Ang isang algebraic expression sa talaan kung saan, kasama ang mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at multiplikasyon, ay gumagamit din ng paghahati sa literal na mga expression, ay tinatawag na isang fractional algebraic expression. Ganito, halimbawa, ang mga expression

Tinatawag namin ang isang algebraic fraction na isang algebraic expression na may anyo ng isang quotient ng paghahati ng dalawang integer algebraic expression (halimbawa, monomials o polynomials). Ganito, halimbawa, ang mga expression

ang pangatlo ng mga expression).

Ang mga pagbabagong-anyo ng pagkakakilanlan ng mga fractional algebraic na expression ay para sa karamihang nilayon upang kumatawan sa mga ito bilang isang algebraic fraction. Upang makahanap ng isang karaniwang denominator, ang factorization ng mga denominator ng mga fraction - mga termino ay ginagamit upang mahanap ang kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kapag binabawasan ang mga algebraic fraction, ang mahigpit na pagkakakilanlan ng mga expression ay maaaring labagin: kinakailangang ibukod ang mga halaga ng mga dami kung saan ang kadahilanan kung saan ang pagbabawas ay ginawa.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng magkaparehong pagbabago ng mga fractional algebraic expression.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression

Ang lahat ng mga termino ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator (ito ay maginhawa upang baguhin ang sign sa denominator ng huling termino at ang sign sa harap nito):

Ang aming expression ay katumbas ng isa para sa lahat ng mga halaga maliban sa mga halagang ito, hindi ito tinukoy at ang pagbawas ng fraction ay ilegal).

Halimbawa 2. Kinakatawan ang expression bilang isang algebraic fraction

Solusyon. Ang expression ay maaaring kunin bilang isang karaniwang denominator. Sunud-sunod naming mahanap:

Mga ehersisyo

1. Hanapin ang mga halaga ng mga algebraic na expression para sa tinukoy na mga halaga ng mga parameter:

2. I-factorize.

Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomial ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga ekspresyon:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino bilang monomials ng karaniwang anyo:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

Sa likod polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponents nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.

Kung minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:

Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, kung gayon ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, ang isa ay maaaring ibahin ang anyo (pasimplehin) ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resulta na ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa-multiply ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.

Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa pa.

Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba

Ang ilang mga expression sa algebraic transformations ay kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi gaanong karaniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikadong mga expression.

Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlang ito ay nagbibigay-daan sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Puna 1

Ang isang lohikal na function ay maaaring isulat gamit ang isang lohikal na expression, at pagkatapos ay maaari kang pumunta sa lohikal na circuit. Ito ay kinakailangan upang pasimplehin ang mga lohikal na expression upang makakuha ng kasing simple hangga't maaari (at samakatuwid ay mas mura) lohikal na circuit. Sa katunayan, ang isang lohikal na pag-andar, isang lohikal na pagpapahayag, at isang lohikal na circuit ay tatlong magkakaibang wika na nagsasalita tungkol sa parehong nilalang.

Upang gawing simple ang mga lohikal na expression, gamitin mga batas ng algebra ng lohika.

Ang ilang mga pagbabagong-anyo ay katulad ng mga pagbabagong-anyo ng mga pormula sa klasikal na algebra (pagba-bracket sa karaniwang salik, gamit ang commutative at combinational na mga batas, atbp.), habang ang iba pang mga pagbabagong-anyo ay nakabatay sa mga katangian na wala sa mga operasyong klasikal na algebra (gamit ang isang distributive law para sa conjunction, mga batas ng pagsipsip, gluing, mga panuntunan ni de Morgan, atbp.).

Ang mga batas ng algebra ng lohika ay binuo para sa mga pangunahing lohikal na operasyon - "HINDI" - inversion (negation), "AT" - conjunction (logical multiplication) at "OR" - disjunction (lohikal na karagdagan).

Ang batas ng double negation ay nangangahulugan na ang "HINDI" na operasyon ay nababaligtad: kung ilalapat mo ito ng dalawang beses, pagkatapos ay sa dulo ang lohikal na halaga ay hindi magbabago.

Ang batas ng ibinukod na gitna ay nagsasaad na ang anumang lohikal na pagpapahayag ay alinman sa totoo o mali (“walang pangatlo”). Samakatuwid, kung $A=1$, kung gayon ang $\bar(A)=0$ (at kabaliktaran), na nangangahulugan na ang pagsasama ng mga dami na ito ay palaging katumbas ng zero, at ang disjunction ay katumbas ng isa.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pasimplehin natin ang formula na ito:

Larawan 3

Ito ay nagpapahiwatig na $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Sagot: naglalaro ng chess ang mga mag-aaral na $B$, $C$ at $D$, ngunit hindi naglalaro ang mag-aaral na $A$.

Kapag pinasimple ang mga lohikal na expression, maaari mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

1. Palitan ang lahat ng "di-basic" na operasyon (katumbas, implikasyon, XOR, atbp.) ng kanilang mga expression sa pamamagitan ng mga pangunahing operasyon ng inversion, conjunction, at disjunction.
2. Palawakin ang mga pagbabaligtad ng mga kumplikadong expression ayon sa mga panuntunan ni de Morgan sa paraang ang mga indibidwal na variable lamang ang may mga pagpapatakbo ng negasyon.
3. Pagkatapos ay pasimplehin ang expression gamit ang pagpapalawak ng mga panaklong, pag-bracket ng mga karaniwang salik, at iba pang mga batas ng algebra ng lohika.

Halimbawa 2

Dito, ang panuntunan ni de Morgan, ang distributive law, ang batas ng ibinukod na gitna, ang commutative na batas, ang batas ng pag-uulit, ang muli na commutative na batas, at ang batas ng absorption ay ginagamit nang magkakasunod.

Sa tulong ng anumang wika, maaari mong ipahayag ang parehong impormasyon sa iba't ibang salita at parirala. Ang wikang matematika ay walang pagbubukod. Ngunit ang parehong expression ay maaaring katumbas na nakasulat sa iba't ibang paraan. At sa ilang mga sitwasyon, ang isa sa mga entry ay mas simple. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapasimple ng mga expression sa araling ito.

Ang mga tao ay nakikipag-usap sa iba't ibang wika. Para sa amin, ang isang mahalagang paghahambing ay ang pares na "Wikang Ruso - wikang matematika". Ang parehong impormasyon ay maaaring iulat sa iba't ibang wika. Ngunit, bukod dito, maaari itong mabigkas nang iba sa isang wika.

Halimbawa: "Si Peter ay kaibigan ni Vasya", "Si Vasya ay kaibigan ni Petya", "Si Peter at Vasya ay magkaibigan". Iba ang sinabi, pero iisa lang. Sa alinman sa mga pariralang ito, mauunawaan natin kung ano ang nakataya.

Tingnan natin ang pariralang ito: "Ang batang si Petya at ang batang si Vasya ay magkaibigan." Naiintindihan namin kung ano ang nakataya. Gayunpaman, hindi namin gusto ang tunog ng pariralang ito. Hindi ba natin maaaring pasimplehin ito, sabihin ang pareho, ngunit mas simple? "Boy and boy" - maaari mong sabihin nang isang beses: "Magkaibigan sina Petya at Vasya."

"Boys" ... Hindi ba malinaw sa pangalan nila na hindi sila babae. Tinatanggal namin ang "mga lalaki": "Magkaibigan sina Petya at Vasya." At ang salitang "kaibigan" ay maaaring mapalitan ng "mga kaibigan": "Si Petya at Vasya ay magkaibigan." Bilang resulta, ang una, mahaba, pangit na parirala ay pinalitan ng katumbas na pahayag na mas madaling sabihin at mas madaling maunawaan. Pinasimple namin ang pariralang ito. Ang pasimplehin ay nangangahulugang mas madaling sabihin, ngunit hindi mawala, hindi papangitin ang kahulugan.

Ang parehong bagay ay nangyayari sa wikang matematika. Ang parehong bagay ay maaaring sabihin nang iba. Ano ang ibig sabihin ng gawing simple ang isang expression? Nangangahulugan ito na para sa orihinal na expression mayroong maraming mga katumbas na expression, iyon ay, ang mga iyon ay pareho ang ibig sabihin. At mula sa lahat ng karamihang ito, dapat nating piliin ang pinakasimple, sa aming opinyon, o ang pinaka-angkop para sa aming karagdagang mga layunin.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang numeric na expression. Ito ay magiging katumbas ng .

Katumbas din ito ng unang dalawa: .

Lumalabas na pinasimple namin ang aming mga expression at natagpuan ang pinakamaikling katumbas na expression.

Para sa mga numeric na expression, kailangan mong palaging gawin ang lahat ng trabaho at makuha ang katumbas na expression bilang isang solong numero.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng literal na pagpapahayag . Malinaw, ito ay magiging mas simple.

Kapag pinasimple ang mga literal na expression, dapat mong gawin ang lahat ng mga aksyon na posible.

Kailangan bang gawing simple ang isang expression? Hindi, kung minsan ang isang katumbas ngunit mas mahabang notasyon ay magiging mas maginhawa para sa amin.

Halimbawa: Ibawas ang numero sa numero.

Posibleng kalkulahin, ngunit kung ang unang numero ay kinakatawan ng katumbas nitong notasyon: , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging madalian: .

Iyon ay, ang isang pinasimple na expression ay hindi palaging kapaki-pakinabang para sa amin para sa karagdagang mga kalkulasyon.

Gayunpaman, kadalasan ay nahaharap tayo sa isang gawain na parang "pasimplehin ang pagpapahayag."

Pasimplehin ang expression: .

Solusyon

1) Magsagawa ng mga aksyon sa una at pangalawang bracket: .

2) Kalkulahin ang mga produkto: .

Malinaw, ang huling expression ay may mas simpleng anyo kaysa sa una. Pinasimple namin ito.

Upang gawing simple ang expression, dapat itong mapalitan ng katumbas (katumbas).

Upang matukoy ang katumbas na expression, dapat mong:

1) isagawa ang lahat ng posibleng aksyon,

2) gamitin ang mga katangian ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati upang gawing simple ang mga kalkulasyon.

Mga katangian ng pagdaragdag at pagbabawas:

1. Commutative property ng karagdagan: hindi nagbabago ang kabuuan mula sa muling pagsasaayos ng mga termino.

2. Kaakibat na pag-aari ng karagdagan: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang numero, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlong numero sa unang numero.

3. Ang pag-aari ng pagbabawas ng kabuuan mula sa isang numero: upang ibawas ang kabuuan mula sa isang numero, maaari mong ibawas ang bawat termino nang paisa-isa.

Mga katangian ng multiplikasyon at paghahati

1. Ang commutative property ng multiplication: ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutation ng mga salik.

2. Kaakibat na ari-arian: upang i-multiply ang isang numero sa produkto ng dalawang numero, maaari mo munang i-multiply ito sa unang kadahilanan, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang produkto sa pangalawang kadahilanan.

3. Ang distributive property ng multiplication: upang ma-multiply ang isang numero sa isang sum, kailangan mong i-multiply ito sa bawat term nang hiwalay.

Tingnan natin kung paano talaga namin ginagawa ang mga kalkulasyon ng kaisipan.

Kalkulahin:

Solusyon

1) Isipin kung paano

2) Katawanin natin ang unang multiplier bilang kabuuan ng mga termino ng bit at gawin ang multiplikasyon:

3) maaari mong isipin kung paano at gawin ang pagpaparami:

4) Palitan ang unang salik ng katumbas na kabuuan:

Ang distributive law ay maaari ding gamitin sa kabilang direksyon: .

Sundin ang mga hakbang:

1) 2)

Solusyon

1) Para sa kaginhawahan, maaari mong gamitin ang batas sa pamamahagi, gamitin lamang ito sa tapat na direksyon - alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

2) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket

Kinakailangang bumili ng linoleum sa kusina at pasilyo. Lugar ng kusina - pasilyo -. Mayroong tatlong uri ng mga linoleum: para sa, at rubles para sa. Magkano ang halaga ng bawat isa sa tatlong uri ng linoleum? (Larawan 1)

kanin. 1. Ilustrasyon para sa kalagayan ng problema

Solusyon

Paraan 1. Maaari mong hiwalay na mahanap kung magkano ang pera na kakailanganin upang bumili ng linoleum sa kusina, at pagkatapos ay idagdag ito sa pasilyo at idagdag ang mga resultang gawa.

Puna 1

Ang isang lohikal na function ay maaaring isulat gamit ang isang lohikal na expression, at pagkatapos ay maaari kang pumunta sa lohikal na circuit. Ito ay kinakailangan upang pasimplehin ang mga lohikal na expression upang makakuha ng kasing simple hangga't maaari (at samakatuwid ay mas mura) lohikal na circuit. Sa katunayan, ang isang lohikal na pag-andar, isang lohikal na pagpapahayag, at isang lohikal na circuit ay tatlong magkakaibang wika na nagsasalita tungkol sa parehong nilalang.

Upang gawing simple ang mga lohikal na expression, gamitin mga batas ng algebra ng lohika.

Ang ilang mga pagbabagong-anyo ay katulad ng mga pagbabagong-anyo ng mga pormula sa klasikal na algebra (pagba-bracket sa karaniwang salik, gamit ang commutative at combinational na mga batas, atbp.), habang ang iba pang mga pagbabagong-anyo ay nakabatay sa mga katangian na wala sa mga operasyong klasikal na algebra (gamit ang isang distributive law para sa conjunction, mga batas ng pagsipsip, gluing, mga panuntunan ni de Morgan, atbp.).

Ang mga batas ng algebra ng lohika ay binuo para sa mga pangunahing lohikal na operasyon - "HINDI" - inversion (negation), "AT" - conjunction (logical multiplication) at "OR" - disjunction (lohikal na karagdagan).

Ang batas ng double negation ay nangangahulugan na ang "HINDI" na operasyon ay nababaligtad: kung ilalapat mo ito ng dalawang beses, pagkatapos ay sa dulo ang lohikal na halaga ay hindi magbabago.

Ang batas ng ibinukod na gitna ay nagsasaad na ang anumang lohikal na pagpapahayag ay alinman sa totoo o mali (“walang pangatlo”). Samakatuwid, kung $A=1$, kung gayon ang $\bar(A)=0$ (at kabaliktaran), na nangangahulugan na ang pagsasama ng mga dami na ito ay palaging katumbas ng zero, at ang disjunction ay katumbas ng isa.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pasimplehin natin ang formula na ito:

Larawan 3

Ito ay nagpapahiwatig na $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Sagot: naglalaro ng chess ang mga mag-aaral na $B$, $C$ at $D$, ngunit hindi naglalaro ang mag-aaral na $A$.

Kapag pinasimple ang mga lohikal na expression, maaari mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:

1. Palitan ang lahat ng "di-basic" na operasyon (katumbas, implikasyon, XOR, atbp.) ng kanilang mga expression sa pamamagitan ng mga pangunahing operasyon ng inversion, conjunction, at disjunction.
2. Palawakin ang mga pagbabaligtad ng mga kumplikadong expression ayon sa mga panuntunan ni de Morgan sa paraang ang mga indibidwal na variable lamang ang may mga pagpapatakbo ng negasyon.
3. Pagkatapos ay pasimplehin ang expression gamit ang pagpapalawak ng mga panaklong, pag-bracket ng mga karaniwang salik, at iba pang mga batas ng algebra ng lohika.

Halimbawa 2

Dito, ang panuntunan ni de Morgan, ang distributive law, ang batas ng ibinukod na gitna, ang commutative na batas, ang batas ng pag-uulit, ang muli na commutative na batas, at ang batas ng absorption ay ginagamit nang magkakasunod.