Koponan ay dinisenyo para sa sunud-sunod na pagbuo ng mga kurba at tuwid na linya upang ang dulo ng nakaraang bagay ay simula ng susunod na bagay. Ang pagtatayo ng geometry sa ganitong paraan ay posible rin mula sa menu Mga Tool → Geometry →

Pagbuo ng Geometry gamit ang Line Tool

Koponan Linya ay dinisenyo para sa sunud-sunod na pagbuo ng mga tuwid na linya at arko upang ang dulo ng nakaraang bagay ay ang simula ng susunod na bagay. Ang bar ng mga pagpipilian para sa command na ito ay naglalaman ng isang degenerate na command menu . Ang pagtatayo ng geometry sa ganitong paraan ay posible rin mula sa menu Mga Tool → Geometry → Linya. Ang panel ng mga opsyon para sa button na ito ay naglalaman ng mga sumusunod na command:

Konstruksyon ng mga kurba at polyline

Ang paglikha ng mga kurba ay posible mula sa menu Mga Tool → Geometry → Curves. Ang pagtatayo ng isang polyline ay posible mula sa menu Mga Tool → Geometry → Polyline. Ang Bezier curve ay isang espesyal na kaso ng NURBS curve. Ang lahat ng mga utos na ito ay matatagpuan sa Geometry toolbar. Ang mga paraan upang bumuo ng mga ito ay nakalista sa ibaba:

Pindutan Spline ay dinisenyo upang bumuo ng isang kurba ng parehong pangalan mula sa isang serye ng mga puntos. Mga Pindutan na Iniharap sa Options Bar Buksan ang bagay at saradong bagay nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng isang bukas at saradong curve, ayon sa pagkakabanggit, kapag ang una at huling mga punto ay konektado. Ang isang closed curve ay maaaring palaging ilipat sa isang open curve at vice versa.

Pinahaba ng spline ang pag-edit ng mga katangiang puntos. Ito ay para sa pindutan. I-edit ang mga puntos sa panel ng mga pagpipilian. Gayundin, ang utos na ito ay awtomatikong tinatawag kapag nag-double click ka sa kaliwang pindutan ng mouse sa isang nakagawa nang kurba. Sa kasong ito, ang mga punto ng kurba ay kinukumpleto ng mga tangent na segment na dumadaan sa mga katangiang punto ng kurba.

Ang curve ay maaaring hatiin sa mga bahagi gamit ang mga command ng menu Hatiin → Kurba at Hatiin → Kurba sa N bahagi. Ang unang utos ay nagpapahintulot sa iyo na hatiin ang napiling curve sa 2 bahagi sa tinukoy na punto. Ang pangalawang kurba ay nagpapahintulot sa iyo na hatiin ang kurba sa ilang pantay na bahagi. Upang gawin ito, piliin ang bilang ng mga bahagi sa bar ng mga pagpipilian at tukuyin ang kurba na hahatiin.

Sa pamamagitan ng paggalaw ng mga katangiang puntos (mga parisukat na punto) at ang mga dulo ng mga tangent na segment (mga round point) gamit ang mouse, maaari mong kontrolin ang hugis ng kurba. Maaari mong ilipat ang mga puntong ito gamit ang mga arrow sa keyboard, upang gawin ito, ilipat ang cursor sa nais na punto at pindutin ang Enter key. Pagkatapos nito, magiging posible na ilipat gamit ang mga arrow na may isang hakbang na isang multiple ng kasalukuyang hakbang ng cursor. Maaari mo ring tapusin ang paglipat sa pamamagitan ng pagpindot sa Enter key. Mayroong 3 mga pagpipilian para sa paglipat ng mga punto ng katangian:

• Lumipat sa anumang direksyon - kung ang cursor ay mukhang apat na diagonal na arrow kapag nag-hover sa isang punto
• Paglipat sa isang limitadong hanay ng mga direksyon - kung ang cursor ay mukhang apat na orthogonal na arrow kapag nag-hover sa isang punto
• Ang paglipat ng cursor ay nagiging sanhi ng pag-ikot ng geometry - kung ang cursor ay mukhang umiikot na mga arrow kapag nag-hover sa isang punto.

Maaaring i-snap ang mga curve point sa iba pang mga object at iba pang curve point gamit ang global at local snaps. Ang pagsasama ng kinakailangang lokal na snap sa proseso ng paglipat ng isang katangian na punto ay posible sa pamamagitan ng pagpindot sa kanang pindutan ng mouse (o pagpindot sa SHIFT + F10) at pagpili ng snap mula sa drop-down na submenu Nagbubuklod.

Pindutan Spline kasama ang mga poste ay dinisenyo upang bumuo ng isang curve - isang spline kasama ang isang serye ng mga puntos. Para sa ganitong uri ng curve, maaari mong itakda Timbang na may puntos at Umorder curve sa options bar. Parameter Ang bigat tinutukoy ang "force of attraction" ng curve sa isang punto sa curve. Kung mas malaki ang timbang, mas malapit ang kurba sa punto. Sa katunayan, ito ay isang parameter ng curvature ng curve (mas malaki ang curvature ng curve, mas maliit ang radius ng liko at vice versa). Parameter Umorder tumutukoy sa pinakamababang bilang ng mga punto kung saan bubuo ang kurba. Minimum order 3 - nagbibigay-daan sa iyong bumuo ng curve gamit ang tatlong puntos. Ang pole spline ay kahawig ng isang regular na spline sa point editing mode. Kung ang mga dulo ng punto ng katabing tangent (tangential) na mga segment sa spline ay konektado, pagkatapos ay makakakuha tayo ng pagkakapareho ng spline kasama ang mga pole. Ang isang pole spline ay likas na mas makinis kaysa sa isang regular na spline dahil sa katotohanan na ang isang pole spline ay nagbibigay ng curvature continuity.

Kung magtatayo ka ng 2 spline sa kahabaan ng mga pole, maaari mong ikonekta ang kanilang mga dulo upang ang pagpapatuloy ("kinis") ay matiyak sa punto ng paglipat.

Upang gawin ito, kailangan mong bumuo ng isang pantulong na linya sa transition point na may kinakailangang slope (halimbawa, isang tangent auxiliary line sa transition point na ito) at ilagay ang pangalawang punto mula sa transition point sa auxiliary line na ito. Ngayon, kapag gumagalaw ng 3 puntos at pataas (kapag tiningnan mula sa transition point), ang alinman sa mga curve na ito ay magpapanatili ng kondisyon ng continuity ng curve sa transition point.

Maaari kang magdagdag ng isang katangian na punto sa pamamagitan lamang ng pag-click sa kaliwang pindutan ng mouse sa nais na seksyon ng curve.

Maaari mong tanggalin ang isang katangian na punto gamit ang DEL key kapag pumipili ng gustong punto. Babaguhin nito ang hugis ng kurba.

Ang interface para sa pagtatrabaho sa mga spline sa pamamagitan ng mga pole ay katulad ng interface para sa pagtatrabaho sa mga regular na spline. Sa panel ng mga pagpipilian, maaari ka ring lumikha Buksan ang bagay at isang saradong bagay. At may isang pindutan I-edit ang mga puntos maaari mo ring itama ang hugis ng kurba sa pamamagitan ng paglipat ng mga keypoint. Sa parehong paraan na gumagana ang snaps sa Bezier curves, ang mga punto ay inililipat at ang curve ay nahahati sa mga bahagi.

Pindutan putol na linya ay dinisenyo upang bumuo ng isang serye ng mga magkakaugnay na tuwid na linya. Ang isang polyline ay naiiba sa karaniwang pagkakasunud-sunod ng mga tuwid na segment dahil ang paglilipat ng anumang elemento ay hindi nakakasira sa linya.

Ang interface para sa pagtatrabaho sa mga sirang linya ay katulad ng interface para sa pagtatrabaho sa mga kurba. Sa panel ng mga pagpipilian, maaari ka ring lumikha Buksan ang bagay, at saradong bagay. At may isang pindutan I-edit ang mga puntos maaari mo ring itama ang hugis ng polyline sa pamamagitan ng paglipat ng mga keypoint. Sa parehong paraan tulad ng sa mga kurba, gumagana ang mga snap at inililipat ang mga puntos. Ang isang natatanging tampok ng isang polyline ay maaari itong hatiin sa magkakahiwalay na mga elemento gamit ang utos ng menu Editor → Wasakin. Pagkatapos nito, ang mga indibidwal na elemento ng polyline ay maaaring ilipat o tanggalin nang hindi naaapektuhan ang iba pang mga elemento.

Kung ito ay medyo natural na, sa pag-aakala ng isang mas malawak na iba't ibang mga tool, lumalabas na posible na malutas ang isang mas malaking hanay ng mga problema sa pagtatayo, kung gayon ay maaaring mahulaan ng isa na, sa kabaligtaran, sa ilalim ng mga paghihigpit na ipinataw sa mga tool, ang klase ng malulutas na mga problema ay makitid. Ang higit na kapansin-pansin ay ang pagtuklas na ginawa ng Italian Mascheroni (1750-1800): lahat ng geometric na konstruksyon na maaaring gawin gamit ang isang compass at straightedge ay maaaring gawin sa pamamagitan lamang ng isang compass. Siyempre, dapat itong itakda na talagang imposibleng gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang ibinigay na mga punto nang walang ruler, kaya ang pangunahing konstruksyon na ito ay hindi sakop ng teorya ni Mascheroni. Sa halip, kailangang ipagpalagay na ang isang linya ay ibinibigay kung ang dalawa sa mga punto nito ay ibinigay. Ngunit sa tulong ng isang compass lamang, posible na mahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya na ibinigay sa ganitong paraan, o ang punto ng intersection ng isang linya na may bilog.

Marahil ang pinakasimpleng halimbawa ng pagtatayo ni Mascheroni ay ang pagdodoble ng isang ibinigay na segment. Ang solusyon ay naibigay na sa p. 185. Dagdag pa, sa p. 186, natutunan namin kung paano hatiin ang isang ibinigay na segment sa kalahati. Ngayon tingnan natin kung paano hatiin ang isang arko ng isang bilog na may gitnang O. Narito ang isang paglalarawan ng konstruksiyon na ito. Sa isang radius, gumuhit kami ng dalawang arko na may mga sentro Mula sa puntong O nagtabi kami ng dalawang ganoong arko sa mga arko na ito at pagkatapos ay nakita namin ang punto ng intersection ng arko na may sentro P at ang radius at ang arko na may sentro at radius Panghuli, ang pagkuha ng segment bilang radius, inilalarawan namin ang arc na may gitnang P o hanggang ang intersection na may arc ay ang intersection point at ang gustong midpoint ng arc. Ang patunay ay naiwan sa mambabasa bilang isang ehersisyo.

kanin. 48. Intersection ng isang bilog at isang linya na hindi dumadaan sa gitna

Imposibleng patunayan ang pangunahing assertion ni Mascheroni sa pamamagitan ng pagpapakita, para sa bawat pagtatayo na maaaring gawin gamit ang isang compass at isang straightedge, kung paano ito magagawa sa isang solong compass: pagkatapos ng lahat, mayroong isang walang katapusang bilang ng mga posibleng constructions. Ngunit makakamit natin ang parehong layunin kung itatatag natin na ang bawat isa sa mga sumusunod na pangunahing konstruksyon ay magagawa sa isang solong compass:

1. Gumuhit ng bilog kung ang sentro at radius ay ibinigay.

2. Hanapin ang mga intersection point ng dalawang bilog.

3. Hanapin ang mga punto ng intersection ng linya at ng bilog.

4. Hanapin ang punto ng intersection ng dalawang linya.

Ang anumang geometriko na konstruksyon (sa karaniwang kahulugan, na may pag-aakalang isang compass at straightedge) ay binubuo ng isang may hangganang pagkakasunud-sunod ng mga elementaryong konstruksyon na ito. Na ang unang dalawa sa kanila ay magagawa sa isang solong compass ay agad na malinaw. Ang mas mahirap na mga konstruksyon 3 at 4 ay isinasagawa gamit ang mga katangian ng inversion na tinalakay sa nakaraang talata.

Bumaling tayo sa construction 3: hanapin ang mga punto ng intersection ng isang binigay na bilog C na may isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong ito. Gumuhit kami ng mga arko na may mga sentro at radii, ayon sa pagkakabanggit, katumbas ng at maliban sa puntong O, sila ay bumalandra sa punto P. Pagkatapos ay bumuo kami ng isang puntong katumbas sa puntong P na may paggalang sa bilog na C (tingnan ang. konstruksiyon na inilarawan sa pahina 186). Sa wakas, gumuhit kami ng isang bilog na may sentro at radius (tiyak na magsa-intersect ito sa C): ang mga intersection point nito na may bilog na C ay ang nais. Upang patunayan ito, sapat na upang maitaguyod na ang bawat isa sa mga punto ay nasa parehong distansya mula sa (tulad ng para sa mga puntos, ang kanilang kahalintulad na ari-arian ay agad na sumusunod mula sa pagtatayo). Sa katunayan, ito ay sapat na upang sumangguni sa mga pangyayari na ang punto kabaligtaran sa punto ay pinaghihiwalay mula sa mga punto sa pamamagitan ng isang distansya na katumbas ng radius ng bilog C (tingnan ang p. 184). Kapansin-pansin na ang bilog na dumadaan sa mga punto ay ang kabaligtaran na linya sa pagbabaligtad na may paggalang sa bilog C, dahil ang bilog na ito at ang linya ay nagsalubong.

kanin. 49. Intersection ng isang bilog at isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna

na may C sa parehong mga punto. (Kapag inverted, ang mga base circle point ay mananatiling maayos.)

Ang ipinahiwatig na konstruksiyon ay hindi posible lamang kung ang linya ay dumaan sa gitnang C. Ngunit pagkatapos ay ang mga intersection point ay matatagpuan sa pamamagitan ng konstruksiyon na inilarawan sa pahina 188, gaya ng nakuha kapag gumuhit tayo ng isang arbitrary na bilog na may gitnang B na intersecting sa C sa mga punto Paraan ng Ang pagguhit ng isang bilog na baligtad sa isang tuwid na linya na nagkokonekta sa dalawang ibinigay na mga punto ay agad na nagbibigay ng isang konstruksiyon na lumulutas sa Problema 4. Hayaang ang mga linya ay ibigay sa pamamagitan ng mga puntos (Larawan 50).

kanin. 50. Intersection ng dalawang linya

Gumuhit tayo ng di-makatwirang bilog C at, gamit ang pamamaraan sa itaas, bumuo ng mga bilog na kabaligtaran sa mga linya at Ang mga bilog na ito ay nagsalubong sa punto O at sa isa pang punto Point X, ang kabaligtaran ng punto, ay ang gustong intersection point: paano upang itayo ito ay naipaliwanag na sa itaas. Ang X ay ang nais na punto ay malinaw mula sa katotohanan na mayroong isang punto na kabaligtaran sa isang punto na sabay na kabilang sa parehong mga linya at, samakatuwid, isang punto X, ang kabaligtaran ay dapat na namamalagi nang sabay-sabay sa at sa

Kumpletuhin ng dalawang konstruksyon na ito ang patunay ng pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga konstruksyon ni Mascheroni, kung saan ang mga kumpas lamang ang pinahihintulutan, at mga ordinaryong geometric na konstruksyon na may mga kumpas at straightedge.

Hindi namin inaalala ang kagandahan ng paglutas ng mga indibidwal na problema na aming isinasaalang-alang dito, dahil ang aming layunin ay linawin ang panloob na kahulugan ng mga konstruksyon ni Mascheroni. Ngunit bilang isang halimbawa, ipahiwatig din namin ang pagbuo ng isang regular na pentagon; mas tiyak, pinag-uusapan natin ang tungkol sa paghahanap ng ilang limang punto sa isang bilog na maaaring magsilbing vertices ng isang regular na may inscribed na pentagon.

Hayaang ang A ay isang di-makatwirang punto sa bilog na K. Dahil ang gilid ng isang regular na inscribed na hexagon ay katumbas ng radius ng bilog, hindi magiging mahirap na isantabi sa K ang gayong mga punto na

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-1.jpg" alt="(!LANG:>Construction with ruler and compass Geometry">!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-2.jpg" alt="(!LANG:> Bumuo ng segment na katumbas ng ibinigay na Ú Problema A B"> Построить отрезок равный данному Ú Задача А В На данном луче от его начала С отложить отрезок, равный данному Ú Решение 1. Изобразим фигуры, данные в D условии задачи: луч ОС и отрезок АВ О 2. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ и с центром О. 3. Эта окружность пересечёт луч ОС в некой точке D. Отрезок OD – искомый.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-3.jpg" alt="(!LANG:> Pagbuo ng anggulo na katumbas ng isang ibinigay na isa Isaalang-alang ang mga tatsulok"> Построение угла равного данному Рассмотрим треугольники Ú АВС и ОDE. Задача В Отрезки АВ и АС являются равный Отложить от данного луча угол, данному Ú радиусами окружности с Решение 1. центром А, савершиной А и луч и ОЕ Построим угол отрезки OD ОМ А С 2. – радиусами окружности с Проведем окружность произвольного центром О. Таквершине А данного радиуса с центром в как по угла. 3. построениюпересекает стороны Эта окружность эти окружности имеют равные радиусы, то угла в точках В и С. 4. АВ=OD, AC=OE. Также же Затем проведём окружность того по Е радиуса с центром в начале данного построению ВС=DE. М луча ОМ. О D Следовательно, треугольники 5. Она пересекает луч в точке D. 6. равны по построим окружность с После этого 3 сторонам. Поэтому центром D, радиус которой равен ВС 7. угол DOEс= углу BAC. Т. е. Окружности центрами О и D построенный угол МОЕ равен пересекаются в двух точках. Одну из углу А. буквой Е них назовём 8. Докажем, что угол МОЕ - искомый!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-4.jpg" alt="(!LANG:> Paggawa ng isang angle bisector Problem Ú"> Построение биссектрисы угла Задача Ú Рассмотрим треугольники Ú АСЕ и АВЕ. биссектрису угла Построить Они равны по Ú трём сторонам. АЕ – общая, Решение Е 1. АС и АВ равны как угол ВАС Изобразим данный радиусы 2. одной и тойокружность Проведём же окружности, В СЕ = ВЕ по построению. произвольного радиуса с С Ú Изцентром А. Она пересечёт равенства треугольников следует, что угол САЕ В и С стороны угла в точках = углу 3. ВАЕ, т. е. луч АЕдве Затем проведём – окружности одинакового биссектриса данного угла. А радиуса ВС с центрами в точках В и С 4. Докажем, что луч АЕ – биссектриса угла ВАС!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-5.jpg" alt="(!LANG:> Konstruksyon ng mga perpendikular na linya Ú Problema na binigyan ng linya"> Построение перпендикулярных прямых Ú Задача Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку Р и перпендикулярную данной прямой. Ú Решение 1. Построим прямую а и точку М, принадлежащую этой прямой. 2. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. М а Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекутся в двух точках: P и Q. А B 3. Проведём прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР, и докажем, что эта прямая искомая, т. Е. что она перпендикулярна к данной прямой. 4. В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треугольника РАВ Q является также высотой, то РМ перпендикулярна а.!}

Src="https://present5.com/presentation/3/178794035_430371946.pdf-img/178794035_430371946.pdf-6.jpg" alt="(!LANG:> Pagbuo ng midpoint ng isang segment Gawain Ú Buuin ang midpoint ng isang binigay"> Построение середины отрезка Задача Ú Построить середину данного отрезка Ú Решение Р 1. Пусть АВ – данный отрезок. 2. Построим две окружности с 21 центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. О 3. Проведём прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с А B отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ 4. В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трём сторонам, поэтому угол 1 = Q углу 2 5. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. Е. точка О – середина отрезка АВ.!}

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

sekondaryang paaralan Blg. 34 na may malalim na pag-aaral ng mga indibidwal na paksa

MAN, Seksyon ng Physics at Mathematics

"Mga geometriko na konstruksyon gamit ang isang compass at straightedge"

Nakumpleto ng: mag-aaral ng 7 "A" na klase

Batishcheva Victoria

Pinuno: Koltovskaya V.V.

Voronezh, 2013

3. Konstruksyon ng isang anggulo na katumbas ng isang ibinigay na anggulo.

P gumuhit ng arbitrary na bilog na nakasentro sa vertex A ng ibinigay na anggulo (Larawan 3). Hayaang B at C ang mga intersection point ng bilog na may mga gilid ng anggulo. Sa radius AB, gumuhit kami ng isang bilog na nakasentro sa punto O, ang panimulang punto ng ibinigay na kalahating linya. Ang punto ng intersection ng bilog na ito na may ibinigay na kalahating linya ay tinutukoy ng C 1 . Ilarawan ang isang bilog na may gitnang C 1 at Fig.3

radius BC. Punto B 1 ang intersection ng mga itinayong bilog sa tinukoy na kalahating eroplano ay nasa gilid ng nais na anggulo.

6. Konstruksyon ng mga patayong linya.

Gumuhit kami ng bilog na may arbitrary radius r na nakasentro sa punto O Fig.6. Ang bilog ay nag-intersect sa linya sa mga puntong A at B.Mula sa mga punto A at B gumuhit kami ng mga bilog na may radius AB. Hayaan ang mapanglaw na C ang punto ng intersection ng mga bilog na ito. Nakakuha kami ng mga puntos A at B sa unang hakbang, kapag gumagawa ng isang bilog na may di-makatwirang radius.

Ang nais na linya ay dumadaan sa mga puntong C at O.

Fig.6

Mga Kilalang Isyu

1.gawain ni Brahmagupta

Bumuo ng inscribed quadrilateral na may apat na gilid. Ang isang solusyon ay gumagamit ng bilog ng Apollonius.Solusyonan natin ang problemang Apollonius gamit ang pagkakatulad sa pagitan ng tricycle at triangle. Paano natin mahahanap ang isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok: itinatayo namin ang intersection point ng mga bisectors, i-drop ang mga patayo mula dito sa mga gilid ng tatsulok, ang mga base ng mga patayo (ang mga punto ng intersection ng patayo sa gilid kung saan ito ay ibinababa) at bigyan kami ng tatlong puntos na nakahiga sa kinakailangang bilog. Gumuhit kami ng isang bilog sa tatlong puntong ito - handa na ang solusyon. Gayon din ang gagawin natin sa problemang Apollonius.

2. Problema ni Apollonius

Gumamit ng compass at straightedge upang bumuo ng isang bilog na padaplis sa tatlong ibinigay na bilog. Ayon sa alamat, ang problema ay binuo ni Apollonius ng Perga noong 220 BC. e. sa aklat na "Touch", na nawala, ngunit naibalik noong 1600 ni François Vieta, "Gallic Apollonius", gaya ng tawag sa kanya ng kanyang mga kontemporaryo.

Kung wala sa mga ibinigay na bilog ang nasa loob ng isa, kung gayon ang problemang ito ay may 8 na mahalagang magkakaibang mga solusyon.

Konstruksyon ng mga regular na polygon.

P

tama (o equilateral ) tatsulok - ito ay regular na polygonna may tatlong panig, ang una sa mga regular na polygon. Lahat gilid ng isang equilateral triangle ay pantay-pantay, at lahat ang mga anggulo ay 60°. Upang makabuo ng isang equilateral triangle, kailangan mong hatiin ang bilog sa 3 pantay na bahagi. Upang gawin ito, kinakailangan upang gumuhit ng isang arko na may radius R ng bilog na ito mula sa isang dulo lamang ng diameter, nakuha namin ang una at pangalawang dibisyon. Ang ikatlong dibisyon ay nasa tapat na dulo ng diameter. Pagkonekta sa mga puntong ito, nakakakuha tayo ng equilateral triangle.

Regular na heksagono pwedebumuo ng isang compass at straightedge. sa ibabaang paraan ng pagtatayo ay ibinigaysa pamamagitan ng paghahati ng bilog sa 6 na bahagi. Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga gilid ng isang regular na hexagon sa radius ng circumscribed na bilog. Mula sa magkasalungat na dulo ng isa sa mga diameter ng bilog, inilalarawan namin ang mga arko na may radius R. Ang mga intersection point ng mga arko na ito na may ibinigay na bilog ay hahatiin ito sa 6 na pantay na bahagi. Patuloy na pagkonekta sa mga puntos na natagpuan, isang regular na heksagono ay nakuha.

Konstruksyon ng isang regular na pentagon.

P
ang regular na pentagon ay maaaringginawa gamit ang isang compass at straightedge, o sa pamamagitan ng paglalagay nito sa isang ibinigaybilog, o sa pamamagitan ng pagbuo sa batayan ng isang naibigay na panig. Ang prosesong ito ay inilarawan ni Euclidsa kanyang Elements, mga 300 BC. e.

Narito ang isang paraan para sa pagbuo ng isang regular na pentagon sa isang partikular na bilog:

Bumuo ng isang bilog kung saan ang pentagon ay isusulat at italaga ang sentro nito bilangO . (Ito ang berdeng bilog sa diagram sa kanan).

Pumili ng isang punto sa bilogA , na magiging isa sa mga vertex ng pentagon. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ngO atA .

Bumuo ng isang linya na patayo sa linyaOA dumadaan sa puntoO . Italaga ang isa sa mga intersection nito sa bilog bilang isang puntoB .

Bumuo ng isang puntoC sa pagitan ngO atB .

C sa pamamagitan ng isang puntoA . Markahan ang intersection nito sa linyaOB (sa loob ng orihinal na bilog) bilang isang puntoD .

Gumuhit ng bilog na nakasentro saA hanggang sa punto D, markahan ang intersection ng bilog na ito ng orihinal (berdeng bilog) bilang mga puntoE atF .

Gumuhit ng bilog na nakasentro saE sa pamamagitan ng isang puntoA G .

Gumuhit ng bilog na nakasentro saF sa pamamagitan ng isang puntoA . Italaga ang iba pang intersection nito sa orihinal na bilog bilang isang puntoH .

Bumuo ng isang regular na pentagonAEGHF .

Mga problemang hindi malulutas

Ang sumusunod na tatlong gawain sa pagtatayo ay itinakda noong unang panahon:

Trisection ng anggulo - hatiin ang isang arbitrary na anggulo sa tatlong pantay na bahagi.

Sa madaling salita, kinakailangan upang bumuo ng mga trisector ng anggulo - ang mga sinag na naghahati sa anggulo sa tatlong pantay na bahagi. Pinatunayan ni P. L. Vanzel noong 1837 na ang problema ay malulutas lamang kapag, halimbawa, ang trisection ay magagawa para sa mga anggulo α = 360°/n, sa kondisyon na ang integer n ay hindi nahahati ng 3. Gayunpaman, sa press paminsan-minsan ay nai-publish (hindi tama) mga pamamaraan para sa pag-trisect ng isang anggulo na may compass at straightedge.

Pagdodoble ng Cube - isang klasikong sinaunang problema sa pagtatayo ng isang kubo na may isang kumpas at isang pinuno, ang dami nito ay dalawang beses ang dami ng isang ibinigay na kubo.

Sa modernong notasyon, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng equation. Ang lahat ay nagmumula sa problema ng pagbuo ng isang segment ng haba. Pinatunayan ni P. Wanzel noong 1837 na ang problemang ito ay hindi malulutas sa tulong ng isang compass at straightedge.

Pag-squaring ng bilog - ang gawain ng paghahanap ng isang construction gamit ang isang compass at isang ruler ng isang parisukat na katumbas ng lugar sa isang ibinigay na bilog.

Tulad ng alam mo, sa tulong ng isang compass at isang ruler, maaari mong gawin ang lahat ng 4 na operasyon ng aritmetika at kunin ang square root; kaya't sumusunod na ang pag-squaring ng isang bilog ay posible kung at kung, sa tulong ng isang may hangganang bilang ng mga naturang operasyon, posible na bumuo ng isang bahagi ng haba π. Kaya, ang kawalang-kalutasan ng problemang ito ay sumusunod sa di-algebraic na kalikasan (transcendence) ng bilang na π, na pinatunayan noong 1882 ni Lindemann.

Ang isa pang kilalang problema na hindi malulutas sa tulong ng isang kumpas at isang ruler aypagbuo ng isang tatsulok sa pamamagitan ng tatlong ibinigay na haba ng mga bisector .

Bukod dito, ang problemang ito ay nananatiling hindi malulutas kahit na sa pagkakaroon ng isang trisector.

Noong ika-19 na siglo lamang napatunayan na ang lahat ng tatlong problema ay hindi malulutas gamit lamang ang isang compass at straightedge. Ang tanong ng posibilidad ng pagtatayo ay ganap na nalutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng algebraic batay sa teorya ng Galois.

ALAM MO BA NA...

(mula sa kasaysayan ng mga geometric na konstruksyon)

Noong unang panahon, isang mystical na kahulugan ang namuhunan sa pagtatayo ng mga regular na polygon.

Kaya, ang mga Pythagorean, mga tagasunod ng mga turo sa relihiyon at pilosopikal na itinatag ni Pythagoras, at naninirahan sa sinaunang Greece (V ako-ako Vmga siglo BC BC), pinagtibay bilang tanda ng kanilang unyon ang isang star polygon na nabuo ng mga diagonal ng isang regular na pentagon.

Ang mga patakaran para sa mahigpit na geometriko na pagtatayo ng ilang mga regular na polygon ay itinakda sa aklat na "Mga Simula" ng sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid, na nanirahan saIIIsa. BC. Upang maisagawa ang mga konstruksyon na ito, iminungkahi ni Euclid na gumamit lamang ng isang ruler at isang compass, na sa oras na iyon ay walang hinged device para sa pagkonekta sa mga binti (ang gayong limitasyon sa mga tool ay isang kailangang-kailangan na kinakailangan ng sinaunang matematika).

Ang mga regular na polygon ay malawakang ginagamit sa sinaunang astronomiya. Kung interesado si Euclid sa pagtatayo ng mga figure na ito mula sa punto ng view ng matematika, kung gayon para sa sinaunang astronomong Greek na si Claudius Ptolemy (mga 90 - 160 AD) ito ay naging kinakailangan bilang isang pantulong na tool sa paglutas ng mga problema sa astronomiya. Kaya, sa 1st book ng Almagest, ang buong ikasampung kabanata ay nakatuon sa pagtatayo ng mga regular na pentagons at decagons.

Gayunpaman, bilang karagdagan sa mga purong siyentipikong gawa, ang pagtatayo ng mga regular na polygon ay isang mahalagang bahagi ng mga aklat para sa mga tagabuo, artisan, at artista. Ang kakayahang ilarawan ang mga figure na ito ay matagal nang kinakailangan sa arkitektura, alahas, at sining.

Ang "Sampung Aklat sa Arkitektura" ng Romanong arkitekto na si Vitruvius (na nabuhay humigit-kumulang noong 63-14 BC) ay nagsasabi na ang mga pader ng lungsod ay dapat magmukhang isang regular na polygon sa plano, at ang mga tore ng kuta ay "dapat gawing bilog o polygonal, dahil ang may apat na gilid sa halip nawasak sa pamamagitan ng pagkubkob armas.

Ang pagpaplano ng mga lungsod ay may malaking interes kay Vitruvius, na naniniwala na kinakailangan na planuhin ang mga lansangan upang ang mga pangunahing hangin ay hindi umihip sa kanila. Ipinapalagay na mayroong walong hangin at umiihip ang mga ito sa ilang direksyon.

Sa panahon ng Renaissance, ang pagtatayo ng mga regular na polygon, at lalo na ang pentagon, ay hindi isang simpleng larong matematika, ngunit isang kinakailangang paunang kinakailangan para sa pagtatayo ng mga kuta.

Ang regular na hexagon ay paksa ng isang espesyal na pag-aaral ng mahusay na Aleman na astronomo at matematiko na si Johannes Kepler (1571-1630), na binanggit niya sa kanyang aklat na Regalo ng Bagong Taon, o tungkol sa mga heksagonal na snowflake. Tinalakay niya ang mga dahilan kung bakit ang mga snowflake ay may heksagonal na hugis, ang mga tala niya, lalo na, ang mga sumusunod: "... ang eroplano ay maaaring takpan nang walang mga puwang lamang ng mga sumusunod na figure: equilateral triangles, squares at regular hexagons. Sa mga figure na ito, ang regular na hexagon ay sumasaklaw sa pinakamalaking lugar.

Ang isa sa mga pinakatanyag na siyentipiko na kasangkot sa mga geometric na konstruksyon ay ang mahusay na Aleman na artista at matematiko na si Albrecht Dürer (1471 -1528), na nagtalaga ng isang mahalagang bahagi ng kanyang aklat na "Mga Alituntunin ..." sa kanila. Iminungkahi niya ang mga patakaran para sa pagbuo ng mga regular na polygon na may 3. 4, 5 ... 16 na panig. Ang mga pamamaraan para sa paghahati ng bilog na iminungkahi ni Dürer ay hindi pangkalahatan; sa bawat kaso, isang indibidwal na pamamaraan ang ginagamit.

Inilapat ni Durer ang mga pamamaraan ng paggawa ng mga regular na polygon sa artistikong kasanayan, halimbawa, kapag lumilikha ng iba't ibang uri ng mga burloloy at pattern para sa parquet. Ang mga sketch ng gayong mga pattern ay ginawa niya sa isang paglalakbay sa Netherlands, kung saan matatagpuan ang mga parquet floor sa maraming bahay.

Ang Durer ay gumawa ng mga burloloy mula sa mga regular na polygon, na konektado sa mga singsing (mga singsing ng anim na equilateral triangles, apat na quadrangles, tatlo o anim na hexagons, labing-apat na heptagons, apat na octagons).

Konklusyon

Kaya,mga geometric na konstruksyon ay isang paraan ng paglutas ng isang problema kung saan ang sagot ay nakuha sa grapiko. Ang mga konstruksyon ay isinasagawa gamit ang mga tool sa pagguhit na may pinakamataas na katumpakan at katumpakan ng trabaho, dahil ang kawastuhan ng desisyon ay nakasalalay dito.

Salamat sa gawaing ito, nakilala ko ang kasaysayan ng pinagmulan ng compass, nalaman ko ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga geometric na konstruksyon nang mas detalyado, nakakuha ng bagong kaalaman at isinagawa ito.
Ang paglutas ng mga problema sa pagbuo gamit ang isang compass at isang ruler ay isang kapaki-pakinabang na palipasan ng oras na nagbibigay-daan sa iyo upang tingnan ang mga kilalang katangian ng mga geometric na hugis at ang kanilang mga elemento.Sa papel na ito, isinasaalang-alang namin ang mga pinaka-kagyat na problema na nauugnay sa mga geometric na konstruksyon gamit ang isang compass at straightedge. Ang mga pangunahing gawain ay isinasaalang-alang at ang kanilang mga solusyon ay ibinigay. Ang mga gawain sa itaas ay may malaking praktikal na interes, pinagsama ang kaalaman na nakuha sa geometry at maaaring magamit para sa praktikal na gawain.
Kaya, ang layunin ng gawain ay nakamit, ang mga gawain na itinakda ay natutupad.

2. Hatiin ito sa isang tiyak na bilang ng mga pantay na arko, sa aming kaso 8. Upang gawin ito, iguhit ang radii upang makakuha kami ng 8 arc, at ang anggulo sa pagitan ng dalawang pinakamalapit na radii ay katumbas ng
:
bilang ng mga panig (sa aming kaso 8.
Nakakakuha kami ng mga puntos A1, A2
, A3, A4, A5, A6, A7, A8.

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3
n-
parisukat
3. Ikonekta ang mga sentro ng bilog at isa sa kanilang mga punto ng intersection

Nakukuha namin ang tamang tatsulok

1
. Bumuo tayo ng 2 bilog na dumadaan sa gitna ng bawat isa.

2
. Ikonekta natin ang mga sentro gamit ang isang tuwid na linya, pagkuha ng isa sa mga gilid ng pentagon.

3. Ikonekta ang mga intersection point ng mga bilog.

5 . Ikinonekta namin ang mga punto ng intersection ng lahat ng mga linya sa orihinal na bilog.

Kumuha kami ng isang regular na hexagon
Patunay ng pagkakaroon ng isang tama
n-
parisukat
Kung ang
n
(ang bilang ng mga sulok ng polygon) ay mas malaki kaysa sa 2, kung gayon ang gayong polygon ay umiiral.
Subukan nating bumuo ng 8-gon at patunayan ito.
1. Kumuha ng bilog ng arbitrary radius na nakasentro sa puntong "O"

Pagbuo ng tatsulok na may compass at straightedge
«
O
» .

2. Bumuo tayo ng isa pang bilog na may parehong radius na dumadaan sa puntong "O".

4. Ikonekta ang mga puntos na nakalagay sa bilog.

Nakukuha namin ang tamang octagon.
Paggawa ng mga regular na polygon gamit ang isang compass at ruler.

Noong 1796, isa sa pinakadakilang mathematician sa lahat ng panahon, si Carl Friedrich Gauss, ay nagpakita ng posibilidad na makabuo ng tama.
n-
gons, kung pagkakapantay-pantay
n=
+ 1
, saan
n-
ang bilang ng mga sulok, at
k
- anumang natural na numero
.
Kaya, lumabas na sa loob ng 30 posible na hatiin ang bilog sa 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, pantay na mga bahagi
.
Noong 1836
Wanzel
pinatunayan na ang mga regular na polygon na hindi nakakatugon sa pagkakapantay-pantay na ito ay hindi maaaring gawin gamit ang isang ruler at isang compass.

Paggawa ng isang regular na hexagon gamit ang isang compass at ruler.

4. Gumuhit tayo ng mga tuwid na linya sa gitna ng paunang bilog at sa mga punto ng intersection ng arko sa bilog na ito

PANITIKAN
Atanasyan
L. S. et al. Geometry: Isang aklat-aralin para sa mga baitang 7-9 ng mga institusyong pang-edukasyon. - M: "Enlightenment". 1998.
B. I. Argunov, M. B.
Balk
. Mga geometric na konstruksyon sa eroplano, Handbook para sa mga mag-aaral ng mga pedagogical institute. Ikalawang edisyon. M.,
Uchpedgiz
, 1957 - 268 p.
I.F.
Sharygin
, L. N.
Erganzhiev
. "Visual Geometry".
Higit pa
isa
ang mahusay na matematiko na nag-aral ng mga regular na polygon ay
Euclid
o
Euclid
(ibang Griyego.
Εὐκλείδης
, mula sa "magandang katanyagan"
OK
. 300 BC e.)
–
may-akda ng unang umiiral na teoretikal na treatise sa matematika
.
Ang kanyang pangunahing gawain, Ang Mga Elemento, ay naglalaman ng isang paglalahad ng planimetry, solidong geometry, at isang serye ng mga problema sa teorya ng numero.
;
dito niya summed up ang karagdagang pag-unlad ng matematika. AT
IV
aklat, inilarawan niya ang pagtatayo ng mga regular na polygon na may
n
katumbas ng
3
, 4, 5, 6, 15

at tinukoy ang unang criterion para sa pagbuo ng mga polygon.
Konstruksyon ng isang regular na octagon.
1. Bumuo ng octagon gamit ang quadrilateral.
2. Ikonekta ang magkasalungat na vertices ng quadrilateral
3. Iguhit ang mga bisector ng mga anggulo na nabuo ng mga intersecting diagonal

mga tatsulok
, na ang mga gilid ay ang pinakamalapit na radii at
ang mga gilid ng resultang octagon ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito, ayon sa pagkakabanggit, ang mga gilid ng octagon ay pantay at ito ay tama. Ang patunay na ito ay nalalapat hindi lamang sa mga octagon
,
ngunit din sa mga polygon na may bilang ng mga sulok
higit sa 2
. Q.E.D
.
Patunay ng pagkakaroon ng isang tama
n-
parisukat

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3

apat. Gumuhit ng mga linya sa pamamagitan ng mga intersection point ng mga bilog
5. Ikinonekta namin ang mga punto ng intersection ng mga linya at bilog

Nakakakuha kami ng isang regular na quadrilateral.
Konstruksyon ng isang regular na pentagon sa pamamagitan ng pamamaraan ni Dürer.
6. Ikonekta ang mga punto ng contact ng mga segment na ito sa mga bilog na may mga dulo ng constructed side ng pentagon.
7. Bumuo tayo sa isang pentagon

Ang mga nagtatag ng seksyon ng matematika sa mga regular na polygon ay mga sinaunang siyentipikong Greek. Isa sa kanila ay
Archimedes.
Archimedes
- isang sikat na sinaunang Greek mathematician, physicist at engineer. Nakagawa siya ng maraming pagtuklas sa geometry, ipinakilala ang mga batayan ng mechanics, hydrostatics, at lumikha ng maraming mahahalagang imbensyon. Si Archimedes ay nahuhumaling lamang sa matematika. Nakalimutan niya ang tungkol sa pagkain, wala siyang pakialam sa kanyang sarili. Ang kanyang mga natuklasan ay nagsilbi para sa mga modernong imbensyon.
Paggawa ng isang regular na hexagon gamit ang isang compass at ruler.

1. Bumuo ng bilog na nakasentro sa isang punto
O
.
2. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa gitna ng bilog.
3. Gumuhit ng isang pabilog na arko ng parehong radius na nakasentro sa punto ng intersection ng tuwid na linya kasama ang bilog hanggang sa mag-intersect ito sa bilog.

Pagtatanghal sa tema: "Paggawa ng mga regular na polygon na may compass at straightedge"
Inihanda ni:
Guroma
Denis
10th grade student ng MBOU school No. 3
Guro:
Naimova
Tatyana Mikhailovna
2015
3. Salit-salit na ikonekta ang mga ito at makuha ang tamang octagon.
Patunay ng pagkakaroon ng isang tama
n-
parisukat

A2
A1
A8
A7
A6
A5
A4
A3
Konstruksyon ng isang regular na quadrilateral.

1. Bumuo ng bilog na nakasentro sa isang punto
O
.
2. Gumuhit ng 2 magkabilang patayo na diameter.
3. Mula sa mga punto kung saan hinawakan ng mga diameter ang bilog, gumuhit kami ng iba pang mga bilog ng isang naibigay na radius hanggang sa magsalubong sila (mga bilog).

Konstruksyon ng isang regular na pentagon sa pamamagitan ng pamamaraan ni Dürer.

4. Gumuhit ng isa pang bilog na may parehong radius na nakasentro sa intersection point ng iba pang dalawang bilog.

5. Gumuhit tayo ng 2 segment.