Slovník lekárskych pojmov

Výkladový slovník ruského jazyka. D.N. Ušakov

mnohouholník

polygón, m.(mat.). Plochá postava ohraničená tromi, štyrmi atď.

Výkladový slovník ruského jazyka. S.I. Ozhegov, N.Yu Shvedova.

mnohouholník

A, m.V matematike: geometrický útvar ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou.

Nový výkladový a odvodzovací slovník ruského jazyka, T. F. Efremova.

mnohouholník

m) Geometrický útvar ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorej články tvoria viac ako štyri rohy.

Encyklopedický slovník, 1998

mnohouholník

POLYGON (v rovine) geometrický útvar ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorej články sa nazývajú strany mnohouholníka a ich konce sú vrcholy mnohouholníka. Podľa počtu vrcholov sa rozlišujú trojuholníky, štvoruholníky atď. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak leží celý na jednej strane priamky nesúcej niektorú z jeho strán a ak nie je konvexný. Mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany a uhly rovnaké.

Polygón

uzavretá prerušovaná čiara. Podrobnejšie, M. ≈ priamka, ktorú získame, ak vezmeme n ľubovoľných bodov A1, A2, ..., An a spojíme každý z nich s nasledujúcim úsečkou a posledný ≈ s prvým (pozri obr. ryža. jeden, a). Body A1, A2, ..., An sa nazývajú vrcholy M. a segmenty A1A2, A2A3, ..., An-1An, AnA1 ≈ jeho strany. Ďalej sú uvažované iba ploché M. (t. j. predpokladá sa, že M. leží v jednej rovine). M. sa môže krížiť (pozri. ryža. jeden, b) a samopriesečníky nemusia byť jej vrcholmi.

Existujú aj iné uhly pohľadu na to, čo treba považovať za M. Mnohouholník možno nazvať spojenou časťou roviny, ktorej celá hranica pozostáva z konečného počtu priamych úsečiek, ktoré sa nazývajú strany mnohouholníka. Hmotou v tomto zmysle môže byť aj viacnásobne spojená časť roviny (pozri obr. ryža. jeden, d), teda taký M. môže mať „polygonálne diery“. Uvažujeme aj nekonečné M. ≈ časti roviny ohraničené konečným počtom priamočiarych úsečiek a konečným počtom polpriamok.

Ďalšia prezentácia vychádza z vyššie uvedenej prvej definície M. Ak sa M. nepretína (pozri napr. ryža. jeden, a a b), potom rozdelí množinu všetkých bodov roviny, ktoré na nej neležia, na dve časti ≈ konečnú (vnútornú) a nekonečnú (vonkajšiu) v tom zmysle, že ak dva body patria do jednej z týchto častí, potom môžu byť navzájom spojené prerušovanou čiarou, ktorá nepretína M., a ak rôzne časti, potom je to nemožné. Napriek dokonalému dôkazu tejto okolnosti je jej dôsledné odvodenie z axióm geometrie pomerne zložité (tzv. Jordanova veta pre matematiku). Vnútorná časť roviny vzhľadom na M. má určitú plochu. Ak sa hmota pretína, rozreže rovinu na určitý počet kusov, z ktorých jeden je nekonečný (nazývaný vonkajší vzhľadom na hmotnosť) a ostatné sú konečné, jednoducho spojené (nazývané vnútorné) a hranicou každého z nich je nejaká nepretínajúca sa hmota, ktorej strany sú celé strany alebo časti strán a vrcholy sú vrcholy alebo body vlastného priesečníka daného M. Ak priradíme smer každá strana M., t.j. označte, ktorý z dvoch vrcholov, ktoré ho definujú, budeme považovať za začiatok a ktorý ≈ za koniec, a navyše tak, že začiatok každej strany je koncom predchádzajúcej jedna, potom sa získa uzavretá polygonálna dráha alebo orientovaná M. zostáva naľavo od dráhy, ktorá sleduje túto dráhu, a v opačnom prípade záporná ≈. Nech je M. sebapretínajúci a orientovaný; ak z bodu ležiaceho vo vonkajšej časti roviny vzhľadom k nej nakreslíme úsečku priamky do bodu ležiaceho vo vnútri jednej z jej vnútorných častí a M. tento úsek pretína p krát zľava doprava a q krát sprava doľava, potom číslo p ≈ q ( celé číslo kladné, záporné alebo nula) nezávisí od výberu vonkajšieho bodu a nazýva sa koeficient tohto dielika. Súčet obvyklých plôch týchto kusov, vynásobený ich koeficientmi, sa považuje za „plochu“ uvažovanej uzavretej cesty (orientovaný M.). Takto definovaná "oblasť uzavretej dráhy" hrá dôležitú úlohu v teórii matematických nástrojov (planimeter atď.); získava sa tam obyčajne vo forme integrálu ═ (v polárnych súradniciach r, w) alebo ═ (v karteziánskych súradniciach x, y), kde koniec vektora polomeru r alebo ordináta y raz obehne túto dráhu.

Súčet vnútorných uhlov každého nepretínajúceho sa M. s n stranami sa rovná (n ≈ 2)180╟. M. sa nazýva konvexné (pozri. ryža. jeden, a) ak žiadna strana M., ktorá nie je na neurčito predĺžená, nerozdeľuje M. na dve časti. Konvexné M. možno charakterizovať aj nasledujúcou vlastnosťou: priamka spájajúca dva ľubovoľné body roviny, ktoré ležia vo vnútri M, nepretína M. Každé konvexné M. je samodisjunktné, ale nie naopak. Napríklad na ryža. jeden, b znázorňuje samonepretínajúci sa M., ktorý nie je konvexný, pretože segment PQ, spájajúci niektoré jeho vnútorné body, pretína M.

Najdôležitejšie M.: trojuholníky, najmä pravouhlé, rovnoramenné, rovnostranné (pravidelné); štvoruholníky, najmä lichobežníky, rovnobežníky, kosoštvorce, obdĺžniky, štvorce. Konvexný M. sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké a všetky vnútorné uhly sú rovnaké. V dávnych dobách vedeli, ako správne M. postaviť na stranu alebo polomer opísanej kružnice pomocou kružidla a pravítka, len ak počet strán M je m = 3 ╥ 2n, 4 ​​​​╥ 2n, 5 ╥ 2n , 3 ╥ 5 ╥ 2n, kde n ≈ ľubovoľné kladné číslo alebo nula. V roku 1801 nemecký matematik K. Gauss ukázal, že je možné zostrojiť správny M. pomocou kružidla a pravítka, keď počet jeho strán je: m = 2n ╥ p1 ╥ p2 ╥ ... ╥ pk, kde p1 , p2, ... pk ≈ rôzne prvočísla v tvare ═(s ≈ kladné celé číslo). Doteraz je známych iba päť takýchto p: 3, 5, 17, 257, 65537. Z Galoisovej teórie (pozri Galoisovu teóriu) vyplýva, že pomocou kružidla nemožno zostrojiť žiadne iné pravidelné metre okrem tých, ktoré naznačil Gauss. a rovnosť. Konštrukcia je teda možná s m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... a nemožná s m = 7, 9, 11 , 13 , 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

Nasledujúca tabuľka ukazuje polomer opísanej kružnice, polomer vpísanej kružnice a plochu pravidelného n-uholníka (pre n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), ktorého strana sa rovná k.

Polomer opísanej kružnice

Polomer vpísaného kruhu

Počnúc päťuholníkom existujú aj nekonvexné (samopretínajúce sa alebo v tvare hviezdy) pravidelné M., t.j. také, v ktorých sú všetky strany rovnaké a každá ďalšia strana je otočená rovnakým smerom a pod rovnakým uhlom s vzhľadom k predchádzajúcemu. Všetky vrcholy takéhoto M. tiež ležia na tej istej kružnici. Takou je napríklad päťcípa hviezda. Na ryža. 2 sú dané všetky pravidelné (konvexné aj nekonvexné) matice, od trojuholníka po sedemuholník.

Lit. pozri v čl. Mnohosten.

Wikipedia

Polygón

Polygón je geometrický útvar, zvyčajne definovaný ako uzavretá prerušovaná čiara.

Existujú tri rôzne možnosti definovania polygónu:

• Plochá uzavretá prerušovaná čiara je najvšeobecnejším prípadom;
• Plochá uzavretá polygonálna čiara bez sebapriesečníkov, ktorej žiadne dve susedné väzby neležia na tej istej priamke;
• Časť roviny ohraničená uzavretou lomenou čiarou bez vlastných priesečníkov - plochý polygón

V každom prípade sa volajú vrcholy lomenej čiary vrcholov polygón a jeho segmenty - strany mnohouholník.

Mnohouholník (zjednoznačnenie)

• Polygón v geometrii
• Kamenný mnohouholník v permafroste

Príklady použitia slova polygón v literatúre.

Gilman bol dokonca rád, že sa so svojim obvyklým tlmeným revom vrhol do ponurej priepasti, hoci aj tam vytrvalé prenasledovanie dvoch tvorov, ktoré vyzerali ako zhluk dúhových bublín a malý mnohouholník so stranami meniacimi sa ako v kaleidoskope, spôsoboval obzvlášť akútny pocit ohrozenia a nezvyčajne otravný.

Ponuré, hučiace priepasti -- zelený skalnatý svah -- terasa trblietajúca sa všetkými farbami dúhy -- príťažlivosť neznámych planét -- čierna špirála éteru -- černoch -- špinavá ulička a vŕzgajúce schody -- stará čarodejnica a malý strapatý tvor s dlhými tesákmi - pľuzgierovitý a malý mnohouholník— zvláštne spálenie od slnka — rany na ruke — niečo malé a neforemné v rukách starenky — nohy pokryté blatom — rozprávky a strachy poverčivých cudzincov — čo to všetko napokon znamenalo?

Môžem vytvoriť obdĺžnikový textový rám mnohouholník v tvare hviezdy?

Mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zostávajúce plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom.

Následne bolo potrebné načrtnúť, kde a ako presne rozmiestniť zálohy západným smerom a nepravidelne tvarované mnohouholník Kalinin vpredu.

Pred vami - nesprávny, ktorý išiel prudko na sever mnohouholník s názvom Mandžusko.

Ak je grafický rám oválny resp mnohouholník

Ak je textový rámček oválny resp mnohouholník, potom bude táto možnosť nedostupná.

Zoberú sa tri alebo viac predmetov s rovnakou hmotnosťou, ktoré sú umiestnené vo vrcholoch rovnostranníka mnohouholník a zrýchli na rovnakú uhlovú rýchlosť vzhľadom k stredu ich celkovej hmotnosti.

Takmer proti svojej vôli sa vzniesol cez priepasť súmraku, nasledoval zhluk dúhových bublín a malý mnohouholník keď si všimol, že okraje obrovských hranolov, ktoré boli od neho vzdialené, tvoria prekvapivo pravidelné opakujúce sa uhly.

Hladké, panenské, biele, miestami deformované pohybmi, podobných nespočetne veľa polygóny lemované čiernymi pruhmi otvorenej vody.

Ach, vidieť Argusovým okom polygóny koraly a vlákna votkané do faziet a vnútro vlákien.

Ide o vetrom leštené hlinené takyry, rozpukané na nespočetné množstvo polygóny, hladké ako klzisko, tvrdé ako betón.

Tu je fontána falického tvaru, ktorú bolo vidieť buď spod oblúka, alebo spod portika, s Neptúnom stojacim na delfíne, brána so stĺpmi podobnými asýrskym a opäť oblúk neurčitého tvaru, niečo ako halda. trojuholníkov a polygóny a vrchol každého z nich bol korunovaný figúrkou zvieraťa - losa, opice, leva.

Obrázky môžu byť umiestnené nielen v obdĺžnikových grafických rámoch, ale aj v modifikovaných polygóny a ovály.

Trojuholník, štvorec, šesťuholník - tieto postavy pozná takmer každý. Ale nie každý vie, čo je to pravidelný mnohouholník. Ale to je všetko rovnaké Pravidelný mnohouholník sa nazýva ten, ktorý má rovnaké uhly a strany. Existuje veľa takýchto figúrok, ale všetky majú rovnaké vlastnosti a platia pre ne rovnaké vzorce.

Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov

Akýkoľvek pravidelný mnohouholník, či už je to štvorec alebo osemuholník, môže byť vpísaný do kruhu. Táto základná vlastnosť sa často využíva pri konštrukcii figúry. Okrem toho môže byť kruh vpísaný aj do mnohouholníka. V tomto prípade sa počet bodov kontaktu bude rovnať počtu jeho strán. Dôležité je, že kružnica vpísaná do pravidelného mnohouholníka bude mať s ňou spoločný stred. Tieto geometrické útvary podliehajú rovnakým vetám. Ľubovoľná strana pravidelného n-uholníka je spojená s polomerom kružnice opísanej okolo nej R. Preto ju možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: a = 2R ∙ sin180°. Cez môžete nájsť nielen strany, ale aj obvod polygónu.

Ako zistiť počet strán pravidelného mnohouholníka

Každý pozostáva z určitého počtu navzájom rovnakých segmentov, ktoré po spojení tvoria uzavretú čiaru. V tomto prípade majú všetky rohy vytvorenej figúry rovnakú hodnotu. Polygóny sa delia na jednoduché a zložité. Do prvej skupiny patrí trojuholník a štvorec. Zložité polygóny majú viac strán. Patria k nim aj postavičky v tvare hviezdy. V prípade zložitých pravidelných mnohouholníkov sa strany nachádzajú vpísaním do kruhu. Dajme dôkaz. Nakreslite pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán n. Opíšte kruh okolo neho. Zadajte polomer R. Teraz si predstavte, že je daný nejaký n-uholník. Ak body jeho uhlov ležia na kruhu a sú si navzájom rovné, strany možno nájsť podľa vzorca: a = 2R ∙ sinα: 2.

Zistenie počtu strán vpísaného pravouhlého trojuholníka

Rovnostranný trojuholník je pravidelný mnohouholník. Platia pre ňu rovnaké vzorce ako pre štvorec a n-uholník. Trojuholník sa bude považovať za správny, ak má strany rovnakej dĺžky. V tomto prípade sú uhly 60⁰. Zostrojte trojuholník s danou dĺžkou strany a. Keď poznáte jeho stred a výšku, môžete nájsť hodnotu jeho strán. Na tento účel použijeme metódu hľadania pomocou vzorca a \u003d x: cosα, kde x je medián alebo výška. Pretože všetky strany trojuholníka sú rovnaké, dostaneme a = b = c. Potom platí nasledujúce tvrdenie: a = b = c = x: cosα. Podobne môžete nájsť hodnotu strán v rovnoramennom trojuholníku, ale x bude daná výška. Zároveň by sa mala premietať striktne na základňu postavy. Keď teda poznáme výšku x, nájdeme stranu a rovnoramenného trojuholníka pomocou vzorca a \u003d b \u003d x: cosα. Po zistení hodnoty a môžete vypočítať dĺžku základne c. Aplikujme Pytagorovu vetu. Budeme hľadať hodnotu polovice základne c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Potom c = 2xtanα. Takýmto jednoduchým spôsobom môžete zistiť počet strán akéhokoľvek vpísaného mnohouholníka.

Výpočet strán štvorca vpísaného do kruhu

Ako každý iný vpísaný pravidelný mnohouholník, štvorec má rovnaké strany a uhly. Platia preň rovnaké vzorce ako pre trojuholník. Strany štvorca môžete vypočítať pomocou hodnoty uhlopriečky. Zvážme túto metódu podrobnejšie. Je známe, že uhlopriečka pretína uhol. Spočiatku bola jeho hodnota 90 stupňov. Po rozdelení teda vzniknú dve, ktorých uhly pri základni budú rovné 45 stupňom. Každá strana štvorca bude teda rovnaká, to znamená: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kde e je uhlopriečka štvorca alebo základňa po rozdelení vznikol pravouhlý trojuholník. Toto nie je jediný spôsob, ako nájsť strany štvorca. Vpíšme túto postavu do kruhu. Keď poznáme polomer tohto kruhu R, nájdeme stranu štvorca. Vypočítame to takto a4 = R√2. Polomery pravidelných mnohouholníkov sa vypočítavajú podľa vzorca R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kde a je dĺžka strany.

Ako vypočítať obvod n-uholníka

Obvod n-uholníka je súčtom všetkých jeho strán. Je ľahké to vypočítať. Aby ste to dosiahli, musíte poznať hodnoty všetkých strán. Pre niektoré typy polygónov existujú špeciálne vzorce. Umožňujú vám oveľa rýchlejšie nájsť obvod. Je známe, že každý pravidelný mnohouholník má rovnaké strany. Preto na výpočet jeho obvodu stačí poznať aspoň jeden z nich. Vzorec bude závisieť od počtu strán obrázku. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: P \u003d an, kde a je hodnota strany a n je počet uhlov. Napríklad, ak chcete nájsť obvod pravidelného osemuholníka so stranou 3 cm, musíte ho vynásobiť číslom 8, teda P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pre šesťuholník so stranou 5 cm vypočítame takto: P = 5 ∙ 6 = 30 cm A tak pre každý mnohouholník.

Nájdenie obvodu rovnobežníka, štvorca a kosoštvorca

Podľa toho, koľko strán má pravidelný mnohouholník, sa vypočíta jeho obvod. Vďaka tomu je úloha oveľa jednoduchšia. Na rozdiel od iných figúrok totiž v tomto prípade netreba hľadať všetky jeho strany, stačí len jedna. Rovnakým princípom nájdeme obvod štvoruholníkov, teda štvorca a kosoštvorca. Napriek tomu, že ide o rôzne čísla, vzorec pre ne je rovnaký P = 4a, kde a je strana. Vezmime si príklad. Ak je strana kosoštvorca alebo štvorca 6 cm, potom nájdeme obvod takto: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rovnobežník má iba opačné strany. Preto sa jeho obvod zisťuje pomocou inej metódy. Potrebujeme teda poznať dĺžku a a šírku b obrázku. Potom použijeme vzorec P \u003d (a + c) ∙ 2. Rovnobežník, v ktorom sú všetky strany a uhly medzi nimi rovnaké, sa nazýva kosoštvorec.

Nájdenie obvodu rovnostranného a pravouhlého trojuholníka

Obvod toho správneho možno nájsť podľa vzorca P \u003d 3a, kde a je dĺžka strany. Ak nie je známy, možno ho nájsť prostredníctvom mediánu. V pravouhlom trojuholníku sú rovnaké iba dve strany. Základ možno nájsť prostredníctvom Pytagorovej vety. Keď budú známe hodnoty všetkých troch strán, vypočítame obvod. Dá sa nájsť použitím vzorca P \u003d a + b + c, kde a a b sú rovnaké strany a c je základ. Pripomeňme, že v rovnoramennom trojuholníku a \u003d b \u003d a teda a + b \u003d 2a, potom P \u003d 2a + c. Napríklad strana rovnoramenného trojuholníka je 4 cm, nájdite jeho základňu a obvod. Hodnotu prepony vypočítame podľa Pytagorovej vety c \u003d √a 2 + v 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Teraz vypočítame obvod P \u003d 4 + 2 . u003d 13,65 cm.

Ako nájsť uhly pravidelného mnohouholníka

Pravidelný mnohouholník sa v našom živote vyskytuje každý deň, napríklad obyčajný štvorec, trojuholník, osemuholník. Zdalo by sa, že nie je nič jednoduchšie, ako si túto postavu postaviť sami. Ale to je len na prvý pohľad. Aby ste mohli zostrojiť akýkoľvek n-uholník, musíte poznať hodnotu jeho uhlov. Ale ako ich nájdete? Dokonca aj vedci staroveku sa pokúšali postaviť pravidelné polygóny. Hádali, že ich zapadnú do kruhov. A potom boli na ňom vyznačené potrebné body spojené rovnými čiarami. Pre jednoduché figúrky je konštrukčný problém vyriešený. Boli získané vzorce a vety. Napríklad Euclid vo svojom slávnom diele „Začiatok“ sa zaoberal riešením problémov pre 3-, 4-, 5-, 6- a 15-uholníky. Našiel spôsoby, ako ich skonštruovať a nájsť uhly. Pozrime sa, ako to urobiť pre 15-uholník. Najprv musíte vypočítať súčet jeho vnútorných uhlov. Je potrebné použiť vzorec S = 180⁰(n-2). Dostaneme teda 15-uholník, čo znamená, že číslo n je 15. Údaje, ktoré poznáme, dosadíme do vzorca a dostaneme S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli sme súčet všetkých vnútorných uhlov 15-uholníka. Teraz musíme zistiť hodnotu každého z nich. Celkovo je uhlov 15. Vypočítame 2340⁰: 15 = 156⁰. To znamená, že každý vnútorný uhol je 156⁰, teraz pomocou pravítka a kružidla môžete postaviť obyčajný 15-uholník. Ale čo zložitejšie n-uholníky? Po stáročia sa vedci snažili vyriešiť tento problém. Našiel ho až v 18. storočí Carl Friedrich Gauss. Dokázal postaviť 65537-gon. Odvtedy sa problém oficiálne považuje za úplne vyriešený.

Výpočet uhlov n-uholníkov v radiánoch

Samozrejme, existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť rohy polygónov. Najčastejšie sa počítajú v stupňoch. Môžete ich však vyjadriť aj v radiánoch. Ako to spraviť? Je potrebné postupovať nasledovne. Najprv zistíme počet strán pravidelného mnohouholníka, potom od neho odčítame 2. Dostaneme teda hodnotu: n - 2. Nájdený rozdiel vynásobíme číslom n („pi“ \u003d 3,14). Teraz zostáva len rozdeliť výsledný produkt počtom uhlov v n-uholníku. Zvážte tieto výpočty pomocou príkladu toho istého pätnásťstranného. Číslo n je teda 15. Použime vzorec S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Toto samozrejme nie je jediný spôsob výpočtu uhla v radiánoch. Veľkosť uhla v stupňoch jednoducho vydelíte číslom 57,3. Koniec koncov, toľko stupňov zodpovedá jednému radiánu.

Výpočet hodnoty uhlov v stupňoch

Okrem stupňov a radiánov môžete skúsiť nájsť aj hodnotu uhlov pravidelného mnohouholníka v gradoch. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom. Od celkového počtu uhlov odpočítajte 2, výsledný rozdiel vydeľte počtom strán pravidelného mnohouholníka. Zistený výsledok vynásobíme 200. Mimochodom, takáto jednotka merania uhlov ako stupňov sa prakticky nepoužíva.

Výpočet vonkajších rohov n-uholníkov

Pre každý pravidelný mnohouholník, okrem vnútorného, ​​môžete vypočítať aj vonkajší uhol. Jeho hodnota sa zisťuje rovnakým spôsobom ako pri iných číslach. Ak teda chcete nájsť vonkajší roh pravidelného mnohouholníka, musíte poznať hodnotu vnútorného. Ďalej vieme, že súčet týchto dvoch uhlov je vždy 180 stupňov. Preto výpočty robíme takto: 180⁰ mínus hodnota vnútorného uhla. Nájdeme rozdiel. Bude sa rovnať hodnote uhla priľahlého k nej. Napríklad vnútorný roh štvorca je 90 stupňov, takže vonkajší uhol bude 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Ako vidíme, nie je ťažké ho nájsť. Vonkajší uhol môže nadobúdať hodnotu od +180° do -180°.

Čo je to mnohouholník? Typy polygónov. POLYGON, plochý geometrický útvar s tromi alebo viacerými stranami pretínajúcimi sa v troch alebo viacerých bodoch (vrcholoch). Definícia. Mnohouholník je geometrický útvar ohraničený zo všetkých strán uzavretou prerušovanou čiarou, pozostávajúcou z troch alebo viacerých segmentov (spojok). Trojuholník je určite mnohouholník. Mnohouholník je postava, ktorá má päť alebo viac rohov.

Definícia. Štvoruholník je plochý geometrický útvar pozostávajúci zo štyroch bodov (vrcholov štvoruholníka) a štyroch segmentov, ktoré ich spájajú v sérii (strany štvoruholníka).

Obdĺžnik je štvoruholník so všetkými pravými uhlami. Sú pomenované podľa počtu strán alebo vrcholov: TROJUHOLNÍK (trojstranný); ŠTVORHRANNÉ (štvorstranné); PENTAGON (päťstranný) atď. V elementárnej geometrii je M. útvar ohraničený priamkami nazývanými strany. Body, v ktorých sa strany pretínajú, sa nazývajú vrcholy. Polygón má viac ako tri rohy. Takže prijaté alebo dohodnuté.

Trojuholník je trojuholník. A štvoruholník tiež nie je mnohouholník a ani sa nenazýva štvoruholník - je to buď štvorec, alebo kosoštvorec, alebo lichobežník. Skutočnosť, že polygón s tromi stranami a tromi rohmi má svoj vlastný názov „trojuholník“, ho nezbavuje jeho štatútu polygónu.

Pozrite sa, čo je "POLYGON" v iných slovníkoch:

Dozvedáme sa, že tento obrazec je ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorá zase môže byť jednoduchá, uzavretá. Povedzme si o tom, že polygóny sú ploché, pravidelné, vypuklé. Kto by nepočul o tajomnom Bermudskom trojuholníku, kde bez stopy miznú lode a lietadlá? Ale trojuholník, ktorý poznáme z detstva, je plný mnohých zaujímavých a tajomných vecí.

Aj keď, samozrejme, za mnohouholník možno považovať aj postavu pozostávajúcu z troch uhlov

Na charakterizáciu postavy to však nestačí. Prerušovaná čiara A1A2…An je obrazec, ktorý pozostáva z bodov A1,A2,…An a segmentov A1A2, A2A3,…, ktoré ich spájajú. Jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke (obr. 5). V slove „polygón“ namiesto časti „veľa“ nahraďte konkrétne číslo, napríklad 3. Dostanete trojuholník. Všimnite si, že existuje toľko uhlov, koľko je strán, takže tieto čísla možno nazvať mnohostrannými.

Nech А1А2…А n je daný konvexný mnohouholník a n>3. Nakreslite do nej (z jedného vrcholu) uhlopriečky

Súčet uhlov každého trojuholníka je 1800 a počet týchto trojuholníkov je n - 2. Preto súčet uhlov konvexného n - uhla A1A2 ... A n je 1800 * (n - 2). Veta bola dokázaná. Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole.

V štvoruholníku nakreslite čiaru tak, aby ju rozdelila na tri trojuholníky

Štvoruholník nikdy nemá tri vrcholy na tej istej priamke. Slovo „polygón“ naznačuje, že všetky figúrky tejto rodiny majú „veľa rohov“. Prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá vlastné priesečníky (obr. 2,3).

Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov (obr. 4). V prípade n=3 veta platí. Takže štvorec môže byť nazývaný inak - pravidelný štvoruholník. Takéto postavy už dlho zaujímajú majstrov, ktorí zdobili budovy.

Počet vrcholov sa rovná počtu strán. Prerušovaná čiara sa nazýva uzavretá, ak sa jej konce zhodujú. Krásne vzory robili napríklad na parkete. Naša päťcípa hviezda je pravidelná päťuholníková hviezda.

Ale nie všetky bežné mnohouholníky sa dali použiť na vytvorenie parkiet. Pozrime sa bližšie na dva typy mnohouholníkov: trojuholník a štvoruholník. Mnohouholník, v ktorom sú všetky vnútorné uhly rovnaké, sa nazýva pravidelný mnohouholník. Polygóny sú pomenované podľa počtu ich strán alebo vrcholov.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Predmet, vek žiakov: geometria, 9. ročník

Účel lekcie: štúdium typov polygónov.

Učebná úloha: aktualizovať, rozširovať a zovšeobecňovať vedomosti žiakov o polygónoch; vytvoriť si predstavu o „komponentoch“ mnohouholníka; vykonať štúdiu počtu základných prvkov pravidelných mnohouholníkov (od trojuholníka po n-uholník);

Rozvíjacia úloha: rozvíjať schopnosť analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery, rozvíjať výpočtové zručnosti, ústnu a písomnú matematickú reč, pamäť, ako aj samostatnosť v myslení a činnostiach učenia, schopnosť pracovať vo dvojiciach a skupinách; rozvíjať výskumné a vzdelávacie aktivity;

Výchovná úloha: vychovávať k samostatnosti, aktivite, zodpovednosti za zadanú úlohu, vytrvalosti pri dosahovaní cieľa.

Počas tried: na tabuľu je napísaný citát

"Príroda hovorí jazykom matematiky, písmenami tohto jazyka ... matematickými číslami." G. Gallilei

Na začiatku hodiny sa trieda rozdelí na pracovné skupiny (v našom prípade rozdelenie na skupiny po 4 osoby - počet členov skupiny sa rovná počtu skupín otázok).

1. Fáza hovoru-

Ciele:

a) aktualizácia vedomostí študentov o danej téme;

b) prebudenie záujmu o študovanú tému, motivácia každého študenta k učebným aktivitám.

Recepcia: Hra "Veríš, že ...", organizácia práce s textom.

Formy práce: frontálna, skupinová.

"Veríš tomu..."

1. ... slovo „polygón“ naznačuje, že všetky figúrky tejto rodiny majú „veľa rohov“?

2. … trojuholník patrí do veľkej rodiny mnohouholníkov, ktoré sa v rovine vyznačujú mnohými rôznymi geometrickými tvarmi?

3. …je štvorec pravidelný osemuholník (štyri strany + štyri rohy)?

Dnes v lekcii budeme hovoriť o polygónoch. Dozvedáme sa, že tento obrazec je ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorá zase môže byť jednoduchá, uzavretá. Povedzme si o tom, že polygóny sú ploché, pravidelné, vypuklé. Jedným z plochých polygónov je trojuholník, ktorý poznáte už dlho (môžete študentom ukázať plagáty zobrazujúce polygóny, prerušovanú čiaru, ukázať ich rôzne typy, môžete použiť aj TCO).

2. Štádium porozumenia

Účel: získavanie nových informácií, ich pochopenie, výber.

Príjem: cik-cak.

Formy práce: individuálna->párová->skupinová.

Každá skupina dostane text na tému vyučovacej hodiny a text je navrhnutý tak, aby obsahoval už študentom známe aj úplne nové informácie. Spolu s textom žiaci dostávajú otázky, na ktoré treba nájsť odpovede v tomto texte.

Polygóny. Typy polygónov.

Kto by nepočul o tajomnom Bermudskom trojuholníku, kde bez stopy miznú lode a lietadlá? Ale trojuholník, ktorý poznáme z detstva, je plný mnohých zaujímavých a tajomných vecí.

Popri nám už známych typoch trojuholníkov rozdelených podľa strán (škálový, rovnoramenný, rovnostranný) a uhlov (ostrouhlý, tupouhlý, pravouhlý), patrí trojuholník do veľkej rodiny mnohouholníkov, ktoré sa rozlišujú medzi veľa rôznych geometrických tvarov v rovine.

Slovo „polygón“ naznačuje, že všetky figúrky tejto rodiny majú „veľa rohov“. Na charakterizáciu postavy to však nestačí.

Prerušovaná čiara A 1 A 2 ... A n je obrazec, ktorý pozostáva z bodov A 1, A 2, ... A n a úsekov A 1 A 2, A 2 A 3, ... ich spájajúcich. Body sa nazývajú vrcholy lomenej čiary a segmenty sa nazývajú spojnice lomenej čiary. (obr.1)

Prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá vlastné priesečníky (obr. 2,3).

Prerušovaná čiara sa nazýva uzavretá, ak sa jej konce zhodujú. Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov (obr. 4).

Jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke (obr. 5).

V slove „polygón“ namiesto časti „veľa“ nahraďte konkrétne číslo, napríklad 3. Dostanete trojuholník. Alebo 5. Potom - päťuholník. Všimnite si, že existuje toľko uhlov, koľko je strán, takže tieto čísla možno nazvať mnohostrannými.

Vrcholy lomenej čiary sa nazývajú vrcholy mnohouholníka a spojnice lomenej čiary sa nazývajú strany mnohouholníka.

Mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu (obr. 6).

Rovinný mnohouholník alebo mnohouholníková oblasť je konečná časť roviny ohraničená mnohouholníkom.

Dva vrcholy mnohouholníka, ktoré sú koncami tej istej strany, sa nazývajú susedia. Vrcholy, ktoré nie sú koncami jednej strany, nesusedia.

Mnohouholník s n vrcholmi a teda n stranami sa nazýva n-uholník.

Hoci najmenší počet strán mnohouholníka je 3. Ale trojuholníky, ktoré sa navzájom spájajú, môžu vytvárať ďalšie tvary, ktoré sú zase tiež mnohouholníkmi.

Segmenty spájajúce nesusedné vrcholy mnohouholníka sa nazývajú diagonály.

Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak leží v jednej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jeho stranu. V tomto prípade sa samotná priamka považuje za súčasť polroviny.

Uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol, ktorý zvierajú jeho strany zbiehajúce sa v tomto vrchole.

Dokážme vetu (o súčte uhlov konvexného n-uholníka): Súčet uhlov konvexného n-uholníka sa rovná 180 0 *(n - 2).

Dôkaz. V prípade n=3 veta platí. Nech А 1 А 2 …А n je daný konvexný mnohouholník a n>3. Nakreslíme si do nej uhlopriečky (z jedného vrcholu). Keďže je mnohouholník konvexný, tieto uhlopriečky ho rozdeľujú na n - 2 trojuholníky. Súčet uhlov mnohouholníka je rovnaký ako súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov. Súčet uhlov každého trojuholníka je 180 0 a počet týchto trojuholníkov je n - 2. Preto súčet uhlov konvexného n - uhla A 1 A 2 ... A n je 180 0 * ( n - 2). Veta bola dokázaná.

Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole.

Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké.

Takže štvorec môže byť nazývaný inak - pravidelný štvoruholník. Pravidelné sú aj rovnostranné trojuholníky. Takéto postavy už dlho zaujímajú majstrov, ktorí zdobili budovy. Krásne vzory robili napríklad na parkete. Ale nie všetky bežné mnohouholníky sa dali použiť na vytvorenie parkiet. Parkety nemôžu byť vytvorené z pravidelných osemuholníkov. Faktom je, že majú každý uhol rovný 135 0. A ak je niektorý bod vrcholom dvoch takýchto osemuholníkov, potom budú mať 270 0 a tretí osemuholník sa nemá kam zmestiť: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ale dosť na štvorec. Preto je možné parkety skladať z pravidelných osemuholníkov a štvorcov.

Hviezdy sú správne. Naša päťcípa hviezda je pravidelná päťuholníková hviezda. A ak otočíte štvorec okolo stredu o 45 0, dostanete pravidelnú osemhrannú hviezdu.

1 skupina

Čo je to prerušovaná čiara? Vysvetlite, čo sú vrcholy a väzby lomenej čiary.

Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá?

Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva uzavretá?

Čo je to mnohouholník? Ako sa nazývajú vrcholy mnohouholníka? Aké sú strany mnohouholníka?

2 skupina

Čo je plochý mnohouholník? Uveďte príklady polygónov.

čo je n-gon?

Vysvetlite, ktoré vrcholy mnohouholníka susedia a ktoré nie.

Aká je uhlopriečka mnohouholníka?

3 skupina

Čo je to konvexný mnohouholník?

Vysvetlite, ktoré rohy mnohouholníka sú vonkajšie a ktoré vnútorné?

Čo je pravidelný mnohouholník? Uveďte príklady pravidelných mnohouholníkov.

4 skupina

Aký je súčet uhlov konvexného n-uholníka? Dokázať to.

Študenti pracujú s textom, hľadajú odpovede na položené otázky, potom sa vytvárajú expertné skupiny, v ktorých sa pracuje na rovnakých problémoch: študenti zdôrazňujú hlavnú vec, zostavujú podporný abstrakt, prezentujú informácie v jednom z grafické formy. Na konci práce sa žiaci vrátia do svojich pracovných skupín.

3. Fáza odrazu -

a) posúdenie ich vedomostí, výzva k ďalšiemu kroku vedomostí;

b) pochopenie a osvojenie si prijatých informácií.

Recepcia: výskumná práca.

Formy práce: individuálna->párová->skupinová.

Pracovné skupiny sú odborníkmi na odpovede na každú z častí navrhovaných otázok.

Po návrate do pracovnej skupiny odborník predstaví ostatných členov skupiny s odpoveďami na ich otázky. V skupine dochádza k výmene informácií všetkých členov pracovnej skupiny. V každej pracovnej skupine sa tak vďaka práci odborníkov vytvorí všeobecná predstava o skúmanej téme.

Výskumná práca študentov - vyplnenie tabuľky.

Pravidelné polygóny	Kreslenie	Počet strán	Počet vrcholov	Súčet všetkých vnútorných uhlov	Miera stupňa int. uhol	Miera stupňa vonkajšieho uhla	Počet uhlopriečok
A) trojuholník
B) štvoruholník
B) päťstenné
D) šesťuholník
E) n-uholník

Riešenie zaujímavých úloh na tému lekcie.

• V štvoruholníku nakreslite čiaru tak, aby ju rozdelila na tri trojuholníky.
• Koľko strán má pravidelný mnohouholník, z ktorého každý vnútorný uhol je rovný 135 0 ?
• V určitom mnohouholníku sú všetky vnútorné uhly navzájom rovnaké. Môže byť súčet vnútorných uhlov tohto mnohouholníka: 360 0 , 380 0 ?

Zhrnutie lekcie. Nahrávanie domácich úloh.