Vyriešte systém s dvoma neznámymi - to znamená nájsť všetky dvojice premenných hodnôt, ktoré spĺňajú každú z daných rovníc. Každý takýto pár je tzv systémové riešenie.

Príklad:
Dvojica hodnôt \(x=3\);\(y=-1\) je riešením prvého systému, pretože dosadením týchto trojíc a mínusových jednotiek do systému namiesto \(x\) a \ (y\), obidve rovnice sa stanú platnými rovnosťami \(\začiatok(prípady)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(prípady) \)

Ale \(x=1\); \(y=-2\) - nie je riešením prvého systému, pretože po dosadení druhá rovnica "nekonverguje" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Všimnite si, že takéto dvojice sa často píšu kratšie: namiesto "\(x=3\); \(y=-1\)" sa píšu takto: \((3;-1)\).

Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?

Existujú tri hlavné spôsoby riešenia systémov lineárnych rovníc:

1. Substitučná metóda.

\(\začiatok(prípady)x-2y=5\\3x+2y=7 \koniec(prípady)\)\(\šípka vľavo\) \(\začiatok(prípady)x=5+2y\\3x+2y= 7\koniec (prípady)\)\(\šípka doľava doprava\)

Výsledný výraz namiesto tejto premennej dosaďte do inej rovnice sústavy.

\(\Šípka doľava\) \(\začiatok(prípady)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\koniec (prípady)\)\(\šípka doľava\)

1. \(\začiatok(prípadov)13x+9r=17\\12x-2y=26\koniec(prípadov)\)

   V druhej rovnici je každý člen párny, takže rovnicu zjednodušíme vydelením \(2\).
   

   \(\začiatok(prípady)13x+9y=17\\6x-y=13\koniec(prípady)\)

   Tento systém je možné vyriešiť akýmkoľvek spôsobom, ale zdá sa mi, že tu je najvhodnejšia substitučná metóda. Vyjadrime y z druhej rovnice.
   

   \(\začiatok(prípadov)13x+9r=17\\y=6x-13\koniec(prípadov)\)

   V prvej rovnici nahraďte \(y\) \(6x-13\).
   

   \(\začiatok(prípadov)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\koniec (prípadov)\)

   Prvá rovnica sa stala normálnou. Riešime to.

   Najprv otvoríme zátvorky.
   

   \(\začiatok(prípadov)13x+54x-117=17\\y=6x-13\koniec (prípadov)\)

   Posuňme \(117\) doprava a dajme podobné výrazy.

   \(\začiatok(prípadov)67x=134\\y=6x-13\koniec(prípadov)\)

   Vydeľte obe strany prvej rovnice \(67\).

   \(\začiatok(prípady)x=2\\y=6x-13\koniec(prípady)\)

   Hurá, našli sme \(x\)! Dosaďte jej hodnotu do druhej rovnice a nájdite \(y\).

   \(\začiatok(prípady)x=2\\y=12-13\koniec (prípady)\)\(\šípka doľava doprava\)\(\začiatok(prípady)x=2\\y=-1\koniec (prípady) )\)

   Zapíšme si odpoveď.

Sústavy lineárnych rovníc.

Systém rovníc sa nazýva lineárny, ak sú všetky rovnice v systéme lineárne. Je obvyklé písať systém rovníc pomocou zložených zátvoriek, napríklad:

Definícia:Dvojica hodnôt premenných, ktorá sa mení na skutočnú rovnosť, každá rovnica s dvoma premennými zahrnutými v systéme sa nazýva riešenie sústavy rovníc.

Vyriešte systém znamená nájsť všetky jeho riešenia alebo dokázať, že riešenia neexistujú.

Pri riešení sústavy lineárnych rovníc sú možné tieto tri prípady:

systém nemá žiadne riešenia;

systém má práve jedno riešenie;

Systém má nekonečne veľa riešení.
ja . Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Túto metódu môžeme nazvať aj „substitučná metóda“ alebo metóda eliminácie neznámych.

Tu máme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Všimnite si, že voľné členy (čísla -5 a -7) sa nachádzajú na ľavej strane rovnice. Systém píšeme v obvyklom tvare.

Nezabudnite, že pri prenose termínu z časti do časti musíte zmeniť jej znamienko.

Čo znamená riešiť sústavu lineárnych rovníc? Vyriešiť systém rovníc znamená nájsť také hodnoty premenných, ktoré premenia každú rovnicu systému na skutočnú rovnosť. Toto tvrdenie platí pre všetky sústavy rovníc s ľubovoľným počtom neznámych.

My rozhodujeme.

Z prvej rovnice systému vyjadríme:
. Toto je náhrada.

Výsledný výraz sa dosadí do druhej rovnice systému namiesto premennej

Vyriešme túto rovnicu pre jednu premennú.
Otvárame zátvorky, dávame podobné výrazy a nájdeme hodnotu :

4) Ďalej sa vrátime k striedaniu na výpočet hodnoty .Hodnotu už poznáme, zostáva nájsť:

5) Pár
je jediným riešením daného systému.

Odpoveď: (2,4; 2,2).

Potom, čo bol akýkoľvek systém rovníc vyriešený akýmkoľvek spôsobom, dôrazne odporúčam, aby ste si ho skontrolovali na návrhu. To sa robí jednoducho a rýchlo.

1) Dosaďte nájdenú odpoveď do prvej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

2) Nájdenú odpoveď dosadíme do druhej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

Uvažovaný spôsob riešenia nie je jediný, z prvej rovnice bolo možné vyjadriť , ale nie .

Môžete to aj naopak - vyjadriť niečo z druhej rovnice a dosadiť to do prvej rovnice. Zámenu je však potrebné vyhodnotiť tak, aby obsahovala čo najmenej zlomkových výrazov. Najnevýhodnejším zo štyroch spôsobov je vyjadrenie z druhej alebo z prvej rovnice:

alebo

V niektorých prípadoch sú však zlomky stále nevyhnutné. Každá úloha by sa mala snažiť vykonávať čo najracionálnejším spôsobom. To šetrí čas a tiež znižuje možnosť urobiť chybu.
Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

II. Riešenie sústavy metódou algebraického sčítania (odčítania) rovníc sústavy

Pri riešení sústav lineárnych rovníc možno použiť nie substitučnú metódu, ale metódu algebraického sčítania (odčítania) rovníc sústavy. Táto metóda šetrí čas a zjednodušuje výpočty, teraz však bude čoraz prehľadnejšia.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Zoberme si rovnaký systém ako v prvom príklade.

1) Pri analýze systému rovníc si všimneme, že koeficienty premennej y sú zhodné v absolútnej hodnote a opačné v znamienku (–1 a 1). V tejto situácii môžu byť rovnice pridané po členoch:

2) Vyriešme túto rovnicu pre jednu premennú.

Ako vidíte, v dôsledku termwise sčítania sme stratili premennú . Toto je v skutočnosti podstata metódy - zbaviť sa jednej z premenných.

3) Teraz je všetko jednoduché:
- dosaďte do prvej rovnice sústavy (môžete aj do druhej):

V čistom dizajne by riešenie malo vyzerať asi takto:

Odpoveď: (2,4; 2,2).

Príklad 4

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

V tomto príklade môžete použiť substitučnú metódu, no veľké mínus je, že keď vyjadríme akúkoľvek premennú z akejkoľvek rovnice, dostaneme riešenie v obyčajných zlomkoch. Len málo ľudí má rád akcie so zlomkami, čo znamená, že je to strata času a existuje vysoká pravdepodobnosť, že sa pomýli.

Preto je vhodné používať sčítanie (odčítanie) rovníc po členoch. Analyzujeme koeficienty pre zodpovedajúce premenné:

Ako vidíte, čísla v pároch (14 a 7), (-9 a -2) sú rôzne, preto ak rovnice práve teraz sčítame (odčítame), premennej sa nezbavíme. Preto by som rád videl v jednom z párov rovnaké modulo čísla, napríklad 14 a -14 alebo 18 a -18.

Budeme brať do úvahy koeficienty premennej .

14x - 9r \u003d 24;

7x – 2r \u003d 17.
Vyberieme číslo, ktoré by bolo deliteľné 14 aj 7 a malo by byť čo najmenšie. V matematike sa takéto číslo nazýva najmenší spoločný násobok. Ak ste s výberom bezradní, potom si koeficienty jednoducho vynásobíte.

Druhú rovnicu vynásobíme 14: 7 \u003d 2.

Ako výsledok:

Teraz odčítajte druhý od prvej rovnice po členoch.

Treba si uvedomiť, že by to bolo naopak – odpočítajte prvú od druhej rovnice, nič to nemení.

Nájdenú hodnotu teraz dosadíme do jednej z rovníc systému, napríklad do prvej:

odpoveď: (3:2)

Poďme vyriešiť systém iným spôsobom. Zvážte koeficienty pre premennú .

14x - 9r \u003d 24;

7x – 2r \u003d 17.

Je zrejmé, že namiesto dvojice koeficientov (-9 a -3) potrebujeme získať 18 a -18.

Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu (-2), druhú rovnicu vynásobte 9:

Pridávame rovnice po členoch a nájdeme hodnoty premenných:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu x do jednej z rovníc systému, napríklad do prvej:

odpoveď: (3:2)

Druhá metóda je o niečo racionálnejšia ako prvá, pretože sčítanie je jednoduchšie a príjemnejšie ako odčítanie. Pri riešení systémov majú najčastejšie tendenciu sčítať a násobiť, než odčítať a deliť.
Príklad 5

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Toto je príklad na samostatné riešenie (odpoveď na konci prednášky).
Príklad 6

Vyriešte sústavu rovníc

Riešenie. Systém nemá riešenia, pretože dve rovnice systému nemôžu byť splnené súčasne (z prvej rovnice
a od druhej

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.
Príklad 7

vyriešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém má nekonečne veľa riešení, keďže druhá rovnica sa získa z prvej vynásobením 2 (t.j. v skutočnosti existuje len jedna rovnica s dvoma neznámymi).

Odpoveď: Nekonečne veľa riešení.
III. Riešenie systému pomocou matíc.

Determinant tohto systému je determinant zložený z koeficientov neznámych. Tento determinant

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, pre rodičov na ovládanie riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoje vlastné školenia a/alebo školenia vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa rovnice najskôr zjednodušia. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch možno oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Vyriešte sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc substitučnou metódou:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz v inej rovnici systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime z prvej rovnice y až x: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x namiesto y do druhej rovnice dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnice y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Zvážte iný spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - metódu sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitučnou metódou prechádzame z danej sústavy do inej jemu ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc metódou sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte člen po člene ľavú a pravú časť rovníc systému;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním členov po členoch ľavej a pravej časti rovníc dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38 \) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38 \). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Riešenie systému rovníc sme teda našli pridaním: \(x=11; y=-9 \) alebo \((11; -9) \)

Využijúc fakt, že koeficienty y v rovniciach sústavy sú opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch častí každej z rovníc pôvodnej symme), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a OGE testy online Hry, hádanky Zostrojovanie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Adresár ruských škôl Katalóg stredných škôl v Rusku Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

V tejto lekcii zvážime metódy riešenia systému lineárnych rovníc. V kurze vyššej matematiky je potrebné riešiť sústavy lineárnych rovníc ako vo forme samostatných úloh, napr. „Vyriešte sústavu pomocou Cramerových vzorcov“, tak aj v rámci riešenia iných úloh. So sústavami lineárnych rovníc sa treba zaoberať takmer vo všetkých odvetviach vyššej matematiky.

Najprv trocha teórie. Čo v tomto prípade znamená matematické slovo „lineárny“? To znamená, že v rovniciach sústavy všetky premenné sú zahrnuté v prvom stupni: žiadne vymyslené veci ako atď., z ktorých sa tešia len účastníci matematických olympiád.

Vo vyššej matematike sa na označenie premenných nepoužívajú len písmená známe z detstva.
Pomerne populárnou možnosťou sú premenné s indexmi: .
Alebo začiatočné písmená latinskej abecedy, malé a veľké:
Nie je tak zriedkavé nájsť grécke písmená: - mnohým dobre známe "alfa, beta, gama". A tiež súbor s indexmi, povedzme, s písmenom „mu“:

Použitie jedného alebo druhého súboru písmen závisí od odvetvia vyššej matematiky, v ktorom sa stretávame so systémom lineárnych rovníc. Takže napríklad v systémoch lineárnych rovníc, s ktorými sa stretávame pri riešení integrálov, diferenciálnych rovníc, je tradične zvyčajné používať označenie

Ale bez ohľadu na to, ako sú premenné označené, princípy, metódy a metódy riešenia systému lineárnych rovníc sa od toho nemenia. Preto, ak narazíte na niečo hrozné, ako je, neponáhľajte sa zavrieť knihu problémov v strachu, koniec koncov, namiesto toho môžete nakresliť slnko, namiesto toho - vtáka a namiesto toho - tvár (učiteľa). A napodiv je možné vyriešiť aj systém lineárnych rovníc s týmito zápismi.

Niečo, čo mám takú predtuchu, že článok bude dosť dlhý, takže malý obsah. Takže sekvenčné „zhrnutie“ bude nasledovné:

– Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou („školská metóda“);
– Riešenie sústavy metódou sčítania (odčítania) rovníc sústavy po členoch;
– Riešenie sústavy podľa Cramerových vzorcov;
– Riešenie sústavy pomocou inverznej matice;
– Riešenie sústavy Gaussovou metódou.

Systémy lineárnych rovníc pozná každý zo školského kurzu matematiky. V skutočnosti začíname s opakovaním.

Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou

Túto metódu môžeme nazvať aj „školská metóda“ alebo metóda odstraňovania neznámych. Obrazne povedané, možno ju nazvať aj „polodokončenou Gaussovou metódou“.

Príklad 1

Tu máme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Všimnite si, že voľné členy (čísla 5 a 7) sa nachádzajú na ľavej strane rovnice. Vo všeobecnosti je jedno, kde sú, vľavo alebo vpravo, len sa tak často nachádzajú v úlohách z vyššej matematiky. A takýto záznam by nemal byť mätúci, v prípade potreby môže byť systém vždy napísaný "ako obvykle":. Nezabudnite, že pri prenose termínu z časti do časti musíte zmeniť jej znamienko.

Čo znamená riešiť sústavu lineárnych rovníc? Riešiť sústavu rovníc znamená nájsť množinu jej riešení. Riešením systému je množina hodnôt všetkých premenných v ňom zahrnutých, ktorý mení KAŽDÚ rovnicu systému na skutočnú rovnosť. Okrem toho môže byť systém nezlučiteľné (nemám riešenia).Nehanbite sa, toto je všeobecná definícia =) Budeme mať len jednu hodnotu "x" a jednu hodnotu "y", ktoré spĺňajú každú rovnicu s-my.

Na riešenie systému existuje grafická metóda, ktorú nájdete v lekcii. Najjednoduchšie problémy s priamkou. Tam som hovoril o geometrický zmysel sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ale teraz na dvore je éra algebry a čísel - čísel, akcií - akcií.

My rozhodujeme: z prvej rovnice vyjadríme:
Výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice:

Otvoríme zátvorky, zadáme podobné výrazy a nájdeme hodnotu:

Ďalej si pripomíname, z čoho tancovali:
Už poznáme hodnotu, zostáva nájsť:

Odpoveď:

Potom, čo bol AKÝKOĽVEK systém rovníc vyriešený AKÝMKOĽVEK spôsobom, dôrazne odporúčam skontrolovať (ústne, na koncepte alebo na kalkulačke). Našťastie sa to robí rýchlo a jednoducho.

1) Dosaďte nájdenú odpoveď do prvej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

2) Nájdenú odpoveď dosadíme do druhej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

Alebo, jednoduchšie povedané, „všetko sa spojilo“

Uvažovaný spôsob riešenia nie je jediný, z prvej rovnice bolo možné vyjadriť , ale nie .
Môžete to aj naopak - vyjadriť niečo z druhej rovnice a dosadiť to do prvej rovnice. Mimochodom, všimnite si, že najnevýhodnejším zo štyroch spôsobov je vyjadrenie z druhej rovnice:

Získajú sa zlomky, ale prečo? Existuje racionálnejšie riešenie.

V niektorých prípadoch sú však zlomky stále nevyhnutné. V tejto súvislosti dávam do pozornosti AKO som ten výraz napísal. Nie takto: a v žiadnom prípade nie takto: .

Ak sa vo vyššej matematike zaoberáte zlomkovými číslami, skúste všetky výpočty vykonať v bežných nesprávnych zlomkoch.

Presne tak, nie alebo!

Čiarka sa môže použiť len príležitostne, najmä ak - toto je konečná odpoveď na nejaký problém a s týmto číslom nie je potrebné vykonávať žiadne ďalšie akcie.

Mnohí čitatelia si pravdepodobne pomysleli „prečo také podrobné vysvetlenie, ako pri opravnej triede, a všetko je jasné“. Nič také, zdá sa, že je to taký jednoduchý školský príklad, ale koľko VEĽMI dôležitých záverov! Tu je ďalší:

Každá úloha by sa mala snažiť dokončiť čo najracionálnejším spôsobom.. Už len preto, že šetrí čas a nervy a tiež znižuje pravdepodobnosť, že urobíte chybu.

Ak v úlohe z vyššej matematiky narazíte na systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi, potom môžete vždy použiť substitučnú metódu (pokiaľ nie je uvedené, že systém je potrebné vyriešiť inou metódou) “.
Navyše, v niektorých prípadoch je vhodné použiť substitučnú metódu s väčším počtom premenných.

Príklad 2

Riešte sústavu lineárnych rovníc s tromi neznámymi

Podobný systém rovníc často vzniká pri použití takzvanej metódy neurčitých koeficientov, keď nájdeme integrál racionálnej zlomkovej funkcie. Odtiaľ som daný systém prevzal ja.

Pri hľadaní integrálu – cieľa rýchlo nájdite hodnoty koeficientov a nebuďte sofistikovaní pomocou Cramerových vzorcov, metódy inverznej matice atď. Preto je v tomto prípade vhodná substitučná metóda.

Keď je daný akýkoľvek systém rovníc, v prvom rade je žiaduce to zistiť, ale dá sa to OKAMŽITE nejako zjednodušiť? Pri analýze rovníc systému si všimneme, že druhú rovnicu systému možno deliť 2, čo robíme:

Referencia: matematický symbol znamená „z toho vyplýva toto“, často sa používa pri riešení problémov.

Teraz analyzujeme rovnice, musíme vyjadriť nejakú premennú cez zvyšok. Akú rovnicu zvoliť? Pravdepodobne ste už uhádli, že najjednoduchším spôsobom na tento účel je vziať prvú rovnicu systému:

Tu nezáleží na tom, ktorú premennú vyjadriť, rovnako dobre by sa dalo vyjadriť alebo .

Ďalej dosadíme výraz pre do druhej a tretej rovnice systému:

Otvorte zátvorky a pridajte podobné výrazy:

Tretiu rovnicu vydelíme 2:

Z druhej rovnice vyjadríme a dosadíme do tretej rovnice:

Takmer všetko je pripravené, z tretej rovnice nájdeme:
Z druhej rovnice:
Z prvej rovnice:

Kontrola: Nahraďte nájdené hodnoty premenných na ľavej strane každej rovnice systému:

1)
2)
3)

Získajú sa zodpovedajúce pravé strany rovníc, takže riešenie je nájdené správne.

Príklad 3

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc so 4 neznámymi

Toto je príklad na samoriešenie (odpoveď na konci hodiny).

Riešenie sústavy sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy po členoch

Pri riešení sústav lineárnych rovníc by sme sa mali snažiť použiť nie „školskú metódu“, ale metódu sčítania (odčítania) rovníc systému po členoch. prečo? To šetrí čas a zjednodušuje výpočty, ale teraz to bude jasnejšie.

Príklad 4

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Vzal som rovnaký systém ako v prvom príklade.
Pri analýze systému rovníc si všimneme, že koeficienty premennej sú identické v absolútnej hodnote a opačné v znamienku (–1 a 1). V tejto situácii môžu byť rovnice pridané po členoch:

Činnosti zakrúžkované červenou farbou sa vykonávajú MENTÁLNE.
Ako vidíte, v dôsledku termwise sčítania sme stratili premennú . Toto v skutočnosti je podstatou metódy je zbaviť sa jednej z premenných.