Alergia

Všetky matematické modely sú nesprávne. Prednáška: Matematické modelovanie

Počítače pevne vstúpili do našich životov a prakticky neexistuje taká oblasť ľudskej činnosti, kde by sa počítače nepoužívali. Počítače sa dnes vo veľkej miere využívajú v procese tvorby a výskumu nových strojov, nových technologických postupov a hľadania ich optimálnych možností; pri riešení ekonomických problémov, pri riešení problémov plánovania a riadenia výroby na rôznych úrovniach. Vytváranie veľkých objektov v raketovej technike, stavbe lietadiel, lodiarstve, ako aj projektovanie priehrad, mostov atď., je vo všeobecnosti nemožné bez použitia počítačov.

Pre využitie počítača pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t.j. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Slovo „model“ pochádza z latinského modus (kópia, obrázok, obrys). Modelovanie je nahradenie niektorého objektu A iným objektom B. Nahradený objekt A sa nazýva pôvodný alebo modelovací objekt a náhrada B sa nazýva model. Inými slovami, model je objektová náhrada pôvodného objektu, ktorá poskytuje štúdium niektorých vlastností originálu.

Účelom modelovania je získavať, spracovávať, prezentovať a využívať informácie o objektoch, ktoré sa navzájom ovplyvňujú a s vonkajším prostredím; a model tu pôsobí ako prostriedok poznania vlastností a vzorcov správania sa objektu.

Matematické modelovanie je prostriedkom na štúdium skutočného objektu, procesu alebo systému ich nahradením matematickým modelom, ktorý je vhodnejší pre experimentálny výskum pomocou počítača.

Matematické modelovanie je proces vytvárania a štúdia matematických modelov reálnych procesov a javov. Všetky prírodné a spoločenské vedy, ktoré používajú matematický aparát, sa v podstate zaoberajú matematickým modelovaním: nahrádzajú skutočný objekt jeho modelom a potom ho študujú. Ako v prípade každej simulácie, ani matematický model úplne nepopisuje skúmaný jav a otázky o použiteľnosti takto získaných výsledkov sú veľmi zmysluplné. Matematický model je zjednodušený popis reality pomocou matematických pojmov.

Matematický model vyjadruje podstatné znaky objektu alebo procesu v reči rovníc a iných matematických prostriedkov. Prísne vzaté, samotná matematika vďačí za svoju existenciu tomu, čo sa snaží reflektovať, t.j. modelovať vo svojom vlastnom špecifickom jazyku vzory okolitého sveta.

O matematické modelovanieštúdium objektu sa uskutočňuje pomocou modelu formulovaného v jazyku matematiky s použitím určitých matematických metód.

Cesta matematického modelovania v našej dobe je oveľa komplexnejšia ako prirodzené modelovanie. Obrovský impulz pre rozvoj matematického modelovania dal nástup počítačov, hoci samotná metóda sa zrodila súčasne s matematikou pred tisíckami rokov.

Matematické modelovanie ako také nie vždy vyžaduje počítačovú podporu. Každý odborník, ktorý sa profesionálne venuje matematickému modelovaniu, robí všetko pre analytické štúdium modelu. Analytické riešenia (t. j. reprezentované vzorcami vyjadrujúcimi výsledky štúdie prostredníctvom počiatočných údajov) sú zvyčajne pohodlnejšie a informatívnejšie ako numerické. Možnosti analytických metód na riešenie zložitých matematických problémov sú však veľmi obmedzené a spravidla sú tieto metódy oveľa komplikovanejšie ako numerické.

Matematický model je približná reprezentácia skutočných objektov, procesov alebo systémov, vyjadrená v matematických pojmoch a zachovávajúca základné črty originálu. Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštrukcií popisujú hlavné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Všetky modely možno rozdeliť do dvoch tried:

reálny,
ideálne.

Na druhej strane, skutočné modely možno rozdeliť na:

prirodzené,
fyzický,
matematický.

Ideálne modely možno rozdeliť na:

vizuálne,
ikonický,
matematický.

Skutočné modely v plnom rozsahu sú skutočné objekty, procesy a systémy, na ktorých sa vykonávajú vedecké, technické a priemyselné experimenty.

Skutočné fyzikálne modely sú makety, modely, ktoré reprodukujú fyzikálne vlastnosti originálov (kinematické, dynamické, hydraulické, tepelné, elektrické, svetelné modely).

Skutočné matematické modely sú analógové, štrukturálne, geometrické, grafické, digitálne a kybernetické modely.

Ideálne vizuálne modely sú diagramy, mapy, kresby, grafy, grafy, analógy, štrukturálne a geometrické modely.

Ideálne modely znakov sú symboly, abeceda, programovacie jazyky, usporiadaná notácia, topologická notácia, sieťová reprezentácia.

Ideálne matematické modely sú analytické, funkčné, simulačné, kombinované modely.

Vo vyššie uvedenej klasifikácii majú niektoré modely dvojitú interpretáciu (napríklad analóg). Všetky modely, okrem plnohodnotných, je možné kombinovať do jednej triedy mentálnych modelov, od r sú produktom abstraktného myslenia človeka.

Prvky teórie hier

Vo všeobecnom prípade je vyriešenie hry pomerne náročná úloha a zložitosť problému a množstvo výpočtov potrebných na vyriešenie sa prudko zvyšuje so zvyšujúcim sa . Tieto ťažkosti však nie sú zásadného charakteru a sú spojené len s veľmi veľkým objemom výpočtov, ktoré sa v mnohých prípadoch môžu ukázať ako prakticky nerealizovateľné. Základná stránka metódy hľadania riešenia zostáva pre každého jeden a ten istý.

Ukážme si to na príklade hry. Dajme tomu geometrický výklad – už priestorový. Naše tri stratégie znázorníme tromi bodmi na rovine ; prvá leží v počiatku (obr. 1). druhý a tretí - na osiach Oh a OU vo vzdialenostiach 1 od počiatku.

Osi I-I, II-II a III-III sú nakreslené bodmi kolmo na rovinu . Na osi I-I sú výnosy pre stratégiu vynesené na osiach II-II a III-III - výnosy pre stratégie. Stratégia každého nepriateľa bude reprezentovaná rovinou odrezanou na osiach I-I, II-II a III-III, segmenty sa rovnajú ziskom

s vhodnou stratégiou a stratégiou . Po zostrojení všetkých stratégií nepriateľa získame rodinu lietadiel nad trojuholníkom (obr. 2).

Pre túto rodinu je tiež možné zostrojiť dolnú hranicu výplaty, ako sme to urobili v tomto prípade, a nájsť na tejto hranici bod N s maximálnou výškou v rovine . Táto výška bude cenou hry.

Frekvencie stratégií v optimálnej stratégii budú určené súradnicami (x, y) body N, a to:

Takáto geometrická konštrukcia však ani pre prípad nie je jednoduchá na realizáciu a vyžaduje veľkú investíciu času a fantázie. Vo všeobecnom prípade hry sa však prenesie do -dimenzionálneho priestoru a stratí všetku prehľadnosť, hoci použitie geometrickej terminológie môže byť v niektorých prípadoch užitočné. Pri riešení hier v praxi je vhodnejšie používať nie geometrické analógie, ale výpočtové analytické metódy, najmä preto, že tieto metódy sú jediné vhodné na riešenie problémov na počítačoch.

Všetky tieto metódy sú v podstate redukované na riešenie problému postupnými pokusmi, ale zoradenie postupnosti pokusov vám umožňuje zostaviť algoritmus, ktorý vedie k riešeniu najhospodárnejším spôsobom.

Tu sa stručne zastavíme pri jednej výpočtovej metóde riešenia hier - na metóde takzvaného „lineárneho programovania“.

Aby sme to dosiahli, najprv uvedieme všeobecné vyhlásenie o probléme hľadania riešenia hry. Nech je hra daná t hráčske stratégie ALE a n hráčske stratégie AT a je daná výplatná matica

Je potrebné nájsť riešenie hry, t.j. dve optimálne zmiešané stratégie pre hráčov A a B

kde (niektoré z čísel a môže sa rovnať nule).

Naša optimálna stratégia S*A by nám mali poskytnúť odmenu nie nižšiu ako , za akékoľvek správanie nepriateľa, a odmenu rovnajúcu sa , za jeho optimálne správanie (stratégia S*B).Podobne stratégia S*B musí poskytnúť nepriateľovi stratu nie väčšiu ako , pre akékoľvek naše správanie a rovnajúcu sa pre naše optimálne správanie (stratégia S*A).

Hodnota hry v tomto prípade je nám neznáma; budeme predpokladať, že sa rovná nejakému kladnému číslu. Za predpokladu, že to neporušujeme všeobecnosť uvažovania; na to, aby bola > 0, zjavne postačuje, aby všetky prvky matice boli nezáporné. To sa dá vždy dosiahnuť pridaním dostatočne veľkej kladnej hodnoty L k prvkom, v tomto prípade sa náklady na hru zvýšia o L a riešenie sa nezmení.

Zvoľme si optimálnu stratégiu S* A. Potom sa naša priemerná odmena za súperovu stratégiu bude rovnať:

Naša optimálna stratégia S*A má vlastnosť, že za akékoľvek správanie protivníka poskytuje zisk nie menší ako ; preto žiadne z čísel nemôže byť menšie ako . Dostávame niekoľko podmienok:

(1)

Vydeľte nerovnosti (1) kladnou hodnotou a označte:

Potom podmienku (1) možno zapísať ako

(2)

kde sú nezáporné čísla. Pretože množstvá spĺňajú podmienku

Chceme, aby naše garantované víťazstvo bolo čo najvyššie; Je zrejmé, že v tomto prípade má pravá strana rovnosti (3) minimálnu hodnotu.

Problém nájdenia riešenia hry sa teda redukuje na nasledujúci matematický problém: definovať nezáporné veličiny splnenia podmienok (2), takže ich súčet

bol minimálny.

Zvyčajne sa pri riešení problémov súvisiacich s hľadaním extrémnych hodnôt (maximum a minimá) funkcia diferencuje a derivácie sa rovnajú nule. Takáto technika je však v tomto prípade zbytočná, pretože funkcia Ф, ktorá potrebu minimalizovať, je lineárny a jeho deriváty vzhľadom na všetky argumenty sú rovné jednej, t.j. nikde nemiznú. V dôsledku toho sa maximum funkcie dosiahne niekde na hranici oblasti zmeny argumentov, ktorá je určená požiadavkou nezápornosti argumentov a podmienok (2). Metóda zisťovania extrémnych hodnôt pomocou diferenciácie je nevhodná aj v tých prípadoch, keď je pre riešenie hry určené maximum dolnej (alebo minimálne hornej) hranice výplaty, ako sme to urobili my. robili to napríklad pri riešení hier, dolná hranica sa totiž skladá z úsekov priamok a maximum sa nedosiahne v bode, kde sa derivácia rovná nule (taký bod vôbec neexistuje), ale na hranici intervalu alebo v mieste priesečníka priamych úsekov.

Na riešenie takýchto problémov, ktoré sú v praxi celkom bežné, bol v matematike vyvinutý špeciálny prístroj. lineárne programovanie.

Problém lineárneho programovania je položený nasledovne.

Daný systém lineárnych rovníc:

(4)

Je potrebné nájsť nezáporné hodnoty veličín vyhovujúcich podmienkam (4) a zároveň minimalizovať danú homogénnu lineárnu funkciu veličín (lineárny tvar):

Je ľahké vidieť, že vyššie uvedený problém teórie hier je konkrétnym prípadom problému lineárneho programovania

Na prvý pohľad sa môže zdať, že podmienky (2) nie sú ekvivalentné s podmienkami (4), keďže namiesto znamienka rovnosti obsahujú znamienka nerovnosti. Znakov nerovností sa však dá ľahko zbaviť zavedením nových fiktívnych nezáporných premenných a zapisovaním podmienok (2) v tvare:

(5)

Tvar Ф, ktorý musí byť minimalizovaný, sa rovná

Lineárne programovacie zariadenie umožňuje pomocou relatívne malého počtu po sebe nasledujúcich vzoriek vybrať hodnoty , splnenie požiadaviek. Pre väčšiu názornosť si tu ukážeme využitie tohto aparátu priamo na materiáli riešenia konkrétnych hier.

V článku, ktorý sme vám dali do pozornosti, ponúkame príklady matematických modelov. Okrem toho budeme venovať pozornosť fázam vytvárania modelov a analyzovať niektoré problémy spojené s matematickým modelovaním.

Ďalšou našou otázkou sú matematické modely v ekonómii, ktorých príklady budeme uvažovať o definícii o niečo neskôr. Navrhujeme začať náš rozhovor samotným pojmom „model“, stručne zvážiť ich klasifikáciu a prejsť k našim hlavným otázkam.

Pojem "model"

Často počujeme slovo „modelka“. Čo je to? Tento pojem má veľa definícií, tu sú len tri z nich:

špecifický objekt, ktorý je vytvorený na prijímanie a uchovávanie informácií, odrážajúcich niektoré vlastnosti alebo charakteristiky, a tak ďalej, originálu tohto objektu (tento špecifický objekt môže byť vyjadrený v rôznych formách: mentálna, popis pomocou znakov atď.);
model znamená aj zobrazenie akejkoľvek konkrétnej situácie, života alebo riadenia;
malá kópia objektu môže slúžiť ako model (sú vytvorené pre podrobnejšie štúdium a analýzu, pretože model odráža štruktúru a vzťahy).

Na základe všetkého, čo bolo povedané skôr, môžeme vyvodiť malý záver: model vám umožňuje podrobne študovať zložitý systém alebo objekt.

Všetky modely možno klasifikovať podľa niekoľkých funkcií:

podľa oblasti použitia (vzdelávacie, experimentálne, vedecko-technické, herné, simulačné);
dynamikou (statickou a dynamickou);
podľa odvetvia vedomostí (fyzikálne, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
podľa spôsobu prezentácie (vecného a informačného).

Informačné modely sa zas delia na znakové a verbálne. A ikonické – na počítači aj mimo počítača. Teraz prejdime k podrobnému zváženiu príkladov matematického modelu.

Matematický model

Ako by ste mohli uhádnuť, matematický model odráža niektoré vlastnosti objektu alebo javu pomocou špeciálnych matematických symbolov. Matematika je potrebná na modelovanie zákonov sveta v jeho vlastnom špecifickom jazyku.

Metóda matematického modelovania vznikla pomerne dávno, pred tisíckami rokov, spolu s príchodom tejto vedy. Impulz k rozvoju tejto metódy modelovania však dal vzhľad počítačov (elektronických počítačov).

Teraz prejdime ku klasifikácii. Môže sa vykonávať aj podľa niektorých znakov. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Navrhujeme zastaviť sa a pozrieť sa bližšie na poslednú klasifikáciu, pretože odráža všeobecné vzorce modelovania a ciele vytváraných modelov.

Opisné modely

V tejto kapitole sa navrhujeme podrobnejšie venovať deskriptívnym matematickým modelom. Aby bolo všetko veľmi jasné, uvedieme príklad.

Na začiatok možno tento pohľad nazvať opisným. Je to spôsobené tým, že jednoducho robíme výpočty a prognózy, ale výsledok udalosti nemôžeme nijako ovplyvniť.

Pozoruhodným príkladom popisného matematického modelu je výpočet dráhy letu, rýchlosti, vzdialenosti od Zeme kométy, ktorá vtrhla do priestorov našej slnečnej sústavy. Tento model je popisný, keďže všetky získané výsledky nás môžu len varovať pred nejakým druhom nebezpečenstva. Výsledok akcie bohužiaľ nevieme ovplyvniť. Na základe získaných výpočtov je však možné prijať akékoľvek opatrenia na zachovanie života na Zemi.

Optimalizačné modely

Teraz si povieme niečo o ekonomických a matematických modeloch, ktorých príkladmi môžu byť rôzne situácie. V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré pomáhajú nájsť správnu odpoveď v určitých podmienkach. Musia mať nejaké parametre. Aby to bolo úplne jasné, zvážte príklad z agrárnej časti.

Máme sýpku, ale obilie sa veľmi rýchlo kazí. V tomto prípade musíme zvoliť správny teplotný režim a optimalizovať proces skladovania.

Môžeme teda definovať pojem „model optimalizácie“. V matematickom zmysle ide o sústavu rovníc (lineárnych aj nie), ktorých riešenie pomáha nájsť optimálne riešenie v konkrétnej ekonomickej situácii. Uvažovali sme o príklade matematického modelu (optimalizácie), ale rád by som dodal ešte jednu vec: tento typ patrí do triedy extrémnych problémov, pomáhajú opísať fungovanie ekonomického systému.

Všimli sme si ešte jednu nuanciu: modely môžu mať inú povahu (pozri tabuľku nižšie).

Multikriteriálne modely

Teraz vás pozývame, aby ste sa trochu porozprávali o matematickom modeli multicieľovej optimalizácie. Predtým sme uviedli príklad matematického modelu na optimalizáciu procesu podľa ktoréhokoľvek kritéria, ale čo ak ich je veľa?

Pozoruhodným príkladom multikriteriálnej úlohy je organizácia správnej, zdravej a zároveň ekonomickej výživy veľkých skupín ľudí. S takýmito úlohami sa často stretávame v armáde, školských jedálňach, letných táboroch, nemocniciach a pod.

Aké kritériá máme v tejto úlohe?

Jedlo by malo byť zdravé.
Výdavky na jedlo by mali byť minimálne.

Ako vidíte, tieto ciele sa vôbec nezhodujú. To znamená, že pri riešení problému je potrebné hľadať optimálne riešenie, rovnováhu medzi týmito dvoma kritériami.

Herné modely

Keď už hovoríme o herných modeloch, je potrebné pochopiť pojem „teória hier“. Jednoducho povedané, tieto modely odrážajú matematické modely skutočných konfliktov. Stojí za to pochopiť, že na rozdiel od skutočného konfliktu má herný matematický model svoje špecifické pravidlá.

Teraz uvediem minimum informácií z teórie hier, ktoré vám pomôžu pochopiť, čo je herný model. A tak sú v modeli nevyhnutne strany (dve alebo viac), ktoré sa zvyčajne nazývajú hráči.

Všetky modely majú určité vlastnosti.

Herný model môže byť párový alebo viacnásobný. Ak máme dva subjekty, konflikt je spárovaný, ak je viac - viac. Dá sa rozlíšiť aj antagonistická hra, nazýva sa aj hra s nulovým súčtom. Ide o model, v ktorom sa zisk jedného z účastníkov rovná strate druhého.

simulačné modely

V tejto časti sa zameriame na simulačné matematické modely. Príklady úloh sú:

model dynamiky počtu mikroorganizmov;
model molekulárneho pohybu a pod.

V tomto prípade hovoríme o modeloch, ktoré sú čo najbližšie k reálnym procesom. Vo všeobecnosti napodobňujú akýkoľvek prejav v prírode. V prvom prípade môžeme napríklad modelovať dynamiku počtu mravcov v jednej kolónii. V tomto prípade môžete sledovať osud každého jednotlivca. V tomto prípade sa matematický popis používa zriedkavo, častejšie existujú písomné podmienky:

po piatich dňoch samica kladie vajíčka;
po dvadsiatich dňoch mravec uhynie atď.

Používajú sa teda na opis veľkého systému. Matematickým záverom je spracovanie získaných štatistických údajov.

Požiadavky

Je veľmi dôležité vedieť, že na tento typ modelu existujú určité požiadavky, medzi ktoré patria aj požiadavky uvedené v tabuľke nižšie.

Všestrannosť	Táto vlastnosť vám umožňuje použiť rovnaký model pri popise skupín objektov rovnakého typu. Je dôležité poznamenať, že univerzálne matematické modely sú úplne nezávislé od fyzickej povahy skúmaného objektu.
Primeranosť	Tu je dôležité pochopiť, že táto vlastnosť umožňuje čo najsprávnejšiu reprodukciu reálnych procesov. V prevádzkových úlohách je táto vlastnosť matematického modelovania veľmi dôležitá. Príkladom modelu je proces optimalizácie využitia plynového systému. V tomto prípade sa porovnávajú vypočítané a skutočné ukazovatele, v dôsledku čoho sa kontroluje správnosť zostaveného modelu.
Presnosť	Táto požiadavka implikuje zhodu hodnôt, ktoré získame pri výpočte matematického modelu a vstupných parametrov nášho reálneho objektu
ekonomika	Požiadavka hospodárnosti na akýkoľvek matematický model je charakterizovaná nákladmi na implementáciu. Ak sa práca s modelom vykonáva ručne, potom je potrebné vypočítať, koľko času zaberie vyriešenie jedného problému pomocou tohto matematického modelu. Ak hovoríme o počítačom podporovanom dizajne, vypočítajú sa ukazovatele času a pamäte počítača

Kroky modelovania

Celkovo je v matematickom modelovaní zvykom rozlišovať štyri stupne.

Formulácia zákonov spájajúcich časti modelu.
Štúdium matematických problémov.
Zistenie zhody praktických a teoretických výsledkov.
Analýza a modernizácia modelu.

Ekonomický a matematický model

V tejto časti stručne upozorníme na problém. Príklady úloh môžu byť:

tvorba výrobného programu na výrobu mäsových výrobkov, zabezpečenie maximálneho zisku výroby;
maximalizácia zisku organizácie výpočtom optimálneho počtu stolov a stoličiek, ktoré sa majú vyrobiť v továrni na nábytok atď.

Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickú abstrakciu, ktorá je vyjadrená pomocou matematických pojmov a znakov.

Počítačový matematický model

Príklady počítačového matematického modelu sú:

úlohy hydrauliky pomocou vývojových diagramov, diagramov, tabuliek atď.;
problémy s pevnou mechanikou a pod.

Počítačový model je obraz objektu alebo systému, prezentovaný ako:

tabuľky;
blokové schémy;
diagramy;
grafika a pod.

Tento model zároveň odráža štruktúru a prepojenia systému.

Budovanie ekonomického a matematického modelu

Už sme hovorili o tom, čo je ekonomicko-matematický model. Práve teraz sa zváži príklad riešenia problému. Potrebujeme analyzovať výrobný program, aby sme identifikovali rezervu na zvýšenie zisku s posunom v sortimente.

Nebudeme sa plne zaoberať problémom, ale iba zostavíme ekonomický a matematický model. Kritériom našej úlohy je maximalizácia zisku. Potom má funkcia tvar: Л=р1*х1+р2*х2… smerujúce k maximu. V tomto modeli p je zisk na jednotku, x je počet vyrobených jednotiek. Ďalej, na základe skonštruovaného modelu, je potrebné vykonať výpočty a zhrnúť.

Príklad zostavenia jednoduchého matematického modelu

Úloha. Rybár sa vrátil s týmto úlovkom:

8 rýb - obyvateľov severných morí;
20% úlovku - obyvatelia južných morí;
z miestnej rieky sa nenašla ani jedna ryba.

Koľko rýb kúpil v obchode?

Takže príklad konštrukcie matematického modelu tohto problému je nasledujúci. Celkový počet rýb označíme ako x. Podľa podmienky 0,2x je počet rýb žijúcich v južných zemepisných šírkach. Teraz skombinujeme všetky dostupné informácie a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Riešime rovnicu a dostaneme odpoveď na hlavnú otázku: kúpil 10 rýb v obchode.

MATEMATICKÝ MODEL - reprezentácia javu alebo procesu študovaného v konkrétnych vedeckých poznatkoch v jazyku matematických pojmov. Zároveň sa predpokladá, že na ceste štúdia skutočných matematických charakteristík modelu sa získa množstvo vlastností skúmaného javu. Výstavba M.m. najčastejšie diktované potrebou kvantitatívnej analýzy študovaných javov a procesov, bez ktorej nie je možné robiť experimentálne overiteľné predpovede o ich priebehu.

Proces matematického modelovania spravidla prechádza nasledujúcimi fázami. V prvej fáze sú väzby medzi hlavnými parametrami budúceho M.m. V prvom rade hovoríme o kvalitatívnej analýze skúmaných javov a formulácii vzorcov, ktoré spájajú hlavné objekty výskumu. Na tomto základe sa vykonáva identifikácia objektov, ktoré umožňujú kvantitatívny popis. Etapa končí zostrojením hypotetického modelu, inými slovami, záznamom v jazyku matematických konceptov kvalitatívnych predstáv o vzťahoch medzi hlavnými objektmi modelu, ktoré možno kvantitatívne charakterizovať.

V druhej fáze prebieha štúdium skutočných matematických problémov, ku ktorým vedie skonštruovaný hypotetický model. Hlavná vec v tejto fáze je získať empiricky overiteľné teoretické dôsledky (riešenie priameho problému) ako výsledok matematickej analýzy modelu. Zároveň nie sú ojedinelé prípady, keď sa pre stavbu a štúdium M.m. v rôznych oblastiach konkrétnych vedeckých poznatkov sa používa rovnaký matematický aparát (napríklad diferenciálne rovnice) a vznikajú matematické problémy rovnakého typu, hoci v každom konkrétnom prípade veľmi netriviálne. Okrem toho v tomto štádiu nadobúda veľký význam využitie vysokorýchlostnej výpočtovej techniky (počítača), ktorá umožňuje získať približné riešenie problémov, často nemožné v rámci čistej matematiky, s predtým nedostupným (bez použitie počítača) stupeň presnosti.

Tretia etapa je charakterizovaná aktivitami na identifikáciu stupňa primeranosti konštruovaného hypotetického M.m. tie javy a procesy, na štúdium ktorých bol určený. Totiž v prípade, že boli špecifikované všetky parametre modelu, výskumníci sa snažia zistiť, ako sú v rámci presnosti pozorovaní ich výsledky v súlade s teoretickými dôsledkami modelu. Odchýlky presahujúce presnosť pozorovaní naznačujú nevhodnosť modelu. Často sa však vyskytujú prípady, keď pri stavbe modelu zostane množstvo jeho parametrov nezmenených.

neurčitý. Problémy, v ktorých sú parametrické charakteristiky modelu stanovené tak, že teoretické dôsledky sú v rámci presnosti pozorovaní porovnateľné s výsledkami empirických testov, sa nazývajú inverzné problémy.

V štvrtej fáze, berúc do úvahy identifikáciu stupňa primeranosti skonštruovaného hypotetického modelu a vznik nových experimentálnych údajov o skúmaných javoch, prebieha následná analýza a modifikácia modelu. Tu sa prijaté rozhodnutie mení od bezpodmienečného odmietnutia aplikovaných matematických nástrojov až po prijatie skonštruovaného modelu ako základu pre vytvorenie zásadne novej vedeckej teórie.

Prvý M.m. sa objavil v starovekej vede. Na modelovanie slnečnej sústavy teda grécky matematik a astronóm Eudoxus dal každej planéte štyri gule, ktorých kombináciou pohybu vznikol hroch – matematická krivka podobná pozorovanému pohybu planéty. Keďže však tento model nedokázal vysvetliť všetky pozorované anomálie v pohybe planét, bol neskôr nahradený epicyklickým modelom Apollonia z Perge. Hipparchos použil vo svojich štúdiách najnovší model a potom, keď ho podrobil určitej úprave, Ptolemaios. Tento model, podobne ako jeho predchodcovia, bol založený na presvedčení, že planéty vykonávajú rovnomerné kruhové pohyby, ktorých prekrývanie vysvetľovalo zjavné nepravidelnosti. Zároveň treba poznamenať, že kopernikovský model bol zásadne nový len v kvalitatívnom zmysle (nie však ako M.M.). A len Kepler na základe pozorovaní Tycha Braheho postavil nový M.m. Slnečná sústava, čo dokazuje, že planéty sa nepohybujú po kruhových, ale po eliptických dráhach.

V súčasnosti sú najvhodnejšie MM konštruované na popis mechanických a fyzikálnych javov. O primeranosti M.m. mimo fyziky sa dá, až na pár výnimiek, hovoriť s poriadnou dávkou opatrnosti. Napriek tomu stanovenie hypotetickosti a často jednoducho nedostatočnosti M.m. v rôznych oblastiach poznania netreba podceňovať ich úlohu pri rozvoji vedy. Časté sú prípady, keď aj modely, ktoré nie sú do značnej miery adekvátne, organizované a podnecované k ďalšiemu výskumu spolu s chybnými závermi obsahovali tie zrnká pravdy, ktoré plne odôvodňovali úsilie vynaložené na vývoj týchto modelov.

Literatúra:

Matematické modelovanie. M., 1979;

Ruzavín G.I. Matematizácia vedeckých poznatkov. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferenciálne rovnice v ekológii: historická a metodologická reflexia // Problémy dejín prírodných vied a techniky. 1997. Číslo 3.

Slovník filozofických pojmov. Vedecké vydanie profesora V.G. Kuznecovová. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.

Čo je to matematický model?

Koncept matematického modelu.

Matematický model je veľmi jednoduchý koncept. A veľmi dôležité. Práve matematické modely spájajú matematiku a skutočný život.

Zjednodušene povedané, matematický model je matematický popis akejkoľvek situácie. A to je všetko. Model môže byť primitívny, môže byť superkomplexný. Aká je situácia, aký je model.)

V akomkoľvek (opakujem - v hocijakom!) podnikanie, kde potrebujete niečo vypočítať a vypočítať - zaoberáme sa matematickým modelovaním. Aj keď o tom nevieme.)

P \u003d 2 CB + 3 CB

Tento záznam bude matematickým modelom nákladov na naše nákupy. Model nezohľadňuje farbu obalu, dátum spotreby, slušnosť pokladníkov a pod. Preto ona Model, nie skutočný nákup. Ale náklady, tj. čo potrebujeme- to budeme vedieť určite. Ak je model správny, samozrejme.

Je užitočné predstaviť si, čo je to matematický model, ale to nestačí. Najdôležitejšie je vedieť postaviť tieto modely.

Zostavenie (konštrukcia) matematického modelu problému.

Zostaviť matematický model znamená previesť podmienky problému do matematickej podoby. Tie. premeniť slová na rovnicu, vzorec, nerovnosť atď. Navyše to otočte tak, aby táto matematika presne zodpovedala pôvodnému textu. V opačnom prípade skončíme s matematickým modelom nejakého iného problému, ktorý nám nie je známy.)

Presnejšie povedané, potrebujete

Na svete je nekonečné množstvo úloh. Preto ponúknuť jasný návod krok za krokom na zostavenie matematického modelu akýkoľvekúlohy sú nemožné.

Existujú však tri hlavné body, ktorým musíte venovať pozornosť.

1. V každej úlohe je napodiv text.) Tento text má spravidla explicitné, otvorené informácie.Čísla, hodnoty atď.

2. V akejkoľvek úlohe je skryté informácie. Toto je text, ktorý predpokladá prítomnosť dodatočných vedomostí v hlave. Bez nich - nič. Navyše, matematické informácie sú často skryté za jednoduchými slovami a ... unikajú pozornosti.

3. V každej úlohe musí byť daný komunikácia medzi dátami. Toto spojenie môže byť uvedené v čistom texte (niečo sa rovná niečomu), alebo môže byť skryté za jednoduchými slovami. Jednoduché a jasné fakty sú však často prehliadané. A model nie je nijako zostavený.

Hneď musím povedať, že na uplatnenie týchto troch bodov je potrebné problém prečítať (a pozorne!) niekoľkokrát. Bežná vec.

A teraz - príklady.

Začnime jednoduchým problémom:

Petrovič sa vrátil z rybolovu a svoj úlovok hrdo prezentoval rodine. Pri bližšom skúmaní sa ukázalo, že 8 rýb pochádza zo severných morí, 20 % všetkých rýb pochádza z južných morí a ani jedna z miestnej rieky, kde lovil Petrovič. Koľko rýb kúpil Petrovič v obchode s morskými plodmi?

Všetky tieto slová je potrebné premeniť na nejakú rovnicu. Aby som to urobil, opakujem, vytvoriť matematický vzťah medzi všetkými údajmi problému.

Kde začať? Najprv vytiahneme všetky údaje z úlohy. Začnime po poriadku:

Sústreďme sa na prvý bod.

Čo je tu explicitné matematické informácie? 8 rýb a 20 %. Nie veľa, ale veľa nepotrebujeme.)

Venujme pozornosť druhému bodu.

hľadajú skrytý informácie. Ona je tu. Toto sú slová: „20 % všetkých rýb". Tu musíte pochopiť, aké sú percentá a ako sa počítajú. V opačnom prípade sa úloha nedá vyriešiť. Toto je presne ďalšia informácia, ktorá by mala byť v hlave.

Je tu tiež matematický informácie, ktoré sú úplne neviditeľné. to otázka na úlohu: "Koľko rýb si kúpil... Je to tiež číslo. A bez toho nebude zostavený žiadny model. Označme preto toto číslo písmenom "X". Zatiaľ nevieme, čomu sa x rovná, no takéto označenie sa nám bude veľmi hodiť. Viac informácií o tom, čo vziať za x a ako to zvládnuť, nájdete v lekcii Ako riešiť matematické úlohy? Hneď to napíšeme:

x kusov - celkový počet rýb.

V našom probléme sa južné ryby uvádzajú v percentách. Musíme ich preložiť na kúsky. Za čo? Čo je potom in akýkoľvekúlohou modelu by malo byť v rovnakých množstvách. Kusy - takže všetko je na kusy. Ak dostaneme, povedzme hodiny a minúty, všetko preložíme do jednej veci – buď len hodiny, alebo iba minúty. Je jedno aké. Je dôležité všetky hodnoty boli rovnaké.

Späť k odhaleniu. Kto nevie, čo je to za percentá, nikdy neprezradí, že áno ... A kto vie, hneď povie, že percentá sú tu z celkového počtu rýb dané. Toto číslo nepoznáme. Nič z toho nebude!

Celkový počet rýb (v kusoch!) nie je márne s písmenom "X" určený. Spočítať južnú rybu na kusy nebude fungovať, ale môžeme si to zapísať? Páči sa ti to:

0,2 x kusov - počet rýb z južných morí.

Teraz sme stiahli všetky informácie z úlohy. Explicitné aj skryté.

Venujme pozornosť tretiemu bodu.

hľadajú matematické spojenie medzi údajmi o úlohe. Toto spojenie je také jednoduché, že si ho mnohí nevšimnú... Často sa to stáva. Tu je užitočné jednoducho zapísať zhromaždené údaje do zväzku a zistiť, čo je čo.

čo máme? Existuje 8 kusov severná ryba, 0,2 x kus- južná ryba a x ryby- Celkom. Je možné tieto údaje nejako prepojiť? Áno Ľahko! celkový počet rýb rovná sa súčet južnej a severnej! No, kto by to bol povedal ...) Takže si zapisujeme:

x = 8 + 0,2 x

Toto bude rovnica matematický model nášho problému.

Upozorňujeme, že v tomto probléme nie sme vyzvaní, aby sme nič zložili! Boli sme to my sami, z hláv, ktorí sme si uvedomili, že súčet južnej a severnej ryby nám dá celkový počet. Tá vec je taká zrejmá, že uniká pozornosti. Ale bez týchto dôkazov nie je možné zostaviť matematický model. Páči sa ti to.

Teraz môžete použiť všetku silu matematiky na vyriešenie tejto rovnice). Na to bol navrhnutý matematický model. Vyriešime túto lineárnu rovnicu a dostaneme odpoveď.

odpoveď: x = 10

Urobme matematický model iného problému:

Petrovič dostal otázku: "Koľko máte peňazí?" Petrovič sa rozplakal a odpovedal: "Áno, len trochu. Ak miniem polovicu všetkých peňazí a polovicu zvyšku, zostane mi len jeden vrece peňazí..." Koľko peňazí má Petrovič?

Opäť pracujeme bod po bode.

1. Hľadáme explicitné informácie. Nenájdete to hneď! Explicitné informácie sú jeden vrecko na peniaze. Sú tam aj iné polovice... No, vyriešime to v druhom odseku.

2. Hľadáme skryté informácie. Toto sú polovice. Čo? Nie veľmi jasné. Hľadáte viac. Je tu ďalší problém: "Koľko peňazí má Petrovič?" Označme sumu peňazí písmenom "X":

X- všetky peniaze

A prečítaj si problém ešte raz. Už vedieť, že Petrovič X peňazí. Tu pracujú polovičky! Zapisujeme si:

0,5 x- polovica všetkých peňazí.

Zvyšok bude tiež polovičný, t.j. 0,5 x. A polovica polovice môže byť napísaná takto:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- polovica zvyšku.

Teraz sú všetky skryté informácie odhalené a zaznamenané.

3. Hľadáme súvislosť medzi zaznamenanými údajmi. Tu si môžete jednoducho prečítať utrpenie Petroviča a zapísať ho matematicky):

Ak miniem polovicu všetkých peňazí...

Zapíšme si tento postup. Všetky peniaze - X. Polovica - 0,5 x. Míňať znamená odnášať. Fráza sa stáva:

x - 0,5 x

a polovica zvyšku...

Odčítajte ďalšiu polovicu zvyšku:

x - 0,5 x - 0,25 x

potom mi ostane len jedna taška peňazí...

A je tu rovnosť! Po všetkých odpočítaniach zostáva jedna taška peňazí:

x – 0,5 x – 0,25 x \u003d 1

Tu to je, matematický model! Toto je opäť lineárna rovnica, vyriešime, dostaneme:

Otázka na zváženie. Štyri je čo? Rubeľ, dolár, juan? A v akých jednotkách máme v matematickom modeli peniaze? Vo vreciach! Takže štyri taška Petrovičove peniaze. Tiež to nie je zlé.)

Úlohy sú, samozrejme, elementárne. Ide konkrétne o zachytenie podstaty zostavovania matematického modelu. V niektorých úlohách môže byť oveľa viac údajov, v ktorých sa dá ľahko zmiasť. To sa často stáva v tzv. kompetenčné úlohy. Ako vytiahnuť matematický obsah z hromady slov a čísel je znázornené na príkladoch

Ešte jedna poznámka. Pri klasických školských problémoch (potrubia napĺňajú bazén, niekde sa plavia lode atď.) sa všetky údaje spravidla vyberajú veľmi starostlivo. Existujú dve pravidlá:
- v probléme je dostatok informácií na jeho vyriešenie,
- v úlohe nie sú žiadne ďalšie informácie.

Toto je náznak. Ak je v matematickom modeli nejaká nevyužitá hodnota, zamyslite sa, či tam nie je chyba. Ak akýmkoľvek spôsobom nie je dostatok údajov, s najväčšou pravdepodobnosťou neboli odhalené a zaznamenané všetky skryté informácie.

V kompetenciách a iných životných úlohách sa tieto pravidlá striktne nedodržiavajú. Nemám ani náznak. Ale aj takéto problémy sa dajú riešiť. Pokiaľ, samozrejme, necvičíte na klasike.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

POZNÁMKY K PREDNÁŠKE

Podľa kurzu

"Matematické modelovanie strojov a dopravných systémov"

Predmet sa zaoberá problematikou matematického modelovania, formou a princípom reprezentácie matematických modelov. Uvažujú sa numerické metódy riešenia jednorozmerných nelineárnych systémov. Sú zahrnuté otázky počítačového modelovania a výpočtového experimentu. Zvažujú sa metódy spracovania údajov získaných ako výsledok vedeckých alebo priemyselných experimentov; výskum rôznych procesov, identifikácia vzorcov v správaní objektov, procesov a systémov. Zvažujú sa metódy interpolácie a aproximácie experimentálnych údajov. Zvažuje sa problematika počítačovej simulácie a riešenia nelineárnych dynamických systémov. Uvažuje sa najmä o metódach numerickej integrácie a riešení obyčajných diferenciálnych rovníc prvého, druhého a vyššieho rádu.

Prednáška: Matematické modelovanie. Forma a princípy reprezentácie matematických modelov

Prednáška sa zaoberá všeobecnými otázkami matematického modelovania. Uvedená je klasifikácia matematických modelov.

Modelovanie je široko používané v rôznych oblastiach ľudskej činnosti, najmä v oblastiach dizajnu a manažmentu, kde sú procesy efektívneho rozhodovania na základe prijatých informácií špeciálne.

Model je vždy zostavený s konkrétnym cieľom, ktorý ovplyvňuje, ktoré vlastnosti objektívneho javu sú významné a ktoré nie. Model je akoby projekciou objektívnej reality z určitého uhla pohľadu. Niekedy, v závislosti od cieľov, môžete získať množstvo projekcií objektívnej reality, ktoré sa dostanú do konfliktu. Typické je to spravidla pre zložité systémy, v ktorých každá projekcia vyčleňuje to, čo je pre konkrétny účel podstatné, zo súboru nepodstatných.

Teória modelovania je veda, ktorá študuje spôsoby, ako študovať vlastnosti pôvodných objektov na základe ich nahradenia inými modelovými objektmi. Teória podobnosti je základom teórie modelovania. Pri modelovaní nedochádza k absolútnej podobnosti a iba sa usiluje o to, aby model dostatočne odrážal študovanú stránku fungovania objektu. Absolútna podobnosť môže nastať iba vtedy, keď je jeden objekt nahradený iným úplne rovnakým.

Všetky modely možno rozdeliť do dvoch tried:

1. skutočný,

2. dokonalý.

Na druhej strane, skutočné modely možno rozdeliť na:

1. prírodný,

2. fyzické,

3. matematický.

Ideálne modely možno rozdeliť na:

1. vizuálny,

2. ikonický,

3. matematický.

Skutočné modely v plnom rozsahu sú skutočné objekty, procesy a systémy, na ktorých sa vykonávajú vedecké, technické a priemyselné experimenty.

Skutočné fyzikálne modely sú makety, modely, ktoré reprodukujú fyzikálne vlastnosti originálov (kinematické, dynamické, hydraulické, tepelné, elektrické, svetelné modely).

Skutočné matematické modely sú analógové, štrukturálne, geometrické, grafické, digitálne a kybernetické modely.

Ideálne vizuálne modely sú diagramy, mapy, kresby, grafy, grafy, analógy, štrukturálne a geometrické modely.

Ideálne modely znakov sú symboly, abeceda, programovacie jazyky, usporiadaná notácia, topologická notácia, sieťová reprezentácia.

Ideálne matematické modely sú analytické, funkčné, simulačné, kombinované modely.

Zastavme sa pri jednom z najuniverzálnejších typov modelovania - matematickom, ktorý dáva do súladu so simulovaným fyzikálnym procesom systém matematických vzťahov, ktorých riešenie umožňuje získať odpoveď na otázku o správaní objektu bez vytvorenie fyzického modelu, čo sa často ukazuje ako drahé a neefektívne.

Vo všeobecnom prípade je matematický model reálneho objektu, procesu alebo systému reprezentovaný ako systém funkcionálov

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kde X je vektor vstupných premenných, X= t ,

Y - vektor výstupných premenných, Y= t ,

Z - vektor vonkajších vplyvov, Z= t ,

t - časová súradnica.

Konštrukcia matematického modelu spočíva v určení vzťahov medzi určitými procesmi a javmi, vytvorením matematického aparátu, ktorý umožňuje kvantitatívne a kvalitatívne vyjadriť vzťah medzi určitými procesmi a javmi, medzi fyzikálnymi veličinami, ktoré sú pre odborníka zaujímavé, a faktormi ovplyvňujúcimi konečný výsledok.

Väčšinou je ich toľko, že nie je možné zaviesť do modelu celú ich zostavu. Pri konštrukcii matematického modelu pred výskumom vyvstáva úloha identifikovať a vylúčiť z úvahy faktory, ktoré výrazne neovplyvňujú konečný výsledok (matematický model zvyčajne obsahuje výrazne menší počet faktorov ako v skutočnosti). Na základe experimentálnych údajov sú predložené hypotézy o vzťahu medzi veličinami vyjadrujúcimi konečný výsledok a faktormi zavedenými do matematického modelu. Takéto spojenie často vyjadrujú sústavy diferenciálnych rovníc v parciálnych deriváciách (napríklad v úlohách mechaniky pevných látok, kvapalín a plynov, teórii filtrácie, vedenia tepla, teórii elektrostatických a elektrodynamických polí).

Konečným cieľom tejto etapy je formulácia matematického problému, ktorého riešenie s potrebnou presnosťou vyjadruje výsledky, ktoré sú pre odborníka zaujímavé.

Forma a princípy reprezentácie matematického modelu závisia od mnohých faktorov.

Podľa princípov konštrukcie sa matematické modely delia na:

1. analytický;

2. imitácia.

V analytických modeloch sú procesy fungovania reálnych objektov, procesov alebo systémov zapísané vo forme explicitných funkčných závislostí.

Analytický model je rozdelený do typov v závislosti od matematického problému:

1. rovnice (algebraické, transcendentálne, diferenciálne, integrálne),

2. aproximačné problémy (interpolácia, extrapolácia, numerická integrácia a diferenciácia),

3. optimalizačné problémy,

4. stochastické problémy.

Ako sa však objekt modelovania stáva zložitejším, konštrukcia analytického modelu sa stáva neriešiteľným problémom. Potom je výskumník nútený použiť simulačné modelovanie.

V simulačnom modelovaní je fungovanie objektov, procesov alebo systémov popísané súborom algoritmov. Algoritmy napodobňujú skutočné elementárne javy, ktoré tvoria proces alebo systém, pričom zachovávajú ich logickú štruktúru a postupnosť v čase. Simulačné modelovanie umožňuje získať informácie o stavoch procesu alebo systému v určitých časových okamihoch z počiatočných údajov, ale je ťažké predpovedať správanie objektov, procesov alebo systémov. Môžeme povedať, že simulačné modely sú počítačové výpočtové experimenty s matematickými modelmi, ktoré simulujú správanie reálnych objektov, procesov alebo systémov.

V závislosti od povahy študovaných reálnych procesov a systémov môžu byť matematické modely:

1. deterministický,

2. stochastický.

V deterministických modeloch sa predpokladá, že neexistujú žiadne náhodné vplyvy, prvky modelu (premenné, matematické vzťahy) sú pomerne dobre zavedené a správanie systému sa dá presne určiť. Pri konštrukcii deterministických modelov sa najčastejšie používajú algebraické rovnice, integrálne rovnice a maticová algebra.

Stochastický model zohľadňuje náhodný charakter procesov v skúmaných objektoch a systémoch, ktorý je popísaný metódami teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Podľa typu vstupných informácií sa modely delia na:

1. nepretržitý,

2. diskrétne.

Ak sú informácie a parametre spojité a matematické vzťahy stabilné, potom je model spojitý. A naopak, ak sú informácie a parametre diskrétne a spojenia sú nestabilné, potom je diskrétny aj matematický model.

Podľa správania modelov v čase sa delia na:

1. statický,

2. dynamický.

Statické modely popisujú správanie sa objektu, procesu alebo systému v akomkoľvek časovom bode. Dynamické modely odrážajú správanie sa objektu, procesu alebo systému v čase.

Podľa stupňa zhody medzi matematickým modelom a skutočným objektom, procesom alebo systémom sa matematické modely delia na:

1. izomorfný (rovnaký tvar),

2. homomorfné (tvarovo odlišné).

Model sa nazýva izomorfný, ak medzi ním a skutočným objektom, procesom alebo systémom existuje úplná zhoda element po elemente. Homomorfný - ak existuje zhoda iba medzi najvýznamnejšími komponentmi objektu a modelu.

V budúcnosti pre stručnú definíciu typu matematického modelu vo vyššie uvedenej klasifikácii budeme používať tento zápis:

Prvé písmeno:

D - deterministický,

C - stochastické.

Druhé písmeno:

H - nepretržité,

D - diskrétne.

Tretie písmeno:

A - analytické,

A - imitácia.

1. Neexistuje (presnejšie sa neberie do úvahy) vplyv náhodných procesov, t.j. deterministický model (D).

2. Informácie a parametre sú priebežné, t.j. model - spojitý (H),

3. Fungovanie modelu kľukového mechanizmu je popísané formou nelineárnych transcendentálnych rovníc, t.j. model - analytický (A)

2. Prednáška: Vlastnosti budovania matematických modelov

Prednáška popisuje proces zostavovania matematického modelu. Je uvedený verbálny algoritmus procesu.

Pre využitie počítačov pri riešení aplikovaných úloh je potrebné v prvom rade aplikovaný problém „preložiť“ do formálneho matematického jazyka, t.j. pre skutočný objekt, proces alebo systém musí byť zostavený jeho matematický model.

Matematické modely v kvantitatívnej forme pomocou logických a matematických konštrukcií popisujú hlavné vlastnosti objektu, procesu alebo systému, jeho parametre, vnútorné a vonkajšie súvislosti.

Na zostavenie matematického modelu potrebujete:

1. starostlivo analyzovať skutočný objekt alebo proces;

2. vyzdvihnúť jeho najvýznamnejšie znaky a vlastnosti;

3. definovať premenné, t.j. parametre, ktorých hodnoty ovplyvňujú hlavné vlastnosti a vlastnosti objektu;

4. opísať závislosť základných vlastností objektu, procesu alebo systému od hodnoty premenných pomocou logických a matematických vzťahov (rovnice, rovnosti, nerovnice, logické a matematické konštrukcie);

5. zvýrazňovať vnútorné súvislosti objektu, procesu alebo systému pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovností, logických a matematických konštrukcií;

6. určiť vonkajšie vzťahy a popísať ich pomocou obmedzení, rovníc, rovníc, nerovníc, logických a matematických konštrukcií.

Matematické modelovanie okrem štúdia objektu, procesu alebo systému a zostavovania ich matematického popisu zahŕňa aj:

1. konštrukcia algoritmu, ktorý modeluje správanie objektu, procesu alebo systému;

2. overenie primeranosti modelu a objektu, procesu alebo systému na základe výpočtového a prirodzeného experimentu;

3. úprava modelu;

4. použitie modelu.

Matematický popis skúmaných procesov a systémov závisí od:

1. povaha reálneho procesu alebo systému a je zostavená na základe zákonov fyziky, chémie, mechaniky, termodynamiky, hydrodynamiky, elektrotechniky, teórie plasticity, teórie pružnosti atď.

2. požadovaná spoľahlivosť a presnosť štúdia a štúdia reálnych procesov a systémov.

Vo fáze výberu matematického modelu sa stanovujú: linearita a nelinearita objektu, procesu alebo systému, dynamika alebo statika, stacionárnosť alebo nestacionárnosť, ako aj stupeň determinizmu objektu alebo procesu podľa štúdium. Pri matematickom modelovaní sa zámerne abstrahuje od špecifickej fyzikálnej podstaty objektov, procesov alebo systémov a zameriava sa hlavne na štúdium kvantitatívnych závislostí medzi veličinami, ktoré tieto procesy popisujú.

Matematický model nie je nikdy úplne identický s uvažovaným objektom, procesom alebo systémom. Na základe zjednodušenia, idealizácie ide o približný popis objektu. Preto sú výsledky získané pri analýze modelu približné. Ich presnosť je určená stupňom primeranosti (korešpondencie) modelu a objektu.

Konštrukcia matematického modelu zvyčajne začína konštrukciou a analýzou najjednoduchšieho, najhrubšieho matematického modelu uvažovaného objektu, procesu alebo systému. V budúcnosti, ak je to potrebné, je model vylepšený, jeho súlad s objektom je úplnejší.

Uveďme si jednoduchý príklad. Musíte určiť povrch stola. Zvyčajne sa na tento účel meria jeho dĺžka a šírka a potom sa výsledné čísla vynásobia. Takýto elementárny postup vlastne znamená nasledovné: skutočný objekt (plocha stola) je nahradený abstraktným matematickým modelom – obdĺžnikom. Rozmery získané meraním dĺžky a šírky povrchu stola sa pripisujú obdĺžniku a plocha takého obdĺžnika sa približne považuje za požadovanú oblasť stola.

Model stolového obdĺžnika je však najjednoduchší a najhrubší model. Pri serióznejšom prístupe k problému je pred použitím obdĺžnikového modelu na určenie plochy tabuľky potrebné tento model skontrolovať. Kontroly je možné vykonať nasledovne: zmerajte dĺžky protiľahlých strán stola, ako aj dĺžky jeho uhlopriečok a navzájom ich porovnajte. Ak sú s požadovaným stupňom presnosti dĺžky protiľahlých strán a dĺžky uhlopriečok v pároch rovnaké, potom možno povrch stola skutočne považovať za obdĺžnik. V opačnom prípade bude musieť byť obdĺžnikový model odmietnutý a nahradený všeobecným štvoruholníkom. Pri vyššej požiadavke na presnosť môže byť potrebné model ešte spresniť, napríklad zohľadniť zaoblenie rohov stola.

Pomocou tohto jednoduchého príkladu sa ukázalo, že matematický model nie je jednoznačne určený skúmaným objektom, procesom alebo systémom. Pre tú istú tabuľku môžeme akceptovať buď obdĺžnikový model, alebo zložitejší model všeobecného štvoruholníka, prípadne štvoruholník so zaoblenými rohmi. Výber jedného alebo druhého modelu je určený požiadavkou presnosti. So zvyšujúcou sa presnosťou musí byť model komplikovaný, berúc do úvahy nové a nové vlastnosti skúmaného objektu, procesu alebo systému.

Zvážte ďalší príklad: štúdium pohybu kľukového mechanizmu (obr. 2.1).

Ryža. 2.1.

Pre kinematickú analýzu tohto mechanizmu je v prvom rade potrebné zostaviť jeho kinematický model. Pre to:

1. Mechanizmus nahrádzame jeho kinematickou schémou, kde sú všetky články nahradené tuhými článkami;

2. Pomocou tejto schémy odvodíme pohybovú rovnicu mechanizmu;

3. Diferencovaním posledného dostaneme rovnice rýchlostí a zrýchlenia, ktoré sú diferenciálnymi rovnicami 1. a 2. rádu.

Napíšme tieto rovnice:

kde C 0 je krajná pravá poloha posúvača C:

r je polomer kľuky AB;

l je dĺžka ojnice BC;

- uhol natočenia kľuky;

Výsledné transcendentálne rovnice predstavujú matematický model pohybu plochého axiálneho kľukového mechanizmu na základe nasledujúcich zjednodušujúcich predpokladov:

1. Konštruktívne formy a usporiadanie hmôt obsiahnutých v mechanizme telies nás nezaujímali a všetky telesá mechanizmu sme nahradili úsečkami. V skutočnosti majú všetky články mechanizmu hmotnosť a pomerne zložitý tvar. Napríklad ojnica je zložitý prefabrikovaný spoj, ktorého tvar a rozmery samozrejme ovplyvnia pohyb mechanizmu;

2. pri konštrukcii matematického modelu pohybu uvažovaného mechanizmu sme tiež nebrali do úvahy elasticitu telies zaradených do mechanizmu, t.j. všetky články boli považované za abstraktné absolútne tuhé telesá. V skutočnosti sú všetky telesá zahrnuté v mechanizme elastické telesá. Pri pohybe mechanizmu sa akosi zdeformujú, dokonca sa v nich môžu vyskytnúť elastické vibrácie. To všetko samozrejme ovplyvní aj pohyb mechanizmu;

3. nebrali sme do úvahy výrobnú chybu článkov, medzery v kinematických dvojiciach A, B, C atď.

Je teda dôležité ešte raz zdôrazniť, že čím vyššie sú požiadavky na presnosť výsledkov riešenia úlohy, tým väčšia je potreba brať pri konštrukcii matematického modelu do úvahy vlastnosti skúmaného objektu, procesu alebo systému. Tu je však dôležité zastaviť sa včas, pretože zložitý matematický model sa môže zmeniť na náročnú úlohu.

Model je najjednoduchšie zostavený, keď sú dobre známe zákony, ktoré určujú správanie a vlastnosti objektu, procesu alebo systému, a existuje veľa praktických skúseností s ich aplikáciou.

Zložitejšia situácia nastáva, keď sú naše poznatky o skúmanom objekte, procese alebo systéme nedostatočné. V tomto prípade pri konštrukcii matematického modelu treba urobiť ďalšie predpoklady, ktoré majú povahu hypotéz, takýto model sa nazýva hypotetický. Závery zo štúdie takéhoto hypotetického modelu sú podmienené. Pre overenie záverov je potrebné porovnať výsledky štúdia modelu na počítači s výsledkami celoplošného experimentu. Otázka použiteľnosti určitého matematického modelu na štúdium uvažovaného objektu, procesu alebo systému teda nie je matematickou otázkou a nedá sa vyriešiť matematickými metódami.

Hlavným kritériom pravdy je experiment, prax v najširšom zmysle slova.

Budovanie matematického modelu v aplikovaných problémoch je jednou z najzložitejších a najzodpovednejších etáp práce. Prax ukazuje, že výber správneho modelu v mnohých prípadoch znamená vyriešenie problému o viac ako polovicu. Náročnosť tejto etapy je v tom, že si vyžaduje kombináciu matematických a špeciálnych znalostí. Preto je veľmi dôležité, aby pri riešení aplikovaných úloh mali matematici špeciálne znalosti o objekte a ich partneri, špecialisti, mali určitú matematickú kultúru, výskumné skúsenosti vo svojom odbore, znalosť počítačov a programovania.

Prednáška 3. Počítačové modelovanie a výpočtový experiment. Riešenie matematických modelov

Počítačové modelovanie ako nová metóda vedeckého výskumu je založené na:

1. vytváranie matematických modelov na popis skúmaných procesov;

2. pomocou najnovších počítačov s vysokou rýchlosťou (milióny operácií za sekundu) a schopných viesť dialóg s osobou.

Podstata počítačovej simulácie je nasledovná: na základe matematického modelu sa pomocou počítača realizuje séria výpočtových experimentov, t.j. študujú sa vlastnosti objektov alebo procesov, zisťujú sa ich optimálne parametre a režimy činnosti, model sa spresňuje. Napríklad, ak máte rovnicu, ktorá popisuje priebeh konkrétneho procesu, môžete meniť jeho koeficienty, počiatočné a okrajové podmienky a skúmať, ako sa bude objekt v tomto prípade správať. Okrem toho je možné predpovedať správanie objektu za rôznych podmienok.

Výpočtový experiment umožňuje nahradiť nákladný experiment v plnom rozsahu počítačovými výpočtami. Umožňuje v krátkom čase a bez výrazných materiálových nákladov uskutočniť štúdiu veľkého množstva možností pre navrhovaný objekt alebo proces pre rôzne režimy jeho prevádzky, čo výrazne skracuje čas potrebný na vývoj zložitých systémov a ich zavádzanie. do výroby.

Počítačové modelovanie a výpočtový experiment ako nová metóda vedeckého výskumu si vyžaduje zdokonaľovanie matematického aparátu používaného pri konštrukcii matematických modelov, umožňuje pomocou matematických metód spresňovať a komplikovať matematické modely. Najsľubnejšie na realizáciu výpočtového experimentu je jeho využitie pri riešení hlavných vedeckých, technických a sociálno-ekonomických problémov našej doby (projektovanie reaktorov pre jadrové elektrárne, projektovanie priehrad a vodných elektrární, magnetohydrodynamických meničov energie a v oblasti ekonomiky - vypracovanie vyváženého plánu pre priemysel, región, pre krajinu atď.).

V niektorých procesoch, kde je experiment v plnom rozsahu nebezpečný pre ľudský život a zdravie, je výpočtový experiment jediným možným (termonukleárna fúzia, prieskum vesmíru, dizajn a výskum chemického a iného priemyslu).

Na kontrolu primeranosti matematického modelu a reálneho objektu, procesu alebo systému sa výsledky výskumu na počítači porovnávajú s výsledkami experimentu na experimentálnej vzorke v plnom rozsahu. Výsledky overovania slúžia na korekciu matematického modelu alebo sa rozhoduje o otázke použiteľnosti zostrojeného matematického modelu pri návrhu alebo štúdiu daných objektov, procesov alebo systémov.

Na záver ešte raz zdôrazňujeme, že počítačová simulácia a výpočtový experiment umožňujú zredukovať štúdium „nematematického“ objektu na riešenie matematického problému. Otvára sa tak možnosť využiť na jej štúdium dobre vyvinutý matematický aparát v kombinácii s výkonnou výpočtovou technikou. To je základ pre využitie matematiky a počítačov pre poznanie zákonitostí reálneho sveta a ich využitie v praxi.

V úlohách navrhovania alebo štúdia správania skutočných objektov, procesov alebo systémov sú matematické modely spravidla nelineárne, pretože musia odrážať skutočné fyzikálne nelineárne procesy, ktoré sa v nich vyskytujú. Parametre (premenné) týchto procesov sú zároveň prepojené fyzikálnymi nelineárnymi zákonmi. Preto sa v problémoch navrhovania alebo štúdia správania reálnych objektov, procesov alebo systémov najčastejšie využívajú matematické modely typu DND.

Podľa klasifikácie uvedenej v prednáške 1:

D - model je deterministický, nedochádza (presnejšie sa neberie do úvahy) vplyv náhodných procesov.

H - model je spojitý, informácie a parametre sú spojité.

A - analytický model, fungovanie modelu je popísané vo forme rovníc (lineárne, nelineárne, sústavy rovníc, diferenciálne a integrálne rovnice).

Postavili sme teda matematický model uvažovaného objektu, procesu alebo systému, t.j. prezentoval aplikovaný problém ako matematický. Potom začína druhá etapa riešenia aplikovaného problému - hľadanie alebo vývoj metódy na riešenie formulovaného matematického problému. Metóda by mala byť vhodná na jej implementáciu na počítači, poskytovať potrebnú kvalitu riešenia.

Všetky metódy riešenia matematických problémov možno rozdeliť do 2 skupín:

1. presné metódy riešenia problémov;

2. numerické metódy riešenia úloh.

V exaktných metódach riešenia matematických úloh možno odpoveď získať vo forme vzorcov.

Napríklad výpočet koreňov kvadratickej rovnice:

alebo napríklad výpočet derivačných funkcií:

alebo výpočet určitého integrálu:

Nahradením čísel do vzorca ako konečných desatinných zlomkov však stále získame približné hodnoty výsledku.

Pre väčšinu problémov, s ktorými sa v praxi stretávame, sú presné metódy riešenia buď neznáme, alebo poskytujú veľmi ťažkopádne vzorce. Nie sú však vždy potrebné. Aplikovaný problém možno považovať za prakticky vyriešený, ak ho vieme vyriešiť s požadovaným stupňom presnosti.

Na riešenie takýchto problémov boli vyvinuté numerické metódy, v ktorých sa riešenie zložitých matematických problémov redukuje na postupné vykonávanie veľkého počtu jednoduchých aritmetických operácií. Priamy rozvoj numerických metód patrí do výpočtovej matematiky.

Príkladom numerickej metódy je metóda obdĺžnikov na približnú integráciu, ktorá nevyžaduje výpočet primitívnej derivácie pre integrand. Namiesto integrálu sa vypočíta konečný kvadratúrny súčet:

x 1 =a - dolná hranica integrácie;

x n+1 =b – horná hranica integrácie;

n je počet segmentov, na ktoré je rozdelený integračný interval (a,b);

je dĺžka elementárneho segmentu;

f(x i) je hodnota integrandu na koncoch elementárnych segmentov integrácie.

Čím väčší je počet segmentov n, na ktoré je integračný interval rozdelený, tým je približné riešenie bližšie k pravému, t.j. tým presnejší je výsledok.

V aplikovaných úlohách, ako pri použití exaktných metód riešenia, tak aj pri použití numerických metód riešenia, sú teda výsledky výpočtov približné. Dôležité je len zabezpečiť, aby chyby zapadali do požadovanej presnosti.

Numerické metódy na riešenie matematických úloh sú známe už dlho, ešte pred príchodom počítačov, no pre extrémnu zložitosť výpočtov sa používali len zriedka a len v relatívne jednoduchých prípadoch. Široké využitie numerických metód sa stalo možným vďaka počítačom.