Как да намерим съседен ъгъл?

Математиката е най-старата точна наука, която се изучава задължително в училища, колежи, институти и университети. Основните знания обаче винаги се дават в училище. Понякога на детето се дават доста сложни задачи, но родителите не могат да помогнат, защото просто са забравили някои неща от математиката. Например, как да намерите съседен ъгъл въз основа на размера на главния ъгъл и т.н. Проблемът е прост, но може да създаде трудности при решаването му поради незнание кои ъгли се наричат ​​съседни и как да ги намерите.

Нека разгледаме по-подробно определението и свойствата на съседните ъгли, както и как да ги изчислим от данните в задачата.

Определение и свойства на съседни ъгли

Два лъча, излизащи от една точка, образуват фигура, наречена „равнинен ъгъл“. В този случай тази точка се нарича връх на ъгъла, а лъчите са неговите страни. Ако продължите един от лъчите извън началната точка по права линия, тогава се образува друг ъгъл, който се нарича съседен. Всеки ъгъл в този случай има два съседни ъгъла, тъй като страните на ъгъла са еквивалентни. Тоест винаги има съседен ъгъл от 180 градуса.

Основните свойства на съседните ъгли включват

• Съседните ъгли имат общ връх и една страна;
• Сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса или числото Pi, ако изчислението се извършва в радиани;
• Синусите на съседните ъгли винаги са равни;
• Косинусите и тангенсите на съседни ъгли са равни, но имат противоположни знаци.

Как да намерим съседни ъгли

Обикновено се дават три варианта на задачи за намиране на големината на съседни ъгли

• Дадена е стойността на главния ъгъл;
• Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл;
• Дадена е стойността на вертикалния ъгъл.

Всяка версия на проблема има свое собствено решение. Нека да ги разгледаме.

Дадена е стойността на главния ъгъл

Ако проблемът определя стойността на главния ъгъл, тогава намирането на съседния ъгъл е много лесно. За да направите това, просто извадете стойността на главния ъгъл от 180 градуса и ще получите стойността на съседния ъгъл. Това решение се основава на свойството на съседен ъгъл - сумата от съседните ъгли винаги е равна на 180 градуса.

Ако стойността на главния ъгъл е дадена в радиани и задачата изисква намиране на съседния ъгъл в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на главния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равно на числото Пи.

Дадено е отношението на главния и прилежащия ъгъл

Проблемът може да даде съотношението на главния и съседния ъгъл вместо градусите и радианите на главния ъгъл. В този случай решението ще изглежда като пропорционално уравнение:

1. Означаваме пропорцията на главния ъгъл като променливата "Y".
2. Дробта, свързана със съседния ъгъл, се обозначава като променливата "X".
3. Броят на градусите, които попадат във всяка пропорция, ще бъде означен например с "а".
4. Общата формула ще изглежда така - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
5. Намираме общия множител на уравнението “a” по формулата a=180/(X+Y).
6. След това умножаваме получената стойност на общия коефициент "а" по частта от ъгъла, който трябва да се определи.

По този начин можем да намерим стойността на съседния ъгъл в градуси. Ако обаче трябва да намерите стойност в радиани, тогава просто трябва да преобразувате градусите в радиани. За да направите това, умножете ъгъла в градуси по Pi и разделете всичко на 180 градуса. Получената стойност ще бъде в радиани.

Дадена е стойността на вертикалния ъгъл

Ако задачата не дава стойността на главния ъгъл, но е дадена стойността на вертикалния ъгъл, тогава съседният ъгъл може да се изчисли по същата формула, както в първия параграф, където е дадена стойността на главния ъгъл.

Вертикален ъгъл е ъгъл, който произхожда от същата точка като главния, но е насочен точно в обратната посока. Това води до огледален образ. Това означава, че вертикалният ъгъл е равен по големина на основния. От своя страна прилежащият ъгъл на вертикалния ъгъл е равен на прилежащия ъгъл на главния ъгъл. Благодарение на това може да се изчисли прилежащият ъгъл на главния ъгъл. За да направите това, просто извадете вертикалната стойност от 180 градуса и вземете стойността на съседния ъгъл на главния ъгъл в градуси.

Ако стойността е дадена в радиани, тогава е необходимо да се извади стойността на вертикалния ъгъл от числото Pi, тъй като стойността на пълния разгънат ъгъл от 180 градуса е равна на числото Pi.

Можете също да прочетете нашите полезни статии и.

Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се лъчи. На фигура 20 ъглите AOB и BOC са съседни.

Сборът на съседните ъгли е 180°

Теорема 1. Сборът от съседните ъгли е 180°.

Доказателство. Между страните на разгънатия ъгъл минава лъч OB (виж фиг. 1). Ето защо ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

От теорема 1 следва, че ако два ъгъла са равни, то и съседните им ъгли са равни.

Вертикалните ъгли са равни

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са допълнителни лъчи на страните на другия. Ъглите AOB и COD, BOD и AOC, образувани при пресичането на две прави, са вертикални (фиг. 2).

Теорема 2. Вертикалните ъгли са равни.

Доказателство. Нека разгледаме вертикалните ъгли AOB и COD (виж фиг. 2). Ъгъл BOD е съседен на всеки от ъглите AOB и COD. По теорема 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

От това заключаваме, че ∠ AOB = ∠ COD.

Следствие 1. Ъгъл, съседен на прав ъгъл, е прав ъгъл.

Да разгледаме две пресичащи се прави AC и BD (фиг. 3). Те образуват четири ъгъла. Ако един от тях е прав (ъгъл 1 на фиг. 3), то останалите ъгли също са прави (ъгли 1 и 2, 1 и 4 са съседни, ъгли 1 и 3 са вертикални). В този случай те казват, че тези линии се пресичат под прав ъгъл и се наричат ​​перпендикулярни (или взаимно перпендикулярни). Перпендикулярността на правите AC и BD се означава по следния начин: AC ⊥ BD.

Перпендикулярна ъглополовяща на отсечка е права, перпендикулярна на тази отсечка и минаваща през средата му.

AN - перпендикуляр на права

Да разгледаме права a и точка A, която не лежи върху нея (фиг. 4). Нека свържем точка A с отсечка с точка H с права линия a. Отсечката AN се нарича перпендикуляр, прекаран от точка A към права a, ако правите AN и a са перпендикулярни. Точка H се нарича основа на перпендикуляра.

Рисуване на квадрат

Следната теорема е вярна.

Теорема 3. От всяка точка, която не лежи на линия, е възможно да се начертае перпендикуляр на тази линия и освен това само един.

За да начертаете перпендикуляр от точка към права линия в чертеж, използвайте чертожен квадрат (фиг. 5).

Коментирайте. Формулировката на теоремата обикновено се състои от две части. Една част говори за даденото. Тази част се нарича условие на теоремата. Другата част говори за това какво трябва да се докаже. Тази част се нарича заключение на теоремата. Например условието на теорема 2 е, че ъглите са вертикални; заключение - тези ъгли са равни.

Всяка теорема може да бъде изразена подробно с думи, така че нейното условие да започва с думата „ако“, а заключението й с думата „тогава“. Например, теорема 2 може да бъде формулирана подробно, както следва: „Ако два ъгъла са вертикални, тогава те са равни.“

Пример 1.Един от съседните ъгли е 44°. На какво е равно другото?

Решение. Нека означим градусната мярка на друг ъгъл с x, тогава съгласно теорема 1.
44° + x = 180°.
Решавайки полученото уравнение, намираме, че x = 136°. Следователно другият ъгъл е 136°.

Пример 2.Нека ъгълът COD на фигура 21 е 45°. Какви са ъглите AOB и AOC?

Решение. Ъглите COD и AOB са вертикални, следователно по теорема 1.2 те са равни, т.е. ∠ AOB = 45°. Ъгъл AOC е съседен на ъгъл COD, което означава според Теорема 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Пример 3.Намерете съседни ъгли, ако единият от тях е 3 пъти по-голям от другия.

Решение. Нека означим градусната мярка на по-малкия ъгъл с x. Тогава градусната мярка на по-големия ъгъл ще бъде 3x. Тъй като сумата от съседните ъгли е равна на 180° (теорема 1), то x + 3x = 180°, откъдето x = 45°.
Това означава, че съседните ъгли са 45° и 135°.

Пример 4.Сборът от два вертикални ъгъла е 100°. Намерете размера на всеки от четирите ъгъла.

Решение. Нека Фигура 2 отговаря на условията на задачата.Вертикалните ъгли COD към AOB са равни (теорема 2), което означава, че градусните им мерки също са равни. Следователно ∠ COD = ∠ AOB = 50° (сумата им според условието е 100°). Ъгъл BOD (също ъгъл AOC) е съседен на ъгъл COD и следователно по теорема 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. Съседни ъгли.

Ако разширим страната на произволен ъгъл отвъд върха му, получаваме два ъгъла (фиг. 72): ∠ABC и ∠CBD, в които едната страна BC е обща, а другите две, AB и BD, образуват права линия.

Два ъгъла, в които едната страна е обща, а другите две образуват права, се наричат ​​съседни ъгли.

Съседни ъгли могат да се получат и по този начин: ако изтеглим лъч от някаква точка на права (нележаща на дадена права), ще получим съседни ъгли.

Например ∠ADF и ∠FDB са съседни ъгли (фиг. 73).

Съседните ъгли могат да имат голямо разнообразие от позиции (фиг. 74).

Съседните ъгли се събират до прав ъгъл, така че сумата от два съседни ъгъла е 180°

Следователно, прав ъгъл може да се определи като ъгъл, равен на съседния му ъгъл.

Като знаем размера на един от съседните ъгли, можем да намерим размера на другия ъгъл, съседен на него.

Например, ако един от съседните ъгли е 54°, тогава вторият ъгъл ще бъде равен на:

180° - 54° = l26°.

2. Вертикални ъгли.

Ако разширим страните на ъгъла извън неговия връх, ще получим вертикални ъгли. На фигура 75 ъглите EOF и AOC са вертикални; ъглите AOE и COF също са вертикални.

Два ъгъла се наричат ​​вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия ъгъл.

Нека ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(фиг. 76). ∠2 в съседство с него ще бъде равно на 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, т.е. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

По същия начин можете да изчислите на какво са равни ∠3 и ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (фиг. 77).

Виждаме, че ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4.

Можете да решите още няколко същите задачи и всеки път ще получите същия резултат: вертикалните ъгли са равни един на друг.

Въпреки това, за да сме сигурни, че вертикалните ъгли винаги са равни един на друг, не е достатъчно да разглеждаме отделни числени примери, тъй като изводите, направени от конкретни примери, понякога могат да бъдат погрешни.

Необходимо е да се провери валидността на свойствата на вертикалните ъгли чрез доказателство.

Доказателството може да се извърши по следния начин (фиг. 78):

∠а+∠° С= 180°;

∠b+∠° С= 180°;

(тъй като сумата от съседните ъгли е 180°).

∠а+∠° С = ∠b+∠° С

(тъй като лявата страна на това равенство е равна на 180°, а дясната му страна също е равна на 180°).

Това равенство включва същия ъгъл с.

Ако извадим равни количества от равни количества, тогава ще останат равни количества. Резултатът ще бъде: ∠а = ∠b, т.е. вертикалните ъгли са равни един на друг.

3. Сборът от ъгли, които имат общ връх.

На чертеж 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 са разположени от едната страна на права и имат общ връх на тази права. В сумата тези ъгли образуват прав ъгъл, т.е.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

На фигура 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имат общ връх. Тези ъгли се събират до пълен ъгъл, т.е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Други материали

Какво е съседен ъгъл

Ъгъле геометрична фигура (фиг. 1), образувана от два лъча OA и OB (страни на ъгъла), излизащи от една точка O (върх на ъгъла).

СЪСЕДНИ ЪГЛИ- два ъгъла, чиято сума е 180°. Всеки от тези ъгли допълва другия до пълния ъгъл.

Съседни ъгли- (Agles adjacets) тези, които имат общ връх и обща страна. Най-вече това име се отнася до ъгли, на които останалите две страни лежат в противоположни посоки на една права линия, прекарана през нея.

Два ъгъла се наричат ​​съседни, ако едната им страна е обща, а другите страни на тези ъгли са допълващи се полуправи.

ориз. 2

На фигура 2 ъглите a1b и a2b са съседни. Те имат обща страна b, а страните a1, a2 са допълнителни полуправи.

ориз. 3

Фигура 3 показва права линия AB, точка C е разположена между точки A и B. Точка D е точка, която не лежи на права AB. Оказва се, че ъглите BCD и ACD са съседни. Те имат обща страна CD, а страните CA и CB са допълнителни полуправи на правата AB, тъй като точките A, B са разделени от началната точка C.

Теорема за съседен ъгъл

Теорема:сумата от съседните ъгли е 180°

Доказателство:
Ъгли a1b и a2b са съседни (виж фиг. 2) Лъч b минава между страните a1 и a2 на разгънатия ъгъл. Следователно сумата от ъглите a1b и a2b е равна на развития ъгъл, тоест 180°. Теоремата е доказана.

Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл. От теоремата за сбора на съседните ъгли следва, че ъгъл, съседен на прав ъгъл, също е прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър, а ъгъл, по-голям от 90°, тъп. Тъй като сумата от съседните ъгли е 180°, тогава ъгълът, съседен на остър ъгъл, е тъп ъгъл. Ъгъл, съседен на тъп ъгъл, е остър ъгъл.

Съседни ъгли- два ъгъла с общ връх, една от страните на които е обща, а останалите страни лежат на една и съща права линия (не съвпадат). Сборът на съседните ъгли е 180°.

Определение 1.Ъгълът е част от равнина, ограничена от два лъча с общ произход.

Определение 1.1.Ъгълът е фигура, състояща се от точка - върха на ъгъла - и две различни полулинии, излизащи от тази точка - страните на ъгъла.
Например ъгъл BOC на Фиг.1 Нека първо разгледаме две пресичащи се прави. Когато правите линии се пресичат, те образуват ъгли. Има специални случаи:

Определение 2.Ако страните на ъгъла са допълнителни полулинии на една права линия, тогава ъгълът се нарича развит.

Определение 3.Прав ъгъл е ъгъл с размери 90 градуса.

Определение 4.Ъгъл, по-малък от 90 градуса, се нарича остър ъгъл.

Определение 5.Ъгъл, по-голям от 90 градуса и по-малък от 180 градуса, се нарича тъп ъгъл.
пресичащи се линии.

Определение 6.Два ъгъла, едната страна на които е обща, а другите страни лежат на една и съща права, се наричат ​​съседни.

Определение 7.Ъгли, чиито страни се продължават една в друга, се наричат ​​вертикални ъгли.
На фигура 1:
съседни: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикални: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1.Сумата от съседните ъгли е 180 градуса.
За доказателство разгледайте фиг. 4 съседни ъгъла AOB и BOC. Тяхната сума е разгънатият ъгъл AOC. Следователно сумата от тези съседни ъгли е 180 градуса.

ориз. 4

Връзката между математиката и музиката

„Мислейки за изкуството и науката, за техните взаимни връзки и противоречия, стигнах до извода, че математиката и музиката са на крайните полюси на човешкия дух, че цялата творческа духовна дейност на човека се ограничава и определя от тези два антипода и че всичко лежи между тях. това, което човечеството е създало в областта на науката и изкуството."
Г. Нойхаус
Изглежда, че изкуството е много абстрактна област от математиката. Връзката между математиката и музиката обаче е обусловена както исторически, така и вътрешно, въпреки факта, че математиката е най-абстрактната наука, а музиката е най-абстрактната форма на изкуство.
Консонансът определя приятния звук на струната
Тази музикална система се основава на два закона, които носят имената на двама велики учени - Питагор и Архит. Това са законите:
1. Две звучащи струни определят съзвучието, ако дължините им са съотнесени като цели числа, образуващи триъгълно число 10=1+2+3+4, т.е. като 1:2, 2:3, 3:4. Освен това, колкото по-малко е числото n в отношението n:(n+1) (n=1,2,3), толкова по-консонантен е резултантният интервал.
2. Честотата на трептене w на звучащата струна е обратно пропорционална на нейната дължина l.
w = a:l,
където a е коефициент, характеризиращ физическите свойства на струната.

Ще ви предложа и една забавна пародия за спор между двама математици =)

Геометрията около нас

Геометрията в нашия живот е от не малко значение. Поради факта, че когато се огледате, няма да е трудно да забележите, че сме заобиколени от различни геометрични фигури. Срещаме ги навсякъде: на улицата, в класната стая, у дома, в парка, във физкултурния салон, в училищното кафене, всъщност където и да сме. Но темата на днешния урок са съседните въглища. Така че нека се огледаме и се опитаме да намерим ъгли в тази среда. Ако погледнете внимателно прозореца, можете да видите, че някои клони на дървета образуват съседни ъгли, а в преградите на портата можете да видите много вертикални ъгли. Дайте свои собствени примери за съседни ъгли, които наблюдавате във вашата среда.

Упражнение 1.

1. На масата на стойка за книги има книга. Какъв ъгъл образува?
2. Но ученикът работи на лаптоп. Какъв ъгъл виждате тук?
3. Какъв ъгъл образува фото рамката върху стойката?
4. Мислите ли, че е възможно два съседни ъгъла да са равни?

Задача 2.

Пред вас е геометрична фигура. Що за фигура е това, назовете го? Сега назовете всички съседни ъгли, които можете да видите на тази геометрична фигура.

Задача 3.

Ето изображение на рисунка и картина. Разгледайте ги внимателно и ми кажете какви видове риби виждате на снимката и под какви ъгли виждате на снимката.

Разрешаване на проблем

1) Дадени са два ъгъла, свързани един с друг като 1: 2, и съседни на тях - като 7: 5. Трябва да намерите тези ъгли.
2) Известно е, че един от съседните ъгли е 4 пъти по-голям от другия. На колко са равни съседните ъгли?
3) Необходимо е да се намерят съседни ъгли, при условие че единият от тях е с 10 градуса по-голям от втория.

Математически диктовки за преговор на научен материал

1) Довършете чертежа: правите a I b се пресичат в точка A. Отбележете по-малкия от образуваните ъгли с цифрата 1, а останалите ъгли - последователно с цифрите 2,3,4; допълнителните лъчи на правата a минават през a1 и a2, а правата b минава през b1 и b2.
2) Използвайки завършения чертеж, въведете необходимите значения и обяснения в празнините в текста:
а) ъгъл 1 и ъгъл .... в съседство, защото...
б) ъгъл 1 и ъгъл.... вертикално, защото...
в) ако ъгъл 1 = 60°, то ъгъл 2 = ..., защото...
г) ако ъгъл 1 = 60°, то ъгъл 3 = ..., защото...

Решавам проблеми:

1. Може ли сумата от 3 ъгъла, образувани от пресичането на 2 прави, да е равна на 100°? 370°?
2. На фигурата намерете всички двойки съседни ъгли. А сега вертикалните ъгли. Назовете тези ъгли.

3. Трябва да намерите ъгъл, когато той е три пъти по-голям от прилежащия му.
4. Две прави се пресичат. В резултат на това пресичане се образуваха четири ъгъла. Определете стойността на който и да е от тях, при условие че:

а) сборът на 2 ъгъла от четири е 84°;
б) разликата между 2 ъгъла е 45°;
в) единият ъгъл е 4 пъти по-малък от втория;
г) сборът на три от тези ъгли е 290°.

Обобщение на урока

1. назовете ъглите, които се образуват при пресичане на 2 прави?
2. Назовете всички възможни двойки ъгли на фигурата и определете вида им.

Домашна работа:

1. Намерете отношението на градусните мерки на съседни ъгли, когато един от тях е с 54° по-голям от втория.
2. Намерете ъглите, които се образуват при пресичане на 2 прави, при условие че един от ъглите е равен на сумата от други 2 съседни на него ъгъла.
3. Необходимо е да се намерят съседни ъгли, когато ъглополовящата на един от тях образува ъгъл със страната на втория, който е с 60° по-голям от втория ъгъл.
4. Разликата между 2 съседни ъгъла е равна на една трета от сбора на тези два ъгъла. Определете стойностите на 2 съседни ъгъла.
5. Разликата и сборът на 2 съседни ъгъла са съответно в отношение 1:5. Намерете съседни ъгли.
6. Разликата между две съседни е 25% от сбора им. Как се свързват стойностите на 2 съседни ъгъла? Определете стойностите на 2 съседни ъгъла.

Въпроси:

1. Какво е ъгъл?
2. Какви видове ъгли има?
3. Какво е свойството на съседните ъгли?

Предмети > Математика > Математика 7 клас