Дефиниция на аритметична прогресия. Аритметични и геометрични прогресии
Проблемите с аритметичната прогресия съществуват от древни времена. Те се появиха и поискаха решение, защото имаха практическа нужда.
И така, в един от папирусите на Древен Египет, който има математическо съдържание - папирусът на Ринд (XIX век пр.н.е.) - съдържа следната задача: разделете десет мерки хляб на десет души, при условие че разликата между всеки от тях е една осма от такта.
И в математическите трудове на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметичната прогресия. И така, Хипсикъл от Александрия (2-ри век, който състави много интересни задачи и добави четиринадесетата книга към „Елементите“ на Евклид), формулира идеята: „В аритметична прогресия с четен брой членове, сумата от членовете на 2-ра половина е по-голяма от сумата на членовете на 1-ви на квадрат 1/2 членове.
Последователността an е означена. Числата на редицата се наричат нейни членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които показват поредния номер на този член (a1, a2, a3 ... чете се: „a 1st“, „a 2nd“, „a 3rd“ и така нататък).
Последователността може да бъде безкрайна или крайна.
Какво е аритметична прогресия? Той се разбира като получен чрез добавяне на предходния член (n) със същото число d, което е разликата на прогресията.
Ако d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, тогава такава прогресия се счита за нарастваща.
Една аритметична прогресия се нарича крайна, ако се вземат предвид само няколко от нейните първи членове. С много голям брой членове това вече е безкрайна прогресия.
Всяка аритметична прогресия се дава по следната формула:
an =kn+b, докато b и k са някои числа.
Твърдението, което е обратното, е абсолютно вярно: ако редицата е дадена с подобна формула, то това е точно аритметична прогресия, която има свойствата:
- Всеки член на прогресията е средноаритметичното на предишния член и следващия.
- Обратното: ако, започвайки от 2-ри, всеки член е средноаритметично на предходния член и следващия, т.е. ако условието е изпълнено, тогава дадената последователност е аритметична прогресия. Това равенство е същевременно признак за прогресия, затова обикновено се нарича характерно свойство на прогресията.
По същия начин теоремата, която отразява това свойство, е вярна: редицата е аритметична прогресия само ако това равенство е вярно за някой от членовете на редицата, започвайки от 2-ри.
Характеристичното свойство за всеки четири числа от една аритметична прогресия може да се изрази с формулата an + am = ak + al, ако n + m = k + l (m, n, k са числата на прогресията).
В аритметична прогресия всеки необходим (N-ти) член може да бъде намерен чрез прилагане на следната формула:
Например: първият член (a1) в аритметична прогресия е даден и е равен на три, а разликата (d) е равна на четири. Трябва да намерите четиридесет и петия член на тази прогресия. a45 = 1+4(45-1)=177
Формулата an = ak + d(n - k) ви позволява да определите n-тия член на аритметична прогресия чрез който и да е неин k-ти член, при условие че е известен.
Сумата от членовете на една аритметична прогресия (като се приемат първите n членове на крайната прогресия) се изчислява, както следва:
Sn = (a1+an) n/2.
Ако първият член също е известен, тогава друга формула е удобна за изчисление:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумата от аритметична прогресия, която съдържа n члена, се изчислява, както следва:
Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и изходните данни.
Естествената поредица от произволни числа като 1,2,3,...,n,... е най-простият пример за аритметична прогресия.
В допълнение към аритметичната прогресия има и геометрична, която има свои собствени свойства и характеристики.
Сумата от аритметична прогресия.
Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От елементарно до доста солидно.
Първо, нека да разгледаме значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мъка. За да намерите сумата на една аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.
Формулата за сумиране е проста:
Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много.
S n е сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всичкочленове, с първиНа последно.Важно е. Съберете точно всичкичленове подред, без пропуски и скокове. И точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сумата от третия и осмия член или сбора от членовете от пет до двадесети, директното прилагане на формулата ще бъде разочароващо.)
а 1 - първиятчлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.
a n- последночлен на прогресията. Последното число на реда. Името не е много познато, но приложено към количеството е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.
н е номерът на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.
Нека дефинираме понятието последночлен a n. Въпрос за попълване: какъв член ще последно,ако е дадено безкраенаритметична прогресия?
За уверен отговор трябва да разберете елементарното значение на аритметичната прогресия и ... прочетете внимателно заданието!)
В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе ограничена, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение какъв вид прогресия е дадена: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: чрез поредица от числа или чрез формулата на n-тия член.
Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В задачата цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по-долу ще разкрием тези тайни.)
Примерни задачи за сбор от аритметична прогресия.
Първо полезна информация:
Основната трудност при задачите за сумата от аритметична прогресия е правилното определяне на елементите на формулата.
Авторите на задачите шифроват тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека да разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.
1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.
Добра работа. Лесно.) За да определим количеството по формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния термин н.
Къде да вземем последния членски номер н? Да, на същото място, в състоянието! Пише намерете сумата първите 10 членове.Ами кой номер ще е последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nще заместим във формулата а 10, но вместо това н- десет. Отново, номерът на последния член е същият като броя на членовете.
Остава да се определи а 1и а 10. Това се изчислява лесно по формулата на n-тия член, която е дадена в постановката на задачата. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без този - нищо.
а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
а 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Открихме значението на всички елементи на формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава да ги замените и да преброите:
Това е всичко. Отговор: 75.
Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:
2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 \u003d 2.3. Намерете сумата на първите 15 члена.
Веднага записваме формулата за сумата:
Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Остава да заменим всички елементи във формулата за сумата от аритметична прогресия и да изчислим отговора:
Отговор: 423.
Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nпросто заместваме формулата на n-тия член, получаваме:
Даваме подобни, получаваме нова формула за сбора на членовете на аритметична прогресия:
 |
Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук. a n. В някои задачи тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. И можете просто да го изтеглите в точното време, както тук. В крайна сметка формулата за сумата и формулата за n-тия член трябва да се запомнят по всякакъв начин.)
Сега задачата под формата на кратко криптиране):
3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.
Как! Без първи член, без последен, без прогресия изобщо... Как да живея!?
Ще трябва да помислите с главата си и да извадите от условието всички елементи на сумата на аритметичната прогресия. Какво представляват двуцифрените числа - знаем. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще първи? 10, вероятно.) последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...
Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят равномерно на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да напишете серия според условието на проблема:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Разбира се! Всеки термин се различава от предишния строго с три. Ако 2 или 4 се добави към термина, да речем, резултатът, т.е. ново число вече няма да се дели на 3. Можете веднага да определите разликата на аритметичната прогресия към купчината: d = 3.Полезен!)
Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:
Какъв ще е номерът нпоследен член? Който си мисли, че 99, греши фатално... Числата – те винаги вървят подред, а нашите членове прескачат тройката. Те не съвпадат.
Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да нарисувате прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако формулата се приложи към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.
Разглеждаме формулата за сумата от аритметична прогресия:
Гледаме и се радваме.) Извадихме всичко необходимо за изчисляване на сумата от условието на проблема:
а 1= 12.
а 30= 99.
S n = S 30.
Остава елементарна аритметика. Заменете числата във формулата и изчислете:
Отговор: 1665
Друг вид популярни пъзели:
4. Дадена е аритметична прогресия:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четвърти.
Гледаме формулата на сумата и ... сме разстроени.) Формулата, нека ви напомня, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.
Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия в ред и да поставите членовете от 20 до 34. Но ... някак си се оказва глупаво и за дълго време, нали?)
Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще от първия мандат до деветнадесетия.Втората част на - двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го добавим към сбора на членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Това показва, че за намиране на сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Разглеждат се и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Започваме ли?
Извличаме параметрите на прогресията от условието на задачата:
d = 1,5.
а 1= -21,5.
За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Преброяваме ги по формулата на n-ия член, както в задача 2:
а 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
а 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Нищо не остана. Извадете сбора на 19 члена от сбора на 34 члена:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Отговор: 262,5
Една важна забележка! Има много полезна функция за решаване на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме какво, изглежда, не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляйки ненужното от пълния резултат. Такъв „финт с ушите“ често спестява в зли пъзели.)
В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)
Практически съвети:
Когато решавате каквато и да е задача за сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.
Формула на n-тия член:
Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.
А сега задачите за самостоятелно решаване.
5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.
Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.
6. Аритметичната прогресия се дава от условието: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.
Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива пъзели често се срещат в GIA.
7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на най-любимия човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден и похарчете с 50 рубли повече на всеки следващ ден, отколкото на предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?
Трудно ли е?) Ще помогне допълнителна формула от задача 2.
Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
Ако всяко естествено число н съответства на реално число a n , тогава те казват, че дадено числова последователност :
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .
И така, числовата последователност е функция на естествен аргумент.
Номер а 1 Наречен първия член на редицата , номер а 2 — вторият член на редицата , номер а 3 — трети и така нататък. Номер a n Наречен n-ти член на редицата , и естественото число н — номера му .
От два съседни члена a n и a n +1 членни последователности a n +1 Наречен последващи (към a n ), а a n — предишен (към a n +1 ).
За да посочите последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволен номер.
Често последователността се дава с n-ти член формули , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.
Например,
последователността от положителни нечетни числа може да бъде дадена с формулата
a n= 2н- 1,
и последователността на редуване 1 и -1 - формула
bн = (-1)н +1 . ◄
Последователността може да се определи повтаряща се формула, това е формула, която изразява всеки член на последователността, започвайки с някои, през предходните (един или повече) членове.
Например,
ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5
а 1 = 1,
а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогава първите седем члена на числовата последователност са зададени както следва:
а 1 = 1,
а 2 = 1,
а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,
а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,
а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,
а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,
а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Последователностите могат да бъдат финал и безкраен .
Последователността се нарича крайна ако има краен брой членове. Последователността се нарича безкраен ако има безкрайно много членове.
Например,
поредица от двуцифрени естествени числа:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
финал.
Поредица от прости числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
безкраен. ◄
Последователността се нарича повишаване на , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-голям от предходния.
Последователността се нарича намаляващ , ако всеки от неговите членове, започвайки от втория, е по-малък от предходния.
Например,
2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . е възходяща последователност;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . е низходяща последователност. ◄
Нарича се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .
Монотонните последователности, по-специално, са нарастващи последователности и намаляващи последователности.
Аритметична прогресия
Аритметична прогресия извиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния, към който се добавя същото число.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .
е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:
a n +1 = a n + д,
където д - някакво число.
По този начин разликата между следващите и предходните членове на дадена аритметична прогресия е винаги постоянна:
а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = д.
Номер д Наречен разликата на аритметична прогресия.
За да зададете аритметична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и разлика.
Например,
ако а 1 = 3, д = 4 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:
а 1 =3,
а 2 = а 1 + д = 3 + 4 = 7,
а 3 = а 2 + д= 7 + 4 = 11,
а 4 = а 3 + д= 11 + 4 = 15,
а 5 = а 4 + д= 15 + 4 = 19. ◄
За аритметична прогресия с първия член а 1 и разлика д нея н
a n = а 1 + (н- 1)д.
Например,
намерете тридесетия член на аритметичната прогресия
1, 4, 7, 10, . . .
а 1 =1, д = 3,
а 30 = а 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
n-1 = а 1 + (н- 2)д,
a n= а 1 + (н- 1)д,
a n +1 = а 1 + nd,
тогава очевидно
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.
числата a, b и c са последователни членове на някаква аритметична прогресия тогава и само ако едно от тях е равно на средното аритметично на другите две.
Например,
a n = 2н- 7 , е аритметична прогресия.
Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:
a n = 2н- 7,
n-1 = 2(н- 1) - 7 = 2н- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2н- 5.
Следователно,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2н- 5 + 2н- 9
| = 2н- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Отбележи, че н -тият член на аритметичната прогресия може да бъде намерен не само чрез а 1 , но и всички предишни a k
a n = a k + (н- к)д.
Например,
за а 5 може да се напише
а 5 = а 1 + 4д,
а 5 = а 2 + 3д,
а 5 = а 3 + 2д,
а 5 = а 4 + д. ◄
a n = един н-к + kd,
a n = a n+k - kd,
тогава очевидно
| a n=
| а н-к
+ а n+k
|
| 2
|
всеки член на аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на половината от сбора на членовете на тази аритметична прогресия, разположени на еднакво разстояние от нея.
В допълнение, за всяка аритметична прогресия е вярно равенството:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Например,
в аритметична прогресия
1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;
2) 28 = а 10 = а 3 + 7д= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, като
а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,
5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
първи н членове на аритметична прогресия е равно на произведението на половината от сумата на екстремните членове по броя на членовете:
От това по-специално следва, че ако е необходимо да се сумират условията
a k, a k +1 , . . . , a n,
тогава предишната формула запазва своята структура:
Например,
в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, д, ниС н свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
Аритметичната прогресия е монотонна последователност. при което:
- ако д > 0 , след това се увеличава;
- ако д < 0 , тогава намалява;
- ако д = 0 , тогава последователността ще бъде неподвижна.
Геометрична прогресия
геометрична прогресия се нарича редица, всеки член от която, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число н условието е изпълнено:
b n +1 = b n · р,
където р ≠ 0 - някакво число.
По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предишния е постоянно число:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = р.
Номер р Наречен знаменател на геометрична прогресия.
За да зададете геометрична прогресия, достатъчно е да посочите нейния първи член и знаменател.
Например,
ако b 1 = 1, р = -3 , тогава първите пет члена на редицата се намират, както следва:
b 1 = 1,
б 2 = b 1 · р = 1 · (-3) = -3,
б 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,
b 4 = б 3 · р= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 и знаменател р нея н -ти член може да се намери по формулата:
b n = b 1 · q n -1 .
Например,
намерете седмия член на геометрична прогресия 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, р = 2,
b 7 = b 1 · р 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
тогава очевидно
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на средното геометрично (пропорционално) на предходния и следващите членове.
Тъй като обратното също е вярно, важи следното твърдение:
числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на едно от тях е равен на произведението на другите две, т.е. едно от числата е средно геометрично на другите две.
Например,
нека докажем, че последователността, дадена от формулата b n= -3 2 н , е геометрична прогресия. Нека използваме твърдението по-горе. Ние имаме:
b n= -3 2 н,
b n -1 = -3 2 н -1 ,
b n +1 = -3 2 н +1 .
Следователно,
b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
което доказва търсеното твърдение. ◄
Отбележи, че н членът на геометричната прогресия може да се намери не само чрез b 1 , но и всеки предишен мандат b k , за което е достатъчно да се използва формулата
b n = b k · q n - к.
Например,
за b 5 може да се напише
б 5 = b 1 · р 4 ,
б 5 = б 2 · р 3,
б 5 = б 3 · q2,
б 5 = b 4 · р. ◄
b n = b k · q n - к,
b n = b n - к · q k,
тогава очевидно
b n 2 = b n - к· b n + к
квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започвайки от втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, равноотдалечени от нея.
В допълнение, за всяка геометрична прогресия е вярно равенството:
b m· b n= b k· b l,
м+ н= к+ л.
Например,
експоненциално
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , като
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
първи н членове на геометрична прогресия със знаменател р ≠ 0 изчислено по формулата:
И когато р = 1 - по формулата
S n= n.b. 1
Имайте предвид, че ако трябва да сумираме членовете
b k, b k +1 , . . . , b n,
тогава се използва формулата:
| S n- ск -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
к +1
| . |
| 1 - р
|
Например,
експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата b 1 , b n, р, ни S n свързани с две формули:
Следователно, ако са дадени стойностите на всеки три от тези количества, тогава съответните стойности на другите две количества се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.
За геометрична прогресия с първия член b 1 и знаменател р се случва следното свойства на монотонност :
- прогресията се увеличава, ако е изпълнено едно от следните условия:
b 1 > 0 и р> 1;
b 1 < 0 и 0 < р< 1;
- Прогресията намалява, ако е изпълнено едно от следните условия:
b 1 > 0 и 0 < р< 1;
b 1 < 0 и р> 1.
Ако р< 0 , тогава геометричната прогресия е знакоредуваща: нейните нечетни членове имат същия знак като първия член, а четните имат противоположен знак. Ясно е, че променливата геометрична прогресия не е монотонна.
Продукт на първия н членовете на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:
P n= b 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) н / 2 .
Например,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия
Безкрайно намаляваща геометрична прогресия се нарича безкрайна геометрична прогресия, чийто модул на знаменателя е по-малък от 1 , това е
|р| < 1 .
Имайте предвид, че една безкрайно намаляваща геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това отговаря на случая
1 < р< 0 .
С такъв знаменател последователността е знакоредуваща се. Например,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия назовете числото, на което е сумата от първото н условия на прогресията с неограничено увеличение на броя н . Това число винаги е крайно и се изразява с формулата
| С= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - р
|
Например,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Връзка между аритметична и геометрична прогресии
Аритметичната и геометричната прогресия са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.
а 1 , а 2 , а 3 , . . . д , тогава
б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . b d .
Например,
1, 3, 5, . . . — аритметична прогресия с разлика 2 и
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . е геометрична прогресия със знаменател 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . е геометрична прогресия със знаменател р , тогава
дневник a b 1, дневник a b 2, дневник a b 3, . . . — аритметична прогресия с разлика дневник ар .
Например,
2, 12, 72, . . . е геометрична прогресия със знаменател 6 и
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — аритметична прогресия с разлика lg 6 . ◄
Примери за аритметична и геометрична прогресиявзети от "Колекция от задачи за кандидати. Математика", публикувана от Волинския държавен университет на името на Леся Украинка през 2001 г. Прочетете внимателно отговорите и изберете най-необходимите за себе си.
Група А (ниво 1)
Пример 1. Да се изчисли шестият член на аритметичната прогресия 21.3; 22,4; …,
Решение: Намерете разликата (стъпката) на прогресията
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22,4-21,3 \u003d 1,1.
След това изчисляваме шестия член на аритметичната прогресия
a 6 \u003d a 1 + (6-1) d \u003d 21,3 + 5 * 1,1 \u003d 26,8.
Пример 2. Да се изчисли шестият член на геометричната прогресия 5; 10; 20; ...
Решение: Намерете знаменателя на геометрична прогресия
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2.
Изчисляваме шестия член на геометрична прогресия
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160.
Пример 3. В аритметична прогресия a 1 \u003d 2,1 a 10 \u003d 12,9. Изчислете разликата в прогресията.
Решение: Нека представим десетия член на прогресията като формула
a 10 \u003d a 1 + (10-1) d \u003d a 1 + 9d.
Заменете известните стойности и решете
12,9=2,1+9d;
9d=12.9-2.1=10.8;
d=10,8/9=1,2.
Отговор: разлика в прогресията d=1,2.
Пример 4. В геометрична прогресия b 1 =2,56; b 4 \u003d 4,42368. Изчислете знаменателя на прогресията.
Решение: Намерете знаменателя на прогресията
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4,42368 / 2,56 \u003d 1,728.
Тук не можете без калкулатор.
Отговор: знаменателят на прогресията е q=1,728.
Пример 5. В аритметична прогресия a 1 \u003d 20.1, d \u003d 1.3. Изчислете сумата от първите осем члена на прогресията.
Решение: Сборът на аритметичната прогресия се намира по формулата
Извършване на изчисления
S 8 \u003d (2 * 20,1 + (8-1) * 1,3) * 8 / 2 \u003d 197,2.
Отговор: S 8 \u003d 197.2.
Пример 6 . В геометрична прогресия b 1 =1,5; q=1,2. Изчислете сумата от първите четири члена на прогресията.
Решение: Сумата от геометричната прогресия се изчислява по формулата
Намиране на сбора на прогресията 
Отговор: S 8 \u003d 8,052.
Пример 7 . В аритметична прогресия a 1 \u003d 1,35 d \u003d -2,4. Изчислете номера на члена на прогресията, равен на -25,05.
Решение: Член на аритметична прогресия се намира по формулата
a n \u003d a 1 + (n-1) d.
По условие всичко освен поредния номер се знае, ще го намерим
-25,05=1,35+(n-1)(-2,4) ; 
Отговор: n=12.
Пример 8. Изчислете седмия член на прогресията 23.5; 24,82; 26,14; ...
Решение: Тъй като условието не уточнява коя прогресия е зададена, първо трябва да я зададете. Вземете тази аритметика
d=a 2 -a 1 = 24,82-23,5=1,32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26,14-24,82 \u003d 1,32.
Намиране на седмия член на прогресията
a 7 \u003d a 1 + (7-1) d \u003d 23,5 + 6 * 1,32 \u003d 31,42.
Отговор: a 7 \u003d 31,42.
Пример 9. Изчислете броя на члена на прогресията 2.1; 3.3; 4,5; ... , равно на 11,7 .
Решение: Лесно е да се провери дали е дадена аритметична прогресия. Намиране на разликата в прогресията
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3,3-2,1 \u003d 1,2.
Според формулата за срок на прогресия
a n \u003d a 1 + (n-1) d
намери номера
11,7=2,1+(n-1)*1,2; 
Отговор: n= 9 .
Пример 10. Изчислете четвъртия член на прогресията 1.5; 1.8; 2.16; ... .
Решение: Без проверка можем да кажем, че прогресията е геометрична. Намерете знаменателя му
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,5 \u003d 1,2.
Изчислете 4-ия член на геометричната прогресия по формулата
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1,5 * 1,2 3 \u003d 2,592.
Отговор: b 4 \u003d 2,592.
Пример 11. Да се изчисли числото на члена на прогресията 1,2; 1.8; 2.16; ... равно на 4,05.
Решение: Имаме геометрична прогресия. Намерете знаменателя на прогресията
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1,2 \u003d 1,5.
Намерете числото на прогресията от зависимостта
b n = b 1 q n-1 .
4,05=1,2*1,5n-1;
1,5 n-1 \u003d 4,05 / 1,2 \u003d 3,375 \u003d 1,5 3;
n-1=3; n=4.
Отговор: n=4.
Пример 12. В аритметична прогресия a 5 \u003d 14.91 a 9 \u003d 20.11. Изчислете 1.
Решение: Изразяваме 9-ия член на прогресията през 5
a 9 \u003d a 5 + (9-5) d
и намерете стъпката на прогресия
20.11=14.91+4d;
4d=5,2; d=5,2/4=1,3.
Изразяваме 5-ия член на прогресията чрез 1 и изчисляваме първия
a 5 = a 1 +4d;
14,91 \u003d a 1 +5,2;
a 1 \u003d 14,91-5,2 \u003d 9,71.
Отговор: a 1 \u003d 9,71.
Пример 13 . В аритметична прогресия, a 7 \u003d 12,01; a 11 \u003d 17,61. Изчислете разликата в прогресията.
Решение: Изразяваме 11 члена на прогресията през 7
a 11 \u003d a 7 + (11-7) d.
От тук изчисляваме стъпката на прогресия
17.61=12.01+4d;
4d=5,6; d=5,6/4=1,4.
Отговор: d=1,4.
Пример 14. В геометрична прогресия b 5 =64; b 8 =1. Изчислете b 3 .
Решение: Изразяваме 8-ия член на прогресията чрез 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
От тук намираме знаменателя на прогресията
1=64 q 3;
q 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q=1/4.
По подобен начин намираме b 3 до b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024.
Отговор: b 3 \u003d 1024.
Пример 15. В аритметична прогресия a 9 + a 15 \u003d 14.8. Изчислете 12
Решение: В този пример трябва да се отбележи, че 12-ият член на прогресията е по средата между номер 9 и 15. Следователно съседните членове на прогресията (9, 15) могат да бъдат изразени чрез 12, както следва
a 9 \u003d a 12 - (12-9) d;
a 15 \u003d a 12 + (15-9) d;
a 9 \u003d a 12 -3d;
a 15 = a 12 + 3d.
Нека обобщим екстремните условия на прогресията
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
От тук намираме 12-ия член на прогресията
a 12 \u003d (a 9 + a 15) / 2 \u003d 14,8 / 2 \u003d 7,4.
Отговор: a 12 \u003d 7.4.
Пример 16. Експоненциално b 10 *b 14 =289. Изчислете модул 12 от члена на прогресията | b 12 |.
Решение: Алгоритъмът за решаване на задачата се съдържа в предишния пример. Необходимо е да се изразят 10 и 14 членове на геометрична прогресия през 12. По свойствата на геометричната прогресия получаваме
b 10 \u003d b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
Лесно се вижда, че когато действат, признакът на прогресията изчезва.
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2.
От тук намираме модула | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Отговор: | b 12 |=17.
Пример 17. Експоненциално b 8 =1,3. Изчислете b 6 *b 10 .
Решение: Схемата за изчисление е подобна на предишния пример - изразяваме 6 и 10 члена на прогресията през 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
Когато се умножат, знаменателите се намаляват и получаваме квадрат на известния член на прогресията
b 6 *b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1,3 2 = 1,69.
Отговор: b 6 * b 10 \u003d 1,69.
Пример 18. В аритметична прогресия a 10 \u003d 3,6: a 12 \u003d 8. Изчислете 8
Решение: Нека запишем членовете на прогресията в редица a 8 , a 10 , a 12 . Между тях същата стъпка, нека я намерим
a 12 = a 10 +2d;
2d \u003d a 12 - a 10 \u003d 8-3.6 \u003d 4.4.
По същия начин намираме 8
a 10 = a 8 +2d;
a 8 \u003d a 10 -2d \u003d 3,6-4,4 \u003d -0,8.
Ето някои прости изчисления.
Отговор: a 8 \u003d -0,8.
Пример 19. Експоненциално b 14 =8; b 16 =2. Изчислете b 12 .
Решение: Пропускайки подробни обяснения, записваме произведението на 14-ия и 16-ия член на прогресията
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
Това е еквивалентно на средното геометрично. Намирайки корена на произведението на условията, получаваме желаната стойност
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b 12 =4.
Отговор: b 12 \u003d 4.
Пример 20. В аритметична прогресия a 5 \u003d 3,4; a 11 \u003d 6,9. Изчислете 17.
Решение: Между 5,11 и 17 члена на прогресията е същата стъпка и е равна на 6d. Следователно окончателното решение може да бъде написано като
a 17 = a 11 + 6d = a 11 + (a 11 - a 5) = 2 * 6,9-3,4 = 10,4.
Мисля, че разбирате защо такъв запис. Ако не – опитайте се да нарисувате 11 члена от прогресията до 5 и да завъртите 6d.
Отговор: a 17 \u003d 10.4.
Пример 21. Да се изчисли 6-тия член на геометричната прогресия 3; 12;... .
Решение: Намерете знаменателя на прогресията
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4.
Нека използваме общата формула на члена на геометричната прогресия
b n = b 1 *q n-1.
От тук получаваме
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
Както можете да видите, основното в записа е сумата от индекса (2) и степента (4) да съответства на поредния номер на члена на прогресията (6). Извършване на изчисления
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072.
Имаме голям брой, но геометричната прогресия е различна по това, че нейните членове или растат бързо, или намаляват.
Отговор: b 6 \u003d 3072.
Пример 22. В аритметична прогресия a 3 \u003d 48; а 5 =42. Изчислете 7.
Решение: Тъй като разликата между прогресията между дадените членове и желаната е станала и е равна на 2d, то формулата за 7-ия член на прогресията ще изглежда така
a 7 \u003d a 5 + 2d \u003d a 5 + (a 5 - a 3);
и 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
Отговор: a 7 \u003d 36.
Аритметични и геометрични прогресии
Теоретична информация
Теоретична информация
Аритметична прогресия |
Геометрична прогресия |
|
Определение |
Аритметична прогресия a nизвиква се редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предходния член, добавен със същото число д (д- разлика в прогресията) |
геометрична прогресия b nсе нарича поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предходния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията) |
Повтаряща се формула |
За всеки естествен н |
За всеки естествен н |
формула за n-ти член |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| характерно свойство |  |
|
| Сума от първите n члена |  |
 |
Примерни задачи с коментари
Упражнение 1
В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2
Според формулата на n-тия член:
а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21г
По условие:
а 1= -6, така че а 22= -6 + 21d.
Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:
d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Отговор : а 22 = -48.
Задача 2
Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....
1-ви начин (използване на n-членна формула)
Според формулата на n-тия член на геометрична прогресия:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Като b 1 = -3,
2-ри начин (използване на рекурсивна формула)
Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:
б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Отговор : б 5 = -48.
Задача 3
В аритметична прогресия ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.
За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата 
.
Следователно:
.
Заместете данните във формулата:
Отговор: 95.
Задача 4
В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сбора на първите седемнадесет члена.
За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:
.
Кой от тях е по-удобен за прилагане в този случай?
По условие формулата на n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Може да се намери веднага и а 1, и а 16без намиране d . Затова използваме първата формула.
Отговор: 368.
Задача 5
В аритметична прогресия a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.
Според формулата на n-тия член:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.
По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:
d= а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2
а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Отговор : а 22 = -48.
Задача 6
Записват се няколко последователни члена на геометрична прогресия:
Намерете члена на прогресията, означен с буквата x .
При решаването използваме формулата за n-тия член b n \u003d b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можете да вземете и да разделите на. Получаваме, че q \u003d 3. Вместо n заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.
Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:
.
Отговор : .
Задача 7
От аритметичните прогресии, дадени от формулата на n-тия член, изберете тази, за която е изпълнено условието а 27 > 9:
Тъй като определеното условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:
.
Отговор: 4.
Задача 8
В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която е валидно неравенството a n > -6.