Сега и в това, което следва, ще приемем, че поне едно от тези числа е различно от нула. Ако всички дадени числа са равни на нула, тогава общият им делител е всяко цяло число и тъй като има безкрайно много цели числа, не можем да говорим за най-голямото от тях. Следователно не може да се говори за най-голям общ делител на числа, всяко от които е равно на нула.

Сега можем да дадем намиране на най-голям общ делителдве числа.

Определение.

Най-голям общ делителот две цели числа е най-голямото цяло число, което дели двете дадени цели числа.

Съкращението GCD често се използва за съкращаване на най-големия общ делител - Greatest Common Divisor. Освен това най-големият общ делител на две числа a и b често се означава като gcd(a, b) .

Да донесем Пример за най-голям общ делител (gcd).две цели числа. Най-големият общ делител на 6 и −15 е 3 . Нека обосновем това. Нека запишем всички делители на числото шест: ±6, ±3, ±1, а делителите на числото −15 са числата ±15, ±5, ±3 и ±1. Сега можете да намерите всички общи делители на числата 6 и −15, това са числата −3, −1, 1 и 3. От −3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .

Дефиницията на най-големия общ делител на три или повече цели числа е подобна на дефиницията на gcd на две числа.

Определение.

Най-голям общ делителтри или повече цели числа е най-голямото цяло число, което едновременно дели всички дадени числа.

Най-големият общ делител на n цели числа a 1 , a 2 , …, a n ще обозначим като gcd(a 1 , a 2 , …, a n) . Ако стойността b на най-големия общ делител на тези числа е намерена, тогава можем да запишем НОД(a 1, a 2, …, a n)=b.

Като пример, даден gcd на четири цели числа −8 , 52 , 16 и −12 , той е равен на 4 , тоест gcd(−8, 52, 16, −12)=4 . Това може да се провери, като се запишат всички делители на дадените числа, изберат общите делители от тях и се определи най-големият общ делител.

Имайте предвид, че най-големият общ делител на цели числа може да бъде равен на едно от тези числа. Това твърдение е вярно, ако всички дадени числа се делят на едно от тях (доказателството е дадено в следващия параграф на тази статия). Например gcd(15, 60, −45)=15 . Това е вярно, защото 15 дели 15, 60 и −45 и няма общ делител на 15, 60 и −45, който да е по-голям от 15.

От особен интерес са така наречените относително прости числа - такива цели числа, чийто най-голям общ делител е равен на единица.

Свойства на най-големия общ делител, Алгоритъм на Евклид

Най-големият общ делител има редица характерни резултати, с други думи, редица свойства. Сега ще изброим основните свойства на най-големия общ делител (gcd), ще ги формулираме под формата на теореми и веднага ще дадем доказателства.

Ще формулираме всички свойства на най-големия общ делител за положителни цели числа, докато ще разгледаме само положителни делители на тези числа.

Най-големият общ делител на a и b е равен на най-големия общ делител на b и a, тоест gcd(a, b)=gcd(a, b).

Това свойство на НОД следва директно от определението за най-голям общ делител.

Ако a се дели на b, тогава множеството от общи делители на a и b е същото като множеството от делители на b, по-специално gcd(a, b)=b.

Доказателство.

Всеки общ делител на числата a и b е делител на всяко от тези числа, включително и на числото b. От друга страна, тъй като a е кратно на b, тогава всеки делител на числото b е делител и на числото a поради факта, че делимостта има свойството транзитивност, следователно всеки делител на числото b е a общ делител на числата a и b. Това доказва, че ако a се дели на b, то множеството от делители на числата a и b съвпада с множеството от делители на едно число b. И тъй като най-големият делител на числото b е самото число b, тогава най-големият общ делител на числата a и b също е равен на b , тоест gcd(a, b)=b .

По-специално, ако числата a и b са равни, тогава gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. Например gcd(132, 132)=132.

Доказаното свойство на най-големия делител ни позволява да намерим gcd на две числа, когато едното от тях се дели на другото. В този случай НОД е равен на едно от тези числа, на което се дели друго число. Например gcd(8, 24)=8, тъй като 24 е кратно на осем.

Ако a=b q+c , където a , b , c и q са цели числа, тогава множеството от общите делители на числата a и b съвпада с множеството от общите делители на числата b и c , по-специално gcd( a, b)=gcd (b, c) .

Нека обосновем това свойство на GCD.

Тъй като е в сила равенството a=b·q+c, то всеки общ делител на числата a и b дели и c (това следва от свойствата на делимостта). По същата причина всеки общ делител на b и c дели a. Следователно множеството от общите делители на числата a и b е същото като множеството от общите делители на числата b и c. По-специално, най-големият от тези общи делители също трябва да съвпада, тоест следващото равенство трябва да е валидно gcd(a, b)=gcd(b, c) .

Сега формулираме и доказваме теорема, която е Алгоритъм на Евклид. Алгоритъмът на Евклид ви позволява да намерите НОД на две числа (вижте намиране на НОД с помощта на алгоритъма на Евклид). Освен това алгоритъмът на Евклид ще ни позволи да докажем следните свойства на най-големия общ делител.

Преди да дадем твърдението на теоремата, препоръчваме да опресните паметта на теоремата от теоретичния раздел, която гласи, че дивидентът a може да бъде представен като b q + r, където b е делител, q е някакво цяло число, наречено частно частно, и r е цяло число, което удовлетворява условието, наречено остатък.

И така, нека за две ненулеви положителни числа a и b е вярна поредица от равенства

завършваща, когато r k+1 =0 (което е неизбежно, тъй като b>r 1 >r 2 >r 3 , … е поредица от намаляващи цели числа и тази поредица не може да съдържа повече от краен брой положителни числа), тогава r k – е най-големият общ делител на a и b , тоест r k =gcd(a, b) .

Доказателство.

Нека първо докажем, че r k е общ делител на числата a и b , след което ще покажем, че r k не е просто делител, а най-големият общ делител на числата a и b .

Ще се движим по написаните равенства отдолу нагоре. От последното равенство можем да кажем, че r k−1 се дели на r k . Предвид този факт, както и предишното свойство на GCD, предпоследното равенство r k−2 =r k−1 q k +r k ни позволява да твърдим, че r k−2 се дели на r k, тъй като r k−1 се дели на r k и r k се дели от r k . По аналогия от третото равенство отдолу заключаваме, че r k−3 се дели на r k . и т.н. От второто равенство получаваме, че b се дели на r k , а от първото равенство получаваме, че a се дели на r k . Следователно r k е общ делител на a и b.

Остава да докажем, че r k =gcd(a, b) . Защото е достатъчно да се покаже, че всеки общ делител на числата a и b (означаваме го с r 0 ) дели r k .

Ще се движим по първоначалните равенства отгоре надолу. По силата на предходното свойство, от първото равенство следва, че r 1 се дели на r 0 . Тогава от второто равенство получаваме, че r 2 се дели на r 0 . и т.н. От последното равенство получаваме, че r k се дели на r 0 . Така r k =gcd(a, b) .

От разгледаното свойство на най-големия общ делител следва, че множеството от общите делители на числата a и b съвпада с множеството от делителите на най-големия общ делител на тези числа. Това следствие от алгоритъма на Евклид ни позволява да намерим всички общи делители на две числа като делители на gcd на тези числа.

Нека a и b са цели числа, които не са едновременно равни на нула, тогава има такива цели числа u 0 и v 0 , тогава равенството gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 е вярно. Последното равенство е линейно представяне на най-големия общ делител на числата a и b, това равенство се нарича отношение на Безу, а числата u 0 и v 0 са коефициенти на Безу.

Доказателство.

Според алгоритъма на Евклид можем да напишем следните равенства



От първото равенство имаме r 1 =a−b q 1 и, означавайки 1=s 1 и −q 1 =t 1, това равенство приема формата r 1 =s 1 a+t 1 b и числата s 1 и t 1 са цели числа. Тогава от второто равенство получаваме r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. Означавайки −s 1 q 2 =s 2 и 1−t 1 q 2 =t 2 , последното равенство може да бъде записано като r 2 =s 2 a+t 2 b , а s 2 и t 2 са цели числа (тъй като сумата , разликата и произведението на цели числа е цяло число). По същия начин от третото равенство получаваме r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b, от четвъртото r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b и т.н. И накрая, r k =s k ·a+t k ·b , където s k и t k са цели числа. Тъй като r k =gcd(a, b) и означавайки s k =u 0 и t k =v 0, получаваме линейно представяне на gcd с необходимата форма: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 .

Ако m е всяко естествено число, тогава gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Обосновката за това свойство на най-големия общ делител е следната. Ако умножим по m двете страни на всяко от равенствата на алгоритъма на Евклид, получаваме, че gcd(m a, m b)=m r k и r k е gcd(a, b) . Следователно, gcd(m a, m b)=m gcd(a, b).

Това свойство на най-големия общ делител е в основата на метода за намиране на НОД чрез разлагане на прости фактори.

Нека p е всеки общ делител на числата a и b , тогава gcd(a:p, b:p)=gcd(a, b):p, по-специално, ако p=gcd(a, b) имаме gcd(a:gcd(a, b), b:gcd(a, b))=1, тоест числата a:gcd(a, b) и b:gcd(a, b) са взаимно прости.

Тъй като a=p (a:p) и b=p (b:p) и поради предишното свойство, можем да напишем верига от равенства от вида gcd(a, b)=gcd(p (a:p), p (b:p))= p·gcd(a:p, b:p) , откъдето следва равенството, което трябва да се докаже.

Свойството най-голям общ делител току-що доказа, че лежи в основата.

Сега нека изразим свойството НОД, което намалява проблема с намирането на най-големия общ делител на три или повече числа до последователно намиране на НОД на две числа.

Най-големият общ делител на числата a 1 , a 2 , ..., a k е равен на числото d k , което се намира при последователното изчисление на НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3, НОД(d 3, a 4)=d 4, …, НОД(d k-1, a k)=d k.

Доказателството се основава на следствие от алгоритъма на Евклид. Общите делители на числата a 1 и a 2 са същите като делителите на d 2 . Тогава общите делители на числата a 1 , a 2 и a 3 съвпадат с общите делители на числата d 2 и a 3 , следователно те съвпадат с делителите на d 3 . Общите делители на числата a 1 , a 2 , a 3 и a 4 са същите като общите делители на d 3 и a 4 , следователно същите като делителите на d 4 . и т.н. И накрая, общите делители на числата a 1 , a 2 , …, a k съвпадат с делителите на d k . И тъй като най-големият делител на числото d k е самото число d k, тогава НОД(a 1, a 2, …, a k)=d k.

С това приключваме прегледа на основните свойства на най-големия общ делител.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Учебник за студенти по физ.-мат. специалности на педагогически институти.

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или произволен друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Намерете GCD и NOC

GCD и NOC намерени: 5806

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• В случай на въвеждане на грешни символи, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• натиснете бутона "Намиране на GCD и NOC"

Как се въвеждат числа

• Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно

Какво е NOD и NOK?

Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се обозначава съкратено като GCD.
Най-малко общо кратноняколко числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно се обозначава съкратено като НОК.

Как да проверя дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това чрез комбинирането им може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Признак за делимост на числото на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 2.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.

2. Признак за делимост на числото на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от неговите цифри се дели на 3. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сумата от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се окаже много голяма, можете да повторите същия процес отново.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 3.
решение:броим сбора на цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Признак за делимост на числото на 5
Едно число се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Признак за делимост на числото на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: едно число се дели на 9, когато сборът от неговите цифри се дели на 9.
Пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
решение:изчисляваме сумата от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерим GCD и LCM на две числа

Как да намерим НОД на две числа

Най-лесният начин за изчисляване на най-големия общ делител на две числа е да намерите всички възможни делители на тези числа и да изберете най-големия от тях.

Разгледайте този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36):

1. Разлагаме двете числа на множители: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Намираме общи множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерим LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете сред тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да намерим НОД на тези числа. Нека просто го разгледаме.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252.

Намиране на GCD и LCM за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За тази цел числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Освен това, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Подобна връзка важи и за най-малкото общо кратно на числа: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Пример:намерете GCD и LCM за числата 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Нека намерим общи множители: 1, 2 и 2 .
3. Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. За да намерите НОК на трите числа, трябва да намерите НОД(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , НОД = 1 2 .2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Тази статия е за намиране на най-голям общ делител (gcd)две или повече числа. Първо, разгледайте алгоритъма на Евклид, той ви позволява да намерите НОД на две числа. След това ще се спрем на метод, който ни позволява да изчислим НОД на числа като произведение на техните общи прости множители. След това ще се занимаваме с намирането на най-големия общ делител на три или повече числа и ще дадем примери за изчисляване на GCD на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Алгоритъм на Евклид за намиране на НОД

Обърнете внимание, че ако се бяхме обърнали към таблицата с прости числа от самото начало, щяхме да разберем, че числата 661 и 113 са прости, от което веднага бихме могли да кажем, че техният най-голям общ делител е 1.

Отговор:

gcd(661, 113)=1.

Намиране на НОД чрез разлагане на числа на прости множители

Помислете за друг начин да намерите GCD. Най-големият общ делител може да бъде намерен чрез разлагане на числа на прости множители. Нека формулираме правилото: Gcd на две положителни цели числа a и b е равна на произведението на всички общи прости множители в разложенията на a и b на прости множители.

Нека дадем пример, за да обясним правилото за намиране на НОД. Нека да знаем разлаганията на числата 220 и 600 на прости множители, те имат формата 220=2 2 5 11 и 600=2 2 2 3 5 5 . Често срещаните прости множители, участващи в разширяването на числата 220 и 600, са 2, 2 и 5. Следователно gcd(220, 600)=2 2 5=20 .

Така, ако разложим числата a и b на прости множители и намерим произведението на всичките им общи множители, тогава това ще намери най-големия общ делител на числата a и b.

Помислете за пример за намиране на GCD според обявеното правило.

Пример.

Намерете най-големия общ делител на 72 и 96.

Решение.

Нека разложим числата 72 и 96 на множители:

Тоест 72=2 2 2 3 3 и 96=2 2 2 2 2 3 . Често срещаните прости множители са 2, 2, 2 и 3. Така gcd(72, 96)=2 2 2 3=24 .

Отговор:

gcd(72, 96)=24.

В заключение на този раздел отбелязваме, че валидността на горното правило за намиране на gcd следва от свойството на най-големия общ делител, което гласи, че НОД(m a 1, m b 1)=m НОД(a 1, b 1), където m е всяко положително цяло число.

Намиране на НОД на три или повече числа

Намирането на най-големия общ делител на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на НОД на две числа. Споменахме това, когато изучавахме свойствата на GCD. Там формулирахме и доказахме теоремата: най-големият общ делител на няколко числа a 1 , a 2 , …, a k е равен на числото d k , което се намира при последователното изчисление на gcd(a 1 , a 2)=d 2 , gcd(d 2 , a 3) =d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k-1 , a k)=d k .

Нека да видим как изглежда процесът на намиране на НОД на няколко числа, като разгледаме решението на примера.

Пример.

Намерете най-големия общ делител на четирите числа 78, 294, 570 и 36.

Решение.

В този пример a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Първо, използвайки алгоритъма на Евклид, ние определяме най-големия общ делител d 2 на първите две числа 78 и 294 . При деление се получават равенствата 294=78 3+60 ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 и 18=6 3 . Така d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Сега нека изчислим d 3 \u003d НОД (d 2, a 3) \u003d НОД (6, 570). Отново прилагаме алгоритъма на Евклид: 570=6·95 , следователно d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Остава да изчислим d 4 \u003d НОД (d 3, a 4) \u003d НОД (6, 36). Тъй като 36 се дели на 6, тогава d 4 \u003d НОД (6, 36) \u003d 6.

Така най-големият общ делител на четирите дадени числа е d 4 =6 , тоест gcd(78, 294, 570, 36)=6 .

Отговор:

gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Разлагането на числа на прости множители също ви позволява да изчислите GCD на три или повече числа. В този случай най-големият общ делител се намира като произведение на всички общи прости множители на дадените числа.

Пример.

Изчислете НОД на числата от предишния пример, като използвате техните прости фактори.

Решение.

Разлагаме числата 78 , 294 , 570 и 36 на прости множители, получаваме 78=2 3 13 , 294=2 3 7 7 , 570=2 3 5 19 , 36=2 2 3 .3 . Общите прости множители на всички дадени четири числа са числата 2 и 3. Следователно, НОД(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Намиране на най-малко общо кратно (НОК) и най-голям общ делител (НОД) на естествени числа.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Изписваме множителите, включени в разширението на първото от тези числа и добавяме към тях липсващия множител 5 от разширението на второто число. Получаваме: 2*2*3*5*5=300. Намерени NOC, т.е. тази сума = 300. Не забравяйте измерението и напишете отговора:
Отговор: Мама дава по 300 рубли.

Дефиниция на GCD:Най-голям общ делител (НОД)естествени числа аи вназовете най-голямото естествено число ° С, на което и а, и bразделено без остатък. Тези. ° Се най-малкото естествено число, за което и аи bса кратни.

Напомняне:Има два подхода към дефинирането на естествените числа

• числа, използвани при: изброяване (номериране) на елементи (първи, втори, трети, ...); - в училищата, обикновено.
• посочване на броя на елементите (без покемон - нула, един покемон, два покемона, ...).

Отрицателните и нецелите (рационални, реални, ...) числа не са естествени. Някои автори включват нулата в множеството от естествени числа, други не. Съвкупността от всички естествени числа обикновено се означава със символа н

Напомняне:Делител на естествено число аобадете се на номера б,към който аразделено без остатък. Кратно на естествено число bнаречено естествено число а, което е разделено на bбез следа. Ако номер b- делител на числа а, тогава акратно на b. Пример: 2 е делител на 4, а 4 е кратно на 2. 3 е делител на 12, а 12 е кратно на 3.
Напомняне:Естествените числа се наричат ​​прости, ако се делят без остатък само на себе си и на 1. Взаимопрости са числа, които имат само един общ делител, равен на 1.

Определение как да намерите GCD в общия случай:За да намерите НОД (Най-голям общ делител)Необходими са няколко естествени числа:
1) Разложете ги на прости множители. (Диаграмата с прости числа може да бъде много полезна за това.)
2) Напишете факторите, включени в разширението на един от тях.
3) Изтрийте тези, които не са включени в разширението на останалите числа.
4) Умножете коефициентите, получени в параграф 3).

Задача 2 на (NOK):До нова година Коля Пузатов купи в града 48 хамстера и 36 кафеника. Фекла Дормидонтова, като най-честното момиче в класа, получи задачата да раздели това имущество на възможно най-голям брой подаръчни комплекти за учители. Какъв е броят на комплектите? Какъв е съставът на комплектите?

Пример 2.1. решаване на проблема с намирането на GCD. Намиране на GCD чрез селекция.
решение:Всяко от числата 48 и 36 трябва да се дели на броя на подаръците.
1) Изпишете делителите 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Изпишете делителите 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Изберете най-големия общ делител. Оп-ла-ла! Намерени, това е броят на комплектите от 12 бр.
3) Разделяме 48 на 12, получаваме 4, разделяме 36 на 12, получаваме 3. Не забравяйте измерението и напишете отговора:
Отговор: Ще получите 12 комплекта от 4 хамстера и 3 кана за кафе във всеки комплект.

Признаци за делимост на естествените числа.

Числата, които се делят на 2 без остатък се наричатдори .

Числата, които не се делят равномерно на 2, се наричатстранно .

Знак за делимост на 2

Ако записът на едно естествено число завършва с четна цифра, то това число се дели на 2 без остатък, а ако записът на едно число завършва с нечетна цифра, то това число не се дели на 2 без остатък.

Например числата 60 , 30 8 , 8 4 се делят без остатък на 2, а числата 51 , 8 5 , 16 7 не се делят на 2 без остатък.

Знак за делимост на 3

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото също се дели на 3; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.

Например, нека разберем дали числото 2772825 се дели на 3. За да направим това, изчисляваме сумата от цифрите на това число: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - се дели на 3 И така, числото 2772825 се дели на 3.

Знак за делимост на 5

Ако записът на едно естествено число завършва с числото 0 или 5, то това число се дели без остатък на 5. Ако записът на едно число завършва с друга цифра, то числото без остатък не се дели на 5.

Например числата 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делят без остатък на 5, а числата 17 , 37 8 , 9 1 не споделяйте.

Знак за делимост на 9

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то числото също се дели на 9; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.

Например, нека разберем дали числото 5402070 се дели на 9. За да направим това, изчисляваме сумата от цифрите на това число: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели на 9. Това означава, че числото 5402070 не се дели на 9.

Знак за делимост на 10

Ако записът на естествено число завършва с цифрата 0, то това число се дели без остатък на 10. Ако записът на естествено число завършва с друга цифра, то то не се дели на 10 без остатък.

Например числата 40 , 17 0 , 1409 0 се делят без остатък на 10, а числата 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделяйте.

Правилото за намиране на най-голям общ делител (gcd).

За да намерите най-големия общ делител на няколко естествени числа, трябва:

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;

3) намерете произведението на останалите множители.

Пример. Нека намерим НОД (48;36). Нека използваме правилото.

1. Разлагаме числата 48 и 36 на прости множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. От факторите, включени в разширението на числото 48, изтриваме тези, които не са включени в разширението на числото 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Има фактори 2, 2 и 3.

3. Умножете останалите множители и получете 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Правилото за намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

За да намерите най-малкото общо кратно на няколко естествени числа, трябва:

1) разложи ги на прости множители;

2) напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;

3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;

4) намерете произведението на получените фактори.

Пример.Нека намерим LCM (75;60). Нека използваме правилото.

1. Разлагаме числата 75 и 60 на прости множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Запишете факторите, включени в разширяването на числото 75: 3, 5, 5.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Добавете към тях липсващите множители от разлагането на числото 60, т.е. 2, 2.

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Намерете произведението на получените множители

НОК (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.