Neurológia 

Problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť pomocou kružidla a pravítka. Budova s ​​kompasom a pravítkom


Tento článok je založený na jednej zo sekcií knihy „Programovanie v Pythone“ od Sedgwicka, Wayna a Dondera, ktorá už bola spomenutá vyššie. Táto časť sa nazýva „Systémy iteračných funkcií“ a popisuje konštrukciu rôznych obrázkov, ako je Sierpinského trojuholník, Barnsleyho papraď a niektoré ďalšie, pomocou pomerne jednoduchého algoritmu, ktorý sa navyše ľahko implementuje.

Začnem popisom tohto algoritmu. Použijem matematickú terminológiu, vrátane tej, ktorú autori knihy v rámci svojho rozprávania nepoužívajú. Čisto matematický pohľad na algoritmy mi uľahčuje ich pochopenie a je pre mňa celkom pohodlné vyjadriť ich pomocou matematického jazyka.

Čitateľ teda na pochopenie teoretickej časti článku bude potrebovať znalosti z niektorých častí matematiky, ktoré sa bežne čítajú na technických univerzitách. Konkrétne by bolo užitočné zoznámiť sa s teóriou pravdepodobnosti a prvkami matematickej analýzy.

Po teoretickej časti článku bude nasledovať praktická časť popisujúca implementáciu algoritmu v jazyku C99. Keďže výsledkom programu budú obrázky, použijeme v programe grafickú knižnicu pgraph za predpokladu, že ju čitateľ aspoň vo všeobecnosti pozná.

Prejdime teda k teoretickej časti nášho príbehu.

Iteračné funkcie a náhodné postupnosti

Predtým, ako popíšeme schému, podľa ktorej budú obrázky zostavené, povedzme si o sekvenciách, ktorých členy sú vypočítané pomocou opakujúcich sa vzorcov.

Definujme 2 postupnosti, x n n = 1 ∞ a y n n = 1 ∞ , pomocou nasledujúcich rekurzívnych vzorcov:

Xn = f x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

Poďme si to vysvetliť X 0 a r 0 sú niektoré preddefinované čísla a f(X, r) a g(X, r) sú niektoré funkcie dvoch premenných tzv iteratívny. Zavolá sa proces výpočtu ďalšieho člena konkrétnej postupnosti prostredníctvom takýchto funkcií iterácií a vyššie uvedený súbor opakujúcich sa vzorcov je iteratívna schéma.

Rekurzívny spôsob špecifikácie postupností je čitateľovi s najväčšou pravdepodobnosťou známy, ak študoval matematiku na univerzite. Trochu nezvyčajná sa môže zdať „krížová“ metóda na výpočet členov postupností, v ktorých na výpočet nčlen každej z dvoch sekvencií je potrebný nielen n− 1. člen tej istej postupnosti, ale aj n− 1. člen je iný.

Teraz uvažujme o schéme konštrukcie členov dvoch sekvencií, ktorá využíva nielen jeden pár iteračných funkcií, ale m para. Každá z týchto funkcií bude lineárna v oboch premenných a bude obsahovať aj aditívnu konštantu. Konkrétnejšie, funkcie budú vyzerať takto:

Fk x, y = ak x + b k y + c k g k x, y = d k x + e k y + h k, k = 0, 1, ..., m-1.

Pre každého n, počnúc od 1, náhodne vyberie číslo od 0 do m− 1 a pri výpočte x n a y n v opakujúcich sa vzorcoch sa použije dvojica iteračných funkcií, ktorých indexy sa rovnajú danému náhodnému číslu. Všimnite si, že náhodné čísla „objavujúce sa“ pred každou iteráciou nemusia byť rovnako pravdepodobné. Pri rôznych krokoch je však pravdepodobnosť výskytu konkrétneho pevného čísla rovnaká.

Sformulujme teraz to, čo bolo povedané striktným matematickým jazykom. Uvažujme postupnosť diskrétnych náhodných premenných T n = 1 ∞ , nezávislých v celku, rozdelených podľa rovnakého zákona. Konkrétne: každá náhodná premenná nadobúda hodnoty 0, 1, ..., m− 1 so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami p 0 , p 1 , …, p m-1 .

Teraz sú postupnosti x n n = 1 ∞ a y n n = 1 ∞ definované pomocou nasledujúcej iteračnej schémy:

Xn = f Tn x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ , y n = g T n x n - 1 , y n - 1 , n ∈ ℕ .

ako predtým, X 0 a r 0 je niekoľko preddefinovaných čísel.

Každá zo sekvencií je teda náhodná, to znamená, že jej členmi sú náhodné premenné. Každá z týchto sekvencií sa však dá „realizovať“, teda vypočítať všetky jej členy (samozrejme, takýchto implementácií bude nekonečne veľa).

Pozrime sa na hlavnú otázku tejto časti. A čo majú obrázky, ktoré vytvoríme, spoločné s touto dvojicou náhodných sekvencií? Veľmi jednoduché. Skonštruujme realizáciu týchto dvoch sekvencií. Pre každý prírodný n pár ( x n, y n) možno považovať za súradnice bodu daného v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme v rovine. Takže obraz zodpovedajúci nejakému páru implementovaných sekvencií je miestom všetkých takýchto bodov v rovine.

Zdalo by sa, že pre každú implementáciu dvojice sekvencií získame vlastný obrázok, odlišný od ostatných. Akokoľvek paradoxné sa to však môže zdať, výsledné obrázky sa budú zakaždým takmer zhodovať (t. j. pri vykreslení na počítači budú ľudským okom nerozoznateľné). A s vhodným výberom iteračných funkcií a distribučných zákonov náhodných premenných podieľajúcich sa na tvorbe členov sekvencie možno vytvoriť veľmi zaujímavé vzory.

Dodávame, že pri konštrukcii obrázkov na počítači, samozrejme, vykonáme len konečný (ale dostatočne veľký) počet iterácií.

O generovaní pseudonáhodných čísel

Pri písaní programu sa stretneme s potrebou generovať pseudonáhodné čísla distribuované, všeobecne povedané, nie rovnomerne, ale podľa vopred určeného zákona. Zároveň budeme mať iba softvérový generátor pseudonáhodných čísel rovnomerne rozložených v intervale . Ako získať prvý z druhej distribúcie?

Preložme problém do matematickej roviny. Nech existuje spojitá náhodná premenná U, rovnomerne rozložené na segmente . Dajme si za cieľ skonštruovať diskrétnu náhodnú premennú T ako funkcia U, takže T nadobúdal hodnoty 0, 1, ..., m− 1 so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami p 0 , p 1 , …, p m-1 .

Riešenie problému je veľmi jednoduché. Zoberme do úvahy súčet pravdepodobností

s k = ∑ i = 0 k-1 pi, k = 0, 1, …, m-1.

Ak je horná hranica súčtu prekročená i je menší ako ten nižší, potom podľa definície budeme predpokladať, že takýto súčet sa rovná 0.

T vyjadriť cez U nasledujúcim spôsobom:

T = 0, ak U ∈ s 0, s 1, 1 ak U ∈ s 1, s 2, 2 ak U ∈ s 2, s 3, … … … … … …, … … … … … …, m - 1 ak U∈ s m-1, 1.

Jednoznačne náhodná premenná T distribuované podľa nami požadovaného zákona. Všimnite si, že v skutočnosti T- je to číslo intervalu, do ktorého náhodná premenná spadá U(za predpokladu, že intervaly očíslujeme číslami od 0 do m− 1 vo vzostupnom poradí ich ľavých hraníc).

Z praktického hľadiska získaný výsledok umožňuje v každom kroku iterácie ako počet iteračných funkcií vziať číslo intervalu, do ktorého spadá číslo generované generátorom pseudonáhodných čísel rovnomerne rozdelených na intervale. .

Teraz môžeme prejsť k písaniu programu.

Štruktúra programu

Program pozostáva zo súboru main.c a súborov, ktoré tvoria grafickú knižnicu pgraph. Obsah súboru main.c začína nasledujúcou direktívou, ktorá zahŕňa grafickú knižnicu:

#include "pgraph.h"

Ďalej súbor obsahuje popisy globálnych konštantných premenných a konštantných polí. Za nimi sú definície funkcií get_random_value() a main(). Prvý generuje pseudonáhodné čísla a druhý vykonáva hlavnú prácu pri vytváraní obrázkov.

Globálne konštantné premenné a konštantné polia

Všetky informácie potrebné na vytvorenie konkrétneho obrazu sú obsiahnuté v globálnych konštantných premenných a konštantných poliach. Samozrejme, pre každý obrázok bude množina hodnôt konštánt a prvkov konštantných polí „svoja“.

Nasleduje popis týchto konštánt a polí.

  • n je počet iterácií;
  • w - šírka obrázka v pixeloch;
  • h - výška obrazu v pixeloch;
  • xc - úsečka začiatku nového súradnicového systému v starom systéme;
  • yc - súradnica začiatku nového súradnicového systému v starom systéme;
  • l je dĺžka segmentu rovnobežného s jednou zo súradnicových osí v pixeloch, ktorý má v novom súradnicovom systéme jednotku dĺžky;
  • m je počet párov iteračných funkcií, t.j. počet m;
  • s - jednorozmerné pole veľkosti m obsahujúce súčty pravdepodobností náhodných premenných T n (k-tý prvok poľa obsahuje s k);
  • f je dvojrozmerné pole pozostávajúce z m f k(X, rk, 0), (k, 1), (k, 2) obsahujú čísla a k, b k, c k v uvedenom poradí, kde 0 ≤ k ≤ m − 1);
  • g - dvojrozmerné pole pozostávajúce z m"riadky" a 3 "stĺpce" obsahujúce konštanty používané vo funkciách g k(X, r) (prvky poľa s indexmi ( k, 0), (k, 1), (k, 2) obsahujú čísla nevie, e k, h k v uvedenom poradí, kde 0 ≤ k ≤ m − 1).

Všetky premenné sú typu int a základný typ všetkých polí je double.

Ujasnime si, že „starý“ súradnicový systém znamená systém definovaný v knižnici pgraph. Konštrukcia všetkých obrázkov sa uskutoční v novom systéme získanom zo starého paralelným prenosom (posuny pozdĺž osi x a y sú rovnaké, resp. x c a yc) a "kompresia" v l raz. Teda bod, ktorý má súradnice v novom systéme ( X, r), v starom bude mať súradnice ( x l + x c, y l + yc). Myslím si, že je zbytočné vysvetľovať, aký druh ukladania čísel x c, yc a l zodpovedné sú konštantné premenné xc , yc a l.

Na ukladanie čísel X 0 a r Premenné 0 nie sú priradené, pretože vo všetkých prípadoch zobrazovania sa za tieto čísla považujú nuly.

Generovanie pseudonáhodných čísel: funkcia get_random_value().

Funkcia get_random_value() generuje pseudonáhodné celé číslo v rozsahu od 0 do m− 1 v súlade so schémou opísanou vyššie. Tu je kód pre túto funkciu:

1. int get_random_value() 2. { 3. double r = (double ) rand() / RAND_MAX; 4. int c = 1; 5. zatiaľ čo (s[c]< r && ++c < m) 6. ; 7. návrat c - 1 ; 8. }

Pomocou štandardnej knižničnej funkcie rand() dostaneme pseudonáhodné číslo v rozsahu od 0 do hodnoty makra RAND_MAX, výsledok vydelíme touto hodnotou a kvocient priradíme premennej r (s. 3). Teraz r ukladá číslo patriace do intervalu . Dá sa približne považovať za hodnotu náhodnej premennej rovnomerne rozloženej na tomto segmente.

Ujasnime si, že hodnota makra RAND_MAX v našom prípade (t. j. v prípade použitia kompilátora MinGW64 verzie 4.9.2 pre 64-bitové systémy) je 32767.

Teraz pomocou lineárneho vyhľadávania pomocou cyklu while hľadáme index najväčšieho prvku poľa s, ktorý je menší alebo rovný hodnote r plus jedna, a uložíme ho do premennej c (pozri stranu 4- 6). Všimnite si, že ak je hodnota r nula, cyklus sa nikdy nevykoná a premenná c si zachová jedinú hodnotu (pozri stranu 4).

Hodnotu vrátenú funkciou možno približne považovať za hodnotu náhodnej premennej T popísané v časti uvedenej vyššie.

Generovanie obrazu: funkcia main().

A tu je kód funkcie main():

1. int main() 2. { 3. obrázok *img = vytvor_obrázok(š, v); 4. dvojité x = 0, y = 0; 5. pre (int i = 0 ; i< n; i++) 6. { 7. int r = get_random_value(); 8. double x1 = f[r] * x + f[r] * y + f[r]; 9. dvojité y1 = g[r] * x + g[r] * y + g[r]; 10.x=x1; 11.y=y1; 12. set_color(img, round(x * l) + xc, round(y * l) + yc, BLACK); 13. } 14. save_to_file(img, "out.bmp" ); 15.free(obr.); 16. návrat 0 ; 17. }

Vytvorte obrázok s určenými rozmermi (s. 3). Prideľte pamäť premenným X a r, ktorý uloží aktuálne členy sekvencií a inicializuje ich na nulu (s. 4). Pripomeniem vám to ako čísla X 0 a r 0, zapojených do výpočtu prvých členov každej zo sekvencií, berú sa nuly.

Vypočítajte v slučke for prvý nčlenov každej sekvencie (strany 5-13). Najprv dostaneme pseudonáhodné číslo a zapíšeme ho do r (s. 7). Ďalej vypočítame aktuálne hodnoty členov oboch postupností a umiestnime ich do dočasných premenných x1 a y1 (s. 8, 9). Pri výpočte používame konštanty, ktoré sa vyskytujú v iteračných funkciách a sú uložené v poliach f a g . Výber jednej alebo druhej dvojice množín koeficientov (a teda dvojice iteračných funkcií) závisí od hodnoty r, ktorá sa používa ako prvé indexy prvkov poľa zapojených do výpočtov.

Vypočítané aktuálne hodnoty prepíšeme do premenných x a y (s. 10, 11). Súradnice bodu obsiahnuté v týchto premenných sa prevedú na súradnice pôvodného súradnicového systému, zaokrúhlia sa na celé čísla nahor a bod s výslednými súradnicami sa vykreslí na obrázok čiernou farbou (str. 12).

Po dokončení cyklu uložte vygenerovaný obrázok do súboru „out.bmp“ (s. 14) a uvoľnite pamäť obsadenú obrázkom (s. 15). Tým je funkcia dokončená.

Vytvorenie obrazu Sierpinského trojuholníka

Sierpinského trojuholník je množina bodov získaných zo všetkých bodov nejakého počiatočného rovnostranného trojuholníka nasledovne. Trojuholník je rozdelený tromi strednými čiarami na 4 trojuholníky, po ktorých sa odstráni "stredový" trojuholník. Ďalej sa rovnaká operácia vykoná s každým zo zostávajúcich troch rovnostranných trojuholníkov. Nakoniec to isté urobíme s výslednými deviatimi rovnostrannými trojuholníkmi.

Pokračujúc v opísaných operáciách do nekonečna, nakoniec odstránime z pôvodného trojuholníka nekonečný počet rovnostranných trojuholníkov, ktorých súčet plôch sa rovná ploche pôvodného trojuholníka. Zvyšné body tvoria priamku tzv Sierpinského trojuholník, ktorý hrá dôležitú úlohu v teórii množín.

Kniha Sedgwicka a iných autorov navrhuje nasledujúcu metódu na zostrojenie obrazu Sierpinského trojuholníka. Uvažujme 3 body v rovine, ktoré sú vrcholmi rovnostranného trojuholníka, napríklad body so súradnicami 0 , 0 , 0 , 1 , 1 / 2 , 3 / 2 v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme. Vyberieme náhodne (s rovnakou pravdepodobnosťou) jeden z troch vrcholov trojuholníka a postavíme bod rozdeľujúci úsečku spájajúcu vrchol so súradnicami 0, 0 a náhodne vybraný vrchol na polovicu. Toto je prvý bod nášho obrazu.

Vyššie uvedený algoritmus môže byť vložený do vyššie opísanej schémy konštrukcie obrazu, ktorá zahŕňa náhodné sekvencie a iteračné funkcie.

Potrebujeme 3 páry iteračných funkcií. Ich indexy 0, 1, 2 by mali byť zvolené s pravdepodobnosťou 1/3, 1/3, 1/3. Samotné iteračné funkcie sú uvedené nižšie.

F 0 x, y = 1/2 x, g 0 x, y = 1/2 y, f 1 x, y = 1/2 x + 1/2, g 1 x, y = 1/2 y, f 2 x, y = 1/2 x + 1/4, g2 x, y = 1/2 y + 3/4.

Teraz vložme do nášho programu deklarácie globálnych konštantných premenných a konštantných polí zodpovedajúcich daným pravdepodobnostiam a daným iteračným funkciám. Najprv však definujme makro TRIANGLE umiestnením nasledujúceho príkazu do súboru main.c za príkaz #include

#define TROJUHOLNÍK

Po pokynoch vložte do súboru nasledujúci kód:

// Sierpinského trojuholník #ifdef TROJUHOLNÍK const int n = 100000; //počet opakovaní const int w = 620, h = 550; //rozmery obrázku const int xc = 10, yc = 10; // súradnice začiatku nového súradnicového systému v starom const int l = 600; //pomer kompresie const int m = 3; //počet párov iteračných funkcií const double s = (0, 0,3333333, 0,6666667); //pole súčtov pravdepodobností const double f = ((0,5 , 0,0 , 0,0 ), //pole koeficientov pre funkcie f(x,y), {0.5 , 0.0 , 0.5 }, //používa sa na výpočet x {0.5 , 0.0 , 0.25 }}; const double g = ((0,0 , 0,5 , 0,0 ), //pole koeficientov pre funkcie g(x,y), {0.0 , 0.5 , 0.0 }, //používa sa na výpočet y {0.0 , 0.5 , 0.4330127 }}; #koniec Ak

Vyššie uvedený fragment kódu (bez direktív preprocesora) bude skompilovaný iba vtedy, ak je definované (a je definované) makro TRIANGLE. Samozrejme, konštanty, ktoré možno znázorniť iba pomocou nekonečných desatinných zlomkov (racionálnych alebo iracionálnych), boli zaokrúhlené.

V dôsledku kompilácie a spustenia programu sa v koreňovom adresári spustiteľného súboru objaví grafický súbor out.bmp, ktorý obsahuje nasledujúci obrázok:

Budovanie obrazu papradia Barnsley

Ďalším obrazom, ktorého konštrukcia je opísaná v knihe Sedgwicka a iných, je obraz papradia Barnsley. Teraz potrebujeme 4 páry iteračných funkcií. Ich indexy 0, 1, 2, 3 budú zvolené s pravdepodobnosťami 0,01, 0,85, 0,07, 0,07 v tomto poradí. A tu sú samotné iteračné funkcie:

F 0 x , y = 0,5 , g 0 x , y = 0 , 16 y , f 1 x , y = 0 , 85 x + 0 , 04 y + 0 , 075 , g 1 x , y = - 0 , 04 x + 0 , 85 y + 0 , 18 , f 2 x , y = 0 , 2 x - 0 , 26 y + 0 , 4 , g 2 x , y = 0 , 23 x + 0 , 22 y + 0 , 045 , f 3 x , y = - 0 , 15 x + 0 , 28 y + 0, 575 , g 3 x , y = 0 , 26 x + 0 , 24 y - 0 , 086 .

Teraz vykonáme zmeny v programe. Inštrukcia #define je nahradená inštrukciou

#definujte PAPRADU

A za blok #ifdef umiestnime nasledujúci kúsok kódu:

// Fern Barnsley #ifdef PAPRADNA const int n = 100000; const int l = 600; const int m = 4; const double s = (0, 0,01, 0,86, 0,93); const double f = ((0,0 , 0,0 , 0,5 ), {0.85 , 0.04 , 0.075 }, {0.2 , -0.26 , 0.4 }, {-0.15 , 0.28 , 0.575 }}; const double g = ((0,0 , 0,16 , 0,0 ), {-0.04 , 0.85 , 0.18 }, {0.23 , 0.22 , 0.045 }, {0.26 , 0.24 , -0.086 }}; #koniec Ak

Výsledkom kompilácie a spustenia programu je nasledujúci obrázok:

Vytvorenie obrazu stromu

Teraz postavme to, čo sa v knihe Sedgwicka a iných nazýva „strom“, hoci to, čo sa ukáže byť zobrazené, je skôr ako súbor stromov rôznych veľkostí. Tentoraz sa iteračného procesu zúčastní 6 párov iteračných funkcií. Ich indexy 0, 1, 2, 3, 4, 5 budú zvolené s pravdepodobnosťami 0,1, 0,1, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2 v tomto poradí. Toto sú funkcie:

F 0 x , y = 0,55 , g 0 x , y = 0, 6 y , f 1 x , y = - 0, 05 x + 0, 525 , g 1 x , y = - 0, 5 x + 0 , 75 , f 2 x , y = 0 , 46 x - 0 , 15 y + 0 , 27 , g 2 x , y = 0 , 39 x + 0 , 38 y + 0 , 105 , f 3 x , y = 0 , 47 x - 0 , 15 y + 0 , 265 , g 3 x , y = 0 , 17 x + 0 , 42 y + 0 , 465 , f 4 x , y = 0 , 43 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 4 x , y = - 0 , 25 x + 0 , 45 y + 0 , 625 , f 5 x , y = 0 , 42 x + 0 , 26 y + 0 , 29 , g 5 x , y = - 0,35x + 0,31r + 0,525.

#definovať STROM

Za posledný blok #ifdef prilepte nasledujúci kód:

//Drevo #ifdef STROM const int n = 100000; const int w = 620, h = 620; const int xc = 0, yc = 10; const int l = 600; const int m = 6; const double s = (0, 0,1, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8); const double f = ((0,0 , 0,0 , 0,55 ), {-0.05 , 0.0 , 0.525 }, {0.46 , -0.15 , 0.27 }, {0.47 , -0.15 , 0.265 }, {0.43 , 0.26 , 0.29 }, {0.42 , 0.26 , 0.29 }}; const double g = ((0,0 , 0,6 , 0,0 ), {-0.5 , 0.0 , 0.75 }, {0.39 , 0.38 , 0.105 }, {0.17 , 0.42 , 0.465 }, {-0.25 , 0.45 , 0.625 }, {-0.35 , 0.31 , 0.525 }}; #koniec Ak

Výstupom skompilovaného programu je obrázok zobrazený nižšie:

Posledný obraz, ktorý podľa Sedgwickovej knihy vytvoríme, je obraz koralu. Potrebujeme 3 páry iteračných funkcií. Ich indexy 0, 1, 2 budú zvolené s pravdepodobnosťami 0,4, 0,15, 0,45 v tomto poradí. Iteračné funkcie sú uvedené nižšie.

F 0 x, y = 0, 3077 x - 0, 5315 y + 0, 8863, g 0 x, y = - 0, 4615 x - 0, x - 0, 0769 y + 0, 2166, g 1 x, y = 0, 1538 x - 0, 4476 y + 0, 3 384, f 2 x, y = 0, 5 455 y + 0, 0106, g 2 x, y = 0, 6923 x - 0, 1958 y + 08,38 y

Nahraďte inštrukciu #define inštrukciou

#define CORAL

Za posledným blokom #ifdef vložte nový blok:

//Koral #ifdef KORÁL const int n = 100000; const int w = 620, h = 620; const int xc = 10, yc = 10; const int l = 600; const int m = 3; const double s = (0, 0,4, 0,55); const double f = ((0,3077 , -0,5315 , 0,8863 ), {0.3077 , -0.0769 , 0.2166 }, {0.0 , 0.5455 , 0.0106 }}; const double g = ((-0,4615 , -0,2937 , 1,0962 ), {0.1538 , -0.4476 , 0.3384 }, {0.6923 , -0.1958 , 0.3808 }}; #koniec Ak

Tu je obrázok, ktorý dostaneme ako výsledok kompilácie a spustenia programu:

Záver

Neviem ako vy, ale pre mňa bolo zaujímavé sledovať, ako sa množiny matematických vzorcov „premenia“ na veľmi vtipné obrázky. Tiež ma prekvapuje, že tí, ktorí toto všetko vymysleli, si dokázali vybrať pravdepodobnosti a konštanty zapojené do iteračných funkcií takým spôsobom, aby dosiahli také úžasné obrázky! Spôsob výberu všetkých týchto čísel (s výnimkou prípadu Sierpinského trojuholníka) je pre mňa úplne nepochopiteľný!

Všimol som si, že súdiac podľa obrázkov sú Sierpinského trojuholník a Barnsleyho papraď fraktály. S najväčšou pravdepodobnosťou sa to isté dá povedať o „strome“ a „korale“, ale ich fraktálna povaha je možno o niečo menej zrejmá.

Pomocou nižšie uvedeného odkazu si ako vždy môžete stiahnuť zdrojový kód programu, o ktorom sa hovorí v článku. Súbor main.c má štyri príkazy #define, z ktorých každý zodpovedá jednému zo štyroch obrázkov. Tri z nich sú komentované. Je jasné, že na prechod z jedného obrázku na druhý je potrebné odkomentovať nekomentovaný návod a odkomentovať jeden z komentovaných. No, chápeš to...

A pomocou jednoduchého algoritmu môžete zabezpečiť, aby sa obrázky, o ktorých sa hovorí v článku, hladko „premenili“ na seba. Ale toto je téma na samostatný článok.

V konštrukčných úlohách budeme uvažovať o konštrukcii geometrického útvaru, ktorý je možné vykonať pomocou pravítka a kružidla.

Pomocou pravítka môžete:

    ľubovoľná čiara;

    ľubovoľná priamka prechádzajúca daným bodom;

    priamka prechádzajúca dvoma danými bodmi.

Pomocou kompasu môžete opísať kružnicu daného polomeru z daného stredu.

Kompas možno použiť na nakreslenie úsečky na danej priamke z daného bodu.

Zvážte hlavné úlohy pre stavbu.

Úloha 1. Zostrojte trojuholník s danými stranami a, b, c (obr. 1).

Riešenie. Pomocou pravítka narysujeme ľubovoľnú priamku a zoberieme na ňu ľubovoľný bod B. S otvorom kružidla rovným a opíšeme kružnicu so stredom B a polomerom a. Nech C je priesečník s priamkou. S otvorom kružidla rovným c opíšeme kružnicu zo stredu B a kružnicovým otvorom rovným b - kružnicu zo stredu C. Nech A je priesečník týchto kružníc. Trojuholník ABC má strany rovné a, b, c.

Komentujte. Aby tri úsečky slúžili ako strany trojuholníka, je potrebné, aby väčšia z nich bola menšia ako súčet ostatných dvoch (a< b + с).

Úloha 2.

Riešenie. Tento uhol s vrcholom A a lúčom OM je znázornený na obrázku 2.

Nakreslite ľubovoľný kruh so stredom vo vrchole A daného uhla. Nech B a C sú priesečníky kružnice so stranami uhla (obr. 3, a). Nakreslíme kružnicu s polomerom AB so stredom v bode O - počiatočnom bode tohto lúča (obr. 3, b). Priesečník tejto kružnice s daným lúčom bude označený ako С 1 . Opíšme kružnicu so stredom C 1 a polomerom BC. Bod B 1 priesečníka dvoch kružníc leží na strane požadovaného uhla. Vyplýva to z rovnosti Δ ABC \u003d Δ OB 1 C 1 (tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov).

Úloha 3. Zostrojte osičku daného uhla (obr. 4).

Riešenie. Z vrcholu A daného uhla, ako od stredu, nakreslíme kružnicu s ľubovoľným polomerom. Nech B a C sú body jeho priesečníka so stranami uhla. Z bodov B a C s rovnakým polomerom opisujeme kružnice. Nech D je ich priesečník, odlišný od A. Lúč AD delí uhol A na polovicu. Vyplýva to z rovnosti ΔABD = ΔACD (tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov).

Úloha 4. Nakreslite stred kolmo na tento segment (obr. 5).

Riešenie. Ľubovoľným, ale identickým otvorom kompasu (veľká 1/2 AB) opíšeme dva oblúky so stredmi v bodoch A a B, ktoré sa navzájom pretínajú v niektorých bodoch C a D. Požadovaná kolmica bude priamka CD. V skutočnosti, ako je možné vidieť z konštrukcie, každý z bodov C a D je rovnako vzdialený od A a B; preto tieto body musia ležať na kolmici na úsečku AB.

Úloha 5. Rozdeľte tento segment na polovicu. Rieši sa rovnako ako úloha 4 (pozri obr. 5).

Úloha 6. Cez daný bod nakreslite priamku kolmú na danú priamku.

Riešenie. Možné sú dva prípady:

1) daný bod O leží na danej priamke a (obr. 6).

Z bodu O nakreslíme kružnicu s ľubovoľným polomerom, ktorá pretína priamku a v bodoch A a B. Z bodov A a B nakreslíme kružnice s rovnakým polomerom. Nech je ich priesečník odlišný od О О 1. Dostaneme ОО 1 ⊥ AB. Body O a O 1 sú skutočne rovnako vzdialené od koncov úsečky AB, a preto ležia na kolmici na túto úsečku.

Grécki geometri boli hrdí na svoju logickú čistotu; čo sa však fyzického priestoru týka, riadili sa intuíciou. Jedným z aspektov gréckej geometrie, ktorý bol obzvlášť ovplyvnený fyzikálnymi úvahami, bola teória konštrukcií. Veľkú časť základnej geometrie priamych čiar a kružníc možno považovať za teóriu konštrukcií s pravítkom a kružidlom. Samotný názov predmetu, čiary a kruhy, odráža nástroje, ktoré boli použité na ich uskutočnenie. A mnohé zo základných problémov geometrie, ako je rozpolenie úsečky alebo uhla,

stavanie kolmice alebo kreslenie kružnice cez tri dané body sa dá vyriešiť stavaním pomocou pravítka a kružidla.

Po zadaní súradníc je ľahké ukázať, že body, ktoré možno zostaviť z bodov, majú súradnice v množine čísel vytvorenej zo súradníc operáciami a [porov. Muaz (1963) alebo cvičenia k časti 6.3]. Odmocniny sa, samozrejme, objavujú vďaka Pytagorovej vete: ak sú body vynesené, potom sa vykreslí vzdialenosť medzi nimi (časť 1.6 a obrázok 2.4). Naopak, konštrukcia je možná pre akúkoľvek danú dĺžku I (cvičenie 2.3.2).

Obrázok 2.4: Budovanie vzdialenosti

Pri pohľade z tohto hľadiska vyzerajú konštrukcie s pravítkom a kružidlom veľmi zvláštne a je nepravdepodobné, že by sa uviedli takéto čísla, napr. Gréci sa však veľmi snažili vyriešiť tento konkrétny problém, ktorý bol známy ako zdvojenie. kocka (takzvaná preto, že na zdvojnásobenie objemu kocky bolo potrebné stranu vynásobiť ďalšími neslávne známymi problémami boli trisekcia uhla a kvadratúra kruhu. Posledným problémom bolo zostrojiť štvorec rovnakej plochy k danému kruhu alebo zostrojiť číslo, ktoré sa rovná rovnakému. Zdá sa, že nikdy neopustili tieto ciele, hoci uznávali možnosť negatívneho riešenia a umožňovali riešenia menej elementárnymi prostriedkami. V nasledujúcich častiach uvidíme niektorí z nich.

Nemožnosť vyriešiť tieto problémy pomocou konštrukcií s kolmou a kružidlom bola až do devätnásteho storočia nepreukázaná. Pokiaľ ide o zdvojnásobenie kocky a trisekciu uhla, túto nemožnosť ukázal Vantzel (1837). Zásluha za vyriešenie týchto problémov, s ktorými najlepší matematici zápasili 2000 rokov, sa málokedy pripisuje Wantzelovi, možno preto, že jeho metódy boli nahradené silnejšou Galoisovou teóriou.

Nemožnosť kvadratúry kruhu dokazuje Lindemann (1882), a to veľmi rigoróznym spôsobom, nielen nedefinovateľne racionálnymi operáciami a odmocninami; je tiež transcendentálna, to znamená, že nie je koreňom žiadnej polynómovej rovnice s racionálnymi koeficientmi. Rovnako ako Wantzelova práca bola zriedkavým príkladom významného výsledku, ktorý dokázal menší matematik. V Lindemannovom prípade môže byť vysvetlenie

Dôležitý krok už bol urobený, keď Hermite (1873) dokázal transcendenciu.Dostupné dôkazy pre oba tieto výsledky možno nájsť v Kleinovi (1924). Lindemannova následná kariéra bola matematicky nevýrazná, ba až trápna. V odpovedi skeptikom, ktorí si mysleli, že jeho úspech je náhoda, sa zameral na najznámejší nevyriešený problém v matematike, Fermatovu poslednú vetu (o pôvode tohto problému pozri kapitolu 11). Jeho úsilie skončilo neúspechom v sérii nepresvedčivých papierov, z ktorých každý opravoval chybu v tom predchádzajúcom. Fritsch (1984) napísal zaujímavý životopisný článok o Lindemannovi.

Materiál v tomto odseku je možné využiť pri mimoškolských aktivitách. Študentom môže byť prezentovaný ako vo forme prednášky, tak aj vo forme študentských referátov.

Po mnoho storočí sa veľká pozornosť venovala problémom, ktoré boli dlho známe ako „slávne problémy staroveku“. Pod týmto názvom sa zvyčajne objavili tri známe problémy:

1) kvadratúra kruhu,

2) trisekcia uhla,

3) zdvojnásobenie kocky.

Všetky tieto úlohy vznikli v dávnych dobách z praktických potrieb ľudí. V prvej fáze svojej existencie fungovali ako výpočtové úlohy: podľa niektorých „receptov“ sa vypočítali približné hodnoty požadovaných veličín (plocha kruhu, obvod atď.). V druhej etape histórie týchto problémov dochádza k významným zmenám v ich povahe: stávajú sa geometrickými (konštruktívnymi) problémami.

V starovekom Grécku počas tohto obdobia dostali klasické formulácie:

1) zostrojte štvorec, ktorý má rovnakú veľkosť ako daný kruh;

2) rozdeliť daný uhol na tri rovnaké časti;

3) zostrojte hranu novej kocky, ktorej objem by bol dvakrát väčší ako daná kocka.

Všetky tieto geometrické konštrukcie sa navrhovali realizovať pomocou kružidla a pravítka.

Jednoduchosť formulácie týchto úloh a „neprekonateľné ťažkosti“, s ktorými sa stretávali na ceste k ich riešeniu, prispeli k rastu ich obľuby. V snahe poskytnúť rigorózne riešenia týchto problémov starogrécki vedci „mimochodom“ získali mnohé dôležité výsledky pre matematiku, ktoré prispeli k transformácii nesúrodých matematických poznatkov na nezávislú deduktívnu vedu (Pytagorejci, Hippokrates z Chiu a Archimedes zanechali tzv. v tom čase obzvlášť nápadná značka).

Problém zdvojnásobenia kocky.

Úloha zdvojenia kocky je nasledovná: poznajúc hranu danej kocky, zostrojte hranu takej kocky, ktorej objem by bol dvojnásobkom objemu danej kocky.

Nech a je dĺžka hrany danej kocky, x je dĺžka hrany požadovanej kocky. Nech - objem tejto kocky, a - objem požadovanej kocky, potom podľa vzorca na výpočet objemu kocky máme, že: =, a keďže podľa podmienky úlohy prídeme na rovnica.

Z algebry je známe, že racionálne korene redukovanej rovnice s celočíselnými koeficientmi môžu byť iba celé a môžu byť obsiahnuté medzi deliteľmi voľného člena rovnice. Ale deliteľmi čísla 2 sú iba čísla +1, -1, +2, -2 a žiadne z nich nespĺňa pôvodnú rovnicu. Preto rovnica nemá žiadne racionálne korene, čo znamená, že problém zdvojnásobenia kocky nemožno vyriešiť pomocou kružidla a pravítka.

Problém zdvojenia kocky pomocou kružidla a pravítka sa dá vyriešiť len približne. Uveďme jednu z najjednoduchších metód na približné riešenie tohto problému.

Nech AB=BC=a a ABBC. Staviame AD=AC, potom CD s presnosťou 1%. Skutočne, CD 1.2586…. Zároveň = 1,2599….

Problém kvadratúry kruhu.

Zdôvodnenie neriešiteľnosti problému pomocou kružidla a pravítka.

Úloha kvadratúry kruhu je nasledovná: zostrojiť štvorec rovnakej plochy ako kružnica.

Nech - polomer daného kruhu, - dĺžka strany požadovaného štvorca. Potom odtiaľto.

Preto problém kvadratúry kruhu vyriešime, ak zostrojíme úsečku s dĺžkou. Ak sa polomer tohto kruhu berie ako jednotkový segment (= 1), potom sa záležitosť zredukuje na konštrukciu segmentu dĺžky pozdĺž jednotkového segmentu.

Ako viete, ak poznáme jednotkový segment, môžeme pomocou kružidla a pravítka zostrojiť iba také segmenty, ktorých dĺžky sú vyjadrené v racionálnych číslach pomocou konečnej množiny racionálnych operácií a odmocňovania, a preto sú to algebraické čísla. V tomto prípade sa nepoužijú všetky algebraické čísla. Napríklad nemôžete vytvoriť segment s dĺžkou atď.

V roku 1882 Lindemann dokázal, že je transcendentálny. Z toho vyplýva, že nie je možné zostrojiť úsečku dĺžky pomocou kružidla a pravítka, a preto je problém kvadratúry kruhu týmito prostriedkami neriešiteľný.

Približné riešenie problému pomocou kružidla a pravítka.

Zvážte jednu z metód približnej konštrukcie dĺžkových segmentov. Tento prístup je nasledovný. Štvrtina kružnice AB so stredom v bode O a polomerom rovným jednej je rozdelená na polovicu bodom C. Na pokračovaní priemeru CD odložíme úsečku DE rovnajúcu sa polomeru. Z bodu E vedieme lúče EA a EB do priesečníka s dotyčnicou v bode C. Odrezaný úsek AB sa približne rovná dĺžke oblúka AB a zdvojený je polkruh.

Relatívna chyba tejto aproximácie nepresahuje 0,227 %.

Problém s trisekciou uhla.

Zdôvodnenie neriešiteľnosti problému pomocou kružidla a pravítka.

Problém trisekcie uhla je nasledovný.: rozdeľte daný uhol na tri rovnaké časti.

Obmedzíme sa na riešenie úlohy pre uhly nepresahujúce 90. Ak je uhol tupý, potom =180-, kde<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Všimnite si, že (v prítomnosti jedného segmentu) je problém konštrukcie uhla (90) ekvivalentný problému konštrukcie segmentu x=cos. V skutočnosti, ak je uhol zostrojený, potom sa konštrukcia úsečky x=cos redukuje na konštrukciu pravouhlého trojuholníka pozdĺž prepony a ostrého uhla.

Späť. Ak je zostrojený segment x, potom zostrojenie takého uhla, že x \u003d cos sa zredukuje na vytvorenie pravouhlého trojuholníka pozdĺž prepony a nohy.

Nech je daný uhol, požadovaný uhol, teda =. Potom cos=cos 3. Je známe, že cos 3= 4cos-3cos . Preto za predpokladu, že cos = a cos =, dospejeme k rovnici:

cos=4cos-3cos ,

Úsečku, a teda aj uhol, možno zostrojiť len vtedy, ak má táto rovnica aspoň jeden racionálny koreň. To však neplatí pre každého, a preto sa problém trisekcie uhla vo všeobecnosti nedá vyriešiť pomocou kružidla a pravítka. Napríklad. Pri =60 dostaneme =1 a nájdená rovnica má tvar: . Je ľahké overiť, že táto rovnica nemá žiadny racionálny koreň, z čoho vyplýva nemožnosť rozdelenia uhla 60 na tri rovnaké časti pomocou kružidla a pravítka. Problém trisekcie uhla teda nie je vo všeobecnosti riešiteľný kružidlom a pravítkom.

Približné riešenie problému pomocou kružidla a pravítka.

Zvážte jeden zo spôsobov, ako priblížiť riešenie problému pomocou kružidla a pravítka, ktorý navrhol Albert Dürer (1471-1528).

Nech je daný uhol ASB. Z vrcholu S opíšeme kružnicu s ľubovoľným polomerom a spojíme priesečníky strán uhla s kružnicou s tetivou AB. Tento akord rozdeľujeme na tri rovnaké časti v bodoch R a R (A R \u003d R R \u003d RВ). z bodov A a B, ako zo stredov, s polomermi A R \u003d RВ opisujeme oblúky, ktoré pretínajú kružnicu v bodoch T a T. Vykonajte RSAB. S polomermi A S \u003d BS nakreslíme oblúky, ktoré pretínajú AB v bodoch U a U. Oblúky AT, SS a TB sú si navzájom rovné, pretože sú stiahnuté rovnakými tetivami.

Na nájdenie bodov trisekcie uhla X a X rozdelí Dürer segmenty RU a RU na tri rovnaké časti bodmi PV a PV. Potom s polomermi AV a BV nakreslíme oblúky, ktoré pretínajú kružnicu v bodoch X a X. Spojením týchto bodov s S dostaneme rozdelenie tohto uhla na tri rovnaké časti s dobrou aproximáciou k skutočným hodnotám.

Geometrické konštrukčné úlohy

Pomocou kompasu a pravítka

žiak 8. ročníka

vedúci: Moskaeva V.N.,

učiteľ matematiky

Nižný Novgorod

Úvod

Viditeľnosť, predstavivosť patria skôr k umeniu, prísna logika je výsadou vedy. Suchosť presného záveru a živosť vizuálneho obrazu - "ľad a oheň sa od seba až tak nelíšia." Geometria spája tieto dva protiklady.

A. D. Alexandrov

Pri chodení do školy nezabúdame do portfólia vložiť kružidlo, pravítko a uhlomer. Tieto nástroje pomáhajú robiť kompetentné kresby a krásne kresliť. Tieto nástroje používajú inžinieri, architekti, robotníci, dizajnéri odevov, obuvi, stavitelia, krajinní dizajnéri. Počítače síce sú, ale na stavbe, v záhrade, ich zatiaľ nevyužijete.

Stroj kreslí okamžite v priebehu niekoľkých sekúnd. Matematik musí stráviť pomerne veľa času, aby v jazyku zrozumiteľnom stroju vysvetlil, čo má robiť – napísať program a zadať ho do stroja, takže dizajnéri často uprednostňujú prácu s najjednoduchšími a najstaršími nástrojmi – kompasom. a pravítko.

Čo môže byť jednoduchšie? Hladká doska s hladkým okrajom - pravítko, dve špicaté palice spojené na jednom konci - kružidlo. Pomocou pravítka nakreslite priamku cez dva dané body. Pomocou kružidla sa nakreslia kruhy s daným stredom a daným polomerom, pričom sa vyčlení úsečka rovnajúca sa danému.

Kompas a pravítko sú známe už viac ako 3 tisíc rokov, boli známe už pred 200-300 rokmi boli zdobené ornamentami a vzormi. Ale aj napriek tomu nám stále pravidelne slúžia. Na obrovské množstvo stavieb stačia tie najjednoduchšie nástroje. Starí Gréci si mysleli, že s týmito nástrojmi je možné vykonávať akúkoľvek rozumnú konštrukciu, až kým neobjavili tri významné problémy staroveku: „vyrovnanie kružnice“, „trisekcia uhla“, „zdvojnásobenie kocky“.

Preto považujem tému mojej práce za modernú a dôležitú pre ľudskú činnosť v mnohých oblastiach ľudskej činnosti.

Každý vie, že matematika sa používa v rôznych profesiách a životných situáciách. Matematika je ťažký predmet. A väčšina študentov nazýva geometriu „náročnou“. Konštrukčné problémy sa líšia od tradičných geometrických problémov.

Riešenie stavebných úloh rozvíja geometrické myslenie oveľa plnšie a ostrejšie ako riešenie výpočtových úloh a môže spôsobiť vášeň pre prácu, čo vedie k zvýšenej zvedavosti a túžbe rozšíriť a prehĺbiť štúdium geometrie.

Napriek bohatej historickej minulosti zostáva problém riešenia stavebných problémov aktuálny aj v 21. storočí. V súčasnosti sa rýchlo rozvíjajú počítačové technológie s využitím grafických editorov na kreslenie geometrických objektov. Prostriedky na vytváranie geometrických objektov sa zmenili v dôsledku nástupu nových počítačových technológií. Avšak, ako v staroveku, hlavnými prvkami pri konštrukcii geometrických objektov sú kruh a priamka, inými slovami, kompas a pravítko. S príchodom nových počítačových technológií vznikli nové problémy konštrukcie s použitím rovnakých objektov – priamky a kruhu. Preto sa problém riešenia stavebných problémov stáva ešte aktuálnejším.

Program v geometrii zahŕňa štúdium iba najjednoduchších techník a metód konštrukcie. Ale aplikácia týchto techník je často náročná. Predmetom môjho skúmania sú preto geometrické útvary zostrojené pomocou kružidla a pravítka.

Cieľ mojej práce: zvážiť rôzne spôsoby konštrukcie geometrických tvarov pomocou kružidla a pravítka.

Výskumné metódy:

ü Analýza existujúcich stavebných metód

ü Hľadajte nové spôsoby, ktoré sa ľahko používajú (GMT a Steiner konštrukcie)

Úlohy:

ü lepšie porozumieť rôznym spôsobom konštrukcie

ü sledovať vývoj tohto fragmentu geometrie v dejinách matematiky

ü Pokračujte v rozvíjaní výskumných zručností.

Z histórie geometrického stavania s kružidlom a pravítkom.

Tradičné obmedzenie nástrojov pre geometrické konštrukcie sa datuje do staroveku. Euclid (3. storočie pred n. l.) sa vo svojej knihe „Začiatky“ striktne drží geometrických konštrukcií vykonávaných kružidlom a pravítkom, hoci názvy nástrojov nikde neuvádza. Zdá sa, že obmedzenia boli spôsobené tým, že tieto nástroje nahradili lano, ktoré pôvodne slúžilo na kreslenie rovných čiar aj na opis kružníc. Ale mnohí matematickí historici vysvetľujú výber materiálu, ktorý urobil Euklides, tým, že po Platónovi a Pytagorejcoch považoval za „dokonalé“ čiary iba priamku a kruh.

Umenie konštrukcie geometrických útvarov bolo vysoko rozvinuté v starovekom Grécku. Starovekí grécki matematici pred 3000 rokmi vykonávali svoje konštrukcie pomocou dvoch nástrojov: hladkej dosky s hladkým okrajom - pravítka a dvoch zahrotených palíc spojených na jednom konci - kompasu. Ukázalo sa však, že tieto jednoduché nástroje postačujú na vykonávanie obrovského množstva rôznych konštrukcií. Starým Grékom sa dokonca zdalo, že s týmito nástrojmi sa dá uskutočniť akákoľvek inteligentná konštrukcia, až kým nenarazili na tri neskoršie slávne problémy.

Už dlho premieňali akúkoľvek priamočiaru postavu pomocou kružidla a pravítka na ľubovoľnú priamočiaru postavu rovnakej veľkosti. Najmä každá priamočiara postava bola premenená na štvorec rovnakej plochy. Preto je jasné, že vznikla myšlienka tento problém zovšeobecniť: pomocou kružidla a pravítka zostrojiť štvorec, ktorého plocha by sa rovnala ploche daného kruhu. Tento problém sa nazýva kvadratúra kruhu. Stopy tejto úlohy možno vidieť aj v starovekých gréckych a babylonských pamiatkach z druhého tisícročia pred Kristom. Jeho priame prostredie sa však nachádza v gréckych spisoch z 5. storočia pred Kristom.

Dva ďalšie problémy staroveku priťahovali pozornosť významných vedcov po mnoho storočí. Toto je problém zdvojnásobenia kocky. Spočíva v zostrojení kocky s kružidlom a pravítkom, ktorá má objem dvakrát väčší ako objem danej kocky. K jeho vzhľadu sa viaže legenda, že na ostrove Delos v Egejskom mori orákulum, aby zachránilo obyvateľov pred morom, nariadilo zdvojiť oltár, ktorý mal tvar kocky. A tretí problém trisekcie uhla je o rozdelení uhla na tri rovnaké časti pomocou kružidla a pravítka.

Tieto tri problémy, takzvané 3 slávne klasické problémy staroveku, priťahujú pozornosť významných matematikov už dve tisícročia. A až v polovici 19. storočia sa dokázala ich neriešiteľnosť, teda nemožnosť týchto stavieb len pomocou kružidla a kolísky. V matematike to boli prvé výsledky o neriešiteľnosti problémov, keď boli naznačené spôsoby riešenia. Boli získané nie pomocou geometrie, ale algebry (prekladom týchto úloh do jazyka rovníc), čo opäť zdôraznilo jednotu matematiky. Tieto problémy, ktoré sa nedali vyriešiť, obohatili matematiku o významné výsledky a viedli k vytvoreniu nových trendov v matematickom myslení.

Ďalším zaujímavým konštrukčným problémom pomocou kružidla a pravítka je problém zostrojenia pravidelného mnohouholníka s daným počtom strán. Starí Gréci vedeli postaviť pravidelný trojuholník, štvorec, pravidelný päťuholník a 15-uholník, ako aj všetky mnohouholníky, ktoré sa z nich získajú zdvojením strán, a to iba ich. Až v roku 1796 objavil veľký nemecký matematik K.F. Gauss spôsob, ako zostrojiť pravidelný 17-uholník pomocou kružidla a pravítka a označil všetky hodnoty N, pre ktoré je možné zostrojiť pravidelný N-uholník pomocou naznačeného znamená. Carl Gauss, študent prvého ročníka univerzity v Göttingene, vyriešil problém, ktorému matematická veda podľahla na viac ako 2000 rokov. Tak sa dokázala nemožnosť zostrojiť správne 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 atď. štvorcov.

Ďalej sa rozvíjala teória stavby pomocou kružidla a pravítka. Bola prijatá odpoveď na otázku: je možné vyriešiť problém pomocou iba jedného z dvoch uvažovaných nástrojov a celkom neočakávane. Nezávisle od seba Dán G. Mohr v roku 1672 a Talian L. Mascheroni v roku 1797 dokázali, že akýkoľvek konštrukčný problém, ktorý sa dá vyriešiť kružidlom a pravítkom, sa dá exaktne vyriešiť iba jedným kružidlom. Zdá sa to neuveriteľné, ale je to tak. A v 19. storočí sa dokázalo, že akúkoľvek konštrukciu vykonávanú pomocou kružidla a pravítka je možné vykonávať len pomocou jedného pravítka, za predpokladu, že v konštrukčnej rovine je daný určitý kruh a je vyznačený jeho stred.

3. Najjednoduchšie úlohy na zostavovanie geometrických útvarov pomocou kružidla a pravítka

Zvážte základné (elementárne) konštrukcie, s ktorými sa najčastejšie stretávame v praxi riešenia stavebných problémov. O problémoch tohto druhu sa uvažuje už v prvých kapitolách školského kurzu.

Budova 1. Konštrukcia segmentu rovného danému.

Vzhľadom na to:úsek dĺžky a.

Zostava: segment AB dĺžky a.

budova:

Budova 2. Zostrojenie uhla rovného danému uhlu.

Vzhľadom na to:∟AOB.

Zostava:∟ KMN, rovná sa ∟ AOB.

budova:

Budova 3. Rozdelenie segmentu na polovicu (konštrukcia stredu segmentu).

Vzhľadom na to: segment AB.

Zostava: bod O je stredom AB.

budova:

Budova 4. Rozdelenie uhla na polovicu (zostrojenie osi uhla).

Vzhľadom na to:∟ ABC.

Zostava: BD je stred ∟ABC.

budova:

Budova 5. Konštrukcia kolmice na danú priamku prechádzajúcu daným bodom.

a) Vzhľadom na to:čiara a, bod A a.

Zostava:

rovný a.

Budovanie:

b) Vzhľadom na to:čiara a, bod A a.

Zostava: priamka cez bod A kolmý na

rovný a.

budova:

Budova 6. Zostrojenie priamky rovnobežnej s danou priamkou a prechádzajúcej daným bodom.

Vzhľadom na to:čiara a, bod A a.

Zostava: Priamka prechádzajúca bodom A je rovnobežná s priamkou a.

I metóda (cez dve kolmice).

budova:

II metóda (cez rovnobežník).

budova:

Budova 7. Konštrukcia trojuholníka na troch stranách.

Vzhľadom na to: segmenty dĺžky a, b, c.

Zostava:∆ ABC.

budova:

Budova 8. Konštrukcia trojuholníka s dvomi stranami a uhlom medzi nimi.

Vzhľadom na to: segmenty dĺžky b, c, uhol α.

Zostava: trojuholník ABC.

budova:

Budova 9. Konštrukcia trojuholníka so stranou a dvoma susednými uhlami.

Vzhľadom na to: segment dĺžky c, uhly α a β.

Zostava:ΔABC.

budova:

Budova 10. Konštrukcia dotyčnice k danej kružnici prechádzajúcej daným bodom.

Vzhľadom na to: kruh (O), bod A mimo neho.

Zostava: dotyčnica ku kružnici ω(O) prechádzajúcej bodom A.

budova:

Uvažované problémy sú zahrnuté ako komponenty pri riešení zložitejších problémov, preto v budúcnosti nebudú etapy hlavných stavieb opísané.

Riešenie konštrukčných problémov pozostáva zo štyroch častí:

1. Za predpokladu, že problém bol vyriešený, urobíme ručne približný nákres požadovaného obrazca a potom pozorne preskúmame nakreslený obrazec, pričom sa snažíme nájsť také závislosti medzi údajmi problému a požadovanými, ktoré by nám umožnili znížiť problém ostatným známym skôr. Táto najdôležitejšia časť riešenia problému, ktorej cieľom je zostaviť plán riešenia, je tzv analýza.

2. Keď sa nájde plán riešenia týmto spôsobom, vykonajú sa v súlade s ním. výstavby.

3. dôkaz - na kontrolu správnosti plánu na základe známych teorém dokazujú, že výsledný obrazec spĺňa všetky požiadavky úlohy.

4. Štúdium - kladie dve otázky:

1) Je s akýmikoľvek danými údajmi možné riešenie?

2) Koľko riešení existuje?

Zvážte použitie týchto krokov na príklade riešenia nasledujúceho problému.

Úloha: Zostrojte trojuholník s jeho základňou b, uhlom A susediacim so základňou a súčtom s oboch strán.

Analýza: Predpokladajme, že problém je vyriešený, t.j. našli také ΔABC, ktorých základ AC=b, ∟BAC=A a AB+BC=s. Zvážte teraz výsledný výkres. strane AS, rovná b, ∟BAC=A vieme ako stavať. Zostáva teda nájsť na druhej strane ∟A takýto bod AT zhrnúť AB+Slnko bol rovný s. Pokračovanie AB, segment odložte AD, rovná s. Teraz je otázka privedená k tomu, že na priamke AD nájsť taký bod AT, ktorý by bol rovnako vzdialený od OD a D. Takýto bod, ako vieme, musí ležať na kolmici nakreslenej na segment CD cez jeho stred. Bodka AT sa nachádza na priesečníku tejto kolmice s AD.

budova:

1. Budovanie ∟A rovná danému uhlu

2. Odložíme bokom AC = b a AD=s

3. Cez stred priameho segmentu CD nakresliť kolmicu BE

4. BE kríže AD v bode AT

5. Spojte bodky AT a OD

6. ΔABC - požadované.

dôkaz:

Uvažujme výsledné ΔABC, v ktorom sa ∟A rovná danému uhlu (podľa položky č. 1 konštrukcie). Side AC = b(odsek č. 2) a účastníkov konania AB a slnko súčet je s (body č. 2,3,4). Preto podľa 1. kritéria rovnosti trojuholníkov je požadované ΔABC.

štúdium:

1.So všetkými údajmi, je možné riešenie?

Vzhľadom na konštrukciu si všimneme, že problém nie je možný so žiadnymi údajmi. Ak je totiž súčet s príliš malý v porovnaní s b, potom je kolmica BE nesmie prekročiť hranicu AD(alebo pretína jeho pokračovanie za bod D), v tomto prípade bude úloha nemožná.

A bez ohľadu na konštrukciu je vidieť, že úloha je nemožná, ak s< b alebo s=b, pretože nemôže existovať trojuholník, v ktorom by súčet dvoch strán bol menší alebo rovný tretej strane.

2. Koľko riešení existuje?

V prípade, že problém je možný, má len jedno riešenie, t.j. existuje len jeden trojuholník, ktorý spĺňa požiadavky úlohy, pretože priesečník kolmice BE s rovnou čiarou AD môže byť len v jednom bode.


©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 27.04.2016