Definicja równania trygonometrycznego. Równania trygonometryczne

Pojęcie rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształć je w jedno lub więcej podstawowych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego ostatecznie sprowadza się do rozwiązania czterech podstawowych równań trygonometrycznych.

Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych.

Istnieją 4 rodzaje podstawowych równań trygonometrycznych:
grzech x = a; cos x = a
brąz x = a; ctg x = a
Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych polega na spojrzeniu na różne pozycje x na okręgu jednostkowym, a także na użyciu tabeli konwersji (lub kalkulatora).
Przykład 1. sin x = 0,866. Korzystając z tabeli konwersji (lub kalkulatora), otrzymujesz odpowiedź: x = π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: 2π/3. Pamiętaj: wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, to znaczy ich wartości się powtarzają. Na przykład okresowość sin x i cos x wynosi 2πn, a okresowość tg x i ctg x wynosi πn. Więc odpowiedź jest napisana tak:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Przykład 2 cos x = -1/2. Korzystając z tabeli konwersji (lub kalkulatora), otrzymujesz odpowiedź: x = 2π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Przykład 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpowiedź: x \u003d π / 4 + πn.
Przykład 4. ctg 2x = 1,732.
Odpowiedź: x \u003d π / 12 + πn.

Przekształcenia stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Do przekształcania równań trygonometrycznych stosuje się przekształcenia algebraiczne (rozkład na czynniki, redukcja wyrazów jednorodnych itp.) oraz tożsamości trygonometryczne.
Przykład 5. Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 przekształca się w równanie 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Zatem następujące podstawowe równania trygonometryczne należy rozwiązać: cos x = 0; grzech(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Znajdowanie kątów ze znanych wartości funkcji.
- Zanim nauczysz się rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz nauczyć się znajdować kąty na podstawie znanych wartości funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli konwersji lub kalkulatora.
- Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator da odpowiedź x = 42,95 stopni. Okrąg jednostkowy da dodatkowe kąty, których cosinus jest również równy 0,732.
Odłóż rozwiązanie na koło jednostkowe.
- Możesz umieścić rozwiązania równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym. Rozwiązaniami równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym są wierzchołki wielokąta foremnego.
- Przykład: Rozwiązania x = π/3 + πn/2 na okręgu jednostkowym są wierzchołkami kwadratu.
- Przykład: rozwiązaniami x = π/4 + πn/3 na okręgu jednostkowym są wierzchołki sześciokąta foremnego.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
- Jeżeli podane równanie trygonometryczne zawiera tylko jedną funkcję trygonometryczną, to równanie to należy rozwiązać jako podstawowe równanie trygonometryczne. Jeżeli dane równanie zawiera dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, to istnieją 2 metody rozwiązania takiego równania (w zależności od możliwości jego przekształcenia).
  - Metoda 1
- Przekształć to równanie na równanie postaci: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdzie f(x), g(x), h(x) są podstawowymi równaniami trygonometrycznymi.
- Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie. Używając wzoru na podwójny kąt sin 2x = 2*sin x*cos x, zastąp sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Przykład 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie w równanie postaci: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Przykład 8. grzech x - grzech 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie w równanie postaci: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Zamień podane równanie trygonometryczne na równanie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zastąp tę funkcję trygonometryczną jakąś niewiadomą, na przykład t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t itd.).
- Przykład 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Rozwiązanie. W tym równaniu zastąp (cos^2 x) przez (1 - sin^2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcone równanie wygląda następująco:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamień sin x na t. Teraz równanie wygląda następująco: 5t^2 - 4t - 9 = 0. To jest równanie kwadratowe z dwoma pierwiastkami: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi pierwiastek t2 nie spełnia zakresu funkcji (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Przykład 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Rozwiązanie. Zastąp tgx przez t. Przepisz oryginalne równanie w następujący sposób: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tg x.
Specjalne równania trygonometryczne.
- Istnieje kilka specjalnych równań trygonometrycznych, które wymagają określonych przekształceń. Przykłady:
- a*grzech x+ b*cos x = do ; a(sin x + cos x) + b*cos x*sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
Okresowość funkcji trygonometrycznych.
- Jak wspomniano wcześniej, wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe, to znaczy ich wartości powtarzają się po pewnym okresie. Przykłady:
  - Okres funkcji f(x) = sin x wynosi 2π.
  - Okres funkcji f(x) = tg x jest równy π.
  - Okres funkcji f(x) = sin 2x jest równy π.
  - Okres funkcji f(x) = cos(x/2) wynosi 4π.
- Jeśli w zadaniu określony jest okres, oblicz wartość x w tym okresie.
- Uwaga: Rozwiązywanie równań trygonometrycznych nie jest łatwym zadaniem i często prowadzi do błędów. Sprawdź więc dokładnie swoje odpowiedzi. Aby to zrobić, możesz użyć kalkulatora graficznego do wykreślenia podanego równania R(x) = 0. W takich przypadkach rozwiązania będą reprezentowane jako ułamki dziesiętne (to znaczy π jest zastępowane przez 3,14).

W tej lekcji przyjrzymy się podstawowe funkcje trygonometryczne, ich własności i wykresy, a także listę główne typy równań i układów trygonometrycznych. Ponadto wskazujemy ogólne rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych i ich przypadki szczególne.

Ta lekcja pomoże ci przygotować się do jednego z rodzajów zadań. B5 i C1.

Przygotowanie do egzaminu z matematyki

Eksperyment

Lekcja 10 Równania trygonometryczne i ich układy.

Teoria

Podsumowanie lekcji

Wielokrotnie używaliśmy już terminu „funkcja trygonometryczna”. W pierwszej lekcji tego tematu zdefiniowaliśmy je za pomocą trójkąta prostokątnego i jednostkowego okręgu trygonometrycznego. Korzystając z takich metod określania funkcji trygonometrycznych, możemy już stwierdzić, że dla nich jedna wartość argumentu (lub kąta) odpowiada dokładnie jednej wartości funkcji, tj. mamy prawo nazywać dokładnie funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens.

W tej lekcji nadszedł czas, aby spróbować abstrahować od wcześniej omówionych metod obliczania wartości funkcji trygonometrycznych. Dzisiaj przejdziemy do zwykłego algebraicznego podejścia do pracy z funkcjami, rozważymy ich właściwości i narysujemy wykresy.

Jeśli chodzi o właściwości funkcji trygonometrycznych, należy zwrócić szczególną uwagę na:

Dziedzina definicji i zakres wartości, ponieważ dla sinusa i cosinusa istnieją ograniczenia dotyczące zakresu wartości, a dla stycznej i cotangensa istnieją ograniczenia dotyczące zakresu definicji;

Okresowość wszystkich funkcji trygonometrycznych, ponieważ zauważyliśmy już obecność najmniejszego niezerowego argumentu, którego dodanie nie zmienia wartości funkcji. Taki argument nazywany jest okresem funkcji i jest oznaczony literą . Dla sinus/cosinus i tangens/cotangens okresy te są różne.

Rozważ funkcję:

1) Dziedzina definicji;

2) Zakres wartości ;

3) Funkcja jest nieparzysta ;

Narysujmy funkcję. W tym przypadku wygodnie jest rozpocząć budowę od obrazu obszaru, który ogranicza wykres od góry liczbą 1, a od dołu liczbą , która jest związana z zakresem funkcji. Ponadto do kreślenia warto zapamiętać wartości sinusów kilku głównych kątów stołu, na przykład To pozwoli ci zbudować pierwszą kompletną „falę” wykresu, a następnie przerysować ją w prawo i w lewo, wykorzystując fakt, że obraz zostanie powtórzony z przesunięciem o kropkę, tj. NA .

Teraz spójrzmy na funkcję:

Główne właściwości tej funkcji:

1) Dziedzina definicji;

2) Zakres wartości ;

3) Funkcja jest parzysta Oznacza to symetrię wykresu funkcji względem osi y;

4) Funkcja nie jest monotonna w całej swojej dziedzinie definicji;

Narysujmy funkcję. Podobnie jak przy konstruowaniu sinusa, wygodnie jest zacząć od zobrazowania obszaru ograniczającego wykres od góry liczbą 1, a od dołu liczbą , która jest związana z zakresem funkcji. Narysujemy również współrzędne kilku punktów na wykresie, dla których konieczne jest zapamiętanie wartości cosinusów kilku głównych kątów stołu, np. korzystając z tych punktów możemy zbudować pierwszą kompletną „falę” wykres, a następnie przerysuj go w prawo i w lewo, korzystając z faktu, że obraz powtórzy się z przesunięciem okresu, tj. NA .

Przejdźmy do funkcji:

Główne właściwości tej funkcji:

1) Dziedzina definicji z wyjątkiem , gdzie . W poprzednich lekcjach wskazywaliśmy już, że nie istnieje. Stwierdzenie to można uogólnić, biorąc pod uwagę okres stycznej;

2) Zakres wartości, tj. wartości styczne nie są ograniczone;

3) Funkcja jest nieparzysta ;

4) Funkcja rośnie monotonicznie w obrębie tak zwanych gałęzi stycznych, co teraz zobaczymy na rysunku;

5) Funkcja jest okresowa z kropką

Narysujmy funkcję. W takim przypadku dogodnie jest rozpocząć konstrukcję od obrazu asymptot pionowych grafu w punktach, które nie mieszczą się w dziedzinie definicji, tj. itp. Następnie przedstawiamy gałęzie stycznej wewnątrz każdego z pasków utworzonych przez asymptoty, dociskając je do asymptoty lewej i prawej. Jednocześnie nie zapominaj, że każda gałąź rośnie monotonicznie. Przedstawiamy wszystkie gałęzie w ten sam sposób, ponieważ funkcja ma okres równy . Można to zobaczyć na podstawie faktu, że każda gałąź jest uzyskiwana przez przesunięcie sąsiedniej wzdłuż osi x.

Kończymy spojrzeniem na funkcję:

Główne właściwości tej funkcji:

1) Dziedzina definicji z wyjątkiem , gdzie . Zgodnie z tabelą wartości funkcji trygonometrycznych wiemy już, że nie istnieje. Stwierdzenie to można uogólnić, biorąc pod uwagę okres cotangensa;

2) Zakres wartości, tj. wartości cotangensa nie są ograniczone;

3) Funkcja jest nieparzysta ;

4) Funkcja maleje monotonicznie w swoich gałęziach, które są podobne do gałęzi stycznych;

5) Funkcja jest okresowa z kropką

Narysujmy funkcję. W tym przypadku, podobnie jak w przypadku stycznej, wygodnie jest rozpocząć budowę od obrazu asymptot pionowych wykresu w punktach, które nie mieszczą się w obszarze definicji, tj. itp. Następnie przedstawiamy gałęzie cotangensa wewnątrz każdego z pasków utworzonych przez asymptoty, dociskając je do asymptoty lewej i prawej. W tym przypadku bierzemy pod uwagę, że każda gałąź jest malejąca monotonicznie. Wszystkie gałęzie, podobnie jak styczna, są przedstawione w ten sam sposób, ponieważ funkcja ma okres równy .

Osobno należy zauważyć, że funkcje trygonometryczne ze złożonym argumentem mogą mieć niestandardowy okres. Są to funkcje postaci:

Mają ten sam okres. A co do funkcji:

Mają ten sam okres.

Jak widać, aby obliczyć nowy okres, standardowy okres jest po prostu dzielony przez czynnik w argumencie. Nie zależy od innych modyfikacji funkcji.

Możesz zrozumieć i zrozumieć bardziej szczegółowo, skąd pochodzą te formuły w lekcji dotyczącej konstruowania i przekształcania wykresów funkcyjnych.

Doszliśmy do jednej z najważniejszych części tematu „Trygonometria”, którą poświęcimy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych. Umiejętność rozwiązywania takich równań jest istotna np. przy opisie procesów oscylacyjnych w fizyce. Wyobraźmy sobie, że przejechałeś kilka okrążeń gokartem w sportowym samochodzie, rozwiązanie równania trygonometrycznego pomoże określić, jak długo uczestniczysz już w wyścigu, w zależności od pozycji samochodu na torze.

Napiszmy najprostsze równanie trygonometryczne:

Rozwiązaniem takiego równania są argumenty, których sinus jest równy. Ale wiemy już, że z powodu okresowości sinusa istnieje nieskończona liczba takich argumentów. Zatem rozwiązaniem tego równania będzie itd. To samo dotyczy rozwiązania dowolnego innego prostego równania trygonometrycznego, będzie ich nieskończona liczba.

Równania trygonometryczne dzielą się na kilka podstawowych typów. Osobno należy zastanowić się nad najprostszym, ponieważ. cała reszta jest do nich zredukowana. Istnieją cztery takie równania (według liczby podstawowych funkcji trygonometrycznych). Dla nich znane są wspólne rozwiązania, trzeba o nich pamiętać.

Najprostsze równania trygonometryczne i ich ogólne rozwiązania wygląda jak to:

Należy pamiętać, że wartości sinus i cosinus muszą uwzględniać znane nam ograniczenia. Jeżeli np. , to równanie nie ma rozwiązań i nie należy stosować tego wzoru.

Ponadto te formuły pierwiastkowe zawierają parametr w postaci dowolnej liczby całkowitej. W programie szkolnym jest to jedyny przypadek, gdy rozwiązanie równania bez parametru zawiera parametr. Ta dowolna liczba całkowita pokazuje, że można wypisać nieskończoną liczbę pierwiastków dowolnego ze wskazanych równań, po prostu podstawiając po kolei wszystkie liczby całkowite.

Możesz zapoznać się ze szczegółowym odbiorem tych formuł, powtarzając rozdział „Równania trygonometryczne” w programie algebry 10 klasy.

Osobno należy zwrócić uwagę na rozwiązanie poszczególnych przypadków najprostszych równań z sinusem i cosinusem. Równania te wyglądają następująco:

Nie należy do nich stosować formuł służących do znajdowania ogólnych rozwiązań. Takie równania najwygodniej rozwiązuje się za pomocą koła trygonometrycznego, co daje prostszy wynik niż ogólne wzory rozwiązań.

Rozwiązaniem równania jest np . Spróbuj samodzielnie uzyskać tę odpowiedź i rozwiąż pozostałe wskazane równania.

Oprócz najczęściej wskazywanego typu równań trygonometrycznych istnieje kilka bardziej standardowych. Wymieniamy je, biorąc pod uwagę te, które już wskazaliśmy:

1) pierwotniaki, Na przykład, ;

2) Szczególne przypadki najprostszych równań, Na przykład, ;

3) Złożone równania argumentowe, Na przykład, ;

4) Równania zredukowane do najprostszej postaci przez usunięcie wspólnego czynnika, Na przykład, ;

5) Równania zredukowane do najprostszej postaci przez przekształcenie funkcji trygonometrycznych, Na przykład, ;

6) Równania redukowalne do najprostszych przez podstawienie, Na przykład, ;

7) Równania jednorodne, Na przykład, ;

8) Równania rozwiązywane przy użyciu właściwości funkcji, Na przykład, . Nie daj się zastraszyć faktem, że to równanie ma dwie zmienne, jest rozwiązywane w tym samym czasie;

Jak również równania rozwiązywane różnymi metodami.

Oprócz rozwiązywania równań trygonometrycznych konieczna jest umiejętność rozwiązywania ich układów.

Najpopularniejsze typy systemów to:

1) W którym z równań jest prawem potęgowym, Na przykład, ;

2) Układy prostych równań trygonometrycznych, Na przykład, .

Na dzisiejszej lekcji przyjrzeliśmy się podstawowym funkcjom trygonometrycznym, ich właściwościom i wykresom. A także zapoznał się z ogólnymi wzorami rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych, wskazał główne typy takich równań i ich układy.

W praktycznej części lekcji przeanalizujemy metody rozwiązywania równań trygonometrycznych i ich układów.

Pudełko 1.Rozwiązywanie przypadków szczególnych najprostszych równań trygonometrycznych.

Jak powiedzieliśmy w głównej części lekcji, szczególne przypadki równań trygonometrycznych z sinusem i cosinusem postaci:

mają prostsze rozwiązania niż dają ogólne wzory rozwiązań.

W tym celu stosuje się koło trygonometryczne. Przeanalizujmy sposób ich rozwiązania na przykładzie równania.

Narysuj punkt na okręgu trygonometrycznym, w którym wartość cosinusa wynosi zero, co jest jednocześnie współrzędną wzdłuż osi x. Jak widać, są dwa takie punkty. Naszym zadaniem jest wskazanie, jaki jest kąt odpowiadający tym punktom na okręgu.

Liczenie rozpoczynamy od dodatniego kierunku osi odciętych (oś cosinusowa) i odkładając kąt dochodzimy do pierwszego pokazanego punktu, tj. jednym rozwiązaniem byłaby ta wartość kąta. Ale nadal jesteśmy zadowoleni z kąta odpowiadającego drugiemu punktowi. Jak w to wejść?

Podczas rozwiązywania wielu problemy matematyczne, szczególnie tych, które mają miejsce przed 10 klasą, kolejność wykonywanych działań prowadzących do celu jest jasno określona. Takie problemy obejmują na przykład równania liniowe i kwadratowe, nierówności liniowe i kwadratowe, równania ułamkowe i równania redukujące do równań kwadratowych. Zasada pomyślnego rozwiązania każdego z wymienionych zadań jest następująca: należy ustalić, do jakiego typu należy rozwiązywany problem, zapamiętać niezbędną sekwencję działań, która doprowadzi do pożądanego rezultatu, tj. odpowiedz i wykonaj te kroki.

Oczywiście sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie określony zostanie typ rozwiązywanego równania, jak poprawnie odtworzona zostanie kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście w tym przypadku niezbędna jest umiejętność wykonywania identycznych przekształceń i obliczeń.

Inna sytuacja występuje z równania trygonometryczne. Nietrudno ustalić fakt, że równanie jest trygonometryczne. Trudności pojawiają się przy ustaleniu kolejności działań, która doprowadziłaby do prawidłowej odpowiedzi.

Czasami trudno jest określić jego typ na podstawie wyglądu równania. A nie znając rodzaju równania, prawie niemożliwe jest wybranie właściwego spośród kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musimy spróbować:

1. doprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu do „tych samych kątów”;
2. doprowadzić równanie do „tych samych funkcji”;
3. rozłóż na czynniki lewą stronę równania itp.

Rozważać podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

I. Redukcja do najprostszych równań trygonometrycznych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną za pomocą znanych składników.

Krok 2 Znajdź argument funkcji za pomocą wzorów:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

grzech x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

brąz x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Znajdź nieznaną zmienną.

Przykład.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rozwiązanie.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Podstawianie zmiennych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej ze względu na jedną z funkcji trygonometrycznych.

Krok 2 Oznacz otrzymaną funkcję przez zmienną t (w razie potrzeby wprowadź ograniczenia na t).

Krok 3 Zapisz i rozwiąż otrzymane równanie algebraiczne.

Krok 4 Dokonaj podstawienia odwrotnego.

Krok 5 Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.

Przykład.

2cos 2 (x/2) - 5 sin (x/2) - 5 = 0.

Rozwiązanie.

1) 2(1 - grzech 2 (x/2)) - 5 grzech (x/2) - 5 = 0;

2 grzech 2(x/2) + 5 grzech(x/2) + 3 = 0.

2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 lub e = -3/2 nie spełnia warunku |t| ≤ 1.

4) grzech (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukcji rzędu równań

Schemat rozwiązania

Krok 1. Zastąp to równanie równaniem liniowym, korzystając ze wzorów na redukcję mocy:

grzech 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

sałata 2 x = 1/2 (1 + sałata 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Rozwiąż otrzymane równanie metodą I i II.

Przykład.

cos2x + cos2x = 5/4.

Rozwiązanie.

1) sałata 2x + 1/2 (1 + sałata 2x) = 5/4.

2) sałata 2x + 1/2 + 1/2 sałata 2x = 5/4;

3/2 sałata 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Równania jednorodne

Schemat rozwiązania

Krok 1. Doprowadź to równanie do postaci

a) a sin x + b cos x = 0 (równanie jednorodne pierwszego stopnia)

lub na widok

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).

Krok 2 Podziel obie strony równania przez

a) cos x ≠ 0;

b) cos2 x ≠ 0;

i otrzymać równanie dla tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) za tg 2 x + b arctg x + do = 0.

Krok 3 Rozwiąż równanie znanymi metodami.

Przykład.

5 grzech 2 x + 3 grzech x sałata x - 4 = 0.

Rozwiązanie.

1) 5 grzech 2 x + 3 grzech x sałata x – 4 (grzech 2 x + sałata 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 sin² x – 4 cos 2 x = 0;

grzech 2 x + 3grzech x sałata x - 4 sałata 2 x \u003d 0 / sałata 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Niech więc tg x = t

t 2 + 3 t - 4 = 0;

t = 1 lub t = -4, więc

tg x = 1 lub tg x = -4.

Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda przekształcania równania za pomocą wzorów trygonometrycznych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Używając wszelkiego rodzaju wzorów trygonometrycznych, sprowadź to równanie do równania, które można rozwiązać metodami I, II, III, IV.

Krok 2 Rozwiąż otrzymane równanie znanymi metodami.

Przykład.

grzechx + grzech2x + grzech3x = 0.

Rozwiązanie.

1) (grzech x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;

2sin 2x cos x + grzech 2x = 0.

2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;

grzech 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;

Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.

Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

W rezultacie x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpowiedź: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Zdolność i umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych są bardzo duże ważne, ich rozwój wymaga znacznego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.

Z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych wiąże się wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Proces rozwiązywania takich problemów niejako zawiera wiele wiedzy i umiejętności nabywanych podczas studiowania elementów trygonometrii.

Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie nauczania matematyki i ogólnie rozwoju osobowości.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Klasa: 10

„Równania będą istnieć wiecznie”.

Einsteina

Cele Lekcji:

Edukacyjny:
- pogłębienie zrozumienia metod rozwiązywania równań trygonometrycznych;
- kształtować umiejętności rozróżniania, prawidłowego wybierania sposobów rozwiązywania równań trygonometrycznych.
Edukacyjny:
- edukacja zainteresowania poznawczego w procesie edukacyjnym;
- kształtowanie umiejętności analizy zadania;
- przyczynić się do poprawy klimatu psychologicznego w klasie.
Edukacyjny:
- promowanie rozwoju umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy;
- zachęcać uczniów do argumentowania swojego punktu widzenia;

Sprzęt: plakat z podstawowymi wzorami trygonometrycznymi, komputer, projektor, ekran.

1 lekcja

I. Aktualizacja podstawowej wiedzy

Rozwiąż ustnie równania:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cos x = –;
4) grzech2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x - grzech 2 x \u003d 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x = ± + 2k;
4) x = k;
5) x \u003d (-1) + k;
6) x \u003d (-1) + 2k;
7) x = + k;
8) x = + k; do Z.

II. Nauka nowego materiału

- Dzisiaj rozważymy bardziej złożone równania trygonometryczne. Rozważ 10 sposobów ich rozwiązania. Potem będą dwie lekcje do utrwalenia, a następna lekcja będzie sprawdzianem. Na stanowisku „Na lekcję” wywieszone są zadania, podobne do tych, które będą na pracy testowej, należy je rozwiązać przed pracą testową. (Dzień wcześniej, przed pracą testową, rozwieś rozwiązania tych zadań na stojaku).

Zwracamy się więc do rozważenia metod rozwiązywania równań trygonometrycznych. Niektóre z tych metod prawdopodobnie będą Ci się wydawać trudne, podczas gdy inne będą łatwe, ponieważ. znasz już niektóre metody rozwiązywania równań.

Czterech uczniów w klasie otrzymało indywidualne zadanie: zrozumieć i pokazać 4 sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych.

(Mówcy uczniowie przygotowali wcześniej slajdy. Pozostali uczniowie w klasie zapisują w zeszycie główne etapy rozwiązywania równań.)

1 uczeń: 1 sposób. Rozwiązywanie równań przez faktoring

grzech 4x = 3 cos 2x

Aby rozwiązać równanie, używamy wzoru na sinus podwójnego kąta sin 2 \u003d 2 sin cos
2 grzech 2x sałata 2x - 3 sałata 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x - 3) = 0. Iloczyn tych czynników jest równy zeru, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru.

2x = + k, k Z lub sin 2x = 1,5 - brak rozwiązań, bo | grzech| 1
x = + k; do Z.
Odpowiedź: x = + k, k Z.

2 student. 2 sposoby. Rozwiązywanie równań poprzez zamianę sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych na iloczyn

cos 3x + grzech 2x - grzech 4x = 0.

Aby rozwiązać równanie, używamy wzoru sin–sin = 2 sin cos

sałata 3x + 2 grzech sałata = 0,

sałata 3x - 2 grzech x sałata 3x \u003d 0,

cos 3x (1 - 2 sinx) = 0. Otrzymane równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań:

Zbiór rozwiązań drugiego równania jest w całości zawarty w zbiorze rozwiązań pierwszego równania. Oznacza

Odpowiedź:

3 student. 3 sposoby. Rozwiązywanie równań poprzez zamianę iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę

grzech 5x cos 3x = grzech 6x cos2x.

Aby rozwiązać równanie, używamy wzoru

Odpowiedź:

4 uczeń. 4 sposoby. Rozwiązywanie równań redukujących do równań kwadratowych

3 grzech x - 2 cos 2 x \u003d 0,
3 grzech x - 2 (1 - grzech 2 x) \u003d 0,
2 grzech 2 x + 3 grzech x - 2 = 0,

Niech sin x = t, gdzie | t |. Otrzymujemy równanie kwadratowe 2t 2 + 3t - 2 = 0,

re = 9 + 16 = 25.

Zatem . nie spełnia warunku | t |.

Więc grzech x = . Dlatego .

Odpowiedź:

III. Konsolidacja tego, co studiował z podręcznika A. N. Kołmogorowa

1. Nr 164 (a), 167 (a) (równanie kwadratowe)
2. Nr 168 (a) (faktoryzacja)
3. Nr 174 (a) (przeliczanie sumy na iloczyn)
4. (zamień iloczyn na sumę)

(Na koniec lekcji pokaż rozwiązanie tych równań na ekranie w celu weryfikacji)

№ 164 (A)

2 grzech 2 x + grzech x - 1 = 0.
Niech grzech x = t, | t | 1. Wtedy
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t= . Gdzie

Odpowiedź: - .

№ 167 (A)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Niech tg x \u003d 1, wtedy otrzymamy równanie 3 t 2 + 2 t - 1 \u003d 0.

Odpowiedź:

№ 168 (A)

Odpowiedź:

№ 174 (A)

Rozwiązać równanie:

Odpowiedź:

2 lekcja (lekcja-wykład)

IV. Nauka nowego materiału(kontynuacja)

- Kontynuujmy więc badanie sposobów rozwiązywania równań trygonometrycznych.

5 sposób. Rozwiązywanie jednorodnych równań trygonometrycznych

Równania postaci za grzech x + b cos x = 0, gdzie aib są pewnymi liczbami, nazywamy równaniami jednorodnymi pierwszego stopnia względem sin x lub cos x.

Rozważ równanie

grzech x – cos x = 0. Podziel obie strony równania przez cos x. Można to zrobić, utrata korzenia nie nastąpi, ponieważ. , Jeśli cos x = 0, To grzech x = 0. Jest to jednak sprzeczne z podstawową tożsamością trygonometryczną grzech 2 x + cos 2 x = 1.

Dostawać tg x - 1 = 0.

tan x = 1,

Równania postaci jak w 2 x + bcos 2 x + do grzech x sałata x = 0 , Gdzie a, b, c niektóre liczby nazywane są równaniami jednorodnymi drugiego stopnia ze względu na sin x lub cos x.

Rozważ równanie

grzech 2 x - 3 grzech x cos x + 2 cos 2 \u003d 0. Dzielimy obie części równania przez cos x, a pierwiastek nie zostanie utracony, ponieważ cos x = 0 nie jest pierwiastkiem tego równania.

tg 2x - 3tgx + 2 = 0.

Niech tgx = t. re = 9 - 8 = 1.

Zatem Stąd tg x = 2 lub tg x = 1.

W rezultacie x = arctg 2 + , x =

Odpowiedź: arctg 2 + ,

Rozważmy inne równanie: 3 grzech 2 x - 3 grzech x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Prawą stronę równania przekształcamy w postaci 2 = 2 1 = 2 (sin 2 x + cos 2 x). Następnie otrzymujemy:
3 grzech 2 x – 3 grzech x sałata x + 4 sałata 2 x = 2 (grzech 2 x + sałata 2 x),
3 grzech 2 x – 3 grzech x sałata x + 4 sałata 2 x – 2 grzech 2 x – 2 sałata 2 x = 0,
grzech 2 x - 3sin x cos x + 2cos 2 x \u003d 0. (Otrzymaliśmy drugie równanie, które już przeanalizowaliśmy).

Odpowiedź: arctg 2 + k,

6 sposób. Rozwiązywanie liniowych równań trygonometrycznych

Liniowe równanie trygonometryczne jest równaniem postaci za grzech x + b sałata x = do, gdzie a, b, c to jakieś liczby.

Rozważ równanie grzech x + cos x= – 1.
Przepiszmy równanie w postaci: