Паралелепипедът е четириъгълна призма с паралелограми в основата си. Височината на паралелепипед е разстоянието между равнините на основите му. На фигурата височината е показана чрез сегмента . Има два вида паралелепипеди: прави и наклонени. По правило учителят по математика първо дава подходящите определения за призма и след това ги прехвърля върху паралелепипед. Ние ще направим същото.

Нека ви напомня, че призмата се нарича права, ако страничните й ръбове са перпендикулярни на основите; ако няма перпендикулярност, призмата се нарича наклонена. Тази терминология е наследена и от паралелепипеда. Правият паралелепипед не е нищо повече от вид права призма, чийто страничен ръб съвпада с височината. Дефинициите на такива понятия като лице, ръб и връх, които са общи за цялото семейство полиедри, са запазени. Появява се концепцията за противоположни лица. Паралелепипедът има 3 чифта противоположни лица, 8 върха и 12 ръба.

Диагоналът на паралелепипед (диагоналът на призма) е отсечка, свързваща два върха на многостен и не лежи върху нито едно от лицата му.

Диагонално сечение - сечение на паралелепипед, минаващо през неговия диагонал и диагонала на основата му.

Свойства на наклонен паралелепипед:
1) Всичките му лица са успоредници, а срещуположните лица са равни успоредници.
2)Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват в тази точка.
3)Всеки паралелепипед се състои от шест триъгълни пирамиди с еднакъв обем. За да ги покаже на ученика, учителят по математика трябва да отреже половината от паралелепеда с диагоналното му сечение и да го раздели отделно на 3 пирамиди. Техните основи трябва да лежат на различни лица на оригиналния паралелепипед. Учител по математика ще намери приложение на това свойство в аналитичната геометрия. Използва се за извличане на обема на пирамида чрез смесен продукт от вектори.

Формули за обем на паралелепипед:
1), където е площта на основата, h е височината.
2) Обемът на паралелепипед е равен на произведението от площта на напречното сечение и страничния ръб.
Учител по математика: Както знаете, формулата е обща за всички призми и ако преподавателят вече я е доказал, няма смисъл да повтаряте същото за паралелепипед. Въпреки това, когато работите със средно ниво (формулата не е полезна за слаб ученик), препоръчително е учителят да действа точно обратното. Оставете призмата на мира и направете точно доказателство за паралелепипеда.
3) , където е обемът на една от шестте триъгълни пирамиди, съставляващи паралелепипеда.
4) Ако , тогава

Площта на страничната повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му лица:
Общата повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му лица, тоест площта + две основни площи:.

За работата на учител с наклонен паралелепипед:
Учителят по математика не се занимава често със задачи върху наклонен паралелепипед. Вероятността да се явят на изпита е доста малка, а дидактиката е неприлично лоша. Повече или по-малко приличен проблем за обема на наклонен паралелепипед причинява сериозни проблеми, свързани с определянето на местоположението на точката H - основата на нейната височина. В този случай учителят по математика може да бъде посъветван да разреже паралелепипеда до една от шестте му пирамиди (които са обсъдени в свойство #3), да се опита да намери неговия обем и да го умножи по 6.

Ако страничният ръб на паралелепипеда има равни ъгли със страните на основата, то H лежи върху ъглополовящата на ъгъл A на основата ABCD. И ако, например, ABCD е ромб, тогава

Задачи за учител по математика:
1) Лицата на паралелепипед са равни едно на друго със страна 2 см и остър ъгъл. Намерете обема на паралелепипеда.
2) В наклонен паралелепипед страничният ръб е 5 cm. Перпендикулярното му сечение е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали с дължини 6 см и 8 см. Изчислете обема на паралелепипеда.
3) В наклонен паралелепипед е известно, че , а в дефиницията на ABCD е ромб със страна 2 cm и ъгъл . Определете обема на паралелепипеда.

Учител по математика Александър Колпаков

Паралелепипедът е призма, чиито основи са успоредници. В този случай всички ръбове ще бъдат успоредници.
Всеки паралелепипед може да се разглежда като призма по три различни начина, тъй като всеки две противоположни лица могат да бъдат взети за основи (на фиг. 5 лица ABCD и A "B" C "D" или ABA "B" и CDC "D" , или BC "C" и ADA"D").
Въпросното тяло има дванадесет ръба, четири равни и успоредни един на друг.
Теорема 3 . Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка, съвпадаща със средата на всеки от тях.
Паралелепипедът ABCDA"B"C"D" (фиг. 5) има четири диагонала AC", BD", CA", DB". Трябва да докажем, че средите на всеки две от тях, например AC и BD", съвпадат. Това следва от факта, че фигурата ABC"D", имаща равни и успоредни страни AB и C"D", е успоредник.
Определение 7 . Правият паралелепипед е паралелепипед, който също е права призма, тоест паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнината на основата.
Определение 8 . Правоъгълният паралелепипед е прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник. В този случай всичките му лица ще бъдат правоъгълници.
Правоъгълен паралелепипед е права призма, без значение кое от лицата му приемаме за основа, тъй като всеки от неговите ръбове е перпендикулярен на ръбовете, излизащи от същия връх, и следователно ще бъде перпендикулярен на равнините на лицата, определени по тези ръбове. Обратно, прав, но не правоъгълен паралелепипед може да се разглежда като права призма само по един начин.
Определение 9 . Дължините на три ръба на правоъгълен паралелепипед, от които няма два успоредни един на друг (например три ръба, излизащи от един и същи връх), се наричат ​​негови размери. Два правоъгълни паралелепипеда със съответно равни размери очевидно са равни един на друг.
Определение 10 .Кубът е правоъгълен паралелепипед, чиито три измерения са еднакви, така че всичките му лица са квадрати. Две кубчета с равни ръбове са равни.
Определение 11 . Наклонен паралелепипед, в който всички ръбове са равни един на друг и ъглите на всички лица са равни или допълващи се, се нарича ромбоедър.
Всички лица на ромбоедър са равни ромби. (Някои кристали с голямо значение имат форма на ромбоедър, например кристали от исландски шпат.) В ромбоедър можете да намерите връх (и дори два противоположни върха), така че всички ъгли, съседни на него, да са равни един на друг.
Теорема 4 . Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни един на друг. Квадратът на диагонала е равен на сумата от квадратите на трите измерения.
В правоъгълния паралелепипед ABCDA"B"C"D" (фиг.6) диагоналите AC" и BD" са равни, тъй като четириъгълникът ABC"D" е правоъгълник (правата AB е перпендикулярна на равнината ECB" C", в който се намира BC") .
В допълнение, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 въз основа на теоремата за квадрата на хипотенузата. Но въз основа на същата теорема AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; следователно ние имам:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.

В геометрията ключовите понятия са равнина, точка, права линия и ъгъл. Използвайки тези термини, можете да опишете всяка геометрична фигура. Полиедрите обикновено се описват от гледна точка на по-прости фигури, които лежат в една и съща равнина, като кръг, триъгълник, квадрат, правоъгълник и др. В тази статия ще разгледаме какво е паралелепипед, ще опишем видовете паралелепипед, неговите свойства, от какви елементи се състои, а също така ще дадем основните формули за изчисляване на площта и обема за всеки тип паралелепипед.

Определение

Паралелепипедът в триизмерното пространство е призма, всички страни на която са паралелограми. Съответно, той може да има само три двойки успоредни паралелограми или шест лица.

За да визуализирате паралелепипед, представете си обикновена стандартна тухла. Тухла е добър пример за правоъгълен паралелепипед, който дори дете може да си представи. Други примери включват многоетажни панелни къщи, шкафове, контейнери за съхранение на храна с подходяща форма и др.

Разновидности на фигурата

Има само два вида паралелепипеди:

1. Правоъгълник, всички странични стени на който са под ъгъл 90° спрямо основата и са правоъгълници.
2. Наклонени, чиито странични ръбове са разположени под определен ъгъл спрямо основата.

На какви елементи може да се раздели тази фигура?

• Както във всяка друга геометрична фигура, в паралелепипеда всеки 2 лица с общ ръб се наричат ​​съседни, а тези, които го нямат, са успоредни (въз основа на свойството на паралелограма, който има двойки успоредни противоположни страни).
• Върховете на паралелепипед, които не лежат на едно и също лице, се наричат ​​противоположни.
• Сегментът, свързващ такива върхове, е диагонал.
• Дължините на трите ръба на кубоид, които се срещат в един връх, са неговите размери (а именно неговата дължина, ширина и височина).

Свойства на формата

1. Винаги се изгражда симетрично спрямо средата на диагонала.
2. Пресечната точка на всички диагонали разделя всеки диагонал на два равни сегмента.
3. Противоположните лица са равни по дължина и лежат на успоредни прави.
4. Ако добавите квадратите на всички размери на паралелепипед, получената стойност ще бъде равна на квадрата на дължината на диагонала.

Формули за изчисление

Формулите за всеки отделен случай на паралелепипед ще бъдат различни.

За произволен паралелепипед е вярно, че неговият обем е равен на абсолютната стойност на тройното скаларно произведение на векторите на трите страни, излизащи от един връх. Въпреки това, няма формула за изчисляване на обема на произволен паралелепипед.

За правоъгълен паралелепипед се прилагат следните формули:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - обем на фигурата;
• Sb - странична повърхност;
• Sp - обща повърхност;
• а - дължина;
• b - ширина;
• c - височина.

Друг специален случай на паралелепипед, в който всички страни са квадрати, е куб. Ако някоя от страните на квадрата е обозначена с буквата a, тогава могат да се използват следните формули за площта и обема на тази фигура:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - площ на фигурата,
• V е обемът на фигурата,
• a е дължината на лицето на фигурата.

Последният тип паралелепипед, който разглеждаме, е прав паралелепипед. Каква е разликата между прав паралелепипед и кубоид, питате вие. Факт е, че основата на правоъгълен паралелепипед може да бъде всеки паралелограм, но основата на прав паралелепипед може да бъде само правоъгълник. Ако означим периметъра на основата, равен на сбора от дължините на всички страни, като Po, а височината с буквата h, имаме право да използваме следните формули, за да изчислим обема и площите на общия и странични повърхности.

Паралелепипедът е геометрична фигура, всичките 6 лица на която са успоредници.

В зависимост от вида на тези паралелограми се разграничават следните видове паралелепипеди:

• прав;
• наклонен;
• правоъгълен.

Правият паралелепипед е четириъгълна призма, чиито ръбове сключват ъгъл от 90° с равнината на основата.

Правоъгълният паралелепипед е четириъгълна призма, чиито лица са правоъгълници. Кубът е вид четириъгълна призма, в която всички лица и ръбове са равни една на друга.

Характеристиките на фигурата предопределят нейните свойства. Те включват следните 4 твърдения:

Лесно е да запомните всички горни свойства, те са лесни за разбиране и се извеждат логически въз основа на вида и характеристиките на геометричното тяло. Въпреки това, простите изрази могат да бъдат изключително полезни при решаване на типични USE задачи и ще спестят времето, необходимо за преминаване на теста.

Формули за паралелепипед

За да намерите отговори на проблема, не е достатъчно да знаете само свойствата на фигурата. Може да се нуждаете и от някои формули за намиране на площ и обем на геометрично тяло.

Площта на основите се намира по същия начин като съответния индикатор на успоредник или правоъгълник. Можете сами да изберете основата на успоредника. По правило при решаване на задачи е по-лесно да се работи с призма, чиято основа е правоъгълник.

Формулата за намиране на страничната повърхност на паралелепипед може да е необходима и в тестови задачи.

Примери за решаване на типични задачи за единен държавен изпит

Упражнение 1.

дадени: правоъгълен паралелепипед с размери 3, 4 и 12 см.
Необходимонамерете дължината на един от главните диагонали на фигурата.
Решение: Всяко решение на геометрична задача трябва да започне с изграждането на правилен и ясен чертеж, на който ще бъдат посочени „дадено“ и желаната стойност. Фигурата по-долу показва пример за правилното изпълнение на условията на задачата.

След като разгледахме направения чертеж и запомнихме всички свойства на геометричното тяло, стигаме до единствения правилен метод за решение. Прилагайки 4-то свойство на паралелепипед, получаваме следния израз:

След прости изчисления получаваме израза b2=169, следователно b=13. Отговорът на задачата е намерен, трябва да отделите не повече от 5 минути, за да го потърсите и нарисувате.