Каква е сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник. правилен многоъгълник

В основния курс по геометрия се доказва, че сборът от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180° (n-2). Оказва се, че това твърдение е вярно и за неизпъкнали многоъгълници.

Теорема 3. Сумата от ъглите на произволен n-ъгълник е 180° (n - 2).

Доказателство. Нека разделим многоъгълника на триъгълници, като начертаем диагонали (фиг. 11). Броят на тези триъгълници е n-2, а във всеки триъгълник сборът от ъглите е 180°. Тъй като ъглите на триъгълниците са ъглите на многоъгълника, сумата от ъглите на многоъгълника е 180° (n - 2).

Нека сега разгледаме произволни затворени начупени линии, евентуално със самопресичане A1A2…AnA1 (фиг. 12, а). Такива самопресичащи се прекъснати линии ще се наричат звездообразни многоъгълници (фиг. 12, b-d).

Нека фиксираме посоката на броене на ъглите обратно на часовниковата стрелка. Обърнете внимание, че ъглите, образувани от затворена полилиния, зависят от посоката, в която тя се пресича. Ако посоката на обхода на полилинията е обърната, тогава ъглите на многоъгълника ще бъдат ъглите, които допълват ъглите на оригиналния многоъгълник до 360°.

Ако M е многоъгълник, образуван от проста затворена счупена линия, минаваща по посока на часовниковата стрелка (фиг. 13, а), тогава сумата от ъглите на този многоъгълник ще бъде равна на 180 ° (n - 2). Ако прекъснатата линия се премине в посока, обратна на часовниковата стрелка (фиг. 13, b), тогава сумата от ъглите ще бъде равна на 180 ° (n + 2).

Така общата формула за сумата от ъглите на многоъгълник, образуван от проста затворена полилиния, има формата = 180 ° (n 2), където е сумата от ъглите, n е броят на ъглите на многоъгълника, " +" или "-" се взема в зависимост от посоката на заобикаляне на полилинията.

Нашата задача е да изведем формула за сумата от ъглите на произволен многоъгълник, образуван от затворена (евентуално самопресичаща се) полилиния. За да направим това, въвеждаме понятието степен на многоъгълник.

Степента на многоъгълник е броят на завъртанията, направени от точка по време на пълно последователно заобикаляне на нейните страни. Освен това завоите, направени в посока, обратна на часовниковата стрелка, се считат със знака "+", а завоите по посока на часовниковата стрелка - със знака "-".

Ясно е, че степента на многоъгълник, образуван от обикновена затворена прекъсната линия, е +1 или -1, в зависимост от посоката на преминаване. Степента на начупената линия на фигура 12, a е равна на две. Степента на звездните седмоъгълници (фиг. 12, c, d) е равна съответно на две и три.

Понятието степен се дефинира по подобен начин за затворени криви в равнината. Например степента на кривата, показана на фигура 14, е две.

За да намерите степента на многоъгълник или крива, можете да продължите по следния начин. Да предположим, че, движейки се по кривата (фиг. 15, а), ние, започвайки от някое място A1, направихме пълен завой и завършихме в същата точка A1. Нека премахнем съответния участък от кривата и продължим да се движим по останалата крива (фиг. 15b). Ако, започвайки от някое място A2, отново направихме пълен завой и стигнахме до същата точка, тогава изтриваме съответния участък от кривата и продължаваме да се движим (фиг. 15, c). Преброявайки броя на отдалечените секции със знаци "+" или "-", в зависимост от посоката им на байпас, получаваме желаната степен на кривата.

Теорема 4. За произволен многоъгълник формулата

180° (n+2m),

където е сумата от ъглите, n е броят на ъглите, m е степента на многоъгълника.

Доказателство. Нека многоъгълникът M има степен m и е условно показан на фигура 16. M1, …, Mk са прости затворени начупени линии, преминавайки през които точката прави пълни завои. A1, …, Ak са съответните самопресечни точки на полилинията, които не са нейни върхове. Нека означим броя на върховете на многоъгълника M, които са включени в многоъгълниците M1, …, Mk съответно с n1, …, nk. Тъй като в допълнение към върховете на многоъгълника M към тези многоъгълници се добавят върхове A1, …, Ak, броят на върховете на многоъгълниците M1, …, Mk ще бъде равен на n1+1, …, nk+1, съответно. Тогава сумата от техните ъгли ще бъде равна на 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс или минус се взема в зависимост от посоката на заобикаляне на прекъснати линии. Сумата от ъглите на многоъгълника M0, останали от многоъгълника M след премахването на многоъгълниците M1, ..., Mk, е равна на 180° (n-n1- ...-nk+k2). Сумите от ъглите на многоъгълниците M0, M1, …, Mk дават сумата от ъглите на многоъгълника M, а във всеки връх A1, …, Ak допълнително получаваме 360°. Следователно имаме равенство

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

където m е степента на многоъгълника M.

Като пример, помислете за изчисляването на сумата от ъглите на звездичка с пет точки (фиг. 17, а). Степента на съответната затворена полилиния е -2. Следователно желаната сума от ъглите е 180.

В 8. клас в часовете по геометрия в училище учениците за първи път се запознават с понятието изпъкнал многоъгълник. Много скоро те ще научат, че тази фигура има много интересно свойство. Колкото и да е сложно, сумата от всички вътрешни и външни ъгли на изпъкнал многоъгълник приема строго определена стойност. В тази статия учител по математика и физика говори за това каква е сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник.

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник

Как да докажа тази формула?

Преди да преминем към доказателството на това твърдение, припомняме кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Многоъгълник се нарича изпъкнал, ако лежи изцяло от едната страна на линията, съдържаща някоя от страните му. Например този, показан на тази снимка:

Ако многоъгълникът не отговаря на посоченото условие, тогава той се нарича неизпъкнал. Например така:

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е , където е броят на страните на многоъгълника.

Доказателството за този факт се основава на теоремата за сумата от ъглите в триъгълник, добре позната на всички ученици. Сигурен съм, че сте запознати с тази теорема. Сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е .

Идеята е да се раздели изпъкнал многоъгълник на множество триъгълници. Това може да стане по различни начини. В зависимост от метода, който избираме, доказателствата ще бъдат малко по-различни.

1. Разделете изпъкнал многоъгълник на триъгълници чрез всички възможни диагонали, изтеглени от някакъв връх. Лесно е да се разбере, че тогава нашият n-gon ще бъде разделен на триъгълници:

Освен това сборът от всички ъгли на всички получени триъгълници е равен на сбора от ъглите на нашия n-ъгълник. В крайна сметка всеки ъгъл в получените триъгълници е частичен ъгъл в нашия изпъкнал многоъгълник. Тоест необходимото количество е равно на .

2. Можете също да изберете точка вътре в изпъкналия многоъгълник и да я свържете с всички върхове. Тогава нашият n-gon ще бъде разделен на триъгълници:

Освен това сборът от ъглите на нашия многоъгълник в този случай ще бъде равен на сбора от всички ъгли на всички тези триъгълници минус централния ъгъл, който е равен на . Тоест желаната сума отново е равна на .

Сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник

Нека сега си зададем въпроса: „Каква е сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник?“ На този въпрос може да се отговори по следния начин. Всеки външен ъгъл е в съседство със съответния вътрешен ъгъл. Следователно е равно на:

Тогава сумата от всички външни ъгли е . Тоест е равно на .

Това е много смешен резултат. Ако оставим настрана последователно един след друг всички външни ъгли на всеки изпъкнал n-ъгълник, тогава в резултат точно цялата равнина ще бъде запълнена.

Този интересен факт може да се илюстрира по следния начин. Нека пропорционално намалим всички страни на някакъв изпъкнал многоъгълник, докато се слее в точка. След като това се случи, всички външни ъгли ще бъдат отделени един от друг и така ще запълнят цялата равнина.

Интересен факт, нали? И има много такива факти в геометрията. Така че учете геометрия, скъпи ученици!

Материалът за това на какво е равна сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник е подготвен от Сергей Валериевич

Нека е даден изпъкнал многоъгълник и n > 3. След това начертайте n-3 диагонала от един връх към противоположни върхове: . Тъй като многоъгълникът е изпъкнал, тези диагонали го разделят на n - 2 триъгълника: . Сборът от ъглите на многоъгълника е същият като сбора от ъглите на всички тези триъгълници. Сборът от ъглите във всеки триъгълник е 180°, а броят на тези триъгълници е n-2. Следователно сумата от ъглите на n-ъгълник е 180°(n-2). Теоремата е доказана.

Коментирайте

За неизпъкнал n-ъгълник сумата от ъглите също е 180°(n-2). Доказателството е подобно, но използва в допълнение лемата, че всеки многоъгълник може да бъде разрязан от диагонали на триъгълници.

Бележки

Теоремата за сбора на многоъгълни ъгли не е валидна за многоъгълници върху сфера (а също и върху всяка друга изкривена равнина, освен в някои случаи). Вижте неевклидови геометрии за подробности.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво представлява "теоремата за сумата на ъглите на многоъгълник" в други речници:

Триъгълник Теоремата за сумата от ъгли на триъгълник е класическа теорема на евклидовата геометрия. Твърди, че ... Wikipedia

- ... Уикипедия

Твърди, че всеки два полигона с еднаква площ са с еднакъв размер. По-формално: нека P и Q са два многоъгълника с еднаква площ. След това те могат да бъдат нарязани съответно на многоъгълници и, така за всяка ... Wikipedia

Теоремата на Болай Гервин гласи, че всеки два многоъгълника с еднаква площ са с еднакъв размер. По-формално: Нека и са два многоъгълника с еднаква площ. След това те могат да бъдат нарязани съответно на многоъгълници и така за ... ... Wikipedia

- ... Уикипедия

Този термин има други значения, вижте Триъгълник (значения). Триъгълник (в евклидовото пространство) е геометрична фигура, образувана от три отсечки, които свързват три нелинейни точки. Три точки, ... ... Уикипедия

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

прекъсната линия

Определение

прекъсната линия, или по-кратко, прекъсната линия, се нарича крайна последователност от сегменти, така че един от краищата на първия сегмент служи като край на втория, другият край на втория сегмент служи като край на третия и т.н. В този случай съседните сегменти не лежат на една и съща права линия. Тези сегменти се наричат полилинейни връзки.

Видове прекъсната линия

Прекъснатата линия се нарича затворенако началото на първия сегмент съвпада с края на последния.

Прекъснатата линия може да се пресича, да се докосва, да се опира на себе си. Ако няма такива особености, тогава се нарича такава прекъсната линия просто.

Многоъгълници

Определение

Проста затворена полилиния, заедно с част от равнината, ограничена от нея, се нарича многоъгълник.

Коментирайте

Във всеки връх на многоъгълник неговите страни определят някакъв ъгъл на многоъгълника. Може да бъде или по-малко от разгърнато, или повече от разгърнато.

Имот

Всеки многоъгълник има ъгъл по-малък от $180^\circ$.

Доказателство

Нека е даден многоъгълник $P$.

Нека начертаем някаква права линия, която не го пресича. Ще го преместим успоредно на страната на многоъгълника. В даден момент за първи път получаваме права $a$, която има поне една обща точка с многоъгълника $P$. Многоъгълникът лежи от едната страна на тази права (нещо повече, някои от точките му лежат на правата $a$).

Правата $a$ съдържа поне един връх на многоъгълника. В него се събират двете му страни, разположени от една и съща страна на правата $a$ (включително и в случая, когато една от тях лежи на тази права). Така че в този връх ъгълът е по-малък от развития.

Определение

Многоъгълникът се нарича изпъкналако лежи от едната страна на всеки ред, съдържащ неговата страна. Ако многоъгълникът не е изпъкнал, се нарича неизпъкнал.

Коментирайте

Изпъкнал многоъгълник е пресечната точка на полуравнини, ограничени от прави, които съдържат страните на многоъгълника.

Свойства на изпъкнал многоъгълник

Изпъкнал многоъгълник има всички ъгли, по-малки от $180^\circ$.

Отсечка, свързваща произволни две точки от изпъкнал многоъгълник (в частност всеки от неговите диагонали), се съдържа в този многоъгълник.

Доказателство

Нека докажем първото свойство

Вземете всеки ъгъл $A$ на изпъкнал многоъгълник $P$ и неговата страна $a$, излизаща от върха $A$. Нека $l$ е права, съдържаща страна $a$. Тъй като многоъгълникът $P$ е изпъкнал, той лежи от едната страна на правата $l$. Следователно неговият ъгъл $A$ също лежи от същата страна на тази права. Следователно ъгълът $A$ е по-малък от изправения ъгъл, тоест по-малък от $180^\circ$.

Нека докажем второто свойство

Вземете произволни две точки $A$ и $B$ от изпъкнал многоъгълник $P$. Многоъгълникът $P$ е пресечната точка на няколко полуравнини. Отсечката $AB$ се съдържа във всяка от тези полуравнини. Следователно той също се съдържа в многоъгълника $P$.

Определение

Диагонален многоъгълниксе нарича сегмент, свързващ неговите несъседни върхове.

Теорема (за броя на диагоналите на n-ъгълник)

Броят на диагоналите на изпъкнал $n$-ъгълник се изчислява по формулата $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Доказателство

От всеки връх на n-ъгълник могат да се начертаят $n-3$ диагонали (не може да се начертае диагонал на съседни върхове и на самия този връх). Ако преброим всички такива възможни сегменти, тогава ще има $n\cdot(n-3)$, тъй като има $n$ върхове. Но всеки диагонал ще се брои два пъти. По този начин броят на диагоналите на n-ъгълник е $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Теорема (за сумата от ъглите на n-ъгълник)

Сумата от ъглите на изпъкнал $n$-ъгълник е $180^\circ(n-2)$.

Доказателство

Помислете за $n$-ъгълник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Вземете произволна точка $O$ вътре в този многоъгълник.

Сборът от ъглите на всички триъгълници $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ е $180^\circ\cdot n$.

От друга страна, тази сума е сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълника и общия ъгъл $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Тогава сумата от ъглите на разглеждания $n$-ъгълник е равна на $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Последица

Сумата от ъглите на неизпъкнал $n$-ъгълник е $180^\circ(n-2)$.

Доказателство

Да разгледаме многоъгълник $A_1A_2\ldots A_n$, чийто единствен ъгъл $\angle A_2$ не е изпъкнал, т.е. $\angle A_2>180^\circ$.

Нека означим сумата от неговия улов с $S$.

Свържете точките $A_1A_3$ и разгледайте многоъгълника $A_1A_3\ldots A_n$.

Сумата от ъглите на този многоъгълник е:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\ъгъл A_2+\ъгъл 1+\ъгъл 2=S-\ъгъл A_2+180^\circ-\ъгъл A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \ъгъл A_1A_2A_3+\ъгъл A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Следователно $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Ако оригиналният многоъгълник има повече от един неизпъкнал ъгъл, тогава описаната по-горе операция може да се извърши с всеки такъв ъгъл, което ще доведе до доказване на твърдението.