Powierzchnia każdej podstawy cylindra wynosi π R 2 , pole obu podstaw wyniesie 2π R 2 (rys.).

Pole powierzchni bocznej walca jest równe polu prostokąta o podstawie 2π R, a wysokość jest równa wysokości cylindra H, czyli 2π po prawej.

Całkowita powierzchnia walca wyniesie: 2π R 2+2π po prawej= 2π R(R+ H).

Przyjmuje się powierzchnię bocznej powierzchni cylindra obszar zamiatania jego powierzchni bocznej.

Dlatego pole powierzchni bocznej prawego okrągłego cylindra jest równe polu odpowiedniego prostokąta (ryc.) i jest obliczane według wzoru

S p.n.e. = 2πRH, (1)

Jeśli do pola powierzchni bocznej cylindra dodamy pole dwóch podstaw cylindra, otrzymamy pole powierzchni całkowitej cylindra

S pełne \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Prosta objętość cylindra

Twierdzenie. Objętość prawego cylindra jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości , tj.

gdzie Q to pole podstawy, a H to wysokość walca.

Ponieważ obszar podstawy cylindra to Q, istnieją sekwencje opisanych i wpisanych wielokątów o obszarach Q N i Q' N takie że

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N= P.

Skonstruujmy ciągi graniastosłupów, których podstawami są opisane i wpisane wielokąty rozważane powyżej, a krawędzie boczne są równoległe do tworzącej danego walca i mają długość H. Graniastosłupy te są opisane i wpisane dla danego walca. Ich objętości można znaleźć za pomocą wzorów

V N= P N H i V' N= Q' N H.

Stąd,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N H = QH.

Konsekwencja.
Objętość prawego okrągłego walca oblicza się ze wzoru

V = π R 2 H

gdzie R to promień podstawy, a H to wysokość walca.

Ponieważ podstawą okrągłego cylindra jest okrąg o promieniu R, to Q \u003d π R 2, a zatem

Jak obliczyć pole powierzchni cylindra jest tematem tego artykułu. W każdym zadaniu matematycznym należy zacząć od wprowadzenia danych, ustalić, co jest znane i na czym należy działać w przyszłości, a dopiero potem przejść bezpośrednio do obliczeń.

To trójwymiarowe ciało jest figurą geometryczną o cylindrycznym kształcie, ograniczoną od góry i od dołu dwiema równoległymi płaszczyznami. Przy odrobinie wyobraźni zauważysz, że bryła geometryczna powstaje poprzez obrót prostokąta wokół osi, przy czym oś jest jednym z jego boków.

Wynika z tego, że opisana krzywa powyżej i poniżej cylindra będzie kołem, którego głównym wskaźnikiem jest promień lub średnica.

Powierzchnia cylindra — kalkulator online

Ta funkcja w końcu ułatwia proces obliczeń, a wszystko sprowadza się do automatycznego podstawienia zadanych wartości wysokości i promienia (średnicy) podstawy figury. Jedyne, co jest wymagane, to dokładne określenie danych i nie popełnianie błędów przy wprowadzaniu liczb.

Powierzchnia boczna cylindra

Najpierw musisz sobie wyobrazić, jak wygląda przeciągnięcie w przestrzeni dwuwymiarowej.

To nic innego jak prostokąt, którego jeden bok jest równy obwodowi. Jego formuła znana jest od niepamiętnych czasów - 2π *R, Gdzie R jest promieniem okręgu. Drugi bok prostokąta jest równy wysokości H. Znalezienie tego, czego szukasz, nie będzie trudne.

Sstrona= 2π *r*h,

gdzie numer π = 3,14.

Pełna powierzchnia cylindra

Aby znaleźć całkowitą powierzchnię cylindra, musisz zdobyć strona S dodaj pola dwóch kół, górną i dolną część walca, obliczone według wzoru S o =2π*r2.

Ostateczna formuła wygląda następująco:

Spodłoga\u003d 2π * r 2+ 2π*r*h.

Powierzchnia cylindra - wzór pod względem średnicy

Aby ułatwić obliczenia, czasami konieczne jest wykonanie obliczeń przez średnicę. Na przykład jest kawałek wydrążonej rury o znanej średnicy.

Nie zawracając sobie głowy zbędnymi obliczeniami mamy gotowy wzór. Z pomocą przychodzi algebra dla klasy 5.

Spłeć = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π*D 2 /2 + π *d*h,

Zamiast R w pełnej formule musisz wstawić wartość r=d/2.

Przykłady obliczania powierzchni walca

Uzbrojeni w wiedzę przechodzimy do praktyki.

Przykład 1 Konieczne jest obliczenie powierzchni ściętego kawałka rury, czyli cylindra.

Mamy r = 24 mm, h = 100 mm. Musisz użyć wzoru na promień:

S podłoga \u003d 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 \u003d 3617,28 + 15072 \u003d 18689,28 (mm 2).

Tłumaczymy na zwykły m 2 i otrzymujemy 0,01868928, czyli około 0,02 m 2.

Przykład 2 Konieczne jest ustalenie powierzchni wewnętrznej rury pieca azbestowego, której ściany są wyłożone cegłami ogniotrwałymi.

Dane są następujące: średnica 0,2 m; wysokość 2 m. Korzystamy ze wzoru na średnicę:

Podłoga S \u003d 3,14 * 0,2 2 / 2 + 3,14 * 0,2 * 2 \u003d 0,0628 + 1,256 \u003d 1,3188 m 2.

Przykład 3 Jak dowiedzieć się, ile materiału potrzeba do uszycia torby, r \u003d 1 m i wysokość 1 m.

W jednej chwili jest formuła:

Strona S \u003d 2 * 3,14 * 1 * 1 \u003d 6,28 m 2.

Wniosek

Na końcu artykułu pojawiło się pytanie: czy te wszystkie obliczenia i przeliczenia jednej wartości na drugą są naprawdę potrzebne? Dlaczego to wszystko jest potrzebne i, co najważniejsze, dla kogo? Ale nie zaniedbuj i zapomnij prostych formuł z liceum.

Świat stał i będzie stał na elementarnej wiedzy, w tym na matematyce. A przy podejmowaniu jakiejś ważnej pracy nigdy nie jest zbyteczne odświeżanie danych obliczeń w pamięci, stosując je w praktyce z wielkim skutkiem. Dokładność - grzeczność królów.

Cylinder (wywodzący się z języka greckiego, od słów „lodowisko”, „walec”) to bryła geometryczna ograniczona na zewnątrz powierzchnią zwaną powierzchnią cylindryczną i dwiema płaszczyznami. Płaszczyzny te przecinają powierzchnię figury i są do siebie równoległe.

Powierzchnia cylindryczna to powierzchnia, którą uzyskuje się za pomocą linii prostej w przestrzeni. Ruchy te są takie, że wybrany punkt tej prostej porusza się po płaskiej krzywej. Taka linia prosta nazywana jest tworzącą, a linia zakrzywiona nazywana jest prowadnicą.

Cylinder składa się z pary podstaw i bocznej cylindrycznej powierzchni. Cylindry są kilku typów:

1. Okrągły, prosty cylinder. Dla takiego cylindra podstawa i prowadnica są prostopadłe do tworzącej i tak jest

2. Pochylony cylinder. Ma kąt między linią tworzącą a podstawą nie jest prosty.

3. Cylinder o innym kształcie. Hiperboliczne, eliptyczne, paraboliczne i inne.

Powierzchnia cylindra, jak również całkowita powierzchnia dowolnego cylindra, jest obliczana przez dodanie obszarów podstaw tej figury i pola powierzchni bocznej.

Wzór na obliczenie całkowitej powierzchni cylindra dla okrągłego, prostego cylindra to:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Pole powierzchni bocznej jest trochę trudniejsze do znalezienia niż pole całego walca; oblicza się je mnożąc długość tworzącej przez obwód przekroju utworzonego przez płaszczyznę prostopadłą do tworząca.

Dane cylindra dla okrągłego, prostego cylindra są rozpoznawane przez rozwój tego obiektu.

Zabudowa to prostokąt, którego wysokość h i długość P są równe obwodowi podstawy.

Wynika z tego, że powierzchnia boczna cylindra jest równa powierzchni przeciągnięcia i można ją obliczyć za pomocą tego wzoru:

Jeśli weźmiemy okrągły, prosty cylinder, to za to:

P = 2p R i Sb = 2p Rh.

Jeżeli walec jest pochylony, to pole powierzchni bocznej powinno być równe iloczynowi długości jego tworzącej i obwodu przekroju prostopadłego do tej tworzącej.

Niestety nie ma prostego wzoru na wyrażenie pola powierzchni bocznej nachylonego walca w kategoriach jego wysokości i parametrów bazowych.

Aby obliczyć cylinder, musisz znać kilka faktów. Jeśli przekrój swoją płaszczyzną przecina podstawy, to taki przekrój jest zawsze prostokątem. Ale te prostokąty będą różne, w zależności od położenia sekcji. Jeden z boków osiowego przekroju figury, który jest prostopadły do ​​podstaw, jest równy wysokości, a drugi jest równy średnicy podstawy walca. A powierzchnia takiego przekroju jest odpowiednio równa iloczynowi jednej strony prostokąta przez drugą, prostopadłą do pierwszej, lub iloczynowi wysokości tej figury przez średnicę jej podstawy.

Jeżeli przekrój jest prostopadły do ​​​​podstaw figury, ale nie przechodzi przez oś obrotu, wówczas pole tego przekroju będzie równe iloczynowi wysokości tego cylindra i określonej cięciwy. Aby uzyskać akord, musisz zbudować okrąg u podstawy cylindra, narysować promień i odłożyć na nim odległość, w której znajduje się sekcja. I od tego punktu musisz narysować prostopadłe do promienia od przecięcia z okręgiem. Punkty przecięcia są połączone ze środkiem. A podstawa trójkąta jest pożądana, w której szuka się dźwięków takich jak ten: „Suma kwadratów dwóch nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej”:

C2 = A2 + B2.

Jeżeli przekrój nie wpływa na podstawę cylindra, a sam cylinder jest okrągły i prosty, wówczas obszar tego przekroju jest uznawany za obszar koła.

Pole koła to:

Środowisko S. = 2p R2.

Aby znaleźć R, musisz podzielić jego długość C przez 2p:

R = C \ 2n, gdzie n to pi, stała matematyczna obliczona do pracy z danymi okręgu i równa 3,14.

Znajdź obszar przekroju osiowego prostopadłego do podstaw cylindra. Jeden z boków tego prostokąta jest równy wysokości walca, drugi jest równy średnicy koła podstawy. W związku z tym pole przekroju poprzecznego w tym przypadku będzie równe iloczynowi boków prostokąta. S=2R*h, gdzie S to pole przekroju poprzecznego, R to promień koła podstawowego, określony przez warunki zadania, a h to wysokość walca, również określona przez warunki zadania.

Jeśli przekrój jest prostopadły do ​​podstaw, ale nie przechodzi przez oś obrotu, prostokąt nie będzie równy średnicy koła. Trzeba to obliczyć. Aby to zrobić, zadanie musi określać, w jakiej odległości od osi obrotu przechodzi płaszczyzna przekroju. Dla wygody obliczeń skonstruuj okrąg podstawy cylindra, narysuj promień i odłóż na nim odległość, w której znajduje się przekrój od środka koła. Od tego miejsca rysuj prostopadłe, aż przetną się z okręgiem. Połącz punkty przecięcia ze środkiem. Musisz znaleźć akordy. Znajdź rozmiar połowy cięciwy za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Będzie równy pierwiastkowi kwadratowemu z różnicy kwadratów promienia koła od środka do linii przekroju. a2=R2-b2. Cały akord będzie odpowiednio równy 2a. Oblicz pole przekroju, które jest równe iloczynowi boków prostokąta, czyli S=2a*h.

Cylinder można rozciąć bez przechodzenia przez płaszczyznę podstawy. Jeśli przekrój jest prostopadły do ​​osi obrotu, będzie to okrąg. Jego powierzchnia w tym przypadku jest równa powierzchni podstaw, to znaczy jest obliczana według wzoru S \u003d πR2.

Pomocna rada

Aby dokładniej wyobrazić sobie przekrój, wykonaj rysunek i dodatkowe konstrukcje.

Źródła:

• pole przekroju cylindra

Linia przecięcia powierzchni z płaszczyzną należy zarówno do powierzchni, jak i do płaszczyzny siecznej. Linia przecięcia powierzchni cylindrycznej z sieczną płaszczyzną równoległą do tworzącej prostej jest linią prostą. Jeśli płaszczyzna cięcia jest prostopadła do osi powierzchni obrotu, przekrój będzie miał okrąg. Ogólnie linia przecięcia powierzchni cylindrycznej z płaszczyzną cięcia jest linią zakrzywioną.

Będziesz potrzebować

• Ołówek, linijka, trójkąt, wzory, kompasy, przyrząd pomiarowy.

Instrukcja

Na przedniej płaszczyźnie rzutowania P₂ linia przekroju pokrywa się z rzutem siecznej płaszczyzny Σ₂ ​​w postaci linii prostej.
Wyznacz punkty przecięcia się tworzących walca z rzutem Σ₂ 1₂, 2₂ itd. do punktów 10₂ i 11₂.

Na płaszczyźnie P₁ jest kołem. Punkty 1₂ , 2₂ zaznaczone na płaszczyźnie przekroju Σ₂ itd. za pomocą linii projekcji połączenia zostaną rzutowane na obrys tego okręgu. Wyznacz ich rzuty poziome symetrycznie względem poziomej osi okręgu.

W ten sposób określa się rzuty żądanego przekroju: na płaszczyznę P₂ - linię prostą (punkty 1₂, 2₂ ... 10₂); na płaszczyźnie P₁ - okrąg (punkty 1₁, 2₁ ... 10₁).

Przez dwa skonstruuj naturalny rozmiar przekroju danego walca przez przednią płaszczyznę rzutu Σ. Aby to zrobić, użyj metody projekcji.

Narysuj płaszczyznę P₄ równoległą do rzutu płaszczyzny Σ₂. Na tej nowej osi x₂₄ zaznacz punkt 1₀. Odległości między punktami 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂ itd. z rzutu czołowego przekroju, odłożonego na osi x₂₄, narysuj cienkie linie połączenia rzutu prostopadle do osi x₂₄.

W tej metodzie płaszczyzna P₄ zostaje zastąpiona płaszczyzną P₁, dlatego z rzutu poziomego przenieś wymiary z osi na punkty na oś płaszczyzny P₄.

Na przykład na P₁ dla punktów 2 i 3 będzie to odległość od 2₁ i 3₁ do osi (punktu A) itd.

Po odłożeniu wskazanych odległości od rzutu poziomego otrzymasz punkty 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Następnie, dla większej dokładności konstrukcji, określane są pozostałe, pośrednie punkty.

Łącząc wszystkie punkty zakrzywioną krzywą, uzyskasz pożądany naturalny rozmiar przekroju walca przez przednią płaszczyznę wystającą.

Źródła:

• jak wymienić samolot

Wskazówka 3: Jak znaleźć obszar przekroju osiowego ściętego stożka

Aby rozwiązać ten problem, musisz pamiętać, czym jest stożek ścięty i jakie ma właściwości. Koniecznie rysuj. To określi, która figura geometryczna jest sekcją. Jest całkiem możliwe, że po tym rozwiązanie problemu nie będzie już dla ciebie trudne.

Instrukcja

Okrągły stożek to bryła uzyskana przez obrócenie trójkąta wokół jednej z jego nóg. Proste linie wychodzące z góry szyszki i przecinające jego podstawę nazywane są generatorami. Jeśli wszystkie generatory są równe, stożek jest prosty. U podstawy rundy szyszki leży koło. Prostopadła rzucona z góry na podstawę to wysokość szyszki. Na okrągłej prostej szyszki wysokość pokrywa się z jego osią. Oś jest linią prostą łączącą się ze środkiem podstawy. Jeśli pozioma płaszczyzna cięcia okrągłego szyszki, to jego górna podstawa jest kołem.

Ponieważ w warunku problemu nie określono, że w tym przypadku jest to stożek, możemy stwierdzić, że jest to prosty stożek ścięty, którego przekrój poziomy jest równoległy do ​​podstawy. Jego przekrój osiowy, tj. płaszczyzna pionowa, która przechodzi przez oś kołową szyszki, jest trapezem równoramiennym. Wszystkie osiowe Sekcje okrągły prosto szyszki są sobie równe. Dlatego znaleźć kwadrat osiowy Sekcje, trzeba znaleźć kwadrat trapez, którego podstawami są średnice podstaw ściętego szyszki, a boki są jego generatorami. Obcięta wysokość szyszki jest również wysokością trapezu.

Pole trapezu określa wzór: S = ½(a+b) h, gdzie S to kwadrat trapez; a - wartość dolnej podstawy trapezu; b - wartość jego górnej podstawy; h - wysokość trapezu.

Ponieważ warunek nie precyzuje, które z nich są podane, możliwe, że średnice obu podstaw są ścięte szyszki znane: AD = d1 to średnica dolnej podstawy ściętego szyszki;BC = d2 to średnica jego górnej podstawy; EH = h1 - wysokość szyszki.Zatem, kwadrat osiowy Sekcje kadłubowy szyszki zdefiniowane: S1 = ½ (d1+d2) h1

Źródła:

• obszar ściętego stożka

Cylinder jest figurą trójwymiarową i składa się z dwóch równych podstaw, które są okręgami, oraz powierzchni bocznej łączącej linie ograniczające podstawy. Liczyć kwadrat cylinder, znajdź obszary wszystkich jego powierzchni i dodaj je.

Cylinder to figura składająca się z cylindrycznej powierzchni i dwóch ułożonych równolegle okręgów. Obliczanie powierzchni cylindra jest problemem w geometrycznej gałęzi matematyki, który można rozwiązać w prosty sposób. Istnieje kilka metod jego rozwiązania, które w rezultacie zawsze sprowadzają się do jednego wzoru.

Jak znaleźć pole walca – zasady obliczeń

• Aby znaleźć obszar cylindra, musisz dodać dwa obszary podstawy z obszarem powierzchni bocznej: S \u003d bok S. + 2 S główny. W bardziej szczegółowej wersji wzór ten wygląda następująco: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Pole powierzchni bocznej danego ciała geometrycznego można obliczyć, jeśli znana jest jego wysokość i promień okręgu leżącego u podstawy. W takim przypadku możesz wyrazić promień od obwodu, jeśli jest podany. Wysokość można znaleźć, jeśli w warunku jest określona wartość tworzącej. W tym przypadku tworząca będzie równa wysokości. Wzór na powierzchnię boczną danego ciała wygląda następująco: S= 2 π rh.
• Obszar podstawy oblicza się według wzoru na znalezienie obszaru koła: S osn= π r 2 . W niektórych zadaniach promień może nie być podany, ale podany jest obwód. Za pomocą tego wzoru promień można wyrazić dość łatwo. С=2π r, r= С/2π. Należy również pamiętać, że promień to połowa średnicy.
• Podczas wykonywania wszystkich tych obliczeń liczba π zwykle nie jest tłumaczona na 3,14159 ... Wystarczy dodać ją obok wartości liczbowej uzyskanej w wyniku obliczeń.
• Ponadto wystarczy pomnożyć znalezioną powierzchnię podstawy przez 2 i dodać do otrzymanej liczby obliczoną powierzchnię bocznej powierzchni figury.
• Jeśli problem wskazuje, że cylinder ma przekrój osiowy, a to jest prostokąt, to rozwiązanie będzie nieco inne. W tym przypadku szerokość prostokąta będzie średnicą koła leżącego u podstawy ciała. Długość figury będzie równa tworzącej lub wysokości cylindra. Konieczne jest obliczenie żądanych wartości i podstawienie w znanym już wzorze. W takim przypadku szerokość prostokąta należy podzielić przez dwa, aby znaleźć obszar podstawy. Aby znaleźć powierzchnię boczną, długość mnoży się przez dwa promienie i liczbę π.
• Możesz obliczyć powierzchnię danego ciała geometrycznego na podstawie jego objętości. Aby to zrobić, musisz wyprowadzić brakującą wartość ze wzoru V=π r 2 h.
• Nie ma nic trudnego w obliczeniu powierzchni cylindra. Wystarczy znać wzory i umieć z nich wyprowadzić wielkości potrzebne do obliczeń.