Площта на всяка основа на цилиндъра е π r 2, площта на двете основи ще бъде 2π r 2 (фиг.).

Площта на страничната повърхност на цилиндър е равна на площта на правоъгълник, чиято основа е 2π r, а височината е равна на височината на цилиндъра ч, т.е. 2π rh.

Общата повърхност на цилиндъра ще бъде: 2π r 2+2π rh= 2π r(r+ ч).

Взема се площта на страничната повърхност на цилиндъра зона за почистванестраничната му повърхност.

Следователно площта на страничната повърхност на десен кръгъл цилиндър е равна на площта на съответния правоъгълник (фиг.) И се изчислява по формулата

S пр.н.е. = 2πRH, (1)

Ако добавим площта на двете основи на цилиндъра към площта на страничната повърхност на цилиндъра, получаваме общата повърхност на цилиндъра

S пълен \u003d 2πRH + 2πR 2 \u003d 2πR (H + R).

Прав обем на цилиндъра

Теорема. Обемът на прав цилиндър е равен на произведението на площта на основата му и височината , т.е.

където Q е основната площ, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като основната площ на цилиндъра е Q, има последователности от описани и вписани многоъгълници с площи Q ни Q' нтакова, че

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) В н= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' н= Q.

Нека построим последователности от призми, чиито основи са описаните и вписани многоъгълници, разгледани по-горе, и чиито странични ръбове са успоредни на образуващата на дадения цилиндър и имат дължина H. Тези призми са описани и вписани за дадения цилиндър. Техните обеми се намират по формулите

V н= Q н H и V' н= Q' нз.

Следователно,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q н H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' н H = QH.

Последица.
Обемът на прав кръгов цилиндър се изчислява по формулата

V = π R 2 H

където R е радиусът на основата, а H е височината на цилиндъра.

Тъй като основата на кръгъл цилиндър е кръг с радиус R, тогава Q \u003d π R 2 и следователно

Как да изчислим повърхността на цилиндър е темата на тази статия. Във всеки математически проблем трябва да започнете с въвеждане на данни, да определите какво е известно и върху какво да работите в бъдеще и едва след това да продължите директно към изчислението.

Това триизмерно тяло е геометрична фигура с цилиндрична форма, ограничена отгоре и отдолу от две успоредни равнини. Ако проявите малко въображение, ще забележите, че едно геометрично тяло се образува чрез въртене на правоъгълник около ос, като оста е една от страните му.

От това следва, че описаната крива над и под цилиндъра ще бъде кръг, чийто основен индикатор е радиусът или диаметърът.

Площ на цилиндъра - Онлайн калкулатор

Тази функция най-накрая улеснява процеса на изчисление и всичко се свежда до автоматично заместване на дадените стойности на височината и радиуса (диаметъра) на основата на фигурата. Единственото нещо, което се изисква, е да определите точно данните и да не правите грешки при въвеждане на числа.

Площ на страничната повърхност на цилиндъра

Първо трябва да си представите как изглежда размахът в двуизмерното пространство.

Това не е нищо повече от правоъгълник, едната страна на който е равна на обиколката. Формулата му е известна от незапомнени времена - 2π *r, където rе радиусът на окръжността. Другата страна на правоъгълника е равна на височината ч. Няма да е трудно да намерите това, което търсите.

Сстрана= 2π *r*h,

където номер π = 3,14.

Пълна повърхност на цилиндър

За да намерите общата площ на цилиндъра, трябва да получите S странадобавете площите на два кръга, горната и долната част на цилиндъра, които се изчисляват по формулата S o =2π*r2.

Крайната формула изглежда така:

Сетаж\u003d 2π * r 2+ 2π*r*h.

Площ на цилиндъра - формула по отношение на диаметъра

За да се улеснят изчисленията, понякога е необходимо да се правят изчисления през диаметъра. Например, има парче от куха тръба с известен диаметър.

Без да се занимаваме с излишни изчисления, имаме готова формула. На помощ идва алгебрата за 5. клас.

Спол = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *д 2 /2 + π *d*h,

Вместо rв пълната формула трябва да въведете стойността r=г/2.

Примери за изчисляване на площта на цилиндър

Въоръжени със знания, нека се заемем с практиката.

Пример 1 Необходимо е да се изчисли площта на пресечено парче тръба, т.е. цилиндър.

Имаме r = 24 mm, h = 100 mm. Трябва да използвате формулата по отношение на радиуса:

S етаж \u003d 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 \u003d 3617,28 + 15072 \u003d 18689,28 (mm 2).

Превеждаме в обичайния m 2 и получаваме 0,01868928, приблизително 0,02 m 2.

Пример 2 Необходимо е да се установи площта на вътрешната повърхност на азбестовата тръба за печка, чиито стени са облицовани с огнеупорни тухли.

Данните са следните: диаметър 0,2 m; височина 2 м. Използваме формулата през диаметъра:

S етаж \u003d 3,14 * 0,2 2 / 2 + 3,14 * 0,2 * 2 \u003d 0,0628 + 1,256 \u003d 1,3188 m 2.

Пример 3 Как да разберете колко материал е необходим за шиене на чанта, r \u003d 1 m и височина 1 m.

Един момент, има формула:

S страна \u003d 2 * 3,14 * 1 * 1 \u003d 6,28 m 2.

Заключение

В края на статията възникна въпросът: наистина ли са необходими всички тези изчисления и преводи на една стойност в друга? Защо е необходимо всичко това и най-важното за кого? Но не пренебрегвайте и не забравяйте прости формули от гимназията.

Светът е стоял и ще стои върху елементарни знания, включително и математика. И когато се заемете с важна работа, никога не е излишно да опреснявате данните от изчисленията в паметта, като ги прилагате на практика с голям ефект. Точност - учтивостта на кралете.

Цилиндър (произлиза от гръцки език, от думите "пързалка", "ролка") е геометрично тяло, което отвън е ограничено от повърхност, наречена цилиндрична повърхност и две равнини. Тези равнини пресичат повърхността на фигурата и са успоредни една на друга.

Цилиндричната повърхност е повърхност, която се получава от права линия в пространството. Тези движения са такива, че избраната точка от тази права линия се движи по крива от плосък тип. Такава права линия се нарича образуваща, а крива линия се нарича водач.

Цилиндърът се състои от двойка основи и странична цилиндрична повърхност. Цилиндрите са от няколко вида:

1. Кръгъл, прав цилиндър. За такъв цилиндър основата и водачът са перпендикулярни на образуващата и има

2. Наклонен цилиндър. Той има ъгъл между образуващата линия и основата, която не е права.

3. Цилиндър с различна форма. Хиперболични, елипсовидни, параболични и др.

Площта на цилиндъра, както и общата повърхност на всеки цилиндър, се намират чрез добавяне на площите на основите на тази фигура и площта на страничната повърхност.

Формулата за изчисляване на общата площ на цилиндър за кръгъл, прав цилиндър е:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Площта на страничната повърхност е малко по-трудна за намиране от площта на целия цилиндър; тя се изчислява чрез умножаване на дължината на генератора по периметъра на сечението, образувано от равнината, която е перпендикулярна на образуваща.

Данните за цилиндъра за кръгъл, прав цилиндър се разпознават от развитието на този обект.

Развитието е правоъгълник с височина h и дължина P, която е равна на периметъра на основата.

От това следва, че страничната площ на цилиндъра е равна на площта на движението и може да се изчисли по тази формула:

Ако вземем кръгъл прав цилиндър, тогава за него:

P = 2p R и Sb = 2p Rh.

Ако цилиндърът е наклонен, тогава площта на страничната повърхност трябва да бъде равна на произведението на дължината на неговата образуваща и периметъра на сечението, което е перпендикулярно на тази образуваща.

За съжаление, няма проста формула за изразяване на страничната повърхност на наклонен цилиндър по отношение на неговата височина и неговите основни параметри.

За да изчислите цилиндър, трябва да знаете няколко факта. Ако едно сечение със своята равнина пресича основите, то такова сечение винаги е правоъгълник. Но тези правоъгълници ще бъдат различни в зависимост от позицията на секцията. Една от страните на аксиалното сечение на фигурата, която е перпендикулярна на основите, е равна на височината, а другата е равна на диаметъра на основата на цилиндъра. И площта на такова сечение, съответно, е равна на произведението на едната страна на правоъгълника от другата, перпендикулярна на първата, или произведението на височината на тази фигура по диаметъра на нейната основа.

Ако сечението е перпендикулярно на основите на фигурата, но не минава през оста на въртене, тогава площта на това сечение ще бъде равна на произведението на височината на този цилиндър и определена хорда. За да получите акорд, трябва да изградите кръг в основата на цилиндъра, да начертаете радиус и да оставите върху него разстоянието, на което се намира секцията. И от тази точка трябва да начертаете перпендикуляри на радиуса от пресечната точка с кръга. Пресечните точки са свързани с центъра. И основата на триъгълника е желаната, която се търси, звучи така: „Сумата от квадратите на два крака е равна на хипотенузата на квадрат“:

C2 = A2 + B2.

Ако сечението не засяга основата на цилиндъра, а самият цилиндър е кръгъл и прав, тогава площта на това сечение се намира като площта на кръга.

Площта на кръга е:

S env. = 2p R2.

За да намерите R, трябва да разделите неговата дължина C на 2p:

R = C \ 2n, където n е pi, математическа константа, изчислена за работа с кръгови данни и равна на 3,14.

Намерете площта на аксиалното сечение, перпендикулярно на основите на цилиндъра. Една от страните на този правоъгълник е равна на височината на цилиндъра, другата е равна на диаметъра на основния кръг. Съответно площта на напречното сечение в този случай ще бъде равна на произведението на страните на правоъгълника. S=2R*h, където S е площта на напречното сечение, R е радиусът на основната окръжност, даден от условията на проблема, и h е височината на цилиндъра, също даден от условията на проблема.

Ако сечението е перпендикулярно на основите, но не минава през оста на въртене, правоъгълникът няма да е равен на диаметъра на окръжността. Трябва да се изчисли. За да направите това, задачата трябва да каже на какво разстояние от оста на въртене преминава секционната равнина. За удобство на изчисленията изградете кръг от основата на цилиндъра, начертайте радиус и оставете върху него разстоянието, на което се намира секцията от центъра на кръга. От тази точка начертайте перпендикулярите, докато се пресекат с кръга. Свържете пресечните точки към центъра. Трябва да намерите акорди. Намерете размера на половин хорда, като използвате Питагоровата теорема. Тя ще бъде равна на корен квадратен от разликата на квадратите на радиуса на окръжността от центъра до линията на сечението. a2=R2-b2. Цялата хорда ще бъде съответно равна на 2а. Изчислете площта на напречното сечение, която е равна на произведението на страните на правоъгълника, тоест S=2a*h.

Цилиндърът може да бъде разчленен, без да преминава през равнината на основата. Ако напречното сечение е перпендикулярно на оста на въртене, то ще бъде кръг. Площта му в този случай е равна на площта на основите, т.е. тя се изчислява по формулата S \u003d πR2.

Полезен съвет

За да си представите по-точно разреза, направете чертеж и допълнителни конструкции към него.

източници:

• площ на напречното сечение на цилиндъра

Линията на пресичане на повърхност с равнина принадлежи както на повърхността, така и на секущата равнина. Линията на пресичане на цилиндрична повърхност със секуща равнина, успоредна на правата генератора, е права линия. Ако режещата равнина е перпендикулярна на оста на повърхността на въртене, сечението ще има кръг. По принцип линията на пресичане на цилиндрична повърхност с режеща равнина е крива линия.

Ще имаш нужда

• Молив, линийка, триъгълник, шаблони, пергел, измервателен уред.

Инструкция

В равнината на предната проекция P₂ линията на сечението съвпада с проекцията на секущата равнина Σ₂ под формата на права линия.
Посочете точките на пресичане на образуващите на цилиндъра с проекцията Σ₂ 1₂, 2₂ и т.н. към точки 10₂ и 11₂.

В равнината P₁ е окръжност. Точки 1₂ , 2₂ маркирани върху равнината на сечение Σ₂ и т.н. с помощта на проекционна линия връзките ще се проектират върху контура на този кръг. Обозначете техните хоризонтални проекции симетрично спрямо хоризонталната ос на кръга.

По този начин се определят проекциите на желаното сечение: върху равнината P₂ - права линия (точки 1₂, 2₂ ... 10₂); на равнината P₁ - кръг (точки 1₁, 2₁ ... 10₁).

По две да се построи естествената големина на сечението на дадения цилиндър с предната проектираща равнина Σ. За да направите това, използвайте метода на проекциите.

Начертайте равнината P₄ успоредна на проекцията на равнината Σ₂. На тази нова ос x₂₄ маркирайте точката 1₀. Разстояния между точки 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂ и т.н. от предната проекция на сечението, отделена на оста x₂₄, начертайте тънки линии на проекционната връзка, перпендикулярна на оста x₂₄.

При този метод равнината P₄ се заменя с равнината P₁, следователно от хоризонталната проекция прехвърлете размерите от оста към точките към оста на равнината P₄.

Например на P₁ за точки 2 и 3 това ще бъде разстоянието от 2₁ и 3₁ до оста (точка A) и т.н.

След като отложите посочените разстояния от хоризонталната проекция, ще получите точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. След това, за по-голяма точност на конструкцията, се определят останалите, междинни точки.

Като свържете всички точки с извита крива, ще получите желания естествен размер на напречното сечение на цилиндъра от предната проектираща равнина.

източници:

• как да замените самолет

Съвет 3: Как да намерите площта на аксиалното сечение на пресечен конус

За да разрешите този проблем, трябва да запомните какво е пресечен конус и какви свойства има. Не забравяйте да рисувате. Това ще определи коя геометрична фигура е сечение. Напълно възможно е след това решението на проблема вече да не ви затруднява.

Инструкция

Кръгъл конус е тяло, получено чрез въртене на триъгълник около един от краката му. Правите линии идват отгоре конусии пресичащи основата му се наричат ​​образуващи. Ако всички образуващи са равни, тогава конусът е прав. В основата на кръга конусилежи кръг. Перпендикулярът, пуснат към основата от върха, е височината конуси. На кръглата права конусивисочината съвпада с неговата ос. Оста е права линия, свързваща се с центъра на основата. Ако хоризонталната сечеща равнина на циркуляра конуси, тогава горната му основа е кръг.

Тъй като в условието на задачата не е посочено, че в случая е даден конус, можем да заключим, че това е прав пресечен конус, чието хоризонтално сечение е успоредно на основата. Аксиалното му сечение, т.е. вертикална равнина, която през оста на окр конуси, е равнобедрен трапец. Всички аксиални секциикръгли прави конусиса равни помежду си. Следователно, за да намерите квадратаксиален секции, се изисква да се намери квадраттрапец, чиито основи са диаметрите на основите на пресечения конуси, а страните са негови генератори. Скъсена височина конусие и височината на трапеца.

Площта на трапец се определя по формулата: S = ½(a+b) h, където S е квадраттрапец; a - стойността на долната основа на трапеца; b - стойността на горната му основа; h - височината на трапеца.

Тъй като условието не уточнява кои са дадени, е възможно диаметрите на двете основи на пресечената конусиизвестен: AD = d1 е диаметърът на долната основа на пресечения конуси;BC = d2 е диаметърът на горната му основа; EH = h1 - височина конуси.Поради това, квадратаксиален секциипресечен конусидефинирано: S1 = ½ (d1+d2) h1

източници:

• зона на пресечен конус

Цилиндърът е триизмерна фигура и се състои от две равни основи, които са кръгове, и странична повърхност, свързваща линии, ограничаващи основите. Да изчисля квадрат цилиндър, намерете площите на всички негови повърхнини и ги съберете.

Цилиндърът е фигура, състояща се от цилиндрична повърхност и два кръга, разположени успоредно. Изчисляването на площта на цилиндър е проблем в геометричния клон на математиката, който се решава доста просто. Има няколко метода за решаването му, които в резултат винаги се свеждат до една формула.

Как да намерите площта на цилиндър - правила за изчисление

• За да разберете площта на цилиндъра, трябва да добавите две основни площи с площта на страничната повърхност: S \u003d S страна + 2 S основна. В по-подробна версия тази формула изглежда така: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Площта на страничната повърхност на дадено геометрично тяло може да се изчисли, ако са известни неговата височина и радиусът на окръжността, лежаща под основата. В този случай можете да изразите радиуса от обиколката, ако е даден. Височината може да се намери, ако стойността на генератора е посочена в условието. В този случай образуващата ще бъде равна на височината. Формулата за страничната повърхност на дадено тяло изглежда така: S= 2 π rh.
• Площта на основата се изчислява по формулата за намиране на площта на кръг: S osn= π r 2 . В някои задачи радиусът може да не е даден, но обиколката е дадена. С тази формула радиусът се изразява доста лесно. С=2π r, r= С/2π. Трябва също да се помни, че радиусът е половината от диаметъра.
• Когато извършвате всички тези изчисления, числото π обикновено не се превежда в 3.14159 ... Просто трябва да го добавите до цифровата стойност, получена в резултат на изчисленията.
• Освен това е необходимо само да умножите намерената площ на основата по 2 и да добавите към полученото число изчислената площ на страничната повърхност на фигурата.
• Ако проблемът показва, че цилиндърът има аксиално сечение и това е правоъгълник, тогава решението ще бъде малко по-различно. В този случай ширината на правоъгълника ще бъде диаметърът на кръга, който лежи в основата на тялото. Дължината на фигурата ще бъде равна на образуващата или височината на цилиндъра. Необходимо е да се изчислят желаните стойности и да се заменят във вече известна формула. В този случай ширината на правоъгълника трябва да бъде разделена на две, за да се намери площта на основата. За да се намери страничната повърхност, дължината се умножава по два радиуса и по числото π.
• Можете да изчислите площта на дадено геометрично тяло чрез неговия обем. За да направите това, трябва да извлечете липсващата стойност от формулата V=π r 2 h.
• Няма нищо трудно при изчисляването на площта на цилиндъра. Необходимо е само да знаете формулите и да можете да извлечете от тях количествата, необходими за изчисленията.