Gemeentelijke onderwijsinstelling

"Novoukolovskaja middelbare school"

Krasnensky-district, regio Belgorod

Algebra les in het 11e leerjaar

“Toepassing van verschillende transformaties die leiden tot een uitvloeiselvergelijking”

Voorbereid en uitgevoerd

Wiskundeleraar

Charkovskaja Valentina Grigorievna

Algebra 11e leerjaar

Onderwerp: Toepassing van verschillende transformaties die leiden tot de uitvloeiselvergelijking.

Doel: voorwaarden creëren voor het consolideren van materiaal over het onderwerp: "Toepassing van verschillende transformaties die leiden tot een vergelijkingsgevolg"; Ronafhankelijkheid ontwikkelen, spraakvaardigheid verbeteren; om de computervaardigheden van studenten te ontwikkelen; voltooi taken die overeenkomen met het Unified State Examination-niveau.

Apparatuur: leerboek, computer, kaarten

Lestype: les over complexe toepassing van ZUN

Tijdens de lessen

Organisatiemoment (dia 1)

Goedemiddag jongens! Kijk naar deze foto's en kies welke je het leukst vond. Ik zie dat jij, net als ik, met een goed humeur naar de les bent gekomen, en ik denk dat dit tot het einde van de les zo zal blijven. Ik wens je vruchtbaar werk.

Jongens, jullie hebben allemaal beoordelingsformulieren op je bureau waarin je jezelf in elke fase van de les evalueert.

Huiswerk controleren (dia 2)

Markeer de oplossingen op de dia en de kinderen geven zichzelf cijfers

zelfcontroleblad. Geen fouten – “5”, indien 1 fout – “4”, 2

fouten – “3”. Als je veel kinderen krijgt die er 2 hebben

fouten, los deze taak dan op het bord op.

Aankondiging van het onderwerp van de les (dia 3). lesdoelen stellen

U kunt het onderwerp van onze les op de dia zien. Wat denk je dan

Gaan we vandaag bij jou in de klas studeren?

Nou jongens, laten we het materiaal onthouden dat we hebben besproken. .

Laten we beginnen met mondeling werk :

Mondeling werk (dia 4)

Welke vergelijkingen worden gevolgvergelijkingen genoemd? (als een wortel van de eerste vergelijking een wortel is van de tweede, dan wordt de tweede vergelijking een gevolg van de eerste genoemd);

Hoe wordt de overgang naar een gevolgvergelijking genoemd? (een vergelijking vervangen door een andere vergelijking, wat het gevolg is);

Welke transformaties leiden tot de gevolgvergelijking? Geef voorbeelden. (een vergelijking tot een even macht verheffen; een logaritmische vergelijking versterken; de vergelijking bevrijden van de noemer; vergelijkbare termen van de vergelijking brengen; formules toepassen).

Los de vergelijkingen op (dia 5)

(vergelijkingen worden op het scherm weergegeven):

1) = 6; (antwoord: 36)

2) = 3; (antwoord: 11)

3) = 4; (antwoord: 6)

4) = - 2; (antwoord: geen oplossingen, aangezien de linkerkant van de vergelijking alleen niet-negatieve waarden aanneemt)

5) = 9; (antwoord: -9 en 9)

6) = -2; (antwoord: geen oplossingen, aangezien de som van twee

niet-negatieve getallen kunnen niet negatief zijn)

Jongens, ik denk dat jullie hebben gemerkt dat we bij het maken van huiswerk en mondeling werk taken tegenkwamen die overeenkwamen met de demoversie, specificatie en Unified State Examination-codifier.

4. Taken voltooien

Jongens, laten we in onze notitieboekjes werken:

№8.26 (a) – op het bord

№8.14 (c) – op het bord

Oefening voor de ogen (muziek)

№8.8 (c)-op het bord

№8.9-(e)-op het bord

5. Zelfstandig werken (dia 6)

Oplossing voor zelfstandig werken (dia 7)

6. Huiswerk: voltooi nr. 8.14 (d), Unified State Examination B5-taak in opties 21,23,25 (dia 8)

7. Lesoverzicht (dia 9)

8. Reflectie (dia 10)

Vragenlijst.

1. Ik heb tijdens de les gewerkt

2. Door mijn werk in klas I

3. De les leek mij

4. Voor les I

5. Mijn humeur

6. Ik had het lesmateriaal

7. Denk je dat je dergelijke taken op het examen aankunt?

8. Huiswerk lijkt mij

actief passief

tevreden/ontevreden

kort lang

niet moe/moe

het werd beter/het werd erger

duidelijk/niet duidelijk

nuttig/nutteloos

interessant saai

ja/nee/weet niet

makkelijk moeilijk

interessant/oninteressant

Gebruikte bronnen:

Nikolski S.M., Potapov K.M.,. Algebra en het begin van wiskundige analyse, graad 11 M.: Prosveshcheniye, 2010

Verzameling van taken ter voorbereiding op het Unified State Examen in de wiskunde

Deze presentatie kan worden gebruikt bij het geven van een algebrales en het begin van de analyse in graad 11 bij het bestuderen van het onderwerp "Vergelijkingen - Gevolgen" volgens het lesmateriaal van de auteurs S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

Documentinhoud bekijken
“Vergelijkingen van consequentie. Andere transformaties die leiden tot de uitvloeiselvergelijking"

VERGELIJKINGEN - GEVOLGEN

MONDELING WERK

• Welke vergelijkingen worden gevolgvergelijkingen genoemd?
• Wat de overgang naar de gevolgvergelijking wordt genoemd
• Welke transformaties leiden tot de gevolgvergelijking?

MONDELING WERK

• √x= 6
• √ x-2 = 3
• 3 √x= 4;
• √ x 2 =9
• √x+4=-2
• √x+1+√x+2=-2

Geen oplossingen

Geen oplossingen

MONDELING WERK

Geen oplossingen

Transformaties die leiden tot de uitvloeiselvergelijking

Conversie

Effect op de wortels van de vergelijking

Een vergelijking verheffen tot een macht EVEN

f(x)=g(x) (f(x)) n =(g(x)) n

Potentiëring van logaritmische vergelijkingen, d.w.z. vervanging:

log een f(x)=log een g(x) f(x)= G(X)

Kan ervoor zorgen dat er vreemde wortels verschijnen

De vergelijking bevrijden van noemers:

Kan leiden tot het verschijnen van externe wortels, d.w.z. die getallen x i waarvoor of

Het verschil f(x)-f(x) vervangen door nul, d.w.z. soortgelijke leden meenemen

Kan leiden tot het verschijnen van externe wortels, d.w.z. die getallen voor elk waarvan de functie f(x) niet is gedefinieerd.

Als bij het oplossen van deze vergelijking een overgang naar de gevolgvergelijking wordt gemaakt, dan is het noodzakelijk om te controleren of alle wortels van de gevolgvergelijking wortels zijn van de oorspronkelijke vergelijking.

Het controleren van de verkregen wortels is een verplicht onderdeel van het oplossen van de vergelijking.

№ 8.2 2 (A) Los De vergelijking op :

2) Nr. 8.23 ​​(a)

№ 8.24 (a, c) Los De vergelijking op :

№ 8,25 (a,c) Los De vergelijking op :

№ 8.28 (a, c) Los De vergelijking op :

№ 8.29 (a, c) Los De vergelijking op :

HUISWERK

• Compleet nr. 8.24 (b,d), pagina 236
• Nr. 8.25 (b, d)
• 8,28 (b, d)
• 8,29 (b,d)

Sommige transformaties stellen ons in staat om van de opgeloste vergelijking over te gaan naar equivalente vergelijkingen, evenals naar daaruit voortvloeiende vergelijkingen, wat de oplossing van de oorspronkelijke vergelijking vereenvoudigt. In dit materiaal zullen we u vertellen wat deze vergelijkingen zijn, de basisdefinities formuleren, ze illustreren met duidelijke voorbeelden en precies uitleggen hoe de wortels van de oorspronkelijke vergelijking worden berekend op basis van de wortels van de gevolgvergelijking of een gelijkwaardige vergelijking.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Het concept van equivalente vergelijkingen

Definitie 1

Equivalent Dergelijke vergelijkingen worden vergelijkingen genoemd die dezelfde wortels hebben, of vergelijkingen waarin er geen wortels zijn.

Dit soort definities zijn vaak te vinden in verschillende leerboeken. Laten we een paar voorbeelden geven.

Definitie 2

De vergelijking f(x) = g(x) wordt als gelijkwaardig beschouwd aan de vergelijking r(x) = s(x) als ze dezelfde wortels hebben of als ze allebei geen wortels hebben.

Definitie 3

Vergelijkingen met dezelfde wortels worden als gelijkwaardig beschouwd. Ze worden ook beschouwd als twee vergelijkingen die evenmin wortels hebben.

Definitie 4

Als de vergelijking f (x) = g (x) dezelfde reeks wortels heeft als de vergelijking p (x) = h (x), dan worden ze als gelijkwaardig aan elkaar beschouwd.

Als we het hebben over een samenvallende reeks wortels, bedoelen we dat als een bepaald getal de wortel is van één vergelijking, het geschikt zal zijn als oplossing voor een andere vergelijking. Geen van de equivalente vergelijkingen kan een wortel hebben die niet geschikt is voor de andere.

Laten we verschillende voorbeelden van dergelijke vergelijkingen geven.

voorbeeld 1

4 x = 8, 2 x = 4 en x = 2 zijn bijvoorbeeld equivalent, omdat elk van hen slechts één wortel heeft: twee. Ook x · 0 = 0 en 2 + x = x + 2 zullen equivalent zijn, aangezien hun wortels elk getal kunnen zijn, dat wil zeggen dat hun oplossingssets samenvallen. Ook equivalent zijn de vergelijkingen x = x + 5 en x 4 = − 1, die elk geen enkele oplossing hebben.

Beschouw voor de duidelijkheid een aantal voorbeelden van niet-equivalente vergelijkingen.

Voorbeeld 2

Deze zouden bijvoorbeeld x = 2 en x 2 = 4 zijn, omdat hun wortels verschillend zijn. Hetzelfde geldt voor de vergelijkingen x x = 1 en x 2 + 5 x 2 + 5, omdat in de tweede de oplossing elk getal kan zijn, en in de tweede kan de wortel niet 0 zijn.

De hierboven gegeven definities zijn ook geschikt voor vergelijkingen met meerdere variabelen, maar in het geval dat we het hebben over twee, drie of meer wortels, is de uitdrukking 'de vergelijking oplossen' geschikter. Samenvattend: equivalente vergelijkingen zijn vergelijkingen die dezelfde of helemaal geen oplossingen hebben.

Laten we voorbeelden nemen van vergelijkingen die verschillende variabelen bevatten en aan elkaar gelijkwaardig zijn. Dus x 2 + y 2 + z 2 = 0 en 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 omvatten elk drie variabelen en hebben in alle drie de gevallen slechts één oplossing, gelijk aan 0. En het paar vergelijkingen x + y = 5 en x · y = 1 zal niet gelijkwaardig zijn aan elkaar, omdat bijvoorbeeld de waarden 5 en 3 geschikt zijn voor de eerste, maar geen oplossing zullen zijn voor de ten tweede: als we ze in de eerste vergelijking vervangen, krijgen we de juiste gelijkheid, en in de tweede - onjuist.

Het concept van gevolgvergelijkingen

Laten we enkele voorbeelden aanhalen van definities van gevolgvergelijkingen uit leerboeken.

Definitie 5

Een gevolg van de vergelijking f (x) = g (x) zal de vergelijking p (x) = h (x) zijn, op voorwaarde dat elke wortel van de eerste vergelijking tegelijkertijd een wortel is van de tweede.

Definitie 6

Als de eerste vergelijking dezelfde wortels heeft als de tweede, dan zal de tweede een gevolgvergelijking zijn van de eerste.

Laten we een paar voorbeelden van dergelijke vergelijkingen nemen.

Voorbeeld 3

Dus x · 2 = 32 zal een gevolg zijn van x − 3 = 0, aangezien de eerste slechts één wortel heeft, gelijk aan drie, en het zal daarom ook de wortel zijn van de tweede vergelijking, dus in de context van deze definitie , zal de ene vergelijking een gevolg zijn van de andere. Nog een voorbeeld: de vergelijking (x − 2) · (x − 3) · (x − 4) = 0 zal het gevolg zijn van x - 2 · x - 3 · x - 4 2 x - 4 omdat de tweede vergelijking er twee heeft wortels, gelijk aan 2 en 3, die tegelijkertijd de wortels van de eerste zullen zijn.

Uit de hierboven gegeven definitie kunnen we concluderen dat de consequentie van elke vergelijking die geen wortels heeft, ook elke vergelijking zal zijn. Hier zijn enkele andere gevolgen van alle regels die in dit artikel zijn geformuleerd:

Definitie 7

1. Als de ene vergelijking gelijkwaardig is aan de andere, zal elk ervan een gevolg zijn van de ander.
2. Als elk van de twee vergelijkingen een gevolg is van de ander, dan zijn deze vergelijkingen gelijkwaardig aan elkaar.
3. De vergelijkingen zullen alleen gelijkwaardig zijn ten opzichte van elkaar als elk ervan een gevolg is van de ander.

Hoe je de wortels van een vergelijking kunt vinden op basis van de wortels van een gevolgvergelijking of een gelijkwaardige vergelijking

Gebaseerd op wat we in de definities hebben geschreven, kennen we in het geval dat we de wortels van één vergelijking kennen, ook de wortels van gelijkwaardige vergelijkingen, omdat ze zullen samenvallen.

Als we alle wortels van de gevolgvergelijking kennen, kunnen we de wortels bepalen van de tweede vergelijking waarvan deze een gevolg is. Om dit te doen, hoeft u alleen externe wortels te verwijderen. Over hoe dit gebeurt, schreven we een apart artikel. Wij adviseren u om het te lezen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

De volgende transformaties worden het vaakst gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen:

Andere transformaties

In de lijst in de vorige paragraaf hebben we bewust geen transformaties opgenomen zoals het verheffen van beide zijden van de vergelijking tot dezelfde natuurlijke macht, logaritme, het potentiëren van beide zijden van de vergelijking, het extraheren van de wortel van dezelfde graad aan beide zijden van de vergelijking. vergelijking, het vrijgeven van een externe functie en andere. Feit is dat deze transformaties niet zo algemeen zijn: transformaties uit de bovenstaande lijst worden gebruikt om allerlei soorten vergelijkingen op te lossen, en de zojuist genoemde transformaties worden gebruikt om bepaalde soorten vergelijkingen op te lossen (irrationeel, exponentieel, logaritmisch, enz.). Ze worden in detail besproken in het kader van de overeenkomstige methoden voor het oplossen van de overeenkomstige soorten vergelijkingen. Hier zijn links naar hun gedetailleerde beschrijvingen:

• Beide zijden van een vergelijking verheffen tot dezelfde natuurlijke macht.
• Logaritmen nemen van beide kanten van de vergelijking.
• Beide kanten van de vergelijking versterken.
• De wortel van dezelfde macht uit beide zijden van een vergelijking halen.
• Een uitdrukking vervangen die overeenkomt met een van de delen van de oorspronkelijke vergelijking door een uitdrukking uit een ander deel van de oorspronkelijke vergelijking.

De aangeboden links bevatten uitgebreide informatie over de vermelde transformaties. Daarom zullen we er in dit artikel niet langer op ingaan. Alle volgende informatie geldt voor transformaties uit de lijst met basistransformaties.

Wat gebeurt er als gevolg van het transformeren van de vergelijking?

Het uitvoeren van alle bovenstaande transformaties kan een vergelijking opleveren die dezelfde wortels heeft als de oorspronkelijke vergelijking, of een vergelijking waarvan de wortels alle wortels van de oorspronkelijke vergelijking bevatten, maar die ook andere wortels kan hebben, of een vergelijking waarvan de wortels niet omvatten alle wortels van de getransformeerde vergelijking. In de volgende paragrafen zullen we analyseren welke van deze transformaties, onder welke omstandigheden, tot welke vergelijkingen leiden. Dit is uiterst belangrijk om te weten voor het succesvol oplossen van vergelijkingen.

Equivalente transformaties van vergelijkingen

Van bijzonder belang zijn transformaties van vergelijkingen die resulteren in equivalente vergelijkingen, dat wil zeggen vergelijkingen die dezelfde reeks wortels hebben als de oorspronkelijke vergelijking. Dergelijke transformaties worden genoemd gelijkwaardige transformaties. In schoolboeken wordt de bijbehorende definitie niet expliciet gegeven, maar deze is gemakkelijk uit de context te lezen:

Definitie

Equivalente transformaties van vergelijkingen zijn transformaties die gelijkwaardige vergelijkingen opleveren.

Dus waarom zijn gelijkwaardige transformaties interessant? Het is een feit dat als het met hun hulp mogelijk is om van de opgeloste vergelijking een vrij eenvoudige equivalente vergelijking te maken, het oplossen van deze vergelijking de gewenste oplossing voor de oorspronkelijke vergelijking zal opleveren.

Van de in de vorige paragraaf genoemde transformaties zijn niet alle transformaties altijd gelijkwaardig. Sommige transformaties zijn alleen onder bepaalde omstandigheden gelijkwaardig. Laten we een lijst maken met uitspraken die bepalen welke transformaties en onder welke omstandigheden equivalente transformaties van de vergelijking zijn. Om dit te doen, nemen we de bovenstaande lijst als basis, en aan de transformaties die niet altijd gelijkwaardig zijn, voegen we voorwaarden toe die ze gelijkwaardigheid geven. Hier is de lijst:

• Het vervangen van een uitdrukking aan de linker- of rechterkant van een vergelijking door een uitdrukking die de variabelen voor de vergelijking niet verandert, is een equivalente transformatie van de vergelijking.

Laten we uitleggen waarom dit zo is. Om dit te doen, nemen we een vergelijking met één variabele (een soortgelijke redenering kan worden uitgevoerd voor vergelijkingen met meerdere variabelen) van de vorm A(x)=B(x), we hebben de uitdrukkingen aan de linker- en rechterkant aangegeven als A( x) en B(x), respectievelijk. Stel dat de uitdrukking C(x) identiek gelijk is aan de uitdrukking A(x), en de ODZ van de variabele x van de vergelijking C(x)=B(x) valt samen met de ODZ van de variabele x voor de oorspronkelijke vergelijking. Laten we bewijzen dat de transformatie van de vergelijking A(x)=B(x) in de vergelijking C(x)=B(x) een equivalente transformatie is, dat wil zeggen, we zullen bewijzen dat de vergelijkingen A(x)=B (x) en C(x) =B(x) zijn gelijkwaardig.

Om dit te doen is het voldoende om aan te tonen dat elke wortel van de oorspronkelijke vergelijking een wortel is van de vergelijking C(x)=B(x), en elke wortel van de vergelijking C(x)=B(x) een wortel is. van de oorspronkelijke vergelijking.

Laten we beginnen met het eerste deel. Laat q de wortel zijn van de vergelijking A(x)=B(x), en als we x vervangen, krijgen we de juiste numerieke gelijkheid A(q)=B(q). Omdat de uitdrukkingen A(x) en C(x) identiek gelijk zijn en de uitdrukking C(q) zinvol is (dit volgt uit de voorwaarde dat de OD voor de vergelijking C(x)=B(x) samenvalt met de OD voor de oorspronkelijke vergelijking), dan is de numerieke gelijkheid A(q)=C(q) waar. Vervolgens gebruiken we de eigenschappen van numerieke gelijkheden. Vanwege de symmetrie-eigenschap kan de gelijkheid A(q)=C(q) herschreven worden als C(q)=A(q) . Als gevolg van de transitiviteitseigenschap impliceren de gelijkheden C(q)=A(q) en A(q)=B(q) vervolgens de gelijkheid C(q)=B(q). Dit bewijst dat q de wortel is van de vergelijking C(x)=B(x) .

Het tweede deel, en daarmee de hele bewering als geheel, wordt op absoluut analoge wijze bewezen.

De essentie van de geanalyseerde equivalente transformatie is als volgt: u kunt afzonderlijk werken met uitdrukkingen aan de linker- en rechterkant van de vergelijkingen, en deze vervangen door identiek gelijke uitdrukkingen op de oorspronkelijke ODZ van variabelen.

Het meest voorkomende voorbeeld: we kunnen de som van de getallen aan de rechterkant van de vergelijking x=2+1 vervangen door de waarde ervan, wat zal resulteren in een equivalente vergelijking van de vorm x=3. We hebben inderdaad de uitdrukking 2+1 vervangen door de identiek gelijke uitdrukking 3, en de ODZ van de vergelijking veranderde niet. Nog een voorbeeld: aan de linkerkant van de vergelijking 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 kunnen we dat, en aan de rechterkant – , wat ons naar de equivalente vergelijking 3·x+ zal leiden 6=5·x+ 3. De resulterende vergelijking is inderdaad equivalent, omdat we de uitdrukkingen hebben vervangen door identiek gelijke uitdrukkingen en tegelijkertijd een vergelijking hebben verkregen met een OD die samenvalt met de OD voor de oorspronkelijke vergelijking.

• Het optellen van hetzelfde getal aan beide zijden van een vergelijking of het aftrekken van hetzelfde getal aan beide zijden van een vergelijking is een gelijkwaardige transformatie van de vergelijking.

Laten we bewijzen dat het optellen van hetzelfde getal c aan beide zijden van de vergelijking A(x)=B(x) de equivalente vergelijking A(x)+c=B(x)+c oplevert en dat het aftrekken van beide zijden van de vergelijking A(x) =B(x) van hetzelfde getal c geeft de equivalente vergelijking A(x)−c=B(x)−c.

Stel dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x), dan is de gelijkheid A(q)=B(q) waar. De eigenschappen van numerieke gelijkheden stellen ons in staat om aan beide zijden van een echte numerieke gelijkheid op te tellen of hetzelfde getal van de delen ervan af te trekken. Laten we dit getal noteren als c, dan zijn de gelijkheden A(q)+c=B(q)+c en A(q)−c=B(q)−c geldig. Uit deze gelijkheden volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)+c=B(x)+c en de vergelijking A(x)−c=B(x)−c.

Nu terug. Zij q de wortel van de vergelijking A(x)+c=B(x)+c en de vergelijking A(x)−c=B(x)−c, dan is A(q)+c=B(q) +c en A (q)−c=B(q)−c . We weten dat het aftrekken van hetzelfde getal aan beide zijden van een echte numerieke gelijkheid een echte numerieke gelijkheid oplevert. We weten ook dat het toevoegen van de juiste numerieke gelijkheid aan beide zijden de juiste numerieke gelijkheid oplevert. Laten we het getal c aftrekken van beide zijden van de correcte numerieke gelijkheid A(q)+c=B(q)+c, en het getal c toevoegen aan beide zijden van de gelijkheid A(x)−c=B(x) −c. Dit geeft ons de juiste numerieke gelijkheden A(q)+c−c=B(q)+c−c en A(q)−c+c=B(q)+c−c, waaruit we concluderen dat A (q) =B(q) . Uit de laatste gelijkheid volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x) .

Dit bewijst de oorspronkelijke verklaring als geheel.

Laten we een voorbeeld geven van een dergelijke transformatie van vergelijkingen. Laten we de vergelijking x−3=1 nemen en deze transformeren door het getal 3 aan beide kanten op te tellen, waarna we de vergelijking x−3+3=1+3 krijgen, die equivalent is aan de oorspronkelijke vergelijking. Het is duidelijk dat je in de resulterende vergelijking bewerkingen met getallen kunt uitvoeren, zoals we in het vorige item op de lijst hebben besproken, met als resultaat de vergelijking x=4. Dus door equivalente transformaties uit te voeren, hebben we per ongeluk de vergelijking x−3=1 opgelost, de wortel ervan is het getal 4. De beschouwde equivalente transformatie wordt heel vaak gebruikt om identieke numerieke termen in verschillende delen van de vergelijking te verwijderen. Zowel aan de linker- als aan de rechterkant van de vergelijking x 2 +1=x+1 is er bijvoorbeeld dezelfde term 1. Door het getal 1 van beide kanten van de vergelijking af te trekken, kunnen we verdergaan met de equivalente vergelijking x 2 + 1−1=x+1−1 en verder naar equivalente vergelijking x 2 =x, en verwijder daardoor deze identieke termen.

• Het toevoegen aan beide zijden van de vergelijking of het aftrekken van beide zijden van de vergelijking van een uitdrukking waarvoor de ODZ niet smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, is een equivalente transformatie.

Laten we deze bewering bewijzen. Dat wil zeggen, we bewijzen dat de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x)+C(x)=B(x)+C(x) equivalent zijn, op voorwaarde dat de ODZ voor de uitdrukking C(x) ) nog niet is, dan ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x) .

Eerst bewijzen we één hulppunt. Laten we bewijzen dat, onder de gespecificeerde omstandigheden, de OD-vergelijkingen voor en na de transformatie hetzelfde zijn. De ODZ voor de vergelijking A(x)+C(x)=B(x)+C(x) kan inderdaad worden beschouwd als het snijpunt van de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x) en de ODZ voor de uitdrukking C(x) . Hieruit en uit het feit dat de ODZ voor de uitdrukking C(x) per voorwaarde niet smaller is dan de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), volgt dat de ODZ voor de vergelijkingen A(x)= B(x) en A (x)+C(x)=B(x)+C(x) zijn hetzelfde.

Nu zullen we de gelijkwaardigheid bewijzen van de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x)+C(x)=B(x)+C(x), op voorwaarde dat de bereiken van aanvaardbare waarden hiervoor vergelijkingen zijn hetzelfde. We zullen geen bewijs geven van de gelijkwaardigheid van de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x)−C(x)=B(x)−C(x) onder de gespecificeerde voorwaarde, aangezien deze vergelijkbaar zijn .

Stel dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x), dan is de numerieke gelijkheid A(q)=B(q) waar. Omdat de ODZ van de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x)+C(x)=B(x)+C(x) hetzelfde zijn, is de uitdrukking C(x) zinvol bij x =q, wat betekent dat C(q) een getal is. Als we C(q) optellen bij beide zijden van de juiste numerieke gelijkheid A(q)=B(q) , geeft dit de juiste numerieke ongelijkheid A(q)+C(q)=B(q)+C(q ) ), waaruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Rug. Zij q de wortel van de vergelijking A(x)+C(x)=B(x)+C(x), dan is A(q)+C(q)=B(q)+C(q) een echte numerieke gelijkheid. We weten dat het aftrekken van hetzelfde getal aan beide zijden van een echte numerieke gelijkheid een echte numerieke gelijkheid oplevert. Trek C(q) af van beide zijden van de gelijkheid A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , dit geeft A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) en verder A(q)=B(q) . Daarom is q de wortel van de vergelijking A(x)=B(x) .

De betreffende bewering is dus volledig bewezen.

Laten we een voorbeeld geven van deze transformatie. Laten we de vergelijking 2 x+1=5 x+2 nemen. We kunnen aan beide kanten bijvoorbeeld de uitdrukking −x−1 toevoegen. Het toevoegen van deze uitdrukking zal de ODZ niet veranderen, wat betekent dat een dergelijke transformatie gelijkwaardig is. Als resultaat hiervan verkrijgen we de equivalente vergelijking 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Deze vergelijking kan verder worden getransformeerd: open de haakjes en verklein gelijksoortige termen aan de linker- en rechterkant (zie het eerste item in de lijst). Na het uitvoeren van deze acties verkrijgen we de equivalente vergelijking x=4·x+1. De transformatie van vergelijkingen die vaak wordt overwogen, wordt gebruikt om identieke termen te verwijderen die zich tegelijkertijd aan de linker- en rechterkant van de vergelijking bevinden.

• Als je een term in een vergelijking van het ene deel naar het andere verplaatst en het teken van deze term in het tegenovergestelde verandert, krijg je een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.

Deze verklaring is een gevolg van de voorgaande.

Laten we laten zien hoe deze equivalente transformatie van de vergelijking wordt uitgevoerd. Laten we de vergelijking 3·x−1=2·x+3 nemen. Laten we de term bijvoorbeeld 2 x van de rechterkant naar links verplaatsen, waardoor het teken verandert. In dit geval verkrijgen we de equivalente vergelijking 3·x−1−2·x=3. Je kunt ook min één van de linkerkant van de vergelijking naar rechts verplaatsen, waarbij je het teken verandert in plus: 3 x−2 x=3+1. Tenslotte leidt het brengen van vergelijkbare termen ons naar de equivalente vergelijking x=4.

• Het vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een vergelijking door hetzelfde getal dat niet nul is, is een equivalente transformatie.

Laten we een bewijs geven.

Laat A(x)=B(x) een vergelijking zijn en c een getal dat verschilt van nul. Laten we bewijzen dat het vermenigvuldigen of delen van beide zijden van de vergelijking A(x)=B(x) door het getal c een equivalente transformatie van de vergelijking is. Om dit te doen, bewijzen we dat de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x) c=B(x) c, evenals de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x) :c= B(x):c - equivalent. Dit kan op deze manier worden gedaan: bewijs dat elke wortel van de vergelijking A(x)=B(x) een wortel is van de vergelijking A(x) c=B(x) c en een wortel van de vergelijking A(x) :c=B(x) :c , en bewijs dan dat elke wortel van de vergelijking A(x) c=B(x) c , net als elke wortel van de vergelijking A(x):c=B(x):c , is een wortel van de vergelijking A(x) =B(x) . Laten we het doen.

Laat q de wortel zijn van de vergelijking A(x)=B(x) . Dan is de numerieke gelijkheid A(q)=B(q) waar. Nadat we de eigenschappen van numerieke gelijkheden hebben bestudeerd, hebben we geleerd dat het vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een echte numerieke gelijkheid door hetzelfde getal anders dan nul tot een echte numerieke gelijkheid leidt. Door beide zijden van de gelijkheid A(q)=B(q) te vermenigvuldigen met c, verkrijgen we de correcte numerieke gelijkheid A(q) c=B(q) c, waaruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A( x) c= B(x)·c . En door beide zijden van de gelijkheid A(q)=B(q) te delen door c, verkrijgen we de correcte numerieke gelijkheid A(q):c=B(q):c, waaruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x):c =B(x):c .

Nu in de andere richting. Laat q de wortel zijn van de vergelijking A(x) c=B(x) c. Dan is A(q)·c=B(q)·c een echte numerieke gelijkheid. Door beide delen ervan te delen door een getal c dat niet nul is, verkrijgen we de juiste numerieke gelijkheid A(q)·c:c=B(q)·c:c en verder A(q)=B(q) . Hieruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x) . Als q de wortel is van de vergelijking A(x):c=B(x):c . Dan is A(q):c=B(q):c een echte numerieke gelijkheid. Door beide delen ervan te vermenigvuldigen met een getal c dat niet nul is, verkrijgen we de juiste numerieke gelijkheid A(q):c·c=B(q):c·c en verder A(q)=B(q) . Hieruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x) .

De stelling is bewezen.

Laten we een voorbeeld geven van deze transformatie. Met zijn hulp kun je bijvoorbeeld breuken in de vergelijking verwijderen. Om dit te doen, kunt u beide zijden van de vergelijking met 12 vermenigvuldigen. Het resultaat is een equivalente vergelijking van de vorm , die vervolgens kan worden omgezet in de equivalente vergelijking 7 x−3=10, die geen breuken in de notatie bevat.

• Het vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een vergelijking door dezelfde uitdrukking, waarvan de OD niet smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking en niet verdwijnt door de OD voor de oorspronkelijke vergelijking, is een equivalente transformatie.

Laten we deze bewering bewijzen. Om dit te doen bewijzen we dat als de ODZ voor de uitdrukking C(x) niet smaller is dan de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), en C(x) niet verdwijnt op de ODZ voor de vergelijking A(x)=B( x) , dan de vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x) C(x)=B(x) C(x), evenals de vergelijkingen A(x) =B(x) en A( x):C(x)=B(x):C(x) - equivalent.

Laat q de wortel zijn van de vergelijking A(x)=B(x) . Dan is A(q)=B(q) een echte numerieke gelijkheid. Uit het feit dat de ODZ voor de uitdrukking C(x) niet dezelfde ODZ is voor de vergelijking A(x)=B(x), volgt dat de uitdrukking C(x) zinvol is als x=q. Dit betekent dat C(q) een getal is. Bovendien is C(q) niet nul, wat volgt uit de voorwaarde dat de uitdrukking C(x) niet verdwijnt. Als we beide zijden van de gelijkheid A(q)=B(q) vermenigvuldigen met een getal dat niet nul is, C(q), geeft dit de juiste numerieke gelijkheid A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , waaruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Als we beide zijden van de gelijkheid A(q)=B(q) delen door een getal dat niet nul is, C(q), geeft dit de juiste numerieke gelijkheid A(q):C(q)=B(q): C(q) , waaruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Rug. Zij q de wortel van de vergelijking A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Dan is A(q)·C(q)=B(q)·C(q) een echte numerieke gelijkheid. Merk op dat de ODZ voor de vergelijking A(x) C(x)=B(x) C(x) hetzelfde is als de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x) (we hebben dit gerechtvaardigd in een van de vorige paragrafen huidige lijst). Omdat C(x) per voorwaarde niet verdwijnt op de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), is C(q) een getal dat niet nul is. Door beide zijden van de gelijkheid A(q) C(q)=B(q) C(q) te delen door een getal dat niet nul is C(q), verkrijgen we de juiste numerieke gelijkheid A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) en verder A(q)=B(q) . Hieruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x) . Als q de wortel is van de vergelijking A(x):C(x)=B(x):C(x) . Dan is A(q):C(q)=B(q):C(q) een echte numerieke gelijkheid. Door beide zijden van de gelijkheid A(q):C(q)=B(q):C(q) te vermenigvuldigen met een getal C(q) dat niet nul is, verkrijgen we de juiste numerieke gelijkheid A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) en verder A(q)=B(q) . Hieruit volgt dat q de wortel is van de vergelijking A(x)=B(x) .

De stelling is bewezen.

Voor de duidelijkheid geven we een voorbeeld van het uitvoeren van een gedemonteerde transformatie. Laten we beide zijden van de vergelijking x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) delen door de uitdrukking x 2 +1. Deze transformatie is equivalent, aangezien de uitdrukking x 2 +1 niet verdwijnt op de OD voor de oorspronkelijke vergelijking en de OD van deze uitdrukking niet smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking. Als resultaat van deze transformatie verkrijgen we de equivalente vergelijking x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8 ·(x 2 +1):(x 2 +1), die verder kan worden omgezet in de equivalente vergelijking x 3 =8.

Transformaties die leiden tot gevolgvergelijkingen

In de vorige paragraaf hebben we onderzocht welke transformaties uit de lijst met basistransformaties en onder welke voorwaarden gelijkwaardig zijn. Laten we nu eens kijken welke van deze transformaties en onder welke omstandigheden tot gevolgvergelijkingen leiden, dat wil zeggen tot vergelijkingen die alle wortels van de getransformeerde vergelijking bevatten, maar daarnaast ook nog andere wortels kunnen hebben - externe wortels voor de oorspronkelijke vergelijking.

Er is niet minder vraag naar transformaties die leiden tot gevolgvergelijkingen dan naar gelijkwaardige transformaties. Als het met hun hulp mogelijk is om een ​​vergelijking te verkrijgen die vrij eenvoudig is in termen van oplossing, dan zal de oplossing ervan en de daaropvolgende eliminatie van externe wortels een oplossing opleveren voor de oorspronkelijke vergelijking.

Merk op dat alle equivalente transformaties kunnen worden beschouwd als speciale gevallen van transformaties die tot gevolgvergelijkingen leiden. Dit is begrijpelijk, omdat een equivalente vergelijking een speciaal geval is van een uitvloeiselvergelijking. Maar vanuit praktisch oogpunt is het nuttiger om te weten dat de transformatie die we overwegen precies gelijkwaardig is en niet tot een daaruit voortvloeiende vergelijking leidt. Laten we uitleggen waarom dit zo is. Als we weten dat de transformatie equivalent is, zal de resulterende vergelijking zeker geen wortels hebben die vreemd zijn aan de oorspronkelijke vergelijking. En de transformatie die tot de uitvloeiselvergelijking leidt, kan de oorzaak zijn van het verschijnen van externe wortels, die ons in de toekomst verplichten een extra actie uit te voeren: het uitfilteren van externe wortels. Daarom zullen we ons in dit gedeelte van het artikel concentreren op transformaties, waardoor vreemde wortels kunnen verschijnen voor de oorspronkelijke vergelijking. En het is erg belangrijk om dergelijke transformaties te kunnen onderscheiden van gelijkwaardige transformaties om duidelijk te begrijpen wanneer het nodig is om externe wortels eruit te filteren, en wanneer dit niet nodig is.

Laten we de volledige lijst met basistransformaties van vergelijkingen in de tweede paragraaf van dit artikel analyseren om naar transformaties te zoeken, waardoor vreemde wortels kunnen verschijnen.

• Uitdrukkingen aan de linker- en rechterkant van de vergelijking vervangen door identiek gelijke uitdrukkingen.

We hebben bewezen dat deze transformatie gelijkwaardig is als de implementatie ervan de OD niet verandert. En als de DL verandert, wat zal er dan gebeuren? De vernauwing van de ODZ kan leiden tot wortelverlies, dit wordt in de volgende paragraaf nader besproken. En met de uitbreiding van de ODZ kunnen vreemde wortels verschijnen. Het is niet moeilijk om dit te rechtvaardigen. Laten we de overeenkomstige redenering presenteren.

Laat de uitdrukking C(x) zo zijn dat deze identiek gelijk is aan de uitdrukking A(x) en dat de OD voor de vergelijking C(x)=B(x) breder is dan de OD voor de vergelijking A(x)=B (X). Laten we bewijzen dat de vergelijking C(x)=B(x) een gevolg is van de vergelijking A(x)=B(x), en dat er onder de wortels van de vergelijking C(x)=B(x) wortels zijn die vreemd zijn aan de vergelijking A( x)=B(x) .

Laat q de wortel zijn van de vergelijking A(x)=B(x) . Dan is A(q)=B(q) een echte numerieke gelijkheid. Omdat de ODZ voor de vergelijking C(x)=B(x) breder is dan de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), wordt de uitdrukking C(x) gedefinieerd op x=q. Vervolgens concluderen we, rekening houdend met de identieke gelijkheid van de uitdrukkingen C(x) en A(x) , dat C(q)=A(q) . Uit de gelijkheden C(q)=A(q) en A(q)=B(q) volgt, vanwege de transitiviteitseigenschap, de gelijkheid C(q)=B(q). Uit deze gelijkheid volgt dat q de wortel is van de vergelijking C(x)=B(x) . Dit bewijst dat onder de gespecificeerde omstandigheden de vergelijking C(x)=B(x) een gevolg is van de vergelijking A(x)=B(x) .

Rest ons nog te bewijzen dat de vergelijking C(x)=B(x) wortels kan hebben die verschillen van de wortels van de vergelijking A(x)=B(x). Laten we bewijzen dat elke wortel van de vergelijking C(x)=B(x) uit de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x) een wortel is van de vergelijking A(x)=B(x). Pad p is de wortel van de vergelijking C(x)=B(x), behorend bij de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x). Dan is C(p)=B(p) een echte numerieke gelijkheid. Omdat p tot de ODZ behoort voor de vergelijking A(x)=B(x), wordt de uitdrukking A(x) gedefinieerd voor x=p. Hieruit en uit de identieke gelijkheid van de uitdrukkingen A(x) en C(x) volgt dat A(p)=C(p) . Uit de gelijkheden A(p)=C(p) en C(p)=B(p), vanwege de transitiviteitseigenschap, volgt dat A(p)=B(p), wat betekent dat p de wortel is van de vergelijking A(x)= B(x) . Dit bewijst dat elke wortel van de vergelijking C(x)=B(x) uit de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x) een wortel is van de vergelijking A(x)=B(x). Met andere woorden, op de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x) kunnen er geen wortels zijn van de vergelijking C(x)=B(x), die externe wortels zijn voor de vergelijking A(x)=B( X). Maar volgens de voorwaarde is de ODZ voor de vergelijking C(x)=B(x) breder dan de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x). En dit maakt het bestaan ​​mogelijk van een getal r dat behoort tot de ODZ voor de vergelijking C(x)=B(x) en niet behoort tot de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), wat de wortel is van de vergelijking C(x)=B(x). Dat wil zeggen dat de vergelijking C(x)=B(x) wortels kan hebben die vreemd zijn aan de vergelijking A(x)=B(x), en ze zullen allemaal behoren tot de verzameling waartoe de ODZ voor de vergelijking A behoort. (x)=B wordt uitgebreid (x) wanneer de uitdrukking A(x) daarin wordt vervangen door de identiek gelijke uitdrukking C(x).

Dus het vervangen van de uitdrukkingen aan de linker- en rechterkant van de vergelijking door identiek gelijke uitdrukkingen, waardoor de ODZ wordt uitgebreid, leidt in het algemene geval tot een uitvloeiselvergelijking (dat wil zeggen, het kan leiden tot het verschijnen van externe wortels) en leidt alleen in een bepaald geval tot een equivalente vergelijking (in het geval dat de resulterende vergelijking geen wortels heeft die vreemd zijn aan de oorspronkelijke vergelijking).

Laten we een voorbeeld geven van het uitvoeren van een ontlede transformatie. Vervanging van de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking identiek gelijk daaraan door de uitdrukking x·(x−1) leidt tot de vergelijking x·(x−1)=0, in dit geval vindt de uitbreiding van de ODZ plaats - het getal 0 wordt eraan toegevoegd. De resulterende vergelijking heeft twee wortels 0 en 1, en het vervangen van deze wortels in de oorspronkelijke vergelijking laat zien dat 0 een vreemde wortel is voor de oorspronkelijke vergelijking, en 1 de wortel van de oorspronkelijke vergelijking. Het vervangen van nul in de oorspronkelijke vergelijking levert inderdaad een betekenisloze uitdrukking op , omdat het deling door nul bevat, en het vervangen van één de juiste numerieke gelijkheid oplevert , wat hetzelfde is als 0=0 .

Merk op dat een soortgelijke transformatie van een soortgelijke vergelijking in de vergelijking (x−1)·(x−2)=0, waardoor de ODZ ook uitbreidt, leidt niet tot het verschijnen van vreemde wortels. Beide wortels van de resulterende vergelijking (x−1)·(x−2)=0 - getallen 1 en 2 zijn inderdaad wortels van de oorspronkelijke vergelijking, wat gemakkelijk te verifiëren is door te controleren door middel van substitutie. Met deze voorbeelden wilden we nogmaals benadrukken dat het vervangen van een uitdrukking aan de linker- of rechterkant van de vergelijking door een identiek gelijke uitdrukking, die de ODZ uitbreidt, niet noodzakelijkerwijs leidt tot het verschijnen van externe wortels. Maar het kan ook leiden tot hun uiterlijk. Dus als een dergelijke transformatie plaatsvond tijdens het oplossen van de vergelijking, dan is het noodzakelijk om een ​​controle uit te voeren om externe wortels te identificeren en eruit te filteren.

Meestal kan de ODZ van een vergelijking zich uitbreiden en kunnen vreemde wortels verschijnen als gevolg van de vervanging door nul van het verschil van identieke uitdrukkingen of de som van uitdrukkingen met tegengestelde tekens, als gevolg van de vervanging door nul van producten met een of meer nulfactoren , vanwege de reductie van breuken en vanwege het gebruik van eigenschappen wortels, machten, logaritmen, enz.

• Hetzelfde getal aan beide zijden van een vergelijking toevoegen of hetzelfde getal aan beide zijden van een vergelijking aftrekken.

We hebben hierboven laten zien dat deze transformatie altijd equivalent is, dat wil zeggen dat ze tot een equivalente vergelijking leidt. Doe Maar.

• Het toevoegen van dezelfde uitdrukking aan beide zijden van een vergelijking of het aftrekken van dezelfde uitdrukking aan beide zijden van een vergelijking.

In de vorige paragraaf hebben we een voorwaarde toegevoegd dat de OD voor de uitdrukking die wordt opgeteld of afgetrokken niet smaller mag zijn dan de OD voor de vergelijking die wordt getransformeerd. Deze voorwaarde maakte de betreffende transformatie gelijkwaardig. Hier zijn argumenten te vinden die vergelijkbaar zijn met die aan het begin van deze paragraaf van het artikel over het feit dat een equivalente vergelijking een speciaal geval is van een uitvloeiselvergelijking en dat kennis over de gelijkwaardigheid van een transformatie praktisch nuttiger is dan kennis over dezelfde. transformatie, maar vanuit het standpunt dat het leidt tot een gevolgvergelijking.

Is het mogelijk om, als gevolg van het optellen van dezelfde uitdrukking of het aftrekken van dezelfde uitdrukking aan beide zijden van een vergelijking, een vergelijking te verkrijgen die, naast alle wortels van de oorspronkelijke vergelijking, nog enkele andere wortels zal hebben? Nee hij kan het niet. Als de ODZ voor de uitdrukking die wordt opgeteld of afgetrokken niet smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, dan wordt als resultaat van het optellen of aftrekken een equivalente vergelijking verkregen. Als de ODZ voor de uitdrukking die wordt opgeteld of afgetrokken smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, kan dit leiden tot het verlies van wortels, en niet tot het verschijnen van externe wortels. We zullen hier in de volgende paragraaf meer over praten.

• Een term van het ene deel van de vergelijking naar het andere overbrengen, waarbij het teken naar het tegenovergestelde is veranderd.

Deze transformatie van de vergelijking is altijd equivalent. Daarom heeft het geen zin om het te beschouwen als een transformatie die tot een vergelijkingsgevolg leidt, om de hierboven genoemde redenen.

• Vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een vergelijking door hetzelfde getal.

In de vorige paragraaf hebben we bewezen dat als de vermenigvuldiging of deling van beide zijden van de vergelijking wordt uitgevoerd door een getal dat niet nul is, dit een gelijkwaardige transformatie van de vergelijking is. Daarom heeft het wederom geen zin om erover te praten als een transformatie die tot een consequentievergelijking leidt.

Maar hier is het de moeite waard om aandacht te besteden aan het voorbehoud over het verschil vanaf nul van het getal waarmee beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd of gedeeld. Voor verdeeldheid is dit voorbehoud begrijpelijk - vanaf de basisschool begrepen we dat Je kunt niet delen door nul. Waarom deze clausule voor vermenigvuldiging? Laten we eens nadenken over wat het resultaat is van het vermenigvuldigen van beide zijden van de vergelijking met nul. Laten we voor de duidelijkheid een specifieke vergelijking nemen, bijvoorbeeld 2 x+1=x+5. Dit is een lineaire vergelijking met één wortel, namelijk het getal 4. Laten we de vergelijking opschrijven die wordt verkregen door beide zijden van deze vergelijking met nul te vermenigvuldigen: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Het is duidelijk dat de wortel van deze vergelijking een willekeurig getal is, want als je een willekeurig getal in deze vergelijking vervangt in plaats van de variabele x, krijg je de juiste numerieke gelijkheid 0=0. Dat wil zeggen dat in ons voorbeeld het vermenigvuldigen van beide zijden van de vergelijking met nul leidde tot een uitvloeiselvergelijking, die het verschijnen van een oneindig aantal externe wortels voor de oorspronkelijke vergelijking veroorzaakte. Bovendien is het vermeldenswaard dat in dit geval de gebruikelijke methoden voor het screenen van externe wortels hun taak niet aankunnen. Dit betekent dat de uitgevoerde transformatie nutteloos is voor het oplossen van de oorspronkelijke vergelijking. En dit is een typische situatie voor de beoogde transformatie. Dit is de reden waarom een ​​transformatie zoals het vermenigvuldigen van beide zijden van een vergelijking met nul niet wordt gebruikt om vergelijkingen op te lossen. We moeten nog steeds kijken naar deze transformatie en andere transformaties die niet mogen worden gebruikt om vergelijkingen in de laatste paragraaf op te lossen.

• Beide zijden van een vergelijking vermenigvuldigen of delen door dezelfde uitdrukking.

In de vorige paragraaf hebben we bewezen dat deze transformatie equivalent is als aan twee voorwaarden wordt voldaan. Laten we ze eraan herinneren. De eerste voorwaarde: de OD voor deze uitdrukking mag niet smaller zijn dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking. De tweede voorwaarde: de uitdrukking waarmee de vermenigvuldiging of deling wordt uitgevoerd, mag niet verdwijnen op de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking.

Laten we de eerste voorwaarde veranderen, dat wil zeggen dat we aannemen dat de OD voor de uitdrukking waarmee we beide delen van de vergelijking willen vermenigvuldigen of delen, smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking. Als resultaat van een dergelijke transformatie zal een vergelijking worden verkregen waarvoor de ODZ smaller zal zijn dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking. Dergelijke transformaties kunnen leiden tot het verlies van wortels; we zullen er in de volgende paragraaf over praten.

Wat zal er gebeuren als we de tweede voorwaarde over de niet-nulwaarden van de uitdrukking verwijderen waarmee beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd of gedeeld door de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking?

Het delen van beide zijden van de vergelijking door dezelfde uitdrukking, die verdwijnt door de OD voor de oorspronkelijke vergelijking, zal resulteren in een vergelijking waarvan de OD smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking. Er zullen inderdaad getallen uit vallen, waardoor de uitdrukking waarmee de deling werd uitgevoerd op nul komt te staan. Dit kan leiden tot wortelverlies.

Hoe zit het met het vermenigvuldigen van beide zijden van de vergelijking met dezelfde uitdrukking, die verdwijnt in de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking? Er kan worden aangetoond dat wanneer beide zijden van de vergelijking A(x)=B(x) worden vermenigvuldigd met de uitdrukking C(x), waarvoor de ODZ niet smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, en die verdwijnt door de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking wordt de vergelijking verkregen als gevolg van het feit dat deze, naast alle wortels van de vergelijking A(x)=B(x), ook andere wortels kan hebben. Laten we dit doen, vooral omdat deze paragraaf van het artikel juist gewijd is aan transformaties die tot gevolgvergelijkingen leiden.

Laat de uitdrukking C(x) zodanig zijn dat de ODZ ervoor niet smaller is dan de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), en deze verdwijnt op de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x). ). Laten we bewijzen dat in dit geval de vergelijking A(x)·C(x)=B(x)·C(x) een gevolg is van de vergelijking A(x)=B(x) .

Laat q de wortel zijn van de vergelijking A(x)=B(x) . Dan is A(q)=B(q) een echte numerieke gelijkheid. Omdat de ODZ voor de uitdrukking C(x) niet smaller is dan de ODZ voor de vergelijking A(x)=B(x), wordt de uitdrukking C(x) gedefinieerd op x=q, wat betekent dat C(q) is een bepaald getal. Het vermenigvuldigen van beide zijden van een echte numerieke gelijkheid met een willekeurig getal geeft een echte numerieke gelijkheid. Daarom is A(q)·C(q)=B(q)·C(q) een echte numerieke gelijkheid. Dit betekent dat q de wortel is van de vergelijking A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Dit bewijst dat elke wortel van de vergelijking A(x)=B(x) een wortel is van de vergelijking A(x) C(x)=B(x) C(x), wat betekent dat de vergelijking A(x) C (x)=B(x)·C(x) is een gevolg van de vergelijking A(x)=B(x) .

Merk op dat onder de gespecificeerde omstandigheden de vergelijking A(x)·C(x)=B(x)·C(x) wortels kan hebben die vreemd zijn aan de oorspronkelijke vergelijking A(x)=B(x). Het zijn allemaal getallen uit de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking die de uitdrukking C(x) in nul veranderen (alle getallen die de uitdrukking C(x) in nul veranderen zijn de wortels van de vergelijking A(x) C(x)=B (x) C(x) , aangezien hun vervanging in de aangegeven vergelijking de correcte numerieke gelijkheid 0=0 geeft), maar die geen wortels zijn van de vergelijking A(x)=B(x) . De vergelijkingen A(x)=B(x) en A(x)·C(x)=B(x)·C(x) zullen onder de gespecificeerde omstandigheden equivalent zijn als alle getallen uit de ODZ voor de vergelijking A(x )=B (x) , waardoor de uitdrukking C(x) verdwijnt, zijn de wortels van de vergelijking A(x)=B(x) .

Dus het vermenigvuldigen van beide zijden van de vergelijking met dezelfde uitdrukking, waarvan de ODZ niet smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, en die verdwijnt met de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, leidt in het algemene geval tot een uitvloeiselvergelijking, die dat wil zeggen, het kan leiden tot het verschijnen van buitenlandse wortels.

Laten we een voorbeeld geven ter illustratie. Laten we de vergelijking x+3=4 nemen. De enige wortel is het getal 1. Laten we beide zijden van deze vergelijking vermenigvuldigen met dezelfde uitdrukking, die verdwijnt met de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, bijvoorbeeld met x·(x−1) . Deze uitdrukking verdwijnt bij x=0 en x=1. Door beide zijden van de vergelijking met deze uitdrukking te vermenigvuldigen, krijgen we de vergelijking (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). De resulterende vergelijking heeft twee wortels: 1 en 0. Het getal 0 is een externe wortel voor de oorspronkelijke vergelijking die verscheen als resultaat van de transformatie.

Transformaties die kunnen leiden tot wortelverlies

Sommige omzettingen onder bepaalde omstandigheden kunnen leiden tot wortelverlies. Wanneer u bijvoorbeeld beide zijden van de vergelijking x·(x−2)=x−2 deelt door dezelfde uitdrukking x−2, gaat de wortel verloren. Als resultaat van een dergelijke transformatie wordt de vergelijking x=1 verkregen met één enkele wortel, namelijk het getal 1, en heeft de oorspronkelijke vergelijking twee wortels 1 en 2.

Het is noodzakelijk om duidelijk te begrijpen wanneer wortels verloren gaan als gevolg van transformaties, om geen wortels te verliezen bij het oplossen van vergelijkingen. Laten we dit uitzoeken.

Als resultaat van deze transformaties kan verlies van wortels optreden als en slechts als de ODZ voor de getransformeerde vergelijking smaller blijkt te zijn dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking.

Om deze stelling te bewijzen moeten twee punten worden onderbouwd. Ten eerste is het noodzakelijk om te bewijzen dat als, als gevolg van de aangegeven transformaties van de vergelijking, de ODZ wordt versmald, er wortelverlies kan optreden. En ten tweede is het noodzakelijk om te rechtvaardigen dat als, als gevolg van deze transformaties, de wortels verloren gaan, de ODZ voor de resulterende vergelijking smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking.

Als de ODZ voor de vergelijking verkregen als resultaat van de transformatie smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, dan kan uiteraard geen enkele wortel van de oorspronkelijke vergelijking die zich buiten de ODZ voor de resulterende vergelijking bevindt, de wortel van de vergelijking zijn verkregen als resultaat van de transformatie. Dit betekent dat al deze wortels verloren gaan als je van de oorspronkelijke vergelijking overgaat naar een vergelijking waarvoor de ODZ smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking.

Nu terug. Laten we bewijzen dat als, als gevolg van deze transformaties, de wortels verloren gaan, de ODZ voor de resulterende vergelijking smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking. Dit kan op de tegenovergestelde manier worden gedaan. De veronderstelling dat als gevolg van deze transformaties de wortels verloren gaan, maar de ODZ niet wordt versmald, is in tegenspraak met de uitspraken die in de voorgaande paragrafen zijn bewezen. Uit deze uitspraken volgt inderdaad dat als bij het uitvoeren van de aangegeven transformaties de ODZ niet wordt versmald, er equivalente vergelijkingen of uitvloeiselvergelijkingen worden verkregen, wat betekent dat verlies van wortels niet kan optreden.

De reden voor het mogelijke verlies van wortels bij het uitvoeren van basistransformaties van vergelijkingen is dus de vernauwing van de ODZ. Het is duidelijk dat we bij het oplossen van vergelijkingen geen wortels mogen verliezen. Hier rijst uiteraard de vraag: “Wat moeten we doen om te voorkomen dat we wortels verliezen bij het transformeren van vergelijkingen?” We zullen het in de volgende paragraaf beantwoorden. Laten we nu de lijst met basistransformaties van vergelijkingen doornemen om in meer detail te zien welke transformaties kunnen leiden tot het verlies van wortels.

• Uitdrukkingen aan de linker- en rechterkant van de vergelijking vervangen door identiek gelijke uitdrukkingen.

Als je de uitdrukking aan de linker- of rechterkant van de vergelijking vervangt door een identiek gelijke uitdrukking, waarvan de OD smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking, zal dit leiden tot een vernauwing van de OD, en daardoor wortels kan verloren gaan. Meestal leidt de vervanging van uitdrukkingen aan de linker- of rechterkant van vergelijkingen door identiek gelijke uitdrukkingen, uitgevoerd op basis van enkele eigenschappen van wortels, machten, logaritmen en enkele trigonometrische formules, tot een vernauwing van de ODZ en als gevolg daarvan , tot mogelijk wortelverlies. Als u bijvoorbeeld de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking vervangt door een identiek gelijke uitdrukking, wordt de ODZ kleiner en leidt dit tot het verlies van de wortel −16. Op dezelfde manier leidt het vervangen van de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking door een identiek gelijke uitdrukking tot een vergelijking waarvoor de ODZ smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, wat het verlies van de wortel −3 met zich meebrengt.

• Hetzelfde getal aan beide zijden van een vergelijking toevoegen of hetzelfde getal aan beide zijden van een vergelijking aftrekken.

Deze transformatie is gelijkwaardig en daarom kunnen wortels niet verloren gaan tijdens de implementatie ervan.

• Het toevoegen van dezelfde uitdrukking aan beide zijden van een vergelijking of het aftrekken van dezelfde uitdrukking aan beide zijden van een vergelijking.

Als u een uitdrukking optelt of aftrekt waarvan de OD smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking, zal dit leiden tot een vernauwing van de OD en, als gevolg daarvan, tot een mogelijk verlies van wortels. Het is de moeite waard om dit in gedachten te houden. Maar hier is het vermeldenswaard dat het in de praktijk meestal nodig is om uitdrukkingen toe te voegen of af te trekken die aanwezig zijn in de opname van de oorspronkelijke vergelijking, wat niet leidt tot een verandering in de ODZ en niet tot het verlies van wortels leidt.

• Een term van het ene deel van de vergelijking naar het andere overbrengen, waarbij het teken naar het tegenovergestelde is veranderd.

Deze transformatie van de vergelijking is gelijkwaardig, daarom gaan de wortels als gevolg van de implementatie ervan niet verloren.

• Vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een vergelijking door hetzelfde getal behalve nul.

Deze transformatie is ook gelijkwaardig en daardoor treedt er geen wortelverlies op.

• Beide zijden van een vergelijking vermenigvuldigen of delen door dezelfde uitdrukking.

Deze transformatie kan in twee gevallen leiden tot een vernauwing van de OD: wanneer de OD voor de uitdrukking waarmee de vermenigvuldiging of deling wordt uitgevoerd smaller is dan de OD voor de oorspronkelijke vergelijking, en wanneer de deling wordt uitgevoerd door een uitdrukking die wordt nul op de OD voor de oorspronkelijke vergelijking. Merk op dat het in de praktijk meestal niet nodig is om beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen en te delen door een uitdrukking met een smallere VA. Maar je hebt te maken met deling door een uitdrukking die voor de oorspronkelijke vergelijking in nul verandert. Er is een methode waarmee je het verlies van wortels tijdens een dergelijke verdeling kunt opvangen, we zullen erover praten in de volgende paragraaf van dit artikel.

Hoe wortelverlies voorkomen?

Als u alleen transformaties van naar transformatievergelijkingen gebruikt en tegelijkertijd geen vernauwing van de ODZ toestaat, zal er geen verlies van wortels optreden.

Betekent dit dat er geen andere transformaties van de vergelijkingen kunnen worden gemaakt? Nee, dat betekent niet. Als je een andere transformatie van de vergelijking bedenkt en deze volledig beschrijft, dat wil zeggen, aangeeft wanneer deze tot gelijkwaardige vergelijkingen leidt, wanneer tot gevolgvergelijkingen en wanneer deze tot het verlies van wortels kan leiden, dan zou deze heel goed kunnen worden aangenomen.

Moeten we hervormingen die de DPD zouden beperken volledig opgeven? Zou dat niet moeten doen. Het zou geen kwaad kunnen om transformaties in je arsenaal te behouden waarin een eindig aantal getallen uit de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking valt. Waarom mogen dergelijke transformaties niet worden opgegeven? Omdat er een methode is om in dergelijke gevallen wortelverlies te voorkomen. Het bestaat uit een afzonderlijke controle van de getallen die uit de ODZ vallen om te zien of er wortels van de oorspronkelijke vergelijking tussen zitten. U kunt dit controleren door deze getallen in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen. Degenen onder hen die, wanneer ze worden vervangen, de juiste numerieke gelijkheid opleveren, zijn de wortels van de oorspronkelijke vergelijking. Ze moeten in het antwoord worden opgenomen. Na zo'n controle kun je de geplande transformatie veilig uitvoeren zonder bang te zijn je wortels te verliezen.

Een typische transformatie waarbij de ODZ voor een vergelijking wordt teruggebracht tot meerdere getallen, is het delen van beide zijden van de vergelijking door dezelfde uitdrukking, die op verschillende punten nul wordt ten opzichte van de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking. Deze transformatie is de basis van de oplossingsmethode wederzijdse vergelijkingen. Maar het wordt ook gebruikt om andere soorten vergelijkingen op te lossen. Laten we een voorbeeld geven.

De vergelijking kan worden opgelost door een nieuwe variabele te introduceren. Om een ​​nieuwe variabele te introduceren, moet je beide zijden van de vergelijking delen door 1+x. Maar bij een dergelijke deling kan wortelverlies optreden, want hoewel de ODZ voor de uitdrukking 1+x niet smaller is dan de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking, wordt de uitdrukking 1+x nul bij x=−1, en dit getal behoort tot de ODZ voor de oorspronkelijke vergelijking. Dit betekent dat de wortel −1 verloren kan gaan. Om het verlies van een wortel te elimineren, moet je afzonderlijk controleren of −1 een wortel is van de oorspronkelijke vergelijking. Om dit te doen, kun je −1 vervangen door de oorspronkelijke vergelijking en kijken welke gelijkheid je krijgt. In ons geval geeft de substitutie de gelijkheid, die hetzelfde is als 4=0. Deze gelijkheid is onwaar, wat betekent dat −1 niet de wortel is van de oorspronkelijke vergelijking. Na zo'n controle kunt u de beoogde deling van beide zijden van de vergelijking door 1 + x uitvoeren, zonder bang te hoeven zijn dat wortelverlies optreedt.

Laten we aan het einde van deze paragraaf nogmaals kijken naar de vergelijkingen uit de vorige paragraaf en. Transformatie van deze vergelijkingen op basis van identiteiten en leidt tot een vernauwing van de ODZ, en dit brengt het verlies van wortels met zich mee. Op dit punt hebben we gezegd dat we, om onze wortels niet te verliezen, hervormingen moeten opgeven die de DZ beperken. Dit betekent dat deze transformaties moeten worden opgegeven. Maar wat moeten we doen? Het is mogelijk om transformaties uit te voeren die niet op identiteiten zijn gebaseerd , waardoor de ODZ wordt versmald, en op basis van identiteiten en . Als gevolg van de overgang van de oorspronkelijke vergelijkingen naar de vergelijkingen en er is geen vernauwing van de ODZ, wat betekent dat de wortels niet verloren gaan.

Hier merken we vooral op dat wanneer u uitdrukkingen vervangt door identiek gelijke uitdrukkingen, u er zorgvuldig voor moet zorgen dat de uitdrukkingen exact identiek gelijk zijn. Bijvoorbeeld in vgl. het is onmogelijk om de uitdrukking x+3 te vervangen door een uitdrukking om het uiterlijk van de linkerkant te vereenvoudigen , omdat de uitdrukkingen x+3 en niet identiek gelijk zijn, omdat hun waarden niet samenvallen op x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Transformaties van vergelijkingen die niet mogen worden gebruikt

De in dit artikel genoemde transformaties zijn meestal voldoende voor praktische behoeften. Dat wil zeggen dat u zich niet al te druk hoeft te maken over het bedenken van andere transformaties; het is beter om u te concentreren op het juiste gebruik van de reeds bewezen transformaties.

Literatuur

1. Mordkovich A.G. Algebra en begin van wiskundige analyse. Graad 11. In 2 uur Deel 1. Leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs (profielniveau) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e druk, gewist. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algebra en het begin van wiskundige analyse. 10e leerjaar: leerboek. voor algemeen vormend onderwijs instellingen: basis en profiel. niveaus / [Ju. M. Kolyagin, MV Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; bewerkt door A. B. Zhizhchenko. - 3e druk. - M.: Onderwijs, 2010.- 368 p.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.

De tekst van het werk wordt zonder afbeeldingen en formules geplaatst.
De volledige versie van het werk is beschikbaar op het tabblad "Werkbestanden" in PDF-formaat

Invoering

Bij het oplossen van praktische problemen komen ze in de meeste gevallen tot vergelijkingen. In de wiskundelessen bestuderen we verschillende methoden voor het oplossen van algebraïsche en trigonometrische vergelijkingen. Tijdens het oplossingsproces rijzen er veel vragen, bijvoorbeeld: als er vreemde wortels verschijnen of als een vergelijking wortels verliest, is het dan altijd nodig om de ODZ te controleren en te vinden? Uit het onderzoek bleek dat de meerderheid (85%) van de leerlingen van groep 10 en 11 graag de antwoorden op deze en andere vragen zou willen weten.

Verkrijg daarom een ​​holistisch inzicht in het oplossen van vergelijkingen en beantwoord uiteindelijk de hoofdvraag: hoe kunnen vergelijkingen correct worden opgelost?

Dus, studieobject zijn algebraïsche en trigonometrische vergelijkingen.

Onderwerp van studie- methoden voor het oplossen van vergelijkingen gebaseerd op het idee van gelijkwaardigheid van transformaties.

Onderzoeks hypothese- methoden voor het oplossen van vergelijkingen gebaseerd op het idee van gelijkwaardigheid van transformaties maken het mogelijk om het verlies van wortels te elimineren en het verschijnen van externe wortels te voorkomen, d.w.z. correcte oplossingen voor vergelijkingen vinden.

Doel van de studie: het bestuderen van methoden voor het oplossen van vergelijkingen gebaseerd op het idee van gelijkwaardigheid van transformaties, het ontwikkelen van aanbevelingen voor studenten in de groepen 10-11 over het toepassen van deze methoden in de praktijk.

In overeenstemming met het doel en de naar voren gebrachte hypothese wordt verwacht dat het volgende wordt opgelost taken:

Een onderzoek uitvoeren naar de relevantie voor leerlingen van groep 10 en 11 van de kwesties die worden besproken in het werk met betrekking tot het oplossen van vergelijkingen;

Ontdek verschillende benaderingen voor het oplossen van vergelijkingen op basis van het idee van gelijkwaardigheid;

Beantwoord de volgende vragen:

1) hoe je erachter kunt komen of de overgang van de ene vergelijking naar de andere een gelijkwaardige transformatie is;

2) welke transformaties deze vergelijking tot de uitvloeiselvergelijking kunnen leiden;

3) als we uiteindelijk de gevolgvergelijking hebben opgelost, hoe kunnen we dan controleren in het geval dat directe vervanging van de gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking gepaard gaat met aanzienlijke rekenproblemen;

4) in welke gevallen, bij het overstappen van de ene vergelijking naar de andere, verlies van wortels kan optreden en hoe dit te voorkomen;

Beschrijf de belangrijkste methoden voor het oplossen van bepaalde soorten vergelijkingen, analyseer hun voor- en nadelen;

Overweeg de noodzaak om DZ te vinden;

Hoofdstuk 1

Over de kwestie van de gelijkwaardigheid van vergelijkingen

1.1.Stellingen over de gelijkwaardigheid van vergelijkingen

Het probleem met de formulering "los de vergelijking op", is daarom een ​​van de meest voorkomende problemen in de wiskundecursus op school. Er is veel werk besteed aan de methode voor het oplossen van vergelijkingen. Zo stellen de werken van A.G. Mordkovich ons, volgens de auteur, in staat een holistisch idee te vormen van methoden voor het oplossen van vergelijkingen op basis van ideeën over gelijkwaardigheid van vergelijkingen.

In dit geval wordt de oplossing van de vergelijking in drie fasen uitgevoerd:

Eerste fase - technisch. In dit stadium wordt een reeks overgangen uitgevoerd van deze vergelijking naar de laatste (eenvoudigste) vergelijking.

Tweede fase- analyse van de oplossing. In dit stadium wordt de vraag beantwoord of alle transformaties gelijkwaardig zijn.

Derde fase- inspectie. Als uit de analyse is gebleken dat sommige transformaties tot een uitvloeiselvergelijking leiden, dan is het noodzakelijk om alle gevonden wortels te controleren.

Laten we eens kijken naar de belangrijkste bepalingen van de theorie van de gelijkwaardigheid van vergelijkingen.

Definitie 1. Er worden twee vergelijkingen met één variabele genoemd equivalent, als de sets van hun wortels samenvallen; met andere woorden, als ze dezelfde wortels hebben of beide geen wortels hebben.

De vergelijkingen zijn bijvoorbeeld gelijkwaardig, omdat beide hebben hun wortels alleen in de getallen 2 en -2. De vergelijkingen en = -5 zijn ook gelijkwaardig, omdat ze hebben geen wortels in de verzameling reële getallen, d.w.z. de sets van hun wortels vallen samen.

Definitie 2. Als elke wortel van een vergelijking ook een wortel van een vergelijking is, wordt de tweede vergelijking genoemd gevolg Eerst.

Een vergelijking is bijvoorbeeld een gevolg van een vergelijking, omdat de vergelijking heeft slechts één wortel: het getal 6, terwijl de vergelijking twee wortels 6 en 0 heeft.

Opmerking. De volgende bewering ligt voor de hand: twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als en slechts als elk ervan een gevolg is van de ander.

Tijdens het oplossen van vergelijkingen gaan we van de ene vergelijking naar de andere totdat we bij een eenvoudigere vergelijking komen, waarvan we de wortels kunnen vinden. En hier rijst de belangrijkste vraag: zullen de wortels de wortels zijn van de oorspronkelijke vergelijking? Als alle transformaties gelijkwaardig zijn, dan is het antwoord op deze vraag duidelijk: ja, dat zal zo zijn. Als we niet zeker zijn van sommige transformaties (maar we weten wel zeker dat we naar de gevolgvergelijking zijn gegaan), dan moeten de gevonden wortels van de laatste vergelijking worden gecontroleerd door ze één voor één in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen. Als een dergelijke substitutie aantoont dat de gevonden wortel van de laatste vergelijking niet voldoet aan de gegeven vergelijking, wordt deze aangeroepen vreemde wortel voor een gegeven vergelijking en wordt weggegooid.

Hoe kom je erachter of het overgaan van de ene vergelijking naar de andere een gelijkwaardige transformatie is?? De volgende stellingen zullen ons helpen deze vraag te beantwoorden.

Stelling 1. Als een term van de vergelijking wordt overgedragen van het ene deel van de vergelijking naar het andere met het tegenovergestelde teken, wordt een vergelijking verkregen die equivalent is aan de gegeven vergelijking.

Stelling 2. Als beide zijden van de vergelijking tot dezelfde oneven macht worden verheven, is het resultaat een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.

Stelling 3. Een exponentiële vergelijking, waarbij equivalent is aan Vgl.

Definitie 3. Het domein van de definitie van een vergelijking of het domein van toegestane waarden van een variabele (O.D.V.) is de verzameling van die waarden van een variabele waarvoor de uitdrukkingen en

Stelling 4. Als beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd met dezelfde uitdrukking, wat:

a) is overal logisch in het domein van de definitie (in O.D.Z) van de vergelijking

b) nergens in deze regio verdwijnt, dan krijgen we de vergelijking

gelijk aan dit.

Gevolg. Als beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, is het resultaat een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.

Stelling 5. Als beide zijden van de vergelijking niet-negatief zijn in het domein van de definitie van de vergelijking, zal, nadat beide zijden tot dezelfde even macht zijn verhoogd, een vergelijking worden verkregen die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.

Stelling 6. Als en dan de logaritmische vergelijking

Waar is gelijk aan Vgl.

1.2. Over transformaties die een vergelijking omzetten in een uitvloeiselvergelijking

Laten we de tweede vraag beantwoorden, welke transformaties transformeren de vergelijking in een uitvloeiselvergelijking?

Als we tijdens het oplossen van de vergelijking de conclusie van een van de stellingen 4, 5, 6 hebben toegepast, zonder de beperkende voorwaarden te controleren die inherent zijn aan de formulering van de stelling, dan zal het resultaat een vergelijking zijn - een uitvloeisel.

Een vergelijking heeft bijvoorbeeld één wortel 4. Als we beide zijden vermenigvuldigen met, krijgen we een vergelijking - een gevolg dat twee wortels heeft: 4 en 2, en 2 is een vreemde wortel voor de vergelijking (wanneer de factor naar 0 verandert; Stelling 4 doet dat ook). dit niet toestaan). Door beide zijden van dezelfde vergelijking te kwadrateren, krijgen we een vergelijking met twee wortels: 4 en -2, en -2 is een externe wortel voor de vergelijking

Subtotaal: als we in enig stadium van de oplossing beide zijden van de vergelijking met dezelfde uitdrukking hebben vermenigvuldigd (wat logisch is in het domein van de definitie van de vergelijking) of beide zijden van de vergelijking tot dezelfde even macht hebben verhoogd, of de logaritmische tekens hebben weggelaten aan de linker- en rechterkant van de vergelijking, dan is het noodzakelijk om alle gevonden wortels te controleren.

De belangrijkste reden voor de overgang van vergelijking naar gevolgvergelijking is echter: uitbreiding van het toepassingsgebied. Leidt ertoe:

A ) loslaten van de noemer. Er was een noemer, er was een beperking; als er een noemer was, was er geen beperking. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking = 8. Het definitiedomein Als we de breuk aan de linkerkant van de vergelijking verkleinen, d.w.z. Als we onszelf bevrijden van de noemer, verkrijgen we een vergelijking waarvan het definitiedomein de verzameling van alle reële getallen is. De wortel ervan is het getal 4. Dit zal echter niet de wortel van deze vergelijking zijn. Daarom heeft deze vergelijking geen oplossingen;

B) vrijstelling van logaritmische tekens;

V) met behulp van de formule voor even n.

In feite, als er een uitdrukking was, dan wordt het domein van de definitie gegeven door de ongelijkheid; als we de uitdrukking vervangen door en als onafhankelijk beschouwen, dan wordt de beperking opgeheven, d.w.z. het domein van de definitie breidt zich uit.

Bijvoorbeeld: los De vergelijking op

OPLOSSING 5

Tijdens het transformatieproces werd het domein van de definitie tweemaal uitgebreid en tweemaal de ongelijke werking van het kwadrateren toegepast. Dit betekent dat we een vergelijking hebben verkregen - een gevolg. Verificatie is vereist.

Inspectie. Laten we de eerste wortel 2 in de oorspronkelijke vergelijking vervangen, dan krijgen we. Bij het vervangen van de tweede wortel merken we dat deze al groter is dan 5, d.w.z. de tweede wortel kan niet aan de gegeven vergelijking voldoen, daarom is deze wortel vreemd.

ANTWOORD: 2.

1.3. Over de kwestie van het verliezen van de wortels van de vergelijking

Laten we de vraag over beantwoorden wanneer een vergelijking zijn wortels verliest en hoe je dit kunt voorkomen ?

Er zijn verschillende redenen wortel verlies:

A) beide zijden van een vergelijking delen door dezelfde uitdrukking in het geval dat het een waarde gelijk aan 0 kan aannemen; Dus als je een vergelijking oplost, moet je naar de vergelijking gaan (en niet naar de vergelijking).

B) het verkleinen van de ODZ tijdens het oplossen van de vergelijking; dit gebeurt bijvoorbeeld bij het gebruik van bepaalde trigonometrische formules. Laten we dit met een voorbeeld laten zien.

Bij het oplossen van de vergelijking

het domein van de definitie van deze vergelijking wordt versmald. Het definitiedomein is inderdaad de verzameling van alle reële getallen, en er lijkt een beperking voor te bestaan.

Stel u=, we krijgen =1, vandaar u= +2, n. Maar een verzameling is ook een oplossing voor een vergelijking.

ANTWOORD: +2, n.

Er zijn andere gevallen van wortelverlies.

1.4. Over het oplossen van vergelijkingen op basis van het idee van hun gelijkwaardigheid

Laten we nu proberen de vraag te beantwoorden: Is het mogelijk om, op basis van de gelijkwaardigheid van vergelijkingen, een volledig begrip te creëren van de methoden om ze op te lossen?

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1. Los De vergelijking op

Oplossing Het probleem van het oplossen van deze vergelijking wordt gereduceerd tot het probleem van het vinden van het domein van de definitie van de functie, d.w.z. om de ongelijkheid op te lossen. Los de vergelijking op zonder O.D.Z. onmogelijk. Als we naar de gevolgvergelijking gaan en beide kanten van de vergelijking kwadrateren, krijgen we de vergelijking

waarvan de wortels allemaal reële getallen zijn. Omdat er zijn oneindig veel wortels, het is onmogelijk om ze door vervanging te controleren. Er is slechts één mogelijkheid: rekening houden met het feit dat vergelijking (2) equivalent is aan vergelijking (1) op het domein van de definitie van vergelijking (1).

Taak " los De vergelijking op(1)" werd gereduceerd tot de taak "het vinden van de O.D.Z. vergelijking (1), die reduceert tot het probleem “ ongelijkheid oplossen" Dat wil zeggen dat we van een vergelijking naar een gelijkwaardige ongelijkheid zijn gegaan, niet met behulp van transformaties, maar met behulp van de herformulering van het oorspronkelijke probleem.

Voorbeeld 2. Los De vergelijking op

Oplossing: Elke term aan de linkerkant is niet-negatief, dus de linkerkant is gelijk aan nul als en slechts als elk van zijn termen gelijk is aan nul. Het oplossen van de vergelijking komt neer op het oplossen van een gelijkwaardig stelsel van vergelijkingen

ANTWOORD: 3.

Dus de taak " los De vergelijking op(3)"is teruggebracht tot het probleem" stelsel vergelijkingen oplossen».

Voorbeeld 3. Los De vergelijking op

Oplossing Laten we de vergelijking verkrijgen

waarvan de wortels 1 en 2 zijn. Dus, de oorspronkelijke vergelijking is equivalent aan de reeks vergelijkingen

De eerste vergelijking heeft geen oplossing (gebaseerd op de reeks waarden van de cosinusfunctie), en de oplossing voor de tweede vergelijking is

Gelijkheid in het oplossingsproces werd dus als vergelijking gebruikt, dus vanuit het probleem " los De vergelijking op(5)"we gingen verder met de taak" het stelsel vergelijkingen oplossen

De oplossing van vergelijking (5) en het stelsel van vergelijkingen (7) bepalen elkaar wederzijds.

Een getal is een oplossing voor vergelijking (5) als en slechts als er een zodanig getal bestaat dat een paar getallen een oplossing is voor systeem (7). Dit kan als definitie worden opgevat gelijkwaardigheid van vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen. Systeem van vergelijkingen (7) is equivalent aan een reeks stelsels vergelijkingen

wat equivalent is aan de reeks vergelijkingen (6).

De hierboven besproken voorbeelden 1-3 bevatten slechts enkele overgangen die worden gebruikt bij het oplossen van ‘los de vergelijking op’-problemen. Bij het maken van deze transities (transformaties) hebben we een belangrijk principe in acht genomen: geen wortels verliezen en, indien mogelijk, geen nieuwe verwerven. Het betekent dat het idee van gelijkwaardigheid is fundamenteel bij het oplossen van dergelijke problemen. Zoals we echter hebben gezien, beperkt het zich niet alleen tot de gelijkwaardigheid van vergelijkingen. Dit idee gelijkwaardige overgangen (transformaties) moet het concept omvatten van de gelijkwaardigheid van vergelijkingen, ongelijkheden, hun systemen en verzamelingen, vergelijkingen en ongelijkheden met verschillende variabelen. Om vergelijkingen correct op te lossen, moet je deze concepten uiteraard beheersen. Vragen gelijkwaardigheid van vergelijkingen en ongelijkheden, gelijkwaardigheid van vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen en ongelijkheden worden beschouwd in de werken van S.M. Nikolski, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova. Deze kwesties zullen we in het volgende hoofdstuk bespreken.

Hoofdstuk 2

Over de kwestie van de gelijkwaardigheid van vergelijkingen, ongelijkheden,

hun systemen en aggregaten

2.1. Over manieren om vergelijkingen op te lossen

Laat ons nadenken vergelijkingen van gemiddelde complexiteit. In dit geval beperken we ons tot vergelijkingen van verschillende typen. Voor elk van deze vergelijkingen is er een andere manier van transformatie:

a) voor een vergelijking - kwadrateren van de vergelijking, d.w.z. vervang het door de vergelijking (x) = g 2 (

b) voor een vergelijking - soortgelijke vergelijkingen opleveren, d.w.z. het verschil vervangen door nul;

c) voor een vergelijking - de vergelijking bevrijden van de noemer, d.w.z. deze vervangen door de vergelijking

d) voor de vergelijking - toepassing van de formule

die. vervangen door de vergelijking

Iedereen die een specifieke vergelijking van de vorm a) - d) oplost, zal de bovenstaande transformatie daarop toepassen. Merk op dat er slechts drie manieren zijn om deze transformaties toe te passen:

Overgang naar de uitvloeiselvergelijking,

Overgang naar een vergelijking die op een bepaalde set equivalent is aan de oorspronkelijke vergelijking,

Overgang naar een systeem (van vergelijkingen en ongelijkheden) dat gelijkwaardig is aan de oorspronkelijke vergelijking.

Bijna elke vergelijking van de vorm a) - d) kan op een van deze drie manieren worden opgelost. Vervolgens zullen we voorbeelden bekijken van het oplossen van vergelijkingen met behulp van deze methoden, en vervolgens zullen we situaties bespreken waarin het gebruik van een of andere methode de voorkeur verdient.

2.2. Overgang naar de uitvloeiselvergelijking

Merk op dat elk van de bovenstaande transformaties van vergelijkingen van de vorm a) - d) tot een uitvloeiselvergelijking leidt.

Voorbeeld 4. Los De vergelijking op

Oplossing: door vergelijking (8) te kwadrateren, verkrijgen we de vergelijking

wat een gevolg is van vergelijking (8). Vergelijking (9) heeft twee wortels = 3 en = -2.

Laten we eens kijken of deze getallen wortels zijn van vergelijking (8). Als we ze allemaal vervangen door de linker- en rechterkant van vergelijking (8), verkrijgen we:

Dit betekent dat getal de wortel is van vergelijking (8), maar getal niet. Daarom heeft vergelijking (8) één enkele wortel

ANTWOORD: 3.

Voorbeeld 5. Los De vergelijking op

Oplossing: door alle termen van vergelijking (10) opzij te zetten en vergelijkbare termen te plaatsen, verkrijgen we de vergelijking

wat een gevolg is van vergelijking (10). Vergelijking (11) heeft twee wortels

Uit de controle blijkt dat het getal de wortel is van vergelijking (10), maar dat is het niet, aangezien - 3 = -1< 0, а под знаком корня должно быть неотрицательное число. Следовательно, уравнение (10) имеет единственный корень 4.

ANTWOORD: 4.

Voorbeeld 6. Los De vergelijking op

= 1. (12)

Oplossing: door onszelf te bevrijden van de noemer, verkrijgen we de vergelijking

wat een gevolg is van vergelijking (12). Vergelijking (13) heeft twee wortels

Uit controle blijkt dat het getal een wortel is van vergelijking (12), maar dat is het niet, aangezien 49 - 42 - 7 = 0, en het onmogelijk is om door nul te delen.

Daarom heeft vergelijking (12) één enkele wortel.

ANTWOORD 1.

Voorbeeld 7. Los De vergelijking op

Oplossing: gebruik de formule , we krijgen de vergelijking

wat een gevolg is van vergelijking (14). Vergelijking (15) heeft twee wortels

Uit controle blijkt dat het getal een wortel is van vergelijking (14), maar dat is het niet, omdat a een niet-negatief getal onder het wortelteken moet zijn. Daarom heeft vergelijking (14) één enkele wortel.

ANTWOORD: 6.

bij het overgaan naar de gevolgvergelijking(het maakt niet uit wat voor soort transformatie er is uitgevoerd) je hoeft niet naar ODZ te zoeken, maar je moet weten dat het controleren van de gevonden wortels een verplicht onderdeel is van het oplossen van de vergelijking.

2.3. Overgang naar een vergelijkingsequivalent

op sommige ingesteld op de oorspronkelijke vergelijking

Elk van de transformaties a) - d) leidt tot een vergelijkingsequivalent op een bepaalde set M naar de oorspronkelijke vergelijking. Bovendien wordt deze verzameling voor elke transformatie op zijn eigen manier gevonden, precies bepaald door deze transformatie.

Laten we het nodige formuleren uitspraken over de gelijkwaardigheid van vergelijkingen op een verzameling.

De vergelijking is equivalent aan de vergelijking f(x)=g 2 (X)op de set M die X, voor elk waarvan beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd en niet-negatief zijn.

De vergelijking is equivalent aan de vergelijking = g(x)op de set M die waarvoor voor elk een functie is gedefinieerd

De vergelijking is gelijk aan de vergelijking op de set M die X, voor elk waarvan noch de functie, noch de functie verdwijnt.

De vergelijking is equivalent aan de vergelijking

op een setje M die voor elk waarvan beide functioneren en niet-negatief zijn.

Voorbeeld 8. Los De vergelijking op

Oplossing: beide zijden van vergelijking (16) zijn gedefinieerd en niet-negatief op de set M die , voor elk waarvan tegelijkertijd aan de volgende ongelijkheden wordt voldaan, d.w.z. M=. Begin M vergelijking (16) is equivalent aan vergelijking

twee wortels hebben

Omdat , dan heeft vergelijking (17) op de verzameling M de enige wortel. Het is de enige wortel van vergelijking (16).

Antwoord: .

Voorbeeld 9. Los De vergelijking op

Oplossing: op de set M In alle gevallen is vergelijking (18) equivalent aan vergelijking

een serieoplossing hebben.

Het is duidelijk dat alleen voor. Daarom geldt vergelijking (19) voor de verzameling M reeks oplossingen x. Deze oplossingen (en alleen zij) zijn oplossingen voor vergelijking (18).

Antwoord: .

Voorbeeld 10. Los De vergelijking op

Oplossing: sinds op de set M = }