Z analytického hľadiska a univerzálnej formy vyjadrenia štatistických ukazovateľov je najhodnotnejšia priemerná hodnota. Najbežnejší priemer - aritmetický priemer - má množstvo matematických vlastností, ktoré možno použiť pri jeho výpočte. Pri výpočte konkrétneho priemeru je zároveň vždy vhodné vychádzať z jeho logického vzorca, ktorým je pomer objemu atribútu k objemu populácie. Pre každý priemer existuje len jeden skutočný referenčný pomer, ktorý si v závislosti od dostupných údajov môže vyžadovať rôzne formy priemeru. Avšak vo všetkých prípadoch, kde z povahy spriemerovanej hodnoty vyplýva prítomnosť váh, nie je možné použiť ich nevážené vzorce namiesto vzorcov váženého priemeru.

Priemerná hodnota je najcharakteristickejšia hodnota atribútu pre populáciu a veľkosť atribútu populácie rovnomerne rozložená medzi jednotky populácie.

Charakteristika, pre ktorú sa vypočítava priemerná hodnota, sa nazýva spriemerované .

Priemerná hodnota je ukazovateľ vypočítaný porovnaním absolútnych alebo relatívnych hodnôt. Priemerná hodnota je

Priemerná hodnota odráža vplyv všetkých faktorov ovplyvňujúcich skúmaný jav a je pre ne výsledná. Inými slovami, splácanie individuálnych odchýlok a eliminovanie vplyvu prípadov, priemerná hodnota, ktorá odráža všeobecnú mieru výsledkov tejto akcie, pôsobí ako všeobecný vzorec skúmaného javu.

Podmienky použitia priemerov:

Ø homogenita skúmanej populácie. Ak niektoré prvky populácie podliehajúce vplyvu náhodného faktora majú výrazne odlišné hodnoty študovaného znaku od ostatných, potom tieto prvky ovplyvnia veľkosť priemeru pre túto populáciu. V tomto prípade priemer nebude vyjadrovať najtypickejšiu hodnotu znaku pre populáciu. Ak je skúmaný jav heterogénny, je potrebné ho rozdeliť do skupín obsahujúcich homogénne prvky. V tomto prípade sa vypočítajú skupinové priemery - skupinové priemery, vyjadrujúce najcharakteristickejšiu hodnotu javu v každej skupine a následne sa vypočíta celková priemerná hodnota pre všetky prvky, charakterizujúca jav ako celok. Vypočíta sa ako priemer priemeru skupiny, vážený počtom prvkov populácie zahrnutých v každej skupine;

Ø dostatočný počet jednotiek v súhrne;

Ø maximálne a minimálne hodnoty znaku v skúmanej populácii.

Priemerná hodnota (ukazovateľ)- ide o zovšeobecnenú kvantitatívnu charakteristiku vlastnosti v systematickej populácii za špecifických podmienok miesta a času.

V štatistike sa používajú tieto formy (typy) priemerov, ktoré sa nazývajú výkonové a štrukturálne:

Ø aritmetický priemer(jednoduché a vážené);

jednoduché

Federálna agentúra pre vzdelávanie

Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "Uralská štátna ekonomická univerzita"

Centrum dištančného vzdelávania

TEST

podľa disciplíny: " Štatistiky"

vykonávateľ:

skupinový študent: ETr-09 SR

Trosheva Natalya Yurievna

Mesto Jekaterinburg

2009

Úvod

1.1 Druhy priemerov a metódy výpočtu

1.2 Štrukturálne priemery

2. Praktická úloha

Záver

Bibliografia

Úvod

Tento test pozostáva z dvoch častí – teoretickej a praktickej.

V teoretickej časti sa budeme podrobne zaoberať tak dôležitou štatistickou kategóriou, akou je priemerná hodnota, s cieľom identifikovať jej podstatu a podmienky aplikácie, ako aj identifikovať typy priemerov a metódy ich výpočtu.

Praktická časť je venovaná výpočtu a analýze najdôležitejších ukazovateľov výkonnosti každého podniku - plánovanej úrovni rozvoja daného javu a všeobecného cenového indexu s cieľom poukázať na hlavné faktory ovplyvňujúce zmenu týchto ukazovateľov.

1. Priemerná hodnota: druhy, vlastnosti, rozsah

Priemerná hodnota je zovšeobecňujúca hodnota študovaného znaku v skúmanej populácii, ktorá odráža jeho typickú úroveň na populačnú jednotku v špecifických podmienkach miesta a času.

Priemerné hodnoty sa vzťahujú na zovšeobecňujúce štatistické ukazovatele, ktoré poskytujú súhrnný popis masových sociálnych javov, pretože sú postavené na základe veľkého počtu individuálnych hodnôt rôzneho atribútu.

Priemerná hodnota odráža všeobecné, ktoré je charakteristické pre všetky jednotky skúmanej populácie. Zároveň vyvažuje vplyv všetkých faktorov pôsobiacich na veľkosť atribútu jednotlivých jednotiek populácie, akoby ich vzájomne rušili. Úroveň akéhokoľvek sociálneho javu je daná pôsobením dvoch skupín faktorov. Niektoré z nich sú všeobecné a hlavné, neustále fungujúce, úzko súvisiace s povahou skúmaného javu alebo procesu a tvoria typické pre všetky jednotky skúmanej populácie, čo sa odráža v priemernej hodnote. Iné sú individuálne, ich pôsobenie je menej výrazné a je epizodické, náhodné. Preto sa priemerná hodnota javí ako „neosobná“, ktorá sa môže odchyľovať od individuálnych hodnôt vlastností, pričom sa kvantitatívne nezhoduje so žiadnou z nich. Priemerná hodnota odráža všeobecné, charakteristické a typické pre celú populáciu v dôsledku vzájomného rušenia náhodných, atypických rozdielov medzi znamienkami jej jednotlivých jednotiek, pretože jej hodnota je určená, ako keby, spoločným výslednicou všetkých príčin.

Aby priemerná hodnota odrážala najtypickejšiu hodnotu znaku, mala by byť stanovená len pre populácie pozostávajúce z kvalitatívne homogénnych jednotiek. Táto požiadavka je hlavnou podmienkou vedecky podloženej aplikácie priemerov a predpokladá úzku súvislosť medzi metódou priemerov a metódou zoskupovania pri analýze sociálno-ekonomických javov.

Je potrebné zdôrazniť, že správny výpočet akejkoľvek priemernej hodnoty znamená splnenie nasledujúcich požiadaviek:

kvalitatívna homogenita populácie, na ktorej sa počíta priemerná hodnota.

vylúčenie vplyvu na výpočet priemernej hodnoty náhodných, čisto individuálnych príčin a faktorov

pri výpočte priemernej hodnoty je dôležité stanoviť účel jej výpočtu a tzv. určujúci ukazovateľ, na ktorý sa má orientovať.

Priemerná hodnota vypočítaná ako celok pre populáciu sa nazýva všeobecný priemer – odráža všeobecné znaky skúmaného javu; priemerné hodnoty vypočítané pre každú skupinu podľa skupinových priemerov - poskytujú charakteristiku javu, ktorý sa vyvíja za špecifických podmienok tejto skupiny.

1.1 Spôsoby výpočtu môžu byť rôzne, preto sa v štatistike rozlišuje niekoľko typov priemeru

Priemerné hodnoty sú rozdelené do 2 veľkých typov:

mocniny (harmonický priemer, geometrický priemer, aritmetický priemer atď.). Na výpočet výkonu je potrebné použiť všetky dostupné hodnoty atribútu. Ak vypočítate všetky typy výkonových priemerov pre rovnaké údaje, ich hodnoty budú rovnaké. Potom platí pravidlo majority priemerov: s nárastom exponentu priemerov rastie aj samotná priemerná hodnota ().

štrukturálne priemery (modus, medián). Režim a medián sú určené len štruktúrou distribúcie. Preto sa nazývajú „štrukturálne pozičné priemery“. Medián a modus sa často používajú ako priemerná charakteristika v tých populáciách, kde je výpočet priemernej exponenciály nemožný alebo nepraktický.

Kvôli prehľadnosti sú vzorce, ktoré sa najčastejšie používajú v praktickom výskume na výpočet rôznych typov stredných hodnôt výkonu, uvedené v tabuľke 1.

Tabuľka 1 Typy napájacích prostriedkov

Typ výkonového priemeru	exponent	Vzorec na výpočet
			vážený
1. Harmonický			, kde
2. Geometrické
3. Aritmetika

Aritmetická stredná hodnota je taká priemerná hodnota objektu, pri ktorej výpočte zostáva celkový objem objektu v súhrne nezmenený. Na výpočet aritmetického priemeru je potrebné vydeliť súčet všetkých hodnôt vlastností ich počtom. Používa sa v prípadoch, keď objem premenného atribútu pre celú populáciu je súčtom hodnôt atribútov jeho jednotlivých jednotiek. Príkladom aritmetického priemeru je všeobecná mzda.

Jednoduchý aritmetický priemer sa rovná jednoduchému súčtu jednotlivých hodnôt spriemerovaného znaku vydelenému celkovým počtom týchto hodnôt. Používa sa, keď existujú nezoskupené jednotlivé charakteristické hodnoty.

Vážený aritmetický priemer je priemer ich variantov, ktoré sa opakujú rôzny počet krát alebo majú rôznu váhu.

Hlavné vlastnosti aritmetického priemeru:

Ak jednotlivé hodnoty funkcie, t.j. možnosti, znížiť alebo zvýšiť i-krát, potom sa priemerná hodnota novej funkcie zníži alebo zvýši i-krát, resp.

Ak sa všetky varianty spriemerovaného atribútu znížia alebo zvýšia o číslo A, potom sa aritmetický priemer zníži alebo zvýši o rovnaké číslo.

Ak sa váhy všetkých spriemerovaných možností znížia alebo zvýšia o k krát, potom sa aritmetický priemer nezmení.

Súčet odchýlok jednotlivých hodnôt vlastnosti (možnosti) od aritmetického priemeru sa rovná nule.

Pred vykonaním výpočtu priemernej hodnoty je potrebné previesť intervalový rad na diskrétny. Ak to chcete urobiť, nájdite stred intervalu v každej skupine. Určuje sa vydelením súčtu hornej a dolnej hranice na polovicu.

Vzorec harmonického váženého priemeru sa používa vtedy, keď informácie neobsahujú frekvencie pre jednotlivé možnosti x populácie, ale sú prezentované ako súčin. Na výpočet priemeru je potrebné určiť
, kde
. Teraz transformujme vzorec pre aritmetický priemer tak, aby sme podľa dostupných údajov x a m mohli vypočítať priemer. Vo vzorci pre aritmetický vážený priemer namiesto toho dosadíme m a namiesto f pomer , a tak získame vzorec pre harmonický vážený priemer.

Harmonická jednoduchá stredná hodnota sa používa v prípadoch, keď sa váha každej opcie rovná jednej, t.j. ,

Geometrický priemer sa používa v prípadoch, keď jednotlivé hodnoty atribútu sú relatívne hodnoty dynamiky, zostavené vo forme reťazových hodnôt, ako pomer k predchádzajúcej úrovni každej úrovne v rade dynamiky, t.j. charakterizuje priemernú mieru rastu.

V procese spracovania a sumarizácie štatistických údajov sa stáva nevyhnutnosťou určiť priemerné hodnoty. Jednotlivé hodnoty toho istého atribútu v rôznych jednotkách populácie spravidla nie sú rovnaké.

priemerná hodnota – zovšeobecňujúca charakteristika skúmaného znaku v skúmanej populácii. Odráža jeho typickú úroveň na populačnú jednotku v špecifických podmienkach miesta a času.

Napríklad pri skúmaní príjmu pracovníkov podniku je zovšeobecňujúcou charakteristikou priemerný príjem jedného pracovníka. Na jej určenie sa použije celkový objem finančných prostriedkov určených na spotrebu vo forme miezd, sociálnych a pracovných dávok, finančných výpomocí, dividend z akcií a úrokov z vkladov v majetku podniku za sledované obdobie (rok, štvrťrok, mesiac). ) sa vydelí počtom zamestnancov podniku. Priemerný príjem charakterizuje všeobecný, ktorý je charakteristický pre celý súbor pracovníkov podniku, t.j. úroveň príjmu masy pracujúcich v konkrétnych podmienkach fungovania daného podniku v sledovanom období.

Priemer vypočítaný za populáciu ako celok sa nazýva tzv všeobecný priemer.

Priemery vypočítané pre každú skupinu sa nazývajú skupinové priemery.

Čím viac jednotiek populácie, pre ktoré sa priemer počíta, tým je stabilnejší, t.j. presnejšie. Výpočet priemernej hodnoty zahŕňa dve operácie:

I - sumarizácia údajov za všetky jednotky (zovšeobecnenie údajov);

II - rozdelenie súhrnných údajov počtom jednotiek obyvateľstva.

– priemerná hodnota vlastnosti ; n- počet jednotiek obyvateľstva;

Xi – individuálna hodnota atribútu každej jednotky populácie.

Podstata priemernej hodnoty určuje jej osobitný význam v trhovej ekonomike. Priemerná hodnota prostredníctvom jediného a náhodného umožňuje identifikovať všeobecné a potrebné, identifikovať trendové vzorce ekonomického vývoja.

Výkonové priemery:

ü aritmetický priemer;

ü geometrický priemer;

ü priemerná harmonická;

ü stredná odmocnina;

ü chronologický priemer.

Štrukturálne priemery: režim a medián.

Výber jedného alebo druhého typu priemeru sa uskutočňuje v závislosti od účelu štúdie, ekonomickej podstaty priemerného ukazovateľa a povahy dostupných počiatočných údajov. Iba vtedy, keď sa priemer použije správne, sa získajú hodnoty, ktoré dávajú skutočný ekonomický zmysel.

Aritmetický priemer - najbežnejší typ média.

Aritmetický priemer takú hodnotu atribútu, akú by mala každá jednotka populácie, keby súčet všetkých hodnôt atribútu bol rozdelený rovnomerne medzi všetky jednotky populácie.

Vypočítava sa v tých prípadoch, keď je objem spriemerovaného atribútu tvorený súčtom jeho hodnôt pre jednotlivé jednotky študovanej štatistickej populácie. V závislosti od povahy počiatočných údajov sa aritmetický priemer určí takto:

jednoduchý aritmetický priemer sa vypočíta vydelením súčtu hodnôt ich počtom.

Príklad: Mzdy za január pre 3 pracovníkov jednej dielne predstavovali: 6500, 4955, 5323 rubľov. Priemerná mzda za mesiac je: rub.

Príklad: Vypočítajte priemernú dĺžku služby desiatich zamestnancov obchodného podniku. Hodnota jedného znamienka (roky): 6,5,4,3,3,4,5,4,5,4.

= (6+5+4+3+3+4+5+4+5+4) : 10 = 43: 10 = 4,3 roka.

Ako vidíte, aritmetický priemer sa môže ukázať ako zlomkové číslo, aj keď jednotlivé hodnoty funkcie sú uvedené iba ako celé čísla. Vyplýva to z podstaty aritmetického priemeru, ktorý je abstraktnou (teoretickou) hodnotou, t.j. môže nadobudnúť číselnú hodnotu, ktorá sa nevyskytuje v prezentovanom súbore jednotlivých hodnôt atribútu.

Aritmetický vážený priemer

Často je potrebné vypočítať priemernú hodnotu prvku v rámci distribučnej série, keď sa rovnaká hodnota prvku vyskytne niekoľkokrát. Spojením údajov hodnotou atribútu (t. j. zoskupením) a spočítaním počtu prípadov opakovania každého z nich dostaneme nasledujúci rad variácií.

Preto sa na výpočet váženého priemeru vykonajú nasledujúce postupné operácie: vynásobenie každého variantu jeho frekvenciou, sčítanie výsledných produktov, delenie výsledného súčtu súčtom frekvencií.

Aritmetický vážený priemer zohľadňuje rozdielnu hodnotu jednotlivých opcií v rámci populácie. Preto by sa mal používať vo všetkých prípadoch, keď majú varianty rôzne čísla. Použitie jednoduchého priemeru je v týchto prípadoch neprijateľné, pretože nevyhnutne vedie k skresleniu štatistických ukazovateľov.

Aritmetický priemer takpovediac rovnomerne rozdeľuje medzi jednotlivé objekty celkovú hodnotu atribútu, ktorá sa v skutočnosti pre každý z nich líši.

Niekedy sa musí výpočet priemerov vykonať pomocou údajov zoskupených vo forme intervalových distribučných radov, keď sú varianty vlastností, z ktorých sa vypočítava priemer, prezentované vo forme intervalov (od - do). Na výpočet priemernej hodnoty je potrebné v každom variante určiť strednú hodnotu x a následne odvážiť obvyklým spôsobom x y

V uzavretom intervale je stredná hodnota definovaná ako polovica súčtu hodnôt dolnej a hornej hranice.

Úlohu výpočtu priemernej hodnoty intervalového radu komplikuje skutočnosť, že krajné hranice počiatočného a konečného intervalu nie sú známe. V tomto prípade sa predpokladá, že vzdialenosť medzi hranicami tohto intervalu je rovnaká ako v susednom intervale.

Treba poznamenať, že aj keď na výpočet priemeru z intervalového radu používame vzorec aritmetického váženého priemeru, vypočítaný priemer nie je presnou hodnotou, pretože v dôsledku vynásobenia priemerných hodnôt skupín ich počtom nedostanú skutočnú hodnotu. Stupeň nezrovnalosti závisí od niekoľkých dôvodov: 1 - počet možností. Čím väčší je počet možností, tým je pravdepodobnejšie, že stred intervalu sa bude len málo líšiť od priemeru skupiny. Ak má však každá skupina malý počet jednotiek, skupinové priemery sa môžu nachádzať nielen v strede, ale aj v blízkosti hornej alebo dolnej hranice intervalu.

príklad, je potrebné vypočítať priemernú dĺžku služby 12 zamestnancov reklamnej agentúry. Zároveň sú známe jednotlivé hodnoty atribútu (odslúžená doba) v rokoch: 6,5,4,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

Spojením údajov s hodnotou atribútu a spočítaním počtu prípadov opakovania každého z nich vypočítame priemernú dĺžku služby podľa zoskupených údajov pomocou vzorca váženého aritmetického priemeru.

X = (3*3+4*2+5*4+6*2+7*1) : 12 = 56 : 12 = 4,7 roku.

V praxi štatistického spracovania materiálu vznikajú rôzne problémy, ktoré majú znaky pri skúmaní javov a vyžadujú pri ich riešení použitie rôznych priemerov. Vzhľadom na to, že štatistické priemery vždy vyjadrujú kvalitatívne vlastnosti skúmaných spoločenských procesov a javov, je dôležité zvoliť správnu formu priemeru na základe vzťahu medzi javmi a ich znakmi.

Vlastnosti aritmetického priemeru:

Aritmetický priemer má množstvo vlastností, ktorých znalosť je potrebná na pochopenie podstaty priemerov, ako aj na zjednodušenie ich výpočtu.

1. Aritmetický priemer súčtu meniacich sa hodnôt sa rovná súčtu hodnôt aritmetického priemeru:

Ak x i = y i + z i, potom

Toto pravidlo ukazuje, v ktorých prípadoch možno sčítať priemery. Ak sa napríklad vyrobené výrobky skladajú z dvoch častí r a z a na výrobu každého z nich sa minie v priemere pri= 3 hodiny, z = 5 h, potom priemerný čas strávený výrobou jedného produktu ( X) sa bude rovnať: 3+5 = 8 hodín, t.j. X= y + z..

2. Algebraický súčet odchýlok jednotlivých hodnôt premennej charakteristiky od priemeru sa rovná nule, keďže súčet odchýlok v jednom smere je kompenzovaný súčtom odchýlok v druhom smere, t.j.

, pretože

Toto pravidlo ukazuje, že priemer je výsledok.

3. Ak sú všetky varianty série znížené alebo zvýšené o rovnaké číslo a, potom sa priemer zníži alebo zvýši o rovnaké číslo a:

4. Ak sú všetky varianty radu zmenšené alebo zväčšené v ALE krát, potom sa priemer tiež zodpovedajúcim spôsobom zníži alebo zvýši ALE raz:

5. Ak sú všetky frekvencie radu vydelené alebo vynásobené rovnakým číslom d, potom sa priemer nezmení:

Táto vlastnosť ukazuje, že priemer nezávisí od veľkosti váh, ale od pomeru medzi nimi. V dôsledku toho môžu ako váhy pôsobiť nielen absolútne, ale aj relatívne hodnoty.

Priemerná chronologická

Niekedy je pri analýze sociálno-ekonomických ukazovateľov potrebné určiť priemernú hodnotu, ak existujú údaje o ekvidistantnom momentovom rade dynamiky. Napríklad priemerná mesačná zásoba tovaru; priemerný počet predajcov za štvrťrok, za pol roka, ak je známy počet predajcov na začiatku mesiaca; alebo určiť priemerný ročný počet obyvateľov územia, potom použiť chronologický priemer.

X \u003d ( x 1 + x 2 + x 3 + ... + x n -1 + x n): (n-1)

X je individuálna hodnota atribútu každej jednotky populácie;

n je počet jednotiek obyvateľstva.

Priemerná harmonická

Harmonický priemer je prevrátená hodnota aritmetického priemeru. Keď štatistické informácie neobsahujú frekvencie pre jednotlivé možnosti populácie, ale sú prezentované ako ich súčin, použije sa vzorec harmonického váženého priemeru.

Priemer v tejto podobe je tzv priemerná harmonická vážená a označené x gar m. vzv . Preto je harmonický priemer identický s aritmetickým priemerom. Používa sa, keď sú skutočné hmotnosti neznáme, ale produkt je známy f x = z

V prípadoch, keď prac f x sú rovnaké alebo rovné jednej (m=1), platí jednoduchý harmonický priemer, vypočítané podľa vzorca

kde X- samostatné možnosti; P- ich počet.

Geometrický priemer

Tento priemer je vhodné použiť, keď sa nevenuje pozornosť absolútnym rozdielom, ale pomerom dvoch čísel. Preto sa pri výpočte priemerných ročných mier rastu používa geometrický priemer

alebo

Toto je geometrický priemerný vzorec, ktorý možno formulovať takto:

Geometrický priemer sa rovná koreňu stupňa P zo súčinu rastových koeficientov charakterizujúcich pomer hodnoty každého nasledujúceho obdobia k hodnote predchádzajúceho.

Hodnota geometrického priemeru dáva najsprávnejšiu odpoveď z hľadiska obsahu výsledku priemerovania, ak je úlohou nájsť takú hodnotu znaku, ktorá by bola kvalitatívne rovnako vzdialená od maximálnej aj od minimálnej hodnoty znaku.

Príklad: V dôsledku inflácie v prvom roku sa cena produktu zdvojnásobila v porovnaní s predchádzajúcim; na druhý rok - trikrát viac ako úroveň predchádzajúceho roka. Je jasné, že za dva roky sa cena zvýšila 6-krát. Vypočítajte priemerné tempo rastu cien za rok?

Pri výpočte priemerného tempa rastu je aritmetický priemer nevhodný. Správnu odpoveď dáva geometrický priemer.

X \u003d x 1 * x 2 \u003d 2 * 3 \u003d 6 \u003d 2,45-krát.

odmocnina stredná štvorec

Podobné informácie.

Táto kapitola popisuje účel priemerných hodnôt, rozoberá ich hlavné typy a formy a metódu výpočtu. Pri štúdiu prezentovaného materiálu je potrebné naučiť sa požiadavky na konštrukciu priemerných hodnôt, pretože ich dodržiavanie umožňuje použiť tieto hodnoty ako typické charakteristiky charakteristických hodnôt pre súbor homogénnych jednotiek.

Formy a typy priemerov

priemerná hodnota je zovšeobecnená charakteristika úrovne hodnôt atribútov, ktorá sa získava na jednotku populácie. Na rozdiel od relatívnej hodnoty, ktorá je mierou pomeru ukazovateľov, priemerná hodnota slúži ako miera vlastnosti na jednotku populácie.

Najdôležitejšou vlastnosťou priemernej hodnoty je, že odráža spoločnú vlastnosť, ktorá je vlastná všetkým jednotkám skúmanej populácie.

Hodnoty atribútu jednotlivých jednotiek populácie kolíšu jedným alebo druhým smerom pod vplyvom mnohých faktorov, medzi ktorými môžu byť významné a náhodné. Napríklad úrokové sadzby bankových úverov sú určené východiskovými faktormi pre všetky úverové inštitúcie (výška povinných minimálnych rezerv a základná úroková sadzba pre úvery poskytované komerčným bankám centrálnou bankou a pod.), ako aj charakteristika každá konkrétna transakcia v závislosti od rizika spojeného s týmto úverom, jeho veľkosti a splatnosti, nákladov na získanie úveru a sledovanie jeho splácania atď.

Priemerná hodnota sumarizuje jednotlivé hodnoty atribútu a odráža vplyv všeobecných podmienok, ktoré sú pre túto populáciu najcharakteristickejšie v konkrétnych podmienkach miesta a času. Podstata priemeru spočíva v tom, že ruší odchýlky hodnôt atribútu jednotlivých jednotiek populácie v dôsledku pôsobenia náhodných faktorov a zohľadňuje zmeny spôsobené pôsobením hlavné faktory. Priemerná hodnota bude odrážať typickú úroveň vlastnosti v danej populácii jednotiek, keď sa vypočíta z kvalitatívne homogénnej populácie. V tomto smere sa používa metóda priemerov v kombinácii s metódou zoskupení.

Priemerné hodnoty, ktoré charakterizujú populáciu ako celok, sa nazývajú všeobecný, a priemery, ktoré odrážajú osobitosť skupiny alebo podskupiny, - skupina.

Kombinácia všeobecných a skupinových priemerov umožňuje porovnávanie v čase a priestore a výrazne rozširuje hranice štatistickej analýzy. Napríklad pri zhrnutí výsledkov sčítania ľudu v roku 2002 sa zistilo, že Rusko, podobne ako väčšinu európskych krajín, charakterizuje starnutie obyvateľstva. V porovnaní so sčítaním v roku 1989 sa priemerný vek obyvateľov krajiny zvýšil o tri roky na 37,7 roka, muži 35,2 roka, ženy 40,0 rokov (podľa údajov z roku 1989 to boli 34,7, resp. 31). a 37,2 roka). Podľa Rosstatu je stredná dĺžka života pri narodení v roku 2011 u mužov 63 rokov a u žien 75,6 roka.

Každý priemer odráža osobitosť skúmanej populácie podľa nejakého jedného atribútu. Na prijímanie praktických rozhodnutí je spravidla potrebné charakterizovať populáciu podľa niekoľkých kritérií. V tomto prípade sa používa systém priemerov.

Napríklad, aby sa dosiahla primeraná úroveň ziskovosti operácií s prijateľnou úrovňou bankového rizika, priemerné úrokové sadzby na poskytnuté úvery sa stanovujú s prihliadnutím na priemerné úrokové sadzby z vkladov a iných finančných nástrojov.

Forma, typ a spôsob výpočtu priemernej hodnoty závisia od cieľa štúdie, typu a vzťahu študovaných charakteristík, ako aj od charakteru východiskových údajov. Priemery spadajú do dvoch hlavných kategórií:

• 1) priemery výkonu;
• 2) štrukturálne priemery.

Priemerný vzorec je určený hodnotou mocniny použitého priemeru. S nárastom exponentu k priemer sa primerane zvyšuje.

Najbežnejšou formou štatistických ukazovateľov je priemerná hodnota, čo je zovšeobecnená kvantitatívna charakteristika vlastnosti v štatistickej populácii za špecifických podmienok miesta a času. Ukazovateľ vo forme priemernej hodnoty vyjadruje typické znaky a poskytuje zovšeobecnený popis toho istého typu javov podľa jedného z rôznych znakov. Široké používanie priemerov sa vysvetľuje tým, že majú množstvo pozitívnych vlastností, ktoré z nich robia nenahraditeľný nástroj na analýzu javov a procesov v ekonomike.

Najdôležitejšou vlastnosťou priemernej hodnoty je, že odráža spoločnú vlastnosť, ktorá je vlastná všetkým jednotkám skúmanej populácie. Hodnoty atribútu jednotlivých jednotiek populácie kolíšu jedným alebo druhým smerom pod vplyvom mnohých faktorov, medzi ktorými môžu byť základné aj náhodné. Napríklad cenu akcií korporácie určujú najmä finančné výsledky jej činností. Zároveň v určitých dňoch a na určitých burzách môžu byť tieto akcie vzhľadom na prevládajúce okolnosti predané za vyšší alebo nižší kurz. Podstata priemeru spočíva v tom, že ruší odchýlky hodnôt atribútu jednotlivých jednotiek populácie v dôsledku pôsobenia náhodných faktorov a zohľadňuje zmeny spôsobené pôsobením hlavné faktory. To umožňuje priemeru odrážať typickú úroveň atribútu a abstrahovať od individuálnych charakteristík jednotlivých jednotiek.

Typickosť priemeru priamo súvisí s homogenitou obyvateľstva. Priemerná hodnota bude odrážať typickú úroveň atribútu iba vtedy, keď sa vypočíta z kvalitatívne homogénnej populácie. Ak teda vypočítame priemerný kurz akcií všetkých podnikov predaných v daný deň na danej burze, dostaneme fiktívny priemer. To bude vysvetlené skutočnosťou, že populácia použitá na výpočet je extrémne heterogénna. V tomto a podobných prípadoch sa používa metóda priemeru v kombinácii s metódou zoskupovania: ak je populácia heterogénna, všeobecné priemery treba nahradiť alebo doplniť priemermi za skupiny, t.j. priemery vypočítané pre kvalitatívne homogénne skupiny.

V teórii priemerov sa používajú nasledujúce konvencie.

1. Znamienko, ktorým sa určuje priemer, sa nazýva spriemerovaná funkcia a je označený.

2. Hodnota spriemerovaného atribútu pre každú jednotku populácie sa nazýva jeho individuálna hodnota a je označený.

3. Opakovateľnosť jednotlivých hodnôt sa nazýva frekvencia a označuje sa f .

4. Označuje sa celková hodnota prvku W .

Akýkoľvek kvantitatívny atribút štatistickej populácie má jednu strednú hodnotu. Dá sa vypočítať rôznymi spôsobmi v závislosti od formy vyjadrenia spriemerovaného znaku (absolútny, relatívny a priemerný) a dostupných informácií. V závislosti od stupňa k získajú sa rôzne typy priemerov.

1.jednoduchý aritmetický priemer - najbežnejší typ média

k =1

2.Aritmetický vážený priemer – používa sa, ak sú známe jednotlivé hodnoty vlastnosti a ich frekvencie f . Každá možnosť je „vážená“ svojou frekvenciou, t.j. vynásobte ním. Frekvencie f sa nazývajú štatistické váhy alebo jednoducho hmotnosti priemeru .

Príklad. Na základe dostupných údajov vypočítame priemerné pracovné skúsenosti zamestnancov

3.Priemerná harmonická jednoduchá sa používa, ak je potrebné, aby súčet prevrátených hodnôt jednotlivých hodnôt atribútu zostal pri priemerovaní nezmenený.

kde je súčet recipročných hodnôt prvku.

Príklad. Auto s nákladom z podniku do skladu išlo rýchlosťou 40 km/h a späť prázdne rýchlosťou 60 km/h. Aká je priemerná rýchlosť auta pri oboch cestách?

Prepravná vzdialenosť nech je S km. S pri výpočte priemernej rýchlosti nehrá žiadnu rolu. Pri zmene jednotlivých hodnôt rýchlosti k priemernej hodnote je potrebné, aby čas strávený na oboch cestách zostal nezmenený, inak môže byť priemerná rýchlosť akákoľvek - od rýchlosti korytnačky až po rýchlosť svetla. Cestovné časy sú rovnaké. takže,

Zmenšením všetkých členov rovnosti o S dostaneme tie. je splnená podmienka harmonického priemeru. Nahradením a , dostaneme

Aritmetický priemer 50 km/h nie je správny, pretože má za následok iný čas pohybu, ako v skutočnosti je. Ak je vzdialenosť 96 km, potom bude skutočný čas cesty

V štatistickej praxi sa častejšie používa harmonický vážený priemer.

4.Priemerná harmonická váha sa používa, ak sú známe jednotlivé hodnoty charakteristiky a celkové hodnoty charakteristiky.

Príklad

5.Priemerný agregát sa používa, ak sú známe celkové hodnoty vlastnosti a ich frekvencie.

Príklad. Určte priemerné výrobné náklady, ak sú známe

6.odmocnina stredná štvorec používa sa na výpočet smerodajnej odchýlky, ktorá je ukazovateľom variácie, ako aj v strojárstve

k =2

Priemerná štvorcová váha

7.Geometrický priemer používa sa na výpočet priemernej miery rastu podľa reťazovej schémy k= 0

O k= 1 dostaneme aritmetický priemer, k= 2 - kvadratický, s k= 3 - kubický, s k= 0 - geometrický, k= -1 je harmonický priemer. Čím vyšší je exponent k , tým väčšia je stredná hodnota. Ak sú všetky počiatočné hodnoty prvku rovnaké, potom sa všetky priemery rovnajú konšt. Máme teda nasledujúci vzťah, ktorý je tzv pravidlo majority prostriedkov :

Pomocou tohto pravidla môže štatistika v závislosti od nálady a túžby svojho „odborníka“ buď „utopiť“ alebo „zachrániť“ študenta, ktorý v relácii dostal známky 2 a 5. Aké je jeho priemerné skóre?

Podľa aritmetického priemeru je priemerné skóre 3,5. Ale ak chce dekan "utopiť" nešťastníka a vypočíta harmonický priemer potom zostáva žiak v priemere porazeným, ktorý sa nedostal do prvej trojky.

Študentská rada však môže u dekana namietať a predložiť priemernú kubickú hodnotu . Študent už vyzerá „dobre“ a dokonca žiada o štipendium.

Štrukturálne priemery - režim a medián - na rozdiel od priemerov výkonu, ktoré sú do značnej miery abstraktnou charakteristikou populácie, pôsobia ako špecifické hodnoty, ktoré sa zhodujú s dobre definovanými variantmi populácie. To ich robí nepostrádateľnými pri riešení praktických problémov.

Móda- toto je najčastejšia hodnota atribútu v jednotkách tejto populácie. Pre sériu diskrétnych distribúcií sa režim určuje bez výpočtu, pohľadom cez stĺpec frekvencie, a zodpovedá hodnote funkcie s najvyššou frekvenciou. Z príkladu č. 1 najvyššia frekvencia f=20, ktorá zodpovedá 4. tarifnej kategórii, teda M o =4.

Pre sériu intervalového rozdelenia je režim určený vzorcom

kde je spodná hranica modálneho intervalu;

– hodnota modálneho intervalu;

– frekvencie intervalu pred modálom, modálnym a po modálnom.

Modálny zodpovedá intervalu s najvyššou frekvenciou.

Vypočítajme režim napríklad č. 2. Modál zodpovedá intervalu 130-140. Pre neho , = 140-130=10, =20,

Najčastejšie je miera produkcie pracovníkov 134%, najčastejšie je plán preplnený o 34%.

Medián- hodnota znaku, ktorý leží v strede zoradeného radu a delí ho na polovicu. Hodnotené série – séria usporiadaná vo vzostupnom alebo zostupnom poradí objektu. V prípade diskrétnych variačných radov sa medián nevypočítava, ale určuje sa pohľadom na rad. Napríklad pre piatich pracovníkov je denná rýchlosť výroby dielov 10, 12, 15, 16 a 18 kusov. M e je výkon tretieho zamestnanca a rovná sa 15 dielom. Pri párnom počte hodnôt atribútov sa medián berie ako polovičný súčet hodnôt atribútov, ktoré zaberajú hodnotu mediánu. Napríklad pri 10 hodnotách polovičný súčet 5. a 6. hodnoty atribútu.

Pre intervalový rad je medián určený vzorcom

kde – dolná hranica stredného intervalu;

– hodnota stredného intervalu;

– polovičný súčet objemu variačnej série;

– akumulovaná frekvencia intervalu predchádzajúceho mediánu;

– frekvencia stredného intervalu.

Medián je interval zodpovedajúci polovici objemu série. Na nájdenie stredného intervalu je potrebné akumulovať frekvencie, kým sa nenájde interval obsahujúci polovicu objemu série.

Vypočítajme medián napríklad č. 2. Interval mediánu je 120-130, pretože jemu zodpovedajúca kumulatívna frekvencia obsahuje polovicu objemu série. Pre neho

– Polovica pracovníkov spĺňa výkon nižší ako 129 % a druhá polovica pracovníkov dosahuje výkon vyšší ako 129 %.