Ak je funkcia f(x) má na nejakom intervale obsahujúcom bod a, deriváty všetkých rádov, potom naň možno použiť Taylorov vzorec:

kde rn- takzvaný zvyškový člen alebo zvyšok série, možno ho odhadnúť pomocou Lagrangeovho vzorca:

, kde číslo x je uzavreté medzi X a a.

Ak pre nejakú hodnotu x r n®0 pri n®¥, potom sa v limite Taylorov vzorec pre túto hodnotu zmení na konvergentný vzorec Taylorova séria:

Takže funkcia f(x) možno v uvažovanom bode rozšíriť do Taylorovho radu X, ak:

1) má deriváty všetkých rádov;

2) zostrojený rad v tomto bode konverguje.

O a=0 dostaneme sériu tzv neďaleko Maclaurinu:

Príklad 1 f(x)= 2X.

Riešenie. Nájdeme hodnoty funkcie a jej derivátov na X=0

f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2X V 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Nahradením získaných hodnôt derivátov do vzorca Taylorovho radu dostaneme:

Polomer konvergencie tohto radu sa rovná nekonečnu, takže toto rozšírenie platí pre -¥<X<+¥.

Príklad 2 X+4) pre funkciu f(x)= e X.

Riešenie. Hľadanie derivácií funkcie e X a ich hodnoty v bode X=-4.

f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e X, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e X, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .

Preto požadovaný Taylorov rad funkcie má tvar:

Tento rozklad platí aj pre -¥<X<+¥.

Príklad 3 . Rozbaliť funkciu f(x)=ln X v sérii podľa stupňov ( X- 1),

(t. j. v Taylorovom rade v blízkosti bodu X=1).

Riešenie. Nájdeme deriváty tejto funkcie.

Nahradením týchto hodnôt do vzorca získame požadovaný Taylorov rad:

Pomocou d'Alembertovho testu je možné overiť, že séria konverguje, keď

½ X- 1½<1. Действительно,

Rad konverguje, ak ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 získame striedavý rad, ktorý spĺňa podmienky Leibnizovho testu. O X Funkcia =0 nie je definovaná. Oblasť konvergencie Taylorovho radu je teda polootvorený interval (0;2].

Uveďme takto získané rozšírenia v Maclaurinovom rade (t. j. v okolí bodu X=0) pre niektoré elementárne funkcie:

(2) ,

(3) ,

( posledná expanzia je tzv binomický rad)

Príklad 4 . Rozbaľte funkciu na mocninový rad

Riešenie. V rozklade (1) nahrádzame X na - X 2, dostaneme:

Príklad 5 . Rozšírte funkciu v sérii Maclaurin

Riešenie. Máme

Pomocou vzorca (4) môžeme napísať:

nahradenie namiesto X do vzorca -X, dostaneme:

Odtiaľto nájdeme:

Dostaneme rozšírenie zátvoriek, preusporiadanie výrazov série a zmenšenie podobných výrazov

Tento rad v intervale konverguje

(-1;1), pretože je odvodený z dvoch radov, z ktorých každý konverguje v tomto intervale.

Komentujte .

Vzorce (1)-(5) možno použiť aj na rozšírenie zodpovedajúcich funkcií v Taylorovom rade, t.j. na rozšírenie funkcií v kladných celých mocninách ( Ha). Na to je potrebné vykonať také identické transformácie na danej funkcii, aby sme získali jednu z funkcií (1) - (5), v ktorej namiesto X náklady k( Ha) m , kde k je konštantné číslo, m je kladné celé číslo. Často je vhodné zmeniť premennú t=Ha a rozšíriť výslednú funkciu vzhľadom na t v Maclaurinovom rade.

Táto metóda ilustruje teorém o jedinečnosti expanzie funkcie v mocninnom rade. Podstatou tejto vety je, že v blízkosti toho istého bodu nemožno získať dva rôzne mocninné rady, ktoré by konvergovali k tej istej funkcii, bez ohľadu na to, ako sa jej expanzia vykonáva.

Príklad 6 . Rozšírte funkciu v Taylorovom rade v okolí bodu X=3.

Riešenie. Tento problém je možné vyriešiť, ako predtým, pomocou definície Taylorovho radu, pre ktorý je potrebné nájsť deriváty funkcií a ich hodnoty na X=3. Bude však jednoduchšie použiť existujúci rozklad (5):

Výsledný rad konverguje na alebo -3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Príklad 7 . Napíšte Taylorovu sériu v mocninách ( X-1) vlastnosti .

Riešenie.

Séria konverguje na , alebo 2< X 5 £.

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky generuje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na vašu stránku, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej webovej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

16.1. Rozšírenie elementárnych funkcií v Taylorovom rade a

Maclaurin

Ukážme, že ak je na množine definovaná ľubovoľná funkcia
, v blízkosti bodu
má veľa derivátov a je súčtom mocninového radu:

potom môžete nájsť koeficienty tohto radu.

Nahraďte v mocninnom rade
. Potom
.

Nájdite prvú deriváciu funkcie
:

O
:
.

Pre druhú deriváciu dostaneme:

O
:
.

Pokračovanie v tomto postupe n akonáhle dostaneme:
.

Takto sme dostali mocninný rad vo forme:

,

ktorá sa volá blízko Taylora pre funkciu
okolo bodu
.

Špeciálnym prípadom Taylorovho radu je Séria Maclaurin pri
:

Zvyšok série Taylor (Maclaurin) sa získa vyradením hlavnej série n prvé termíny a označuje sa ako
. Potom funkcia
možno zapísať ako súčet n prví členovia série
a zvyšok
:,

.

Zvyšok je zvyčajne
vyjadrené v rôznych vzorcoch.

Jeden z nich je vo forme Lagrange:

, kde
.
.

Všimnite si, že v praxi sa séria Maclaurin používa častejšie. Aby bolo možné napísať funkciu
vo forme súčtu mocninového radu je potrebné:

1) nájdite koeficienty série Maclaurin (Taylor);

2) nájdite oblasť konvergencie výsledného mocninového radu;

3) dokážte, že daný rad konverguje k funkcii
.

Veta1 (nevyhnutná a postačujúca podmienka pre konvergenciu Maclaurinovho radu). Nech je polomer konvergencie radu
. Aby tento rad v intervale konvergoval
k funkcii
je potrebné a postačujúce, aby bola splnená táto podmienka:
v určenom intervale.

Veta 2. Ak derivácie ľubovoľného rádu funkcie
v nejakom intervale
v absolútnej hodnote obmedzené na rovnaký počet M, teda
, potom v tomto intervale funkcia
možno rozšíriť v sérii Maclaurin.

Príklad1 . Expandujte v Taylorovom rade okolo bodu
funkciu.

Riešenie.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Oblasť konvergencie
.

Príklad2 . Rozbaliť funkciu v Taylorovom rade okolo bodu
.

Riešenie:

Hodnotu funkcie a jej derivácií nájdeme na
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Nahraďte tieto hodnoty v rade. Dostaneme:

alebo
.

Nájdite oblasť konvergencie tohto radu. Podľa d'Alembertovho testu rad konverguje, ak

.

Preto pre akékoľvek tento limit je menší ako 1, a preto oblasť konvergencie radu bude:
.

Uvažujme niekoľko príkladov rozšírenia základných elementárnych funkcií do Maclaurinovho radu. Pripomeňme, že séria Maclaurin:

.

konverguje na intervale
k funkcii
.

Upozorňujeme, že na rozšírenie funkcie do série je potrebné:

a) nájdite koeficienty Maclaurinovho radu pre danú funkciu;

b) vypočítajte polomer konvergencie pre výsledný rad;

c) dokážte, že výsledný rad konverguje k funkcii
.

Príklad 3 Zvážte funkciu
.

Riešenie.

Vypočítajme hodnotu funkcie a jej derivácie pre
.

Potom majú číselné koeficienty radu tvar:

pre hocikoho n. Dosadíme nájdené koeficienty v Maclaurinovom rade a dostaneme:

Nájdite polomer konvergencie výsledného radu, konkrétne:

.

Preto rad konverguje k intervalu
.

Tento rad konverguje k funkcii pre akékoľvek hodnoty , pretože na akomkoľvek intervale
funkciu a jeho deriváty absolútnej hodnoty sú obmedzené počtom .

Príklad4 . Zvážte funkciu
.

Riešenie.

:

Je ľahké vidieť, že deriváty párneho rádu
a deriváty nepárneho poriadku. Dosadíme nájdené koeficienty v Maclaurinovom rade a získame rozšírenie:

Nájdite interval konvergencie tohto radu. Podľa d'Alemberta:

pre hocikoho . Preto rad konverguje k intervalu
.

Tento rad konverguje k funkcii
, pretože všetky jeho deriváty sú obmedzené na jeden.

Príklad5 .
.

Riešenie.

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
:

Takže koeficienty tohto radu:
a
, V dôsledku toho:

Podobne ako v predchádzajúcej sérii, oblasť konvergencie
. Rad konverguje k funkcii
, pretože všetky jeho deriváty sú obmedzené na jeden.

Všimnite si, že funkcia
nepárne a radové rozšírenie v nepárnych mocninách, funkcia
– párne a rozšírenie v rade v párnych mocninách.

Príklad6 . Binomický rad:
.

Riešenie.

Nájdite hodnotu funkcie a jej derivácií na
:

Toto ukazuje, že:

Tieto hodnoty koeficientov nahradíme v Maclaurinovom rade a získame rozšírenie tejto funkcie v mocninnom rade:

Poďme nájsť polomer konvergencie tohto radu:

Preto rad konverguje k intervalu
. Na hraničných bodoch pri
a
séria môže alebo nemusí konvergovať v závislosti od exponentu
.

Študovaný rad konverguje na intervale
k funkcii
, teda súčet série
pri
.

Príklad7 . Rozšírme funkciu v sérii Maclaurin
.

Riešenie.

Na rozšírenie tejto funkcie na rad používame binomický rad pre
. Dostaneme:

Na základe vlastnosti mocninného radu (mocninový rad možno integrovať v oblasti jeho konvergencie) nájdeme integrál ľavej a pravej časti tohto radu:

Nájdite oblasť konvergencie tohto radu:
,

to znamená, že oblasťou konvergencie tohto radu je interval
. Určme konvergenciu radu na koncoch intervalu. O

. Tento rad je harmonický, to znamená, že sa rozchádza. O
dostaneme číselný rad so spoločným členom
.

Leibnizova séria konverguje. Oblasťou konvergencie tohto radu je teda interval
.

16.2. Aplikácia mocninných radov v približných výpočtoch

Mocninné rady zohrávajú pri približných výpočtoch mimoriadne dôležitú úlohu. S ich pomocou boli zostavené tabuľky trigonometrických funkcií, tabuľky logaritmov, tabuľky hodnôt iných funkcií, ktoré sa používajú v rôznych oblastiach vedomostí, napríklad v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike. Okrem toho je rozšírenie funkcií v mocninnom rade užitočné pre ich teoretické štúdium. Hlavným problémom pri použití mocninových radov v približných výpočtoch je otázka odhadu chyby pri nahradení súčtu radu súčtom jeho prvého nčlenov.

Zvážte dva prípady:

funkcia je rozšírená do striedavého radu;

funkcia je rozšírená do série s konštantným znamienkom.

Výpočet pomocou striedavých radov

Nechajte funkciu
rozšírené do striedavého výkonového radu. Potom pri výpočte tejto funkcie pre konkrétnu hodnotu dostaneme číselný rad, na ktorý môžeme aplikovať Leibnizov test. V súlade s týmto kritériom, ak sa súčet série nahradí súčtom jej prvého nčlenov, potom absolútna chyba nepresiahne prvý člen zvyšku tohto radu, to znamená:
.

Príklad8 . Vypočítajte
s presnosťou 0,0001.

Riešenie.

Na to použijeme sériu Maclaurin
, nahradením hodnoty uhla v radiánoch:

Ak porovnáme prvého a druhého člena radu s danou presnosťou, potom: .

Tretí termín rozšírenia:

menšia ako špecifikovaná presnosť výpočtu. Preto počítať
stačí ponechať dva termíny radu, t.j.

.

Touto cestou
.

Príklad9 . Vypočítajte
s presnosťou 0,001.

Riešenie.

Použijeme vzorec binomického radu. Pre toto píšeme
ako:
.

V tomto výraze
,

Porovnajme každý z členov radu s presnosťou, ktorá je daná. To je jasné
. Preto počítať
stačí nechať troch členov série.

alebo
.

Výpočet pomocou znamienkovo-pozitívnych radov

Príklad10 . Vypočítajte číslo s presnosťou 0,001.

Riešenie.

V rade pre funkciu
náhrada
. Dostaneme:

Odhadnime chybu, ktorá vznikne, keď sa súčet radu nahradí súčtom prvého členov. Zapíšme si zjavnú nerovnosť:

t.j. 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Podľa stavu problému musíte nájsť n tak, že platí nasledujúca nerovnosť:
alebo
.

Je ľahké skontrolovať, že kedy n= 6:
.

v dôsledku toho
.

Príklad11 . Vypočítajte
s presnosťou 0,0001.

Riešenie.

Všimnite si, že na výpočet logaritmov je možné použiť rad funkcie
, ale tento rad konverguje veľmi pomaly a na dosiahnutie danej presnosti by bolo treba vziať 9999 členov! Preto sa na výpočet logaritmov spravidla používa rad funkcie
, ktorá konverguje na intervale
.

Vypočítať
s týmto riadkom. Nechaj
, potom .

v dôsledku toho
,

Aby bolo možné vypočítať
s danou presnosťou vezmite súčet prvých štyroch výrazov:
.

Zvyšok radu
zahodiť. Odhadnime chybu. To je zrejmé

alebo
.

V rade, ktorý bol použitý na výpočet, teda stačilo vziať len prvé štyri členy namiesto 9999 v rade pre funkciu
.

Otázky pre samodiagnostiku

1. Čo je to Taylorov rad?

2. akú sériu mal Maclaurin?

3. Formulujte vetu o expanzii funkcie v Taylorovom rade.

4. Napíšte rozšírenie v Maclaurinovom rade hlavných funkcií.

5. Označte oblasti konvergencie uvažovaného radu.

6. Ako odhadnúť chybu pri približných výpočtoch pomocou mocninových radov?

Rozklad funkcie v sérii Taylor, Maclaurin a Laurent na stránke na trénovanie praktických zručností. Táto sériová expanzia funkcie dáva matematikom predstavu o odhade približnej hodnoty funkcie v určitom bode v jej doméne definície. Je oveľa jednoduchšie vypočítať takúto funkčnú hodnotu v porovnaní s použitím Bredisovej tabuľky, ktorá je v dobe výpočtovej techniky taká zastaraná. Rozšíriť funkciu do Taylorovho radu znamená vypočítať koeficienty pred lineárnymi funkciami tohto radu a zapísať ho v správnom tvare. Študenti si zamieňajú tieto dve série, pričom nerozumejú tomu, čo je všeobecný prípad a čo je špeciálny prípad druhého. Pripomíname raz a navždy, Maclaurinov rad je špeciálny prípad Taylorovho radu, teda je to Taylorov rad, ale v bode x = 0. Všetky stručné záznamy o rozširovaní známych funkcií, ako napr. ^x, Sin(x), Cos(x) a ďalšie, to sú expanzie v Taylorovom rade, ale v bode 0 pre argument. Pre funkcie komplexného argumentu je Laurentov rad najbežnejším problémom v TFKT, pretože predstavuje obojstranný nekonečný rad. Je to súčet dvoch riadkov. Odporúčame vám pozrieť si príklad rozkladu priamo na stránke, je to veľmi jednoduché kliknutím na „Príklad“ s ľubovoľným číslom a potom na tlačidlo „Riešenie“. Práve s týmto rozšírením funkcie do radu je spojený majorizačný rad, ktorý obmedzuje pôvodnú funkciu v určitej oblasti pozdĺž osi y, ak premenná patrí do oblasti x x. Vektorová analýza prichádza do porovnania s ďalšou zaujímavou disciplínou v matematike. Keďže každý výraz je potrebné preskúmať, proces si vyžaduje veľa času. Akákoľvek Taylorova séria môže byť spojená s Maclaurinovou sériou nahradením x0 nulou, ale pre Maclaurinovu sériu nie je opačná reprezentácia Taylorovho radu niekedy zrejmá. Bez ohľadu na to, ako sa to nevyžaduje vo svojej čistej forme, je to zaujímavé pre všeobecný sebarozvoj. Každý Laurentov rad zodpovedá obojstrannému nekonečnému mocninnému radu v celočíselných mocninách z-a, inými slovami, radom rovnakého Taylorovho typu, ale mierne odlišných vo výpočte koeficientov. O oblasti konvergencie Laurentovho radu si povieme o niečo neskôr, po niekoľkých teoretických výpočtoch. Rovnako ako v minulom storočí, fázovú expanziu funkcie do radu možno len ťažko dosiahnuť iba redukciou členov na spoločného menovateľa, pretože funkcie v menovateľoch sú nelineárne. Približný výpočet funkčnej hodnoty vyžaduje formuláciu problémov. Zamyslite sa nad tým, že keď argumentom Taylorovho radu je lineárna premenná, potom expanzia prebieha v niekoľkých krokoch, ale úplne iný obraz, keď ako argument rozšírenej funkcie vystupuje komplexná alebo nelineárna funkcia, potom proces reprezentácie takejto funkcie v mocninovom rade je zrejmý, pretože takýmto spôsobom je teda ľahké vypočítať, aj keď približnú, ale hodnotu v akomkoľvek bode definičnej oblasti s minimálnou chybou, ktorá má malú vplyv na ďalšie výpočty. To platí aj pre sériu Maclaurin. keď je potrebné vypočítať funkciu v nulovom bode. Samotnú Laurentovu sériu tu však predstavuje plošná expanzia s pomyselnými jednotkami. Nie bez úspechu bude tiež správne riešenie problému v priebehu celkového procesu. V matematike tento prístup nie je známy, ale objektívne existuje. Výsledkom je, že môžete dospieť k záveru o takzvaných bodových podmnožinách a pri rozširovaní funkcie v rade musíte použiť metódy známe pre tento proces, ako je napríklad aplikácia teórie derivácií. Opäť sme sa presvedčili o správnosti učiteľa, ktorý vyslovil svoje predpoklady o výsledkoch post-výpočtových výpočtov. Všimnime si, že Taylorova séria, získaná podľa všetkých kánonov matematiky, existuje a je definovaná na celej číselnej osi, avšak, milí používatelia webovej služby, nezabudnite na formu pôvodnej funkcie, pretože sa môže ukázať že spočiatku je potrebné nastaviť definičný obor funkcie, teda vypísať a vylúčiť z ďalších úvah tie body, v ktorých funkcia nie je definovaná v obore reálnych čísel. Dá sa povedať, že to ukáže vašu rýchlosť pri riešení problému. Výnimkou z povedaného nebude ani konštrukcia série Maclaurin s nulovou hodnotou argumentu. Zároveň nikto nezrušil proces hľadania domény definície funkcie a k tejto matematickej akcii musíte pristupovať so všetkou vážnosťou. Ak Laurentova séria obsahuje hlavnú časť, parameter „a“ sa bude nazývať izolovaný singulárny bod a Laurentova séria sa v prstenci rozšíri – ide o priesečník oblastí konvergencie jej častí, z ktorých zodpovedajú príslušné bude nasledovať veta. Nie všetko je ale také ťažké, ako sa na prvý pohľad neskúsenému študentovi môže zdať. Po preštudovaní Taylorovho radu je možné ľahko pochopiť Laurentovu sériu - zovšeobecnený prípad rozšírenia priestoru čísel. Akékoľvek rozšírenie funkcie do radu je možné vykonať iba v bode v obore funkcie. Mali by sa brať do úvahy vlastnosti takýchto funkcií, napríklad periodicita alebo nekonečná diferencovateľnosť. Odporúčame vám tiež použiť tabuľku hotových expanzií do Taylorovho radu elementárnych funkcií, keďže jedna funkcia môže byť reprezentovaná až desiatkami rôznych mocninových radov, čo možno vidieť na našej online kalkulačke. V online sérii Maclaurin je jednoduchšie ako kedykoľvek predtým určiť, či používate jedinečnú službu stránky, stačí zadať správnu písomnú funkciu a prezentovanú odpoveď dostanete v priebehu niekoľkých sekúnd, bude zaručene presná a v štandardnej písomnej forme . Výsledok môžete ihneď prepísať v čistom vyhotovení na doručenie učiteľovi. Bolo by správne najprv určiť analytickosť uvažovanej funkcie v kruhoch a potom jednoznačne uviesť, že môže byť rozšírená v Laurentovom rade vo všetkých takýchto kruhoch. Dôležitým momentom je nestratiť zo zreteľa členov Laurentovej série obsahujúcej negatívne stupne. Zamerajte sa na to čo najviac. Dobre využite Laurentovu vetu o expanzii funkcie do radu v celočíselných mocninách.