Rovnobežník je hranol, ktorého základňami sú rovnobežníky. V tomto prípade budú všetky okraje rovnobežníky.
Každý hranol možno považovať za hranol tromi rôznymi spôsobmi, pretože každé dve protiľahlé strany možno považovať za základne (na obr. 5 sú plochy ABCD a A "B" C "D" alebo ABA "B" a CDC "D" alebo BC "C" a ADA "D").
Uvažované teleso má dvanásť hrán, štyri rovnaké a navzájom rovnobežné.
Veta 3 . Uhlopriečky rovnobežnostena sa pretínajú v jednom bode a zhodujú sa so stredom každého z nich.
Rovnobežník ABCDA"B"C"D" (obr. 5) má štyri uhlopriečky AC", BD", CA", DB". Musíme dokázať, že stredy ľubovoľných dvoch z nich, napríklad AC a BD, sa zhodujú. Vyplýva to zo skutočnosti, že obrazec ABC "D", ktorý má rovnaké a rovnobežné strany AB a C "D", je rovnobežník. .
Definícia 7 . Pravý rovnobežnosten je rovnobežnosten, ktorý je tiež rovný hranol, teda rovnobežnosten, ktorého bočné hrany sú kolmé na základnú rovinu.
Definícia 8 . Obdĺžnikový rovnobežnosten je pravý rovnobežnosten, ktorého základňa je obdĺžnik. V tomto prípade budú všetky jeho tváre obdĺžniky.
Obdĺžnikový hranol je pravý hranol, bez ohľadu na to, ktorú z jeho plôch považujeme za základňu, pretože každá z jeho hrán je kolmá na hrany vychádzajúce z rovnakého vrcholu s ním, a preto bude kolmá na roviny plôch. definované týmito okrajmi. Na rozdiel od toho, priamu, ale nie pravouhlú krabicu možno považovať za pravý hranol iba jedným spôsobom.
Definícia 9 . Dĺžky troch hrán kvádra, z ktorých žiadne dve nie sú navzájom rovnobežné (napríklad tri hrany vychádzajú z toho istého vrcholu), sa nazývajú jeho rozmery. Dva pravouhlé rovnobežnosteny so zodpovedajúcimi rovnakými rozmermi sú si zjavne rovné.
Definícia 10 Kocka je pravouhlý hranol, ktorého všetky tri rozmery sú si navzájom rovné, takže všetky jeho strany sú štvorce. Dve kocky, ktorých hrany sú rovnaké, sú rovnaké.
Definícia 11 . Naklonený rovnobežnosten, v ktorom sú všetky hrany rovnaké a uhly všetkých plôch sú rovnaké alebo sa dopĺňajú, sa nazýva kosoštvorec.
Všetky plochy kosoštvorcového kríža sú rovnaké kosoštvorce. (Tvar kosoštvorca má niektoré veľmi dôležité kryštály, napríklad kryštály islandského nosníka.) V kosodĺžniku možno nájsť taký vrchol (a dokonca dva protiľahlé vrcholy), že všetky uhly susediace s ním sú si navzájom rovné. .
Veta 4 . Uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sú si navzájom rovné. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov troch rozmerov.
V pravouhlom rovnobežnostene ABCDA "B" C "D" (obr. 6) sú uhlopriečky AC "a BD" rovnaké, pretože štvoruholník ABC "D" je obdĺžnik (priamka AB je kolmá na rovinu BC "C" , v ktorej leží BC ").
Navyše AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na základe štvorcovej vety prepony. Ale na základe tej istej vety AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; máme teda:
AC "2 \u003d AB 2 + AA" 2 + A "D" 2 \u003d AB 2 + AA "2 + AD 2.

Veta. V každom rovnobežnostene sú protiľahlé plochy rovnaké a rovnobežné.

Steny (obr.) BB 1 C 1 C a AA 1 D 1 D sú rovnobežné, pretože dve pretínajúce sa priamky BB 1 a B 1 C 1 jednej plochy sú rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami AA 1 a A 1 D 1 ostatný. Tieto plochy sú rovnaké, pretože B 1 C 1 = A 1 D 1, B 1 B = A 1 A (ako protiľahlé strany rovnobežníkov) a ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Veta. V akomkoľvek rovnobežnostene sa všetky štyri uhlopriečky pretínajú v jednom bode a sú v ňom rozdelené na polovicu.

Vezmite (obr.) do rovnobežnostena ľubovoľné dve uhlopriečky, napríklad AC 1 a DB 1, a nakreslite priame čiary AB 1 a DC 1.

Keďže hrany AD a B 1 C 1 sú rovnaké a rovnobežné s hranou BC, sú rovnaké a navzájom rovnobežné.

Výsledkom je, že obrázok ADC 1 B 1 je rovnobežník, v ktorom C1A a DB1 sú uhlopriečky a v rovnobežníku sa uhlopriečky pretínajú na polovicu.

Tento dôkaz možno opakovať pre každé dve uhlopriečky.

Preto sa uhlopriečka AC 1 pretína s BD 1 na polovicu, uhlopriečka BD 1 s A 1 C na polovicu.

Všetky diagonály sa teda pretínajú na polovicu, a teda v jednom bode.

Veta. V kvádri sa druhá mocnina ľubovoľnej uhlopriečky rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov.

Nech (obr.) AC 1 je nejaká uhlopriečka pravouhlého rovnobežnostena.

Po nakreslení AC dostaneme dva trojuholníky: AC 1 C a ACB. Obe sú obdĺžnikové.

prvý, pretože krabica je rovná, a preto je hrana CC 1 kolmá na základňu,

druhá je preto, že rovnobežnosten je obdĺžnikový, čo znamená, že má na svojej základni obdĺžnik.

Z týchto trojuholníkov nájdeme:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 a AC 2 = AB 2 + BC 2

Preto AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Dôsledok. V kvádri sú všetky uhlopriečky rovnaké.

Pre stredoškolákov bude užitočné naučiť sa riešiť USE úlohy na zistenie objemu a iných neznámych parametrov pravouhlého rovnobežnostena. Skúsenosti z minulých rokov potvrdzujú, že takéto úlohy sú pre mnohých absolventov dosť náročné.

Študenti stredných škôl s akoukoľvek úrovňou výcviku by zároveň mali pochopiť, ako nájsť objem alebo plochu pravouhlého rovnobežnostena. Len v tomto prípade budú môcť počítať so získaním súťažných bodov na základe výsledkov zloženia jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

Kľúčové body na zapamätanie

• Rovnobežníky, ktoré tvoria rovnobežnosten, sú jeho strany, ich strany sú hrany. Vrcholy týchto obrazcov sa považujú za vrcholy samotného mnohostenu.
• Všetky uhlopriečky kvádra sú rovnaké. Keďže ide o priamy mnohosten, bočné strany sú obdĺžniky.
• Keďže rovnobežnosten je hranol s rovnobežníkom na jeho základni, tento obrazec má všetky vlastnosti hranola.
• Bočné okraje pravouhlého rovnobežnostena sú kolmé na základňu. Preto sú jeho výškami.

Pripravte sa na skúšku spolu so Shkolkovo!

Aby bolo vyučovanie jednoduché a čo najefektívnejšie, vyberte si náš matematický portál. Tu nájdete všetok potrebný materiál, ktorý bude potrebný v štádiu prípravy na jednotnú štátnu skúšku.

Špecialisti vzdelávacieho projektu "Shkolkovo" navrhujú prejsť od jednoduchého k zložitému: najprv dáme teóriu, základné vzorce a elementárne úlohy s riešeniami a potom postupne prejdeme na úlohy na expertnej úrovni. Cvičiť môžete napríklad s .

Potrebné základné informácie nájdete v časti „Teoretická referencia“. Môžete tiež okamžite začať riešiť problémy na tému "Obdĺžnikový rovnobežnostěn" online. V sekcii "Katalóg" je veľký výber cvikov rôzneho stupňa náročnosti. Základ úloh je pravidelne aktualizovaný.

Skontrolujte, či práve teraz môžete ľahko nájsť objem kvádra. Rozoberte akúkoľvek úlohu. Ak je pre vás cvičenie ľahké, prejdite na ťažšie úlohy. A ak sa vyskytnú určité ťažkosti, odporúčame vám naplánovať si deň tak, aby váš rozvrh zahŕňal hodiny so vzdialeným portálom Shkolkovo.

Rovnobežník je geometrický útvar, ktorého všetkých 6 plôch sú rovnobežníky.

V závislosti od typu týchto rovnobežníkov sa rozlišujú tieto typy rovnobežnostenov:

• rovný;
• naklonený;
• pravouhlý.

Pravý rovnobežnosten je štvorhranný hranol, ktorého hrany zvierajú so základnou rovinou uhol 90°.

Obdĺžnikový hranol je štvoruholníkový hranol, ktorého všetky strany sú obdĺžniky. Kocka je druh štvoruholníkového hranolu, v ktorom sú všetky steny a hrany rovnaké.

Znaky figúry predurčujú jej vlastnosti. Patria sem nasledujúce 4 vyhlásenia:

Zapamätanie všetkých vyššie uvedených vlastností je jednoduché, sú ľahko pochopiteľné a sú odvodené logicky na základe typu a vlastností geometrického telesa. Jednoduché príkazy však môžu byť neuveriteľne užitočné pri riešení typických úloh USE a ušetria čas potrebný na absolvovanie testu.

Rovnobežné vzorce

Na nájdenie odpovedí na problém nestačí poznať iba vlastnosti figúry. Možno budete potrebovať aj nejaké vzorce na nájdenie plochy a objemu geometrického telesa.

Plocha základov sa tiež nachádza ako zodpovedajúci indikátor rovnobežníka alebo obdĺžnika. Základňu rovnobežníka si môžete vybrať sami. Spravidla sa pri riešení úloh ľahšie pracuje s hranolom, ktorý je založený na obdĺžniku.

Vzorec na nájdenie bočného povrchu rovnobežnostena môže byť potrebný aj pri testovacích úlohách.

Príklady riešenia typických USE úloh

Cvičenie 1.

Dané: kváder s rozmermi 3, 4 a 12 cm.
Nevyhnutné Nájdite dĺžku jednej z hlavných uhlopriečok obrázku.
Riešenie: Akékoľvek riešenie geometrického problému musí začať zostavením správneho a jasného výkresu, na ktorom bude uvedená „daná“ a požadovaná hodnota. Obrázok nižšie ukazuje príklad správneho formátovania podmienok úlohy.

Po zvážení vyhotoveného výkresu a zapamätaní si všetkých vlastností geometrického telesa prichádzame k jedinému správnemu spôsobu, ako ho vyriešiť. Použitím vlastnosti 4 rovnobežnostenu získame nasledujúci výraz:

Po jednoduchých výpočtoch dostaneme výraz b2=169, teda b=13. Odpoveď na úlohu bola nájdená, jej hľadanie a kreslenie by nemalo trvať dlhšie ako 5 minút.

Úloha 2.

Dané: šikmá škatuľka s bočným okrajom 10 cm, obdĺžnik KLNM s rozmermi 5 a 7 cm, čo je rez obrazcom rovnobežný s naznačeným okrajom.
Nevyhnutné Nájdite plochu bočného povrchu štvoruholníkového hranolu.
Riešenie: Najprv musíte načrtnúť údaje.

Na vyriešenie tejto úlohy musíte použiť vynaliezavosť. Z obrázku je vidieť, že strany KL a AD sú nerovnaké, rovnako ako dvojica ML a DC. Obvody týchto rovnobežníkov sú však zjavne rovnaké.

Preto sa bočná plocha obrázku bude rovnať ploche prierezu vynásobenej rebrom AA1, pretože podľa podmienky je rebro kolmé na prierez. Odpoveď: 240 cm2.