ang r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Ang pagtukoy sa −s 1 q 2 =s 2 at 1−t 1 q 2 =t 2 , ang huling pagkakapantay-pantay ay maaaring isulat bilang r 2 =s 2 a+t 2 b , at ang s 2 at t 2 ay mga integer (dahil ang kabuuan , pagkakaiba at produkto ng mga integer ay isang integer). Katulad nito, mula sa ikatlong pagkakapantay-pantay ay nakukuha natin ang r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, mula sa ikaapat na r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b, at iba pa. Panghuli, r k =s k ·a+t k ·b , kung saan ang s k at t k ay mga integer. Dahil r k =gcd(a, b) , at nagsasaad ng s k =u 0 at t k =v 0 , nakakakuha kami ng linear na representasyon ng gcd ng kinakailangang anyo: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .

Kung ang m ay anumang natural na numero, kung gayon gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Ang katwiran para sa pag-aari na ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ay ang mga sumusunod. Kung i-multiply natin sa m magkabilang panig ng bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay ng Euclid algorithm, makukuha natin na gcd(m a, m b)=m r k , at r k ay gcd(a, b) . Dahil dito, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Ang pag-aari na ito ng pinakamalaking karaniwang divisor ay ang batayan para sa paraan ng paghahanap ng GCD gamit ang prime factorization.

Hayaan ang p ay anumang karaniwang divisor ng mga numero a at b , kung gayon gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, sa partikular, kung p=gcd(a, b) mayroon tayo gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, ibig sabihin, ang mga numerong a:gcd(a, b) at b:gcd(a, b) ay coprime.

Dahil a=p (a:p) at b=p (b:p) , at dahil sa nakaraang pag-aari, maaari tayong magsulat ng isang chain ng pagkakapantay-pantay ng form gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , kung saan sumusunod ang pagkakapantay-pantay na patunayan.

Ang pinakadakilang karaniwang divisor property ay napatunayang pinagbabatayan.

Ngayon, ipahayag natin ang GCD property, na nagpapababa sa problema sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero sa sunud-sunod na paghahanap ng GCD ng dalawang numero.

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 , a 2 , ..., a k ay katumbas ng numero d k , na matatagpuan sa sunud-sunod na pagkalkula ng GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

Ang patunay ay batay sa isang corollary mula sa algorithm ni Euclid. Ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 at a 2 ay kapareho ng mga divisors ng d 2 . Pagkatapos ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 , a 2 at a 3 ay nag-tutugma sa mga karaniwang divisors ng mga numero d 2 at a 3 , samakatuwid, sila ay nag-tutugma sa mga divisors ng d 3 . Ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 , a 2 , a 3 at a 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisors ng d 3 at a 4 , kaya pareho sa mga divisors ng d 4 . At iba pa. Sa wakas, ang mga karaniwang divisors ng mga numerong a 1 , a 2 , …, a k ay nag-tutugma sa mga divisors ng d k . At dahil ang pinakamalaking divisor ng numero d k ay ang numero d k mismo, kung gayon GCD(a 1 , a 2 , …, a k)=d k.

Ito ay nagtatapos sa pagsusuri ng mga pangunahing katangian ng pinakamalaking karaniwang divisor.

Bibliograpiya.

• Vilenkin N.Ya. atbp. Matematika. Baitang 6: aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon.
• Vinogradov I.M. Mga Batayan ng teorya ng numero.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teorya ng numero.
• Kulikov L.Ya. at iba pa.Koleksyon ng mga suliranin sa algebra at teorya ng numero: Teksbuk para sa mga mag-aaral ng fiz.-mat. mga espesyalidad ng mga institusyong pedagogical.

Binibigyang-daan ka ng online na calculator na mabilis na mahanap ang pinakamalaking common divisor at least common multiple ng dalawa o anumang iba pang bilang ng mga numero.

Calculator para sa paghahanap ng GCD at NOC

Hanapin ang GCD at NOC

Natagpuan ang GCD at NOC: 5806

Paano gamitin ang calculator

• Maglagay ng mga numero sa input field
• Sa kaso ng pagpasok ng mga maling character, ang input field ay iha-highlight sa pula
• pindutin ang button na "Hanapin ang GCD at NOC"

Paano magpasok ng mga numero

• Ang mga numero ay ipinasok na pinaghihiwalay ng mga puwang, tuldok o kuwit
• Ang haba ng mga inilagay na numero ay hindi limitado, kaya hindi magiging mahirap ang paghahanap ng gcd at lcm ng mahahabang numero

Ano ang NOD at NOK?

Pinakamahusay na Common Divisor ng ilang mga numero ay ang pinakamalaking natural na integer kung saan ang lahat ng orihinal na mga numero ay nahahati nang walang natitira. Ang pinakadakilang karaniwang divisor ay dinaglat bilang GCD.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ang ilang mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga orihinal na numero nang walang natitira. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay dinaglat bilang NOC.

Paano suriin kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang numero nang walang natitira?

Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang walang natitira, maaari mong gamitin ang ilang mga katangian ng divisibility ng mga numero. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga ito, masusuri ng isa ang divisibility ng ilan sa kanila at ng kanilang mga kumbinasyon.

Ang ilang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero

1. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 2
Upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa dalawa (kung ito ay kahit), sapat na upang tingnan ang huling digit ng numerong ito: kung ito ay katumbas ng 0, 2, 4, 6 o 8, kung gayon ang numero ay pantay, na nangangahulugang ito ay nahahati sa 2.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 2.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa dalawa.

2. Tanda ng divisibility ng isang numero ng 3
Ang isang numero ay nahahati sa 3 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3. Kaya, upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa 3, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga digit at suriin kung ito ay mahahati ng 3. Kahit na ang kabuuan ng mga numero ay naging napakalaki, maaari mong ulitin ang parehong proseso muli.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 3.
Solusyon: binibilang namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 3, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa tatlo.

3. Tanda ng divisibility ng isang numero ng 5
Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay zero o lima.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 5.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay HINDI nahahati sa lima.

4. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 9
Ang sign na ito ay halos kapareho ng sign ng divisibility ng tatlo: ang isang numero ay nahahati sa 9 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati sa 9.
Solusyon: kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 9, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa siyam.

Paano mahanap ang GCD at LCM ng dalawang numero

Paano mahanap ang GCD ng dalawang numero

Ang pinakasimpleng paraan upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng mga numerong ito at piliin ang pinakamalaki sa kanila.

Isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng GCD(28, 36):

1. Pinagsasama namin ang parehong mga numero: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nakahanap kami ng mga karaniwang salik, iyon ay, ang parehong mga numero ay may: 1, 2 at 2.
3. Kinakalkula namin ang produkto ng mga salik na ito: 1 2 2 \u003d 4 - ito ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 28 at 36.

Paano mahanap ang LCM ng dalawang numero

Mayroong dalawang pinakakaraniwang paraan upang mahanap ang pinakamaliit na multiple ng dalawang numero. Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa kanila ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at sa parehong oras ang pinakamaliit. At ang pangalawa ay upang mahanap ang GCD ng mga numerong ito. Isaalang-alang na lang natin.

Upang kalkulahin ang LCM, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga orihinal na numero at pagkatapos ay hatiin ito sa dating nakitang GCD. Hanapin natin ang LCM para sa parehong mga numero 28 at 36:

1. Hanapin ang produkto ng mga numero 28 at 36: 28 36 = 1008
2. Ang gcd(28, 36) ay kilala na bilang 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Paghahanap ng GCD at LCM para sa Maramihang Numero

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang mga numero, at hindi lamang para sa dalawa. Para dito, ang mga numerong mahahanap para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay ang produkto ng karaniwang prime factor ng mga numerong ito ay makikita. Gayundin, upang mahanap ang GCD ng ilang numero, maaari mong gamitin ang sumusunod na kaugnayan: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Ang isang katulad na kaugnayan ay nalalapat din sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Halimbawa: hanapin ang GCD at LCM para sa mga numero 12, 32 at 36.

1. Una, i-factorize natin ang mga numero: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Maghanap tayo ng mga karaniwang salik: 1, 2 at 2 .
3. Ang kanilang produkto ay magbibigay ng gcd: 1 2 2 = 4
4. Ngayon, hanapin natin ang LCM: para dito ay unang hanapin natin ang LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Upang mahanap ang LCM ng lahat ng tatlong numero, kailangan mong hanapin ang GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Ang artikulong ito ay tungkol sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) dalawa o higit pang mga numero. Una, isaalang-alang ang Euclid algorithm, pinapayagan ka nitong mahanap ang GCD ng dalawang numero. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa amin na kalkulahin ang GCD ng mga numero bilang produkto ng kanilang mga karaniwang prime factor. Susunod, haharapin natin ang paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero, at magbibigay din ng mga halimbawa ng pagkalkula ng GCD ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Euclid's algorithm para sa paghahanap ng GCD

Tandaan na kung bumaling tayo sa talahanayan ng prime number mula pa sa simula, malalaman natin na ang mga numerong 661 at 113 ay prime, kung saan maaari nating agad na sabihin na ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor ay 1.

Sagot:

gcd(661, 113)=1 .

Paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Isaalang-alang ang isa pang paraan upang mahanap ang GCD. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Bumuo tayo ng panuntunan: Ang gcd ng dalawang positive integer a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng karaniwang prime factor sa mga factorization ng a at b sa prime factor.

Magbigay tayo ng halimbawa para ipaliwanag ang panuntunan para sa paghahanap ng GCD. Ipaalam sa amin ang pagpapalawak ng mga numerong 220 at 600 sa prime factor, mayroon silang anyo 220=2 2 5 11 at 600=2 2 2 3 5 5 . Ang mga karaniwang pangunahing salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na 220 at 600 ay 2 , 2 at 5 . Samakatuwid gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Kaya, kung ibubulok natin ang mga numerong a at b sa mga pangunahing kadahilanan at hahanapin ang produkto ng lahat ng kanilang karaniwang mga kadahilanan, makikita nito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng GCD ayon sa inihayag na panuntunan.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 72 at 96.

Solusyon.

I-factorize natin ang mga numerong 72 at 96:

Ibig sabihin, 72=2 2 2 3 3 at 96=2 2 2 2 2 3 . Ang mga karaniwang prime factor ay 2 , 2 , 2 at 3 . Kaya gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Sagot:

gcd(72, 96)=24 .

Sa pagtatapos ng seksyong ito, tandaan namin na ang bisa ng panuntunan sa itaas para sa paghahanap ng gcd ay sumusunod mula sa pag-aari ng pinakamalaking karaniwang divisor, na nagsasaad na GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), kung saan ang m ay anumang positibong integer.

Paghahanap ng GCD ng tatlo o higit pang mga numero

Ang paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng gcd ng dalawang numero. Nabanggit namin ito noong pinag-aaralan namin ang mga katangian ng GCD. Doon ay nabuo at napatunayan namin ang theorem: ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang numero a 1 , a 2 , …, a k ay katumbas ng numero d k , na matatagpuan sa sequential kalkulasyon ng gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

Tingnan natin kung ano ang hitsura ng proseso ng paghahanap ng GCD ng ilang numero sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa solusyon ng halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng apat na numero 78 , 294 , 570 at 36 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Una, gamit ang Euclid algorithm, tinutukoy namin ang pinakamalaking karaniwang divisor d 2 ng unang dalawang numero 78 at 294 . Kapag naghahati, nakukuha natin ang mga pagkakapantay-pantay 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 at 18=6 3 . Kaya, d 2 =GCD(78, 294)=6 .

Ngayon kalkulahin natin d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Muli naming inilapat ang Euclid algorithm: 570=6·95 , samakatuwid, d 3 =GCD(6, 570)=6 .

Ito ay nananatiling kalkulahin d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Dahil ang 36 ay nahahati sa 6, kung gayon d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Kaya, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng apat na ibinigay na mga numero ay d 4 =6 , iyon ay, gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Sagot:

gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Nagbibigay-daan din sa iyo ang pag-decompose ng mga numero sa prime factor na kalkulahin ang GCD ng tatlo o higit pang mga numero. Sa kasong ito, ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan bilang produkto ng lahat ng karaniwang prime factor ng mga ibinigay na numero.

Halimbawa.

Kalkulahin ang GCD ng mga numero mula sa nakaraang halimbawa gamit ang kanilang mga prime factorization.

Solusyon.

Binubulok natin ang mga numerong 78 , 294 , 570 at 36 sa prime factor, nakukuha natin ang 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 . 3 . Ang karaniwang mga pangunahing kadahilanan ng lahat ng ibinigay na apat na numero ay ang mga numero 2 at 3. Dahil dito, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Paghahanap ng least common multiple (LCM) at ang greatest common divisor (GCD) ng mga natural na numero.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Isinulat namin ang mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito at idinagdag sa kanila ang nawawalang kadahilanan 5 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero. Nakukuha namin ang: 2*2*3*5*5=300. Natagpuan ang NOC, i.e. ang kabuuan na ito = 300. Huwag kalimutan ang sukat at isulat ang sagot:
Sagot: Ang nanay ay nagbibigay ng 300 rubles bawat isa.

Kahulugan ng GCD: Greatest Common Divisor (GCD) natural na mga numero a at sa pangalanan ang pinakamalaking natural na bilang c, kung saan at a, at b hinati nang walang natitira. Yung. c ay ang pinakamaliit na natural na bilang kung saan at a at b ay multiple.

Paalala: Mayroong dalawang mga diskarte sa kahulugan ng mga natural na numero

• mga numerong ginamit sa: enumeration (numbering) ng mga item (una, pangalawa, pangatlo, ...); - sa mga paaralan, kadalasan.
• na nagpapahiwatig ng bilang ng mga item (walang pokemon - zero, isang pokemon, dalawang pokemon, ...).

Ang mga negatibo at hindi integer (makatuwiran, totoo, ...) na mga numero ay hindi natural. Ang ilang mga may-akda ay nagsasama ng zero sa hanay ng mga natural na numero, ang iba ay hindi. Ang hanay ng lahat ng mga natural na numero ay karaniwang tinutukoy ng simbolo N

Paalala: Divisor ng isang natural na numero a tawagan ang numero b, kung saan a hinati nang walang natitira. Maramihang natural na numero b tinatawag na natural na numero a, na hinahati ng b walang bakas. Kung numero b- divisor ng numero a, pagkatapos a maramihan ng b. Halimbawa: Ang 2 ay isang divisor ng 4 at ang 4 ay isang multiple ng 2. Ang 3 ay isang divisor ng 12, at ang 12 ay isang multiple ng 3.
Paalala: Ang mga natural na numero ay tinatawag na prime kung sila ay nahahati nang walang natitira lamang sa kanilang mga sarili at sa pamamagitan ng 1. Ang Coprime ay mga numero na mayroon lamang isang karaniwang divisor na katumbas ng 1.

Kahulugan ng kung paano hanapin ang GCD sa pangkalahatang kaso: Para mahanap ang GCD (Greatest Common Divisor) Maraming natural na numero ang kailangan:
1) I-decompose ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan. (Ang Prime Number Chart ay maaaring maging kapaki-pakinabang para dito.)
2) Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga ito.
3) Tanggalin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng natitirang mga numero.
4) I-multiply ang mga salik na nakuha sa talata 3).

Gawain 2 sa (NOK): Pagsapit ng bagong taon, bumili si Kolya Puzatov ng 48 hamster at 36 na kaldero ng kape sa lungsod. Si Fekla Dormidontova, bilang pinakatapat na batang babae sa klase, ay binigyan ng gawaing hatiin ang ari-arian na ito sa pinakamalaking posibleng bilang ng mga set ng regalo para sa mga guro. Ano ang bilang ng mga hanay? Ano ang komposisyon ng mga set?

Halimbawa 2.1. paglutas ng problema sa paghahanap ng GCD. Paghahanap ng GCD sa pamamagitan ng pagpili.
Solusyon: Ang bawat isa sa mga numero 48 at 36 ay dapat na mahahati sa bilang ng mga regalo.
1) Isulat ang mga divisors 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Isulat ang mga paghahati 36:36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Piliin ang pinakamalaking karaniwang divisor. Op-la-la! Natagpuan, ito ang bilang ng mga hanay ng 12 piraso.
3) Hatiin ang 48 sa 12, makakakuha tayo ng 4, hatiin ang 36 sa 12, makakakuha tayo ng 3. Huwag kalimutan ang dimensyon at isulat ang sagot:
Sagot: Makakakuha ka ng 12 set ng 4 na hamster at 3 coffee pot sa bawat set.

Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Ang mga numerong nahahati sa 2 na walang natitira ay tinatawagkahit .

Ang mga numero na hindi pantay na nahahati sa 2 ay tinatawagkakaiba .

Tanda ng divisibility ng 2

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa isang kahit na digit, kung gayon ang numerong ito ay mahahati ng 2 nang walang natitira, at kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa isang kakaibang digit, kung gayon ang numerong ito ay hindi mahahati ng 2 nang walang natitira.

Halimbawa, ang mga numero 60 , 30 8 , 8 4 ay nahahati nang walang natitira sa 2, at ang mga numero ay 51 , 8 5 , 16 7 ay hindi nahahati sa 2 nang walang natitira.

Tanda ng divisibility ng 3

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay mahahati din ng 3; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 3.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - ay nahahati sa 3 . Kaya, ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3.

Tanda ng divisibility ng 5

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa bilang na 0 o 5, kung gayon ang numerong ito ay mahahati nang walang nalalabi sa pamamagitan ng 5. Kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa ibang digit, ang bilang na walang natitira ay hindi mahahati ng 5.

Halimbawa, ang mga numero 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ay nahahati nang walang natitira sa 5, at ang mga numero 17 , 37 8 , 9 1 huwag ibahagi.

Tanda ng divisibility ng 9

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay mahahati din ng 9; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 9.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 5402070 ay nahahati sa 9. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ay hindi nahahati ng 9. Nangangahulugan ito na ang bilang na 5402070 ay hindi nahahati ng 9.

Tanda ng divisibility ng 10

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa digit na 0, kung gayon ang numerong ito ay mahahati sa 10 na walang nalalabi.

Halimbawa, ang mga numero 40 , 17 0 , 1409 0 ay nahahati nang walang natitira sa 10, at ang mga numero 17 , 9 3 , 1430 7 - huwag ibahagi.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang natural na numero, kailangan mong:

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;

3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Halimbawa. Hanapin natin ang GCD (48;36). Gamitin natin ang panuntunan.

1. Binubulok namin ang mga numero 48 at 36 sa mga pangunahing kadahilanan.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bilang 48, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng bilang 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Mayroong mga kadahilanan 2, 2 at 3.

3. I-multiply ang natitirang mga salik at makakuha ng 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng least common multiple (LCM).

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang natural na numero, kailangan mong:

1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;

2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;

3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;

4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Halimbawa. Hanapin natin ang LCM (75;60). Gamitin natin ang panuntunan.

1. Binubulok namin ang mga numerong 75 at 60 sa mga pangunahing kadahilanan.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bilang na 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik mula sa pagkabulok ng bilang na 60, i.e. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Hanapin ang produkto ng mga resultang salik

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.