समांतर रेषांची संकल्पना

व्याख्या १

समांतर रेषा- एकाच विमानात असलेल्या सरळ रेषा एकरूप होत नाहीत आणि त्यांच्याकडे समान बिंदू नाहीत.

जर सरळ रेषांमध्ये समान बिंदू असेल तर ते एकमेकांना छेदणे.

सर्व बिंदू सरळ असल्यास जुळणे, मग आपल्याकडे मूलत: एक सरळ रेषा आहे.

जर रेषा वेगवेगळ्या विमानांमध्ये असतील तर त्यांच्या समांतरतेची परिस्थिती थोडी जास्त आहे.

एकाच विमानावरील सरळ रेषांचा विचार करताना, खालील व्याख्या दिली जाऊ शकते:

व्याख्या २

विमानातील दोन ओळी म्हणतात समांतर, जर ते एकमेकांना छेदत नाहीत.

गणितात, समांतर रेषा सहसा समांतर चिन्ह "$\parallel$" वापरून दर्शविल्या जातात. उदाहरणार्थ, रेषा $c$ ही रेषा $d$ ला समांतर आहे ही वस्तुस्थिती खालीलप्रमाणे दर्शविली आहे:

$c\समांतर d$.

समांतर विभागांची संकल्पना अनेकदा मानली जाते.

व्याख्या 3

दोन विभाग म्हणतात समांतर, जर ते समांतर रेषांवर पडलेले असतील.

उदाहरणार्थ, आकृतीमध्ये $AB$ आणि $CD$ हे विभाग समांतर आहेत, कारण ते समांतर रेषांशी संबंधित आहेत:

$AB \समांतर CD$.

त्याच वेळी, $MN$ आणि $AB$ किंवा $MN$ आणि $CD$ हे विभाग समांतर नाहीत. ही वस्तुस्थिती खालीलप्रमाणे चिन्हे वापरून लिहिली जाऊ शकते:

$MN ∦ AB$ आणि $MN ∦ CD$.

सरळ रेषा आणि एक रेषा, एक सरळ रेषा आणि एक किरण, एक रेषा आणि एक किरण किंवा दोन किरणांची समांतरता समान प्रकारे निर्धारित केली जाते.

ऐतिहासिक संदर्भ

ग्रीक भाषेतून, "समांतर" या संकल्पनेचे भाषांतर "पुढील येणे" किंवा "एकमेकांच्या शेजारी" असे केले जाते. हा शब्द पायथागोरसच्या प्राचीन शाळेत समांतर रेषा परिभाषित होण्यापूर्वीच वापरला गेला होता. ऐतिहासिक तथ्यांनुसार, $III$ शतकात युक्लिड. इ.स.पू. तरीही त्याच्या कार्यांनी समांतर रेषांच्या संकल्पनेचा अर्थ प्रकट केला.

प्राचीन काळी, समांतर रेषा ठरवण्यासाठीचे चिन्ह आपण आधुनिक गणितात वापरतो त्यापेक्षा वेगळे स्वरूप होते. उदाहरणार्थ, $III$ शतकातील प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ पप्पस. इ.स समान चिन्ह वापरून समांतरता दर्शविली गेली. त्या. रेषा $l$ ही रेषा $m$ ला समांतर आहे ही वस्तुस्थिती पूर्वी "$l=m$" ने दर्शवली होती. नंतर, परिचित "$\parallel$" चिन्हाचा वापर रेषांची समांतरता दर्शविण्यासाठी केला जाऊ लागला आणि समान चिन्हाचा वापर संख्या आणि अभिव्यक्तींची समानता दर्शविण्यासाठी केला जाऊ लागला.

जीवनात समांतर रेषा

सामान्य जीवनात आपण मोठ्या संख्येने समांतर रेषांनी वेढलेले असतो हे आपल्या लक्षात येत नाही. उदाहरणार्थ, संगीत पुस्तकात आणि नोट्ससह गाण्यांच्या संग्रहामध्ये, कर्मचारी समांतर रेषा वापरून तयार केले जातात. समांतर रेषा वाद्य यंत्रांमध्ये देखील आढळतात (उदाहरणार्थ, वीणा, गिटार, पियानो की इ.).

रस्त्यावर आणि रस्त्यांच्या कडेला असलेल्या विद्युत ताराही समांतर चालतात. मेट्रो आणि रेल्वे लाईनचे रेल समांतर आहेत.

दैनंदिन जीवनाव्यतिरिक्त, चित्रकला, आर्किटेक्चर आणि इमारतींच्या बांधकामात समांतर रेषा आढळू शकतात.

आर्किटेक्चरमध्ये समांतर रेषा

सादर केलेल्या प्रतिमांमध्ये, स्थापत्य रचनांमध्ये समांतर रेषा असतात. बांधकामामध्ये समांतर रेषांचा वापर अशा संरचनांचे सेवा जीवन वाढविण्यास मदत करते आणि त्यांना असाधारण सौंदर्य, आकर्षकता आणि भव्यता देते. पॉवर लाईन्स देखील जाणूनबुजून समांतर घातल्या जातात ज्यामुळे त्यांना क्रॉसिंग किंवा स्पर्श होऊ नये, ज्यामुळे शॉर्ट सर्किट, आउटेज आणि विजेचे नुकसान होऊ शकते. ट्रेन मुक्तपणे फिरू शकते म्हणून, रेल देखील समांतर रेषांमध्ये बनविल्या जातात.

चित्रकलेमध्ये, समांतर रेषा एका ओळीत किंवा त्याच्या जवळच्या रूपात दर्शविण्यात येतात. या तंत्राला दृष्टीकोन म्हणतात, जे दृष्टीच्या भ्रमातून येते. जर तुम्ही बराच काळ अंतर पाहिल्यास, समांतर रेषा दोन अभिसरण रेषांसारख्या दिसतील.

जे एकाच विमानात असतात आणि एकतर जुळतात किंवा एकमेकांना छेदत नाहीत. काही शालेय व्याख्यांमध्ये, योगायोग रेषा समांतर मानल्या जात नाहीत; अशी व्याख्या येथे विचारात घेतली जात नाही.

गुणधर्म

1. समांतरता हा एक बायनरी समतुल्य संबंध आहे, म्हणून तो रेषांच्या संपूर्ण संचाला एकमेकांच्या समांतर रेषांच्या वर्गांमध्ये विभागतो.
2. कोणत्याही बिंदूद्वारे तुम्ही दिलेल्या बिंदूच्या समांतर एक सरळ रेषा काढू शकता. हा युक्लिडियन भूमितीचा एक विशिष्ट गुणधर्म आहे; इतर भूमितींमध्ये क्रमांक 1 इतरांद्वारे बदलला जातो (लोबाचेव्हस्की भूमितीमध्ये अशा किमान दोन रेषा आहेत)
3. अंतराळातील 2 समांतर रेषा एकाच समतलात आहेत.
4. जेव्हा 2 समांतर रेषा एकमेकांना छेदतात, तेव्हा एक तृतीयांश म्हणतात secant:
   1. सेकंट दोन्ही रेषांना छेदतो.
   2. छेदन करताना, 8 कोन तयार होतात, ज्यातील काही वैशिष्ट्यपूर्ण जोड्यांना विशेष नावे आणि गुणधर्म असतात:
      1. आडवे पडणेकोन समान आहेत.
      2. संबंधितकोन समान आहेत.
      3. एकतर्फीकोन 180° पर्यंत जोडतात.

लोबाचेव्हस्की भूमितीमध्ये

एका बिंदूद्वारे विमानात लोबाचेव्हस्की भूमितीमध्ये अभिव्यक्ती विश्लेषित करण्यात अक्षम (लेक्सिकल एरर): Cया ओळीच्या बाहेर $एबी$

अशा असंख्य सरळ रेषा आहेत ज्या एकमेकांना छेदत नाहीत एबी. यापैकी, समांतर एबीफक्त दोन नावे आहेत.

सरळ सीइसमभुज (समांतर) रेषा म्हणतात एबीपासून दिशेने एला बी, तर:

1. गुण बीआणि इसरळ रेषेच्या एका बाजूला झोपा एसी ;
2. सरळ सीइरेषेला छेदत नाही एबी, परंतु कोनात जाणारा प्रत्येक किरण एसीइ, किरण ओलांडतो एबी .

एक सरळ रेषा त्याच प्रकारे परिभाषित केली आहे एबीपासून दिशेने बीला ए .

याला छेदत नसलेल्या इतर सर्व रेषा म्हणतात अतिसमांतरकिंवा भिन्न.

देखील पहा

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

• ओळी ओलांडणे
• नेस्टेरिखिन, युरी एफ्रेमोविच

इतर शब्दकोशांमध्ये "समांतर रेषा" काय आहेत ते पहा:

समांतर थेट- समांतर रेषा, एकाच विमानात पडलेल्या न छेदणाऱ्या रेषा... आधुनिक विश्वकोश

समांतर थेट मोठा विश्वकोशीय शब्दकोश

समांतर रेषा- समांतर रेषा, समान समतल मध्ये पडलेल्या न छेदणाऱ्या रेषा. ... इलस्ट्रेटेड एनसायक्लोपेडिक डिक्शनरी

समांतर रेषा- युक्लिडियन भूमितीमध्ये, सरळ रेषा ज्या एकाच समतलात असतात आणि एकमेकांना छेदत नाहीत. निरपेक्ष भूमितीमध्ये (निरपेक्ष भूमिती पहा), दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून, किमान एक सरळ रेषा दिलेल्या बिंदूला छेदत नसलेल्या बिंदूमधून जाते. मध्ये…… ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

समांतर रेषा- समान विमानात पडलेल्या न छेदणाऱ्या रेषा. * * * समांतर रेषा समांतर रेषा, एकाच समतलात न छेदणाऱ्या रेषा... विश्वकोशीय शब्दकोश

समांतर थेट- युक्लिडियन भूमितीमध्ये, सरळ रेषा एकाच समतलात असतात आणि एकमेकांना छेदत नाहीत. निरपेक्ष भूमितीमध्ये, दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून किमान एक रेषा जाते जी दिलेल्या रेषेला छेदत नाही. युक्लिडियन भूमितीमध्ये फक्त एक आहे ... ... गणितीय विश्वकोश

समांतर थेट- एकाच विमानात न छेदणाऱ्या रेषा... नैसर्गिक विज्ञान. विश्वकोशीय शब्दकोश

काल्पनिक कथांमध्ये समांतर जग- या लेखात मूळ संशोधन असू शकते. स्रोतांना लिंक जोडा, अन्यथा ते हटवण्यासाठी सेट केले जाऊ शकते. अधिक माहिती चर्चा पानावर असू शकते. हे... विकिपीडिया

समांतर जग- एक समांतर जग (कल्पनेत) हे एक वास्तव आहे जे आपल्याबरोबर एकाच वेळी अस्तित्वात आहे, परंतु स्वतंत्रपणे. या स्वायत्त वास्तविकतेचे विविध आकार असू शकतात: एका लहान भौगोलिक क्षेत्रापासून ते संपूर्ण विश्वापर्यंत. समांतर... विकिपीडिया

समांतर- रेषा सरळ रेषांना P म्हणतात. जर ते किंवा त्यांचे विस्तार एकमेकांना छेदत नाहीत. यातील एका ओळीतील बातमी दुसऱ्या ओळीपासून समान अंतरावर आहे. तथापि, असे म्हणण्याची प्रथा आहे: दोन P. सरळ रेषा अनंताला छेदतात. असे…… ब्रोकहॉस आणि एफ्रॉनचा विश्वकोश

पुस्तके

• टेबलांचा संच. गणित. 6 वी इयत्ता. 12 तक्ते + कार्यपद्धती, . टेबल्स 680 x 980 मिमीच्या जाड मुद्रित पुठ्ठ्यावर छापल्या जातात. किटमध्ये शिक्षकांसाठी अध्यापन मार्गदर्शक तत्त्वे असलेले माहितीपत्रक समाविष्ट आहे. 12 शीट्सचा शैक्षणिक अल्बम. विभाज्यता…

दोन ओळींच्या समांतरतेची चिन्हे

प्रमेय 1. जर, दोन रेषा एका सेकंटला छेदतात तेव्हा:

ओलांडलेले कोन समान आहेत, किंवा

संबंधित कोन समान आहेत, किंवा

तर एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° आहे

रेषा समांतर आहेत(आकृती क्रं 1).

पुरावा. आम्ही स्वतःला केस 1 सिद्ध करण्यापुरते मर्यादित ठेवतो.

छेदणाऱ्या रेषा a आणि b या आडव्या दिशेने असू द्या आणि कोन AB समान असू द्या. उदाहरणार्थ, ∠ 4 = ∠ 6. आपण सिद्ध करूया की a || b

समजा की a आणि b रेषा समांतर नाहीत. नंतर ते M बिंदूला छेदतात आणि म्हणून, 4 किंवा 6 पैकी एक कोन ABM त्रिकोणाचा बाह्य कोन असेल. निश्चिततेसाठी, ∠ 4 हा ABM त्रिकोणाचा बाह्य कोन आणि ∠ 6 हा अंतर्गत कोन असू द्या. त्रिकोणाच्या बाह्य कोनावरील प्रमेयावरून असे दिसून येते की ∠ 4 हा ∠ 6 पेक्षा मोठा आहे, आणि हे या स्थितीला विरोध करते, म्हणजे रेषा a आणि 6 एकमेकांना छेदू शकत नाहीत, म्हणून त्या समांतर आहेत.

परिणाम १. एकाच रेषेला लंब असलेल्या विमानातील दोन भिन्न रेषा समांतर असतात(चित्र 2).

टिप्पणी. प्रमेय 1 चे केस 1 ज्या पद्धतीने आपण सिद्ध केले आहे त्याला विरोधाभास किंवा मूर्खपणा कमी करून पुराव्याची पद्धत म्हणतात. या पद्धतीला त्याचे पहिले नाव मिळाले कारण युक्तिवादाच्या सुरूवातीस एक गृहितक केले जाते जे सिद्ध करणे आवश्यक आहे त्याच्या विरुद्ध (विरुद्ध) आहे. याला मूर्खपणाकडे नेणे म्हणतात कारण, केलेल्या गृहीतकाच्या आधारे तर्क करून, आपण मूर्खपणाकडे (अ‍ॅब्सर्ड) निष्कर्षापर्यंत पोहोचतो. असा निष्कर्ष प्राप्त केल्याने आपण सुरुवातीला केलेले गृहितक नाकारण्यास आणि सिद्ध करणे आवश्यक असलेले गृहितक स्वीकारण्यास भाग पाडतो.

कार्य १.दिलेल्या बिंदू M मधून जाणारी रेषा तयार करा आणि दिलेल्या रेषेला a समांतर करा, M बिंदूमधून न जात.

उपाय. आपण सरळ रेषा a (Fig. 3) ला लंब असलेल्या बिंदू M द्वारे p एक सरळ रेषा काढतो.

मग आपण बिंदू M मधून p रेषेच्या लंब असलेल्या b रेषा काढतो. प्रमेय 1 च्या परिणामानुसार रेषा b ही रेषा a ला समांतर आहे.

विचारात घेतलेल्या समस्येवरून एक महत्त्वपूर्ण निष्कर्ष खालीलप्रमाणे आहे:
दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूद्वारे, दिलेल्या रेषेला समांतर रेखा काढणे नेहमीच शक्य असते.

समांतर रेषांचा मुख्य गुणधर्म खालीलप्रमाणे आहे.

समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध. दिलेल्या रेषेवर नसलेल्या दिलेल्या बिंदूमधून, दिलेल्या रेषेच्या समांतर फक्त एक रेषा जाते.

या स्वयंसिद्धातून पुढे येणाऱ्या समांतर रेषांच्या काही गुणधर्मांचा विचार करूया.

1) जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एका रेषेला छेदत असेल, तर ती दुसर्‍याला देखील छेदते (चित्र 4).

2) जर दोन वेगवेगळ्या रेषा तिसऱ्या रेषेच्या समांतर असतील तर त्या समांतर असतात (चित्र 5).

खालील प्रमेय देखील सत्य आहे.

प्रमेय 2. जर दोन समांतर रेषा ट्रान्सव्हर्सलने छेदल्या असतील तर:

क्रॉसवाईज कोन समान आहेत;

संबंधित कोन समान आहेत;

एकतर्फी कोनांची बेरीज 180° आहे.

परिणाम २. जर एखादी रेषा दोन समांतर रेषांपैकी एकाला लंब असेल तर ती दुसर्‍या रेषेला देखील लंब असते.(चित्र 2 पहा).

टिप्पणी. प्रमेय 2 ला प्रमेय 1 चा व्युत्क्रम म्हणतात. प्रमेय 1 चा निष्कर्ष प्रमेय 2 ची स्थिती आहे. आणि प्रमेय 1 ची स्थिती प्रमेय 2 ची समाप्ती आहे. प्रत्येक प्रमेयाला व्युत्क्रम नसतो, म्हणजे, दिलेले प्रमेय असल्यास खरे, तर व्यस्त प्रमेय असत्य असू शकते.

उभ्या कोनांवर प्रमेयाचे उदाहरण वापरून हे स्पष्ट करू. हे प्रमेय खालीलप्रमाणे तयार केले जाऊ शकते: जर दोन कोन उभे असतील तर ते समान असतील. संभाषण प्रमेय असे असेल: जर दोन कोन समान असतील तर ते अनुलंब आहेत. आणि हे अर्थातच खरे नाही. दोन समान कोन उभे असणे आवश्यक नाही.

उदाहरण १.दोन समांतर रेषा तिसऱ्याने ओलांडल्या आहेत. हे ज्ञात आहे की दोन अंतर्गत एकतर्फी कोनांमधील फरक 30° आहे. हे कोन शोधा.

उपाय. आकृती 6 अट पूर्ण करू द्या.

ते कितीही काळ चालू ठेवले तरी ते एकमेकांना छेदत नाहीत. लेखनातील सरळ रेषांची समांतरता खालीलप्रमाणे दर्शविली जाते: एबी|| सहइ

अशा रेषांच्या अस्तित्वाची शक्यता प्रमेयाने सिद्ध केली आहे.

प्रमेय.

दिलेल्या रेषेच्या बाहेर घेतलेल्या कोणत्याही बिंदूद्वारे, या रेषेच्या समांतर बिंदू काढता येतो.

द्या एबीही सरळ रेषा आणि सहकाही बिंदू बाहेर काढले. द्वारे सिद्ध करणे आवश्यक आहे सहतुम्ही सरळ रेषा काढू शकता समांतरएबी. ते कमी करू एबीबिंदू पासून सह लंबसहडीआणि मग आम्ही आचरण करू सहइ^ सहडी, काय शक्य आहे. सरळ C.E.समांतर एबी.

हे सिद्ध करण्यासाठी, आपण उलट गृहीत धरूया, म्हणजे, ते C.E.छेदतो एबीकाही वेळी एम. मग बिंदूपासून एमसरळ रेषेकडे सहडीआमच्याकडे दोन भिन्न लंब असतील एमडीआणि एमएस, जे अशक्य आहे. म्हणजे, C.E.सह पार करू शकत नाही एबी, म्हणजे सहइसमांतर एबी.

परिणाम.

दोन लंब (Cइआणिडी.बी.) एका सरळ रेषेपर्यंत (सीडी) समांतर आहेत.

समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध.

एकाच बिंदूद्वारे एकाच रेषेच्या समांतर दोन भिन्न रेषा काढणे अशक्य आहे.

तर, सरळ असल्यास सहडी, बिंदूमधून काढले सहरेषेच्या समांतर एबी, नंतर प्रत्येक इतर ओळ सहइ, त्याच बिंदूमधून काढले सह, समांतर असू शकत नाही एबी, म्हणजे ती चालू आहे छेदतीलसह एबी.

हे पूर्णपणे उघड सत्य नाही हे सिद्ध करणे अशक्य होते. हे आवश्यक गृहितक (पोस्टुलेटम) म्हणून पुराव्याशिवाय स्वीकारले जाते.

परिणाम.

1. जर सरळ(सहइ) पैकी एकाला छेदतो समांतर(NE), नंतर ते दुसर्‍याला छेदते ( एबी), कारण अन्यथा त्याच बिंदूद्वारे सहसमांतर जाणार्‍या दोन वेगवेगळ्या रेषा असतील एबी, जे अशक्य आहे.

2. जर दोनपैकी प्रत्येक थेट (एआणिबी) समान तिसऱ्या ओळीच्या समांतर आहेत ( सह) , मग ते समांतरआपापसात.

खरंच, जर आपण असे गृहीत धरले तर एआणि बीकधीतरी छेदतात एम, तर या बिंदूच्या समांतर दोन भिन्न रेषा त्यातून जातील सह, जे अशक्य आहे.

प्रमेय.

तर रेषा लंब आहेसमांतर रेषांपैकी एकाला, नंतर ती दुसऱ्याला लंब असते समांतर.

द्या एबी || सहडीआणि ई.एफ. ^ एबी.ते सिद्ध करणे आवश्यक आहे ई.एफ. ^ सहडी.

लंबइएफ, सह छेदणारे एबी, नक्कीच पार करेल आणि सहडी. छेदनबिंदू असू द्या एच.

आता आपण असे गृहीत धरूया सहडीला लंब नाही ई.एच.. नंतर काही इतर सरळ रेषा, उदाहरणार्थ एच.के., ला लंब असेल ई.एच.आणि म्हणूनच त्याच बिंदूद्वारे एचदोन असतील सरळ समांतर एबी: एक सहडी, स्थितीनुसार, आणि इतर एच.के.पूर्वी सिद्ध केल्याप्रमाणे. हे अशक्य असल्याने असे मानता येत नाही NEला लंबवत नव्हते ई.एच..

प्रकरण तिसरा.
समांतर थेट

§ 35. समांतर दोन ओळींची चिन्हे.

एका रेषेला दोन लंब समांतर आहेत हे प्रमेय (§ 33) दोन रेषा समांतर असल्याचे चिन्ह देते. दोन ओळींच्या समांतरतेची अधिक सामान्य चिन्हे मिळवणे शक्य आहे.

1. समांतरतेचे पहिले चिन्ह.

जर, दोन सरळ रेषा तिसऱ्याला छेदतात तेव्हा, आडव्या दिशेने असलेले अंतर्गत कोन समान असतात, तर या रेषा समांतर असतात.

सरळ रेषा AB आणि CD सरळ रेषा EF आणि द्वारे छेदू द्या / 1 = / 2. बिंदू O घ्या - सेकंट EF (Fig. 189) च्या KL खंडाच्या मध्यभागी.

O बिंदूपासून लंबवत OM सरळ रेषेवर AB वर खाली करू आणि CD, AB_|_MN या सरळ रेषेला छेदत नाही तोपर्यंत पुढे चालू ठेवू. चला सिद्ध करूया की CD_|_MN.
हे करण्यासाठी, दोन त्रिकोणांचा विचार करा: MOE आणि NOK. हे त्रिकोण एकमेकांना समान आहेत. खरंच: / 1 = / 2 प्रमेयाच्या परिस्थितीनुसार; ओके = ओएल - बांधकामानुसार;
/ MOL = / NOK, उभ्या कोनाप्रमाणे. अशा प्रकारे, एका त्रिकोणाची बाजू आणि दोन समीप कोन अनुक्रमे दुसर्‍या त्रिकोणाच्या बाजूच्या आणि दोन समीप कोनांच्या समान असतात; म्हणून, /\ MOL = /\ NOK, आणि म्हणून
/ LMO = / KNO, पण / LMO थेट आहे, याचा अर्थ / KNO देखील सरळ आहे. अशा प्रकारे, AB आणि CD या रेषा MN ला लंब आहेत, म्हणून त्या समांतर आहेत (§ 33), जे सिद्ध करणे आवश्यक होते.

नोंद. MO आणि CD या सरळ रेषांचे छेदनबिंदू बिंदू O भोवती त्रिकोण MOL 180° ने फिरवून स्थापित केले जाऊ शकते.

2. समांतरतेचे दुसरे चिन्ह.

AB आणि CD या सरळ रेषा समांतर आहेत का ते पाहू या, जर ते तिसऱ्या सरळ रेषा EF ला छेदतात तेव्हा संबंधित कोन समान असतात.

उदाहरणार्थ, काही संबंधित कोन समान असू द्या / 3 = / 2 (रेखांकन 190);
/ 3 = / 1, कोन अनुलंब आहेत म्हणून; म्हणजे, / 2 समान असेल / 1. परंतु कोन 2 आणि 1 हे आतील कोन एकमेकांना छेदत आहेत आणि आपल्याला आधीच माहित आहे की जर दोन सरळ रेषा तिसऱ्याला छेदतात तेव्हा, छेदणारे आतील कोन समान असतात, तर या रेषा समांतर असतात. म्हणून AB || सीडी.

जर, दोन रेषा तिसऱ्याला छेदतात तेव्हा, संबंधित कोन समान असतात, तर या दोन रेषा समांतर असतात.

शासक आणि रेखाचित्र त्रिकोण वापरून समांतर रेषांचे बांधकाम या गुणधर्मावर आधारित आहे. हे खालीलप्रमाणे केले जाते.

रेखांकन 191 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे त्रिकोणाला शासकाशी जोडू या. आपण त्रिकोण हलवू जेणेकरून त्याची एक बाजू रूलरच्या बाजूने सरकेल आणि त्रिकोणाच्या दुसऱ्या बाजूने अनेक सरळ रेषा काढू. या रेषा समांतर असतील.

3. समांतरतेचे तिसरे चिन्ह.

जेव्हा दोन सरळ रेषा AB आणि CD तिसऱ्या सरळ रेषेला छेदतात तेव्हा कोणत्याही अंतर्गत एकतर्फी कोनांची बेरीज 2 असते. d(किंवा 180°). या प्रकरणात AB आणि CD या सरळ रेषा समांतर असतील का (चित्र 192).

द्या / 1 आणि / 2 आतील एकतर्फी कोन आहेत आणि 2 पर्यंत जोडतात d.
परंतु / 3 + / 2 = 2dसमीप कोन म्हणून. त्यामुळे, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

येथून / 1 = / 3, आणि हे अंतर्गत कोन क्रॉसवाईज आहेत. म्हणून AB || सीडी.

जर, जेव्हा दोन सरळ रेषा तिसऱ्याला छेदतात, तर अंतर्गत एकतर्फी कोनांची बेरीज 2 d, नंतर या दोन रेषा समांतर आहेत.

व्यायाम करा.

रेषा समांतर असल्याचे सिद्ध करा:
अ) जर बाह्य आडवा कोन समान असतील (चित्र 193);
b) जर बाह्य एकतर्फी कोनांची बेरीज 2 असेल d(चित्र 194).