V tomto článku sa pozrieme na základné operácie s algebraickými zlomkami:

• redukcia frakcií
• násobenie zlomkov
• delenie zlomkov

Začnime s skratky algebraických zlomkov.

Zdalo by sa, algoritmu zrejmé.

Komu znížiť algebraické zlomky, potreba

1. Rozlož čitateľa a menovateľa zlomku na faktor.

2. Znížte rovnaké multiplikátory.

Školáci však často robia chybu, že „redukujú“ nie faktory, ale pojmy. Napríklad sú amatéri, ktorí sa „znižujú“ o zlomky a dostávajú sa ako výsledok, čo, samozrejme, nie je pravda.

Zvážte príklady:

1. Znížiť zlomok:

1. Čitateľa rozkladáme podľa vzorca druhej mocniny súčtu a menovateľa podľa vzorca rozdielu druhých mocnín.

2. Čitateľa a menovateľa vydeľte

2. Znížiť zlomok:

1. Rozložte čitateľa na faktor. Keďže čitateľ obsahuje štyri pojmy, použijeme zoskupenie.

2. Zvážte menovateľa. To isté platí pre zoskupovanie.

3. Zapíšme si zlomok, ktorý sme dostali, a zredukujeme rovnaké faktory:

Násobenie algebraických zlomkov.

Pri násobení algebraických zlomkov násobíme čitateľa čitateľom a menovateľa násobíme menovateľom.

Dôležité! Nie je potrebné sa ponáhľať, aby ste vykonali násobenie v čitateli a menovateli zlomku. Potom, čo sme zapísali súčin čitateľov zlomkov do čitateľa a súčin menovateľov do menovateľa, musíme rozdeliť každý faktor a zlomok zmenšiť.

Zvážte príklady:

3. Zjednodušte výraz:

1. Napíšme súčin zlomkov: v čitateli súčin čitateľov a v menovateli súčin menovatelov:

2. Každú zátvorku rozkladáme na faktor:

Teraz musíme znížiť rovnaké multiplikátory. Všimnite si, že výrazy a sa líšia iba znamienkom: a ako výsledok vydelenia prvého výrazu druhým dostaneme -1.

takže,

Delenie algebraických zlomkov vykonávame podľa nasledujúceho pravidla:

Teda Ak chcete deliť zlomkom, musíte vynásobiť "prevráteným".

Vidíme, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie, a násobenie sa v konečnom dôsledku scvrkáva na redukciu zlomkov.

Zvážte príklad:

4. Zjednodušte výraz:

Pochopíme, čo je to redukcia zlomkov, prečo a ako zmenšiť zlomky, uvedieme pravidlo na redukciu zlomkov a príklady jeho použitia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je to "zníženie frakcie"

Znížte zlomok

Zmenšiť zlomok znamená rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa spoločným deliteľom, kladným a odlišným od jedného.

V dôsledku takejto akcie sa získa zlomok s novým čitateľom a menovateľom, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku.

Vezmime si napríklad bežný zlomok 6 24 a zredukujeme ho. Čitateľ a menovateľ vydeľte 2, výsledkom bude 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . V tomto príklade sme pôvodný zlomok znížili o 2 .

Redukcia frakcií na neredukovateľnú formu

V predchádzajúcom príklade sme zlomok 6 24 zmenšili o 2, výsledkom čoho je zlomok 3 12 . Je ľahké vidieť, že táto frakcia sa môže ďalej znižovať. Vo všeobecnosti je cieľom redukcie frakcií skončiť s neredukovateľnou frakciou. Ako previesť zlomok na neredukovateľnú formu?

To sa dá dosiahnuť znížením čitateľa a menovateľa o ich najväčšieho spoločného deliteľa (GCD). Potom, na základe vlastnosti najväčšieho spoločného deliteľa, čitateľ a menovateľ budú prvočísla a zlomok bude nezredukovateľný.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Redukcia zlomku na neredukovateľnú formu

Ak chcete zlomok zredukovať na neredukovateľnú formu, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa ich gcd.

Vráťme sa k zlomku 6 24 z prvého príkladu a zredukujeme ho na neredukovateľnú formu. Najväčší spoločný deliteľ 6 a 24 je 6. Zmenšime zlomok:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Znižovanie zlomkov je vhodné použiť, aby sa nepracovalo s veľkými číslami. Vo všeobecnosti v matematike platí nevyslovené pravidlo: ak dokážete zjednodušiť akýkoľvek výraz, musíte to urobiť. Zmenšením zlomku sa najčastejšie rozumie jeho zmenšenie na neredukovateľnú formu, a nie len zmenšenie spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa.

Pravidlo znižovania frakcií

Na zmenšenie zlomkov si stačí zapamätať pravidlo, ktoré pozostáva z dvoch krokov.

Pravidlo znižovania frakcií

Ak chcete znížiť zlomok:

1. Nájdite gcd čitateľa a menovateľa.
2. Vydeľte čitateľa a menovateľa ich gcd.

Zvážte praktické príklady.

Príklad 1. Zmenšme zlomok.

Daný zlomok 182 195 . Skrátime to.

Nájdite GCD čitateľa a menovateľa. Na tento účel je v tomto prípade najvhodnejšie použiť Euclidov algoritmus.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Vydeľte čitateľa a menovateľa číslom 13. Dostaneme:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Pripravený. Dostali sme nezredukovateľný zlomok, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku.

Ako inak môžete znížiť zlomky? V niektorých prípadoch je vhodné rozložiť čitateľa a menovateľa na jednoduché faktory a potom odstrániť všetky spoločné faktory z hornej a dolnej časti zlomku.

Príklad 2. Znížte frakciu

Daný zlomok 360 2940 . Skrátime to.

Na tento účel predstavujeme pôvodný zlomok v tvare:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Zbavme sa spoločných faktorov v čitateli a menovateli, v dôsledku čoho dostaneme:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Nakoniec zvážte iný spôsob, ako znížiť zlomky. Ide o takzvanú sekvenčnú redukciu. Použitím tejto metódy sa redukcia uskutočňuje v niekoľkých stupňoch, z ktorých každý sa zlomok redukuje nejakým zrejmým spoločným deliteľom.

Príklad 3. Znížte frakciu

Zmenšime zlomok 2000 4400 .

Hneď je jasné, že čitateľ a menovateľ majú spoločný faktor 100. Zlomok znížime o 100 a dostaneme:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Výsledný výsledok sa opäť zníži o 2 a dostaneme neredukovateľný zlomok:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Tento článok pokračuje v téme transformácie algebraických zlomkov: zvážte takú akciu ako redukciu algebraických zlomkov. Definujme si samotný pojem, sformulujme pravidlo skratky a rozoberme praktické príklady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Význam skratky algebraických zlomkov

V materiáloch na obyčajnej frakcii sme uvažovali o jej redukcii. Redukciu spoločného zlomku sme definovali ako delenie jeho čitateľa a menovateľa spoločným činiteľom.

Redukcia algebraického zlomku je podobná operácia.

Definícia 1

Algebraická redukcia zlomkov je delenie jeho čitateľa a menovateľa spoločným činiteľom. V tomto prípade, na rozdiel od redukcie obyčajného zlomku (spoločným menovateľom môže byť iba číslo), môže polynóm, najmä jednočlen alebo číslo, slúžiť ako spoločný činiteľ pre čitateľa a menovateľa algebraického zlomku.

Napríklad algebraický zlomok 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 možno zmenšiť o číslo 3, výsledkom čoho je: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Rovnaký zlomok môžeme zmenšiť o premennú x a dostaneme výraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Je tiež možné zredukovať danú frakciu o monomiál 3 x alebo ktorýkoľvek z polynómov x + 2 r, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y alebo 3 x 2 + 6 x r.

Konečným cieľom redukcie algebraického zlomku je zlomok jednoduchšej formy, prinajlepšom neredukovateľný zlomok.

Podliehajú redukcii všetky algebraické zlomky?

Opäť z materiálov na obyčajných frakciách vieme, že existujú redukovateľné a neredukovateľné frakcie. Neredukovateľné - sú to zlomky, ktoré nemajú spoločné faktory čitateľa a menovateľa okrem 1.

S algebraickými zlomkami je všetko rovnaké: môžu alebo nemusia mať spoločné faktory čitateľa a menovateľa. Prítomnosť spoločných faktorov vám umožňuje zjednodušiť pôvodný zlomok redukciou. Ak neexistujú žiadne spoločné faktory, nie je možné optimalizovať daný zlomok redukčnou metódou.

Vo všeobecnosti je pre daný typ frakcie dosť ťažké pochopiť, či podlieha redukcii. Samozrejme, v niektorých prípadoch je zrejmá prítomnosť spoločného faktora čitateľa a menovateľa. Napríklad v algebraickom zlomku 3 · x 2 3 · y je celkom jasné, že spoločným činiteľom je číslo 3 .

V zlomku - x · y 5 · x · y · z 3 tiež hneď pochopíme, že je možné ho zmenšiť o x, alebo y, alebo o x · y. A predsa sú príklady algebraických zlomkov oveľa bežnejšie, keď spoločný faktor čitateľa a menovateľa nie je tak ľahké vidieť a ešte častejšie - jednoducho chýba.

Napríklad zlomok x 3 - 1 x 2 - 1 môžeme zmenšiť o x - 1, pričom zadaný spoločný činiteľ sa v zázname nenachádza. Zlomok x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 však nemožno zmenšiť, pretože čitateľ a menovateľ nemajú spoločný činiteľ.

Otázka zisťovania kontrahovateľnosti algebraického zlomku teda nie je taká jednoduchá a často je jednoduchšie pracovať so zlomkom daného tvaru, ako sa snažiť zistiť, či je kontrahovateľný. V tomto prípade dochádza k takým transformáciám, ktoré nám v konkrétnych prípadoch umožňujú určiť spoločný činiteľ čitateľa a menovateľa alebo dospieť k záveru, že zlomok je neredukovateľný. Túto problematiku podrobne rozoberieme v ďalšom odseku článku.

Algebraické pravidlo redukcie zlomkov

Algebraické pravidlo redukcie zlomkov pozostáva z dvoch po sebe nasledujúcich krokov:

• nájdenie spoločných faktorov čitateľa a menovateľa;
• v prípade zistenia takých, realizácia priamej akcie redukcie zlomku.

Najpohodlnejšou metódou na nájdenie spoločných menovateľov je rozklad polynómov prítomných v čitateli a menovateli daného algebraického zlomku. To vám umožní okamžite vizuálne vidieť prítomnosť alebo neprítomnosť spoločných faktorov.

Samotný účinok redukcie algebraického zlomku je založený na hlavnej vlastnosti algebraického zlomku, vyjadrenej rovnosťou nedefinovaná , kde a , b , c sú nejaké polynómy a b a c sú nenulové. Prvým krokom je zmenšenie zlomku do tvaru a c b c , v ktorom si hneď všimneme spoločný činiteľ c . Druhým krokom je vykonanie redukcie, t.j. prechod na zlomok tvaru a b .

Typické príklady

Napriek určitej očividnosti si ujasnime špeciálny prípad, keď sa čitateľ a menovateľ algebraického zlomku rovnajú. Podobné zlomky sú identicky rovné 1 na celej ODZ premenných tohto zlomku:

55 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 12x-x2y12x-x2y;

Keďže obyčajné zlomky sú špeciálnym prípadom algebraických zlomkov, pripomeňme si, ako sa redukujú. Prirodzené čísla zapísané v čitateli a menovateli sa rozložia na prvočiniteľa, potom sa spoločné činitele zredukujú (ak existujú).

Napríklad 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Súčin jednoduchých identických faktorov možno zapísať ako stupne a v procese redukcie zlomkov použiť vlastnosť delenia stupňov s rovnakými základmi. Potom by vyššie uvedené riešenie bolo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 – 2 3 2 – 1 5 7 = 2 105

(čitateľ a menovateľ delený spoločným činiteľom 2 2 3). Alebo pre názornosť na základe vlastností násobenia a delenia dáme riešeniu nasledujúcu formu:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogicky sa vykonáva redukcia algebraických zlomkov, v ktorých čitateľ a menovateľ majú monomály s celočíselnými koeficientmi.

Príklad 1

Je daný algebraický zlomok - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Je potrebné znížiť.

Riešenie

Je možné zapísať čitateľa a menovateľa daného zlomku ako súčin prvočiniteľov a premenných a potom znížiť:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Racionálnejším spôsobom by však bolo napísať riešenie ako výraz s mocninami:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

odpoveď:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ak sú v čitateli a menovateli algebraického zlomku zlomkové číselné koeficienty, existujú dva možné spôsoby ďalšieho postupu: buď tieto zlomkové koeficienty oddelene rozdeliť, alebo sa zlomkových koeficientov najskôr zbaviť vynásobením čitateľa a menovateľa nejakým prirodzeným číslom. . Posledná transformácia sa vykonáva kvôli hlavnej vlastnosti algebraického zlomku (o tom si môžete prečítať v článku „Redukcia algebraického zlomku na nový menovateľ“).

Príklad 2

Daný zlomok 2 5 x 0 , 3 x 3 . Je potrebné znížiť.

Riešenie

Zlomok je možné znížiť týmto spôsobom:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Skúsme problém vyriešiť inak, keď sme sa predtým zbavili zlomkových koeficientov - čitateľa a menovateľa vynásobíme najmenším spoločným násobkom menovateľov týchto koeficientov, t.j. na LCM(5,10) = 10. Potom dostaneme:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odpoveď: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Keď zredukujeme všeobecné algebraické zlomky, v ktorých čitateľmi a menovateľmi môžu byť monomické aj polynómy, môže nastať problém, keď spoločný faktor nie je vždy okamžite viditeľný. Alebo viac ako to, jednoducho neexistuje. Potom, aby sa určil spoločný faktor alebo opravila skutočnosť jeho neprítomnosti, čitateľ a menovateľ algebraického zlomku sa faktorizujú.

Príklad 3

Je daný racionálny zlomok 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Treba to skrátiť.

Riešenie

Rozložme polynómy na faktor v čitateli a menovateli. Urobme zátvorky:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidíme, že výraz v zátvorkách možno previesť pomocou skrátených vzorcov na násobenie:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Je jasne vidieť, že je možné znížiť zlomok spoločným faktorom b 2 (a + 7). Urobme redukciu:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Napíšeme krátke riešenie bez vysvetlenia ako reťaz rovnosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

odpoveď: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Stáva sa, že spoločné faktory sú skryté číselnými koeficientmi. Potom je pri redukcii zlomkov optimálne vyňať číselné faktory pri vyšších mocninách čitateľa a menovateľa.

Príklad 4

Je daný algebraický zlomok 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Ak je to možné, malo by sa znížiť.

Riešenie

Čitateľ a menovateľ na prvý pohľad nemajú spoločného menovateľa. Skúsme však daný zlomok previesť. Vyberme faktor x v čitateli:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 r - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 r - 3 1 2

Teraz môžete vidieť určitú podobnosť medzi výrazom v zátvorkách a výrazom v menovateli vďaka x 2 y . Zoberme si číselné koeficienty pri vyšších mocninách týchto polynómov:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 roky 5 x 2 roky - 7 10

Teraz je viditeľný spoločný multiplikátor, vykonáme zníženie:

2 7 x - 7 10 + x 2 r 5 x 2 r - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

odpoveď: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 r - 3 1 2 = - 2 35 x .

Zdôraznime, že zručnosť redukovať racionálne zlomky závisí od schopnosti faktorizovať polynómy.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pri práci so zlomkami sa mnohí žiaci dopúšťajú rovnakých chýb. A to všetko preto, že zabúdajú na základné pravidlá aritmetika. Dnes si tieto pravidlá zopakujeme na konkrétnych úlohách, ktoré zadávam na svojich hodinách.

Tu je úloha, ktorú ponúkam všetkým, ktorí sa pripravujú na skúšku z matematiky:

Úloha. Sviňuchy zje 150 gramov potravy denne. Ale vyrástla a začala jesť o 20% viac. Koľko gramov krmiva teraz prasa zje?

Nesprávne rozhodnutie. Toto je percentuálny problém, ktorý sa scvrkáva na rovnicu:

Mnohí (veľmi mnohí) znižujú číslo 100 v čitateli a menovateli zlomku:

Toto je chyba, ktorú urobil môj študent hneď v deň písania tohto článku. Čísla, ktoré boli znížené, sú označené červenou farbou.

Netreba dodávať, že odpoveď je nesprávna. Posúďte sami: prasa zjedlo 150 gramov a začalo jesť 3150 gramov. Nárast nie o 20 %, ale o 21-násobok, t.j. o 2000 %.

Aby ste predišli takýmto nedorozumeniam, nezabudnite na základné pravidlo:

Môžete iba znížiť násobiteľov. Podmienky nie je možné skrátiť!

Správne riešenie predchádzajúceho problému teda vyzerá takto:

Červená označuje čísla, ktoré sú zmenšené v čitateli a menovateli. Ako vidíte, čitateľ je súčin, menovateľ je obyčajné číslo. Preto je zníženie celkom legálne.

Práca s proporciami

Ďalšia problematická oblasť proporcie. Najmä keď je premenná na oboch stranách. Napríklad:

Úloha. Vyriešte rovnicu:

Nesprávne rozhodnutie – niektorí doslova svrbia všetko skrátiť o m :

Redukované premenné sú zobrazené červenou farbou. Ukazuje sa, že výraz 1/4 = 1/5 je úplný nezmysel, tieto čísla sa nikdy nerovnajú.

A teraz - správne rozhodnutie. V podstate je to bežné lineárna rovnica. Rieši sa to buď prenesením všetkých prvkov na jednu stranu, alebo hlavnou vlastnosťou pomeru:

Mnohí čitatelia budú namietať: "Kde je chyba v prvom riešení?" Nuž, poďme na to. Pripomeňme si pravidlo práce s rovnicami:

Akákoľvek rovnica môže byť rozdelená a vynásobená ľubovoľným číslom, nenulové.

Odrezal si čip? Dá sa deliť len číslami odlišný od nuly. Konkrétne, premennou m môžete deliť iba vtedy, ak m != 0. Ale čo ak m = 0 predsa len? Nahraďte a skontrolujte:

Dostali sme správnu číselnú rovnosť, t.j. m = 0 je koreň rovnice. Pre zvyšné m != 0 dostaneme vyjadrenie v tvare 1/4 = 1/5, čo, samozrejme, nie je pravda. Neexistujú teda žiadne nenulové korene.

Závery: dať to všetko dohromady

Ak chcete vyriešiť zlomkové racionálne rovnice, nezabudnite na tri pravidlá:

1. Môžete iba znížiť násobiteľov. Zlúčeniny - nemôžete. Naučte sa preto rozdeliť čitateľa a menovateľa na faktor;
2. Hlavná vlastnosť proporcie: súčin extrémnych prvkov sa rovná súčinu stredných;
3. Rovnice možno násobiť a deliť len nenulovými číslami k. Prípad k = 0 je potrebné skontrolovať samostatne.

Pamätajte na tieto pravidlá a nerobte chyby.

divízie a čitateľ a menovateľ zlomku na ich spoločný deliteľ, čo sa líši od jednoty, sa nazýva redukcia frakcií.

Ak chcete zmenšiť spoločný zlomok, musíte rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým prirodzeným číslom.

Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa daného zlomku.

Možné sú nasledovné formuláre záznamu rozhodnutí Príklady redukcie obyčajných zlomkov.

Študent má právo zvoliť si akúkoľvek formu záznamu.

Príklady. Zjednodušte zlomky.

Zredukujte zlomok o 3 (vydeľte čitateľa 3;

vydeľte menovateľa 3).

Zlomok znížime o 7.

Uvedené úkony vykonávame v čitateli a menovateli zlomku.

Výsledná frakcia sa zníži o 5.

Znížime tento zlomok 4) na 5 7³- najväčší spoločný deliteľ (GCD) čitateľa a menovateľa, ktorý pozostáva zo spoločných faktorov čitateľa a menovateľa umocnených najmenším exponentom.

Rozložme čitateľa a menovateľa tohto zlomku na jednoduché faktory.

Dostaneme: 756=2² 3³ 7 a 1176=2³ 3 7².

Určite GCD (najväčší spoločný deliteľ) čitateľa a menovateľa zlomku 5) .

Toto je súčin spoločných faktorov braných s najmenšími exponentmi.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Čitateľa a menovateľa tohto zlomku delíme ich GCD, teda o 2² 3 7 dostaneme neredukovateľný zlomok 9/14 .

A bolo možné napísať rozšírenia čitateľa a menovateľa ako súčin prvočísel bez použitia pojmu stupeň a potom zlomok zmenšiť prečiarknutím rovnakých faktorov v čitateli a menovateli. Ak nezostali žiadne rovnaké faktory, vynásobíme zostávajúce faktory osobitne v čitateli a osobitne v menovateli a výsledný zlomok zapíšeme 9/14 .

A nakoniec bolo možné tento zlomok znížiť 5) postupne aplikovaním znakov delenia čísel na čitateľa aj menovateľa zlomku. Myslite takto: čísla 756 a 1176 končia párnym číslom, takže obe sú deliteľné 2 . Zlomok znížime o 2 . Čitateľ a menovateľ nového zlomku sú čísla 378 a 588 tiež rozdelené na 2 . Zlomok znížime o 2 . Všimli sme si, že číslo 294 - párne a 189 je nepárne a zníženie o 2 už nie je možné. Skontrolujeme znamienko deliteľnosti čísel 189 a 294 na 3 .

(1+8+9)=18 je deliteľné 3 a (2+9+4)=15 je deliteľné 3, teda samotné čísla 189 a 294 sa delia na 3 . Zlomok znížime o 3 . ďalej 63 je deliteľné 3 a 98 - Nie. Opakujte ostatné hlavné faktory. Obidve čísla sú deliteľné 7 . Zlomok znížime o 7 a získajte neredukovateľný zlomok 9/14 .