Aby sme pochopili, ako zmenšiť zlomky, pozrime sa najprv na jeden príklad.

Zmenšiť zlomok znamená vydeliť čitateľa a menovateľa rovnakým dielom. 360 aj 420 končia číslom, preto môžeme tento zlomok zmenšiť o 2. V novom zlomku sú 180 aj 210 deliteľné 2, tento zlomok zmenšíme 2. V číslach 90 a 105 je súčet číslice sú deliteľné 3, teda obe tieto čísla sú deliteľné 3, zlomok zmenšíme o 3. V novom zlomku 30 a 35 končia na 0 a 5, čo znamená, že obe čísla sú deliteľné 5, teda zmenšujeme zlomok o 5. Výsledný zlomok, šesť sedmín, je neredukovateľný. Toto je konečná odpoveď.

K rovnakej odpovedi môžeme dospieť aj iným spôsobom.

360 aj 420 končia nulou, čo znamená, že sú deliteľné 10. Zlomok znížime o 10. V novom zlomku sa čitateľ 36 aj menovateľ 42 delia 2. Zlomok znížime 2. V ďalší zlomok, čitateľ 18 aj menovateľ 21 sú delené 3, čo znamená, že zlomok zmenšujeme o 3. Došli sme k výsledku - šesť septim.

A ešte jedno riešenie.

Nabudúce zvážime príklady redukcie zlomkov.

V tomto článku sa pozrieme na základné operácie s algebraickými zlomkami:

• redukcia frakcií
• násobenie zlomkov
• delenie zlomkov

Začnime s skratky algebraických zlomkov.

Zdalo by sa, algoritmu zrejmé.

Komu znížiť algebraické zlomky, potreba

1. Rozlož čitateľa a menovateľa zlomku na faktor.

2. Znížte rovnaké multiplikátory.

Školáci však často robia chybu, že „redukujú“ nie faktory, ale pojmy. Napríklad sú amatéri, ktorí sa „znižujú“ o zlomky a dostávajú sa ako výsledok, čo, samozrejme, nie je pravda.

Zvážte príklady:

1. Znížiť zlomok:

1. Čitateľa rozkladáme podľa vzorca druhej mocniny súčtu a menovateľa podľa vzorca rozdielu druhých mocnín.

2. Čitateľa a menovateľa vydeľte

2. Znížiť zlomok:

1. Rozložte čitateľa na faktor. Keďže čitateľ obsahuje štyri pojmy, použijeme zoskupenie.

2. Zvážte menovateľa. To isté platí pre zoskupovanie.

3. Zapíšme si zlomok, ktorý sme dostali, a zredukujeme rovnaké faktory:

Násobenie algebraických zlomkov.

Pri násobení algebraických zlomkov násobíme čitateľa čitateľom a menovateľa násobíme menovateľom.

Dôležité! Nie je potrebné sa ponáhľať, aby ste vykonali násobenie v čitateli a menovateli zlomku. Potom, čo sme zapísali súčin čitateľov zlomkov do čitateľa a súčin menovateľov do menovateľa, musíme rozdeliť každý faktor a zlomok zmenšiť.

Zvážte príklady:

3. Zjednodušte výraz:

1. Napíšme súčin zlomkov: v čitateli súčin čitateľov a v menovateli súčin menovatelov:

2. Každú zátvorku rozkladáme na faktor:

Teraz musíme znížiť rovnaké multiplikátory. Všimnite si, že výrazy a sa líšia iba znamienkom: a ako výsledok vydelenia prvého výrazu druhým dostaneme -1.

takže,

Delenie algebraických zlomkov vykonávame podľa nasledujúceho pravidla:

Teda Ak chcete deliť zlomkom, musíte vynásobiť "prevráteným".

Vidíme, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie, a násobenie sa v konečnom dôsledku scvrkáva na redukciu zlomkov.

Zvážte príklad:

4. Zjednodušte výraz:

Algebraické zlomky sa na prvý pohľad zdajú veľmi komplikované a nepripravenému študentovi sa môže zdať, že sa s nimi nedá nič robiť. Hromadenie premenných, čísel a dokonca síl vzbudzuje strach. Rovnaké pravidlá sa však používajú na redukciu zlomkov (napríklad 15/25) a algebraických zlomkov.

Kroky

Zníženie frakcií

Naučte sa pracovať s jednoduchými zlomkami. Operácie s obyčajnými a algebraickými zlomkami sú podobné. Vezmime si napríklad zlomok 15/35. Aby sme tento zlomok zjednodušili, nájsť spoločného deliteľa. Obidve čísla sú deliteľné piatimi, takže v čitateli a menovateli môžeme extrahovať 5:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Teraz môžeš znížiť spoločné faktory, teda prečiarknite 5 v čitateli a menovateli. V dôsledku toho dostaneme zjednodušený zlomok 3/7 . V algebraických výrazoch sa spoločné faktory rozlišujú rovnakým spôsobom ako v bežných. V predchádzajúcom príklade sme dokázali jednoducho vytiahnuť 5 z 15 – rovnaký princíp platí aj pre zložitejšie výrazy ako 15x – 5. Poďme nájsť spoločný faktor. V tomto prípade to bude 5, keďže oba členy (15x a -5) sú deliteľné 5. Tak ako predtým, vyberieme spoločný činiteľ a prenesieme ho doľava.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Ak chcete skontrolovať, či je všetko správne, stačí vynásobiť výraz v zátvorkách 5 - výsledkom budú rovnaké čísla, ktoré boli na začiatku. Zložité pojmy možno rozlíšiť rovnakým spôsobom ako jednoduché. Pre algebraické zlomky platia rovnaké princípy ako pre obyčajné zlomky. Toto je najjednoduchší spôsob, ako znížiť zlomok. Zvážte nasledujúci zlomok:

(x+2) (x-3)(x+2) (x+10)

Všimnite si, že čitateľ (hore) aj menovateľ (dole) majú člen (x+2), takže ho možno zmenšiť rovnakým spôsobom ako spoločný faktor 5 v 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Výsledkom je zjednodušený výraz: (x-3)/(x+10)

Redukcia algebraických zlomkov

Nájdite spoločný činiteľ v čitateli, teda v hornej časti zlomku. Pri redukcii algebraického zlomku je prvým krokom zjednodušenie oboch jeho častí. Začnite s čitateľom a snažte sa ho zahrnúť do čo najväčšieho počtu faktorov. Zvážte v tejto časti nasledujúci zlomok:

9x-3 15x+6

Začnime s čitateľom: 9x - 3. Pre 9x a -3 je spoločným činiteľom číslo 3. Zo zátvoriek vyberme 3, ako to robíme pri obyčajných číslach: 3 * (3x-1). V dôsledku tejto transformácie sa získa nasledujúci zlomok:

3 (3x-1) 15x+6

Nájdite spoločný činiteľ v čitateli. Pokračujme vo vykonávaní vyššie uvedeného príkladu a napíšme menovateľ: 15x+6. Ako predtým, zistíme, akým číslom sú obe časti deliteľné. A v tomto prípade je spoločný faktor 3, takže môžeme napísať: 3 * (5x +2). Prepíšme zlomok v nasledujúcom tvare:

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Znížte rovnaké výrazy. V tomto kroku môžete zlomok zjednodušiť. Zrušte rovnaké pojmy v čitateli a menovateli. V našom príklade je toto číslo 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Určite, že zlomok má najjednoduchší tvar. Zlomok je úplne zjednodušený, ak v čitateli a menovateli nezostali žiadne spoločné faktory. Všimnite si, že nemôžete skrátiť tie výrazy, ktoré sú v zátvorkách - vo vyššie uvedenom príklade neexistuje spôsob, ako extrahovať x z 3x a 5x, pretože (3x -1) a (5x + 2) sú plnohodnotnými členmi. Zlomok teda nie je možné ďalej zjednodušovať a konečná odpoveď je nasledovná:

(3x-1)(5x+2)

Precvičte si redukciu zlomkov sami. Najlepší spôsob, ako sa naučiť metódu, je riešiť problémy svojpomocne. Správne odpovede sú uvedené pod príkladmi.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

odpoveď:(x=13)

2x 2-x 5x

odpoveď:(2x-1)/5

Špeciálne pohyby

Presuňte záporné znamienko mimo zlomku. Predpokladajme, že dostaneme nasledujúci zlomok:

3 (x-4) 5 (4x)

Všimnite si, že (x-4) a (4-x) sú „takmer“ totožné, ale nemožno ich úplne zrušiť, pretože sú „prevrátené“. Avšak (x - 4) môže byť zapísané ako -1 * (4 - x), rovnako ako (4 + 2x) môže byť zapísané ako 2 * (2 + x). Toto sa nazýva „obrátenie znamienka“.

-1*3 (4-x) 5 (4x)

Teraz môžete znížiť rovnaké výrazy (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Takže tu je konečná odpoveď: -3/5 . Naučte sa rozoznávať rozdiel medzi štvorcami. Rozdiel druhých mocnín je, keď sa druhá mocnina jedného čísla odčíta od druhej mocniny iného čísla, ako vo výraze (a 2 - b 2). Rozdiel dokonalých štvorcov sa dá vždy rozložiť na dve časti – súčet a rozdiel zodpovedajúcich odmocnín. Potom bude mať výraz nasledujúcu formu:

A2 - b2 = (a+b)(a-b)

Tento trik je veľmi užitočný pri hľadaní bežných pojmov v algebraických zlomkoch.

• Skontrolujte, či ste správne zahrnuli tento alebo ten výraz. Ak to chcete urobiť, vynásobte faktory - výsledkom by mal byť rovnaký výraz.
• Ak chcete zlomok úplne zjednodušiť, vždy vyberte najväčšie faktory.

divízie a čitateľ a menovateľ zlomku na ich spoločný deliteľ, čo sa líši od jednoty, sa nazýva redukcia frakcií.

Ak chcete zmenšiť spoločný zlomok, musíte rozdeliť jeho čitateľa a menovateľa rovnakým prirodzeným číslom.

Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čitateľa a menovateľa daného zlomku.

Možné sú nasledovné formuláre záznamu rozhodnutí Príklady redukcie obyčajných zlomkov.

Študent má právo zvoliť si akúkoľvek formu záznamu.

Príklady. Zjednodušte zlomky.

Zredukujte zlomok o 3 (vydeľte čitateľa 3;

vydeľte menovateľa 3).

Zlomok znížime o 7.

Uvedené úkony vykonávame v čitateli a menovateli zlomku.

Výsledná frakcia sa zníži o 5.

Znížime tento zlomok 4) na 5 7³- najväčší spoločný deliteľ (GCD) čitateľa a menovateľa, ktorý pozostáva zo spoločných faktorov čitateľa a menovateľa umocnených najmenším exponentom.

Rozložme čitateľa a menovateľa tohto zlomku na jednoduché faktory.

Dostaneme: 756=2² 3³ 7 a 1176=2³ 3 7².

Určite GCD (najväčší spoločný deliteľ) čitateľa a menovateľa zlomku 5) .

Toto je súčin spoločných faktorov braných s najmenšími exponentmi.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Čitateľa a menovateľa tohto zlomku delíme ich GCD, teda o 2² 3 7 dostaneme neredukovateľný zlomok 9/14 .

A bolo možné napísať rozšírenia čitateľa a menovateľa ako súčin prvočísel bez použitia pojmu stupeň a potom zlomok zmenšiť prečiarknutím rovnakých faktorov v čitateli a menovateli. Ak nezostali žiadne rovnaké faktory, vynásobíme zostávajúce faktory osobitne v čitateli a osobitne v menovateli a výsledný zlomok zapíšeme 9/14 .

A nakoniec bolo možné tento zlomok znížiť 5) postupne aplikovaním znakov delenia čísel na čitateľa aj menovateľa zlomku. Myslite takto: čísla 756 a 1176 končia párnym číslom, takže obe sú deliteľné 2 . Zlomok znížime o 2 . Čitateľ a menovateľ nového zlomku sú čísla 378 a 588 tiež rozdelené na 2 . Zlomok znížime o 2 . Všimli sme si, že číslo 294 - párne a 189 je nepárne a zníženie o 2 už nie je možné. Skontrolujeme znamienko deliteľnosti čísel 189 a 294 na 3 .

(1+8+9)=18 je deliteľné 3 a (2+9+4)=15 je deliteľné 3, teda samotné čísla 189 a 294 sa delia na 3 . Zlomok znížime o 3 . ďalej 63 je deliteľné 3 a 98 - Nie. Opakujte ostatné hlavné faktory. Obidve čísla sú deliteľné 7 . Zlomok znížime o 7 a získajte neredukovateľný zlomok 9/14 .

Na základe ich hlavnej vlastnosti: ak je čitateľ a menovateľ zlomku rozdelený rovnakým nenulovým polynómom, získa sa zlomok, ktorý sa mu rovná.

Môžete iba znížiť násobiteľov!

Členy polynómov nemožno zmenšiť!

Ak chcete znížiť algebraický zlomok, polynómy v čitateli a menovateli musia byť najprv faktorizované.

Zvážte príklady redukcie frakcií.

Čitateľ a menovateľ zlomku sú jednočlenné. Predstavujú práca(čísla, premenné a ich stupne), multiplikátory môžeme znížiť.

Čísla redukujeme o ich najväčšieho spoločného deliteľa, teda o najväčšie číslo, ktorým je každé z daných čísel deliteľné. Pre 24 a 36 je to 12. Po znížení z 24 zostávajú 2, z 36 - 3.

Stupne znížime o stupeň s najmenším ukazovateľom. Zmenšiť zlomok znamená deliť čitateľa a menovateľa rovnakým deliteľom a odčítať exponenty.

a² a a⁷ sa znížia o a². V čitateli od a² zároveň zostáva jedna (1 zapisujeme len vtedy, ak po zmenšení nezostali žiadne ďalšie faktory. Z 24 zostáva 2, takže 1 zostávajúcu z a² nepíšeme). Od a⁷ po redukcii zostáva a⁵.

b a b sa skracuje b, výsledné jednotky sa nepíšu.

c3º a c⁵ sú znížené o c⁵. Z c³º zostáva c²⁵, z c⁵ - jednotka (nepíšeme). Touto cestou,

Čitateľ a menovateľ tohto algebraického zlomku sú polynómy. Nie je možné zmenšiť členy polynómov! (nedá sa zmenšiť, napr. 8x² a 2x!). Na zníženie tejto frakcie je potrebné. Čitateľ má spoločný faktor 4x. Vyberme to zo zátvoriek:

Čitateľ aj menovateľ majú rovnaký faktor (2x-3). O tento faktor znížime zlomok. V čitateli sme dostali 4x, v menovateli 1. Podľa 1 vlastnosti algebraických zlomkov je zlomok 4x.

Môžete zmenšiť iba faktory (nedá sa zmenšiť daný zlomok o 25x²!). Preto musia byť polynómy v čitateli a menovateli zlomku faktorizované.

Čitateľ je celá druhá mocnina súčtu a menovateľ je rozdiel druhých mocnín. Po rozšírení o vzorce skráteného násobenia dostaneme:

Zlomok znížime o (5x + 1) (prečiarknite dvojku v čitateli ako exponent, z (5x + 1) ² nám zostane (5x + 1)):

Čitateľ má spoločný faktor 2, vyberme ho zo zátvoriek. V menovateli - vzorec pre rozdiel kociek:

V dôsledku rozšírenia v čitateli a menovateli sme dostali rovnaký faktor (9 + 3a + a²). Zredukujeme na ňom zlomok:

Polynóm v čitateli pozostáva zo 4 členov. prvý člen s druhým, tretí so štvrtým a z prvých zátvoriek vyberieme spoločný súčiniteľ x². Menovateľa rozložíme podľa vzorca pre súčet kociek:

V čitateli vyberáme zo zátvoriek spoločný činiteľ (x + 2):

Zlomok znížime o (x + 2):