Pri riešení niektorých geometrických úloh súradnicovou metódou je potrebné nájsť súradnice priesečníka priamok. Najčastejšie je potrebné hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine, ale niekedy je potrebné určiť súradnice priesečníka dvoch priamok v priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať hľadaním súradníc bodu, v ktorom sa pretínajú dve priamky.

Navigácia na stránke.

Priesečník dvoch priamok je definícia.

Najprv definujme priesečník dvoch priamok.

V časti o vzájomnej polohe priamok v rovine je ukázané, že dve priamky v rovine sa môžu buď zhodovať (a majú nekonečne veľa spoločných bodov), alebo byť rovnobežné (v tomto prípade dve priamky nemajú žiadne body v rovine). spoločné), alebo sa pretínajú, pričom majú jeden spoločný bod. Možností vzájomného usporiadania dvoch priamok v priestore je viac - môžu sa zhodovať (majú nekonečne veľa spoločných bodov), môžu byť rovnobežné (to znamená, že ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa), môžu sa pretínať. (neležia v rovnakej rovine) a môžu mať aj jeden spoločný bod, teda pretínať sa. Takže dve čiary v rovine aj v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Z definície pretínajúcich sa čiar to vyplýva určenie priesečníka čiar: Bod, kde sa pretínajú dve priamky, sa nazýva priesečník týchto priamok. Inými slovami, jediným spoločným bodom dvoch pretínajúcich sa čiar je priesečník týchto čiar.

Pre názornosť uvádzame grafické znázornenie priesečníka dvoch priamok v rovine a v priestore.

Začiatok stránky

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine podľa ich známych rovníc zvážime pomocnú úlohu.

Oxy a a b. Budeme predpokladať, že priamy a zodpovedá všeobecnej rovnici priamky a priamky b- typ. Nech je nejaký bod roviny a je potrebné zistiť, či bod je M 0 priesečník daných čiar.

Poďme vyriešiť problém.

Ak M0 a a b, potom podľa definície tiež patrí do riadku a a priamy b, to znamená, že jeho súradnice musia súčasne spĺňať rovnicu aj rovnicu . Preto musíme nahradiť súradnice bodu M 0 do rovníc daných čiar a zistite, či sa získajú dve skutočné rovnosti. Ak súradnice bodu M 0 spĺňajú obe rovnice a , potom je priesečník čiar a a b, inak M 0 .

Ide o pointu M 0 so súradnicami (2, -3) priesečník čiar 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0?

Ak M 0 je priesečník daných priamok, potom jeho súradnice spĺňajú rovnice priamok. Skontrolujeme to dosadením súradníc bodu M 0 do uvedených rovníc:

Máme teda dve skutočné rovnosti, M 0 (2, -3)- priesečník čiar 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0.

Pre prehľadnosť uvádzame nákres, ktorý zobrazuje priame čiary a zobrazuje súradnice bodu ich priesečníka.

áno, bodka M 0 (2, -3) je priesečník čiar 5x-2y-16=0 a 2x-5y-19=0.

Pretínajú sa čiary? 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0 v bode M 0 (2, -3)?

Dosaďte súradnice bodu M 0 do rovníc priamok, týmto úkonom skontrolujeme, či bod patrí M 0 oba riadky naraz:

Od druhej rovnice pri dosadzovaní súradníc bodu do nej M 0 nepremenila na skutočnú rovnosť, teda pointu M 0 nepatrí do radu 7x-2y+11=0. Z tejto skutočnosti môžeme usúdiť, že bod M 0 nie je priesečníkom daných čiar.

Na výkrese je tiež jasne vidieť, že bod M 0 nie je priesečníkom čiar 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0. Je zrejmé, že dané čiary sa pretínajú v bode so súradnicami (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nie je priesečníkom čiar 5x+3y-1=0 a 7x-2y+11=0.

Teraz môžeme pristúpiť k problému hľadania súradníc priesečníka dvoch priamok podľa zadaných rovníc priamok v rovine.

Nech je na rovine pripevnený pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy a dané dve pretínajúce sa čiary a a b rovnice a resp. Priesečník daných priamok označme ako M 0 a vyriešte nasledujúci problém: nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok a a b podľa známych rovníc týchto čiar a .

Bodka M0 patrí každej z pretínajúcich sa čiar a a b podľa definície. Potom súradnice priesečníka čiar a a b splniť rovnicu aj rovnicu . Preto súradnice priesečníka dvoch čiar a a b sú riešením sústavy rovníc (pozri článok riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc).

Aby sme teda našli súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v rovine všeobecnými rovnicami, je potrebné vyriešiť sústavu zloženú z rovníc daných priamok.

Uvažujme o príklade riešenia.

Nájdite priesečník dvoch priamok definovaných v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine rovnicami x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Sú nám dané dve všeobecné rovnice priamok, zostavíme z nich sústavu: . Riešenia výsledného systému rovníc sa dajú ľahko nájsť, ak je jeho prvá rovnica vyriešená vzhľadom na premennú X a dosaďte tento výraz do druhej rovnice:

Nájdené riešenie sústavy rovníc nám dáva požadované súradnice priesečníka dvoch priamok.

M 0 (4, 2)- priesečník čiar x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Takže hľadanie súradníc priesečníka dvoch priamok, definovaných všeobecnými rovnicami v rovine, je redukované na riešenie systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými. Ale čo ak sú priamky na rovine dané nie všeobecnými rovnicami, ale rovnicami iného typu (pozri typy rovnice priamky na rovine)? V týchto prípadoch môžete najskôr uviesť rovnice čiar do všeobecného tvaru a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Pred nájdením súradníc priesečníka daných priamok uvedieme ich rovnice do všeobecného tvaru. Prechod z parametrických rovníc priamky na všeobecnú rovnicu tejto priamky je nasledovný:

Teraz vykonáme potrebné akcie s kanonickou rovnicou čiary:

Požadované súradnice priesečníka čiar sú teda riešením systému rovníc tvaru . Na jeho vyriešenie používame Cramerovu metódu:

M 0 (-5, 1)

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine. Je vhodné ho použiť, keď jedna z priamych čiar je daná parametrickými rovnicami tvaru , a druhá je daná rovnicou priamky iného typu. V tomto prípade do inej rovnice namiesto premenných X a r môžete dosadiť výrazy a , odkiaľ získate hodnotu, ktorá zodpovedá priesečníku daných čiar. V tomto prípade má priesečník čiar súradnice .

Nájdime takto súradnice priesečníka priamok z predchádzajúceho príkladu.

Určte súradnice priesečníka čiar a .

Dosaďte v rovnici priameho výrazu:

Vyriešením výslednej rovnice dostaneme . Táto hodnota zodpovedá spoločnému bodu čiar a . Súradnice priesečníka vypočítame dosadením priamky do parametrických rovníc:
.

M 0 (-5, 1).

Na dokončenie obrazu je potrebné prediskutovať ešte jeden bod.

Pred zistením súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine je vhodné sa presvedčiť, či sa dané priamky skutočne pretínajú. Ak sa ukáže, že pôvodné čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné, potom nemôže byť reč o nájdení súradníc priesečníka takýchto čiar.

Môžete samozrejme urobiť bez takejto kontroly a okamžite zostaviť systém rovníc formulára a vyriešiť ho. Ak má sústava rovníc jednoznačné riešenie, potom udáva súradnice bodu, v ktorom sa pôvodné priamky pretínajú. Ak systém rovníc nemá žiadne riešenia, potom môžeme dospieť k záveru, že pôvodné čiary sú rovnobežné (keďže neexistuje taký pár reálnych čísel X a r, čo by súčasne spĺňalo obe rovnice daných čiar). Z prítomnosti nekonečnej množiny riešení sústavy rovníc vyplýva, že pôvodné priamky majú nekonečne veľa spoločných bodov, čiže sa zhodujú.

Pozrime sa na príklady, ktoré zodpovedajú týmto situáciám.

Zistite, či sa čiary a pretínajú, a či sa pretínajú, potom nájdite súradnice priesečníka.

Uvedené rovnice čiar zodpovedajú rovnicam a . Poďme riešiť sústavu zloženú z týchto rovníc.

Je zrejmé, že rovnice systému sú lineárne vyjadrené cez seba (druhá rovnica systému sa získa z prvej vynásobením oboch jej častí číslom 4 ), preto má sústava rovníc nekonečný počet riešení. Teda rovnice a definujú rovnakú čiaru a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

rovníc a sú definované v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy rovnakú priamku, takže nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka.

Nájdite súradnice priesečníka čiar a ak je to možné.

Stav problému pripúšťa, že čiary sa nemusia pretínať. Zostavme si sústavu týchto rovníc. Na jeho vyriešenie používame Gaussovu metódu, pretože nám umožňuje zistiť kompatibilitu alebo nekonzistentnosť systému rovníc a v prípade jeho kompatibility nájsť riešenie:

Posledná rovnica sústavy sa po priamom priebehu Gaussovej metódy zmenila na nesprávnu rovnosť, preto sústava rovníc nemá riešenia. Z toho môžeme usúdiť, že pôvodné čiary sú rovnobežné a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

Druhé riešenie.

Poďme zistiť, či sa dané čiary pretínajú.

Normálny vektor je čiara a vektor je normálny vektor čiary. Skontrolujme splnenie podmienky kolinárnosti vektorov a : rovnosť platí, keďže teda normálové vektory daných čiar sú kolineárne. Potom sú tieto čiary rovnobežné alebo sa zhodujú. Nemôžeme teda nájsť súradnice priesečníka pôvodných čiar.

nie je možné nájsť súradnice priesečníka daných čiar, pretože tieto čiary sú rovnobežné.

Nájdite súradnice priesečníka čiar 2x-1=0 a ak sa pretínajú.

Zostavme sústavu rovníc, ktoré sú všeobecnými rovnicami daných čiar: . Determinant hlavnej matice tejto sústavy rovníc je odlišný od nuly, preto sústava rovníc má jedinečné riešenie, ktoré udáva priesečník daných priamok.

Aby sme našli súradnice priesečníka čiar, musíme vyriešiť systém:

Výsledné riešenie nám dáva súradnice priesečníka čiar, to znamená - priesečník čiar 2x-1=0 a .

Začiatok stránky

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore.

Súradnice priesečníka dvoch priamok v trojrozmernom priestore sa nachádzajú podobne.

Nechajte pretínajúce sa čiary a a b daný v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín, teda priamky a je určený systémom formulára a riadku b- . Nechaj M 0- priesečník čiar a a b. Potom pointa M 0 podľa definície patrí do radu a a priamy b, preto jeho súradnice spĺňajú rovnice oboch priamok. Teda súradnice priesečníka čiar a a b predstavujú riešenie sústavy lineárnych rovníc tvaru . Tu budeme potrebovať informácie z časti o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných.

Uvažujme o príkladoch.

Nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok daných v priestore rovnicami a .

Zostavme sústavu rovníc z rovníc daných čiar: . Riešenie tohto systému nám poskytne požadované súradnice priesečníka priamok v priestore. Nájdime riešenie napísanej sústavy rovníc.

Hlavná matica systému má tvar a rozšírená - .

Určte poradie matice ALE a maticová hodnosť T. Používame metódu ohraničenia maloletých, pričom výpočet determinantov nebudeme podrobne popisovať (v prípade potreby pozri článok o výpočte determinantu matice):

Hodnosť hlavnej matice sa teda rovná hodnote rozšírenej matice a rovná sa trom.

Preto má systém rovníc jedinečné riešenie.

Determinant berieme ako základ minor, preto by mala byť posledná rovnica zo sústavy rovníc vylúčená, pretože sa nezúčastňuje na tvorbe základne minor. takže,

Riešenie výsledného systému nájdete jednoducho:

Teda priesečník čiar a má súradnice (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Je potrebné poznamenať, že systém rovníc má jedinečné riešenie práve vtedy, ak sú čiary a a b pretínajú. Ak priamo a a b rovnobežné alebo pretínajúce sa, potom posledná sústava rovníc nemá riešenia, keďže v tomto prípade priamky nemajú spoločné body. Ak rovno a a b zhodujú, potom majú nekonečnú množinu spoločných bodov, preto má uvedený systém rovníc nekonečnú množinu riešení. V týchto prípadoch však nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka čiar, pretože čiary sa nepretínajú.

Ak to teda vopred nevieme, dané čiary sa pretínajú a a b alebo nie, je rozumné zostaviť sústavu rovníc tvaru a vyriešiť ju Gaussovou metódou. Ak dostaneme jedinečné riešenie, potom bude zodpovedať súradniciam priesečníka čiar a a b. Ak sa ukáže, že systém je nekonzistentný, tak ten priamy a a b nepretínajú sa. Ak má systém nekonečný počet riešení, potom priame a a b zápas.

Môžete to urobiť bez použitia Gaussovej metódy. Prípadne môžete vypočítať poradie hlavných a rozšírených matíc tohto systému a na základe získaných údajov a Kronecker-Capelliho vety urobiť záver buď o existencii jediného riešenia, alebo o existencii mnohých riešení, alebo o absencii riešení. Je to vec vkusu.

Ak sa čiary a pretínajú, určte súradnice priesečníka.

Zostavme sústavu daných rovníc: . Riešime to Gaussovou metódou v maticovom tvare:

Ukázalo sa, že sústava rovníc nemá riešenia, preto sa dané priamky nepretínajú a o nájdení súradníc priesečníka týchto priamok nemôže byť ani reči.

nemôžeme nájsť súradnice priesečníka daných čiar, keďže tieto čiary sa nepretínajú.

Ak sú pretínajúce sa čiary dané kanonickými rovnicami čiary v priestore alebo parametrickými rovnicami čiary v priestore, mali by ste najprv získať ich rovnice vo forme dvoch pretínajúcich sa rovín a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Dve pretínajúce sa čiary sú dané v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz rovnice a . Nájdite súradnice priesečníka týchto čiar.

Stanovme počiatočné priamky rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín:

Na nájdenie súradníc priesečníka priamok zostáva vyriešiť sústavu rovníc. Hodnosť hlavnej matice tohto systému sa rovná hodnote rozšírenej matice a je rovná trom (odporúčame túto skutočnosť skontrolovať). Ako základ moll berieme , preto môže byť posledná rovnica zo systému vylúčená. Po vyriešení výsledného systému akoukoľvek metódou (napríklad Cramerovou metódou) dostaneme riešenie . Teda priesečník čiar a má súradnice (-2, 3, -5) .

Ak sa čiary pretínajú v bode , riešením sú jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu je pre vás geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi sú dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Úlohu možno pohodlne rozdeliť do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu jednej priamky.
2) Napíšte rovnicu druhej priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Príklad 13

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Priesečník je vhodné vyhľadať analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Odpoveď:

Ustanovenie 6.4. Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "ro", napríklad: - vzdialenosť od bodu "em" k priamke "de".

Vzdialenosť od bodu do rovnej sa vyjadruje vzorcom

Príklad 14

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Ustanovenie 6.5. Uhol medzi čiarami.

Príklad 15

Nájdite uhol medzi čiarami.

1. Skontrolujte, či sú čiary kolmé:

Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.
2. Uhol medzi čiarami nájdeme pomocou vzorca:

Touto cestou:

Odpoveď:

Krivky druhého rádu. Kruh

Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém 0xy.

Krivka druhého rádu nazýva sa priamka v rovine, určená rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice bodu M (x, y, z). Vo všeobecnosti má táto rovnica tvar:

kde koeficienty A, B, C, D, E, L sú ľubovoľné reálne čísla a aspoň jedno z čísel A, B, C je nenulové.

1.Obvod množina bodov v rovine sa nazýva, pričom vzdialenosť od pevného bodu M 0 (x 0, y 0) je konštantná a rovná sa R. Bod M 0 sa nazýva stred kružnice a číslo R je jeho polomer

- rovnica kružnice so stredom v bode M 0 (x 0, y 0) a polomere R.

Ak sa stred kruhu zhoduje s počiatkom, potom máme:

je kanonická rovnica kruhu.

Elipsa.

Elipsa nazýva sa množina bodov v rovine, pre každý z nich je súčet vzdialeností dvoch daných bodov konštantnou hodnotou (navyše táto hodnota je väčšia ako vzdialenosti medzi danými bodmi). Tieto body sa nazývajú elipsové triky.

je kanonická rovnica elipsy.

Vzťah sa nazýva výstrednosť elipsa a označuje sa: , . Odvtedy< 1.

Preto, ako pomer klesá, má tendenciu k 1, t.j. b sa len málo líši od a a tvar elipsy sa približuje tvaru kruhu. V obmedzujúcom prípade pri , získa sa kruh, ktorého rovnica je

x 2 + y 2 \u003d a 2.

Hyperbola

Hyperbola nazýva sa množina bodov v rovine, pre každý z nich je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností k dvom daným bodom, tzv. triky, je konštantná hodnota (za predpokladu, že táto hodnota je menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami a nerovná sa 0).

Nech F 1 , F 2 sú ohniská, vzdialenosť medzi nimi označíme 2с, parameter paraboly).

je kanonická rovnica paraboly.

Všimnite si, že rovnica pre záporné p tiež definuje parabolu, ktorá bude umiestnená naľavo od osi 0y. Rovnica opisuje parabolu, ktorá je symetrická okolo osi 0y, leží nad osou 0x pre p > 0 a leží pod osou 0x pre p< 0.

Pri riešení niektorých geometrických úloh súradnicovou metódou je potrebné nájsť súradnice priesečníka priamok. Najčastejšie je potrebné hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine, ale niekedy je potrebné určiť súradnice priesečníka dvoch priamok v priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať hľadaním súradníc bodu, v ktorom sa pretínajú dve priamky.

Navigácia na stránke.

Priesečník dvoch priamok je definícia.

Najprv definujme priesečník dvoch priamok.

Aby sme teda našli súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v rovine všeobecnými rovnicami, je potrebné vyriešiť sústavu zloženú z rovníc daných priamok.

Uvažujme o príklade riešenia.

Príklad.

Nájdite priesečník dvoch priamok definovaných v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine rovnicami x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0 .

Riešenie.

Dostali sme dve všeobecné rovnice priamok, zostavíme z nich systém: . Riešenia výsledného systému rovníc sa dajú ľahko nájsť, ak je jeho prvá rovnica vyriešená vzhľadom na premennú x a tento výraz sa dosadí do druhej rovnice:

Nájdené riešenie sústavy rovníc nám dáva požadované súradnice priesečníka dvoch priamok.

odpoveď:

M°(4,2) x-9y+14=0 a 5x-2y-16=0.

Takže hľadanie súradníc priesečníka dvoch priamok, definovaných všeobecnými rovnicami v rovine, je redukované na riešenie systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými. Ale čo ak sú priamky na rovine dané nie všeobecnými rovnicami, ale rovnicami iného typu (pozri typy rovnice priamky na rovine)? V týchto prípadoch môžete najskôr uviesť rovnice čiar do všeobecného tvaru a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Príklad.

a .

Riešenie.

Pred nájdením súradníc priesečníka daných priamok uvedieme ich rovnice do všeobecného tvaru. Prechod z parametrických rovníc na priamku všeobecná rovnica tejto priamky je nasledovná:

Teraz vykonáme potrebné akcie s kanonickou rovnicou čiary:

Požadované súradnice priesečníka priamok sú teda riešením sústavy rovníc formulára . Na jeho vyriešenie používame:

odpoveď:

M 0 (-5, 1)

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine. Je vhodné ho použiť, keď je jedna z čiar daná parametrickými rovnicami formulára , a druhá - rovnica priamky iného tvaru. V tomto prípade v inej rovnici namiesto premenných x a y môžete nahradiť výrazy a , z ktorej bude možné získať hodnotu, ktorá zodpovedá priesečníku daných čiar. V tomto prípade má priesečník čiar súradnice .

Nájdime takto súradnice priesečníka priamok z predchádzajúceho príkladu.

Príklad.

Určte súradnice priesečníka čiar a .

Riešenie.

Dosaďte v rovnici priameho výrazu:

Vyriešením výslednej rovnice dostaneme . Táto hodnota zodpovedá spoločnému bodu čiar a . Súradnice priesečníka vypočítame dosadením priamky do parametrických rovníc:
.

odpoveď:

M° (-5, 1).

Na dokončenie obrazu je potrebné prediskutovať ešte jeden bod.

Pred zistením súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine je vhodné sa presvedčiť, či sa dané priamky skutočne pretínajú. Ak sa ukáže, že pôvodné čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné, potom nemôže byť reč o nájdení súradníc priesečníka takýchto čiar.

Môžete sa samozrejme zaobísť bez takejto kontroly a okamžite zostaviť systém rovníc formulára a vyriešiť to. Ak má sústava rovníc jednoznačné riešenie, potom udáva súradnice bodu, v ktorom sa pôvodné priamky pretínajú. Ak sústava rovníc nemá riešenia, potom môžeme usúdiť, že pôvodné priamky sú rovnobežné (keďže neexistuje taká dvojica reálnych čísel x a y, ktorá by súčasne spĺňala obe rovnice daných priamok). Z prítomnosti nekonečnej množiny riešení sústavy rovníc vyplýva, že pôvodné priamky majú nekonečne veľa spoločných bodov, čiže sa zhodujú.

Pozrime sa na príklady, ktoré zodpovedajú týmto situáciám.

Príklad.

Zistite, či sa čiary a pretínajú, a či sa pretínajú, potom nájdite súradnice priesečníka.

Riešenie.

Uvedené rovnice priamok zodpovedajú rovniciam a . Poďme riešiť sústavu zloženú z týchto rovníc .

Je zrejmé, že rovnice sústavy sú lineárne vyjadrené jedna cez druhú (druhú rovnicu sústavy získame z prvej vynásobením oboch jej častí číslom 4), preto sústava rovníc má nekonečný počet riešení. Teda rovnice a definujú rovnakú čiaru a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

odpoveď:

Rovnice a určujú rovnakú priamku v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy, takže nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka čiar a , Ak je to možné.

Riešenie.

Stav problému pripúšťa, že čiary sa nemusia pretínať. Zostavme si sústavu týchto rovníc. Použiteľné pre jeho riešenie, pretože vám umožňuje stanoviť kompatibilitu alebo nekonzistentnosť systému rovníc a ak je kompatibilný, nájsť riešenie:

Posledná rovnica sústavy sa po priamom priebehu Gaussovej metódy zmenila na nesprávnu rovnosť, preto sústava rovníc nemá riešenia. Z toho môžeme usúdiť, že pôvodné čiary sú rovnobežné a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

Druhé riešenie.

Poďme zistiť, či sa dané čiary pretínajú.

- vektor normálnej čiary a vektor je normálny vektor priamky . Skontrolujeme vykonanie a : rovnosť je pravda, keďže , teda normálové vektory daných čiar sú kolineárne. Potom sú tieto čiary rovnobežné alebo sa zhodujú. Nemôžeme teda nájsť súradnice priesečníka pôvodných čiar.

odpoveď:

Nie je možné nájsť súradnice priesečníka daných čiar, pretože tieto čiary sú rovnobežné.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka priamok 2x-1=0 a ak sa pretínajú.

Riešenie.

Zostavíme sústavu rovníc, ktoré sú všeobecnými rovnicami daných čiar: . Determinant hlavnej matice tohto systému rovníc je odlišný od nuly , tak sústava rovníc má jedinečné riešenie, ktoré udáva priesečník daných priamok.

Aby sme našli súradnice priesečníka čiar, musíme vyriešiť systém:

Výsledné riešenie nám dáva súradnice priesečníka čiar, tj. 2x-1=0 a .

odpoveď:

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore.

Súradnice priesečníka dvoch priamok v trojrozmernom priestore sa nachádzajú podobne.

Uvažujme o príkladoch.

Príklad.

Nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok daných v priestore rovnicami a .

Riešenie.

Z rovníc daných čiar poskladáme sústavu rovníc: . Riešenie tohto systému nám poskytne požadované súradnice priesečníka priamok v priestore. Nájdime riešenie napísanej sústavy rovníc.

Hlavná matica systému má tvar a rozšírené .

Poďme definovať A a poradie matice T . Používame

V dvojrozmernom priestore sa dve priamky pretínajú len v jednom bode, ktorý je daný súradnicami (x, y). Keďže obe priamky prechádzajú ich priesečníkom, súradnice (x, y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto priamky opisujú. S niektorými pokročilými schopnosťami môžete nájsť priesečníky parabol a iných kvadratických kriviek.

Kroky

Priesečník dvoch čiar

Napíšte rovnicu každého riadku, pričom izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice. Je možné, že rovnica, ktorú ste dostali namiesto "y", bude obsahovať premennú f (x) alebo g (x); v tomto prípade izolujte takúto premennú. Ak chcete izolovať premennú, vykonajte príslušné matematické operácie na oboch stranách rovnice.

• Ak vám nie sú dané rovnice čiar, na základe vám známych informácií.
• Príklad. Dané priamky opísané rovnicami a y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Ak chcete izolovať "y" v druhej rovnici, pridajte číslo 12 na obe strany rovnice:

1. Hľadáte priesečník oboch priamok, teda bod, ktorého súradnice (x, y) spĺňajú obe rovnice. Keďže premenná "y" je na ľavej strane každej rovnice, výrazy na pravej strane každej rovnice možno prirovnať. Napíšte novú rovnicu.

   • Príklad. Pretože y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) a y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), potom môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: .

2. Nájdite hodnotu premennej "x". Nová rovnica obsahuje iba jednu premennú „x“. Ak chcete nájsť "x", izolujte túto premennú na ľavej strane rovnice vykonaním príslušného výpočtu na oboch stranách rovnice. Mali by ste skončiť s rovnicou ako x = __ (ak to nedokážete, pozrite si túto časť).

   • Príklad. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pridať 2x (\displaystyle 2x) na každú stranu rovnice:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Odčítajte 3 z každej strany rovnice:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Vydeľte každú stranu rovnice 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Zistenú hodnotu premennej "x" použite na výpočet hodnoty premennej "y". Ak to chcete urobiť, nahraďte nájdenú hodnotu "x" v rovnici (ľubovoľná) priamka.

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) a y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Skontrolujte odpoveď. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu "x" v inej rovnici priamky a nájdite hodnotu "y". Ak získate rôzne hodnoty "y", skontrolujte, či sú vaše výpočty správne.

   • Príklad: x = 3 (\displaystyle x=3) a y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dostali ste rovnakú hodnotu "y", takže vo výpočtoch nie sú žiadne chyby.

5. Zapíšte si súradnice (x, y). Výpočtom hodnôt "x" a "y" ste našli súradnice priesečníka dvoch čiar. Zapíšte súradnice priesečníka do tvaru (x, y).

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) a y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dve priamky sa teda pretínajú v bode so súradnicami (3,6).

6. Výpočty v špeciálnych prípadoch. V niektorých prípadoch nie je možné nájsť hodnotu premennej "x". To však neznamená, že ste urobili chybu. Špeciálny prípad nastáva, keď je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

   • Ak sú dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na nezmyselnú rovnosť (napr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). V takom prípade do odpovede napíšte, že sa čiary nepretínajú alebo neexistuje žiadne riešenie.
   • Ak obe rovnice opisujú jednu priamku, potom bude existovať nekonečný počet priesečníkov. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na striktnú rovnosť (napr. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). V takom prípade do odpovede napíšte, že tieto dva riadky sa zhodujú.

   Problémy s kvadratickými funkciami

   1. Definícia kvadratickej funkcie. V kvadratickej funkcii má jedna alebo viac premenných druhý stupeň (ale nie vyšší), napr. x 2 (\displaystyle x^(2)) alebo y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafy kvadratických funkcií sú krivky, ktoré sa nemusia pretínať alebo pretínať v jednom alebo dvoch bodoch. V tejto časti vám povieme, ako nájsť bod alebo body priesečníka kvadratických kriviek.

   2. Prepíšte každú rovnicu izoláciou premennej "y" na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice.

      • Príklad. Nájdite bod(y) priesečníka grafov x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) a
      • Izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice:
      • a y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • V tomto príklade dostanete jednu kvadratickú funkciu a jednu lineárnu funkciu. Pamätajte, že ak dostanete dve kvadratické funkcie, výpočty sú rovnaké ako kroky uvedené nižšie.

   3. Prirovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Keďže premenná "y" je na ľavej strane každej rovnice, výrazy na pravej strane každej rovnice možno prirovnať.

      • Príklad. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) a y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Preneste všetky členy výslednej rovnice na jej ľavú stranu a na pravú stranu napíšte 0. Za týmto účelom vykonajte základné matematické operácie. To vám umožní vyriešiť výslednú rovnicu.

      • Príklad. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Odčítajte „x“ od oboch strán rovnice:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Odčítajte 7 od oboch strán rovnice:

   5. Vyriešte kvadratickú rovnicu. Prenesením všetkých členov rovnice na jej ľavú stranu získate kvadratickú rovnicu. Dá sa vyriešiť tromi spôsobmi: pomocou špeciálneho vzorca a.

      • Príklad. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Pri faktorizácii rovnice dostanete dva dvojčleny, ktoré po vynásobení dajú pôvodnú rovnicu. V našom príklade prvý člen x 2 (\displaystyle x^(2)) možno rozložiť na x*x. Zadajte nasledujúci údaj: (x) (x) = 0
      • V našom príklade môže byť priesečník -6 faktorizovaný takto: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • V našom príklade je druhým členom x (alebo 1x). Pridajte každú dvojicu interceptorových faktorov (v našom príklade -6), kým nezískate 1. V našom príklade je správna dvojica interceptorových faktorov -2 a 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pretože − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Medzery doplňte nájdenou dvojicou čísel: .

   6. Nezabudnite na druhý priesečník dvoch grafov. Ak problém vyriešite rýchlo a nie veľmi opatrne, môžete zabudnúť na druhý priesečník. Tu je návod, ako nájsť súradnice "x" dvoch priesečníkov:

      • Príklad (faktoring). Ak v rovnici (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jeden z výrazov v zátvorkách sa bude rovnať 0, potom sa celá rovnica bude rovnať 0. Preto ju môžeme zapísať takto: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) a x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to znamená, že ste našli dva korene rovnice).
      • Príklad (použite vzorec alebo celý štvorec). Pri použití jednej z týchto metód sa v procese riešenia objaví druhá odmocnina. Napríklad rovnica z nášho príkladu bude mať tvar x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pamätajte, že pri odmocnení dostanete dve riešenia. V našom prípade: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), a 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Zapíšte si teda dve rovnice a nájdite dve hodnoty x.

   7. Grafy sa pretínajú v jednom bode alebo sa nepretínajú vôbec. Takéto situácie nastávajú, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

      • Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom sa kvadratická rovnica rozloží na rovnaké faktory, napríklad (x-1) (x-1) = 0, a druhá odmocnina z 0 sa objaví vo vzorci ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). V tomto prípade má rovnica len jedno riešenie.
      • Ak sa grafy vôbec nepretínajú, rovnica sa nerozloží a vo vzorci sa objaví druhá odmocnina záporného čísla (napr. − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). V takom prípade do odpovede napíšte, že riešenie neexistuje.

1. Ak chcete nájsť súradnice priesečníka grafov funkcií, musíte obe funkcie navzájom vyrovnať, presunúť všetky výrazy obsahujúce $ x $ na ľavú stranu a zvyšok na pravú stranu a nájsť korene výsledného rovnica.
2. Druhým spôsobom je zostaviť sústavu rovníc a vyriešiť ju dosadením jednej funkcie do inej
3. Tretia metóda zahŕňa grafickú konštrukciu funkcií a vizuálnu definíciu priesečníka.

Prípad dvoch lineárnych funkcií

Uvažujme dve lineárne funkcie $ f(x) = k_1 x+m_1 $ a $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Tieto funkcie sa nazývajú priame. Ich zostavenie je dosť jednoduché, stačí vziať ľubovoľné dve hodnoty $x_1$ a $x_2$ a nájsť $f(x_1)$ a $(x_2)$. Potom zopakujte to isté s funkciou $ g(x) $. Potom vizuálne nájdite súradnicu priesečníka grafov funkcií.

Mali by ste vedieť, že lineárne funkcie majú iba jeden priesečník a iba vtedy, keď $ k_1 \neq k_2 $. V opačnom prípade v prípade $ k_1=k_2 $ sú funkcie navzájom paralelné, pretože $ k $ je faktor sklonu. Ak $ k_1 \neq k_2 $, ale $ m_1=m_2 $, potom priesečník bude $ M(0;m) $. Pre urýchlenie riešenia problémov je žiaduce zapamätať si toto pravidlo.

Príklad 1

Nech je dané $ f(x) = 2x-5 $ a $ g(x)=x+3 $. Nájdite súradnice priesečníka funkčných grafov.

Riešenie

Ako to spraviť? Keďže sú prezentované dve lineárne funkcie, prvá vec, na ktorú sa pozrieme, je koeficient sklonu oboch funkcií $ k_1 = 2 $ a $ k_2 = 1 $. Všimnite si, že $ k_1 \neq k_2 $, takže existuje jeden priesečník. Nájdite to pomocou rovnice $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Posúvame výrazy z $ x $ na ľavú stranu a zvyšok doprava: $$ 2x - x = 3+5 $$ Dostali sme $ x=8 $ úsečku priesečníka grafov a teraz nájdime ordinátu. Aby sme to dosiahli, nahradíme $ x = 8 $ do ktorejkoľvek z rovníc buď v $ f(x) $ alebo v $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cbodka 8 – 5 = 16 – 5 = 11 $$ Takže $ M (8;11) $ - je priesečník grafov dvoch lineárnych funkcií. Ak nemôžete vyriešiť svoj problém, pošlite nám ho. Poskytneme podrobné riešenie. Budete sa môcť zoznámiť s priebehom výpočtu a získať informácie. To vám pomôže získať kredit od učiteľa včas!

Odpoveď

$$ M (8;11) $$

Prípad dvoch nelineárnych funkcií

Príklad 3

Nájdite súradnice priesečníka funkčných grafov: $ f(x)=x^2-2x+1 $ a $ g(x)=x^2+1 $

Riešenie

A čo dve nelineárne funkcie? Algoritmus je jednoduchý: zrovnáme rovnice navzájom a nájdeme korene: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Rozložili sme výrazy s $ x $ a bez neho na rôznych stranách rovnice: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Abscisa požadovaného bodu bola nájdená, ale to nestačí. Súradnica $ y $ stále chýba. Dosaďte $ x = 0 $ do ktorejkoľvek z dvoch rovníc úlohy. Napríklad: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - priesečník grafov funkcií

Odpoveď

$$ M (0;1) $$