Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.

Substitučná metóda

Túto metódu sme používali v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus, ktorý bol vyvinutý v 7. ročníku, je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvoma premennými x a y (samozrejme, premenné možno označovať aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcom odseku, keď problém dvojciferného čísla viedol k matematickému modelu, ktorý je sústavou rovníc. Túto sústavu rovníc sme riešili vyššie substitučnou metódou (pozri príklad 1 z § 4).

Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku postupne nahraďte každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Zapíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

4) Postupne nahraďte každú z nájdených hodnôt y do vzorca x \u003d 5 - Zy. Ak potom
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.

Odpoveď: (2; 1);

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde bola použitá na riešenie sústav lineárnych rovníc. Pripomíname si podstatu metódy v nasledujúcom príklade.

Príklad 2 Vyriešte sústavu rovníc

Všetky členy prvej rovnice systému vynásobíme 3 a druhú rovnicu necháme nezmenenú:
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:

Výsledkom algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodného systému bola rovnica, ktorá je jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica daného systému. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu danej sústavy, napríklad tú druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:

Tento systém je možné riešiť substitučnou metódou. Z druhej rovnice zistíme Nahradením tohto výrazu namiesto y do prvej rovnice systému dostaneme

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca

Ak x = 2, potom

Našli sme teda dve riešenia systému:

Metóda zavádzania nových premenných

S metódou zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa zoznámili na kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy riešenia sústav rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska existujú niektoré vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3 Vyriešte sústavu rovníc

Zaveďme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať do jednoduchšej formy: Vyriešme túto rovnicu vzhľadom na premennú t:

Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To ale znamená buď odkiaľ zistíme, že x = 2y, alebo
Metódou zavedenia novej premennej sa nám teda podarilo prvú rovnicu systému, ktorá je na pohľad pomerne zložitá, „stratifikovať“ do dvoch jednoduchších rovníc:

x = 2 y; y - 2x.

Čo bude ďalej? A potom sa každá z dvoch získaných jednoduchých rovníc musí postupne zvážiť v systéme s rovnicou x 2 - y 2 \u003d 3, ktorú sme si ešte nepamätali. Inými slovami, problém sa redukuje na riešenie dvoch systémov rovníc:

Je potrebné nájsť riešenia pre prvý systém, druhý systém a zahrnúť všetky výsledné dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:

Využime substitučnú metódu, najmä keď je tu na to všetko pripravené: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto x výraz 2y. Získajte

Pretože x \u003d 2y, nájdeme x 1 \u003d 2, respektíve x 2 \u003d 2. Získajú sa teda dve riešenia pre daný systém: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:

Opäť použijeme substitučnú metódu: do druhej rovnice sústavy dosadíme namiesto y výraz 2x. Získajte

Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že sústava rovníc nemá riešenia. Do odpovede by sa teda mali zahrnúť len riešenia prvého systému.

Odpoveď: (2; 1); (-2;-1).

Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. Presne to sa stalo v príklade 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.

Príklad 4 Vyriešte sústavu rovníc

Predstavme si dve nové premenné:

Potom sa to naučíme

To nám umožní prepísať daný systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:

Pretože a \u003d 1, potom z rovnice a + 6 \u003d 2 nájdeme: 1 + 6 \u003d 2; 6 = 1. Pre premenné a a b sme teda dostali jedno riešenie:

Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc

Na vyriešenie tohto systému použijeme metódu algebraického sčítania:

Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Pre premenné x a y teda máme jedno riešenie:

Túto časť ukončíme krátkou, ale dosť serióznou teoretickou diskusiou. Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, štvorcových, racionálnych, iracionálnych. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcej časti sme zaviedli pojem ekvivalencie pre rovnice s dvoma premennými. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.

Definícia.

Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa považujú za ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.

Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Už sme sa naučili riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými spôsobmi, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. A teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. To znamená, zopakujme si, čo viete o metóde grafického riešenia.

Metóda riešenia sústav rovníc graficky je konštrukcia grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú zahrnuté v tomto systéme a sú v rovnakej súradnicovej rovine, a tiež tam, kde je potrebné nájsť priesečník bodov týchto grafov. . Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).

Malo by sa pamätať na to, že pre grafický systém rovníc je bežné mať buď jedno správne riešenie, alebo nekonečný počet riešení, alebo nemajú riešenia vôbec.

Teraz sa pozrime bližšie na každé z týchto riešení. A tak systém rovníc môže mať jedinečné riešenie, ak sa priamky, ktoré sú grafmi rovníc systému, pretínajú. Ak sú tieto čiary rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. V prípade zhody priamych grafov rovníc systému potom takýto systém umožňuje nájsť veľa riešení.

Teraz sa pozrime na algoritmus riešenia sústavy dvoch rovníc s 2 neznámymi pomocou grafickej metódy:

Najprv zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom bude nakreslenie grafu, ktorý sa týka druhej rovnice;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky grafov.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.

Pozrime sa na túto metódu podrobnejšie s príkladom. Dostali sme sústavu rovníc, ktoré treba vyriešiť:

Riešenie rovníc

1. Najprv zostavíme graf tejto rovnice: x2+y2=9.

Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.

2. Naším ďalším krokom bude zostrojenie rovnice ako: y = x - 3.

V tomto prípade musíme postaviť priamku a nájsť body (0;−3) a (3;0).

3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v dvoch jej bodoch A a B.

Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3;0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0;−3) zodpovedajú bodu B.

A čo získame ako výsledok?

Čísla (3;0) a (0;−3) získané na priesečníku priamky s kružnicou sú presne riešeniami oboch rovníc sústavy. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú tiež riešeniami tejto sústavy rovníc.

To znamená, že odpoveďou tohto riešenia sú čísla: (3;0) a (0;−3).

Riešenie rovníc v celých číslach je jedným z najstarších matematických problémov. Už na začiatku 2. tisícročia pred Kr. e. Babylončania vedeli riešiť sústavy takýchto rovníc s dvoma premennými. Najväčší rozkvet dosiahla táto oblasť matematiky v starovekom Grécku. Hlavným zdrojom je pre nás „Aritmetika“ Diophantus, ktorá obsahuje rôzne typy rovníc. Diophantus (podľa svojho mena a názvu rovníc - Diofantínske rovnice) v nej anticipuje množstvo metód na štúdium rovníc 2. a 3. stupňa, ktoré sa vyvinuli až v 19. storočí.

Najjednoduchšie diofantické rovnice ax + y = 1 (rovnica s dvoma premennými, prvý stupeň) x2 + y2 = z2 (rovnica s tromi premennými, druhý stupeň)

Najrozsiahlejšie boli študované algebraické rovnice, ktorých riešenie bolo jedným z najdôležitejších problémov algebry v 16. a 17. storočí.

Začiatkom 19. storočia práce P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa skúmali diofantínsku rovnicu v tvare: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c , d, e, f sú čísla; x, y sú neznáme premenné.

Toto je rovnica 2. stupňa s dvoma neznámymi.

K. Gauss vybudoval všeobecnú teóriu kvadratických foriem, ktorá je základom riešenia určitých typov rovníc s dvoma premennými (diofantínske rovnice). Existuje veľké množstvo špecifických diofantických rovníc, ktoré možno vyriešiť elementárnymi metódami. /p>

teoretický materiál.

V tejto časti práce budú popísané základné matematické pojmy, budú uvedené definície pojmov, bude formulovaná dekompozičná veta metódou neurčitých koeficientov, ktoré boli študované a uvažované pri riešení rovníc s dvoma premennými.

Definícia 1: Rovnica v tvare ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, kde a, b, c, d, e, f sú čísla; x, y neznámych premenných sa nazýva rovnica druhého stupňa s dvoma premennými.

V školskom kurze matematiky sa študuje kvadratická rovnica ax2 + inx + c \u003d 0, kde a, b, c čísla x je premenná s jednou premennou. Existuje mnoho spôsobov, ako vyriešiť takúto rovnicu:

1. Hľadanie koreňov pomocou diskriminantu;

2. Hľadanie koreňov pre párny koeficient v (podľa D1 =);

3. Hľadanie koreňov podľa Vietovej vety;

4. Hľadanie koreňov pomocou výberu úplného štvorca dvojčlenu.

Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene alebo dokázať, že žiadne neexistujú.

Definícia 2: Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice tvorí skutočnú rovnosť.

Definícia 3: Riešenie rovnice s dvoma premennými sa nazýva dvojica čísel (x, y), pri ich dosadení do rovnice sa zmení na skutočnú rovnosť.

Proces hľadania riešení rovnice veľmi často spočíva v nahradení rovnice ekvivalentnou rovnicou, ale jednoduchšou na riešenie. Takéto rovnice sa nazývajú ekvivalentné.

Definícia 4: Dve rovnice sa považujú za ekvivalentné, ak každé riešenie jednej rovnice je riešením druhej rovnice a naopak a obe rovnice sa zvažujú v rovnakej oblasti.

Na riešenie rovníc s dvoma premennými sa používa veta o expanzii rovnice na súčet dokonalých štvorcov (metódou neurčitých koeficientov).

Pre rovnicu druhého rádu ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) existuje rozklad a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Formulujme podmienky, za ktorých dochádza k expanzii (2) pre rovnicu (1) dvoch premenných.

Veta: Ak koeficienty a, c, c rovnice (1) spĺňajú podmienky a0 a 4av - c20, potom je expanzia (2) určená jednoznačným spôsobom.

Inými slovami, rovnicu (1) s dvoma premennými môžeme redukovať do tvaru (2) pomocou metódy neurčitých koeficientov, ak sú splnené podmienky vety.

Pozrime sa na príklade implementácie metódy neurčitých koeficientov.

METÓDA #1. Riešte rovnicu metódou neurčitých koeficientov

2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Skontrolujme splnenie podmienok vety, a=2, b=1, c=2, teda a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Podmienky vety sú splnené a možno ich rozšíriť pomocou vzorca (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, na základe podmienok vety sú obe časti identity ekvivalentné. Zjednodušte pravú stranu identity.

4. 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Prirovnajte koeficienty rovnakých premenných k ich mocninám.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Získajte sústavu rovníc, vyriešte ju a nájdite hodnoty koeficientov.

7. Dosaďte koeficienty v (2), rovnica bude mať tvar

2 x 2 + y2 + 2 x y + 2 x + 1 \u003d 2 (x + 0,5 r + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Pôvodná rovnica je teda ekvivalentná rovnici

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), táto rovnica je ekvivalentná sústave dvoch lineárnych rovníc.

Odpoveď: (-1; 1).

Ak si dáte pozor na typ rozkladu (3), potom môžete vidieť, že je vo forme identický s výberom celého štvorca z kvadratickej rovnice s jednou premennou: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Aplikujme tento trik na riešenie rovnice s dvoma premennými. Vyriešme pomocou výberu plného štvorca kvadratickú rovnicu s dvomi premennými už vyriešenou pomocou vety.

SPÔSOB #2: Vyriešte rovnicu 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Riešenie: 1. Reprezentujeme 2x2 ako súčet dvoch členov x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Pojmy zoskupíme tak, aby sme ich mohli zbaliť podľa vzorca plného štvorca.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Vyberte celé štvorce z výrazov v zátvorkách.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Táto rovnica je ekvivalentná sústave lineárnych rovníc.

Odpoveď: (-1;1).

Ak výsledky porovnáme, vidíme, že rovnica riešená metódou č. 1 pomocou vety a metódou neurčitých koeficientov a rovnica riešená metódou č. 2 výberom plného štvorca majú rovnaké korene.

Záver: Kvadratická rovnica s dvoma premennými môže byť rozšírená na súčet štvorcov dvoma spôsobmi:

➢ Prvou metódou je metóda neurčitých koeficientov, ktorá je založená na vete a rozklade (2).

➢ Druhý spôsob je pomocou identických transformácií, ktoré umožňujú vybrať za sebou celé štvorce.

Pri riešení problémov je samozrejme výhodnejšia druhá metóda, pretože nevyžaduje zapamätanie rozšírenia (2) a podmienok.

Túto metódu možno použiť aj na kvadratické rovnice s tromi premennými. Výber plného štvorca v takýchto rovniciach je prácnejší. Budúci rok budem robiť takúto premenu.

Je zaujímavé, že funkcia v tvare f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f sa nazýva kvadratická funkcia dvoch premenných. Kvadratické funkcie hrajú dôležitú úlohu v rôznych odvetviach matematiky:

V matematickom programovaní (kvadratické programovanie)

V lineárnej algebre a geometrii (kvadratické formy)

V teórii diferenciálnych rovníc (redukcia lineárnej rovnice druhého rádu na kanonickú formu).

Pri riešení týchto rôznych problémov je v skutočnosti potrebné použiť postup na extrakciu úplného štvorca z kvadratickej rovnice (jedna, dve alebo viac premenných).

Čiary, ktorých rovnice sú opísané kvadratickou rovnicou dvoch premenných, sa nazývajú krivky druhého rádu.

Tento kruh, elipsa, hyperbola.

Pri vykresľovaní týchto kriviek sa používa aj metóda postupného výberu celého štvorca.

Uvažujme, ako funguje metóda postupného výberu plného štvorca na konkrétnych príkladoch.

Praktická časť.

Riešte rovnice metódou postupného výberu celého štvorca.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Odpoveď: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Odpoveď: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + (y2 - 2y + 1) = 0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Odpoveď: (-1; 1).

Riešiť rovnice:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(uveďte do tvaru: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Odpoveď: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(uveďte do tvaru: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Odpoveď: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(uveďte do tvaru: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Odpoveď: (7; -7)

Záver.

V tejto vedeckej práci sa študovali rovnice s dvoma premennými druhého stupňa, zvažovali sa metódy ich riešenia. Úloha je splnená, formulovaný a opísaný kratší spôsob riešenia, založený na výbere úplného štvorca a nahradení rovnice ekvivalentným systémom rovníc, v dôsledku toho sa zjednoduší postup hľadania koreňov rovnice s dvoma premennými.

Dôležitým bodom práce je, že uvažovaná technika sa používa pri riešení rôznych matematických problémov spojených s kvadratickou funkciou, konštrukciou kriviek druhého rádu a hľadaním najväčšej (najmenšej) hodnoty výrazov.

Technika rozšírenia rovnice druhého rádu o dve premenné na súčet štvorcov má teda najpočetnejšie uplatnenie v matematike.

Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvom mieste je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítajte druhú, aby ste sa zbavili premennej x Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online je zadarmo. Nežartuj.

Inštrukcia

Substitučná metóda Vyjadrite jednu premennú a dosaďte ju do inej rovnice. Môžete vyjadriť akúkoľvek premennú, ktorú chcete. Vyjadrite napríklad „y“ z druhej rovnice:
x-y=2 => y=x-2 Potom všetko zapojte do prvej rovnice:
2x+(x-2)=10 Presuňte všetko bez x na pravú stranu a počítajte:
2x+x=10+2
3x=12 Ďalej pre „x vydeľte obe strany rovnice 3:
x=4. Takže ste našli "x. Nájdite „at. Ak to chcete urobiť, nahraďte "x" do rovnice, z ktorej ste vyjadrili "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Vykonajte kontrolu. Za týmto účelom nahraďte výsledné hodnoty do rovníc:
2*4+2=10
4-2=2
Neznámy bol nájdený správne!

Ako sčítať alebo odčítať rovnice Zbavte sa akejkoľvek premennej naraz. V našom prípade je to jednoduchšie urobiť s „y.
Keďže v „y“ je „+“ a v druhom „-“, potom môžete vykonať operáciu sčítania, t.j. Pridáme ľavú stranu doľava a pravú stranu doprava:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertovať:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Dosaďte „x“ do ľubovoľnej rovnice a nájdite „y:
2*4+y=10
8 + y = 10
y=10-8
y=2 Podľa 1. metódy môžete nájsť to, čo ste našli správne.

Ak neexistujú jasne definované premenné, potom je potrebné mierne transformovať rovnice.
V prvej rovnici máme "2x" a v druhej len "x". Aby sa sčítanie alebo „x znížilo, vynásobte druhú rovnicu 2:
x-y=2
2x-2y=4 Potom odčítajte druhú rovnicu od prvej rovnice:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3r=6
nájdite y \u003d 2 "x vyjadrením z ľubovoľnej rovnice, t.j.
x=4

Podobné videá

Tip 2: Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma premennými

Rovnica, napísaná vo všeobecnom tvare ax + by + c \u003d 0, sa nazýva lineárna rovnica s dvoma premenných. Takáto rovnica sama o sebe obsahuje nekonečné množstvo riešení, preto je v úlohách vždy niečím doplnená – ďalšou rovnicou alebo obmedzujúcimi podmienkami. V závislosti od podmienok poskytnutých úlohou vyriešte lineárnu rovnicu s dvoma premenných nasledovali rôznymi spôsobmi.

Budete potrebovať

• - lineárna rovnica s dvoma premennými;
• - druhá rovnica alebo dodatočné podmienky.

Inštrukcia

Daný systém dvoch lineárnych rovníc vyriešte nasledovne. Vyberte jednu z rovníc, v ktorej sú koeficienty predtým premenných menšie a vyjadrujú jednu z premenných, napríklad x. Potom vložte hodnotu obsahujúcu y do druhej rovnice. Vo výslednej rovnici bude len jedna premenná y, všetky časti s y presuňte doľava a voľné doprava. Nájdite y a dosaďte do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc, nájdite x.

Existuje ďalší spôsob riešenia systému dvoch rovníc. Vynásobte jednu z rovníc číslom tak, aby koeficient pred jednou z premenných, napríklad pred x, bol v oboch rovniciach rovnaký. Potom odčítajte jednu z rovníc od druhej (ak pravá strana nie je 0, nezabudnite odpočítať pravú stranu rovnakým spôsobom). Uvidíte, že premenná x zmizla a zostalo len jedno y. Vyriešte výslednú rovnicu a dosaďte nájdenú hodnotu y do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc. Nájdite x.

Tretí spôsob riešenia sústavy dvoch lineárnych rovníc je grafický. Nakreslite súradnicový systém a nakreslite grafy dvoch priamych čiar, ktorých rovnice sú uvedené vo vašom systéme. Ak to chcete urobiť, nahraďte do rovnice ľubovoľné dve hodnoty x a nájdite zodpovedajúce y - to budú súradnice bodov patriacich k čiare. Najpohodlnejšie je nájsť priesečník so súradnicovými osami - stačí dosadiť hodnoty x=0 a y=0. Úlohami budú súradnice priesečníka týchto dvoch čiar.

Ak v podmienkach problému existuje iba jedna lineárna rovnica, potom dostanete ďalšie podmienky, vďaka ktorým môžete nájsť riešenie. Pozorne si prečítajte problém, aby ste našli tieto podmienky. Ak premenných x a y sú vzdialenosť, rýchlosť, hmotnosť – kľudne si nastavte limit x≥0 a y≥0. Je celkom možné, že x alebo y skrýva počet , jabĺk atď. - potom hodnoty môžu byť iba . Ak x je vek syna, je jasné, že nemôže byť starší ako jeho otec, tak to uveďte v podmienkach problému.

Zdroje:

• ako vyriešiť rovnicu s jednou premennou

Sám od seba rovnica s tromi neznámy má veľa riešení, preto sa najčastejšie dopĺňa o dve ďalšie rovnice alebo podmienky. Od toho, aké sú prvotné údaje, bude do značnej miery závisieť priebeh rozhodovania.

Budete potrebovať

• - sústava troch rovníc s tromi neznámymi.

Inštrukcia

Ak majú dva z troch systémov iba dve z troch neznámych, skúste niektoré premenné vyjadriť pomocou ostatných a zapojte ich do rovnica s tromi neznámy. Vaším cieľom je zmeniť to na normálne rovnica s neznámym. Ak je toto , ďalšie riešenie je celkom jednoduché - dosaďte nájdenú hodnotu do iných rovníc a nájdite všetky ostatné neznáme.

Niektoré sústavy rovníc možno od jednej rovnice odčítať druhou. Pozrite sa, či je možné vynásobiť jednu z alebo premennú tak, aby sa naraz zredukovali dve neznáme. Ak existuje takáto príležitosť, využite ju, s najväčšou pravdepodobnosťou nebude následné rozhodnutie ťažké. Nezabudnite, že pri násobení číslom musíte vynásobiť ľavú aj pravú stranu. Podobne pri odčítaní rovníc nezabúdajte, že treba odčítať aj pravú stranu.

Ak predchádzajúce metódy nepomohli, použite všeobecnú metódu na riešenie akýchkoľvek rovníc s tromi neznámy. Za týmto účelom prepíšte rovnice v tvare a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Teraz vytvorte maticu koeficientov v x (A), maticu neznámych (X) a maticu voľných (B). Venujte pozornosť, vynásobením matice koeficientov maticou neznámych získate maticu, maticu voľných členov, to znamená A * X \u003d B.

Nájdite maticu A na mocninu (-1) po nájdení, všimnite si, že by sa nemala rovnať nule. Potom vynásobte výslednú maticu maticou B, ako výsledok dostanete požadovanú maticu X, ktorá označuje všetky hodnoty.

Riešenie systému troch rovníc môžete nájsť aj pomocou Cramerovej metódy. Na tento účel nájdite determinant tretieho rádu ∆ zodpovedajúci matici systému. Potom postupne nájdite tri ďalšie determinanty ∆1, ∆2 a ∆3, pričom nahraďte hodnoty voľných členov namiesto hodnôt zodpovedajúcich stĺpcov. Teraz nájdite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Zdroje:

• riešenia rovníc s tromi neznámymi

Riešenie sústavy rovníc je zložité a vzrušujúce. Čím je systém zložitejší, tým je jeho riešenie zaujímavejšie. Najčastejšie sa v stredoškolskej matematike vyskytujú sústavy rovníc s dvoma neznámymi, ale vo vyššej matematike môže byť premenných viac. Systémy je možné riešiť viacerými spôsobmi.

Inštrukcia

Najbežnejšou metódou riešenia sústavy rovníc je substitúcia. Aby ste to dosiahli, musíte jednu premennú vyjadriť cez druhú a nahradiť ju druhou rovnica systémov, čím prináša rovnica do jednej premennej. Napríklad vzhľadom na rovnice: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Je vhodné vyjadriť jednu z premenných z druhého výrazu, všetko ostatné preniesť na pravú stranu výrazu, pričom nezabudnite zmeniť znamienko koeficientu: x = 3-y.

Otvárame zátvorky: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Výsledná hodnota y sa dosadí do výrazu: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

V prvom výraze sú všetky členy 2, môžete zo zátvorky vyňať 2 do distribučnej vlastnosti násobenia: 2 * (2x-y-3) = 0. Teraz je možné obe časti výrazu zmenšiť o toto číslo a potom vyjadriť y, pretože koeficient modulo sa rovná jednej: -y \u003d 3-2x alebo y \u003d 2x-3.

Rovnako ako v prvom prípade dosadíme tento výraz do druhého rovnica a dostaneme: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Výslednú hodnotu dosaďte do výrazu: y=2x-3;y=4-3=1.

Vidíme, že koeficient na y má rovnakú hodnotu, ale odlišné znamienko, preto, ak pridáme tieto rovnice, úplne sa zbavíme y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x -14 \u003d 0; x = 2. Hodnotu x dosadíme do ktorejkoľvek z dvoch rovníc systému a dostaneme y = 1.

Podobné videá

Bisquare rovnica predstavuje rovnicaštvrtý stupeň, ktorého všeobecnú podobu predstavuje výraz ax^4 + bx^2 + c = 0. Jeho riešenie je založené na použití metódy dosadzovania neznámych. V tomto prípade je x^2 nahradené inou premennou. Výsledkom je teda obyčajný štvorec rovnica, ktorý sa má riešiť.

Inštrukcia

Vyriešte štvorec rovnica vyplývajúce zo substitúcie. Najprv vypočítajte hodnotu podľa vzorca: D = b^2 ? 4ac. V tomto prípade sú premenné a, b, c koeficienty našej rovnice.

Nájdite korene bikvadratickej rovnice. Za týmto účelom vezmite druhú odmocninu získaných riešení. Ak existovalo jedno riešenie, potom budú dve - kladná a záporná hodnota druhej odmocniny. Ak by existovali dve riešenia, bikvadratická rovnica by mala štyri korene.

Podobné videá

Jednou z klasických metód riešenia sústav lineárnych rovníc je Gaussova metóda. Spočíva v postupnom vyraďovaní premenných, kedy sa sústava rovníc pomocou jednoduchých transformácií prevádza na stupňovitú sústavu, z ktorej sa postupne zisťujú všetky premenné počnúc poslednými.

Inštrukcia

Najprv uveďte sústavu rovníc do takej podoby, keď budú všetky neznáme v presne definovanom poradí. Napríklad všetky neznáme X budú prvé v každom riadku, všetky Y budú nasledovať po X, všetky Z budú nasledovať po Y atď. Na pravej strane každej rovnice by nemali byť žiadne neznáme. Mentálne určte koeficienty pred každou neznámou, ako aj koeficienty na pravej strane každej rovnice.

Nelineárne rovnice o dvoch neznámych

Definícia 1. Nech je A nejaký súbor dvojíc čísel (X; r). Hovorí sa, že množina A je daná numerická funkcia z z dvoch premenných x a y , ak je zadané pravidlo, pomocou ktorého je každej dvojici čísel z množiny A pridelené určité číslo.

Špecifikácia numerickej funkcie z dvoch premenných x a y je často určiť Takže:

kde f (X , r) - akákoľvek iná funkcia ako funkcia

f (X , r) = ax+by+c ,

kde a, b, c sú dané čísla.

Definícia 3. Riešenie rovnice (2). pomenovať dvojicu čísel X; r), pre ktorý vzorec (2) je skutočná rovnosť.

Príklad 1. vyriešiť rovnicu

Keďže druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, zo vzorca (4) vyplýva, že neznáme x a y spĺňajú sústavu rovníc

ktorého riešením je dvojica čísel (6 ; 3) .

Odpoveď: (6; 3)

Príklad 2. vyriešiť rovnicu

Preto riešenie rovnice (6) je nekonečné množstvo dvojíc čísel milý

(1 + r ; r) ,

kde y je ľubovoľné číslo.

lineárne

Definícia 4. Riešenie sústavy rovníc

pomenovať dvojicu čísel X; r) , ich dosadením do každej z rovníc tohto systému dostaneme správnu rovnosť.

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je lineárna, majú tvar

g(X , r)

Príklad 4. Vyriešte sústavu rovníc

Riešenie . Vyjadrime neznámu y z prvej rovnice sústavy (7) pomocou neznámej x a výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice sústavy:

Riešenie rovnice

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

v dôsledku toho

r 1 = 8 - X 1 = 9 ,
r 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna, majú tvar

kde a , b , c sú dané čísla a g(X , r) je funkciou dvoch premenných x a y .

Príklad 6. Vyriešte sústavu rovníc

Riešenie . Poďme vyriešiť homogénnu rovnicu

3X 2 + 2xy - r 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10r 2 = 0 ,

zaobchádzať s ňou ako s kvadratickou rovnicou vzhľadom na neznámu x:

.

V prípade, keď X = - 5r, z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

5r 2 = - 20 ,

ktorá nemá korene.

V prípade, keď

z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

,

ktorých koreňmi sú čísla r 1 = 3 , r 2 = - 3 . Keď pre každú z týchto hodnôt y nájdeme zodpovedajúcu hodnotu x, získame dve riešenia systému: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Odpoveď: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Príklady riešenia sústav rovníc iných typov

Príklad 8. Vyriešte sústavu rovníc (MIPT)

Riešenie . Zavádzame nové neznáme u a v , ktoré sú vyjadrené pomocou x a y vzorcami:

Aby sme prepísali systém (12) na nové neznáme, najprv vyjadríme neznáme x a y pomocou u a v . Zo systému (13) vyplýva, že

Lineárnu sústavu (14) riešime vylúčením premennej x z druhej rovnice tejto sústavy. Za týmto účelom vykonáme na systéme (14) nasledujúce transformácie:

• prvú rovnicu sústavy necháme nezmenenú;
• odčítajte prvú rovnicu od druhej rovnice a nahraďte druhú rovnicu sústavy výsledným rozdielom.

Výsledkom je, že systém (14) sa transformuje na ekvivalentný systém

z ktorých nájdeme

Pomocou vzorcov (13) a (15) prepíšeme pôvodnú sústavu (12) ako

Prvá rovnica sústavy (16) je lineárna, takže neznáme u z nej môžeme vyjadriť pomocou neznámej v a tento výraz dosadiť do druhej rovnice sústavy.