Koncept rovnobežných čiar

Definícia 1

Paralelné čiary- priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine, sa nezhodujú a nemajú spoločné body.

Ak majú čiary spoločný bod, potom oni pretínajú.

Ak všetky body čiar zápas, potom máme v podstate jednu priamku.

Ak čiary ležia v rôznych rovinách, potom existuje o niečo viac podmienok pre ich rovnobežnosť.

Pri zvažovaní priamych čiar v tej istej rovine môžeme dať nasledujúcu definíciu:

Definícia 2

V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný ak sa nepretínajú.

V matematike sa rovnobežky zvyčajne označujú znakom rovnobežky "$\paralelné$". Napríklad skutočnosť, že čiara $c$ je rovnobežná s čiarou $d$, je označená takto:

$c \paralelné d$.

Často sa uvažuje o koncepte paralelných segmentov.

Definícia 3

Tieto dva segmenty sa nazývajú paralelný ak ležia na rovnobežných líniách.

Napríklad na obrázku sú segmenty $AB$ a $CD$ paralelné, pretože patria do rovnobežných čiar:

$AB\paralelné CD$.

Segmenty $MN$ a $AB$ alebo $MN$ a $CD$ však nie sú paralelné. Túto skutočnosť možno zapísať pomocou symbolov takto:

$MN ∦ AB$ a $MN ∦ CD$.

Rovnobežnosť priamky a úsečky, priamky a lúča, úsečky a lúča alebo dvoch lúčov sa určuje podobným spôsobom.

Odkaz na históriu

Z gréckeho jazyka sa pojem „parallelos“ prekladá ako „ísť vedľa seba“ alebo „vykonávať vedľa seba“. Termín sa používal v starovekej Pytagoriovej škole predtým, ako boli definované paralelné čiary. Podľa historických faktov Euklides v $III$ c. BC. v jeho spisoch sa však odhalil význam pojmu rovnobežné čiary.

V dávnych dobách mal znak pre rovnobežky inú formu, než akú používame v modernej matematike. Napríklad staroveký grécky matematik Pappus v $III$ c. AD rovnobežnosť bola označená znakom rovnosti. Tie. skutočnosť, že priamka $l$ je rovnobežná s priamkou $m$, bola predtým označená ako "$l=m$". Neskôr na označenie rovnobežnosti priamych čiar začali používať známy znak „$\paralelný$“ a na označenie rovnosti čísel a výrazov sa začal používať znak rovnosti.

Paralelné čiary v živote

Často si nevšimneme, že v bežnom živote sme obklopení obrovským počtom paralelných línií. Napríklad v hudobnej knihe a zbierke piesní s poznámkami je personál vyrobený pomocou paralelných čiar. Paralelné čiary sa nachádzajú aj v hudobných nástrojoch (napríklad struny na harfe, gitary, klávesy klavíra atď.).

Elektrické drôty, ktoré sa nachádzajú pozdĺž ulíc a ciest, tiež vedú paralelne. Koľajnice metra a železničných tratí sú umiestnené paralelne.

Popri každodennom živote možno paralelné línie nájsť v maľbe, v architektúre, v stavbe budov.

Paralelné čiary v architektúre

Na prezentovaných obrázkoch architektonické štruktúry obsahujú paralelné línie. Použitie paralelných línií v stavebníctve pomáha zvyšovať životnosť takýchto štruktúr a dáva im mimoriadnu krásu, atraktívnosť a vznešenosť. Elektrické vedenia sú tiež zámerne vedené paralelne, aby sa zabránilo kríženiu alebo dotyku, čo by malo za následok skraty, prerušenia a výpadky prúdu. Aby sa vlak mohol voľne pohybovať, sú koľajnice tiež vyrobené v paralelných líniách.

V maľbe sú paralelné čiary zobrazené ako zbiehajúce sa do jednej čiary alebo blízko nej. Táto technika sa nazýva perspektíva, ktorá vyplýva z ilúzie videnia. Ak sa dlho pozeráte do diaľky, paralelné čiary budú vyzerať ako dve zbiehajúce sa čiary.

Ktoré ležia v rovnakej rovine a buď sa zhodujú, alebo sa nepretínajú. V niektorých školských definíciách sa zhodné čiary nepovažujú za paralelné; takáto definícia sa tu neuvažuje.

Vlastnosti

1. Paralelnosť je vzťah binárnej ekvivalencie, preto rozdeľuje celú množinu čiar do tried navzájom rovnobežných čiar.
2. Cez ktorýkoľvek daný bod môže prechádzať práve jedna priamka rovnobežná s daným bodom. Toto je výrazná vlastnosť euklidovskej geometrie, v iných geometriách je číslo 1 nahradené inými (v Lobačevského geometrii sú aspoň dve takéto čiary)
3. 2 rovnobežné čiary v priestore ležia v rovnakej rovine.
4. Keď sa pretínajú dve rovnobežné čiary, volá sa tretia čiara sekanta:
   1. Sečna musí pretínať obe čiary.
   2. Pri krížení sa vytvorí 8 rohov, z ktorých niektoré charakteristické páry majú špeciálne názvy a vlastnosti:
      1. Krížové klamstvo uhly sú rovnaké.
      2. Príslušný uhly sú rovnaké.
      3. Jednostranné súčet uhlov je 180°.

V geometrii Lobačevského

V Lobačevského geometrii v rovine cez bod Nedá sa analyzovať výraz (lexikálna chyba): Cmimo tejto línie $AB$

Existuje nekonečné množstvo priamych čiar, ktoré sa nepretínajú AB. Z nich paralelne s AB menovaní sú len dvaja.

Rovno CE sa nazýva rovnoramenná (paralelná) čiara AB v smere od A do B, ak:

1. bodov B a E ležať na jednej strane priamky AC ;
2. rovno CE neprekročí hranicu AB, ale akýkoľvek lúč prechádzajúci vnútri uhla ACE, prekročí lúč AB .

Podobne priamka, rovnoramenná AB v smere od B do A .

Volajú sa všetky ostatné čiary, ktoré nepretínajú danú ultraparalelné alebo divergentný.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Prekrížené čiary
• Nesterichin, Jurij Efremovič

Pozrite sa, čo sú "paralelné čiary" v iných slovníkoch:

PARALELNÉ ČIARY- PARALELNÉ ČIARY, nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine ... Moderná encyklopédia

PARALELNÉ ČIARY Veľký encyklopedický slovník

Paralelné čiary- PARALELNÉ ČIARY, nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine. … Ilustrovaný encyklopedický slovník

Paralelné čiary- v euklidovskej geometrii priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. V absolútnej geometrii (pozri Absolútna geometria) bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza aspoň jedna priamka, ktorá danú priamku nepretína. AT…… Veľká sovietska encyklopédia

rovnobežné čiary sú nepretínajúce sa čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine. * * * PARALELNÉ ČIARY PARALELNÉ ČIARY, nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine ... encyklopedický slovník

PARALELNÉ ČIARY- v euklidovskej geometrii priamky, ktoré ležia v rovnakej rovine a nepretínajú sa. V absolútnej geometrii bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza aspoň jedna priamka, ktorá danú priamku nepretína. V euklidovskej geometrii je len jedna ... ... Matematická encyklopédia

PARALELNÉ ČIARY nepretínajúce sa čiary ležiace v rovnakej rovine... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Paralelné svety vo fantázii- Tento článok môže obsahovať pôvodný výskum. Pridajte odkazy na zdroje, inak môže byť vymazaný. Viac informácií môže byť na diskusnej stránke. Toto je ... Wikipedia

Paralelné svety- Paralelný svet (vo fantázii) je realita, ktorá akosi existuje súčasne s našou, ale nezávisle od nej. Táto samostatná realita môže mať veľkosť od malej geografickej oblasti až po celý vesmír. Paralelne ... Wikipedia

Paralelné- priamky Priamky sa nazývajú priamky, ak sa navzájom nepretínajú ani ich predĺženia. Správy o jednej z týchto priamych línií sú v rovnakej vzdialenosti od druhej. Zvykom sa však hovorí, že dve priame čiary sa pretínajú v nekonečne. Takéto…… Encyklopédia Brockhausa a Efrona

knihy

• Sada stolov. Matematika. 6. trieda. 12 tabuliek + metodika, . Tabuľky sú vytlačené na hrubom polygrafickom kartóne s rozmermi 680 x 980 mm. Súčasťou sady je brožúra s metodickými odporúčaniami pre učiteľov. Vzdelávací album 12 listov. Deliteľnosť…

Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Veta 1. Ak je na priesečníku dvoch priamok sečnice:

diagonálne ležiace uhly sú rovnaké, príp

zodpovedajúce uhly sú rovnaké, príp

súčet jednostranných uhlov je potom 180°

čiary sú rovnobežné(obr. 1).

Dôkaz. Obmedzujeme sa na dôkaz prípadu 1.

Predpokladajme, že v priesečníku priamok a a b sečnicou AB cez ležiace uhly sú rovnaké. Napríklad ∠ 4 = ∠ 6. Dokážme, že || b.

Predpokladajme, že priamky a a b nie sú rovnobežné. Potom sa pretínajú v určitom bode M a následne jeden z uhlov 4 alebo 6 bude vonkajším uhlom trojuholníka ABM. Pre istotu nech je ∠ 4 vonkajší roh trojuholníka ABM a ∠ 6 vnútorný roh. Z vety o vonkajšom uhle trojuholníka vyplýva, že ∠ 4 je väčšie ako ∠ 6, čo je v rozpore s podmienkou, čiže priamky a a 6 sa nemôžu pretínať, preto sú rovnobežné.

Dôsledok 1. Dve odlišné čiary v rovine kolmej na tú istú čiaru sú rovnobežné(obr. 2).

Komentujte. Spôsob, akým sme práve dokázali prípad 1 vety 1, sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou alebo redukciou do absurdity. Táto metóda dostala svoje prvé meno, pretože na začiatku úvahy je vyslovený predpoklad, ktorý je opačný (opačný) k tomu, čo sa požaduje dokázať. Redukcia na absurditu sa nazýva preto, že argumentáciou na základe vysloveného predpokladu dospejeme k absurdnému záveru (absurdita). Prijatie takéhoto záveru nás núti odmietnuť predpoklad uvedený na začiatku a prijať ten, ktorý bolo potrebné dokázať.

Úloha 1. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom M a rovnobežnú s danou priamkou a, ktorá neprechádza bodom M.

Riešenie. Bodom M kolmo na priamku a vedieme priamku p (obr. 3).

Potom vedieme priamku b bodom M kolmým na priamku p. Priamka b je rovnobežná s priamkou a podľa následku vety 1.

Z uvažovaného problému vyplýva dôležitý záver:
Cez bod, ktorý nie je na danej priamke, možno vždy nakresliť priamku rovnobežnú s danou priamkou..

Hlavná vlastnosť rovnobežných čiar je nasledovná.

Axióma rovnobežných čiar. Cez daný bod, ktorý nie je na danej priamke, vedie len jedna priamka rovnobežná s danou priamkou.

Zvážte niektoré vlastnosti rovnobežných čiar, ktoré vyplývajú z tejto axiómy.

1) Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína druhú (obr. 4).

2) Ak sú dve rôzne čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné (obr. 5).

Nasledujúca veta je tiež pravdivá.

Veta 2. Ak dve rovnobežné priamky pretína sečna, potom:

uhly ležania sú rovnaké;

zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

súčet jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 2. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.(pozri obr.2).

Komentujte. Veta 2 sa nazýva inverzná veta 1. Záver 1. vety je podmienkou vety 2. A podmienka 1. vety je záverom 2. vety. Nie každá veta má inverznú, t.j. ak je daná veta pravdivá, potom môže byť inverzná veta nepravdivá.

Vysvetlíme si to na príklade vety o vertikálnych uhloch. Táto veta môže byť formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Inverzná veta by bola takáto: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú vertikálne. A to, samozrejme, nie je pravda. Dva rovnaké uhly nemusia byť vôbec vertikálne.

Príklad 1 Dve rovnobežné čiary pretína tretia. Je známe, že rozdiel medzi dvoma vnútornými jednostrannými uhlami je 30°. Nájdite tie uhly.

Riešenie. Nech obrázok 6 spĺňa podmienku.

Nepretínajú sa, nech pokračujú akokoľvek dlho. Rovnobežnosť riadkov v písaní je označená takto: AB|| ODE

Možnosť existencie takýchto čiar dokazuje veta.

Veta.

Prostredníctvom akéhokoľvek bodu mimo danej priamky možno nakresliť rovnobežku s touto priamkou..

Nechaj AB tento riadok a OD nejaký bod mimo neho. Je potrebné to dokázať OD môžete nakresliť rovnú čiaru paralelnýAB. Poďme na to AB z bodu OD kolmýODD a potom budeme ODE^ ODD, čo je možné. Rovno CE paralelný AB.

Pre dôkaz predpokladáme opak, t.j CE pretína AB v určitom okamihu M. Potom z pointy M na priamku ODD mali by sme dve rôzne kolmice MD a PANI, čo je nemožné. znamená, CE nemôže pretínať s AB, t.j. ODE paralelný AB.

Dôsledok.

Dve kolmice (CEaD.B.) na jednu priamku (CD) sú paralelné.

Axióma rovnobežných čiar.

Cez ten istý bod nie je možné nakresliť dve rôzne čiary rovnobežné s tou istou čiarou.

Ak teda priamka ODD, ťahaný cez bod OD rovnobežne s priamkou AB, potom akýkoľvek iný riadok ODE cez ten istý bod OD, nemôže byť paralelný AB, t.j. ona pokračuje pretínajú s AB.

Dôkaz tejto nie celkom zjavnej pravdy sa ukazuje ako nemožný. Prijíma sa bez dôkazu ako nevyhnutný predpoklad (postulatum).

Dôsledky.

1. Ak rovno(ODE) sa pretína s jedným z paralelný(SW), potom sa pretína s druhým ( AB), pretože inak cez ten istý bod OD dve rôzne rovné čiary, rovnobežné AB, čo je nemožné.

2. Ak každý z dvoch priamy (AaB) sú rovnobežné s rovnakou treťou čiarou ( OD) , potom oni sú paralelné medzi sebou.

Pravdaže, ak to predpokladáme A a B pretínajú v určitom bode M, potom by cez tento bod prešli dve rôzne navzájom rovnobežné priamky. OD, čo je nemožné.

Veta.

Ak priamka je kolmá k jednej z rovnobežných čiar, potom je kolmá na druhú paralelný.

Nechaj AB || ODD a EF ^ AB.To je potrebné dokázať EF ^ ODD.

KolmýEF, pretínajúci sa s AB, bude určite pretínať a ODD. Nech je priesečník H.

Predpokladajme, že teraz ODD nie je kolmá na EH. Potom nejaký iný riadok napr HK, bude kolmá na EH a teda cez ten istý bod H dva priama rovnobežka AB: jeden ODD, podľa podmienky a iné HK ako bolo preukázané predtým. Keďže to nie je možné, nemožno to predpokladať SW nebola kolmá na EH.

KAPITOLA III.
PARALELNÉ ČIARY

§ 35. ZNAKY PARALELY DVOCH PRIAMYCH ČIAR.

Veta, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné (§ 33), dáva znamenie, že dve priamky sú rovnobežné. Je možné odvodiť všeobecnejšie znaky rovnobežnosti dvoch priamok.

1. Prvý znak paralelizmu.

Ak sú v priesečníku dvoch priamok s treťou vnútorné uhly ležiace naprieč rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné.

Nech priamky AB a CD pretínajú priamku EF a / 1 = / 2. Vezmite bod O - stred segmentu KL sečnice EF (obr. 189).

Pustime kolmicu OM z bodu O na priamku AB a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s priamkou CD, AB_|_MN. Dokážme, že CD_|_MN.
Za týmto účelom zvážte dva trojuholníky: MOE a NOK. Tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Naozaj: / 1 = / 2 podmienkou vety; OK = OL - podľa konštrukcie;
/ MOL = / NOK ako zvislé rohy. Teda strana a dva k nej priľahlé uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a dva k nej priľahlé uhly iného trojuholníka; v dôsledku toho /\ MOL = /\ NOK, a teda
/ LMO = / no ale / LMO je priamy, teda a / KNO je tiež priamy. Čiary AB a CD sú teda kolmé na tú istú čiaru MN, teda sú rovnobežné (§ 33), čo sa malo dokázať.

Poznámka. Priesečník priamok MO a CD možno určiť otočením trojuholníka MOL okolo bodu O o 180°.

2. Druhý znak paralelizmu.

Pozrime sa, či sú priamky AB a CD rovnobežné, ak v priesečníku ich tretej priamky EF sú príslušné uhly rovnaké.

Nech sú niektoré zodpovedajúce uhly rovnaké, napr / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, pretože rohy sú vertikálne; znamená, / 2 budú rovnaké / 1. Ale uhly 2 a 1 sú vnútorné priečne uhly a už vieme, že ak sú v priesečníku dvoch priamok treťou vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné. Preto AB || CD.

Ak sú v priesečníku dvoch čiar tretej zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Na tejto vlastnosti je založená konštrukcia rovnobežných čiar pomocou pravítka a rysovacieho trojuholníka. Toto sa robí nasledovne.

Pripevníme trojuholník k pravítku, ako je znázornené na obrázku 191. Trojuholník posunieme tak, aby sa jedna z jeho strán posúvala po pravítku a nakreslíme niekoľko priamych čiar pozdĺž ktorejkoľvek inej strany trojuholníka. Tieto čiary budú rovnobežné.

3. Tretí znak rovnobežnosti.

Uvedomme si, že na priesečníku dvoch priamok AB a CD treťou priamkou je súčet všetkých vnútorných jednostranných uhlov rovný 2. d(alebo 180°). Budú v tomto prípade priamky AB a CD rovnobežné (obr. 192).

Nechaj / 1 a / 2 vnútorné jednostranné uhly a pridajte až 2 d.
ale / 3 + / 2 = 2d ako susedné uhly. v dôsledku toho / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odtiaľ / 1 = / 3, pričom tieto rohy ležia vo vnútri priečne. Preto AB || CD.

Ak sú na priesečníku dvoch priamok tretina, súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2 d, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Cvičenie.

Dokážte, že čiary sú rovnobežné:
a) ak sú vonkajšie priečne uhly rovnaké (obr. 193);
b) ak súčet vonkajších jednostranných uhlov je 2 d(čert 194).