Sa artikulong dinala sa iyong pansin, nag-aalok kami ng mga halimbawa ng mga modelo ng matematika. Bilang karagdagan, bibigyan namin ng pansin ang mga yugto ng paglikha ng mga modelo at pag-aralan ang ilan sa mga problema na nauugnay sa pagmomolde ng matematika.

Ang isa pang isyu sa amin ay ang mga modelo ng matematika sa ekonomiya, mga halimbawa kung saan isasaalang-alang namin ang isang kahulugan sa ibang pagkakataon. Iminumungkahi naming simulan ang aming pag-uusap sa mismong konsepto ng "modelo", sa madaling sabi isaalang-alang ang kanilang pag-uuri at magpatuloy sa aming mga pangunahing katanungan.

Ang konsepto ng "modelo"

Madalas nating marinig ang salitang "modelo". Ano ito? Ang terminong ito ay may maraming kahulugan, narito ang tatlo lamang sa mga ito:

• isang tiyak na bagay na nilikha upang tumanggap at mag-imbak ng impormasyon, na sumasalamin sa ilang mga katangian o katangian, at iba pa, ng orihinal ng bagay na ito (ang partikular na bagay na ito ay maaaring ipahayag sa iba't ibang anyo: mental, paglalarawan gamit ang mga palatandaan, at iba pa);
• ang isang modelo ay nangangahulugan din ng isang pagpapakita ng anumang partikular na sitwasyon, buhay o pamamahala;
• ang isang maliit na kopya ng isang bagay ay maaaring magsilbi bilang isang modelo (ginawa sila para sa isang mas detalyadong pag-aaral at pagsusuri, dahil ang modelo ay sumasalamin sa istraktura at mga relasyon).

Batay sa lahat ng sinabi nang mas maaga, maaari tayong gumuhit ng isang maliit na konklusyon: pinapayagan ka ng modelo na pag-aralan nang detalyado ang isang kumplikadong sistema o bagay.

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring maiuri ayon sa isang bilang ng mga pamantayan:

• ayon sa lugar ng paggamit (pang-edukasyon, pang-eksperimento, pang-agham at teknikal, paglalaro, simulation);
• sa pamamagitan ng dinamika (static at dynamic);
• ayon sa sangay ng kaalaman (pisikal, kemikal, heograpikal, historikal, sosyolohikal, pang-ekonomiya, matematika);
• ayon sa paraan ng presentasyon (materyal at informational).

Ang mga modelo ng impormasyon, sa turn, ay nahahati sa sign at verbal. At iconic - sa computer at hindi computer. Ngayon ay lumipat tayo sa isang detalyadong pagsasaalang-alang ng mga halimbawa ng isang modelo ng matematika.

Matematikal na modelo

Tulad ng maaari mong hulaan, ang isang modelo ng matematika ay nagpapakita ng ilang mga tampok ng isang bagay o kababalaghan gamit ang mga espesyal na simbolo ng matematika. Ang matematika ay kailangan upang maging modelo ng mga batas ng mundo sa sarili nitong partikular na wika.

Ang pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ay nagmula medyo matagal na ang nakalipas, libu-libong taon na ang nakalilipas, kasama ang pagdating ng agham na ito. Gayunpaman, ang impetus para sa pagbuo ng paraan ng pagmomolde na ito ay ibinigay ng hitsura ng mga computer (electronic computer).

Ngayon ay lumipat tayo sa pag-uuri. Maaari rin itong isagawa ayon sa ilang mga palatandaan. Ang mga ito ay ipinakita sa talahanayan sa ibaba.

Iminumungkahi naming ihinto at tingnan nang mabuti ang huling pag-uuri, dahil sinasalamin nito ang mga pangkalahatang pattern ng pagmomodelo at ang mga layunin ng mga modelong ginagawa.

Mga Deskriptibong Modelo

Sa kabanatang ito, ipinapanukala naming pag-isipan nang mas detalyado ang mga deskriptibong modelo ng matematika. Upang maging malinaw ang lahat, isang halimbawa ang ibibigay.

Upang magsimula sa, ang view na ito ay maaaring tawaging naglalarawan. Ito ay dahil sa katotohanan na gumagawa lang kami ng mga kalkulasyon at pagtataya, ngunit hindi namin maiimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan sa anumang paraan.

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang mapaglarawang modelo ng matematika ay ang pagkalkula ng landas ng paglipad, bilis, distansya mula sa Earth ng isang kometa na sumalakay sa kalawakan ng ating solar system. Ang modelong ito ay naglalarawan, dahil ang lahat ng mga resulta na nakuha ay maaari lamang magbigay ng babala sa amin ng ilang uri ng panganib. Sa kasamaang palad, hindi namin maimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan. Gayunpaman, batay sa mga kalkulasyon na nakuha, posible na gumawa ng anumang mga hakbang upang mapanatili ang buhay sa Earth.

Mga Modelo sa Pag-optimize

Ngayon ay magsasalita tayo nang kaunti tungkol sa mga modelong pang-ekonomiya at matematika, ang mga halimbawa nito ay maaaring iba't ibang sitwasyon. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga modelo na makakatulong upang mahanap ang tamang sagot sa ilang mga kundisyon. Dapat silang magkaroon ng ilang mga parameter. Upang maging napakalinaw, isaalang-alang ang isang halimbawa mula sa bahaging agraryo.

Mayroon kaming kamalig, ngunit ang butil ay napakabilis na nasisira. Sa kasong ito, kailangan nating piliin ang tamang rehimen ng temperatura at i-optimize ang proseso ng imbakan.

Kaya, maaari nating tukuyin ang konsepto ng "modelo ng pag-optimize". Sa isang matematikal na kahulugan, ito ay isang sistema ng mga equation (parehong linear at hindi), ang solusyon na tumutulong upang mahanap ang pinakamainam na solusyon sa isang partikular na sitwasyong pang-ekonomiya. Isinasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng isang modelo ng matematika (pag-optimize), ngunit nais kong magdagdag ng isa pang bagay: ang ganitong uri ay kabilang sa klase ng mga matinding problema, nakakatulong sila upang ilarawan ang paggana ng sistemang pang-ekonomiya.

Napansin namin ang isa pang nuance: ang mga modelo ay maaaring maging ibang kalikasan (tingnan ang talahanayan sa ibaba).

Mga modelong multicriteria

Ngayon inaanyayahan ka naming pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa mathematical model ng multiobjective optimization. Bago iyon, nagbigay kami ng isang halimbawa ng isang mathematical model para sa pag-optimize ng isang proseso ayon sa alinmang isang criterion, ngunit paano kung marami sa kanila?

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang multicriteria na gawain ay ang organisasyon ng wasto, malusog at kasabay na matipid na nutrisyon ng malalaking grupo ng mga tao. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa hukbo, mga kantina ng paaralan, mga kampo ng tag-init, mga ospital at iba pa.

Anong pamantayan ang ibinigay sa atin sa gawaing ito?

1. Ang pagkain ay dapat na malusog.
2. Ang mga gastos sa pagkain ay dapat panatilihin sa pinakamababa.

Tulad ng nakikita mo, ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma sa lahat. Nangangahulugan ito na kapag nilulutas ang isang problema, kinakailangang hanapin ang pinakamainam na solusyon, isang balanse sa pagitan ng dalawang pamantayan.

Mga modelo ng laro

Sa pagsasalita tungkol sa mga modelo ng laro, kinakailangang maunawaan ang konsepto ng "teorya ng laro". Sa madaling salita, ang mga modelong ito ay sumasalamin sa mga modelo ng matematika ng mga tunay na salungatan. Ito ay nagkakahalaga lamang ng pag-unawa na, hindi katulad ng isang tunay na salungatan, ang isang modelo ng matematika ng laro ay may sariling mga tiyak na panuntunan.

Ngayon ay magbibigay ako ng isang minimum na impormasyon mula sa teorya ng laro, na tutulong sa iyo na maunawaan kung ano ang isang modelo ng laro. At kaya, sa modelo mayroong kinakailangang mga partido (dalawa o higit pa), na karaniwang tinatawag na mga manlalaro.

Ang lahat ng mga modelo ay may ilang mga katangian.

Ang modelo ng laro ay maaaring ipares o maramihan. Kung mayroon kaming dalawang paksa, pagkatapos ay ang salungatan ay ipinares, kung higit pa - maramihang. Ang isang antagonistic na laro ay maaari ding makilala, ito ay tinatawag ding zero-sum game. Ito ay isang modelo kung saan ang pakinabang ng isa sa mga kalahok ay katumbas ng pagkawala ng isa pa.

mga modelo ng simulation

Sa seksyong ito, kami ay tumutuon sa simulation mathematical models. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay:

• modelo ng dynamics ng bilang ng mga microorganism;
• modelo ng molecular motion, at iba pa.

Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang mga modelo na mas malapit hangga't maaari sa mga totoong proseso. Sa pangkalahatan, ginagaya nila ang anumang pagpapakita sa kalikasan. Sa unang kaso, halimbawa, maaari nating imodelo ang dynamics ng bilang ng mga langgam sa isang kolonya. Sa kasong ito, maaari mong obserbahan ang kapalaran ng bawat indibidwal. Sa kasong ito, ang paglalarawan sa matematika ay bihirang ginagamit, mas madalas mayroong nakasulat na mga kondisyon:

• pagkatapos ng limang araw, nangingitlog ang babae;
• pagkaraan ng dalawampung araw ay namatay ang langgam, at iba pa.

Kaya, ay ginagamit upang ilarawan ang isang malaking sistema. Ang konklusyon sa matematika ay ang pagproseso ng natanggap na data ng istatistika.

Mga kinakailangan

Napakahalagang malaman na mayroong ilang mga kinakailangan para sa ganitong uri ng modelo, bukod sa kung saan ay ang mga ibinigay sa talahanayan sa ibaba.

Kagalingan sa maraming bagay	Nagbibigay-daan sa iyo ang property na ito na gumamit ng parehong modelo kapag naglalarawan ng mga pangkat ng mga bagay na may parehong uri. Mahalagang tandaan na ang mga unibersal na modelo ng matematika ay ganap na independyente sa pisikal na katangian ng bagay na pinag-aaralan.
Kasapatan	Narito mahalagang maunawaan na ang ari-arian na ito ay nagbibigay-daan sa pinakatamang pagpaparami ng mga tunay na proseso. Sa mga problema sa pagpapatakbo, ang pag-aari na ito ng pagmomodelo ng matematika ay napakahalaga. Ang isang halimbawa ng isang modelo ay ang proseso ng pag-optimize ng paggamit ng isang sistema ng gas. Sa kasong ito, ang mga kinakalkula at aktwal na mga tagapagpahiwatig ay inihambing, bilang isang resulta, ang kawastuhan ng pinagsama-samang modelo ay nasuri.
Katumpakan	Ang kinakailangang ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaisa ng mga halaga na nakukuha namin kapag kinakalkula ang modelo ng matematika at ang mga parameter ng input ng aming tunay na bagay.
ekonomiya	Ang pangangailangan ng ekonomiya para sa anumang modelo ng matematika ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga gastos sa pagpapatupad. Kung ang gawain sa modelo ay isinasagawa nang manu-mano, pagkatapos ay kinakailangan upang kalkulahin kung gaano karaming oras ang aabutin upang malutas ang isang problema gamit ang mathematical model na ito. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa disenyo na tinutulungan ng computer, kung gayon ang mga tagapagpahiwatig ng oras at memorya ng computer ay kinakalkula

Mga hakbang sa pagmomodelo

Sa kabuuan, kaugalian na makilala ang apat na yugto sa pagmomolde ng matematika.

1. Pagbubuo ng mga batas na nag-uugnay sa mga bahagi ng modelo.
2. Pag-aaral ng mga problema sa matematika.
3. Paghanap ng pagkakataon ng praktikal at teoretikal na mga resulta.
4. Pagsusuri at modernisasyon ng modelo.

Modelong pang-ekonomiya at matematika

Sa seksyong ito, maikling i-highlight natin ang isyu. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay maaaring:

• pagbuo ng isang programa sa produksyon para sa produksyon ng mga produktong karne, na tinitiyak ang pinakamataas na kita ng produksyon;
• pag-maximize ng tubo ng organisasyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng pinakamainam na bilang ng mga mesa at upuan na gagawin sa isang pabrika ng muwebles, at iba pa.

Ang modelong pang-ekonomiya-matematika ay nagpapakita ng abstraction ng ekonomiya, na ipinahayag gamit ang mga termino at palatandaang pangmatematika.

Modelo ng matematika sa computer

Ang mga halimbawa ng isang computer mathematical model ay:

• mga gawaing haydrolika gamit ang mga flowchart, diagram, talahanayan, at iba pa;
• mga problema sa solidong mekanika, at iba pa.

Ang modelo ng computer ay isang imahe ng isang bagay o sistema, na ipinakita bilang:

• mga talahanayan;
• block diagram;
• mga diagram;
• graphics, at iba pa.

Kasabay nito, ang modelong ito ay sumasalamin sa istraktura at mga pagkakaugnay ng system.

Pagbuo ng modelong pang-ekonomiya at matematika

Napag-usapan na natin kung ano ang modelong pang-ekonomiya-matematika. Ang isang halimbawa ng paglutas ng problema ay isasaalang-alang ngayon. Kailangan nating pag-aralan ang programa ng produksyon upang matukoy ang reserba para sa pagtaas ng kita na may pagbabago sa assortment.

Hindi namin ganap na isasaalang-alang ang problema, ngunit bumuo lamang ng isang pang-ekonomiya at matematikal na modelo. Ang pamantayan ng aming gawain ay ang pag-maximize ng kita. Pagkatapos ang function ay may form na: Л=р1*х1+р2*х2… tending to the maximum. Sa modelong ito, ang p ay ang tubo bawat yunit, x ay ang bilang ng mga yunit na ginawa. Dagdag pa, batay sa itinayong modelo, kinakailangan na gumawa ng mga kalkulasyon at buod.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang simpleng modelo ng matematika

Isang gawain. Bumalik ang mangingisda dala ang sumusunod na huli:

• 8 isda - mga naninirahan sa hilagang dagat;
• 20% ng catch - ang mga naninirahan sa katimugang dagat;
• wala ni isang isda ang natagpuan mula sa lokal na ilog.

Ilang isda ang nabili niya sa tindahan?

Kaya, ang isang halimbawa ng pagbuo ng isang modelo ng matematika ng problemang ito ay ang mga sumusunod. Tinutukoy namin ang kabuuang bilang ng mga isda bilang x. Kasunod ng kundisyon, 0.2x ang bilang ng mga isda na naninirahan sa southern latitude. Ngayon pinagsasama namin ang lahat ng magagamit na impormasyon at kumuha ng modelong matematikal ng problema: x=0.2x+8. Nalutas namin ang equation at nakuha ang sagot sa pangunahing tanong: bumili siya ng 10 isda sa tindahan.

Pagmomodelo sa matematika

1. Ano ang mathematical modelling?

Mula noong kalagitnaan ng XX siglo. sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao, nagsimulang malawakang gamitin ang mga pamamaraan sa matematika at kompyuter. Ang mga bagong disiplina tulad ng "mathematical economics", "mathematical chemistry", "mathematical linguistics", atbp., ay lumitaw na nag-aaral ng mga modelo ng matematika ng mga katumbas na bagay at phenomena, gayundin ang mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga modelong ito.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomolde ay isa ring paraan ng pag-unawa sa nakapaligid na mundo, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng isang buong sukat na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan nito o ng teoryang kosmolohikal na iyon. Sa prinsipyo, posible, ngunit halos hindi makatwiran, na mag-eksperimento sa pagkalat ng ilang uri ng sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng nuklear na pagsabog upang pag-aralan ang mga kahihinatnan nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer, na dati nang nakagawa ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

2. Mga pangunahing yugto ng pagmomodelo ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, konstruksiyon, planong pang-ekonomiya, proseso ng produksyon, atbp. Sa kasong ito, bilang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang ugnayan sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay natukoy. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na bahagi ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika na pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model. Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangang ito.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo. Sa yugtong ito, malalaman kung ang mga resulta ng eksperimento ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan mula sa modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo. Sa yugtong ito, maaaring maging mas kumplikado ang modelo upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

3. Pag-uuri ng mga modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa mga functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Kasabay nito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang isang mathematical model ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (differential, algebraic, atbp.) na nagtatatag ng quantitative na relasyon sa pagitan ng mga quantity na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay, na binubuo ng magkahiwalay na mga bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga ugnayang ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object, na isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa espasyo, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Ayon sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta ng hula, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay nagbibigay ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay isang probabilistikong kalikasan.

4. Mga halimbawa ng mathematical models

1) Mga problema tungkol sa paggalaw ng projectile.

Isaalang-alang ang sumusunod na problema sa mekanika.

Ang projectile ay inilunsad mula sa Earth na may paunang bilis v 0 = 30 m/s sa isang anggulo a = 45° sa ibabaw nito; ito ay kinakailangan upang mahanap ang tilapon ng paggalaw nito at ang distansya S sa pagitan ng simula at pagtatapos na mga punto ng tilapon na ito.

Pagkatapos, tulad ng kilala mula sa kurso sa pisika ng paaralan, ang paggalaw ng projectile ay inilarawan ng mga pormula:

kung saan t - oras, g = 10 m / s 2 - libreng pagbagsak ng acceleration. Ang mga formula na ito ay nagbibigay ng mathematical model ng gawain. Ang pagpapahayag ng t sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation at pinapalitan ito sa pangalawa, nakukuha natin ang equation para sa trajectory ng projectile:

Ang curve na ito (parabola) ay nag-intersect sa x-axis sa dalawang punto: x 1 \u003d 0 (ang simula ng trajectory) at (ang lugar kung saan nahulog ang projectile). Ang pagpapalit ng mga ibinigay na halaga v0 at a sa mga nakuhang formula, nakukuha namin

sagot: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

Tandaan na ang ilang mga pagpapalagay ay ginamit sa pagbuo ng modelong ito: halimbawa, ipinapalagay na ang Earth ay patag, at ang hangin at pag-ikot ng Earth ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng projectile.

2) Ang problema ng isang tangke na may pinakamaliit na lugar sa ibabaw.

Kinakailangang hanapin ang taas h 0 at ang radius r 0 ng tangke ng lata na may volume na V = 30 m 3, na may hugis ng saradong pabilog na silindro, kung saan ang ibabaw na lugar nito S ay minimal (sa kasong ito, ang pinakamaliit na halaga ng lata ay mapupunta sa paggawa nito).

Isinulat namin ang mga sumusunod na formula para sa dami at lugar ng ibabaw ng isang silindro ng taas h at radius r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Ang pagpapahayag ng h sa mga tuntunin ng r at V mula sa unang formula at pinapalitan ang nagresultang expression sa pangalawa, nakukuha natin:

Kaya, mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay nabawasan sa pagtukoy ng halaga ng r kung saan ang function na S(r) ay umabot sa pinakamababa nito. Hanapin natin ang mga halagang iyon ng r 0 kung saan ang derivative

napupunta sa zero: Maaari mong suriin na ang pangalawang derivative ng function na S(r) ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag ang argument r ay dumaan sa punto r 0 . Samakatuwid, ang function na S(r) ay may pinakamababa sa puntong r0. Ang katumbas na halaga h 0 = 2r 0 . Ang pagpapalit ng ibinigay na halaga V sa expression para sa r 0 at h 0, nakuha namin ang nais na radius at taas

3) Gawain sa transportasyon.

Mayroong dalawang bodega ng harina at dalawang panaderya sa lungsod. Araw-araw, 50 tonelada ng harina ang iniluluwas mula sa unang bodega, at 70 tonelada mula sa pangalawa hanggang sa mga pabrika, na may 40 tonelada sa una at 80 tonelada sa pangalawa.

Tukuyin sa pamamagitan ng a Ang ij ay ang halaga ng pagdadala ng 1 toneladang harina mula sa i-th warehouse patungo sa j-th plant (i, j = 1.2). Hayaan

a 11 \u003d 1.2 p., a 12 \u003d 1.6 p., a 21 \u003d 0.8 p., a 22 = 1 p.

Paano dapat planuhin ang transportasyon upang ang kanilang gastos ay minimal?

Bigyan natin ang problema ng isang mathematical formulation. Tinutukoy namin sa pamamagitan ng x 1 at x 2 ang dami ng harina na dapat dalhin mula sa unang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, at sa pamamagitan ng x 3 at x 4 - mula sa pangalawang bodega hanggang sa una at pangalawang pabrika, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Ang kabuuang halaga ng lahat ng transportasyon ay tinutukoy ng formula

f = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4.

Mula sa isang mathematical point of view, ang gawain ay maghanap ng apat na numero x 1 , x 2 , x 3 at x 4 na nakakatugon sa lahat ng ibinigay na kondisyon at nagbibigay ng pinakamababa sa function na f. Lutasin natin ang sistema ng mga equation (1) na may paggalang sa xi (i = 1, 2, 3, 4) sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam. Nakukuha namin iyon

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

at ang x 4 ay hindi maaaring matukoy nang natatangi. Dahil x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), sumusunod ito mula sa mga equation (2) na 30J x 4 J 70. Ang pagpapalit ng expression para sa x 1 , x 2 , x 3 sa formula para sa f, nakukuha natin

f \u003d 148 - 0.2x 4.

Madaling makita na ang minimum ng function na ito ay naabot sa maximum na posibleng halaga ng x 4, iyon ay, sa x 4 = 70. Ang mga katumbas na halaga ng iba pang hindi alam ay tinutukoy ng mga formula (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Ang problema ng radioactive decay.

Hayaang ang N(0) ay ang paunang bilang ng mga atomo ng radioactive substance, at ang N(t) ay ang bilang ng mga hindi nabubulok na atomo sa oras na t. Eksperimento na itinatag na ang rate ng pagbabago sa bilang ng mga atom na ito N "(t) ay proporsyonal sa N (t), iyon ay, N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 ay ang radioactivity constant ng isang naibigay na substance. Sa kursong pampaaralan ng mathematical analysis, ipinapakita na ang solusyon sa differential equation na ito ay may anyong N(t) = N(0)e –l t . Ang oras na T, kung saan ang bilang ng mga paunang atomo ay nahati, ay tinatawag na kalahating buhay, at ito ay isang mahalagang katangian ng radyaktibidad ng isang sangkap. Upang matukoy ang T, kinakailangang ilagay sa formula Pagkatapos Halimbawa, para sa radon l = 2.084 10–6, at samakatuwid T = 3.15 araw.

5) Ang problema sa naglalakbay na tindero.

Ang isang naglalakbay na tindero na naninirahan sa lungsod A 1 ay kailangang bumisita sa mga lungsod A 2 , A 3 at A 4 , bawat lungsod nang eksaktong isang beses, at pagkatapos ay bumalik sa A 1 . Nabatid na ang lahat ng mga lungsod ay konektado nang pares sa pamamagitan ng mga kalsada, at ang mga haba ng mga kalsada b ij sa pagitan ng mga lungsod A i at A j (i, j = 1, 2, 3, 4) ay ang mga sumusunod:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang pagkakasunud-sunod ng pagbisita sa mga lungsod, kung saan ang haba ng kaukulang landas ay minimal.

Ilarawan natin ang bawat lungsod bilang isang punto sa eroplano at markahan ito ng kaukulang label na Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ikonekta natin ang mga puntong ito sa mga segment ng linya: ipapakita nila ang mga kalsada sa pagitan ng mga lungsod. Para sa bawat "kalsada", ipinapahiwatig namin ang haba nito sa kilometro (Larawan 2). Ang resulta ay isang graph - isang mathematical object na binubuo ng isang tiyak na hanay ng mga punto sa eroplano (tinatawag na vertices) at isang tiyak na hanay ng mga linya na nagkokonekta sa mga puntong ito (tinatawag na mga gilid). Bukod dito, ang graph na ito ay may label, dahil ang ilang mga label ay itinalaga sa mga vertice at mga gilid nito - mga numero (mga gilid) o mga simbolo (mga vertice). Ang cycle sa isang graph ay isang sequence ng vertices V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 na ang vertices V 1 , ..., V k ay magkaiba, at anumang pares ng vertices V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) at ang pares na V 1 , V k ay pinagdugtong ng isang gilid. Kaya, ang problemang isinasaalang-alang ay ang paghahanap ng ganoong cycle sa graph na dumadaan sa lahat ng apat na vertices kung saan ang kabuuan ng lahat ng edge weights ay minimal. Hanapin natin ang lahat ng iba't ibang cycle na dumadaan sa apat na vertices at simula sa A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Ngayon hanapin natin ang mga haba ng mga cycle na ito (sa km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Kaya, ang ruta ng pinakamaliit na haba ay ang una.

Tandaan na kung mayroong n vertices sa isang graph at lahat ng vertices ay konektado sa mga pares sa pamamagitan ng mga gilid (ang naturang graph ay tinatawag na kumpleto), kung gayon ang bilang ng mga cycle na dumadaan sa lahat ng vertices ay pantay. Samakatuwid, sa aming kaso mayroong eksaktong tatlong cycle .

6) Ang problema sa paghahanap ng koneksyon sa pagitan ng istraktura at mga katangian ng mga sangkap.

Isaalang-alang ang ilang mga kemikal na compound na tinatawag na normal na alkanes. Binubuo ang mga ito ng n carbon atoms at n + 2 hydrogen atoms (n = 1, 2 ...), na magkakaugnay tulad ng ipinapakita sa Figure 3 para sa n = 3. Hayaang malaman ang mga pang-eksperimentong halaga ng mga boiling point ng mga compound na ito:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Kinakailangang maghanap ng tinatayang kaugnayan sa pagitan ng punto ng kumukulo at ang bilang n para sa mga compound na ito. Ipinapalagay namin na ang pag-asa na ito ay may anyo

y » a n+b

saan a, b - mga constant na tutukuyin. Para sa paghahanap a at b pinapalitan natin ang formula na ito nang sunud-sunod n = 3, 4, 5, 6 at ang mga katumbas na halaga ng mga kumukulo. Meron kami:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Upang matukoy ang pinakamahusay a at b mayroong maraming iba't ibang paraan. Gamitin natin ang pinakasimple sa mga ito. Ipinapahayag namin ang b sa mga tuntunin ng a mula sa mga equation na ito:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Kunin natin bilang ninanais na b ang arithmetic mean ng mga halagang ito, ibig sabihin, inilalagay natin ang b » 16 - 4.5 a. Ipalit natin ang halagang ito b sa orihinal na sistema ng mga equation at, pagkalkula a, nakukuha namin para sa a ang mga sumusunod na halaga: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a ang average na halaga ng mga numerong ito, iyon ay, itinakda namin a» 34. Kaya, ang nais na equation ay may anyo

y » 34n – 139.

Suriin natin ang katumpakan ng modelo sa unang apat na compound, kung saan kinakalkula natin ang mga kumukulo gamit ang nakuha na formula:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Kaya, ang error sa pagkalkula ng property na ito para sa mga compound na ito ay hindi lalampas sa 5°. Ginagamit namin ang resultang equation upang kalkulahin ang boiling point ng isang compound na may n = 7, na hindi kasama sa paunang set, kung saan pinapalitan namin ang n = 7 sa equation na ito: y р (7) = 99°. Ang resulta ay naging tumpak: alam na ang pang-eksperimentong halaga ng punto ng kumukulo y e (7) = 98°.

7) Ang problema sa pagtukoy ng pagiging maaasahan ng electrical circuit.

Dito ay isinasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng isang probabilistikong modelo. Una, magbigay tayo ng ilang impormasyon mula sa teorya ng probabilidad - isang matematikal na disiplina na nag-aaral sa mga pattern ng mga random na phenomena na naobserbahan sa paulit-ulit na pag-uulit ng isang eksperimento. Tawagin natin ang isang random na kaganapan A bilang isang posibleng resulta ng ilang karanasan. Ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat kung ang isa sa mga ito ay kinakailangang mangyari bilang resulta ng eksperimento. Ang mga kaganapan ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay sa parehong karanasan. Hayaang mangyari ang kaganapan A nang m beses sa panahon ng pag-uulit ng n-fold ng eksperimento. Ang dalas ng kaganapan A ay ang bilang na W = . Malinaw, ang halaga ng W ay hindi maaaring mahulaan nang eksakto hanggang sa isang serye ng n eksperimento ay natupad. Gayunpaman, ang likas na katangian ng mga random na kaganapan ay tulad na sa pagsasanay ang sumusunod na epekto ay minsan naobserbahan: sa pagtaas ng bilang ng mga eksperimento, ang halaga ay halos hindi na maging random at nagpapatatag sa paligid ng ilang hindi random na numerong P(A), na tinatawag na probabilidad ng kaganapan A. Para sa isang imposibleng kaganapan (na hindi kailanman nangyayari sa eksperimento) P(A)=0, at para sa isang partikular na kaganapan (na palaging nangyayari sa eksperimento) P(A)=1. Kung ang mga kaganapan A 1 , ..., A k ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi magkatugmang mga kaganapan, kung gayon ang P(A 1)+...+P(A k)=1.

Hayaan, halimbawa, ang karanasan ay binubuo sa paghagis ng dice at pagmamasid sa bilang ng mga nalaglag na puntos X. Pagkatapos ay maaari nating ipakilala ang mga sumusunod na random na kaganapan A i =(X = i), i = 1, ..., 6. Nabubuo ang mga ito isang kumpletong pangkat ng hindi magkatugma na pantay na posibleng mga kaganapan, samakatuwid P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan A + B, na binubuo sa katotohanan na kahit isa sa mga ito ay nangyari sa eksperimento. Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay ang kaganapan AB, na binubuo sa sabay-sabay na paglitaw ng mga kaganapang ito. Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang mga formula ay totoo

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Isaalang-alang ngayon ang mga sumusunod gawain. Ipagpalagay na ang tatlong elemento ay konektado sa serye sa isang de-koryenteng circuit, na gumagana nang nakapag-iisa sa bawat isa. Ang mga probabilidad ng pagkabigo ng 1st, 2nd at 3rd elements ay ayon sa pagkakabanggit P 1 = 0.1, P 2 = 0.15, P 3 = 0.2. Isasaalang-alang namin ang circuit na maaasahan kung ang posibilidad na walang kasalukuyang sa circuit ay hindi hihigit sa 0.4. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung ang ibinigay na chain ay maaasahan.

Dahil ang mga elemento ay konektado sa serye, walang kasalukuyang sa circuit (kaganapan A) kung hindi bababa sa isa sa mga elemento ay nabigo. Hayaan ang A i ang kaganapan na gumagana ang i-th na elemento (i = 1, 2, 3). Pagkatapos P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8. Malinaw, ang A 1 A 2 A 3 ay ang kaganapan na ang lahat ng tatlong elemento ay gumagana nang sabay-sabay, at

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0.612.

Pagkatapos P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, kaya P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Sa konklusyon, tandaan namin na ang mga halimbawa sa itaas ng mga modelo ng matematika (kabilang kung saan mayroong mga functional at structural, deterministic at probabilistic na mga) ay naglalarawan at, malinaw naman, ay hindi nauubos ang buong iba't ibang mga modelo ng matematika na lumitaw sa natural at human sciences.

MATHEMATICAL MODEL - representasyon ng isang phenomenon o prosesong pinag-aralan sa kongkretong kaalamang siyentipiko sa wika ng mga konseptong matematika. Kasabay nito, ang isang bilang ng mga katangian ng hindi pangkaraniwang bagay sa ilalim ng pag-aaral ay dapat na makuha sa landas ng pag-aaral ng aktwal na mga katangian ng matematika ng modelo. Konstruksyon ng M.m. kadalasang idinidikta ng pangangailangan na magkaroon ng quantitative analysis ng mga pinag-aralan na phenomena at mga proseso, kung wala ito, sa turn, imposibleng gumawa ng mga pang-eksperimentong mapapatunayang hula tungkol sa kanilang kurso.

Ang proseso ng pagmomolde ng matematika, bilang panuntunan, ay dumadaan sa mga sumusunod na yugto. Sa unang yugto, ang mga link sa pagitan ng mga pangunahing parameter ng hinaharap na M.m. Una sa lahat, pinag-uusapan natin ang isang pagsusuri ng husay ng mga phenomena na pinag-aaralan at ang pagbabalangkas ng mga pattern na nag-uugnay sa mga pangunahing bagay ng pananaliksik. Sa batayan na ito, ang pagkakakilanlan ng mga bagay na nagbibigay-daan sa isang quantitative na paglalarawan ay isinasagawa. Ang yugto ay nagtatapos sa pagbuo ng isang hypothetical na modelo, sa madaling salita, isang talaan sa wika ng mga konsepto ng matematika ng mga ideya ng husay tungkol sa mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing bagay ng modelo, na maaaring mailalarawan sa dami.

Sa ikalawang yugto, ang pag-aaral ng aktwal na mga problema sa matematika, kung saan nangunguna ang itinayong hypothetical na modelo, ay nagaganap. Ang pangunahing bagay sa yugtong ito ay upang makakuha ng empirically verifiable theoretical na mga kahihinatnan (solusyon ng direktang problema) bilang isang resulta ng mathematical analysis ng modelo. Kasabay nito, ang mga kaso ay hindi karaniwan kapag, para sa pagtatayo at pag-aaral ng M.m. sa iba't ibang lugar ng kongkretong kaalamang pang-agham, ang parehong mathematical apparatus ay ginagamit (halimbawa, mga differential equation) at mga problema sa matematika ng parehong uri, bagama't napaka non-trivial sa bawat partikular na kaso, lumitaw. Bilang karagdagan, sa yugtong ito, ang paggamit ng high-speed computing technology (computer) ay nagiging napakahalaga, na ginagawang posible na makakuha ng tinatayang solusyon ng mga problema, kadalasang imposible sa balangkas ng purong matematika, na may dati nang hindi magagamit (nang walang ang paggamit ng isang computer) antas ng katumpakan.

Ang ikatlong yugto ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga aktibidad upang matukoy ang antas ng kasapatan ng itinayong hypothetical M.m. ang mga phenomena at proseso para sa pag-aaral kung saan ito nilayon. Lalo na, sa kaganapan na ang lahat ng mga parameter ng modelo ay tinukoy, sinusubukan ng mga mananaliksik na alamin kung paano, sa loob ng katumpakan ng mga obserbasyon, ang kanilang mga resulta ay naaayon sa mga teoretikal na kahihinatnan ng modelo. Ang mga paglihis na lampas sa katumpakan ng mga obserbasyon ay nagpapahiwatig ng kakulangan ng modelo. Gayunpaman, madalas na may mga kaso kung kailan, kapag nagtatayo ng isang modelo, ang isang bilang ng mga parameter nito ay nananatiling hindi nagbabago.

walang katiyakan. Ang mga problema kung saan ang mga parametric na katangian ng modelo ay itinatag sa paraang ang mga teoretikal na kahihinatnan ay maihahambing sa loob ng katumpakan ng mga obserbasyon sa mga resulta ng mga empirikal na pagsubok ay tinatawag na kabaligtaran na mga problema.

Sa ika-apat na yugto, isinasaalang-alang ang pagkakakilanlan ng antas ng kasapatan ng itinayong hypothetical na modelo at ang paglitaw ng mga bagong pang-eksperimentong data sa mga phenomena na pinag-aaralan, ang kasunod na pagsusuri at pagbabago ng modelo ay nagaganap. Dito, ang desisyon na kinuha ay nag-iiba mula sa isang walang kundisyong pagtanggi sa mga inilapat na kasangkapang pangmatematika hanggang sa pag-aampon ng itinayong modelo bilang pundasyon para sa pagbuo ng isang panimula na bagong siyentipikong teorya.

Ang unang M.m. lumitaw sa sinaunang agham. Kaya, upang i-modelo ang solar system, binigyan ng Greek mathematician at astronomer na si Eudoxus ang bawat planeta ng apat na spheres, ang kumbinasyon ng paggalaw nito ay lumikha ng isang hippopede - isang mathematical curve na katulad ng naobserbahang paggalaw ng planeta. Dahil, gayunpaman, hindi maipaliwanag ng modelong ito ang lahat ng naobserbahang anomalya sa paggalaw ng mga planeta, kalaunan ay pinalitan ito ng epicyclic na modelo ng Apollonius mula sa Perge. Ginamit ni Hipparchus ang pinakahuling modelo sa kanyang pag-aaral, at pagkatapos, isinailalim ito sa ilang pagbabago, si Ptolemy. Ang modelong ito, tulad ng mga nauna nito, ay batay sa paniniwala na ang mga planeta ay gumagawa ng pare-parehong pabilog na mga galaw, na ang pagsasanib nito ay nagpapaliwanag ng mga maliwanag na iregularidad. Kasabay nito, dapat tandaan na ang modelo ng Copernican ay panimula bago lamang sa isang husay na kahulugan (ngunit hindi bilang M.M.). At tanging si Kepler, batay sa mga obserbasyon ni Tycho Brahe, ang nagtayo ng bagong M.m. Ang solar system, na nagpapatunay na ang mga planeta ay hindi gumagalaw sa pabilog, ngunit sa mga elliptical orbit.

Sa kasalukuyan, ang pinaka-sapat ay ang mga MM na itinayo upang ilarawan ang mekanikal at pisikal na mga phenomena. Sa kasapatan ng M.m. sa labas ng pisika ang isa, na may ilang mga pagbubukod, ay maaaring magsalita nang may sapat na pag-iingat. Gayunpaman, ang pag-aayos ng hypotheticality, at madalas na simpleng kakulangan ng M.m. sa iba't ibang larangan ng kaalaman, hindi dapat maliitin ang kanilang papel sa pagpapaunlad ng agham. Mayroong madalas na mga kaso kung saan kahit na ang mga modelo na malayo sa sapat sa isang malaking lawak ay nakaayos at nagpasigla ng karagdagang pananaliksik, kasama ang mga maling konklusyon, ay naglalaman ng mga butil ng katotohanan na ganap na nagbigay-katwiran sa mga pagsisikap na ginugol sa pagbuo ng mga modelong ito.

Panitikan:

Pagmomodelo sa matematika. M., 1979;

Ruzavin G.I. Mathematization ng siyentipikong kaalaman. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Differential equation sa ekolohiya: historikal at metodolohikal na pagmuni-muni // Mga problema sa kasaysayan ng natural na agham at teknolohiya. 1997. Blg. 3.

Diksyunaryo ng mga terminong pilosopikal. Siyentipikong edisyon ni Propesor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

Apat na ikapitong baitang.

Mayroong 15 babae at 13 lalaki sa 7A,

sa 7B - 12 babae at 12 lalaki,

sa 7B - 9 na babae at 18 lalaki,

sa 7G - 20 babae at 10 lalaki.

Kung kailangan nating sagutin ang tanong kung gaano karaming mga mag-aaral ang nasa bawat ikapitong baitang, kailangan nating gawin ang parehong operasyon ng pagdaragdag ng 4 na beses:

sa 7A 15 + 13 = 28 mag-aaral;
sa 7B 12 +12 = 24 na mag-aaral;
sa 7B 9 + 18 = 27 mag-aaral;
sa 7D 20 + 10 = 30 mag-aaral.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Nilalaman ng aralin buod ng aralin suporta frame lesson presentation accelerative methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusuri sa sarili, pagsasanay, kaso, quests homework discussion questions retorikal na mga tanong mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga larawan, mga larawang graphics, mga talahanayan, mga scheme ng katatawanan, mga anekdota, mga biro, mga parabula sa komiks, mga kasabihan, mga crossword puzzle, mga quote Mga add-on mga abstract articles chips for inquisitive cheat sheets textbooks basic and additional glossary of terms other Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa aklat-aralin na mga elemento ng pagbabago sa aralin na pinapalitan ng mga bago ang hindi na ginagamit na kaalaman Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon na mga rekomendasyong pamamaraan ng programa ng talakayan Pinagsanib na Aralin

Lektura 1

MGA BATAYANG METODOLOHIKAL NG PAGMOMODEL

Ang kasalukuyang estado ng problema ng pagmomodelo ng system

Mga Konsepto ng Pagmomodelo at Simulation

Pagmomodelo ay maaaring ituring bilang isang kapalit ng inimbestigahang bagay (orihinal) sa pamamagitan ng kondisyonal na imahe, paglalarawan o ibang bagay, na tinatawag na modelo at pagbibigay ng pag-uugali na malapit sa orihinal sa loob ng ilang mga pagpapalagay at katanggap-tanggap na mga pagkakamali. Karaniwang ginagawa ang pagmomodelo na may layuning malaman ang mga katangian ng orihinal sa pamamagitan ng pagsusuri sa modelo nito, at hindi ang bagay mismo. Siyempre, ang pagmomolde ay makatwiran sa kaso kung ito ay mas simple kaysa sa paglikha ng orihinal mismo, o kapag ang huli, para sa ilang kadahilanan, ay mas mahusay na hindi lumikha ng lahat.

Sa ilalim modelo ang isang pisikal o abstract na bagay ay nauunawaan, ang mga katangian nito ay sa isang tiyak na kahulugan na katulad ng mga katangian ng bagay na pinag-aaralan. Sa kasong ito, ang mga kinakailangan para sa modelo ay tinutukoy ng problemang niresolba at ang magagamit na paraan. Mayroong ilang mga pangkalahatang kinakailangan para sa mga modelo:

2) pagkakumpleto - pagbibigay sa tatanggap ng lahat ng kinakailangang impormasyon

tungkol sa bagay;

3) flexibility - ang kakayahang magparami ng iba't ibang sitwasyon sa lahat ng bagay

saklaw ng pagbabago ng mga kondisyon at parameter;

4) ang pagiging kumplikado ng pag-unlad ay dapat na katanggap-tanggap para sa umiiral na

oras at software.

Pagmomodelo ay ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng isang bagay at pag-aaral ng mga katangian nito sa pamamagitan ng pagsusuri sa modelo.

Kaya, ang pagmomodelo ay nagsasangkot ng 2 pangunahing yugto:

1) pagbuo ng modelo;

2) pag-aaral ng modelo at pagguhit ng mga konklusyon.

Kasabay nito, sa bawat yugto, ang iba't ibang mga gawain ay nalutas at

iba't ibang paraan at paraan.

Sa pagsasagawa, iba't ibang paraan ng pagmomodelo ang ginagamit. Depende sa paraan ng pagpapatupad, ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang malalaking klase: pisikal at matematika.

Pagmomodelo sa matematika Nakaugalian na isaalang-alang ito bilang isang paraan ng pag-aaral ng mga proseso o phenomena sa tulong ng kanilang mga modelo ng matematika.

Sa ilalim pisikal na pagmomolde ay nauunawaan bilang ang pag-aaral ng mga bagay at phenomena sa mga pisikal na modelo, kapag ang prosesong pinag-aaralan ay ginawang muli sa pangangalaga ng pisikal na katangian nito o ibang pisikal na kababalaghan na katulad ng pinag-aaralan ang ginamit. Kung saan mga pisikal na modelo Bilang isang tuntunin, ipinapalagay nila ang tunay na embodiment ng mga pisikal na katangian ng orihinal na mahalaga sa isang partikular na sitwasyon. kapag nagpaplano ng isang gusali, ang mga arkitekto ay gumagawa ng isang layout na sumasalamin sa spatial na pag-aayos ng mga elemento nito. Sa bagay na ito, tinatawag din ang pisikal na pagmomolde prototyping.

Pagmomodelo ng HIL ay isang pag-aaral ng mga kinokontrol na sistema sa mga simulation complex na may kasamang tunay na kagamitan sa modelo. Kasama ng mga tunay na kagamitan, kasama sa saradong modelo ang mga simulator ng epekto at panghihimasok, mga modelo ng matematika ng panlabas na kapaligiran at mga proseso kung saan hindi alam ang isang sapat na tumpak na paglalarawan sa matematika. Ang pagsasama ng mga tunay na kagamitan o mga tunay na sistema sa circuit para sa pagmomodelo ng mga kumplikadong proseso ay ginagawang posible na bawasan ang isang priori na kawalan ng katiyakan at imbestigahan ang mga proseso kung saan walang eksaktong matematikal na paglalarawan. Sa tulong ng semi-natural na simulation, ang mga pag-aaral ay isinagawa na isinasaalang-alang ang maliit na mga constant ng oras at hindi linearity na likas sa totoong kagamitan. Sa pag-aaral ng mga modelo na may kasamang tunay na kagamitan, ginamit ang konsepto dynamic na simulation, sa pag-aaral ng mga kumplikadong sistema at phenomena - ebolusyonaryo, panggagaya at cybernetic simulation.

Malinaw, ang tunay na benepisyo ng pagmomodelo ay makukuha lamang kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

1) ang modelo ay nagbibigay ng tamang (sapat) na pagpapakita ng mga katangian

ang orihinal, makabuluhan mula sa punto ng view ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral;

2) ginagawang posible ng modelo na alisin ang mga problemang nakalista sa itaas, na likas

pagsasagawa ng pananaliksik sa mga tunay na bagay.

2. Pangunahing konsepto ng mathematical modelling

Ang solusyon ng mga praktikal na problema sa pamamagitan ng mga pamamaraang matematika ay patuloy na isinasagawa sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng problema (pagbuo ng isang modelo ng matematika), pagpili ng isang pamamaraan para sa pag-aaral ng nakuhang modelo ng matematika, at pagsusuri sa nakuhang resulta ng matematika. Ang pormulasyon ng matematika ng problema ay karaniwang ipinakita sa anyo ng mga geometric na imahe, pag-andar, sistema ng mga equation, atbp. Ang paglalarawan ng isang bagay (phenomenon) ay maaaring katawanin gamit ang tuloy-tuloy o discrete, deterministic o stochastic at iba pang mga mathematical form.

Teorya ng pagmomolde ng matematika tinitiyak ang pagkakakilanlan ng mga regularidad sa kurso ng iba't ibang mga phenomena ng nakapaligid na mundo o ang pagpapatakbo ng mga system at device sa pamamagitan ng kanilang matematikal na paglalarawan at pagmomodelo nang walang mga pagsubok sa larangan. Sa kasong ito, ginagamit ang mga probisyon at batas ng matematika na naglalarawan sa mga simulate na phenomena, system o device sa isang tiyak na antas ng kanilang idealization.

Modelo ng Matematika (MM) ay isang pormal na paglalarawan ng isang sistema (o operasyon) sa ilang abstract na wika, halimbawa, sa anyo ng isang hanay ng mga relasyon sa matematika o isang algorithm scheme, i.e. e. tulad ng isang matematikal na paglalarawan na nagbibigay ng imitasyon ng pagpapatakbo ng mga system o device sa isang antas na sapat na malapit sa kanilang tunay na pag-uugali na nakuha sa buong sukat na pagsubok ng mga system o device.

Ang anumang MM ay naglalarawan ng isang tunay na bagay, kababalaghan o proseso na may ilang antas ng pagtatantya sa katotohanan. Ang uri ng MM ay nakasalalay kapwa sa likas na katangian ng tunay na bagay at sa mga layunin ng pag-aaral.

Pagmomodelo sa matematika panlipunan, pang-ekonomiya, biyolohikal at pisikal na phenomena, mga bagay, sistema at iba't ibang kagamitan ay isa sa pinakamahalagang paraan ng pag-unawa sa kalikasan at pagdidisenyo ng malawak na iba't ibang mga sistema at kagamitan. May mga kilalang halimbawa ng mabisang paggamit ng pagmomodelo sa paglikha ng mga teknolohiyang nuklear, aviation at aerospace system, sa pagtataya ng atmospheric at oceanic phenomena, panahon, atbp.

Gayunpaman, ang mga ganitong seryosong bahagi ng pagmomodelo ay kadalasang nangangailangan ng mga supercomputer at taon ng trabaho ng malalaking pangkat ng mga siyentipiko upang maghanda ng data para sa pagmomodelo at pag-debug nito. Gayunpaman, sa kasong ito, ang pagmomodelo ng matematika ng mga kumplikadong sistema at aparato ay hindi lamang nakakatipid ng pera sa pananaliksik at pagsubok, ngunit maaari ring alisin ang mga sakuna sa kapaligiran - halimbawa, pinapayagan ka nitong talikuran ang pagsubok ng mga sandatang nuklear at thermonuclear sa pabor sa pagmomolde ng matematika nito. o pagsubok sa mga sistema ng aerospace bago ang kanilang mga tunay na paglipad. Kasabay nito, ang pagmomodelo ng matematika sa antas ng paglutas ng mga mas simpleng problema, halimbawa, mula sa larangan ng mekanika, electrical engineering, electronics, radio engineering at marami pang ibang larangan ng agham at teknolohiya, ay may magagamit na ngayon upang gumanap sa mga modernong PC. At kapag gumagamit ng mga pangkalahatang modelo, nagiging posible na magmodelo ng medyo kumplikadong mga sistema, halimbawa, mga sistema ng telekomunikasyon at network, radar o mga sistema ng nabigasyon sa radyo.

Ang layunin ng pagmomodelo ng matematika ay ang pagsusuri ng mga tunay na proseso (sa kalikasan o teknolohiya) sa pamamagitan ng mga pamamaraang matematika. Kaugnay nito, nangangailangan ito ng pormalisasyon ng proseso ng MM na pag-aaralan. Ang modelo ay maaaring isang mathematical expression na naglalaman ng mga variable na ang pag-uugali ay katulad ng pag-uugali ng isang tunay na sistema. Ang modelo ay maaaring magsama ng mga elemento ng randomness na isinasaalang-alang ang mga probabilidad ng posibleng mga aksyon ng dalawa o higit pang "manlalaro", laro; o maaari itong kumakatawan sa mga tunay na variable ng magkakaugnay na bahagi ng operating system.

Ang pagmomodelo ng matematika para sa pag-aaral ng mga katangian ng mga sistema ay maaaring nahahati sa analytical, simulation at pinagsama. Sa turn, ang MM ay nahahati sa simulation at analytical.

Analytical Modeling

Para sa analytical modelling Ito ay katangian na ang mga proseso ng paggana ng system ay nakasulat sa anyo ng ilang mga functional na relasyon (algebraic, differential, integral equation). Ang analytical model ay maaaring siyasatin sa pamamagitan ng mga sumusunod na pamamaraan:

1) analytical, kapag nagsusumikap silang makakuha sa pangkalahatang mga termino ng tahasang dependencies para sa mga katangian ng mga system;

2) numerical, kapag hindi posible na makahanap ng solusyon sa mga equation sa pangkalahatang anyo at nalutas ang mga ito para sa tiyak na paunang data;

3) husay, kapag, sa kawalan ng isang solusyon, ang ilan sa mga katangian nito ay matatagpuan.

Ang mga analytical na modelo ay maaaring makuha lamang para sa medyo simpleng mga sistema. Para sa mga kumplikadong sistema, madalas na lumitaw ang malalaking problema sa matematika. Upang mailapat ang analytical na pamamaraan, ang isa ay pupunta sa isang makabuluhang pagpapasimple ng orihinal na modelo. Gayunpaman, ang isang pag-aaral sa isang pinasimple na modelo ay nakakatulong upang makakuha lamang ng mga indikatibong resulta. Ang mga analytical na modelo ay wastong nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng input at output na mga variable at parameter. Ngunit ang kanilang istraktura ay hindi sumasalamin sa panloob na istraktura ng bagay.

Sa analytical modelling, ang mga resulta nito ay ipinakita sa anyo ng analytical expression. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagkonekta RC- circuit sa isang palaging pinagmumulan ng boltahe E(R, C at E ay ang mga bahagi ng modelong ito), maaari tayong gumawa ng isang analytical expression para sa pag-asa sa oras ng boltahe u(t) sa kapasitor C:

Ito ay isang linear differential equation (DE) at isang analytical na modelo ng simpleng linear circuit na ito. Ang analytical na solusyon nito, sa ilalim ng paunang kondisyon u(0) = 0 , ibig sabihin ay isang discharged capacitor C sa simula ng simulation, nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang kinakailangang pag-asa - sa anyo ng isang formula:

u(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Gayunpaman, kahit na sa pinakasimpleng halimbawang ito, ang ilang mga pagsisikap ay kinakailangan upang malutas ang differential equation (1) o mag-apply mga sistema ng matematika sa kompyuter(SCM) na may mga simbolikong kalkulasyon - mga computer algebra system. Para sa medyo maliit na kaso, ang solusyon sa problema ng pagmomodelo ng isang linear RC-ang circuit ay nagbibigay ng analytical expression (2) ng isang medyo pangkalahatang anyo - ito ay angkop para sa paglalarawan ng pagpapatakbo ng circuit para sa anumang mga rating ng bahagi R, C at E, at inilalarawan ang exponential charge ng capacitor C sa pamamagitan ng isang risistor R mula sa isang palaging pinagmumulan ng boltahe E.

Walang alinlangan, ang paghahanap ng mga analytical na solusyon sa analytical modeling ay lumalabas na lubhang mahalaga para sa pagbubunyag ng mga pangkalahatang teoretikal na batas ng mga simpleng linear circuit, system at device. Gayunpaman, ang pagiging kumplikado nito ay tumataas nang husto habang ang mga impluwensya sa modelo ay nagiging mas kumplikado at ang pagkakasunud-sunod at bilang ng mga mga equation ng estado na naglalarawan sa namodelong pagtaas ng bagay. Maaari kang makakuha ng higit pa o hindi gaanong nakikitang mga resulta kapag nagmomodelo ng mga bagay sa pangalawa o pangatlong pagkakasunud-sunod, ngunit kahit na may mas mataas na pagkakasunud-sunod, ang mga analytical na expression ay nagiging sobrang masalimuot, kumplikado at mahirap intindihin. Halimbawa, kahit na ang isang simpleng electronic amplifier ay kadalasang naglalaman ng dose-dosenang mga bahagi. Gayunpaman, maraming mga modernong SCM, tulad ng mga sistema ng simbolikong matematika Maple, Mathematica o Miyerkules MATLAB ay may kakayahang i-automate sa isang malaking lawak ang solusyon ng mga kumplikadong problema ng analytical modeling.

Ang isang uri ng pagmomolde ay numerical simulation, na binubuo sa pagkuha ng kinakailangang dami ng data tungkol sa pag-uugali ng mga system o device sa pamamagitan ng anumang angkop na paraan ng numero, gaya ng mga pamamaraan ng Euler o Runge-Kutta. Sa pagsasagawa, ang pagmomodelo ng mga nonlinear system at device gamit ang mga numerical na pamamaraan ay mas mahusay kaysa sa analytical modeling ng mga indibidwal na pribadong linear circuit, system o device. Halimbawa, upang malutas ang mga DE (1) o DE system sa mas kumplikadong mga kaso, ang isang solusyon sa isang analytical form ay hindi nakuha, ngunit ang numerical simulation data ay maaaring magbigay ng sapat na kumpletong data sa pag-uugali ng mga simulate system at device, pati na rin ang plot mga graph na naglalarawan sa gawi na ito ng mga dependency.

Simulation

Sa panggagaya Sa pagmomodelo, ang algorithm na nagpapatupad ng modelo ay muling gumagawa ng proseso ng system na gumagana sa oras. Ang mga elementarya na phenomena na bumubuo sa proseso ay ginagaya, na may pagpapanatili ng kanilang lohikal na istraktura at ang pagkakasunud-sunod ng daloy sa oras.

Ang pangunahing bentahe ng mga modelo ng simulation kumpara sa mga analytical ay ang kakayahang malutas ang mas kumplikadong mga problema.

Pinapadali ng mga modelo ng simulation na isaalang-alang ang pagkakaroon ng mga discrete o tuloy-tuloy na elemento, mga hindi linear na katangian, mga random na epekto, atbp. Samakatuwid, ang pamamaraang ito ay malawakang ginagamit sa yugto ng disenyo ng mga kumplikadong sistema. Ang pangunahing tool para sa pagpapatupad ng simulation modeling ay isang computer na nagbibigay-daan sa digital modeling ng mga system at signal.

Kaugnay nito, tinukoy namin ang pariralang " pagmomodelo ng kompyuter”, na lalong ginagamit sa panitikan. Ipagpalagay natin iyon pagmomodelo ng kompyuter- ito ay mathematical modeling gamit ang computer technology. Alinsunod dito, ang teknolohiya ng computer simulation ay nagsasangkot ng mga sumusunod na aksyon:

1) kahulugan ng layunin ng pagmomodelo;

2) pagbuo ng isang konseptwal na modelo;

3) pormalisasyon ng modelo;

4) pagpapatupad ng software ng modelo;

5) pagpaplano ng mga eksperimento sa modelo;

6) pagpapatupad ng plano ng eksperimento;

7) pagsusuri at interpretasyon ng mga resulta ng simulation.

Sa pagmomolde ng simulation ang ginamit na MM ay nagpaparami ng algorithm ("lohika") ng paggana ng system na pinag-aaralan sa oras para sa iba't ibang mga kumbinasyon ng mga halaga ng mga parameter ng system at kapaligiran.

Ang isang halimbawa ng pinakasimpleng analytical na modelo ay ang equation ng pare-parehong rectilinear motion. Kapag pinag-aaralan ang ganitong proseso sa tulong ng isang modelo ng simulation, dapat na ipatupad ang pagmamasid sa pagbabago sa landas na nilakbay sa paglipas ng panahon. Malinaw, sa ilang mga kaso, ang analytical modeling ay mas gusto, sa iba - simulation (o kumbinasyon ng pareho) . Upang makagawa ng isang mahusay na pagpili, dalawang tanong ang dapat masagot.

Ano ang layunin ng pagmomodelo?

Sa anong klase maaaring italaga ang simulate phenomenon?

Ang mga sagot sa parehong mga tanong na ito ay maaaring makuha sa panahon ng pagpapatupad ng unang dalawang yugto ng pagmomodelo.

Ang mga modelo ng simulation ay hindi lamang sa mga katangian, kundi pati na rin sa istraktura ay tumutugma sa bagay na ginagaya. Sa kasong ito, mayroong isang hindi malabo at tahasang pagsusulatan sa pagitan ng mga prosesong nakuha sa modelo at ng mga prosesong nagaganap sa bagay. Ang kawalan ng simulation modeling ay nangangailangan ng mahabang oras upang malutas ang problema upang makakuha ng mahusay na katumpakan.

Ang mga resulta ng simulation modelling ng gawain ng isang stochastic system ay mga pagsasakatuparan ng mga random na variable o proseso. Samakatuwid, upang mahanap ang mga katangian ng system, maraming pag-uulit at kasunod na pagproseso ng data ay kinakailangan. Kadalasan, sa kasong ito, ginagamit ang isang uri ng simulation - istatistika

pagmomodelo(o ang pamamaraan ng Monte Carlo), i.e. pagpaparami sa mga modelo ng mga random na kadahilanan, kaganapan, dami, proseso, mga patlang.

Ayon sa mga resulta ng statistical modeling, ang mga pagtatantya ng probabilistic na pamantayan ng kalidad, pangkalahatan at partikular, na nagpapakilala sa paggana at kahusayan ng kinokontrol na sistema ay tinutukoy. Ang pagmomodelo ng istatistika ay malawakang ginagamit upang malutas ang mga problemang pang-agham at inilapat sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang mga pamamaraan ng pagmomodelo ng istatistika ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga kumplikadong dynamic na sistema, pagsusuri ng kanilang paggana at kahusayan.

Ang huling yugto ng statistical modeling ay batay sa matematikal na pagproseso ng mga nakuhang resulta. Dito, ginagamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika (parametric at non-parametric estimation, hypothesis testing). Ang isang halimbawa ng isang parametric na pagtatasa ay ang sample mean ng isang sukatan ng pagganap. Kabilang sa mga nonparametric na pamamaraan, ang pinakamalawak na ginagamit paraan ng histogram.

Ang isinasaalang-alang na scheme ay batay sa maramihang mga istatistikal na pagsusulit ng system at mga pamamaraan ng istatistika ng mga independiyenteng random na variable. Ang iskema na ito ay malayo sa palaging natural sa pagsasanay at pinakamainam sa mga tuntunin ng mga gastos. Ang pagbawas sa oras ng pagsubok ng system ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paggamit ng mas tumpak na mga pamamaraan ng pagtatantya. Tulad ng nalalaman mula sa mga istatistika ng matematika, ang mga epektibong pagtatantya ay may pinakamataas na katumpakan para sa isang ibinigay na laki ng sample. Ang pinakamainam na pag-filter at ang maximum na paraan ng posibilidad ay nagbibigay ng isang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkuha ng mga naturang pagtatantya.Sa mga problema sa pagmomodelo ng istatistika, ang pagproseso ng mga pagsasakatuparan ng mga random na proseso ay kinakailangan hindi lamang para sa pagsusuri ng mga proseso ng output.

Napakahalaga din na kontrolin ang mga katangian ng input random effects. Ang kontrol ay binubuo sa pagsuri kung ang mga pamamahagi ng mga nabuong proseso ay tumutugma sa mga ibinigay na pamamahagi. Ang gawaing ito ay kadalasang binabalangkas bilang gawain sa pagsubok ng hypothesis.

Ang pangkalahatang trend sa computer-assisted simulation ng mga kumplikadong kinokontrol na system ay ang pagnanais na bawasan ang simulation time, gayundin ang magsagawa ng pananaliksik sa real time. Ang mga computational algorithm ay maginhawang kinakatawan sa isang paulit-ulit na anyo na nagbibigay-daan sa kanilang pagpapatupad sa bilis ng kasalukuyang impormasyon.

MGA PRINSIPYO NG ISANG SYSTEM APPROACH SA MODELING

Mga Batayan ng Teorya ng Sistema

Ang mga pangunahing probisyon ng teorya ng mga sistema ay lumitaw sa kurso ng pag-aaral ng mga dynamic na sistema at ang kanilang mga functional na elemento. Ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang pangkat ng magkakaugnay na mga elemento na kumikilos nang sama-sama upang maisagawa ang isang paunang natukoy na gawain. Ang pagsusuri ng mga system ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang pinaka-makatotohanang mga paraan upang maisagawa ang gawain, na tinitiyak ang maximum na kasiyahan ng mga kinakailangan.

Ang mga elemento na bumubuo ng batayan ng teorya ng mga sistema ay hindi nilikha sa tulong ng mga hypotheses, ngunit natuklasan sa eksperimentong paraan. Upang simulan ang pagbuo ng isang sistema, kinakailangan na magkaroon ng mga pangkalahatang katangian ng mga teknolohikal na proseso. Ang parehong ay totoo para sa mga prinsipyo ng paglikha ng mathematically formulated na pamantayan na ang isang proseso o ang teoretikal na paglalarawan nito ay dapat masiyahan. Ang pagmomodelo ay isa sa pinakamahalagang pamamaraan ng siyentipikong pananaliksik at eksperimento.

Kapag nagtatayo ng mga modelo ng mga bagay, ginagamit ang isang sistematikong diskarte, na isang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema, na batay sa pagsasaalang-alang ng isang bagay bilang isang sistema na tumatakbo sa isang tiyak na kapaligiran. Ang diskarte sa system ay nagsasangkot ng pagsisiwalat ng integridad ng bagay, ang pagkilala at pag-aaral ng panloob na istraktura nito, pati na rin ang mga koneksyon sa panlabas na kapaligiran. Sa kasong ito, ang bagay ay ipinakita bilang isang bahagi ng totoong mundo, na kinilala at pinag-aralan na may kaugnayan sa problema ng pagbuo ng isang modelo na nalutas. Bilang karagdagan, ang sistematikong diskarte ay nagsasangkot ng isang pare-parehong paglipat mula sa pangkalahatan patungo sa partikular, kapag ang pagsasaalang-alang ay batay sa layunin ng disenyo, at ang bagay ay isinasaalang-alang na may kaugnayan sa kapaligiran.

Ang isang kumplikadong bagay ay maaaring nahahati sa mga subsystem, na mga bahagi ng bagay na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:

1) ang subsystem ay isang functionally independent na bahagi ng object. Ito ay konektado sa iba pang mga subsystem, nakikipagpalitan ng impormasyon at enerhiya sa kanila;

2) para sa bawat subsystem, maaaring tukuyin ang mga function o katangian na hindi tumutugma sa mga katangian ng buong system;

3) bawat isa sa mga subsystem ay maaaring higit pang hatiin sa antas ng mga elemento.

Sa kasong ito, ang isang elemento ay nauunawaan bilang isang subsystem ng mas mababang antas, ang karagdagang dibisyon na kung saan ay hindi kapaki-pakinabang mula sa pananaw ng problemang nalutas.

Kaya, ang isang sistema ay maaaring tukuyin bilang isang representasyon ng isang bagay sa anyo ng isang hanay ng mga subsystem, elemento, at mga relasyon para sa layunin ng paglikha, pananaliksik, o pagpapabuti nito. Kasabay nito, ang isang pinalaki na representasyon ng system, na kinabibilangan ng mga pangunahing subsystem at koneksyon sa pagitan nila, ay tinatawag na isang macrostructure, at isang detalyadong pagsisiwalat ng panloob na istraktura ng system sa antas ng mga elemento ay tinatawag na microstructure.

Kasama ng system, karaniwang mayroong supersystem - isang sistema ng mas mataas na antas, na kinabibilangan ng bagay na isinasaalang-alang, at ang function ng anumang sistema ay maaari lamang matukoy sa pamamagitan ng supersystem.

Kinakailangang i-highlight ang konsepto ng kapaligiran bilang isang hanay ng mga bagay ng panlabas na mundo na makabuluhang nakakaapekto sa kahusayan ng system, ngunit hindi bahagi ng system at supersystem nito.

Kaugnay ng sistematikong diskarte sa pagbuo ng mga modelo, ginagamit ang konsepto ng imprastraktura, na naglalarawan sa kaugnayan ng system sa kapaligiran nito (kapaligiran). Sa kasong ito, ang pagpili, paglalarawan at pag-aaral ng mga katangian ng isang bagay na makabuluhan. sa loob ng isang tiyak na gawain ay tinatawag na pagsasapin-sapin ng isang bagay, at anumang modelo ng isang bagay ay ang pagsasapin-sapin nitong paglalarawan.

Para sa isang sistematikong diskarte, mahalagang matukoy ang istraktura ng system, i.e. hanay ng mga link sa pagitan ng mga elemento ng system, na sumasalamin sa kanilang pakikipag-ugnayan. Upang gawin ito, isaalang-alang muna natin ang mga structural at functional na diskarte sa pagmomodelo.

Sa isang diskarte sa istruktura, ang komposisyon ng mga napiling elemento ng system at ang mga link sa pagitan ng mga ito ay ipinahayag. Ang kabuuan ng mga elemento at relasyon ay ginagawang posible upang hatulan ang istruktura ng sistema. Ang pinaka-pangkalahatang paglalarawan ng isang istraktura ay isang topological na paglalarawan. Binibigyang-daan ka nitong tukuyin ang mga bahagi ng system at ang kanilang mga ugnayan gamit ang mga graph. Ang hindi gaanong pangkalahatan ay ang functional na paglalarawan kapag ang mga indibidwal na function ay isinasaalang-alang, ibig sabihin, mga algorithm para sa pag-uugali ng system. Kasabay nito, ang isang functional na diskarte ay ipinatupad na tumutukoy sa mga function na ginagawa ng system.

Sa batayan ng isang sistematikong diskarte, ang isang pagkakasunud-sunod ng pagbuo ng modelo ay maaaring imungkahi, kapag ang dalawang pangunahing yugto ng disenyo ay nakikilala: macro-design at micro-design.

Sa yugto ng macro-design, ang isang modelo ng panlabas na kapaligiran ay binuo, ang mga mapagkukunan at mga hadlang ay natukoy, ang isang modelo ng system at pamantayan para sa pagtatasa ng kasapatan ay pinili.

Ang yugto ng microdesign ay higit na nakadepende sa partikular na uri ng modelong napili. Sa pangkalahatang kaso, ito ay nagsasangkot ng paglikha ng impormasyon, matematika, teknikal at suporta sa software para sa sistema ng pagmomolde. Sa yugtong ito, ang mga pangunahing teknikal na katangian ng nilikha na modelo ay itinatag, ang oras ng pagtatrabaho dito at ang halaga ng mga mapagkukunan upang makuha ang ibinigay na kalidad ng modelo ay tinatantya.

Anuman ang uri ng modelo, kapag itinatayo ito, kinakailangan na magabayan ng isang bilang ng mga prinsipyo ng isang sistematikong diskarte:

1) pare-parehong pag-unlad sa mga yugto ng paglikha ng isang modelo;

2) koordinasyon ng impormasyon, mapagkukunan, pagiging maaasahan at iba pang mga katangian;

3) ang tamang ratio ng iba't ibang antas ng pagbuo ng modelo;

4) ang integridad ng mga indibidwal na yugto ng disenyo ng modelo.