Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока: въведе понятието двустенен ъгъл и неговия линеен ъгъл;

разглеждат задачи за прилагане на тези понятия;

формиране на конструктивно умение за намиране на ъгъла между равнините;

разгледайте задачи за прилагане на тези понятия.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Информирайте темата на урока, оформете целите на урока.

II. Актуализиране на знанията на учениците (слайд 2, 3).

1. Подготовка за изучаване на нов материал.

Какво се нарича ъгъл на равнина?

Как се нарича ъгълът между правите в пространството?

Как се нарича ъгълът между права и равнина?

Формулирайте теоремата за трите перпендикуляра

III. Учене на нов материал.

• Концепцията за двустенен ъгъл.

Фигурата, образувана от две полуравнини, минаващи през правата MN, се нарича двустенен ъгъл (слайд 4).

Полуравнините са лица, правата MN е ръб на двустенен ъгъл.

Какви предмети от ежедневието имат формата на двустенен ъгъл? (Слайд 5)

• Ъгълът между равнините ACH и CHD е двустенният ъгъл ACND, където CH е ребро. Точките A и D лежат на лицата на този ъгъл. Ъгъл AFD е линейният ъгъл на двустенния ъгъл ACHD (слайд 6).

• Алгоритъм за построяване на линеен ъгъл (слайд 7).

1 начин. На ръба вземете произволна точка O и начертайте перпендикуляри към тази точка (PO DE, KO DE) и вземете ъгъла ROCK - линеен.

2 начина. Вземете точка K в една полуравнина и пуснете два перпендикуляра от нея към другата полуравнина и ръб (KO и KR), след това по обратната TTP теорема PODE

• Всички линейни ъгли на двустенен ъгъл са равни (слайд 8). Доказателство: лъчите OA и O 1 A 1 са еднакво насочени, лъчите OB и O 1 B 1 също са еднакво насочени, ъглите BOA и B 1 O 1 A 1 са равни като ъгли с еднакви страни.

• Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл (слайд 9).

IV. Затвърдяване на изучения материал.

• Решаване на задачи (устно по готови чертежи). (Слайдове 10-12)

1. РАВС - пирамида; ъгълът ACB е 90°, правата PB е перпендикулярна на равнината ABC. Докажете, че ъгълът PCB е линеен ъгъл на двустенен ъгъл с

2. РАВС - пирамида; AB \u003d BC, D е средата на сегмента AC, правата PB е перпендикулярна на равнината ABC. Докажете, че ъгъл PDB е линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб AC.

3. PABCD - пирамида; права PB е перпендикулярна на равнината ABC, BC е перпендикулярна на DC. Докажете, че ъгъл PKB е линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб CD.

• Задачи за построяване на линеен ъгъл (слайдове 13-14).

1. Постройте линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб AC, ако в пирамидата RABC лицето ABC е правилен триъгълник, O е пресечната точка на медианите, правата RO е перпендикулярна на равнината ABC

2. Даден е ромб ABCD Правата PC е перпендикулярна на равнината ABCD.

Построете линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ребро BD и линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ребро AD.

• Изчислителна задача. (Слайд 15)

В успоредника ABCD ъгълът ADC е 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, правата PC е перпендикулярна на равнината ABC, PC = 9 cm.

Намерете стойността на двустенния ъгъл с ръба AD и площта на успоредника.

V. Домашна работа (слайд 16).

С. 22, № 168, 171.

Използвани книги:

1. Геометрия 10-11 Л.С.Атанасян.
2. Системата от задачи по темата „Двустенни ъгли“ от М. В. Севостьянова (Мурманск), списание Математика в училище 198 ...

ТЕКСТ ОБЯСНЕНИЕ НА УРОКА:

В планиметрията основните обекти са линии, отсечки, лъчи и точки. Лъчите, излизащи от една точка, образуват една от техните геометрични фигури - ъгъл.

Знаем, че линейният ъгъл се измерва в градуси и радиани.

В стереометрията към обектите се добавя равнина. Фигурата, образувана от правата a и две полуравнини с обща граница a, които не принадлежат на една и съща равнина в геометрията, се нарича двустенен ъгъл. Полуравнините са лицата на двустенния ъгъл. Правата a е ръбът на двустенния ъгъл.

Двустенният ъгъл, подобно на линеен ъгъл, може да бъде назован, измерен, построен. Това е, което ще разберем в този урок.

Намерете двустенния ъгъл върху модела на тетраедър ABCD.

Двустенен ъгъл с ръб AB се нарича CABD, където точките C и D принадлежат на различни лица на ъгъла, а ръбът AB се нарича в средата

Около нас има много обекти с елементи под формата на двустенен ъгъл.

В много градове в парковете са поставени специални пейки за помирение. Пейката е направена под формата на две наклонени равнини, събиращи се към центъра.

При строителството на къщи често се използва така нареченият двускатен покрив. Покривът на тази къща е направен под формата на двустенен ъгъл от 90 градуса.

Двустенният ъгъл също се измерва в градуси или радиани, но как да го измерим.

Интересно е да се отбележи, че покривите на къщите лежат върху гредите. А щайгата на гредите образува два покривни наклона под определен ъгъл.

Нека прехвърлим изображението върху чертежа. На чертежа, за да се намери двустенен ъгъл, на ръба му се отбелязва точка B. От тази точка се изтеглят две греди BA и BC, перпендикулярни на ръба на ъгъла. Ъгълът ABC, образуван от тези лъчи, се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл.

Градусната мярка на двустенния ъгъл е равна на градусната мярка на неговия линеен ъгъл.

Нека измерим ъгъла AOB.

Градусната мярка на даден двустенен ъгъл е шестдесет градуса.

Линейни ъгли за двустенен ъгъл могат да бъдат начертани в безкраен брой, важно е да знаете, че всички те са равни.

Да разгледаме два линейни ъгъла AOB и A1O1B1. Лъчите OA и O1A1 лежат в едно лице и са перпендикулярни на правата OO1, така че са еднакво насочени. Лъчите OB и O1B1 също са еднакво насочени. Следователно ъгълът AOB е равен на ъгъла A1O1B1 като ъгли със съпосочни страни.

Така че двустенният ъгъл се характеризира с линеен ъгъл, а линейните ъгли са остри, тъпи и прави. Разгледайте модели на двустенни ъгли.

Тъп ъгъл е този, чийто линеен ъгъл е между 90 и 180 градуса.

Прав ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е 90 градуса.

Остър ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е между 0 и 90 градуса.

Нека докажем едно от важните свойства на линейния ъгъл.

Равнината на линейния ъгъл е перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл.

Нека ъгълът AOB е линейният ъгъл на дадения двустенен ъгъл. По построение лъчите AO и OB са перпендикулярни на правата a.

Равнината AOB минава през две пресичащи се прави AO и OB съгласно теоремата: Една равнина минава през две пресичащи се прави и освен това само една.

Правата a е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина, което означава, че по знака на перпендикулярността на правата и равнината правата a е перпендикулярна на равнината AOB.

За решаване на задачи е важно да можете да построите линеен ъгъл на даден двустенен ъгъл. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл с ръба AB за тетраедъра ABCD.

Говорим за двустенен ъгъл, който се образува, първо, от ръба AB, едната страна ABD, втората повърхност ABC.

Ето един начин за изграждане.

Нека начертаем перпендикуляр от точка D към равнината ABC, отбелязваме точката M като основа на перпендикуляра. Припомнете си, че в тетраедър основата на перпендикуляра съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на тетраедъра.

Начертайте наклон от точка D перпендикулярно на ръба AB, маркирайте точка N като основа на наклона.

В триъгълника DMN отсечката NM ще бъде проекцията на наклонената DN върху равнината ABC. Според теоремата за трите перпендикуляра ръбът AB ще бъде перпендикулярен на проекцията NM.

Това означава, че страните на ъгъла DNM са перпендикулярни на ръба AB, което означава, че построеният ъгъл DNM е търсеният линеен ъгъл.

Помислете за пример за решаване на задачата за изчисляване на двустенния ъгъл.

Равнобедреният триъгълник ABC и правилният триъгълник ADB не лежат в една равнина. Отсечката CD е перпендикулярна на равнината ADB. Намерете двустенния ъгъл DABC, ако AC=CB=2cm, AB=4cm.

Двустенният ъгъл DABC е равен на своя линеен ъгъл. Нека построим този ъгъл.

Нека начертаем наклонена SM перпендикулярна на ръба AB, тъй като триъгълникът ACB е равнобедрен, тогава точката M ще съвпадне със средата на ръба AB.

Правата CD е перпендикулярна на равнината ADB, което означава, че е перпендикулярна на правата DM, лежаща в тази равнина. А отсечката MD е проекцията на наклонената SM върху равнината ADB.

По построение правата AB е перпендикулярна на наклонената CM, което означава, че по теоремата за трите перпендикуляра е перпендикулярна на проекцията MD.

И така, два перпендикуляра CM и DM са открити към ръба AB. Така те образуват линеен ъгъл СMD на двустенен ъгъл DABC. И остава да го намерим от правоъгълния триъгълник СDM.

Тъй като отсечката SM е медианата и височината на равнобедрения триъгълник ASV, то според Питагоровата теорема катетът на SM е 4 cm.

От правоъгълен триъгълник DMB според Питагоровата теорема катетът DM е равен на два корена от три.

Косинусът на ъгъл от правоъгълен триъгълник е равен на отношението на съседния катет MD към хипотенузата CM и е равен на три корена от три по две. Така че ъгълът CMD е 30 градуса.

В геометрията се използват две важни характеристики за изучаване на фигури: дължините на страните и ъглите между тях. В случай на пространствени фигури към тези характеристики се добавят двустенни ъгли. Нека да разгледаме какво е това и също така да опишем метода за определяне на тези ъгли, като използваме примера на пирамида.

Концепцията за двустенен ъгъл

Всеки знае, че две пресичащи се прави образуват ъгъл с върха в точката на тяхното пресичане. Този ъгъл може да бъде измерен с транспортир или можете да използвате тригонометрични функции, за да го изчислите. Ъгъл, образуван от два прави ъгъла, се нарича линеен ъгъл.

Сега си представете, че в триизмерното пространство има две равнини, които се пресичат по права линия. Показани са на снимката.

Двустенният ъгъл е ъгълът между две пресичащи се равнини. Точно като линеен, той се измерва в градуси или радиани. Ако до която и да е точка от правата линия, по която се пресичат равнините, възстановете два перпендикуляра, лежащи в тези равнини, тогава ъгълът между тях ще бъде желаният двустен. Най-лесният начин да определите този ъгъл е да използвате общите уравнения на равнините.

Уравнението на равнините и формулата за ъгъла между тях

Уравнението на всяка равнина в пространството в общи линии се записва, както следва:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Тук x, y, z са координатите на точки, принадлежащи на равнината, коефициентите A, B, C, D са някои известни числа. Удобството на това равенство за изчисляване на двустенни ъгли е, че то изрично съдържа координатите на насочващия вектор на равнината. Ще го обозначим с n¯. Тогава:

Векторът n¯ е перпендикулярен на равнината. Ъгълът между две равнини е равен на ъгъла между техните n 1 ¯ и n 2 ¯. От математиката е известно, че ъгълът, образуван от два вектора, се определя еднозначно от тяхното скаларно произведение. Това ви позволява да напишете формула за изчисляване на двустенния ъгъл между две равнини:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Ако заместим координатите на векторите, тогава формулата ще бъде написана изрично:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Знакът за модул в числителя се използва за определяне само на остър ъгъл, тъй като двустенният ъгъл винаги е по-малък или равен на 90 o .

Пирамида и нейните ъгли

Пирамидата е фигура, образувана от един n-ъгълник и n триъгълника. Тук n е цяло число, равно на броя на страните на многоъгълника, който е основата на пирамидата. Тази пространствена фигура е полиедър или многостен, тъй като се състои от плоски лица (страни).

Пирамидалните полиедри могат да бъдат два вида:

• между основата и страната (триъгълник);
• между двете страни.

Ако пирамидата се счита за правилна, тогава не е трудно да се определят посочените ъгли за нея. За да направите това, според координатите на три известни точки, трябва да се състави уравнение на равнините и след това да се използва формулата, дадена в параграфа по-горе за ъгъла φ.

По-долу даваме пример, в който показваме как да намерим двустенни ъгли в основата на четириъгълна правилна пирамида.

Четириъгълник и ъгълът при основата му

Да предположим, че ни е дадена правилна пирамида с квадратна основа. Дължината на страната на квадрата е a, височината на фигурата е h. Намерете ъгъла между основата на пирамидата и нейната страна.

Поставяме началото на координатната система в центъра на квадрата. Тогава координатите на точки A, B, C, D, показани на фигурата, ще бъдат равни на:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Разгледайте равнините ACB и ADB. Очевидно векторът на посоката n 1 ¯ за равнината ACB ще бъде равен на:

За да определим насочващия вектор n 2 ¯ на равнината ADB, процедираме по следния начин: намираме произволни два вектора, които й принадлежат, например AD¯ и AB¯, след което изчисляваме техния кръстосан продукт. Резултатът му ще даде координатите n 2 ¯. Ние имаме:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Тъй като умножението и деленето на вектор с число не променя посоката му, ние трансформираме полученото n 2 ¯, разделяйки неговите координати на -a, получаваме:

Дефинирахме насочващи вектори n 1 ¯ и n 2 ¯ за базовите равнини ACB и страничната страна ADB. Остава да използваме формулата за ъгъла φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Нека трансформираме получения израз и го пренапишем така:

φ \u003d arccos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

Получихме формулата за двустенния ъгъл при основата на правилна четириъгълна пирамида. Познавайки височината на фигурата и дължината на нейната страна, можете да изчислите ъгъла φ. Например, за пирамидата на Хеопс, чиято страна на основата е 230,4 метра, а първоначалната височина е 146,5 метра, ъгълът φ ще бъде равен на 51,8 o.

Можете също така да определите двустенния ъгъл за четириъгълна правилна пирамида, като използвате геометричния метод. За да направите това, достатъчно е да разгледате правоъгълен триъгълник, образуван от височина h, половината от дължината на основата a / 2 и апотема на равнобедрен триъгълник.

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

ДВОЕН ЪГЪЛ Учител по математика GOU средно училище №10 Eremenko M.A.

Основните цели на урока: Въвеждане на понятието двустенен ъгъл и неговия линеен ъгъл Обмислете задачи за прилагане на тези понятия

Определение: Двустенният ъгъл е фигура, образувана от две полуравнини с обща гранична линия.

Стойността на двустенния ъгъл е стойността на неговия линеен ъгъл. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB е линейният ъгъл на двустенния ъгъл ACD B

Нека докажем, че всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни един на друг. Да разгледаме два линейни ъгъла AOB и A 1 OB 1 . Лъчите OA и OA 1 лежат на едно лице и са перпендикулярни на OO 1, така че са еднакво насочени. Лъчите OB и OB 1 също са еднакво насочени. Следователно ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (като ъгли със съпосочни страни).

Примери за двустенни ъгли:

Определение: Ъгълът между две пресичащи се равнини е най-малкият от двустенните ъгли, образувани от тези равнини.

Задача 1: В куба A ... D 1 да се намери ъгълът между равнините ABC и CDD 1 . Отговор: 90o.

Задача 2: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ABC и CDA 1 . Отговор: 45o.

Задача 3: В куба A ... D 1 да се намери ъгълът между равнините ABC и BDD 1 . Отговор: 90o.

Задача 4: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините ACC 1 и BDD 1 . Отговор: 90o.

Задача 5: В куба A ... D 1 намерете ъгъла между равнините BC 1 D и BA 1 D . Решение: Нека O е средата на B D. A 1 OC 1 е линейният ъгъл на двустенния ъгъл A 1 B D C 1 .

Задача 6: В тетраедъра DABC всички ръбове са равни, точка M е средата на ребро AC. Докажете, че ∠ DMB е линеен ъгъл на двустенен ъгъл BACD.

Решение: Триъгълниците ABC и ADC са правилни, така че BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и следователно ∠ DMB е линеен ъгъл на двустенен ъгъл DACB.

Задача 7: От върха B на триъгълника ABC, чиято страна AC лежи в равнината α, е прекаран перпендикуляр BB 1 към тази равнина. Намерете разстоянието от точка B до правата AC и до равнината α, ако AB=2, ∠BAC=150 0 и двустенният ъгъл BACB 1 е 45 0 .

Решение: ABC е тъп триъгълник с тъп ъгъл A, така че основата на височина BK лежи върху продължението на страната AC. VC е разстоянието от точка B до AC. BB 1 - разстоянието от точка B до равнината α

2) Тъй като AS ⊥VK, то AS⊥KV 1 (по теоремата, обратна на теоремата за трите перпендикуляра). Следователно ∠VKV 1 е линейният ъгъл на двустенния ъгъл BACB 1 и ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d

Ъгълът между две различни равнини може да се определи за всяка относителна позиция на равнините.

Тривиалният случай е, ако равнините са успоредни. Тогава ъгълът между тях се счита за равен на нула.

Нетривиален случай, ако равнините се пресичат. Този случай е обект на по-нататъшно обсъждане. Първо се нуждаем от понятието двустенен ъгъл.

9.1 Двустенен ъгъл

Двустенен ъгъл са две полуравнини с обща права линия (която се нарича ръб на двустенен ъгъл). На фиг. 50 показва двустенен ъгъл, образуван от полуравнини и; ръбът на този двустенен ъгъл е правата a, обща за дадените полуравнини.

Ориз. 50. Двустенен ъгъл

Двустенният ъгъл може да бъде измерен в градуси или радиани с една дума, въведете ъгловата стойност на двустенния ъгъл. Това става по следния начин.

На ръба на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините и, вземаме произволна точка M. Нека начертаем лъчите MA и MB, лежащи съответно в тези полуравнини и перпендикулярни на ръба (фиг. 51).

Ориз. 51. Линеен ъгъл двустенен ъгъл

Полученият ъгъл AMB е линейният ъгъл на двустенния ъгъл. Ъгълът " = \AMB е точно ъгловата стойност на нашия двустенен ъгъл.

Определение. Ъгловата величина на двустенния ъгъл е големината на линейния ъгъл на даден двустенен ъгъл.

Всички линейни ъгли на двустенен ъгъл са равни един на друг (в крайна сметка те се получават един от друг чрез паралелно изместване). Следователно това определение е правилно: стойността "не зависи от конкретния избор на точка М на ръба на двустенния ъгъл.

9.2 Определяне на ъгъла между равнините

При пресичане на две равнини се получават четири двустенни ъгъла. Ако всички те имат еднаква стойност (90 всяка), тогава равнините се наричат ​​перпендикулярни; тогава ъгълът между равнините е 90 .

Ако не всички двустенни ъгли са еднакви (т.е. има два остри и два тъпи), тогава ъгълът между равнините е стойността на острия двустенен ъгъл (фиг. 52).

Ориз. 52. Ъгъл между равнините

9.3 Примери за решаване на проблеми

Нека разгледаме три задачи. Първият е прост, вторият и третият са приблизително на ниво C2 на изпита по математика.

Задача 1. Намерете ъгъла между две страни на правилен тетраедър.

Решение. Нека ABCD е правилен тетраедър. Нека начертаем медианите AM и DM на съответните лица, както и височината на тетраедъра DH (фиг. 53).

Ориз. 53. Към задача 1

Като медиани AM и DM са и височините на равностранните триъгълници ABC и DBC. Следователно ъгълът " = \AMD е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от лицата ABC и DBC. Намираме го от триъгълника DHM:

			1 сутринта

Отговор: arccos 1 3 .

Задача 2. В правилна четириъгълна пирамида SABCD (с връх S) страничният ръб е равен на страната на основата. Точка K е средата на ръба SA. Намерете ъгъла между равнините

Решение. Правата BC е успоредна на AD и следователно е успоредна на равнината ADS. Следователно равнината KBC пресича равнината ADS по правата KL, успоредна на BC (фиг. 54).

Ориз. 54. Към задача 2

В този случай KL също ще бъде успореден на правата AD; следователно KL е средната линия на триъгълник ADS, а точката L е средната точка на DS.

Начертайте височината на пирамидата SO. Нека N е средата на DO. Тогава LN е средната линия на триъгълника DOS и следователно LN k SO. Така че LN е перпендикулярна на равнината ABC.

От точката N пускаме перпендикуляра NM на правата BC. Правата NM ще бъде проекцията на наклонената LM върху равнината ABC. Тогава от теоремата за трите перпендикуляра следва, че LM също е перпендикулярна на BC.

Така ъгълът " = \LMN е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините KBC и ABC. Ще търсим този ъгъл от правоъгълния триъгълник LMN.

Нека ръбът на пирамидата е a. Първо намерете височината на пирамидата:

SO=p

Решение. Нека L е пресечната точка на правите A1 K и AB. Тогава равнината A1 KC пресича равнината ABC по правата CL (фиг.55).

А ° С

Ориз. 55. Задача 3

Триъгълниците A1 B1 K и KBL са равни по катет и остър ъгъл. Следователно другите катети също са равни: A1 B1 = BL.

Помислете за триъгълник ACL. В него BA = BC = BL. Ъгълът CBL е 120; така че \BCL = 30 . Също така \BCA = 60 . Следователно \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Така че LC? AC. Но правата AC е проекцията на правата A1 C върху равнината ABC. По теоремата за трите перпендикуляра тогава заключаваме, че LC ? A1C.

Така ъгълът A1 CA е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините A1 KC и ABC. Това е необходимият ъгъл. От равнобедрения правоъгълен триъгълник A1 AC виждаме, че той е равен на 45 .