Ang mga expression at gawain sa matematika ay nangangailangan ng maraming karagdagang kaalaman. Ang NOC ay isa sa mga pangunahing, lalo na madalas na ginagamit sa paksa. Ang paksa ay pinag-aaralan sa mataas na paaralan, habang ito ay hindi partikular na mahirap unawain ang materyal, hindi ito magiging mahirap para sa isang taong pamilyar sa mga kapangyarihan at ang multiplication table na pumili ang mga kinakailangang numero at hanapin ang resulta.

Kahulugan

Ang common multiple ay isang numero na maaaring ganap na hatiin sa dalawang numero sa parehong oras (a at b). Kadalasan, ang numerong ito ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng orihinal na mga numerong a at b. Ang numero ay dapat na mahahati sa parehong mga numero nang sabay-sabay, nang walang mga paglihis.

Ang NOC ay isang maikling pangalan, na kinuha mula sa mga unang titik.

Mga paraan para makakuha ng numero

Upang mahanap ang LCM, ang paraan ng pagpaparami ng mga numero ay hindi palaging angkop, ito ay mas angkop para sa simpleng isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Ito ay kaugalian na hatiin sa mga kadahilanan, kung mas malaki ang bilang, mas maraming mga kadahilanan ang magkakaroon.

Halimbawa #1

Para sa pinakasimpleng halimbawa, ang mga paaralan ay karaniwang kumukuha ng simple, isang-digit o dalawang-digit na mga numero. Halimbawa, kailangan mong lutasin ang sumusunod na gawain, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 7 at 3, ang solusyon ay medyo simple, i-multiply lamang ang mga ito. Bilang isang resulta, mayroong numero 21, walang mas maliit na numero.

Halimbawa #2

Ang pangalawang pagpipilian ay mas mahirap. Ang mga numerong 300 at 1260 ay ibinigay, ang paghahanap ng LCM ay sapilitan. Upang malutas ang gawain, ang mga sumusunod na aksyon ay ipinapalagay:

Decomposition ng una at pangalawang numero sa pinakasimpleng mga kadahilanan. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Nakumpleto na ang unang yugto.

Ang ikalawang yugto ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa nakuha na data. Ang bawat isa sa mga natanggap na numero ay dapat lumahok sa pagkalkula ng huling resulta. Para sa bawat salik, ang pinakamalaking bilang ng mga paglitaw ay kinuha mula sa mga orihinal na numero. Ang LCM ay isang karaniwang numero, kaya ang mga salik mula sa mga numero ay dapat na ulitin dito hanggang sa huli, kahit na ang mga nasa isang kopya. Ang parehong mga unang numero ay nasa kanilang komposisyon ang mga numero 2, 3 at 5, sa magkaibang antas, 7 ay nasa isang kaso lamang.

Upang kalkulahin ang huling resulta, kailangan mong kunin ang bawat numero sa pinakamalaki sa kanilang kinakatawan na kapangyarihan, sa equation. Ito ay nananatiling lamang upang dumami at makuha ang sagot, na may tamang pagpuno, ang gawain ay umaangkop sa dalawang hakbang nang walang paliwanag:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Iyon ang buong gawain, kung susubukan mong kalkulahin ang nais na numero sa pamamagitan ng pagpaparami, kung gayon ang sagot ay tiyak na hindi tama, dahil 300 * 1260 = 378,000.

Pagsusuri:

6300 / 300 = 21 - totoo;

6300 / 1260 = 5 ang tama.

Ang katumpakan ng resulta ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagsuri - paghahati sa LCM sa parehong orihinal na mga numero, kung ang numero ay isang integer sa parehong mga kaso, kung gayon ang sagot ay tama.

Ano ang ibig sabihin ng NOC sa matematika

Tulad ng alam mo, walang isang walang silbi na pag-andar sa matematika, ang isang ito ay walang pagbubukod. Ang pinakakaraniwang layunin ng numerong ito ay upang dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator. Ano ang karaniwang pinag-aaralan sa grade 5-6 ng high school. Ito rin ay isang pangkaraniwang divisor para sa lahat ng multiple, kung ang mga ganitong kundisyon ay nasa problema. Ang ganitong expression ay makakahanap ng maramihang hindi lamang ng dalawang numero, kundi pati na rin ng mas malaking numero - tatlo, lima, at iba pa. Ang mas maraming mga numero - mas maraming mga aksyon sa gawain, ngunit ang pagiging kumplikado nito ay hindi tumataas.

Halimbawa, ibinigay ang mga numerong 250, 600 at 1500, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuang LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ang halimbawang ito ay naglalarawan ng factorization nang detalyado, nang walang pagbabawas.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Upang makabuo ng isang expression, kinakailangang banggitin ang lahat ng mga kadahilanan, sa kasong ito 2, 5, 3 ay ibinigay - para sa lahat ng mga numerong ito kinakailangan upang matukoy ang pinakamataas na antas.

Pansin: ang lahat ng mga multiplier ay dapat dalhin sa ganap na pagpapasimple, kung maaari, nabubulok sa antas ng mga solong digit.

Pagsusuri:

1) 3000 / 250 = 12 - totoo;

2) 3000 / 600 = 5 - totoo;

3) 3000 / 1500 = 2 ang tama.

Ang pamamaraang ito ay hindi nangangailangan ng anumang mga trick o kakayahan sa antas ng henyo, lahat ay simple at malinaw.

Ibang paraan

Sa matematika, maraming konektado, marami ang maaaring malutas sa dalawa o higit pang mga paraan, ganoon din ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, LCM. Ang sumusunod na paraan ay maaaring gamitin sa kaso ng simpleng dalawang-digit at solong-digit na mga numero. Ang isang talahanayan ay pinagsama-sama kung saan ang multiplier ay ipinasok patayo, ang multiplier nang pahalang, at ang produkto ay ipinahiwatig sa intersecting na mga cell ng column. Maaari mong ipakita ang talahanayan sa pamamagitan ng isang linya, ang isang numero ay kinuha at ang mga resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa pamamagitan ng mga integer ay nakasulat sa isang hilera, mula 1 hanggang infinity, kung minsan ay sapat na ang 3-5 puntos, ang pangalawa at kasunod na mga numero ay napapailalim. sa parehong proseso ng computational. Nangyayari ang lahat hanggang sa matagpuan ang isang common multiple.

Dahil sa mga numerong 30, 35, 42, kailangan mong hanapin ang LCM na nagkokonekta sa lahat ng numero:

1) Multiple ng 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, atbp.

2) Multiple ng 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, atbp.

3) Multiple ng 42: 84, 126, 168, 210, 252, atbp.

Kapansin-pansin na ang lahat ng mga numero ay medyo naiiba, ang karaniwang bilang lamang sa kanila ay 210, kaya ito ang magiging LCM. Kabilang sa mga proseso na nauugnay sa pagkalkula na ito, mayroon ding pinakadakilang karaniwang divisor, na kinakalkula ayon sa magkatulad na mga prinsipyo at madalas na nakatagpo sa mga kalapit na problema. Ang pagkakaiba ay maliit, ngunit sapat na makabuluhan, ang LCM ay nagsasangkot ng pagkalkula ng isang numero na nahahati sa lahat ng ibinigay na paunang halaga, at ipinapalagay ng GCD ang pagkalkula ng pinakamalaking halaga kung saan hinahati ang mga paunang numero.

Pangalawang numero: b=

Digit separator Walang space separator "´

Resulta:

Pinakamahusay na Common Divisor gcd( a,b)=6

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng LCM( a,b)=468

Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor(gcd) ng mga numerong ito. Tinutukoy ang gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) o hcf(a,b).

Hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng dalawang integer na a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati sa a at b na walang natitira. Tinutukoy na LCM(a,b), o lcm(a,b).

Ang mga integer a at b ay tinatawag coprime kung wala silang karaniwang divisors maliban sa +1 at −1.

Pinakamahusay na Common Divisor

Hayaang magbigay ng dalawang positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangang maghanap ng karaniwang divisor ng mga numerong ito, i.e. maghanap ng ganyang numero λ , na naghahati sa mga numero a 1 at a 2 sa parehong oras. Ilarawan natin ang algorithm.

1) Sa artikulong ito, ang salitang numero ay nangangahulugang isang integer.

Hayaan a 1 ≥ a 2 at hayaan

saan m 1 , a 3 ay ilang integer, a 3 <a 2 (natitira mula sa dibisyon a 1 sa a 2 ay dapat na mas mababa a 2).

Magpanggap na tayo λ naghahati a 1 at a 2, pagkatapos λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Assertion 2 ng artikulong "Divisibility of numbers. Sign of divisibility"). Ito ay sumusunod na ang bawat karaniwang divisor a 1 at a 2 ay isang karaniwang divisor a 2 at a 3 . Totoo rin ang kabaligtaran kung λ karaniwang divisor a 2 at a 3, pagkatapos m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a 3 ay nahahati din sa λ . Kaya ang karaniwang divisor a 2 at a 3 ay isa ring karaniwang divisor a 1 at a 2. kasi a 3 <a 2 ≤a 1 , pagkatapos ay maaari naming sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng isang karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 nabawasan sa isang mas simpleng problema ng paghahanap ng isang karaniwang divisor ng mga numero a 2 at a 3 .

Kung ang a 3 ≠0, pagkatapos ay maaari nating hatiin a 2 sa a 3 . Pagkatapos

,

saan m 1 at a 4 ay ilang integer, ( a 4 na natitira sa dibisyon a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, dumating kami sa konklusyon na ang mga karaniwang divisors ng mga numero a 3 at a Ang 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisors ng mga numero a 2 at a 3 , at gayundin sa mga karaniwang divisors a 1 at a 2. kasi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... mga numero na patuloy na bumababa, at dahil may hangganan ang bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitira sa dibisyon a n sa a n+1 ay magiging katumbas ng zero ( a n+2=0).

.

Bawat karaniwang divisor λ numero a 1 at a Ang 2 ay isa ring divisor ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n+1 . Totoo rin ang kabaligtaran, karaniwang mga divisors ng mga numero a n at a Ang n+1 ay mga divisors din ng mga numero a n−1 at a n , .... , a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang divisor a n at a n+1 ay isang numero a n+1 , dahil a n at a ang n+1 ay nahahati ng a n+1 (tandaan iyon a n+2=0). Dahil dito a Ang n+1 ay isa ring divisor ng mga numero a 1 at a 2 .

Tandaan na ang numero a Ang n+1 ay ang pinakamalaking divisor ng numero a n at a n+1 , dahil ang pinakamalaking divisor a n+1 ay mismo a n+1 . Kung ang a Ang n + 1 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga numerong ito ay karaniwang mga divisors ng mga numero. a 1 at a 2. Numero a n+1 ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor numero a 1 at a 2 .

Numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng ganap na halaga ng isa pang numero. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga zero na numero ay hindi tinukoy.

Ang algorithm sa itaas ay tinatawag Ang algorithm ni Euclid upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang integer.

Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero

Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero 630 at 434.

• Hakbang 1. Hatiin ang numerong 630 sa 434. Ang natitira ay 196.
• Hakbang 2. Hatiin ang numerong 434 sa 196. Ang natitira ay 42.
• Hakbang 3. Hatiin ang numerong 196 sa 42. Ang natitira ay 28.
• Hakbang 4. Hatiin ang numero 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
• Hakbang 5. Hatiin ang numerong 28 sa 14. Ang natitira ay 0.

Sa hakbang 5, ang natitira sa dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang mga numero 2 at 7 ay mga divisors din ng mga numerong 630 at 434.

Mga numero ng koprime

Kahulugan 1. Hayaan ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ay tinawag ang mga numerong ito mga numero ng coprime na walang karaniwang divisor.

Teorama 1. Kung ang a 1 at a 2 medyo prime number, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang divisor ng mga numero λa 1 at a Ang 2 ay isa ring karaniwang divisor ng mga numero λ at a 2 .

Patunay. Isaalang-alang ang algorithm ni Euclid para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).

.

Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng theorem na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 , at samakatuwid a n at a ang n+1 ay 1. I.e. a n+1=1.

I-multiply natin ang lahat ng pagkakapantay-pantay na ito λ , pagkatapos

.

Hayaan ang karaniwang divisor a 1 λ at a 2 ay δ . Pagkatapos δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Tingnan ang "Divisibility of numbers", Statement 2). Dagdag pa δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 2 λ at m 2 a 3 λ , at samakatuwid ay pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Sa pamamagitan ng pangangatwiran sa ganitong paraan, kami ay kumbinsido na δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a n−1 λ at m n−1 a n λ , at samakatuwid ay sa a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . kasi a n+1 =1, pagkatapos δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa λ . Kaya ang numero δ ay isang karaniwang divisor ng mga numero λ at a 2 .

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng Theorem 1.

Bunga 1. Hayaan a at c ang mga prime number ay medyo b. Tapos yung product nila ac ay isang prime number na may kinalaman sa b.

Talaga. Mula sa Theorem 1 ac at b ay may parehong mga karaniwang divisors bilang c at b. Ngunit ang mga numero c at b coprime, ibig sabihin. magkaroon ng iisang common divisor 1. Pagkatapos ac at b mayroon ding iisang karaniwang divisor 1. Samakatuwid ac at b kapwa simple.

Bunga 2. Hayaan a at b coprime ang mga numero at hayaan b naghahati ak. Pagkatapos b naghahati at k.

Talaga. Mula sa kondisyon ng paninindigan ak at b magkaroon ng isang karaniwang divisor b. Sa bisa ng Theorem 1, b dapat ay isang karaniwang divisor b at k. Dahil dito b naghahati k.

Corollary 1 ay maaaring pangkalahatan.

Bunga 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ay pangunahing kamag-anak sa bilang b. Pagkatapos a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , ang produkto ng mga numerong ito ay prime kaugnay ng numero b.

2. Hayaan tayong magkaroon ng dalawang hanay ng mga numero

na ang bawat numero sa unang hilera ay prime sa bawat numero sa ikalawang hanay. Pagkatapos ang produkto

Kinakailangang hanapin ang mga naturang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.

Kung ang numero ay mahahati ng a 1 , tapos parang sa 1, kung saan s ilang numero. Kung ang q ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2, pagkatapos

saan s 1 ay ilang integer. Pagkatapos

ay hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero a 1 at a 2 .

a 1 at a 2 coprime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2:

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.

Ito ay sumusunod mula sa itaas na ang anumang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na maramihang mga numero ε at a 3 at kabaliktaran. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε at a 3 ay ε isa. Dagdag pa, isang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a Ang 4 ay dapat na maramihang mga numero ε 1 at a apat. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε 1 at a 4 ay ε 2. Kaya, nalaman namin na ang lahat ng multiple ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nag-tutugma sa mga multiple ng ilang partikular na numero ε n , na tinatawag na least common multiple ng mga binigay na numero.

Sa partikular na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 tulad ng ipinapakita sa itaas ay may anyo (3). Dagdag pa, mula noong a 3 prime tungkol sa mga numero a 1 , a 2, pagkatapos a Ang 3 ay isang pangunahing kamag-anak na numero a isa · a 2 (Corollary 1). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 ,a 2 ,a Ang 3 ay isang numero a isa · a 2 · a 3 . Ang pagtatalo sa katulad na paraan, dumating tayo sa mga sumusunod na pahayag.

Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay katumbas ng kanilang produkto a isa · a 2 · a 3 ··· a m .

Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nahahati din sa kanilang produkto a isa · a 2 · a 3 ··· a m .

Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng heading na LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bigyang-pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na ugnayan sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.

Halimbawa.

Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang kaugnayan sa pagitan ng LCM at GCD na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Iyon ay, una kailangan nating hanapin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.

Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .

Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Sagot:

LCM(126, 70)=630 .

Halimbawa.

Ano ang LCM(68, 34) ?

Solusyon.

kasi Ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , pagkatapos ay gcd(68, 34)=34 . Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Sagot:

LCM(68, 34)=68 .

Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer na a at b : kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.

Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, ang gcd(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng gcd gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor. ).

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ay ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga naturang kadahilanan ay 3 at 5), pagkatapos ay kukuha ang produkto sa anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 75 at 210, iyon ay, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Halimbawa.

Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.

Solusyon.

I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors:

Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .

Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sa ganitong paraan, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Sagot:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong a at b.

Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa agnas ng numerong 75, idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa agnas ng numerong 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75). , 210).

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Solusyon.

Una nating makuha ang agnas ng mga numerong 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Sila ay parang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa agnas ng numerong 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa agnas ng numerong 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.

Sagot:

LCM(84, 648)=4 536 .

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.

Teorama.

Hayaang ibigay ang mga positibong integer a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Solusyon.

Sa halimbawang ito a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Una naming mahanap m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .

Ngayon nahanap namin m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.

Kaliwa para hanapin m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Upang gawin ito, makikita natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kung saan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.

Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.

Sagot:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na patakaran. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solusyon.

Una, nakukuha natin ang mga pagpapalawak ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prime factor) at 143=11 13 .

Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7 ) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang mga kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .

Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, dapat mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan".

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A nang walang natitira. Kaya, ang 15, 20, 25, at iba pa ay maaaring ituring na multiple ng 5.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang NOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat sa isang linya ang lahat ng multiple ng mga numerong ito hanggang sa matagpuan ang isang karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy sa talaan na may malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan upang makalkula ang LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kinakailangan upang mabulok ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaki sa mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Sa pagpapalawak ng bawat numero, maaaring may ibang bilang ng mga salik.

Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na bilang, dapat isalungguhitan ang mga salik na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking bilang, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa ipinakita na halimbawa, isang deuce ang nawawala.

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kaya, ang produkto ng prime factor ng mas malaking bilang at ang mga factor ng pangalawang numero, na hindi kasama sa decomposition ng mas malaking numero, ay ang pinakamaliit na common multiple.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang deuces lamang mula sa decomposition ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng mas malaking bilang (isa ay nasa decomposition ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa agnas ng isang mas malaking bilang.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang mga NOC ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.

Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang parehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM(10, 11) = 110.

Pinakamahusay na Common Divisor

Kahulugan 2

Kung ang isang natural na numero a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.

Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.

Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisors na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​o \ D \ (a;b)$

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:

1. Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1

Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$gcd=2\cdot 11=22$

Halimbawa 2

Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:

I-decompose natin ang mga numero sa prime factors

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$gcd=3\cdot 3=9$

Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.

Halimbawa 3

Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.

Solusyon:

Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.

Kahulugan ng NOC

Kahulugan 3

karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.

Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang natitira. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.

Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:

1. I-decompose ang mga numero sa prime factor
2. Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito

I-decompose ang mga numero sa prime factor

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Isulat ang mga salik na kasama sa una

idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi napupunta sa una

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.

Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b

Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero na ang isa sa mga ito ay nahahati sa isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.

Mga katangian ng GCD at LCM

1. Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
2. Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$

Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$

Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$

Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$