Определение Подредена колекция (x 1 , x 2 , ... , x n) n от реални числа се нарича n-мерен вектор, и числата x i (i = ) - компонентиили координати,

Пример. Ако например даден автомобилен завод трябва да произведе 50 автомобила, 100 камиона, 10 автобуса, 50 комплекта резервни части за автомобили и 150 комплекта за камиони и автобуси на смяна, тогава производствената програма на този завод може да се напише като вектор (50, 100, 10, 50, 150), който има пет компонента.

Нотация. Векторите се обозначават с удебелени малки букви или букви с лента или стрелка в горната част, например, аили. Двата вектора се наричат равенако имат еднакъв брой компоненти и съответните им компоненти са равни.

Векторните компоненти не могат да се разменят, например (3, 2, 5, 0, 1)и (2, 3, 5, 0, 1) различни вектори.
Операции с вектори.работа х= (x 1 , x 2 , ... ,x n) към реално числоλ наречен векторλ х= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

сумах= (x 1 , x 2 , ... ,x n) и г= (y 1 , y 2 , ... ,y n) се нарича вектор x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Пространството на векторите.н -дименсионално векторно пространство Р n се дефинира като набор от всички n-мерни вектори, за които са дефинирани операциите умножение с реални числа и събиране.

Икономическа илюстрация. Икономическа илюстрация на n-мерно векторно пространство: пространство на стоките (стоки). Под стокаще разбираме някаква стока или услуга, която е пусната в продажба в определено време на определено място. Да приемем, че има краен брой налични стоки n; количествата на всеки от тях, закупени от потребителя, се характеризират с набор от стоки

х= (x 1, x 2, ..., x n),

където x i означава количеството на i-тата стока, закупена от потребителя. Ще приемем, че всички стоки имат свойството на произволна делимост, така че всяко неотрицателно количество от всяка от тях може да бъде купено. Тогава всички възможни набори от стоки са вектори на пространството от стоки C = ( х= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = ).

Линейна независимост. Система д 1 , д 2 , ... , д m n-мерни вектори се нарича линейно зависимиако има такива числаλ 1 , λ 2 , ... , λ m , от които поне една е различна от нула, което удовлетворява равенствотоλ1 д 1 + λ2 д 2+...+λm д m = 0; иначе тази система от вектори се нарича линейно независими, тоест това равенство е възможно само в случай, когато всички . Геометричният смисъл на линейната зависимост на векторите в Р 3, интерпретирани като насочени отсечки, обясняват следните теореми.

Теорема 1. Система, състояща се от един вектор, е линейно зависима тогава и само ако този вектор е нула.

Теорема 2. За да бъдат два вектора линейно зависими е необходимо и достатъчно те да са колинеарни (успоредни).

Теорема 3 . За да бъдат линейно зависими три вектора, е необходимо и достатъчно те да са копланарни (да лежат в една равнина).

Лява и дясна тройка вектори. Тройка некомпланарни вектори a, b, cНаречен точно, ако наблюдателят от общия им произход заобикаля краищата на векторите a, b, cв този ред изглежда, че продължава по часовниковата стрелка. В противен случай a, b, c -лява тройка. Всички десни (или леви) тройки вектори се наричат по равно ориентирани.

Основа и координати. Тройка д 1, д 2 , д 3 некомпланарни вектора в Р 3 се обадих база, и самите вектори д 1, д 2 , д 3 - основен. Всеки вектор аможе да бъде разширено по уникален начин по отношение на базисни вектори, т.е. може да бъде представено във формата

а= x 1 д 1 + x2 д 2 + х 3 д 3, (1.1)

се наричат ​​числата x 1 , x 2 , x 3 в разширението (1.1). координатиав основата д 1, д 2 , д 3 и са означени а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормална основа. Ако векторите д 1, д 2 , д 3 са по двойки перпендикулярни и дължината на всеки от тях е равна на единица, тогава основата се нарича ортонормална, и координатите x 1 , x 2 , x 3 - правоъгълен.Ще бъдат означени базисните вектори на ортонормална база i, j, k.

Ще приемем, че в космоса Р 3 дясната система от декартови правоъгълни координати (0, i, j, k}.

Векторен продукт. векторно изкуство ана вектор bнаречен вектор ° С, което се определя от следните три условия:

1. Дължина на вектора ° Счислено равна на площта на успоредника, изграден върху векторите аи б,т.е.
° С= |a||b|грях( а^b).

2. Вектор ° Сперпендикулярно на всеки от векторите аи b.

3. Вектори а, bи ° С, взети в този ред, образуват дясна тройка.

За векторен продукт ° Ссе въвежда обозначението c=[аб] или
c = a × b.

Ако векторите аи bса колинеарни, тогава sin( a^b) = 0 и [ аб] = 0, по-специално, [ аа] = 0. Векторни произведения на orts: [ ij]=к, [jk] = аз, [ki]=й.

Ако векторите аи bдадено в основата i, j, kкоординати а(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), тогава

Смесена работа. Ако кръстосаното произведение на два вектора аи bскалар, умножен по третия вектор ° С,тогава се нарича такова произведение на три вектора смесен продукти се обозначава със символа а пр.н.е.

Ако векторите а, би ° Св основата i, j, kопределени от техните координати
а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), ° С(c 1 , c 2 , c 3), тогава

.

Смесеният продукт има проста геометрична интерпретация - той е скалар, по абсолютна стойност равен на обема на паралелепипед, построен върху три дадени вектора.

Ако векторите образуват дясна тройка, тогава тяхното смесено произведение е положително число, равно на посочения обем; ако тримата а, б, в -наляво, тогава a b c<0 и V = - a b c, следователно V =|a b c|.

Приема се, че координатите на векторите, срещани в задачите от първа глава, са дадени спрямо дясната ортонормална основа. Единичен вектор, съпосочен на вектор а,обозначен със символа аотносно. Символ r=ОМозначени с радиус вектора на точката M, символите a, AB или|а|, | AB |модулите на векторите са означени аи AB.

Пример 1.2. Намерете ъгъла между векторите а= 2м+4ни b= м-н, където ми н-единични вектори и ъгъл между тях ми нравен на 120 o.

Решение. Имаме: cos φ = аб/ab, ab=(2м+4н) (м-н) = 2м 2 - 4н 2 +2мн=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; а = ; а 2 = (2м+4н) (2м+4н) =
= 4м 2 +16мн+16н 2 = 4+16(-0,5)+16=12, така че a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(м-н) = м 2 -2мн+н 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, така че b = . Накрая имаме: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Пример 1.3.Познаване на вектори AB(-3, -2,6) и пр.н.е(-2,4,4), изчислете височината AD на триъгълник ABC.

Решение. Означавайки площта на триъгълника ABC с S, получаваме:
S = 1/2 пр.н.е. Тогава AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, така че векторът ACима координати
. .

Пример 1.4 . Дадени са два вектора а(11,10,2) и b(4,0,3). Намерете единичния вектор ° С,ортогонални на вектори аи bи насочен така, че подредената тройка вектори a, b, cбеше прав.

Решение.Нека означим координатите на вектора ° Спо отношение на дадената дясна ортонормална основа по отношение на x, y, z.

Тъй като ° С ⊥ а, в ⊥b, тогава ок= 0, cb= 0. По условието на задачата се изисква c = 1 и a b c >0.

Имаме система от уравнения за намиране на x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

От първото и второто уравнение на системата получаваме z = -4/3 x, y = -5/6 x. Замествайки y и z в третото уравнение, ще имаме: x 2 = 36/125, откъдето
x=± . Условие за използване a b c > 0, получаваме неравенството

Като вземем предвид изразите за z и y, преписваме полученото неравенство във вида: 625/6 x > 0, откъдето следва, че x>0. Така че x = , y = - , z = - .

7.1. Дефиниция на кръстосано произведение

Три некомпланарни вектора a, b и c, взети в посочения ред, образуват дясна тройка, ако от края на третия вектор c най-късият завой от първия вектор a към втория вектор b се вижда обратно на часовниковата стрелка, и ляв, ако е по посока на часовниковата стрелка (виж Фиг. . шестнадесет).

Векторното произведение на вектор a и вектор b се нарича вектор c, който:

1. Перпендикулярно на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ b;

2. Има дължина, числено равна на площта на успоредника, построен върху векторите a иbкакто отстрани (виж фиг. 17), т.е.

3. Векторите a , b и c образуват дясна тройка.

Векторното произведение се означава с a x b или [a,b]. От дефиницията на векторно произведение директно следват следните отношения между ортите i, йи к(вижте фиг. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Нека докажем, например, това i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, но | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) вектори i, j и кобразуват дясна тройка (виж фиг. 16).

7.2. Свойства на кръстосани продукти

1. При пренареждане на факторите векторното произведение променя знака, т.е. и xb \u003d (b xa) (виж Фиг. 19).

Векторите a xb и b xa са колинеарни, имат еднакви модули (площта на паралелограма остава непроменена), но са противоположно насочени (тройки a, b, a xb и a, b, b x a с противоположна ориентация). Това е axb = -(bxa).

2. Векторният продукт има комбинирано свойство по отношение на скаларния фактор, т.е. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Нека l >0. Векторът l (a xb) е перпендикулярен на векторите a и b. вектор ( ла) х bсъщо е перпендикулярна на векторите a и b(вектори a, лно лежат в една равнина). Така че векторите л(a xb) и ( ла) х bколинеарен. Очевидно е, че посоките им съвпадат. Имат еднаква дължина:

Следователно л(a xb)= л a xb. По подобен начин се доказва за л<0.

3. Два ненулеви вектора a и bса колинеарни тогава и само ако тяхното векторно произведение е равно на нулевия вектор, т.е. и ||b<=>и xb \u003d 0.

По-специално, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторният продукт има разпределително свойство:

(а+б) xs = a xs + b xs .

Приеми без доказателства.

7.3. Изразяване на кръстосано произведение по отношение на координати

Ще използваме векторната таблица с кръстосано произведение i, йи к:

ако посоката на най-късия път от първия вектор до втория съвпада с посоката на стрелката, тогава продуктът е равен на третия вектор, ако не съвпада, третият вектор се взема със знак минус.

Нека два вектора a =a x i +a y й+аз ки b=bx аз+от й+bz к. Нека намерим векторното произведение на тези вектори, като ги умножим като полиноми (според свойствата на векторното произведение):

Получената формула може да бъде написана дори по-кратко:

тъй като дясната страна на равенството (7.1) съответства на разширението на детерминанта от трети ред по отношение на елементите на първия ред.Равенството (7.2) е лесно за запомняне.

7.4. Някои приложения на кръстосаното произведение

Установяване на колинеарност на вектори

Намиране на лицето на успоредник и триъгълник

Според дефиницията на кръстосаното произведение на векторите аи б |a xb | =| а | * |b |sin g , т.е. S par = |a x b |. И следователно D S \u003d 1/2 | a x b |.

Определяне на момента на силата спрямо точка

Нека в точка А е приложена сила F = ABостави О- някаква точка в пространството (виж фиг. 20).

От физиката е известно, че въртящ момент Е спрямо точката Онаречен вектор М,който минава през точката Ои:

1) перпендикулярна на равнината, минаваща през точките О, А, Б;

2) числено равно на произведението на силата и рамото

3) образува дясна тройка с вектори OA и A B .

Следователно M \u003d OA x F.

Намиране на линейната скорост на въртене

Скорост vточка М на твърдо тяло, въртящо се с ъглова скорост wоколо фиксирана ос, се определя от формулата на Ойлер v \u003d w x r, където r \u003d OM, където O е някаква фиксирана точка на оста (виж фиг. 21).

В тази статия ще се спрем на понятието кръстосано произведение на два вектора. Ще дадем необходимите дефиниции, ще запишем формула за намиране на координатите на векторен продукт, ще изброим и ще обосновем неговите свойства. След това ще се спрем на геометричния смисъл на кръстосаното произведение на два вектора и ще разгледаме решенията на различни типични примери.

Навигация в страницата.

Дефиниция на векторно произведение.

Преди да дадем дефиниция на кръстосано произведение, нека разгледаме ориентацията на подредена тройка вектори в триизмерното пространство.

Нека отложим вектори от една точка. В зависимост от посоката на вектора тройката може да бъде дясна или лява. Нека погледнем от края на вектора как най-краткият завой от вектора към . Ако най-краткото въртене е обратно на часовниковата стрелка, тогава се извиква тройката от вектори точно, в противен случай - наляво.

Сега нека вземем два неколинеарни вектора и . Отделете вектори и от точка А. Нека построим някакъв вектор, който е перпендикулярен на и и в същото време. Очевидно, когато конструираме вектор, можем да направим две неща, като му дадем една или обратна посока (вижте илюстрацията).

В зависимост от посоката на вектора подредената тройка вектори може да бъде дясна или лява.

Така се доближихме до определението за векторно произведение. Дадено е за два вектора, дадени в правоъгълна координатна систематриизмерно пространство.

Определение.

Векторно произведение на два вектораи , дадено в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, се нарича вектор, такъв че

Кръстосаното произведение на вектори и се означава като .

Координати на векторен продукт.

Сега даваме втората дефиниция на векторно произведение, което ни позволява да намерим неговите координати от координатите на дадените вектори и.

Определение.

В правоъгълна координатна система на тримерното пространство кръстосано произведение на два вектора и е вектор , където са координатни вектори.

Това определение ни дава кръстосаното произведение в координатна форма.

Удобно е векторният продукт да се представи като детерминанта на квадратна матрица от трети ред, чийто първи ред е ортът, вторият ред съдържа координатите на вектора, а третият ред съдържа координатите на вектора в дадена правоъгълна координатна система:

Ако разширим този детерминант с елементите на първия ред, тогава получаваме равенство от дефиницията на векторния продукт в координати (ако е необходимо, вижте статията):

Трябва да се отбележи, че координатната форма на кръстосаното произведение е напълно в съответствие с определението, дадено в първия параграф на тази статия. Освен това тези две дефиниции на кръстосано произведение са еквивалентни. Доказателството за този факт може да се намери в книгата, посочена в края на статията.

Векторни свойства на продукта.

Тъй като векторното произведение в координати може да бъде представено като детерминанта на матрицата, следното може лесно да бъде обосновано на базата векторни свойства на продукта:

Като пример, нека докажем свойството антикомутативност на векторен продукт.

А-приори и . Знаем, че стойността на детерминантата на матрица се обръща, когато два реда се разменят, така че, , което доказва свойството антикомутативност на векторния продукт.

Векторен продукт - примери и решения.

Основно има три вида задачи.

В задачите от първия тип са дадени дължините на два вектора и ъгълът между тях и се изисква да се намери дължината на напречното произведение. В този случай се използва формулата .

Пример.

Намерете дължината на кръстосаното произведение на вектори и ако е известна .

Решение.

От дефиницията знаем, че дължината на напречното произведение на вектори и е равна на произведението на дължините на векторите и умножено по синуса на ъгъла между тях, следователно, .

Отговор:

.

Задачите от втория тип са свързани с координати на вектори, в които чрез координатите на дадените вектори се търси векторното произведение, неговата дължина или нещо друго. и .

Тук има много различни опции. Например не координатите на векторите и , а техните разширения в координатни вектори от формата и , или вектори и могат да бъдат зададени чрез координатите на техните начални и крайни точки.

Нека разгледаме типични примери.

Пример.

В правоъгълна координатна система са дадени два вектора . Намерете тяхното векторно произведение.

Решение.

Съгласно втората дефиниция кръстосаното произведение на два вектора в координати се записва като:

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме записали векторното произведение през детерминантата

Отговор:

.

Пример.

Намерете дължината на напречното произведение на вектори и , където са ортите на правоъгълната декартова координатна система.

Решение.

Първо, намерете координатите на векторния продукт в дадена правоъгълна координатна система.

Тъй като векторите и имат координати и съответно (ако е необходимо, вижте статията векторни координати в правоъгълни координати), тогава по второто определение на векторното произведение, което имаме

Тоест, векторният продукт има координати в дадената координатна система.

Намираме дължината на векторен продукт като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати (получихме тази формула за дължината на вектор в раздела намиране на дължината на вектор):

Отговор:

.

Пример.

Координатите на три точки са дадени в правоъгълна декартова координатна система. Намерете някакъв вектор, който е перпендикулярен на и в същото време.

Решение.

Векторите и имат координати и съответно (вижте статията намиране на координатите на вектора чрез координатите на точките). Ако намерим кръстосаното произведение на вектори и , тогава по дефиниция това е вектор, перпендикулярен както на, така и на, тоест това е решението на нашия проблем. Нека го намерим

Отговор:

е един от перпендикулярните вектори.

В задачи от трети тип се проверява умението за използване на свойствата на векторното произведение на векторите. След прилагане на свойствата се прилагат съответните формули.

Пример.

Векторите и са перпендикулярни и техните дължини са съответно 3 и 4. Намерете дължината на векторното произведение .

Решение.

Чрез свойството на разпределимост на векторното произведение можем да запишем

По силата на асоциативното свойство изваждаме числовите коефициенти за знака на векторни произведения в последния израз:

Векторни продукти и са равни на нула, тъй като и , тогава .

Тъй като векторното произведение е антикомутативно, тогава .

И така, използвайки свойствата на векторното произведение, стигнахме до равенството .

По условие векторите и са перпендикулярни, т.е. ъгълът между тях е равен на . Тоест имаме всички данни, за да намерим необходимата дължина

Отговор:

.

Геометричният смисъл на векторното произведение.

По дефиниция дължината на кръстосаното произведение на векторите е . А от курса по геометрия в гимназията знаем, че площта на триъгълника е равна на половината от произведението на дължините на двете страни на триъгълника и синуса на ъгъла между тях. Следователно дължината на кръстосаното произведение е равна на удвоената площ на триъгълник със страни на векторите и , ако те са отложени от една точка. С други думи, дължината на напречното произведение на векторите и е равна на площта на успоредник със страни и и ъгъл между тях, равен на . Това е геометричното значение на векторното произведение.

Най-после се докопах до една обширна и дългоочаквана тема аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел от висшата математика... Със сигурност сега си спомняте училищния курс по геометрия с многобройни теореми, техните доказателства, рисунки и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното "аналитичен"? Две щамповани математически завои веднага идват на ум: „графичен метод на решение“ и „аналитичен метод на решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики, чертежи. Аналитиченедин и същ методвключва решаване на проблеми предимночрез алгебрични операции. В тази връзка алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен, често е достатъчно точно да се приложат необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, изобщо няма да мине без рисунки, освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги доведа повече от необходимостта.

Отвореният курс на уроци по геометрия не претендира за теоретична пълнота, той е фокусиран върху решаването на практически проблеми. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна справка за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, което без шега е познато на няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е издържала 20 (!) Преиздания, което, разбира се, не е границата.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за висше образование, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от полезрението ми и урокът ще бъде от безценна помощ.

И двете книги са безплатни за изтегляне онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтеглете примери по висша математика.

От инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетвърху аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте повторители)

И сега ще разгледаме последователно: концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати. По-нататък препоръчвам да прочетете най-важната статия Точково произведение на вектори, както и Вектор и смесено произведение на вектори. Местната задача няма да бъде излишна - Разделяне на сегмента в това отношение. Въз основа на горната информация можете уравнение на права линия в равнинас най-простите примери за решения, което ще позволи научете как да решавате задачи по геометрия. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права линия в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Концепцията за вектор. безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на отсечката е точката , краят на отсечката е точката . Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако пренаредите стрелката към другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да признаете, че влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е да се разглеждат отделни точки от една равнина, пространство като т.нар нулев вектор. Такъв вектор има еднакъв край и начало.

!!! Забележка: Тук и по-долу можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага обърнаха внимание на пръчка без стрелка в обозначението и казаха, че също поставят стрелка на върха! Точно така, можете да напишете със стрелка: , но допустимо и запис, който ще използвам по-късно. Защо? Очевидно такъв навик се е развил от практически съображения, стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде разнообразни и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинопис, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилът, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. Докато първата буква непременнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на отсечката. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака модул: ,

Как да намерим дължината на вектор, ще научим (или ще повторим, за кого как) малко по-късно.

Това беше елементарна информация за вектора, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Ако е съвсем просто - вектор може да бъде изчертан от всяка точка:

Използвахме да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка това е СЪЩИЯТ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в хода на решаването на проблеми можете да „прикрепите“ един или друг вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готин имот! Представете си вектор с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкрайно много пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има такава студентска поговорка: Всеки преподавател в f ** u във вектора. В края на краищата, не само остроумна рима, всичко е математически правилно - вектор може да бъде прикрепен и там. Но не бързайте да се радвате, самите ученици страдат по-често =)

Така, безплатен вектор- това е няколко еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор ...“, предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е прикрепен към определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение на вектора. Наистина, директен удар с еднаква сила по носа или по челото е достатъчен, за да се развие глупавият ми пример води до различни последствия. Въпреки това, не е безплатновектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

В училищния курс по геометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правилото за разликата на векторите, умножение на вектор по число, скаларно произведение на вектори и др.Като начало повтаряме две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правило за събиране на вектори по правилото на триъгълниците

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Необходимо е да се намери сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ние отлагаме вектора от крайвектор:

Сумата от векторите е векторът . За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло направи път по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от векторите е векторът на резултантния път, започващ от точката на тръгване и завършващ в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път силно зигзагообразно или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнетевектор , тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, за колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеаренако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното "колинеарни".

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съпосочен. Ако стрелките изглеждат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположно насочени.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайната икона за паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са сънасочени) или (векторите са насочени противоположно).

работана ненулев вектор по число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с изображение:

Разбираме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако факторът се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е два пъти по-малка от дължината на вектора. Ако модулният множител е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са съпосочни. Векторите и също са съпосочни. Всеки вектор от първата група е противоположен на всеки вектор от втората група.

Какви вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са еднопосочни и имат еднаква дължина. Имайте предвид, че ко-посоката предполага, че векторите са колинеарни. Дефиницията ще бъде неточна (излишна), ако кажете: "Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакво насочени и имат еднаква дължина."

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, който вече беше обсъден в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме вектори в равнина. Начертайте декартова правоъгълна координатна система и я оставете настрана от началото единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност, ние използваме думите съответно колинеарности ортогоналност.

Обозначаване:ортогоналността на векторите се записва с обичайния перпендикулярен знак, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базана повърхността. Каква е основата, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, по-подробна информация можете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Векторна основаС прости думи, основата и началото на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога конструираната основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: "орто" - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното "нормализиран" означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строг редбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено еразменете местата.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, където - числа, които се наричат векторни координатив тази основа. Но самият израз Наречен векторно разлаганебаза .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектора по базис се използват току-що разгледаните:
1) правилото за умножение на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено отделете вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че покварата му „ще го следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът "носи всичко със себе си". Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Странно е, че самите базисни (безплатни) вектори не трябва да се отделят от началото, единият може да бъде начертан например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени от това! Вярно е, че не е нужно да правите това, защото учителят също ще покаже оригиналност и ще ви нарисува „пас“ на неочаквано място.

Вектори, илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е сънасочен с базисния вектор, векторът е насочен срещуположно на базисния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, тя може да бъде щателно написана, както следва:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не ви казах за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. И така, разширенията на векторите "de" и "e" се записват спокойно като сума: . Пренаредете членовете на места и проследете чертежа колко ясно работи доброто старо събиране на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледана декомпозиция на формата понякога се нарича векторно разлагане в системата орт(т.е. в системата от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор, следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практическите задачи се използват и трите варианта на запис.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозапишете координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега помислете за векторите в триизмерното пространство, тук всичко е почти същото! Ще бъде добавена само още една координата. Трудно е да се изпълняват триизмерни чертежи, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отложа от произхода:

Всякакви 3d космически вектор единствения начинразширяване в ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в дадения базис.

Пример от снимката: . Нека да видим как работят правилата за векторни действия тук. Първо, умножаване на вектор по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (пурпурна стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, разбира се, също са свободни, опитайте се психически да отложите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разширяване „остава с него“.

Подобно на случая със самолета, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава вместо тях се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) - записвам ;
вектор (щателно ) - записвам ;
вектор (щателно ) - записвам .

Базисните вектори се записват, както следва:

Тук може би са всички минимални теоретични знания, необходими за решаване на задачи на аналитичната геометрия. Може би има твърде много термини и определения, така че препоръчвам на манекените да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок за по-добро усвояване на материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална база, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в това, което следва. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест, колоквиум по геометрия, тъй като внимателно кодирам всички теореми (освен без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на субекта. За подробна теоретична информация моля да се поклоните на професор Атанасян.

Сега да преминем към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Задачите, които ще се разглеждат, е силно желателно да се научите да ги решавате напълно автоматично, а формулите запаметявам, дори не го помнете нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки. Не е нужно да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули ... ще видите сами.

Как да намеря вектор с две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати векторно начало.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки в равнината и . Намерете векторни координати

решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следната нотация:

Естетите ще решат така:

Лично аз съм свикнал с първата версия на записа.

Отговор:

Съгласно условието не се изискваше изграждане на чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да обясня някои точки на манекени, няма да бъда твърде мързелив:

Трябва да се разбере разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точкиса обичайните координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как да начертае точки в координатната равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на същия векторе нейното разширяване спрямо основата , в случая . Всеки вектор е свободен, следователно, ако е необходимо, можем лесно да го отложим от друга точка в равнината. Интересното е, че за вектори изобщо не можете да построите оси, правоъгълна координатна система, имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на точкови координати и векторни координати изглеждат подобни: , и чувство за координатиабсолютно различно, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за космоса.

Дами и господа, пълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки и . Намерете вектори и .
в) Дадени точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би достатъчно. Това са примери за самостоятелно решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Чертежи не са задължителни. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи на аналитичната геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Извинявам се предварително ако съм сгрешил =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли по формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - не е вектор, и не можете да го преместите никъде, разбира се. Освен това, ако завършите чертежа в мащаб: 1 единица. \u003d 1 cm (две тетрадни клетки), тогава отговорът може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на сегмента.

Да, решението е кратко, но в него има няколко важни момента, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора задаваме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно общата формулировка ще бъде математически компетентно решение: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглеждания проблем:

обръщам внимание на важен технически трик – изваждане на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията получихме резултата и добрият математически стил включва изваждане на множителя изпод корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, оставянето на отговора във формуляра няма да е грешка – но определено е недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често се получава достатъчно голям брой под корена, например. Как да бъдем в такива случаи? На калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4:. Да, разделете напълно, така: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно не е възможно. Опитвам се да разделя на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим напълно неизвличащо се число, тогава се опитваме да извадим фактора под корена - на калкулатора проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49, и т.н.

В хода на решаването на различни задачи често се откриват корени, винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-нисък резултат и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения според забележката на учителя.

Нека повторим квадратурата на корените и другите степени едновременно:

Правилата за действия със степени в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че всичко или почти всичко вече е ясно от дадените примери.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дадени точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решение и отговор в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .