Algebraický výraz, v zázname ktorého sa popri operáciách sčítania, odčítania a násobenia používa aj delenie na doslovné výrazy, sa nazýva zlomkový algebraický výraz. Takými sú napríklad výrazy

Algebraickým zlomkom nazývame algebraický výraz, ktorý má tvar podielu delenia dvoch celočíselných algebraických výrazov (napríklad monočlenov alebo mnohočlenov). Takými sú napríklad výrazy

tretí z výrazov).

Identitné transformácie zlomkových algebraických výrazov sú z väčšej časti určené na to, aby ich reprezentovali ako algebraický zlomok. Na nájdenie spoločného menovateľa sa používa faktorizácia menovateľov zlomkov - členov s cieľom nájsť ich najmenší spoločný násobok. Pri redukcii algebraických zlomkov môže byť porušená prísna identita výrazov: je potrebné vylúčiť hodnoty veličín, pri ktorých mizne faktor, ktorým sa redukcia uskutočňuje.

Uveďme príklady identických transformácií zlomkových algebraických výrazov.

Príklad 1: Zjednodušte výraz

Všetky výrazy možno zredukovať na spoločného menovateľa (vhodné je zmeniť znamienko v menovateľovi posledného výrazu a znamienko pred ním):

Náš výraz sa rovná jednej pre všetky hodnoty okrem týchto hodnôt, nie je definovaný a redukcia zlomkov je nezákonná).

Príklad 2. Reprezentujte výraz ako algebraický zlomok

Riešenie. Výraz možno považovať za spoločného menovateľa. Postupne nájdeme:

Cvičenia

1. Nájdite hodnoty algebraických výrazov pre zadané hodnoty parametrov:

2. Faktorizujte.

Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Mononomy sa označujú aj ako polynómy, pričom monomizmus považujeme za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Všetky výrazy reprezentujeme ako monomály štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Vo výslednom polynóme dávame podobné výrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi nie sú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

Za polynomický stupeňštandardná forma preberá najväčšiu z právomocí svojich členov. Takže dvojčlen \(12a^2b - 7b \) má tretí stupeň a trojčlen \(2b^2 -7b + 6 \) má druhý stupeň.

Termíny štandardných polynómov obsahujúcich jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa jej exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Súčet niekoľkých polynómov možno previesť (zjednodušiť) na polynóm štandardnej formy.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže zátvorky sú opakom zátvoriek, je ľahké ich formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko + umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s rovnakými znamienkami.

Ak je znamienko "-" umiestnené pred zátvorkami, potom sa výrazy v zátvorkách píšu s opačnými znamienkami.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia je možné transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého člena mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým členom polynómu.

Toto pravidlo sme opakovane použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne použite nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Štvorce súčtu, rozdielu a rozdielu

Niektoré výrazy v algebraických transformáciách sa musia zaoberať častejšie ako iné. Možno najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), teda druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdielu a druhá mocnina rozdielu. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, takže napríklad \((a + b)^2 \) nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b však nie je taká častá, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú ľahko previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s takouto úlohou už stretli pri násobení polynómov :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Výsledné identity je užitočné zapamätať si a použiť ich bez prechodných výpočtov. Pomáhajú tomu krátke slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu je súčet druhých mocnín bez zdvojnásobenia súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú pri transformáciách nahradiť ich ľavé časti pravými a naopak - pravé časti ľavými. Najťažšie je v tomto prípade vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, čím sú v nich premenné a a b nahradené. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

Poznámka 1

Logická funkcia môže byť napísaná pomocou logického výrazu a potom môžete prejsť na logický obvod. Je potrebné zjednodušiť logické výrazy, aby sme získali čo najjednoduchší (a teda lacnejší) logický obvod. V skutočnosti sú logická funkcia, logický výraz a logický obvod tri rôzne jazyky, ktoré hovoria o tej istej entite.

Na zjednodušenie logických výrazov použite zákony algebry logiky.

Niektoré transformácie sú podobné transformáciám vzorcov v klasickej algebre (zátvorka spoločného činiteľa, použitie komutatívnych a kombinačných zákonov atď.), zatiaľ čo iné transformácie sú založené na vlastnostiach, ktoré klasické algebrické operácie nemajú (použitie distributívneho zákona pre konjunkciu, zákony absorpcie, lepenia, de Morganových pravidiel atď.).

Zákony algebry logiky sú formulované pre základné logické operácie – „NIE“ – inverzia (negácia), „AND“ – konjunkcia (logické násobenie) a „ALEBO“ – disjunkcia (logické sčítanie).

Zákon dvojitej negácie znamená, že operácia „NIE“ je reverzibilná: ak ju použijete dvakrát, potom sa logická hodnota nakoniec nezmení.

Zákon vylúčeného stredu uvádza, že každý logický výraz je buď pravdivý, alebo nepravdivý („neexistuje žiadna tretia“). Ak teda $A=1$, potom $\bar(A)=0$ (a naopak), čo znamená, že konjunkcia týchto veličín je vždy rovná nule a disjunkcia je rovná jednej.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Zjednodušme tento vzorec:

Obrázok 3

To znamená, že $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

odpoveď:študenti $B$, $C$ a $D$ hrajú šach, ale študent $A$ nehrá.

Pri zjednodušovaní logických výrazov môžete vykonať nasledujúcu postupnosť akcií:

1. Nahraďte všetky „nezákladné“ operácie (ekvivalencia, implikácia, XOR atď.) ich vyjadreniami prostredníctvom základných operácií inverzie, konjunkcie a disjunkcie.
2. Rozšírte inverzie komplexných výrazov podľa de Morganových pravidiel takým spôsobom, že iba jednotlivé premenné majú negačné operácie.
3. Potom zjednodušte výraz pomocou rozšírenia zátvoriek, uzavierania spoločných faktorov a iných zákonov logiky.

Príklad 2

Tu sa postupne používa de Morganovo pravidlo, distributívny zákon, zákon vylúčeného stredu, komutatívny zákon, zákon opakovania, opäť komutatívny zákon a zákon absorpcie.

Pomocou akéhokoľvek jazyka môžete vyjadriť rovnaké informácie rôznymi slovami a frázami. Matematický jazyk nie je výnimkou. Ale ten istý výraz môže byť ekvivalentne napísaný rôznymi spôsobmi. A v niektorých situáciách je jeden zo záznamov jednoduchší. V tejto lekcii budeme hovoriť o zjednodušení výrazov.

Ľudia komunikujú rôznymi jazykmi. Pre nás je dôležitým porovnaním dvojica „ruský jazyk – matematický jazyk“. Rovnaké informácie možno nahlásiť v rôznych jazykoch. Okrem toho sa však v jednom jazyku môže vyslovovať inak.

Napríklad: „Peter je priateľom s Vasyou“, „Vasya je priateľom s Petyou“, „Peter a Vasya sú priatelia“. Inak povedané, ale jedno a to isté. Pri ktorejkoľvek z týchto fráz by sme pochopili, čo je v stávke.

Pozrime sa na túto frázu: "Chlapec Petya a chlapec Vasya sú priatelia." Chápeme, čo je v stávke. Nepáči sa nám však, ako táto fráza znie. Nemôžeme to zjednodušiť, povedať to isté, ale jednoduchšie? "Chlapec a chlapec" - môžete raz povedať: "Chlapci Petya a Vasya sú priatelia."

"Chlapci" ... Z ich mien nie je jasné, že to nie sú dievčatá? Odstránime "chlapcov": "Petya a Vasya sú priatelia." A slovo „priatelia“ možno nahradiť „priatelia“: „Petya a Vasya sú priatelia.“ V dôsledku toho bola prvá, dlhá, škaredá fráza nahradená ekvivalentným vyhlásením, ktoré sa ľahšie hovorí a je ľahšie pochopiteľné. Túto frázu sme zjednodušili. Zjednodušiť znamená povedať to jednoduchšie, ale nestratiť, neskresľovať význam.

To isté sa deje v matematickom jazyku. To isté sa dá povedať inak. Čo to znamená zjednodušiť výraz? To znamená, že pre pôvodný výraz existuje veľa ekvivalentných výrazov, teda tých, ktoré znamenajú to isté. A z tohto množstva si musíme vybrať to najjednoduchšie, podľa nášho názoru, alebo najvhodnejšie pre naše ďalšie účely.

Predstavte si napríklad číselný výraz. Bude to ekvivalentné .

Bude tiež ekvivalentné prvým dvom: .

Ukazuje sa, že sme naše výrazy zjednodušili a našli sme najkratší ekvivalentný výraz.

V prípade číselných výrazov musíte vždy urobiť všetku prácu a získať ekvivalentný výraz ako jediné číslo.

Zvážte príklad doslovného výrazu . Je zrejmé, že to bude jednoduchšie.

Pri zjednodušovaní doslovných výrazov musíte vykonať všetky možné akcie.

Je vždy potrebné zjednodušiť výraz? Nie, niekedy bude pre nás pohodlnejší ekvivalentný, ale dlhší zápis.

Príklad: Odčítajte číslo od čísla.

Je možné vypočítať, ale ak by prvé číslo bolo reprezentované jeho ekvivalentným zápisom: , potom by výpočty boli okamžité: .

To znamená, že zjednodušený výraz nie je pre nás vždy prínosom pre ďalšie výpočty.

Napriek tomu veľmi často stojíme pred úlohou, ktorá znie len ako „zjednodušiť výraz“.

Zjednodušte výraz: .

Riešenie

1) Vykonajte akcie v prvej a druhej zátvorke: .

2) Vypočítajte produkty: .

Je zrejmé, že posledný výraz má jednoduchšiu formu ako počiatočný. Zjednodušili sme to.

Aby sa výraz zjednodušil, musí byť nahradený ekvivalentom (rovná sa).

Ak chcete určiť ekvivalentný výraz, musíte:

1) vykonať všetky možné akcie,

2) využiť vlastnosti sčítania, odčítania, násobenia a delenia na zjednodušenie výpočtov.

Vlastnosti sčítania a odčítania:

1. Komutatívna vlastnosť sčítania: súčet sa nemení preskupením pojmov.

2. Asociačná vlastnosť sčítania: ak chcete k súčtu dvoch čísel pridať tretie číslo, môžete k prvému číslu pridať súčet druhého a tretieho čísla.

3. Vlastnosť odčítania súčtu od čísla: ak chcete odpočítať súčet od čísla, môžete odpočítať každý výraz jednotlivo.

Vlastnosti násobenia a delenia

1. Komutatívna vlastnosť násobenia: súčin sa nemení z permutácie faktorov.

2. Asociačná vlastnosť: ak chcete vynásobiť číslo súčinom dvoch čísel, môžete ho najprv vynásobiť prvým faktorom a potom vynásobiť výsledný súčin druhým faktorom.

3. Distributívna vlastnosť násobenia: ak chcete vynásobiť číslo súčtom, musíte ho vynásobiť každým členom samostatne.

Pozrime sa, ako vlastne robíme mentálne výpočty.

Vypočítať:

Riešenie

1) Predstavte si ako

2) Predstavme si prvý násobiteľ ako súčet bitových členov a vykonajte násobenie:

3) viete si predstaviť, ako a vykonávať násobenie:

4) Nahraďte prvý faktor ekvivalentným súčtom:

Distributívny zákon možno použiť aj v opačnom smere: .

Nasleduj tieto kroky:

1) 2)

Riešenie

1) Pre pohodlie môžete použiť distribučný zákon, stačí ho použiť v opačnom smere - vytiahnite spoločný faktor zo zátvoriek.

2) Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek

V kuchyni a chodbe je potrebné zakúpiť linoleum. Kuchynská časť - chodba -. Existujú tri typy linolea: pre a ruble za. Koľko bude stáť každý z troch typov linolea? (obr. 1)

Ryža. 1. Ilustrácia stavu problému

Riešenie

Metóda 1. Samostatne môžete zistiť, koľko peňazí bude potrebné na nákup linolea v kuchyni, a potom ho pridajte do chodby a pridajte výsledné práce.

Poznámka 1

Logická funkcia môže byť napísaná pomocou logického výrazu a potom môžete prejsť na logický obvod. Je potrebné zjednodušiť logické výrazy, aby sme získali čo najjednoduchší (a teda lacnejší) logický obvod. V skutočnosti sú logická funkcia, logický výraz a logický obvod tri rôzne jazyky, ktoré hovoria o tej istej entite.

Na zjednodušenie logických výrazov použite zákony algebry logiky.

Niektoré transformácie sú podobné transformáciám vzorcov v klasickej algebre (zátvorka spoločného činiteľa, použitie komutatívnych a kombinačných zákonov atď.), zatiaľ čo iné transformácie sú založené na vlastnostiach, ktoré klasické algebrické operácie nemajú (použitie distributívneho zákona pre konjunkciu, zákony absorpcie, lepenia, de Morganových pravidiel atď.).

Zákony algebry logiky sú formulované pre základné logické operácie – „NIE“ – inverzia (negácia), „AND“ – konjunkcia (logické násobenie) a „ALEBO“ – disjunkcia (logické sčítanie).

Zákon dvojitej negácie znamená, že operácia „NIE“ je reverzibilná: ak ju použijete dvakrát, potom sa logická hodnota nakoniec nezmení.

Zákon vylúčeného stredu uvádza, že každý logický výraz je buď pravdivý, alebo nepravdivý („neexistuje žiadna tretia“). Ak teda $A=1$, potom $\bar(A)=0$ (a naopak), čo znamená, že konjunkcia týchto veličín je vždy rovná nule a disjunkcia je rovná jednej.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Zjednodušme tento vzorec:

Obrázok 3

To znamená, že $A = 0 $, $ B = 1 $, $ C = 1 $, $ D = 1 $.

odpoveď:študenti $B$, $C$ a $D$ hrajú šach, ale študent $A$ nehrá.

Pri zjednodušovaní logických výrazov môžete vykonať nasledujúcu postupnosť akcií:

1. Nahraďte všetky „nezákladné“ operácie (ekvivalencia, implikácia, XOR atď.) ich vyjadreniami prostredníctvom základných operácií inverzie, konjunkcie a disjunkcie.
2. Rozšírte inverzie komplexných výrazov podľa de Morganových pravidiel takým spôsobom, že iba jednotlivé premenné majú negačné operácie.
3. Potom zjednodušte výraz pomocou rozšírenia zátvoriek, uzavierania spoločných faktorov a iných zákonov logiky.

Príklad 2

Tu sa postupne používa de Morganovo pravidlo, distributívny zákon, zákon vylúčeného stredu, komutatívny zákon, zákon opakovania, opäť komutatívny zákon a zákon absorpcie.