Sa artikulong ito, titingnan natin mga pangunahing operasyon na may mga algebraic fraction:

• pagbawas ng fraction
• pagpaparami ng mga fraction
• paghahati ng mga fraction

Magsimula tayo sa mga pagdadaglat ng algebraic fractions.

Mukhang, algorithm halata naman.

Upang bawasan ang mga algebraic fraction, kailangan

1. I-factor ang numerator at denominator ng isang fraction.

2. Bawasan ang parehong mga multiplier.

Gayunpaman, ang mga mag-aaral ay madalas na nagkakamali ng "pagbawas" hindi sa mga kadahilanan, ngunit sa mga tuntunin. Halimbawa, may mga amateur na "nagbabawas" ng mga fraction at nakakuha bilang isang resulta, na, siyempre, ay hindi totoo.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

1. Bawasan ang fraction:

1. Isinasali namin ang numerator ayon sa formula ng parisukat ng kabuuan, at ang denominator ayon sa formula ng pagkakaiba ng mga parisukat

2. Hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng

2. Bawasan ang fraction:

1. I-factor ang numerator. Dahil ang numerator ay naglalaman ng apat na termino, inilalapat namin ang pagpapangkat.

2. I-factor ang denominator. Ang parehong naaangkop sa pagpapangkat.

3. Isulat natin ang fraction na nakuha natin at bawasan ang parehong mga salik:

Pagpaparami ng mga algebraic fraction.

Kapag nagpaparami ng algebraic fractions, pinaparami natin ang numerator sa numerator, at pinaparami natin ang denominator sa denominator.

Mahalaga! Hindi na kailangang magmadali upang magsagawa ng multiplikasyon sa numerator at denominator ng isang fraction. Pagkatapos nating maisulat ang produkto ng mga numerator ng mga fraction sa numerator, at ang produkto ng mga denominator sa denominator, kailangan nating i-factor ang bawat salik at bawasan ang fraction.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

3. Pasimplehin ang expression:

1. Isulat natin ang produkto ng mga fraction: sa numerator ang produkto ng mga numerator, at sa denominator ang produkto ng mga denominator:

2. Isinasaalang-alang namin ang bawat bracket:

Ngayon kailangan nating bawasan ang parehong mga multiplier. Tandaan na ang mga expression at naiiba lamang sa sign: at bilang isang resulta ng paghahati ng unang expression sa pangalawa, makakakuha tayo ng -1.

Kaya,

Ginagawa namin ang paghahati ng mga algebraic fraction ayon sa sumusunod na panuntunan:

Yan ay Upang hatiin sa isang fraction, kailangan mong i-multiply sa "inverted" isa.

Nakikita natin na ang paghahati ng mga fraction ay nababawasan sa multiplikasyon, at Ang multiplikasyon sa huli ay bumababa sa pagbabawas ng mga fraction.

Isaalang-alang ang isang halimbawa:

4. Pasimplehin ang expression:

Mauunawaan natin kung ano ang pagbawas ng fraction, bakit at paano bawasan ang mga fraction, ibibigay natin ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction at mga halimbawa ng paggamit nito.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang "fraction reduction"

Bawasan ang fraction

Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator nito sa isang karaniwang divisor, positibo at naiiba sa isa.

Bilang resulta ng naturang aksyon, ang isang fraction na may bagong numerator at denominator ay makukuha, katumbas ng orihinal na fraction.

Halimbawa, kunin natin ang karaniwang fraction 6 24 at bawasan ito. Hatiin ang numerator at denominator ng 2, na nagreresulta sa 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . Sa halimbawang ito, binawasan namin ang orihinal na fraction ng 2 .

Pagbawas ng mga fraction sa irreducible form

Sa nakaraang halimbawa, binawasan namin ang fraction 6 24 ng 2 , na nagreresulta sa fraction 3 12 . Madaling makita na ang fraction na ito ay maaaring mabawasan pa. Sa pangkalahatan, ang layunin ng pagbabawas ng mga fraction ay upang magkaroon ng hindi mababawasan na fraction. Paano i-convert ang isang fraction sa isang irreducible form?

Magagawa ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng numerator at denominator ng kanilang greatest common divisor (GCD). Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng pinakamalaking karaniwang divisor, ang numerator at denominator ay magiging mga coprime na numero, at ang fraction ay hindi mababawasan.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Pagbawas ng isang fraction sa isang hindi mababawasan na anyo

Upang gawing irreducible form ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa kanilang gcd.

Bumalik tayo sa fraction 6 24 mula sa unang halimbawa at bawasan ito sa isang hindi mababawasan na anyo. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 6 at 24 ay 6 . Bawasan natin ang fraction:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Ang pagbabawas ng mga fraction ay maginhawang gamitin upang hindi gumana sa malalaking numero. Sa pangkalahatan, mayroong isang hindi binibigkas na panuntunan sa matematika: kung maaari mong gawing simple ang anumang expression, pagkatapos ay kailangan mong gawin ito. Sa pamamagitan ng pagbabawas ng isang fraction, kadalasan ang ibig nilang sabihin ay ang pagbawas nito sa isang hindi mababawasan na anyo, at hindi lamang pagbabawas ng isang karaniwang divisor ng numerator at denominator.

Panuntunan sa pagbabawas ng fraction

Upang mabawasan ang mga praksyon, sapat na tandaan ang panuntunan, na binubuo ng dalawang hakbang.

Panuntunan sa pagbabawas ng fraction

Upang bawasan ang isang fraction:

1. Hanapin ang gcd ng numerator at denominator.
2. Hatiin ang numerator at denominator sa kanilang gcd.

Isaalang-alang ang mga praktikal na halimbawa.

Halimbawa 1. Bawasan natin ang fraction.

Ibinigay ang isang fraction 182 195 . Paikliin natin.

Hanapin ang GCD ng numerator at denominator. Para dito, sa kasong ito, pinaka-maginhawang gamitin ang Euclid algorithm.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Hatiin ang numerator at denominator sa 13. Nakukuha namin:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

handa na. Nakakuha kami ng irreducible fraction, na katumbas ng orihinal na fraction.

Paano mo pa ba mababawasan ang mga fraction? Sa ilang mga kaso, ito ay maginhawa upang mabulok ang numerator at denominator sa simpleng mga kadahilanan, at pagkatapos ay alisin ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan mula sa itaas at mas mababang bahagi ng fraction.

Halimbawa 2. Bawasan ang fraction

Ibinigay ang isang fraction 360 2940 . Paikliin natin.

Upang gawin ito, kinakatawan namin ang orihinal na fraction sa anyo:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Alisin natin ang mga karaniwang salik sa numerator at denominator, bilang isang resulta kung saan nakukuha natin:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Panghuli, isaalang-alang ang isa pang paraan upang bawasan ang mga fraction. Ito ang tinatawag na sequential reduction. Gamit ang pamamaraang ito, ang pagbawas ay isinasagawa sa maraming yugto, sa bawat isa kung saan ang fraction ay binabawasan ng ilang halatang karaniwang divisor.

Halimbawa 3. Bawasan ang fraction

Bawasan natin ang fraction na 2000 4400 .

Kaagad na malinaw na ang numerator at denominator ay may karaniwang salik na 100. Binabawasan namin ang fraction ng 100 at makuha ang:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Ang resultang resulta ay muling nabawasan ng 2 at nakakakuha tayo ng hindi mababawasang bahagi:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ipinagpapatuloy ng artikulong ito ang tema ng pagbabagong-anyo ng mga algebraic fraction: isaalang-alang ang naturang aksyon bilang pagbabawas ng mga algebraic fraction. Tukuyin natin ang termino mismo, bumalangkas ng abbreviation rule at suriin ang mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kahulugan ng Algebraic Fraction Abbreviation

Sa mga materyales sa ordinaryong fraction, isinasaalang-alang namin ang pagbawas nito. Tinukoy namin ang pagbawas ng isang karaniwang fraction bilang paghahati ng numerator at denominator nito sa isang karaniwang salik.

Ang pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang katulad na operasyon.

Kahulugan 1

Algebraic fraction reduction ay ang paghahati ng numerator at denominator nito sa pamamagitan ng isang karaniwang salik. Sa kasong ito, hindi tulad ng pagbabawas ng isang ordinaryong fraction (isang numero lamang ang maaaring maging isang common denominator), ang isang polynomial, sa partikular, isang monomial o isang numero, ay maaaring magsilbi bilang isang karaniwang kadahilanan para sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction.

Halimbawa, ang algebraic fraction na 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 ay maaaring bawasan ng bilang 3, bilang isang resulta ay nakukuha natin ang: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Maaari nating bawasan ang parehong fraction ng variable na x, at ito ay magbibigay sa atin ng expression na 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Posible rin na bawasan ang isang binigay na fraction ng isang monomial 3 x o alinman sa mga polynomial x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y o 3 x 2 + 6 x y.

Ang pangwakas na layunin ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay isang fraction ng isang mas simpleng anyo, sa pinakamahusay na isang irreducible fraction.

Ang lahat ba ng algebraic fraction ay napapailalim sa pagbabawas?

Muli, mula sa mga materyales sa mga ordinaryong praksyon, alam natin na mayroong mababawas at hindi mababawasan na mga praksyon. Irreducible - ito ay mga fraction na walang mga karaniwang salik ng numerator at denominator, maliban sa 1.

Sa mga algebraic fraction, ang lahat ay pareho: maaaring mayroon o wala silang mga karaniwang salik ng numerator at denominator. Ang pagkakaroon ng mga karaniwang kadahilanan ay nagpapahintulot sa iyo na gawing simple ang orihinal na bahagi sa pamamagitan ng pagbawas. Kapag walang karaniwang mga kadahilanan, imposibleng i-optimize ang isang naibigay na fraction sa pamamagitan ng paraan ng pagbabawas.

Sa mga pangkalahatang kaso, para sa isang partikular na uri ng fraction, medyo mahirap maunawaan kung ito ay napapailalim sa pagbawas. Siyempre, sa ilang mga kaso, ang pagkakaroon ng isang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay halata. Halimbawa, sa algebraic fraction 3 · x 2 3 · y medyo malinaw na ang common factor ay ang number 3 .

Sa isang fraction - x · y 5 · x · y · z 3 agad din nating nauunawaan na posibleng bawasan ito ng x, o y, o ng x · y. Gayunpaman, ang mga halimbawa ng mga algebraic fraction ay mas karaniwan, kapag ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi madaling makita, at mas madalas - ito ay wala lamang.

Halimbawa, maaari nating bawasan ang fraction x 3 - 1 x 2 - 1 ng x - 1, habang ang tinukoy na common factor ay wala sa record. Ngunit ang fraction na x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ay hindi maaaring bawasan, dahil ang numerator at denominator ay walang karaniwang salik.

Kaya, ang tanong ng pag-alam sa contractibility ng isang algebraic fraction ay hindi gaanong simple, at kadalasan ay mas madaling magtrabaho sa isang fraction ng isang naibigay na form kaysa subukang alamin kung ito ay contractible. Sa kasong ito, ang mga naturang pagbabago ay nagaganap na sa mga partikular na kaso ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator o upang tapusin na ang fraction ay hindi mababawasan. Susuriin namin ang isyung ito nang detalyado sa susunod na talata ng artikulo.

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction

Panuntunan sa pagbabawas ng algebraic fraction ay binubuo ng dalawang magkasunod na hakbang:

• paghahanap ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator;
• sa kaso ng paghahanap ng tulad, ang pagpapatupad ng direktang aksyon ng pagbabawas ng fraction.

Ang pinaka-maginhawang paraan para sa paghahanap ng mga common denominator ay ang pag-factorize ng mga polynomial na nasa numerator at denominator ng isang binigay na algebraic fraction. Nagbibigay-daan ito sa iyo na makita agad ang presensya o kawalan ng mga karaniwang salik.

Ang mismong aksyon ng pagbabawas ng isang algebraic fraction ay batay sa pangunahing katangian ng isang algebraic fraction, na ipinahayag ng pagkakapantay-pantay na hindi natukoy , kung saan ang a , b , c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero. Ang unang hakbang ay bawasan ang fraction sa anyo a c b c , kung saan agad nating napapansin ang karaniwang salik c . Ang ikalawang hakbang ay upang maisagawa ang pagbabawas, i.e. paglipat sa isang fraction ng anyong a b .

Mga karaniwang halimbawa

Sa kabila ng ilang malinaw, linawin natin ang tungkol sa espesyal na kaso kapag ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay pantay. Ang mga katulad na fraction ay magkaparehong katumbas ng 1 sa buong ODZ ng mga variable ng fraction na ito:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Dahil ang mga ordinaryong fraction ay isang espesyal na kaso ng mga algebraic fraction, alalahanin natin kung paano sila nababawasan. Ang mga natural na numero na nakasulat sa numerator at denominator ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay ang mga karaniwang salik ay nababawasan (kung mayroon man).

Halimbawa, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Ang produkto ng simpleng magkatulad na mga kadahilanan ay maaaring isulat bilang mga degree, at sa proseso ng pagbawas ng fraction, gamitin ang pag-aari ng paghahati ng mga degree na may parehong mga base. Kung gayon ang solusyon sa itaas ay magiging:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(numerator at denominator na hinati sa isang karaniwang salik 2 2 3). O, para sa kalinawan, batay sa mga katangian ng pagpaparami at paghahati, ibibigay namin ang solusyon sa sumusunod na anyo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang pagbabawas ng mga algebraic fraction ay isinasagawa, kung saan ang numerator at denominator ay may mga monomial na may integer coefficients.

Halimbawa 1

Nabigyan ng algebraic fraction - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Kailangan itong bawasan.

Solusyon

Posibleng isulat ang numerator at denominator ng isang binigay na fraction bilang produkto ng prime factor at variable, at pagkatapos ay bawasan ang:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Gayunpaman, ang isang mas makatwirang paraan ay ang pagsulat ng solusyon bilang isang pagpapahayag na may mga kapangyarihan:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Sagot:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kapag may mga fractional numerical coefficient sa numerator at denominator ng isang algebraic fraction, mayroong dalawang posibleng paraan ng karagdagang mga aksyon: alinman sa hiwalay na hatiin ang mga fractional coefficient na ito, o alisin muna ang fractional coefficients sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa ilang natural na numero . Ang huling pagbabago ay isinasagawa dahil sa pangunahing pag-aari ng isang algebraic fraction (mababasa mo ang tungkol dito sa artikulong "Pagbawas ng isang algebraic fraction sa isang bagong denominator").

Halimbawa 2

Ibinigay ang isang fraction 2 5 x 0 , 3 x 3 . Kailangan itong bawasan.

Solusyon

Posibleng bawasan ang fraction sa ganitong paraan:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Subukan nating lutasin ang problema sa ibang paraan, na dati nang naalis ang mga fractional coefficients - pinaparami natin ang numerator at denominator sa hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga coefficient na ito, i.e. bawat LCM(5, 10) = 10. Pagkatapos makuha namin:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Sagot: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kapag binawasan natin ang mga pangkalahatang algebraic fraction, kung saan ang mga numerator at denominator ay maaaring parehong monomial at polynomial, ang isang problema ay posible kapag ang karaniwang kadahilanan ay hindi palaging nakikita kaagad. O higit pa riyan, wala lang ito. Pagkatapos, upang matukoy ang karaniwang salik o ayusin ang katotohanan ng kawalan nito, ang numerator at denominator ng algebraic fraction ay pinapangkat.

Halimbawa 3

Ibinigay ang rational fraction 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Kailangan itong paikliin.

Solusyon

I-factor natin ang mga polynomial sa numerator at denominator. Gawin natin ang mga panaklong:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Nakikita namin na ang expression sa mga bracket ay maaaring ma-convert gamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Malinaw na nakikita na posible na bawasan ang fraction sa pamamagitan ng isang karaniwang kadahilanan b 2 (a + 7). Gumawa tayo ng pagbawas:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sumulat kami ng isang maikling solusyon nang walang paliwanag bilang isang kadena ng pagkakapantay-pantay:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Sagot: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Ito ay nangyayari na ang mga karaniwang kadahilanan ay nakatago sa pamamagitan ng mga numerical coefficient. Pagkatapos, kapag binabawasan ang mga fraction, pinakamainam na kunin ang mga numerical factor sa mas mataas na kapangyarihan ng numerator at denominator.

Halimbawa 4

Nabigyan ng algebraic fraction 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Dapat bawasan ito kung maaari.

Solusyon

Sa unang tingin, ang numerator at denominator ay walang common denominator. Gayunpaman, subukan nating i-convert ang ibinigay na fraction. Kunin natin ang factor x sa numerator:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Ngayon ay makikita mo ang ilang pagkakatulad sa pagitan ng expression sa mga bracket at ng expression sa denominator dahil sa x 2 y . Kunin natin ang mga numerical coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ng mga polynomial na ito:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Ngayon ang karaniwang multiplier ay makikita, isinasagawa namin ang pagbawas:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Sagot: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Bigyang-diin natin na ang kakayahan ng pagbabawas ng mga rational fraction ay nakasalalay sa kakayahang mag-factorize ng polynomials.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, maraming mga mag-aaral ang gumagawa ng parehong mga pagkakamali. At lahat dahil nakakalimutan nila ang mga tuntunin sa elementarya aritmetika. Ngayon ay uulitin natin ang mga patakarang ito sa mga partikular na gawain na ibinibigay ko sa aking mga klase.

Narito ang isang gawain na inaalok ko sa lahat na naghahanda para sa pagsusulit sa matematika:

Isang gawain. Ang porpoise ay kumakain ng 150 gramo ng pagkain bawat araw. Ngunit siya ay lumaki at nagsimulang kumain ng 20% ​​pa. Ilang gramo ng feed ang kinakain ngayon ng baboy?

Maling desisyon. Ito ay isang porsyentong problema na bumagsak sa equation:

Marami (napakarami) ang nagpapababa sa bilang na 100 sa numerator at denominator ng fraction:

Ito ang pagkakamaling ginawa ng aking estudyante sa mismong araw ng pagsulat ng artikulong ito. Ang mga numero na nabawasan ay minarkahan ng pula.

Hindi na kailangang sabihin, ang sagot ay mali. Hukom para sa iyong sarili: ang baboy ay kumain ng 150 gramo, at nagsimulang kumain ng 3150 gramo. Isang pagtaas hindi ng 20%, ngunit sa pamamagitan ng 21 beses, i.e. sa pamamagitan ng 2000%.

Upang maiwasan ang mga hindi pagkakaunawaan, tandaan ang pangunahing tuntunin:

Maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier. Ang mga tuntunin ay hindi maaaring bawasan!

Kaya, ang tamang solusyon sa nakaraang problema ay ganito ang hitsura:

Ang pula ay minarkahan ang mga numero na nababawasan sa numerator at denominator. Tulad ng makikita mo, ang numerator ay isang produkto, ang denominator ay isang ordinaryong numero. Samakatuwid, ang pagbawas ay medyo legal.

Paggawa gamit ang mga proporsyon

Isa pang problemadong lugar mga sukat. Lalo na kapag ang variable ay nasa magkabilang panig. Halimbawa:

Isang gawain. Lutasin ang equation:

Maling desisyon - ang ilan ay literal na nangangati na putulin ang lahat ng m :

Ang mga pinababang variable ay ipinapakita sa pula. Lumalabas na ang expression na 1/4 = 1/5 ay ganap na walang kapararakan, ang mga numerong ito ay hindi kailanman pantay.

At ngayon - ang tamang desisyon. Sa pangkalahatan, ito ay karaniwan linear equation. Ito ay malulutas alinman sa pamamagitan ng paglilipat ng lahat ng mga elemento sa isang panig, o sa pamamagitan ng pangunahing pag-aari ng proporsyon:

Maraming mambabasa ang tututol: "Nasaan ang error sa unang solusyon?" Well, pag-isipan natin ito. Tandaan natin ang panuntunan ng pagtatrabaho sa mga equation:

Anumang equation ay maaaring hatiin at i-multiply sa anumang numero, hindi zero.

Naghiwa ka ba ng chip? Maaari lamang hatiin sa pamamagitan ng mga numero iba sa zero. Sa partikular, maaari mong hatiin sa variable na m lamang kung m != 0. Ngunit paano kung m = 0 pagkatapos ng lahat? Palitan at suriin:

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero, ibig sabihin. m = 0 ang ugat ng equation. Para sa natitirang m != 0, nakakakuha tayo ng expression ng form na 1/4 = 1/5, na, siyempre, ay hindi totoo. Kaya, walang mga di-zero na ugat.

Konklusyon: pinagsama-sama ang lahat

Kaya, upang malutas ang mga fractional rational equation, tandaan ang tatlong panuntunan:

1. Maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier. Mga compound - hindi mo magagawa. Samakatuwid, matutong i-factor ang numerator at denominator;
2. Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon: ang produkto ng mga matinding elemento ay katumbas ng produkto ng mga gitna;
3. Ang mga equation ay maaari lamang i-multiply at hatiin sa mga di-zero na numero k. Ang kaso k = 0 ay dapat suriin nang hiwalay.

Tandaan ang mga patakarang ito at huwag magkamali.

Dibisyon at ang numerator at denominator ng fraction sa kanilang karaniwang divisor, na iba sa pagkakaisa, ay tinatawag pagbawas ng fraction.

Upang bawasan ang isang karaniwang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa parehong natural na numero.

Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng ibinigay na fraction.

Posible ang mga sumusunod mga form ng rekord ng desisyon Mga halimbawa para sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction.

Ang mag-aaral ay may karapatang pumili ng anumang anyo ng pag-record.

Mga halimbawa. Pasimplehin ang mga fraction.

Bawasan ang fraction ng 3 (hatiin ang numerator sa 3;

hatiin ang denominator sa 3).

Binabawasan namin ang fraction ng 7.

Ginagawa namin ang ipinahiwatig na mga aksyon sa numerator at denominator ng fraction.

Ang resultang fraction ay nabawasan ng 5.

Bawasan natin ang fraction na ito 4) sa 5 7³- ang pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ng numerator at denominator, na binubuo ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator na dinadala sa kapangyarihan na may pinakamaliit na exponent.

I-decompose natin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa mga simpleng salik.

Nakukuha namin: 756=2² 3³ 7 at 1176=2³ 3 7².

Tukuyin ang GCD (pinakamalaking karaniwang divisor) ng numerator at denominator ng fraction 5) .

Ito ang produkto ng mga karaniwang salik na kinuha sa pinakamaliit na exponent.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa kanilang GCD, ibig sabihin, sa pamamagitan ng 2² 3 7 nakakakuha tayo ng irreducible fraction 9/14 .

At posible na isulat ang mga pagpapalawak ng numerator at denominator bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan, nang hindi ginagamit ang konsepto ng degree, at pagkatapos ay bawasan ang fraction sa pamamagitan ng pagtawid sa parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator. Kapag walang natitira na magkaparehong salik, i-multiply natin ang natitirang mga salik nang hiwalay sa numerator at hiwalay sa denominator at isulat ang resultang fraction. 9/14 .

At sa wakas, posible na bawasan ang fraction na ito 5) unti-unti, inilalapat ang mga palatandaan ng paghahati ng mga numero sa parehong numerator at denominator ng fraction. Mag-isip ng ganito: mga numero 756 at 1176 nagtatapos sa isang even na numero, kaya ang pareho ay nahahati ng 2 . Binabawasan namin ang fraction ng 2 . Ang numerator at denominator ng bagong fraction ay mga numero 378 at 588 nahahati din sa 2 . Binabawasan namin ang fraction ng 2 . Napansin namin na ang numero 294 - kahit, at 189 ay kakaiba, at ang pagbabawas ng 2 ay hindi na posible. Suriin natin ang tanda ng divisibility ng mga numero 189 at 294 sa 3 .

(1+8+9)=18 ay nahahati sa 3 at (2+9+4)=15 ay nahahati sa 3, kaya ang mga numero mismo 189 at 294 ay nahahati sa 3 . Binabawasan namin ang fraction ng 3 . Dagdag pa, 63 ay nahahati sa 3 at 98 - Hindi. Ulitin sa iba pang pangunahing salik. Ang parehong mga numero ay nahahati sa 7 . Binabawasan namin ang fraction ng 7 at makuha ang irreducible fraction 9/14 .