Въведение

Логаритмите са измислени, за да ускорят и опростят изчисленията. Идеята за логаритъма, тоест идеята за изразяване на числата като степен на една и съща основа, принадлежи на Михаил Щифел. Но по времето на Щифел математиката не беше толкова развита и идеята за логаритъма не намери своето развитие. Логаритмите са изобретени по-късно едновременно и независимо от шотландския учен Джон Напиер (1550-1617) и швейцареца Йобст Бурги (1552-1632).Напиер е първият, който публикува труда през 1614 г. озаглавен „Описание на удивителната таблица на логаритмите“, теорията на Напиер за логаритмите е дадена в доста пълен том, методът за изчисляване на логаритми е даден по най-простия начин, следователно заслугите на Напиер в изобретяването на логаритмите са по-големи от тези на Бурги. Бурги работи върху таблиците едновременно с Напиер, но ги пази в тайна дълго време и ги публикува едва през 1620 г. Напиер усвоява идеята за логаритъма около 1594 г. въпреки че таблиците са публикувани 20 години по-късно. Отначало той нарече своите логаритми „изкуствени числа“ и едва след това предложи тези „изкуствени числа“ да се нарекат с една дума „логаритъм“, което на гръцки е „корелирани числа“, взети едното от аритметична прогресия, а другото от геометрична прогресия, специално подбрана за нея. Първите таблици на руски език са публикувани през 1703 г. с участието на забележителен учител от 18 век. Л. Ф. Магнитски. В развитието на теорията на логаритмите голямо значение имаше работата на петербургския академик Леонард Ойлер. Той е първият, който разглежда логаритъма като обратен на степенуването, той въвежда термините "основа на логаритъма" и "мантиса" Бригс съставя таблици на логаритми с основа 10. Десетичните таблици са по-удобни за практическа употреба, тяхната теория е по-проста от този на логаритмите на Напиер. Следователно десетичните логаритми понякога се наричат ​​бригове. Терминът "характеристика" е въведен от Бригс.

В онези далечни времена, когато мъдреците за първи път започнаха да мислят за равенства, съдържащи неизвестни количества, вероятно все още не е имало монети или портфейли. Но от друга страна имаше купища, както и саксии, кошници, които бяха идеални за ролята на тайници-складове, съдържащи неизвестен брой предмети. В древните математически задачи на Месопотамия, Индия, Китай, Гърция неизвестните величини изразяват броя на пауните в градината, броя на биковете в стадото, съвкупността от неща, взети предвид при разделянето на имуществото. Писари, служители и свещеници, посветени в тайни знания, добре обучени в науката за броенето, се справяха доста успешно с подобни задачи.

Източници, достигнали до нас, показват, че древните учени са притежавали някои общи методи за решаване на проблеми с неизвестни количества. Но нито един папирус, нито една глинена плочка не дава описание на тези техники. Авторите само от време на време снабдяваха числените си изчисления със злобни коментари като: „Вижте!“, „Направете го!“, „Намерихте го правилно“. В този смисъл изключение прави „Аритметика” на гръцкия математик Диофант Александрийски (III в.) – сборник от задачи за съставяне на уравнения със систематично представяне на техните решения.

Въпреки това работата на багдадския учен от 9 век се превърна в първото ръководство за решаване на проблеми, което стана широко известно. Мохамед бин Муса ал-Хорезми. Думата "al-jabr" от арабското заглавие на този трактат - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Книгата за възстановяване и контрастиране") - с течение на времето се превърна в думата "алгебра", добре позната на всички, и самата работа на ал-Хорезми служи като отправна точка в развитието на науката за решаване на уравнения.

Логаритмични уравнения и неравенства

1. Логаритмични уравнения

Уравнение, съдържащо неизвестно под знака на логаритъма или в основата му, се нарича логаритмично уравнение.

Най-простото логаритмично уравнение е уравнението на формата

дневник а х = b . (1)

Твърдение 1. Ако а > 0, а≠ 1, уравнение (1) за всяко реално bима единственото решение х = а б .

Пример 1. Решете уравнения:

а) дневник 2 х= 3, b) log 3 х= -1, в)

Решение. Използвайки твърдение 1, получаваме а) х= 2 3 или х= 8; б) х= 3 -1 или х= 1/3; ° С)

или х = 1.

Представяме основните свойства на логаритъма.

P1. Основна логаритмична идентичност:

където а > 0, а≠ 1 и b > 0.

P2. Логаритъмът на произведението на положителните фактори е равен на сумата от логаритмите на тези фактори:

дневник а недин · н 2 = дневник а н 1 + дневник а н 2 (а > 0, а ≠ 1, н 1 > 0, н 2 > 0).

Коментирайте. Ако недин · н 2 > 0, тогава свойството P2 приема формата

дневник а недин · н 2 = дневник а |н 1 | +дневник а |н 2 | (а > 0, а ≠ 1, недин · н 2 > 0).

P3. Логаритъмът от частното на две положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя

(а > 0, а ≠ 1, н 1 > 0, н 2 > 0).

Коментирайте. Ако

, (което е еквивалентно на н 1 н 2 > 0), тогава свойството P3 приема формата (а > 0, а ≠ 1, н 1 н 2 > 0).

P4. Логаритъмът на степента на положително число е равен на произведението на степента и логаритъма на това число:

дневник а н к = кдневник а н (а > 0, а ≠ 1, н > 0).

Коментирайте. Ако к- четен брой ( к = 2с), тогава

дневник а н 2с = 2сдневник а |н | (а > 0, а ≠ 1, н ≠ 0).

P5. Формулата за преместване в друга база е:

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, н > 0),

особено ако н = b, получаваме

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Използвайки свойства P4 и P5, е лесно да се получат следните свойства

(а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (3) (а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (4) (а > 0, а ≠ 1, b > 0, ° С ≠ 0), (5)

и ако в (5) ° С- четен брой ( ° С = 2н), се провежда

(b > 0, а ≠ 0, |а | ≠ 1). (6)

Изброяваме основните свойства на логаритмичната функция f (х) = дневник а х :

1. Домейнът на логаритмичната функция е множеството от положителни числа.

2. Диапазонът от стойности на логаритмичната функция е набор от реални числа.

3. Кога а> 1 логаритмичната функция е строго нарастваща (0< х 1 < х 2 дневник а х 1 < logа х 2) и на 0< а < 1, - строго убывает (0 < х 1 < х 2 дневник а х 1 > дневник а х 2).

4 дневник а 1 = 0 и log а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е отрицателна за х(0;1) и е положителен за х(1;+∞), и ако 0< а < 1, то логарифмическая функция положительна при х (0;1) и е отрицателен за х (1;+∞).

6. Ако а> 1, тогава логаритмичната функция е изпъкнала нагоре и ако а(0;1) - изпъкнал надолу.

Следните твърдения (вижте например ) се използват при решаване на логаритмични уравнения.

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Логаритмични неравенства

В предишните уроци се запознахме с логаритмичните уравнения и сега знаем какво представляват и как се решават. И днешният урок ще бъде посветен на изучаването на логаритмични неравенства. Какви са тези неравенства и каква е разликата между решаване на логаритмично уравнение и неравенства?

Логаритмичните неравенства са неравенства, които имат променлива под знака на логаритъма или в основата му.

Или може също да се каже, че логаритмично неравенство е неравенство, в което неговата неизвестна стойност, както в логаритмичното уравнение, ще бъде под знака на логаритъма.

Най-простите логаритмични неравенства изглеждат така:

където f(x) и g(x) са някои изрази, които зависят от x.

Нека да разгледаме това чрез следния пример: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решаване на логаритмични неравенства

Преди да решите логаритмични неравенства, струва си да се отбележи, че когато се решават, те са подобни на експоненциалните неравенства, а именно:

Първо, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ние също трябва да сравним основата на логаритъма с единица;

Второ, когато решаваме логаритмично неравенство с помощта на промяна на променливи, трябва да решаваме неравенства по отношение на промяната, докато получим най-простото неравенство.

Но ние разгледахме подобни моменти на решаване на логаритмични неравенства. Сега нека разгледаме една доста съществена разлика. Вие и аз знаем, че логаритмичната функция има ограничена област на дефиниция, така че когато преминавате от логаритми към изрази, които са под знака на логаритъма, трябва да вземете предвид обхвата на приемливите стойности (ODV).

Тоест, трябва да се има предвид, че когато решаваме логаритмично уравнение, първо можем да намерим корените на уравнението и след това да проверим това решение. Но решаването на логаритмичното неравенство няма да работи по този начин, тъй като преминавайки от логаритми към изрази под знака на логаритъма, ще е необходимо да запишете ODZ на неравенството.

Освен това си струва да запомните, че теорията на неравенствата се състои от реални числа, които са положителни и отрицателни числа, както и числото 0.

Например, когато числото "a" е положително, тогава трябва да се използва следната нотация: a > 0. В този случай както сумата, така и произведението на тези числа също ще бъдат положителни.

Основният принцип за решаване на неравенство е да го замените с по-просто неравенство, но основното е то да е еквивалентно на даденото. Освен това получихме и неравенство и отново го заменихме с такова, което има по-проста форма и т.н.

Решавайки неравенства с променлива, трябва да намерите всичките му решения. Ако две неравенства имат една и съща променлива x, тогава тези неравенства са еквивалентни, при условие че техните решения са еднакви.

При изпълнение на задачи за решаване на логаритмични неравенства е необходимо да се помни, че когато a > 1, тогава логаритмичната функция нараства, а когато 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Начини за решаване на логаритмични неравенства

Сега нека да разгледаме някои от методите, които се използват при решаване на логаритмични неравенства. За по-добро разбиране и асимилация ще се опитаме да ги разберем с помощта на конкретни примери.

Знаем, че най-простото логаритмично неравенство има следния вид:

В това неравенство V - е един от тези знаци за неравенство като:<,>, ≤ или ≥.

Когато основата на този логаритъм е по-голяма от единица (a>1), което прави прехода от логаритми към изрази под знака на логаритъма, тогава в тази версия знакът за неравенство се запазва и неравенството ще изглежда така:

което е еквивалентно на следната система:

В случай, че основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от единица (0

Това е еквивалентно на тази система:

Нека разгледаме още примери за решаване на най-простите логаритмични неравенства, показани на снимката по-долу:

Решение на примери

Задачата.Нека се опитаме да разрешим това неравенство:

Решението на зоната на допустимите стойности.

Сега нека се опитаме да умножим дясната му страна по:

Да видим какво можем да направим:

Сега нека преминем към преобразуването на подлогаритмични изрази. Тъй като основата на логаритъма е 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А от това следва, че интервалът, който получихме принадлежи изцяло на ОДЗ и е решение на такова неравенство.

Ето отговора, който получихме:

Какво е необходимо за решаване на логаритмични неравенства?

Сега нека се опитаме да анализираме какво ни е необходимо за успешно решаване на логаритмични неравенства?

Първо, съсредоточете цялото си внимание и се опитайте да не правите грешки, когато извършвате трансформациите, които са дадени в това неравенство. Също така трябва да се помни, че при решаването на такива неравенства е необходимо да се предотврати разширяване и стесняване на неравенството на ODZ, което може да доведе до загуба или придобиване на странични решения.

Второ, когато решавате логаритмични неравенства, трябва да се научите да мислите логически и да разбирате разликата между такива понятия като система от неравенства и набор от неравенства, така че лесно да избирате решения на неравенство, като се ръководите от неговия DHS.

Трето, за да разрешите успешно подобни неравенства, всеки от вас трябва да знае отлично всички свойства на елементарните функции и ясно да разбира тяхното значение. Такива функции включват не само логаритмични, но и рационални, степенни, тригонометрични и т.н., с една дума всички онези, които сте учили по време на училищната алгебра.

Както можете да видите, след като сте изучавали темата за логаритмичните неравенства, няма нищо трудно в решаването на тези неравенства, при условие че сте внимателни и упорити в постигането на целите си. За да няма проблеми при решаването на неравенства, трябва да тренирате колкото е възможно повече, решавайки различни задачи и в същото време да запомните основните начини за решаване на такива неравенства и техните системи. При неуспешни решения на логаритмични неравенства трябва внимателно да анализирате грешките си, за да не се връщате към тях отново в бъдеще.

Домашна работа

За по-добро усвояване на темата и консолидиране на обхванатия материал, решете следните неравенства:

С тях са вътрешни логаритми.

Примери:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични неравенства:

Всяко логаритмично неравенство трябва да се редуцира до формата \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (символът \(˅\) означава всяко от ). Тази форма ни позволява да се отървем от логаритмите и техните бази, като преминем към неравенството на изразите под логаритми, тоест към формата \(f(x) ˅ g(x)\).

Но когато правите този преход, има една много важна тънкост:
\(-\) ако - число и е по-голямо от 1 - знакът за неравенство остава същият по време на прехода,
\(-\) ако основата е число, по-голямо от 0, но по-малко от 1 (между нула и едно), тогава знакът за неравенство трябва да бъде обърнат, т.е.

Примери:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(х<8\) решение: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Отговор: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ едно))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(x\in(2;\infty)\) решение: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Отговор: \((2;5]\)

Много важно!Във всяко неравенство преходът от формата \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) към сравняване на изрази под логаритми може да се извърши само ако:

Пример . Решете неравенството: \(\log\)\(≤-1\)

решение:

\(\дневник\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Да изпишем ОДЗ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Отваряме скобите, даваме .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Умножаваме неравенството по \(-1\), като не забравяме да обърнем знака за сравнение.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Нека изградим числова ос и маркираме точките \(\frac(7)(3)\) и \(\frac(3)(2)\) върху нея. Обърнете внимание, че точката от знаменателя е пробита, въпреки факта, че неравенството не е строго. Факт е, че тази точка няма да бъде решение, тъй като при заместване в неравенство ще ни доведе до деление на нула.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Сега начертаваме ODZ на същата цифрова ос и записваме в отговор интервала, който попада в ODZ.
	Запишете крайния отговор.

Отговор: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Пример . Решете неравенството: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Да изпишем ОДЗ.
ODZ: \(x>0\)	Да пристъпим към решението.
Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Пред нас е типично квадратно-логаритмично неравенство. Ние правим.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Разгънете лявата страна на неравенството в .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Сега трябва да се върнете към първоначалната променлива - x. За да направим това, преминаваме към , което има същото решение, и правим обратното заместване.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Трансформирайте \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Нека да преминем към сравняване на аргументи. Основите на логаритмите са по-големи от \(1\), така че знакът на неравенствата не се променя.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Нека обединим решението на неравенството и ОДЗ в една фигура.
	Нека запишем отговора.

Отговор: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

ЛОГАРИТМИЧНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА

Сечин Михаил Александрович

Малка академия на науките за ученици на Република Казахстан "Търсач"

MBOU "Съветско средно училище № 1", 11 клас, гр. Съветски съветски район

Гунко Людмила Дмитриевна, учител на МБОУ "Съветско средно училище № 1"

Съветски район

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на С3 логаритмични неравенства чрез нестандартни методи, разкриващи интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

3) Научете се да решавате конкретни логаритмични C3 неравенства, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Съдържание

Въведение……………………………………………………………………………….4

Глава 1. Предистория………………………………………………………...5

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства …………………………… 7

2.1. Еквивалентни преходи и обобщеният метод на интервалите…………… 7

2.2. Метод на рационализация ………………………………………………… 15

2.3. Нестандартно заместване……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4. Задачи с капани……………………………………………………… 27

Заключение……………………………………………………………………… 30

Литература………………………………………………………………………. 31

Въведение

Аз съм в 11 клас и смятам да вляза в университет, където математиката е основен предмет. И затова работя много със задачите от част C. В задача C3 трябва да решите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Докато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на изпитните логаритмични неравенства, предлагани в C3. Методите, които се изучават в училищната програма по тази тема, не дават основа за решаване на задачи C3. Учителката по математика ми предложи сама да работя със задачите С3 под нейно ръководство. Освен това се интересувах от въпроса: има ли логаритми в нашия живот?

С оглед на това беше избрана темата:

"Логаритмични неравенства на изпита"

Цел на работата:изследване на механизма за решаване на задачи С3 чрез нестандартни методи, разкриващи интересни факти за логаритъма.

Предмет на изследване:

1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.

2) Намерете допълнителна информация за логаритмите.

3) Научете се да решавате специфични проблеми на C3, като използвате нестандартни методи.

Резултати:

Практическото значение е в разширяването на апарата за решаване на задачи С3. Този материал може да се използва в някои уроци, за провеждане на кръгове, факултативни часове по математика.

Продукт на проекта ще бъде сборникът „Логаритмични C3 неравенства с решения“.

Глава 1. Предистория

През 16 век броят на приблизителните изчисления нараства бързо, предимно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на движенията на планетите и друга работа изискваха колосални, понякога много години, изчисления. Астрономията беше в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха и в други области, например в застрахователния бизнес бяха необходими таблици със сложни лихви за различни процентни стойности. Основната трудност беше умножението, деленето на многоцифрени числа, особено тригонометричните величини.

Откриването на логаритмите се основава на добре известните свойства на прогресиите в края на 16 век. Архимед говори за връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметичната прогресия на техните показатели 1, 2, 3, ... в Псалмита. Друга предпоставка беше разширяването на концепцията за степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, повишаването на степен и извличането на корен съответстват в аритметика - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.

Тук беше идеята за логаритъма като показател.

В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.

Етап 1

Логаритмите са изобретени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Напиер (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да осигурят ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към този проблем по различни начини. Напиер изразява кинематично логаритмичната функция и по този начин навлиза в нова област на теорията на функциите. Bürgi остана на базата на разглеждане на дискретни прогресии. Дефиницията на логаритъма и за двете обаче не е подобна на съвременната. Терминът "логаритъм" (логаритъм) принадлежи на Напиер. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - "връзка" и ariqmo - "число", което означаваше "брой отношения". Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artificiales - "изкуствени числа", за разлика от numeri naturalts - "естествени числа".

През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в Gresh College в Лондон, Напиер предлага да се вземе нула за логаритъм от едно и 100 за логаритъм от десет, или каквото се равнява на същото , просто 1. Така са отпечатани десетичните логаритми и Първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс са допълнени от холандския книжар и математик Андриан Флак (1600-1667). Напиер и Бригс, въпреки че стигнаха до логаритмите преди всеки друг, публикуваха своите таблици по-късно от другите - през 1620 г. Знаците log и Log са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "натурален логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г., последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Спадел публикува таблици с естествени логаритми на числа от 1 до 1000 под името "Нови логаритми".

На руски език първите логаритмични таблици са публикувани през 1703 г. Но във всички логаритмични таблици бяха направени грешки при изчислението. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин в обработката на немския математик К. Бремикер (1804-1877).

Етап 2

По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широкото приложение на аналитичната геометрия и инфинитезималното смятане. По това време е установена връзката между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.

Немският математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в своето есе

"Logarithmotechnics" (1668) дава серия, която дава разширението на ln(x + 1) по отношение на

мощности x:

Този израз точно отговаря на хода на неговата мисъл, въпреки че, разбира се, той не използва знаците d, ..., а по-тромави символи. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се промени: те започнаха да се определят с помощта на безкрайни серии. В своите лекции "Елементарна математика от по-висока гледна точка", прочетени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага да се използва формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.

Етап 3

Дефиниция на логаритмична функция като функция на обратната

експоненциален, логаритъм като показател на дадена основа

не е формулиран веднага. Работата на Леонхард Ойлер (1707-1783)

„Въведение в анализа на безкрайно малки“ (1748) служи като по-нататък

развитие на теорията на логаритмичната функция. Поради това,

Изминаха 134 години от първото въвеждане на логаритмите

(броене от 1614 г.), преди математиците да излязат с дефиниция

концепцията за логаритъм, която сега е в основата на училищния курс.

Глава 2. Колекция от логаритмични неравенства

2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите.

Еквивалентни преходи

ако a > 1

ако 0 < а < 1

Обобщен интервален метод

Този метод е най-универсалният при решаване на неравенства от почти всякакъв вид. Схемата за решение изглежда така:

1. Приведете неравенството в такъв вид, където функцията е разположена от лявата страна
, и 0 вдясно.

2. Намерете обхвата на функцията
.

3. Намерете нулите на функция
, тоест решаване на уравнението
(и решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).

4. Начертайте област на дефиниция и нули на функцията върху реална права.

5. Определете знаците на функцията
на получените интервали.

6. Изберете интервалите, в които функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.

Пример 1

решение:

Приложете метода на интервала

където

За тези стойности всички изрази под знаците на логаритмите са положителни.

Отговор:

Пример 2

решение:

1-во начин . ОДЗ се определя от неравенството х> 3. Вземане на логаритми за такива хв база 10, получаваме

Последното неравенство може да бъде решено чрез прилагане на правилата за разлагане, т.е. сравняване на фактори с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянство на функцията

така че може да се приложи интервалният метод.

функция f(х) = 2х(х- 3,5)lgǀ х- 3ǀ е непрекъснато за х> 3 и изчезва в точки х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 = 4. Така определяме интервалите на постоянство на функцията f(х):

Отговор:

2-ри начин . Нека приложим идеите на метода на интервалите директно към първоначалното неравенство.

За това припомняме, че изразите аб- а c и ( а - 1)(b- 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х> 3 е еквивалентно на неравенството

или

Последното неравенство се решава по интервалния метод

Отговор:

Пример 3

решение:

Приложете метода на интервала

Отговор:

Пример 4

решение:

От 2 х 2 - 3х+ 3 > 0 за всички реални х, тогава

За решаване на второто неравенство използваме интервалния метод

В първото неравенство правим промяната

тогава стигаме до неравенството 2y 2 - г - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те г, които удовлетворяват неравенството -0,5< г < 1.

Откъде, защото

получаваме неравенството

която се извършва с х, за което 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Сега, като вземем предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме

Отговор:

Пример 5

решение:

Неравенството е еквивалентно на набор от системи

или

Приложете метода на интервала или

Отговор:

Пример 6

решение:

Неравенството е равносилно на система

Нека бъде

тогава г > 0,

и първото неравенство

системата приема формата

или разширяване

квадратен трином на множители,

Прилагайки интервалния метод към последното неравенство,

виждаме, че неговите решения отговарят на условието г> 0 ще бъде всичко г > 4.

Така първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:

И така, решенията на неравенството са всички

2.2. метод на рационализация.

Преди това методът за рационализиране на неравенството не беше решен, не беше известен. Това е "нов съвременен ефективен метод за решаване на експоненциални и логаритмични неравенства" (цитат от книгата на Колесникова С.И.)
И дори ако учителят го познаваше, имаше страх - но познава ли го USE експертът и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят казваше на ученика: "Откъде го взе? Седни - 2."
Сега методът се рекламира навсякъде. И за експертите има насоки, свързани с този метод, и в "Най-пълните издания на стандартни опции ..." в решение C3, този метод се използва.
МЕТОДА Е СТРАХОТЕН!

"Магическа маса"

В други източници

ако a >1 и b >1, след това log a b >0 и (a -1)(b -1)>0;

ако a >1 и 0

ако 0<а<1 и b >1, след това регистрирайте a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

ако 0<а<1 и 00 и (a -1)(b -1)>0.

Горното разсъждение е просто, но значително опростява решението на логаритмичните неравенства.

Пример 4

log x (x 2 -3)<0

решение:

Пример 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

решение:

Отговор. (0; 0,5) U .

Пример 6

За да разрешим това неравенство, пишем (x-1-1) (x-1) вместо знаменателя и произведението (x-1) (x-3-9 + x) вместо числителя.

Отговор : (3;6)

Пример 7

Пример 8

2.3. Нестандартна замяна.

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Нека направим заместването y=3 x -1; тогава това неравенство приема формата

log 4 log 0,25
.

защото log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , тогава пренаписваме последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Нека направим замяна t =log 4 y и получим неравенството t 2 -2t +≥0, решението на което е интервалите - .

По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две най-прости неравенства
Решението на тази колекция са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на набор от две експоненциални неравенства,
тоест агрегати

Решението на първото неравенство от това множество е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. По този начин първоначалното неравенство е в сила за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.

Пример 8

решение:

Неравенството е равносилно на система

Решението на второто неравенство, което определя ODZ, ще бъде множеството от тези х,

за което х > 0.

За да решим първото неравенство, правим промяната

Тогава получаваме неравенството

или

Множеството от решения на последното неравенство се намира по метода

интервали: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме

или

Много от тези х, които удовлетворяват последното неравенство

принадлежи на ОДЗ ( х> 0), следователно е решение на системата,

и оттам първоначалното неравенство.

Отговор:

2.4. Задачи с капани.

Пример 1

.

Решение. ODZ на неравенството е всички x, които отговарят на условието 0 . Следователно всички x от интервала 0

Пример 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Въпросът е, че второто число очевидно е по-голямо от

Заключение

Не беше лесно да се намерят специални методи за решаване на задачи C3 от голямо разнообразие от различни образователни източници. В хода на извършената работа успях да изучавам нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервалите, метод на рационализация , нестандартна замяна , задачи с капани на ОДЗ. Тези методи отсъстват от училищната програма.

Използвайки различни методи, реших 27 неравенства, предложени на USE в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формират основата на колекцията "Логаритмични С3 неравенства с решения", която стана проектният продукт на моята дейност. Хипотезата, която изложих в началото на проекта, беше потвърдена: проблемите на C3 могат да бъдат ефективно решени, ако тези методи са известни.

Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да го направя. Продуктите от моя проект ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.

Констатации:

Така целта на проекта е постигната, проблемът е решен. И получих най-пълния и многостранен опит в проектните дейности на всички етапи на работа. В хода на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически умствени операции, развитие на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство и активност.

Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Станах: значителен училищен опит, способност да извличам информация от различни източници, да проверявам нейната надеждност, да я класирам според нейната значимост.

В допълнение към знанията по математика, той разширява практическите си умения в областта на компютърните науки, придобива нови знания и опит в областта на психологията, установява контакти със съученици и се научава да си сътрудничи с възрастни. В хода на дейностите по проекта бяха развити организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения и способности.

Литература

1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (типични задачи С3).

2. Малкова А. Г. Подготовка за Единния държавен изпит по математика.

3. С. С. Самарова, Решение на логаритмични неравенства.

4. Математика. Колекция от учебни работи под редакцията на A.L. Семьонов и И.В. Ященко. -М .: МЦНМО, 2009. - 72 с.-