Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Layunin ng Aralin: ipakilala ang konsepto ng isang dihedral na anggulo at ang linear na anggulo nito;

isaalang-alang ang mga gawain para sa aplikasyon ng mga konseptong ito;

upang bumuo ng isang nakabubuo na kasanayan sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano;

isaalang-alang ang mga gawain para sa aplikasyon ng mga konseptong ito.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Ipaalam ang paksa ng aralin, buuin ang mga layunin ng aralin.

II. Aktwalisasyon ng kaalaman ng mga mag-aaral (slide 2, 3).

1. Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal.

Ano ang tinatawag na anggulo sa isang eroplano?

Ano ang tawag sa anggulo sa pagitan ng mga linya sa espasyo?

Ano ang tawag sa anggulo sa pagitan ng linya at eroplano?

Bumuo ng tatlong perpendicular theorem

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

• Ang konsepto ng isang dihedral na anggulo.

Ang pigura na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na dumadaan sa linyang MN ay tinatawag na dihedral angle (slide 4).

Ang mga kalahating eroplano ay mga mukha, ang tuwid na linya MN ay isang gilid ng isang dihedral na anggulo.

Anong mga bagay sa pang-araw-araw na buhay ang may hugis ng dihedral na anggulo? (Slide 5)

• Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ACH at CHD ay ang dihedral na anggulo ACND, kung saan ang CH ay isang gilid. Ang mga puntos A at D ay nasa mga mukha ng anggulong ito. Ang anggulo AFD ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo ACHD (slide 6).

• Algorithm para sa pagbuo ng isang linear na anggulo (slide 7).

1 paraan. Sa gilid, kumuha ng anumang punto O at gumuhit ng mga patayo sa puntong ito (PO DE, KO DE) at kunin ang anggulo ROCK - linear.

2 paraan. Kumuha ng isang puntong K sa isang kalahating eroplano at ihulog ang dalawang patayo mula dito patungo sa kabilang kalahating eroplano at isang gilid (KO at KR), pagkatapos ay sa pamamagitan ng kabaligtaran na TTP theorem PODE

• Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pantay (slide 8). Patunay: ang mga sinag na OA at O ​​1 A 1 ay magkatuwang, ang mga sinag OB at O ​​1 B 1 ay magkatuwang din, ang mga anggulo ng BOA at B 1 O 1 A 1 ay katumbas ng mga anggulo na may magkakaugnay na panig.

• Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay ang sukat ng antas ng linear na anggulo nito (slide 9).

IV. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

• Paglutas ng problema (pasalita ayon sa mga yari na guhit). (Mga Slide 10-12)

1. RAVS - pyramid; ang anggulong ACB ay 90°, ang tuwid na linyang PB ay patayo sa eroplanong ABC. Patunayan na ang anggulo ng PCB ay isang linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo na may

2. RAVS - pyramid; AB \u003d BC, D ay ang midpoint ng segment AC, ang tuwid na linya ng PB ay patayo sa eroplanong ABC. Patunayan na ang anggulong PDB ay isang linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo na may gilid na AC.

3. PABCD - pyramid; Ang linyang PB ay patayo sa eroplanong ABC, ang BC ay patayo sa DC. Patunayan na ang anggulong PKB ay isang linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo na may gilid na CD.

• Mga gawain para sa pagbuo ng isang linear na anggulo (slide 13-14).

1. Bumuo ng isang linear na anggulo ng isang dihedral angle na may isang gilid AC, kung sa pyramid RABC ang mukha ABC ay isang regular na tatsulok, O ang intersection point ng mga median, ang tuwid na linya na RO ay patayo sa eroplanong ABC

2. Ang Rhombus ABCD ay ibinigay.Ang tuwid na linyang PC ay patayo sa eroplanong ABCD.

Bumuo ng isang linear na anggulo ng isang dihedral angle na may gilid BD at isang linear na anggulo ng isang dihedral angle na may gilid AD.

• Gawain sa computational. (Slide 15)

Sa parallelogram ABCD, ang anggulong ADC ay 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, tuwid na linya ang PC ay patayo sa eroplanong ABC, PC = 9 cm.

Hanapin ang halaga ng dihedral angle na may gilid AD at ang lugar ng parallelogram.

V. Takdang-Aralin (slide 16).

P. 22, No. 168, 171.

Mga Gamit na Aklat:

1. Geometry 10-11 L.S. Atanasyan.
2. Ang sistema ng mga gawain sa paksang "Dihedral angles" ni M.V. Sevostyanova (Murmansk), journal Mathematics sa paaralan 198 ...

TEKSTO NA PALIWANAG NG ARALIN:

Sa planimetry, ang mga pangunahing bagay ay mga linya, mga segment, ray at mga punto. Ang mga sinag na nagmumula sa isang punto ay bumubuo ng isa sa kanilang mga geometric na hugis - isang anggulo.

Alam namin na ang isang linear na anggulo ay sinusukat sa mga degree at radian.

Sa stereometry, ang isang eroplano ay idinagdag sa mga bagay. Ang figure na nabuo sa pamamagitan ng tuwid na linya a at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan a na hindi kabilang sa parehong eroplano sa geometry ay tinatawag na dihedral angle. Ang kalahating eroplano ay ang mga mukha ng isang dihedral na anggulo. Ang tuwid na linya a ay ang gilid ng dihedral na anggulo.

Ang isang dihedral na anggulo, tulad ng isang linear na anggulo, ay maaaring pangalanan, sukatin, itayo. Ito ang ating aalamin sa araling ito.

Hanapin ang dihedral angle sa ABCD tetrahedron model.

Ang isang dihedral na anggulo na may gilid AB ay tinatawag na CABD, kung saan ang C at D na mga puntos ay nabibilang sa magkaibang mukha ng anggulo at ang gilid AB ay tinatawag sa gitna.

Sa paligid natin ay maraming mga bagay na may mga elemento sa anyo ng isang dihedral na anggulo.

Sa maraming lungsod, ang mga espesyal na bangko para sa pagkakasundo ay inilagay sa mga parke. Ang bangko ay ginawa sa anyo ng dalawang hilig na eroplano na nagtatagpo patungo sa gitna.

Sa pagtatayo ng mga bahay, kadalasang ginagamit ang tinatawag na gable roof. Ang bubong ng bahay na ito ay ginawa sa anyo ng isang dihedral anggulo ng 90 degrees.

Ang anggulo ng dihedral ay sinusukat din sa mga degree o radian, ngunit kung paano ito sukatin.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang mga bubong ng mga bahay ay nakahiga sa mga rafters. At ang crate ng mga rafters ay bumubuo ng dalawang slope ng bubong sa isang naibigay na anggulo.

Ilipat natin ang larawan sa pagguhit. Sa pagguhit, upang makahanap ng isang dihedral na anggulo, ang punto B ay minarkahan sa gilid nito. Mula sa puntong ito, dalawang beam na BA at BC ay iginuhit patayo sa gilid ng anggulo. Ang anggulong ABC na nabuo ng mga sinag na ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle.

Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng sukat ng antas ng linear na anggulo nito.

Sukatin natin ang anggulong AOB.

Ang sukat ng antas ng isang naibigay na anggulo ng dihedral ay animnapung degree.

Ang mga linear na anggulo para sa isang dihedral na anggulo ay maaaring iguhit sa isang walang katapusang bilang, mahalagang malaman na silang lahat ay pantay.

Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB at A1O1B1. Ang mga sinag na OA at O1A1 ay nasa parehong mukha at patayo sa tuwid na linya OO1, kaya sila ay nakadirekta. Ang Rays OB at O1B1 ay co-direct din. Samakatuwid, ang anggulong AOB ay katumbas ng anggulong A1O1B1 bilang mga anggulo na may mga codirectional na panig.

Kaya ang isang dihedral na anggulo ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang linear na anggulo, at ang mga linear na anggulo ay acute, obtuse at right. Isaalang-alang ang mga modelo ng dihedral na anggulo.

Ang obtuse angle ay isa na ang linear na anggulo ay nasa pagitan ng 90 at 180 degrees.

Isang tamang anggulo kung ang linear na anggulo nito ay 90 degrees.

Isang matinding anggulo, kung ang linear na anggulo nito ay nasa pagitan ng 0 at 90 degrees.

Patunayan natin ang isa sa mga mahahalagang katangian ng isang linear na anggulo.

Ang eroplano ng isang linear na anggulo ay patayo sa gilid ng dihedral na anggulo.

Hayaang ang anggulong AOB ay ang linear na anggulo ng ibinigay na anggulo ng dihedral. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga sinag AO at OB ay patayo sa tuwid na linya a.

Ang eroplanong AOB ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya na AO at OB ayon sa theorem: Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at higit pa rito, isa lamang.

Ang linya a ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplanong ito, na nangangahulugan na, sa pamamagitan ng tanda ng perpendicularity ng linya at ng eroplano, ang linya a ay patayo sa eroplanong AOB.

Upang malutas ang mga problema, mahalaga na makabuo ng isang linear na anggulo ng isang naibigay na anggulo ng dihedral. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle na may gilid AB para sa tetrahedron ABCD.

Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang anggulo ng dihedral, na nabuo, una, sa gilid ng AB, isang facet ABD, ang pangalawang facet ABC.

Narito ang isang paraan upang bumuo.

Gumuhit tayo ng patayo mula sa punto D hanggang sa eroplanong ABC, markahan ang puntong M bilang base ng patayo. Alalahanin na sa isang tetrahedron ang base ng patayo ay tumutugma sa gitna ng naka-inscribe na bilog sa base ng tetrahedron.

Gumuhit ng slope mula sa punto D patayo sa gilid AB, markahan ang punto N bilang base ng slope.

Sa tatsulok na DMN, ang segment na NM ay ang mga projection ng pahilig na DN papunta sa eroplanong ABC. Ayon sa tatlong perpendicular theorem, ang gilid AB ay magiging patayo sa projection NM.

Nangangahulugan ito na ang mga gilid ng anggulo ng DNM ay patayo sa gilid AB, na nangangahulugang ang itinayong anggulo na DNM ay ang kinakailangang linear na anggulo.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng problema sa pagkalkula ng anggulo ng dihedral.

Isosceles triangle ABC at regular triangle ADB ay hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang segment na CD ay patayo sa eroplanong ADB. Hanapin ang dihedral angle DABC kung AC=CB=2cm, AB=4cm.

Ang dihedral na anggulo DABC ay katumbas ng linear na anggulo nito. Buuin natin itong sulok.

Gumuhit tayo ng isang pahilig na SM na patayo sa gilid ng AB, dahil ang tatsulok na ACB ay isosceles, kung gayon ang puntong M ay magkakasabay sa gitnang punto ng gilid AB.

Ang linyang CD ay patayo sa eroplanong ADB, na nangangahulugang ito ay patayo sa linyang DM na nakahiga sa eroplanong ito. At ang segment na MD ay ang projection ng pahilig na SM papunta sa eroplanong ADB.

Ang linyang AB ay patayo sa pahilig na CM sa pamamagitan ng pagtatayo, na nangangahulugan na sa pamamagitan ng tatlong perpendiculars theorem ito ay patayo sa projection MD.

Kaya, dalawang perpendicular na CM at DM ang matatagpuan sa gilid ng AB. Kaya bumubuo sila ng isang linear na anggulo СMD ng isang dihedral angle DABC. At nananatili para sa amin na hanapin ito mula sa kanang tatsulok na СDM.

Dahil ang segment na SM ay ang median at ang taas ng isosceles triangle ASV, pagkatapos ay ayon sa Pythagorean theorem, ang binti ng SM ay 4 cm.

Mula sa isang kanang tatsulok na DMB, ayon sa Pythagorean theorem, ang leg DM ay katumbas ng dalawang ugat ng tatlo.

Ang cosine ng isang anggulo mula sa isang kanang tatsulok ay katumbas ng ratio ng katabing binti MD sa hypotenuse CM at katumbas ng tatlong ugat ng tatlo sa dalawa. Kaya ang anggulo ng CMD ay 30 degrees.

Sa geometry, dalawang mahalagang katangian ang ginagamit upang pag-aralan ang mga figure: ang haba ng mga gilid at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito. Sa kaso ng mga spatial figure, ang mga anggulo ng dihedral ay idinagdag sa mga katangiang ito. Isaalang-alang natin kung ano ito, at ilarawan din ang pamamaraan para sa pagtukoy ng mga anggulong ito gamit ang halimbawa ng isang pyramid.

Ang konsepto ng dihedral angle

Alam ng lahat na ang dalawang intersecting na linya ay bumubuo ng isang anggulo na may vertex sa punto ng kanilang intersection. Ang anggulong ito ay maaaring masukat gamit ang isang protractor, o maaari mong gamitin ang mga trigonometric function upang kalkulahin ito. Ang isang anggulo na nabuo ng dalawang tamang anggulo ay tinatawag na linear na anggulo.

Ngayon isipin na sa tatlong-dimensional na espasyo mayroong dalawang eroplano na nagsalubong sa isang tuwid na linya. Ang mga ito ay ipinapakita sa larawan.

Ang dihedral angle ay ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano. Tulad ng linear, ito ay sinusukat sa mga degree o radian. Kung sa anumang punto ng tuwid na linya kung saan ang mga eroplano ay bumalandra, ibalik ang dalawang patayo na nakahiga sa mga eroplanong ito, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ang nais na dihedral. Ang pinakamadaling paraan upang matukoy ang anggulong ito ay ang paggamit ng mga pangkalahatang equation ng mga eroplano.

Ang equation ng mga eroplano at ang formula para sa anggulo sa pagitan nila

Ang equation ng anumang eroplano sa espasyo sa pangkalahatang mga termino ay nakasulat tulad ng sumusunod:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Narito ang x, y, z ay ang mga coordinate ng mga puntos na kabilang sa eroplano, ang mga coefficient A, B, C, D ay ilang kilalang numero. Ang kaginhawahan ng pagkakapantay-pantay na ito para sa pagkalkula ng mga anggulo ng dihedral ay tahasang naglalaman ito ng mga coordinate ng vector ng direksyon ng eroplano. Ipakikilala natin ito sa pamamagitan ng n¯. Pagkatapos:

Ang vector n¯ ay patayo sa eroplano. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang eroplano ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang n 1 at n 2 ¯. Ito ay kilala mula sa matematika na ang anggulo na nabuo ng dalawang vectors ay natatanging tinutukoy mula sa kanilang scalar product. Pinapayagan ka nitong magsulat ng isang formula para sa pagkalkula ng anggulo ng dihedral sa pagitan ng dalawang eroplano:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Kung papalitan natin ang mga coordinate ng mga vector, ang formula ay isusulat nang tahasan:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Ang modulo sign sa numerator ay ginagamit upang tukuyin lamang ang isang matinding anggulo, dahil ang isang dihedral na anggulo ay palaging mas mababa sa o katumbas ng 90 o .

Pyramid at ang mga sulok nito

Ang pyramid ay isang pigura na nabuo ng isang n-gon at n triangles. Narito ang n ay isang integer na katumbas ng bilang ng mga gilid ng polygon na ang base ng pyramid. Ang spatial figure na ito ay isang polyhedron o polyhedron, dahil binubuo ito ng mga patag na mukha (mga gilid).

Ang Pyramid polyhedra ay maaaring may dalawang uri:

• sa pagitan ng base at ng gilid (tatsulok);
• sa pagitan ng dalawang panig.

Kung ang pyramid ay itinuturing na tama, kung gayon hindi mahirap matukoy ang mga pinangalanang anggulo para dito. Upang gawin ito, ayon sa mga coordinate ng tatlong kilalang mga punto, ang isang equation ng mga eroplano ay dapat iguhit, at pagkatapos ay gamitin ang formula na ibinigay sa talata sa itaas para sa anggulo φ.

Sa ibaba ay nagbibigay kami ng isang halimbawa kung saan ipinapakita namin kung paano maghanap ng mga dihedral na anggulo sa base ng isang quadrangular regular pyramid.

Quadrangular at ang anggulo sa base nito

Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang regular na pyramid na may square base. Ang haba ng gilid ng parisukat ay a, ang taas ng pigura ay h. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng base ng pyramid at sa gilid nito.

Inilalagay namin ang pinagmulan ng sistema ng coordinate sa gitna ng parisukat. Pagkatapos ang mga coordinate ng mga puntos A, B, C, D na ipinapakita sa figure ay magiging katumbas ng:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Isaalang-alang ang mga eroplanong ACB at ADB. Malinaw, ang vector ng direksyon n 1 ¯ para sa eroplano ng ACB ay magiging katumbas ng:

Upang matukoy ang vector ng direksyon n 2 ¯ ng eroplano ng ADB, nagpapatuloy tayo sa mga sumusunod: nakahanap tayo ng arbitrary na dalawang vector na kabilang dito, halimbawa, AD¯ at AB¯, pagkatapos ay kalkulahin natin ang kanilang cross product. Ang resulta nito ay magbibigay ng mga coordinate n 2 ¯. Meron kami:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Dahil ang multiplikasyon at paghahati ng isang vector sa isang numero ay hindi nagbabago ng direksyon nito, binabago namin ang nagreresultang n 2 ¯, na hinahati ang mga coordinate nito sa -a, nakukuha namin ang:

Tinukoy namin ang mga vector ng direksyon n 1 ¯ at n 2 ¯ para sa mga base plane na ACB at ang lateral side ADB. Ito ay nananatiling gamitin ang formula para sa anggulo φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Ibahin natin ang resultang expression at muling isulat ito tulad nito:

φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

Nakuha namin ang formula para sa dihedral angle sa base para sa isang regular na quadrangular pyramid. Alam ang taas ng pigura at ang haba ng gilid nito, maaari mong kalkulahin ang anggulo φ. Halimbawa, para sa pyramid ng Cheops, ang gilid ng base nito ay 230.4 metro, at ang paunang taas ay 146.5 metro, ang anggulo φ ay magiging katumbas ng 51.8 o.

Maaari mo ring matukoy ang dihedral angle para sa isang quadrangular regular pyramid gamit ang geometric na pamamaraan. Upang gawin ito, sapat na upang isaalang-alang ang isang right-angled triangle na nabuo sa pamamagitan ng taas h, kalahati ng haba ng base a / 2 at ang apothem ng isang isosceles triangle.

Upang gamitin ang preview ng mga presentasyon, lumikha ng Google account (account) at mag-sign in: https://accounts.google.com

Mga slide caption:

DOUBLE ANGLE Guro sa matematika GOU sekondaryang paaralan №10 Eremenko M.A.

Ang mga pangunahing layunin ng aralin: Ipakilala ang konsepto ng isang dihedral na anggulo at ang linear na anggulo nito Isaalang-alang ang mga gawain para sa aplikasyon ng mga konseptong ito.

Kahulugan: Ang anggulo ng dihedral ay isang pigura na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na may karaniwang linya ng hangganan.

Ang halaga ng isang dihedral na anggulo ay ang halaga ng linear na anggulo nito. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB ay ang linear na anggulo ng dihedral angle ACD B

Patunayan natin na ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pantay sa bawat isa. Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB at A 1 OB 1 . Ang Rays OA at OA 1 ay nasa parehong mukha at patayo sa OO 1, kaya sila ay co-directed. Ang Rays OB at OB 1 ay co-direct din. Samakatuwid, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (bilang mga anggulo na may mga codirectional na panig).

Mga halimbawa ng dihedral na anggulo:

Kahulugan: Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na eroplano ay ang pinakamaliit sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga eroplanong ito.

Gawain 1: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at CDD 1 . Sagot: 90o.

Gawain 2: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at CDA 1 . Sagot: 45o.

Gawain 3: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ABC at BDD 1 . Sagot: 90o.

Gawain 4: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ACC 1 at BDD 1 . Sagot: 90o.

Gawain 5: Sa kubo A ... D 1 hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano BC 1 D at BA 1 D . Solusyon: Hayaan ang O ang midpoint ng B D. A 1 OC 1 ay ang linear na anggulo ng dihedral angle A 1 B D C 1 .

Problema 6: Sa tetrahedron DABC lahat ng mga gilid ay pantay, ang punto M ay ang gitnang punto ng gilid AC. Patunayan na ang ∠ DMB ay isang linear na anggulo ng dihedral angle BACD .

Solusyon: Ang mga Triangles ABC at ADC ay regular, kaya ang BM ⊥ AC at DM ⊥ AC at samakatuwid ∠ DMB ay isang linear na anggulo ng dihedral angle DACB .

Gawain 7: Mula sa vertex B ng tatsulok na ABC, ang gilid na AC kung saan ay nasa eroplanong α, isang patayo na BB 1 ang iginuhit sa eroplanong ito. Hanapin ang distansya mula sa punto B hanggang sa linyang AC at sa eroplano αif AB=2, ∠BAC=150 0 at ang dihedral na anggulo BACB 1 ay 45 0 .

Solusyon: Ang ABC ay isang obtuse triangle na may obtuse angle A, kaya ang base ng taas na BK ay nasa extension ng side AC. Ang VC ay ang distansya mula sa punto B hanggang AC. BB 1 - distansya mula sa punto B hanggang sa eroplano α

2) Dahil AS ⊥VK, pagkatapos ay AS⊥KV 1 (sa pamamagitan ng theorem converse sa tatlong perpendiculars theorem). Samakatuwid, ang ∠VKV 1 ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo BACB 1 at ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang magkaibang eroplano ay maaaring matukoy para sa anumang kamag-anak na posisyon ng mga eroplano.

Ang maliit na kaso ay kung ang mga eroplano ay parallel. Kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na katumbas ng zero.

Non-trivial case kung mag-intersect ang mga eroplano. Ang kasong ito ay paksa ng karagdagang talakayan. Una kailangan natin ang konsepto ng isang dihedral angle.

9.1 Dihedral anggulo

Ang dihedral angle ay dalawang kalahating eroplano na may karaniwang tuwid na linya (na tinatawag na gilid ng isang dihedral angle). Sa fig. Ang 50 ay nagpapakita ng isang dihedral na anggulo na nabuo ng mga kalahating eroplano at; ang gilid ng dihedral na anggulo na ito ay ang linyang karaniwan sa ibinigay na kalahating eroplano.

kanin. 50. Dihedral anggulo

Ang anggulo ng dihedral ay maaaring masukat sa mga degree o radian sa isang salita, ipasok ang angular na halaga ng anggulo ng dihedral. Ginagawa ito sa sumusunod na paraan.

Sa gilid ng anggulo ng dihedral na nabuo ng mga kalahating eroplano at, kumuha kami ng isang di-makatwirang punto M. Iguhit natin ang mga sinag na MA at MB, na nakahiga ayon sa pagkakabanggit sa mga kalahating eroplano na ito at patayo sa gilid (Larawan 51).

kanin. 51. Linear na anggulo dihedral angle

Ang resultang anggulo na AMB ay ang linear na anggulo ng dihedral angle. Ang anggulong " = \AMB ay tiyak ang angular na halaga ng aming dihedral na anggulo.

Kahulugan. Ang angular magnitude ng isang dihedral angle ay ang magnitude ng linear na angle ng isang naibigay na dihedral angle.

Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng bawat isa (pagkatapos ng lahat, sila ay nakuha mula sa bawat isa sa pamamagitan ng isang parallel shift). Samakatuwid, ang kahulugan na ito ay tama: ang halaga "ay hindi nakasalalay sa tiyak na pagpili ng punto M sa gilid ng anggulo ng dihedral.

9.2 Pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Kapag ang dalawang eroplano ay nagsalubong, apat na dihedral na anggulo ang nakuha. Kung lahat sila ay may parehong halaga (90 bawat isa), kung gayon ang mga eroplano ay tinatawag na patayo; ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay pagkatapos ay 90 .

Kung hindi lahat ng mga anggulo ng dihedral ay pareho (iyon ay, mayroong dalawang acute at dalawang obtuse), kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay ang halaga ng acute dihedral angle (Fig. 52).

kanin. 52. Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

9.3 Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Isaalang-alang natin ang tatlong gawain. Ang una ay simple, ang pangalawa at pangatlo ay humigit-kumulang sa antas ng C2 sa pagsusulit sa matematika.

Gawain 1. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang mukha ng isang regular na tetrahedron.

Solusyon. Hayaan ang ABCD na maging isang regular na tetrahedron. Iguhit natin ang median AM at DM ng kaukulang mga mukha, pati na rin ang taas ng tetrahedron DH (Larawan 53).

kanin. 53. Sa problema 1

Ang pagiging median, ang AM at DM ay ang taas din ng equilateral triangles ABC at DBC. Samakatuwid, ang anggulo na " = \AMD ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng mga mukha ng ABC at DBC. Nahanap natin ito mula sa tatsulok na DHM:

			1AM

Sagot: arccos 1 3 .

Problema 2. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD (na may vertex S), ang lateral edge ay katumbas ng gilid ng base. Point K ay ang midpoint ng gilid SA. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Solusyon. Ang linyang BC ay parallel sa AD at sa gayon ay parallel sa plane ADS. Samakatuwid, ang KBC plane ay nag-intersect sa ADS plane kasama ang tuwid na linya na KL parallel sa BC (Fig. 54).

kanin. 54. Sa problema 2

Sa kasong ito, ang KL ay magiging parallel din sa linyang AD; kaya ang KL ay ang midline ng triangle ADS, at ang point L ay ang midpoint ng DS.

Iguhit ang taas ng pyramid SO. Hayaan ang N ang midpoint ng DO. Kung gayon ang LN ay ang midline ng tatsulok na DOS, at samakatuwid ay LN k SO. Kaya ang LN ay patayo sa eroplanong ABC.

Mula sa puntong N ibinabagsak namin ang patayo NM sa linyang BC. Ang tuwid na linyang NM ang magiging projection ng pahilig na LM papunta sa eroplanong ABC. Pagkatapos ay sumusunod mula sa tatlong perpendicular theorem na ang LM ay patayo din sa BC.

Kaya, ang anggulo " = \LMN ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng kalahating eroplanong KBC at ABC. Hahanapin natin ang anggulong ito mula sa kanang tatsulok na LMN.

Hayaang ang gilid ng pyramid ay a. Una, hanapin ang taas ng pyramid:

KAYA=p

Solusyon. Hayaang L ang intersection point ng mga linyang A1 K at AB. Pagkatapos ang eroplanong A1 KC ay nag-intersect sa eroplanong ABC kasama ang tuwid na linyang CL (Fig.55).

A C

kanin. 55. Problema 3

Ang mga tatsulok na A1 B1 K at KBL ay pantay sa binti at matinding anggulo. Samakatuwid, ang iba pang mga binti ay pantay din: A1 B1 = BL.

Isaalang-alang ang tatsulok na ACL. Sa loob nito BA = BC = BL. Ang anggulo ng CBL ay 120 ; kaya \BCL = 30 . Gayundin, \BCA = 60 . Samakatuwid \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Kaya LC? AC. Ngunit ang linyang AC ay ang projection ng linyang A1 C papunta sa eroplanong ABC. Sa pamamagitan ng tatlong perpendicular theorem, pagkatapos ay tapusin natin na ang LC ? A1C.

Kaya, ang anggulo A1 CA ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng kalahating eroplanong A1 KC at ABC. Ito ang kinakailangang anggulo. Mula sa isosceles right triangle A1 AC makikita natin na ito ay katumbas ng 45 .