Definícia Usporiadaná zbierka (x 1 , x 2 , ... , x n) n reálnych čísel sa nazýva n-rozmerný vektor a čísla x i (i = ) - komponentov alebo súradnice,

Príklad. Ak má napríklad určitá automobilka za zmenu vyrobiť 50 osobných automobilov, 100 nákladných áut, 10 autobusov, 50 súprav náhradných dielov pre osobné automobily a 150 súprav pre nákladné autá a autobusy, potom výrobný program tohto závodu možno napísať ako vektor (50, 100, 10, 50, 150), ktorý má päť zložiek.

Notový zápis. Vektory sú označené tučnými malými písmenami alebo písmenami s pruhom alebo šípkou v hornej časti, napr. a alebo. Tieto dva vektory sa nazývajú rovný ak majú rovnaký počet komponentov a ich zodpovedajúce komponenty sú rovnaké.

Komponenty vektora nie je možné zamieňať, napr. (3, 2, 5, 0, 1) a (2, 3, 5, 0, 1) rôzne vektory.
Operácie na vektoroch. práca X= (x 1 , x 2 , ... , x n) na reálne čísloλ nazývaný vektorλ X= (Ax1,Ax2,...,Axn).

súčetX= (x 1, x 2, ..., x n) a r= (y 1 , y 2 , ... ,y n) sa nazýva vektor x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).

Priestor vektorov. N -rozmerný vektorový priestor R n je definované ako množina všetkých n-rozmerných vektorov, pre ktoré sú definované operácie násobenia reálnymi číslami a sčítania.

Ekonomická ilustrácia. Ekonomická ilustrácia n-rozmerného vektorového priestoru: priestor tovaru (tovar). Pod tovar budeme rozumieť nejakému tovaru alebo službe, ktoré sa začali predávať v určitom čase na určitom mieste. Predpokladajme, že je k dispozícii konečný počet statkov n; množstvá každého z nich zakúpené spotrebiteľom sú charakterizované súborom tovaru

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kde x i označuje množstvo i-tého tovaru zakúpeného spotrebiteľom. Budeme predpokladať, že všetky tovary majú vlastnosť ľubovoľnej deliteľnosti, takže je možné kúpiť akékoľvek nezáporné množstvo každého z nich. Potom všetky možné množiny tovarov sú vektormi priestoru tovarov C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Lineárna nezávislosť. systém e 1 , e 2 , ... , e m n-rozmerných vektorov sa nazýva lineárne závislé ak sú také číslaλ1, λ2, ..., λm , z ktorých aspoň jeden je nenulový, čo spĺňa rovnosťλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; inak sa tento systém vektorov nazýva lineárne nezávislé, teda táto rovnosť je možná len v prípade, keď všetky . Geometrický význam lineárnej závislosti vektorov v R 3, interpretované ako smerované segmenty, vysvetlite nasledujúce vety.

Veta 1. Systém pozostávajúci z jedného vektora je lineárne závislý práve vtedy, ak je tento vektor nulový.

Veta 2. Aby boli dva vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli kolineárne (paralelné).

Veta 3 . Aby boli tri vektory lineárne závislé, je potrebné a postačujúce, aby boli koplanárne (ležali v rovnakej rovine).

Ľavá a pravá trojica vektorov. Trojica nekoplanárnych vektorov a, b, c volal správny, ak pozorovateľ z ich spoločného pôvodu obchádza konce vektorov a, b, c zdá sa, že v tomto poradí postupuje v smere hodinových ručičiek. Inak a, b, c -vľavo trojitý. Všetky pravé (alebo ľavé) trojice vektorov sa nazývajú rovnako orientovaný.

Základ a súradnice. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanárne vektory v R 3 tzv základ a samotné vektory e 1, e 2 , e 3 - základné. Akýkoľvek vektor a môže byť rozšírený jedinečným spôsobom z hľadiska bázových vektorov, to znamená, že môže byť reprezentovaný vo forme

a= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

volajú sa čísla x 1 , x 2 , x 3 v expanzii (1.1). súradnicea v základe e 1, e 2 , e 3 a sú označené a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormálny základ. Ak vektory e 1, e 2 , e 3 sú párovo kolmé a dĺžka každého z nich je rovná jednej, potom sa základ nazýva ortonormálny a súradnice x 1 , x 2 , x 3 - pravouhlý. Bázové vektory ortonormálnej bázy budú označené i, j, k.

Budeme predpokladať, že vo vesmíre R 3 pravý systém karteziánskych pravouhlých súradníc (0, i, j, k}.

Vektorový produkt. vektorové umenie a na vektor b nazývaný vektor c, ktorý je určený týmito tromi podmienkami:

1. Dĺžka vektora cčíselne sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a a b, t.j.
c= |a||b| hriech( a^b).

2. Vektor c kolmo na každý z vektorov a a b.

3. Vektory a, b a c, brané v tomto poradí, tvoria pravú trojicu.

Pre vektorový produkt c uvádza sa označenie c=[ab] alebo
c = a × b.

Ak vektory a a b sú kolineárne, potom hriech( a^b) = 0 a [ ab] = 0, najmä [ aa] = 0. Vektorové produkty orts: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Ak vektory a a b uvedené v zákl i, j, k súradnice a(a 1, a 2, a 3), b(b1, b2, b3), potom

Zmiešaná práca. Ak krížový súčin dvoch vektorov a a b skalárne vynásobené tretím vektorom c, potom sa takýto súčin troch vektorov nazýva zmiešaný produkt a je označený symbolom a bc.

Ak vektory a, b a c v základe i, j, k nastavené ich súradnicami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c1, c2, c3), potom

.

Zmiešaný produkt má jednoduchú geometrickú interpretáciu - je to skalár, v absolútnej hodnote rovnajúci sa objemu kvádra postaveného na troch daných vektoroch.

Ak vektory tvoria pravú trojicu, potom ich zmiešaný produkt je kladné číslo rovnajúce sa uvedenému objemu; ak tí traja a, b, c - vľavo teda a b c<0 и V = - a b c, teda V =|a b c|.

Predpokladá sa, že súradnice vektorov, s ktorými sa stretávame v úlohách prvej kapitoly, sú dané vzhľadom na správnu ortonormálnu bázu. Jednotkový vektor kosmerný k vektoru a, označené symbolom a o. Symbol r=OM označený vektorom polomeru bodu M, symboly a, AB alebo|a|, | AB |moduly vektorov sú označené a a AB.

Príklad 1.2. Nájdite uhol medzi vektormi a= 2m+4n a b= m-n, kde m a n- jednotkové vektory a uhol medzi nimi m a n rovný 120 o.

Riešenie. Máme: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, takže a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, takže b = . Nakoniec tu máme: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Príklad 1.3.Poznanie vektorov AB(-3,-2,6) a BC(-2,4,4), vypočítajte výšku AD trojuholníka ABC.

Riešenie. Označením oblasti trojuholníka ABC pomocou S dostaneme:
S = 1/2 pred Kr. Potom AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, teda vektor AC má súradnice
. .

Príklad 1.4 . Dané dva vektory a(11,10,2) a b(4,0,3). Nájdite jednotkový vektor c, ortogonálne k vektorom a a b a nasmerované tak, aby usporiadaná trojica vektorov a, b, c mal pravdu.

Riešenie.Označme súradnice vektora c vzhľadom na daný pravý ortonormálny základ v zmysle x, y, z.

Pretože c ⊥ a, c ⊥b, potom cca= 0, cb= 0. Podľa podmienky problému sa vyžaduje, aby c = 1 a a b c >0.

Na zistenie x,y,z máme sústavu rovníc: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Z prvej a druhej rovnice sústavy dostaneme z = -4/3 x, y = -5/6 x. Dosadením y a z do tretej rovnice budeme mať: x 2 = 36/125, odkiaľ
x=± . Použitie podmienky a b c > 0, dostaneme nerovnosť

S prihliadnutím na výrazy pre z a y prepíšeme výslednú nerovnosť v tvare: 625/6 x > 0, z čoho vyplýva, že x>0. Takže x =, y = -, z = -.

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a , b a c , brané v uvedenom poradí, tvoria pravú trojicu, ak od konca tretieho vektora c najkratšiu odbočku z prvého vektora a do druhého vektora b vidíme proti smeru hodinových ručičiek a ľavý v smere hodinových ručičiek (pozri obr. . 16).

Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.

3. Vektory a , b a c tvoria pravú trojicu.

Vektorový súčin je označený axb alebo [a,b]. Z definície vektorového produktu priamo vyplývajú nasledujúce vzťahy medzi orts, j a k(pozri obr. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Dokážme to napríklad i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektory i, ja k tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).

7.2. Vlastnosti krížových produktov

1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmení znamienko, t.j. a xb \u003d (b xa) (pozri obr. 19).

Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). Teda axb = -(bxa).

2. Vektorový súčin má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l ​​(a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a) x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l ale ležia v rovnakej rovine). Takže vektory l(a xb) a ( l a) x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:

Preto l(a xb)= l a xb. Dokazuje sa to podobne aj pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a b sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b<=>a xb \u003d 0.

Konkrétne i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prijmite bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového produktu z hľadiska súradníc

Použijeme vektorovú tabuľku krížových produktov i , j a k:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech dva vektory a =a x i +a y j+az k a b=bx i+ podľa j+bz k. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte kratšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu

Stanovenie kolinearity vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície krížového súčinu vektorov a a b |a xb | =| a | * |b |sin g , teda S par = |a x b |. A preto D S \u003d 1/2 | a x b |.

Určenie momentu sily okolo bodu

Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že krútiaci moment F vzhľadom na bod O nazývaný vektor M , ktorý prechádza cez bod O a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily a ramena

3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B .

Preto M \u003d OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v \u003d w x r, kde r \u003d OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

V tomto článku sa zastavíme pri koncepte krížového súčinu dvoch vektorov. Dáme potrebné definície, zapíšeme vzorec na zistenie súradníc vektorového súčinu, vymenujeme a zdôvodníme jeho vlastnosti. Potom sa zastavíme pri geometrickom význame krížového súčinu dvoch vektorov a zvážime riešenia rôznych typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia vektorového produktu.

Predtým, ako dáme definíciu krížového súčinu, poďme sa zaoberať orientáciou usporiadanej trojice vektorov v trojrozmernom priestore.

Odložme vektory z jedného bodu. V závislosti od smeru vektora môže byť trojica vpravo alebo vľavo. Pozrime sa od konca vektora na to, ako najkratšia odbočka z vektora na . Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov správny, inak - vľavo.

Teraz zoberme dva nekolineárne vektory a . Odložte vektory a z bodu A. Zostrojme nejaký vektor, ktorý je kolmý na a a zároveň. Je zrejmé, že pri konštrukcii vektora môžeme urobiť dve veci a dať mu jeden alebo opačný smer (pozri ilustráciu).

V závislosti od smeru vektora môže byť usporiadaná trojica vektorov pravá alebo ľavá.

Takže sme sa priblížili k definícii vektorového produktu. Udáva sa pre dva vektory uvedené v pravouhlý súradnicový systém trojrozmerný priestor.

Definícia.

Vektorový súčin dvoch vektorov a , daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru, sa nazýva vektor taký, že

Krížový súčin vektorov a je označený ako .

Vektorové súradnice produktu.

Teraz uvádzame druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá nám umožňuje nájsť jeho súradnice zo súradníc daných vektorov a.

Definícia.

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru krížový súčin dvoch vektorov a je vektor , kde sú súradnicové vektory.

Táto definícia nám dáva krížový súčin v súradnicovej forme.

Vektorový súčin je vhodné reprezentovať ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, ktorej prvý riadok je orts, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a tretí riadok obsahuje súradnice vektora v daný pravouhlý súradnicový systém:

Ak tento determinant rozšírime o prvky prvého riadku, získame rovnosť z definície vektorového produktu v súradniciach (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Treba poznamenať, že súradnicová forma krížového produktu je plne v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Okrem toho sú tieto dve definície krížového produktu ekvivalentné. Dôkaz o tejto skutočnosti možno nájsť v knihe uvedenej na konci článku.

Vlastnosti vektorového produktu.

Keďže vektorový súčin v súradniciach môže byť reprezentovaný ako determinant matice , nasledujúce možno ľahko zdôvodniť na základe vlastnosti vektorového produktu:

Ako príklad ukážme antikomutatívnu vlastnosť vektorového súčinu.

Podľa definície a . Vieme, že hodnota determinantu matice je obrátená, keď sa vymenia dva riadky, takže, , čo dokazuje antikomutatívnu vlastnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia.

V zásade existujú tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sú uvedené dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi a je potrebné nájsť dĺžku krížového súčinu. V tomto prípade sa použije vzorec .

Príklad.

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov a ak je známa .

Riešenie.

Z definície vieme, že dĺžka krížového súčinu vektorov a je rovná súčinu dĺžok vektorov a krát sínus uhla medzi nimi, teda, .

odpoveď:

.

Úlohy druhého typu sú spojené so súradnicami vektorov, v ktorých sa cez súradnice daných vektorov hľadá súčin vektora, jeho dĺžka alebo niečo iné. a .

K dispozícii je tu veľa rôznych možností. Napríklad nie súradnice vektorov a , ale ich expanzie v súradnicových vektoroch formulára a , alebo vektory a môžu byť špecifikované súradnicami ich počiatočného a koncového bodu.

Zoberme si typické príklady.

Príklad.

V pravouhlom súradnicovom systéme sú uvedené dva vektory . Nájdite ich vektorový produkt.

Riešenie.

Podľa druhej definície je krížový súčin dvoch vektorov v súradniciach zapísaný ako:

K rovnakému výsledku by sme dospeli, keby sme vektorový súčin zapísali cez determinant

odpoveď:

.

Príklad.

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov a , kde sú orty pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie.

Najprv nájdite súradnice vektorového súčinu v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Keďže vektory a majú súradnice, resp. (ak je to potrebné, pozri článok vektorové súradnice v pravouhlých súradniciach), potom podľa druhej definície vektorového súčinu, ktorý máme

Teda vektorový súčin má súradnice v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme ako druhú odmocninu zo súčtu druhých mocnín jeho súradníc (tento vzorec sme získali pre dĺžku vektora v sekcii zistenie dĺžky vektora):

odpoveď:

.

Príklad.

Súradnice troch bodov sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor, ktorý je kolmý na a súčasne.

Riešenie.

Vektory a majú súradnice resp. (pozri článok zistenie súradníc vektora prostredníctvom súradníc bodov). Ak nájdeme krížový súčin vektorov a , potom je to podľa definície vektor kolmý k aj k, to znamená, že je riešením nášho problému. Poďme ho nájsť

odpoveď:

je jedným z kolmých vektorov.

V úlohách tretieho typu sa preveruje zručnosť využitia vlastností vektorového súčinu vektorov. Po aplikovaní vlastností sa použijú zodpovedajúce vzorce.

Príklad.

Vektory a sú kolmé a ich dĺžka je 3 a 4. Nájdite dĺžku vektorového súčinu .

Riešenie.

Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme písať

Na základe asociatívnej vlastnosti vyberáme číselné koeficienty pre znamienko vektorových súčinov v poslednom výraze:

Vektorové produkty a sú rovné nule, pretože a , potom .

Keďže vektorový súčin je antikomutatívny, potom .

Využitím vlastností vektorového súčinu sme sa teda dostali k rovnosti .

Podľa podmienky sú vektory a kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný . To znamená, že máme všetky údaje, aby sme našli požadovanú dĺžku

odpoveď:

.

Geometrický význam vektorového súčinu.

Podľa definície je dĺžka krížového súčinu vektorov . A z kurzu geometrie na strednej škole vieme, že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok dvoch strán trojuholníka a sínusu uhla medzi nimi. Preto sa dĺžka krížového produktu rovná dvojnásobku plochy trojuholníka so stranami vektorov a , ak sú odložené z jedného bodu. Inými slovami, dĺžka krížového súčinu vektorov a je rovná ploche rovnobežníka so stranami a a uhlom medzi nimi rovným . Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

Konečne sa mi dostala do rúk rozsiahla a dlho očakávaná téma analytická geometria. Najprv niečo o tejto časti vyššej matematiky... Určite ste si teraz spomenuli na kurz školskej geometrie s početnými teorémami, ich dôkazmi, kresbami atď. Čo skrývať, pre značnú časť študentov nemilovaný a často nejasný predmet. Analytická geometria sa napodiv môže zdať zaujímavejšia a prístupnejšia. Čo znamená prídavné meno „analytický“? Okamžite mi napadnú dva vyrazené matematické obraty: „grafická metóda riešenia“ a „analytická metóda riešenia“. Grafická metóda, je samozrejme spojená s konštrukciou grafov, nákresov. Analytický rovnaký metóda zahŕňa riešenie problémov prevažne prostredníctvom algebraických operácií. V tomto ohľade je algoritmus na riešenie takmer všetkých problémov analytickej geometrie jednoduchý a transparentný, často stačí presne použiť potrebné vzorce - a odpoveď je pripravená! Nie, samozrejme, bez nákresov sa to vôbec nezaobíde, okrem toho sa ich pre lepšie pochopenie materiálu pokúsim priniesť nad rámec potreby.

Otvorený kurz hodín geometrie si nenárokuje na teoretickú úplnosť, je zameraný na riešenie praktických problémov. Do svojich prednášok zaradím len to, čo je z môjho pohľadu dôležité z praktického hľadiska. Ak potrebujete úplnejšiu referenciu o ktorejkoľvek podsekcii, odporúčam nasledujúcu celkom dostupnú literatúru:

1) Vec, ktorú, bez vtipu, pozná niekoľko generácií: Školská učebnica geometrie, autori - L.S. Atanasyan and Company. Tento vešiak do školskej šatne vydržal už 20 (!) reedícií, čo, samozrejme, nie je limit.

2) Geometria v 2 zväzkoch. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Toto je literatúra pre vyššie vzdelanie, ktorú budete potrebovať prvý zväzok. Zriedkavo sa vyskytujúce úlohy môžu vypadnúť z môjho zorného poľa a tutoriál bude neoceniteľnou pomocou.

Obe knihy sú na stiahnutie zadarmo online. Okrem toho môžete využiť môj archív s hotovými riešeniami, ktoré nájdete na stránke Stiahnite si príklady z vyššej matematiky.

Z nástrojov opäť ponúkam vlastný vývoj - softvérový balík na analytickú geometriu, čo výrazne zjednoduší život a ušetrí veľa času.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná základné geometrické pojmy a útvary: bod, čiara, rovina, trojuholník, rovnobežník, kváder, kocka atď. Je vhodné zapamätať si niektoré vety, aspoň Pytagorovu vetu, ahoj opakovače)

A teraz postupne zvážime: koncept vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice. Ďalej odporúčam prečítať najdôležitejší článok Bodový súčin vektorov, ako aj Vektorový a zmiešaný súčin vektorov. Miestna úloha nebude zbytočná - Rozdelenie segmentu v tomto ohľade. Na základe vyššie uvedených informácií môžete rovnica priamky v rovine s najjednoduchšie príklady riešení, čo umožní naučiť sa riešiť problémy v geometrii. Nasledujúce články sú tiež užitočné: Rovnica roviny v priestore, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine, ostatné úseky analytickej geometrie. Prirodzene, štandardné úlohy sa budú brať do úvahy.

Koncept vektora. voľný vektor

Najprv si zopakujme školskú definíciu vektora. Vektor volal riadený segment, pre ktorý je uvedený jeho začiatok a koniec:

V tomto prípade je začiatok segmentu bod , koniec segmentu bod . Samotný vektor je označený . Smer je nevyhnutné, ak preusporiadate šípku na druhý koniec segmentu, získate vektor, a to už je úplne iný vektor. Je vhodné stotožniť pojem vektor s pohybom fyzického tela: musíte priznať, že vstup do dverí ústavu alebo odchod z dverí ústavu sú úplne iné veci.

Je vhodné uvažovať jednotlivé body roviny, priestoru ako tzv nulový vektor. Takýto vektor má rovnaký koniec a začiatok.

!!! Poznámka: Tu a nižšie môžete predpokladať, že vektory ležia v rovnakej rovine alebo môžete predpokladať, že sú umiestnené v priestore - podstata prezentovaného materiálu platí pre rovinu aj priestor.

Označenia: Mnohí hneď upozorňovali na palicu bez šípu v označení a povedali, že na vrch dali aj šíp! Presne tak, šípkou môžete napísať: , ale prípustné a záznam, ktorý použijem neskôr. prečo? Zrejme sa takýto zvyk vyvinul z praktických úvah, moje strieľačky na škole a univerzite sa ukázali byť príliš rôznorodé a strapaté. Vo vzdelávacej literatúre sa niekedy vôbec neobťažujú klinovým písmom, ale zvýraznia písmená tučným písmom: , čím naznačujú, že ide o vektor.

To bol štýl a teraz o spôsoboch písania vektorov:

1) Vektory je možné písať dvoma veľkými latinskými písmenami:
a tak ďalej. Kým prvé písmeno nevyhnutne označuje začiatočný bod vektora a druhé písmeno označuje koncový bod vektora.

2) Vektory sa tiež píšu malými latinskými písmenami:
Najmä náš vektor môže byť pre stručnosť preznačený malým latinským písmenom .

Dĺžka alebo modul nenulový vektor sa nazýva dĺžka segmentu. Dĺžka nulového vektora je nula. Logicky.

Dĺžka vektora je označená znamienkom modulo: ,

Ako zistiť dĺžku vektora, sa naučíme (alebo zopakujeme, pre koho ako) o niečo neskôr.

To bola základná informácia o vektore, známa všetkým školákom. V analytickej geometrii tzv voľný vektor.

Ak je to celkom jednoduché - vektor je možné nakresliť z ľubovoľného bodu:

Takéto vektory sme zvykli nazývať rovnocenné (definícia rovnakých vektorov bude uvedená nižšie), ale z čisto matematického hľadiska ide o ROVNAKÝ VEKTOR resp. voľný vektor. Prečo zadarmo? Pretože v priebehu riešenia problémov môžete „pripojiť“ jeden alebo druhý vektor k AKÝKOĽVEK bodu roviny alebo priestoru, ktorý potrebujete. Toto je veľmi cool nehnuteľnosť! Predstavte si vektor ľubovoľnej dĺžky a smeru – dá sa „klonovať“ nekonečne veľakrát a v akomkoľvek bode priestoru v skutočnosti existuje VŠADE. Existuje také študentské príslovie: Každý lektor v f ** u vo vektore. Koniec koncov, nie je to len vtipná riekanka, všetko je matematicky správne - dá sa tam pripojiť aj vektor. Ale neponáhľajte sa radovať, študenti sami trpia častejšie =)

takže, voľný vektor- toto je veľa identické smerové segmenty. Školská definícia vektora uvedená na začiatku odseku: „Smerovaný segment sa nazýva vektor ...“, znamená konkrétne smerovaný segment prevzatý z danej množiny, ktorý je pripevnený k určitému bodu v rovine alebo priestore.

Treba poznamenať, že z hľadiska fyziky je koncept voľného vektora vo všeobecnosti nesprávny a na mieste použitia vektora záleží. Skutočne, priamy úder rovnakej sily do nosa alebo do čela stačí na to, aby som rozvinul môj hlúpy príklad, má rôzne následky. však nie zadarmo vektory sa nachadzaju aj v priebehu vyshmatu (tam nechoďte :)).

Akcie s vektormi. Kolinearita vektorov

V kurze školskej geometrie sa zvažuje množstvo akcií a pravidiel s vektormi: sčítanie podľa pravidla trojuholníka, sčítanie podľa pravidla rovnobežníka, pravidlo o rozdiele vektorov, násobenie vektora číslom, skalárny súčin vektorov atď. Ako základ zopakujeme dve pravidlá, ktoré sú obzvlášť dôležité pre riešenie problémov analytickej geometrie.

Pravidlo sčítania vektorov podľa pravidla trojuholníkov

Zvážte dva ľubovoľné nenulové vektory a:

Je potrebné nájsť súčet týchto vektorov. Vzhľadom k tomu, že všetky vektory sú považované za voľné, odkladáme vektor z koniec vektor:

Súčet vektorov je vektor . Pre lepšie pochopenie pravidla je vhodné dať mu fyzikálny význam: nech nejaké telo urobí cestu pozdĺž vektora a potom pozdĺž vektora . Potom súčet vektorov je vektorom výslednej dráhy začínajúcej v mieste štartu a končiacej v mieste príchodu. Podobné pravidlo je formulované pre súčet ľubovoľného počtu vektorov. Ako sa hovorí, telo môže ísť svojou cestou silne cik-cak, alebo možno na autopilota - pozdĺž výsledného súčtového vektora.

Mimochodom, ak je vektor odložený z začať vector , potom dostaneme ekvivalent paralelogramové pravidlo pridávanie vektorov.

Najprv o kolinearite vektorov. Tieto dva vektory sa nazývajú kolineárne ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Zhruba povedané, hovoríme o paralelných vektoroch. Ale vo vzťahu k nim sa vždy používa prívlastok „kolineárny“.

Predstavte si dva kolineárne vektory. Ak sú šípky týchto vektorov nasmerované rovnakým smerom, potom sa takéto vektory nazývajú spolusmerný. Ak šípky vyzerajú v rôznych smeroch, potom budú vektory opačne smerované.

Označenia: kolinearita vektorov sa zapisuje obvyklou ikonou rovnobežnosti: , pričom je možné detailovať: (vektory sú smerované spolu) alebo (vektory smerujú opačne).

práca nenulového vektora číslom je vektor, ktorého dĺžka sa rovná , a vektory a sú nasmerované na a opačne na .

Pravidlo pre násobenie vektora číslom je ľahšie pochopiteľné s obrázkom:

Rozumieme podrobnejšie:

1) Smer. Ak je násobiteľ záporný, potom vektor mení smer k opaku.

2) Dĺžka. Ak je faktor obsiahnutý v alebo , potom dĺžka vektora klesá. Dĺžka vektora je teda dvakrát menšia ako dĺžka vektora . Ak je modulo multiplikátor väčší ako jedna, potom dĺžka vektora zvyšuje na čas.

3) Vezmite prosím na vedomie všetky vektory sú kolineárne, zatiaľ čo jeden vektor je vyjadrený prostredníctvom iného, ​​napríklad . Platí to aj naopak: ak jeden vektor môže byť vyjadrený v termínoch iného, ​​potom sú takéto vektory nevyhnutne kolineárne. Touto cestou: ak vynásobíme vektor číslom, dostaneme kolineárny(v porovnaní s originálom) vektor.

4) Vektory sú kosmerné. Vektory a sú tiež kosmerné. Ktorýkoľvek vektor z prvej skupiny je opačný ako ktorýkoľvek vektor z druhej skupiny.

Aké vektory sú rovnaké?

Dva vektory sú rovnaké, ak sú kosmerné a majú rovnakú dĺžku. Všimnite si, že spoločný smer znamená, že vektory sú kolineárne. Definícia bude nepresná (nadbytočná), ak poviete: "Dva vektory sú si rovné, ak sú kolineárne, spolu nasmerované a majú rovnakú dĺžku."

Z hľadiska konceptu voľného vektora sú rovnaké vektory tým istým vektorom, o ktorom sme už hovorili v predchádzajúcom odseku.

Vektorové súradnice v rovine a vo vesmíre

Prvým bodom je zvážiť vektory v rovine. Nakreslite kartézsky pravouhlý súradnicový systém a odložte ho od začiatku slobodný vektory a:

Vektory a ortogonálne. Ortogonálny = kolmý. Odporúčam pomaly si zvykať na pojmy: namiesto rovnobežnosti a kolmosti používame slová resp kolinearita a ortogonality.

Označenie: ortogonalita vektorov sa zapisuje obvyklým kolmým znamienkom, napríklad: .

Uvažované vektory sú tzv súradnicové vektory alebo orts. Tieto vektory sa tvoria základ na povrchu. Čo je základ, je myslím mnohým intuitívne jasné, podrobnejšie informácie nájdete v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ.Jednoducho povedané, základ a pôvod súradníc definujú celý systém - to je akýsi základ, na ktorom vrie plnohodnotný a bohatý geometrický život.

Niekedy sa vybudovaný základ tzv ortonormálny základ roviny: "orto" - pretože súradnicové vektory sú ortogonálne, prídavné meno "normalizovaný" znamená jednotku, t.j. dĺžky základných vektorov sú rovné jednej.

Označenie: základ sa zvyčajne píše v zátvorke, vnútri ktorej v prísnom poradí základné vektory sú uvedené, napríklad: . Súradnicové vektory je zakázané vymeniť miesta.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta vyjadrené ako:
, kde - čísla, ktoré sú tzv vektorové súradnice v tomto základe. Ale samotný výraz volal vektorový rozkladzáklad .

Podávaná večera:

Začnime prvým písmenom abecedy: . Výkres jasne ukazuje, že pri rozklade vektora z hľadiska základu sa používajú práve uvažované:
1) pravidlo násobenia vektora číslom: a ;
2) sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka: .

Teraz mentálne odložte vektor z akéhokoľvek iného bodu v rovine. Je celkom zrejmé, že jeho korupcia ho „neúnavne prenasleduje“. Tu je, sloboda vektora - vektor "nesie všetko so sebou." Táto vlastnosť samozrejme platí pre akýkoľvek vektor. Je vtipné, že samotné základné (voľné) vektory nemusia byť vyčlenené z počiatku, jeden môže byť nakreslený napríklad vľavo dole a druhý vpravo hore a na tomto sa nič nezmení! Je pravda, že to nemusíte robiť, pretože učiteľ tiež ukáže originalitu a na neočakávanom mieste vám nakreslí „priechod“.

Vektory , presne ilustrujú pravidlo pre násobenie vektora číslom, vektor je smerovaný spolu so základným vektorom , vektor smeruje opačne k základnému vektoru . Pre tieto vektory sa jedna zo súradníc rovná nule, dá sa dôsledne zapísať takto:


A základné vektory, mimochodom, sú takéto: (v skutočnosti sú vyjadrené cez seba).

A nakoniec: , . Mimochodom, čo je to vektorové odčítanie a prečo som vám nepovedal o pravidle odčítania? Niekde v lineárnej algebre, už si nepamätám kde, som poznamenal, že odčítanie je špeciálny prípad sčítania. Takže expanzie vektorov "de" a "e" sú pokojne napísané ako súčet: . Usporiadajte termíny na miestach a sledujte nákres, ako jasne v týchto situáciách funguje staré dobré sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka.

Uvažovaný rozklad formy niekedy nazývaný vektorový rozklad v systéme ort(t. j. v sústave jednotkových vektorov). Toto však nie je jediný spôsob, ako napísať vektor, bežná je nasledujúca možnosť:

Alebo so znamienkom rovná sa:

Samotné vektory bázy sú zapísané takto: a

To znamená, že súradnice vektora sú uvedené v zátvorkách. V praktických úlohách sa využívajú všetky tri možnosti záznamu.

Pochyboval som, či mám hovoriť, ale aj tak poviem: vektorové súradnice nie je možné preusporiadať. Prísne na prvom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru, striktne na druhom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru. Vskutku, a sú dva rôzne vektory.

Zistili sme súradnice v lietadle. Teraz zvážte vektory v trojrozmernom priestore, všetko je tu takmer rovnaké! Pridá sa už len jedna súradnica. Je ťažké vykonávať trojrozmerné kresby, takže sa obmedzím na jeden vektor, ktorý pre jednoduchosť odložím od pôvodu:

akýkoľvek 3D priestorový vektor jediná cesta expandovať na ortonormálnom základe:
, kde sú súradnice vektora (čísla) v danom základe.

Príklad z obrázku: . Pozrime sa, ako tu fungujú pravidlá vektorovej akcie. Najprv vynásobte vektor číslom: (červená šípka), (zelená šípka) a (purpurová šípka). Po druhé, tu je príklad sčítania niekoľkých, v tomto prípade troch, vektorov: . Vektor súčtu začína v počiatočnom bode odchodu (začiatok vektora ) a končí v konečnom bode príchodu (koniec vektora ).

Všetky vektory trojrozmerného priestoru sú, samozrejme, tiež voľné, skúste mentálne odložiť vektor z akéhokoľvek iného bodu a pochopíte, že jeho expanzia „zostáva s ním“.

Podobne ako v prípade lietadla, okrem písania verzie so zátvorkami sú široko používané: buď .

Ak v expanzii chýba jeden (alebo dva) súradnicové vektory, namiesto toho sa vložia nuly. Príklady:
vektor (starostlivo ) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo ) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo ) – zapíšte si .

Bázové vektory sú zapísané takto:

Tu sú snáď všetky minimálne teoretické znalosti potrebné na riešenie problémov analytickej geometrie. Možno je tam príliš veľa pojmov a definícií, preto odporúčam figurínom, aby si tieto informácie znova prečítali a porozumeli im. A pre každého čitateľa bude užitočné z času na čas odkázať na základnú lekciu, aby si materiál lepšie osvojil. Kolinearita, ortogonalita, ortonormálna báza, vektorová dekompozícia – tieto a ďalšie pojmy budú často používané v nasledujúcom texte. Poznamenávam, že materiály stránky nestačia na absolvovanie teoretického testu, kolokvia o geometrii, pretože všetky vety (okrem bez dôkazov) starostlivo kódujem - na úkor vedeckého štýlu prezentácie, ale plus pre vaše pochopenie predmetu. Pre podrobné teoretické informácie vás žiadam, aby ste sa poklonili profesorovi Atanasyanovi.

Teraz prejdime k praktickej časti:

Najjednoduchšie problémy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súradniciach

Úlohy, ktoré sa budú posudzovať, je veľmi žiaduce naučiť sa ich riešiť úplne automaticky a vzorce zapamätať si, naschvál si to ani nepamätajte, zapamätajú si to sami =) Je to veľmi dôležité, keďže ostatné úlohy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších elementárnych príkladoch a bude otravné tráviť čas navyše jedením pešiakov. Na košeli si nemusíte zapínať vrchné gombíky, veľa vecí poznáte zo školy.

Prezentácia materiálu bude mať paralelný priebeh – pre rovinu aj pre vesmír. Z toho dôvodu, že všetky vzorce ... uvidíte sami.

Ako nájsť vektor daný dvoma bodmi?

Ak sú zadané dva body roviny a, potom má vektor tieto súradnice:

Ak sú dané dva body v priestore a, potom má vektor tieto súradnice:

teda zo súradníc konca vektora musíte odpočítať príslušné súradnice vektorový štart.

Cvičenie: Pre rovnaké body si zapíšte vzorce na nájdenie súradníc vektora. Vzorce na konci lekcie.

Príklad 1

Vzhľadom na dva body v rovine a . Nájdite vektorové súradnice

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

Alternatívne je možné použiť nasledujúci zápis:

Estéti sa rozhodnú takto:

Osobne som zvyknutý na prvú verziu platne.

odpoveď:

Podľa podmienky nebolo potrebné zostaviť výkres (čo je typické pre problémy analytickej geometrie), ale aby som vysvetlil niektoré body figurínom, nebudem príliš lenivý:

Treba pochopiť rozdiel medzi bodovými súradnicami a vektorovými súradnicami:

Súradnice bodu sú obvyklé súradnice v pravouhlom súradnicovom systéme. Myslím, že každý vie, ako zakresliť body na súradnicovej rovine, od 5. do 6. ročníka. Každý bod má v rovine prísne miesto a nemožno ho nikam posunúť.

Súradnice rovnakého vektora je jeho rozšírenie vzhľadom na základ , v tomto prípade . Akýkoľvek vektor je voľný, preto ho v prípade potreby môžeme ľahko odložiť z iného bodu v rovine. Zaujímavé je, že pre vektory nemôžete vôbec postaviť osi, pravouhlý súradnicový systém, potrebujete iba základňu, v tomto prípade ortonormálnu základňu roviny.

Záznamy súradníc bodov a vektorových súradníc sa zdajú byť podobné: , a zmysel súradníc absolútne rôzne a mali by ste si byť dobre vedomí tohto rozdielu. Tento rozdiel samozrejme platí aj pre priestor.

Dámy a páni, plníme si ruky:

Príklad 2

a) Dané body a . Nájdite vektory a .
b) Prideľujú sa body a . Nájdite vektory a .
c) Dané body a . Nájdite vektory a .
d) Prideľujú sa body. Nájdite vektory .

Možno dosť. Toto sú príklady na samostatné rozhodnutie, snažte sa ich nezanedbávať, oplatí sa to ;-). Výkresy sa nevyžadujú. Riešenia a odpovede na konci hodiny.

Čo je dôležité pri riešení úloh analytickej geometrie? Je dôležité byť VEĽMI OPATRNÝ, aby ste sa vyhli majstrovskej chybe „dva plus dva sa rovná nule“. Vopred sa ospravedlňujem ak som sa pomýlil =)

Ako zistiť dĺžku segmentu?

Dĺžka, ako už bolo uvedené, je označená znamienkom modulu.

Ak sú zadané dva body roviny a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Ak sú zadané dva body v priestore a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Poznámka: Vzorce zostanú správne, ak sa vymenia zodpovedajúce súradnice: a , ale prvá možnosť je štandardnejšia

Príklad 3

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Pre prehľadnosť urobím nákres

Segment čiary - nie je to vektor, a nemôžete ho nikam posunúť, samozrejme. Okrem toho, ak dokončíte výkres v mierke: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dve tetradové bunky), potom je možné odpoveď skontrolovať pomocou bežného pravítka priamym meraním dĺžky segmentu.

Áno, riešenie je krátke, ale je v ňom niekoľko dôležitých bodov, ktoré by som rád objasnil:

Najprv v odpovedi nastavíme rozmer: „jednotky“. Podmienka nehovorí, ČO to je, milimetre, centimetre, metre alebo kilometre. Preto bude všeobecná formulácia matematicky kompetentným riešením: „jednotky“ - skrátene „jednotky“.

Po druhé, zopakujme si školský materiál, ktorý je užitočný nielen pre uvažovaný problém:

dávaj pozor na dôležitý technický trik – vyberanie multiplikátora spod koreňa. Ako výsledok výpočtov sme dostali výsledok a dobrý matematický štýl zahŕňa vybratie násobiteľa spod koreňa (ak je to možné). Proces vyzerá podrobnejšie takto: . Samozrejme, že ponechanie odpovede vo formulári nebude chybou - ale určite je to chyba a vážny argument na hnidopišstvo zo strany učiteľa.

Tu sú ďalšie bežné prípady:

Často sa pod koreňom získa dostatočne veľký počet napr. Ako byť v takýchto prípadoch? Na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné 4:. Áno, úplne rozdeliť, takto: . Alebo možno číslo možno opäť vydeliť 4? . Touto cestou: . Posledná číslica čísla je nepárna, takže delenie 4 tretíkrát zjavne nie je možné. Skús deliť deviatimi: . Ako výsledok:
Pripravený.

Záver: ak pod odmocninou dostaneme úplne neextrahovateľné číslo, tak sa pokúsime vybrať faktor spod odmocniny - na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atď.

Pri riešení rôznych problémov sa často nachádzajú korene, vždy sa snažte vytiahnuť faktory spod koreňa, aby ste sa vyhli nižšiemu skóre a zbytočným problémom s finalizáciou riešení podľa poznámky učiteľa.

Zopakujme súčasne kvadratúru odmocnín a ostatných mocnín:

Pravidlá pre úkony so stupňami vo všeobecnej forme možno nájsť v školskej učebnici algebry, ale myslím si, že všetko alebo takmer všetko je už jasné z uvedených príkladov.

Úloha pre nezávislé riešenie so segmentom v priestore:

Príklad 4

Dané body a . Nájdite dĺžku segmentu.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako zistiť dĺžku vektora?

Ak je daný rovinný vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca.

Ak je daný priestorový vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca .