phân tích 

Quy tắc nhân các phân số chưa đúng. Lập hệ phương trình


nội dung bài học

Cộng các phân số có cùng mẫu số

Phép cộng phân số có hai loại:

  1. Cộng các phân số có cùng mẫu số
  2. Cộng các phân số khác mẫu số

Hãy bắt đầu cộng các phân số có cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số. Ví dụ: hãy cộng các phân số và . Ta cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn thêm pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:

ví dụ 2 Thêm phân số và .

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Nếu kết thúc nhiệm vụ, thì theo thông lệ, bạn sẽ loại bỏ các phân số không phù hợp. Để loại bỏ một phân số không phù hợp, bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó. Trong trường hợp của chúng tôi, phần nguyên được phân bổ dễ dàng - hai chia hai bằng một:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta liên tưởng đến một chiếc bánh pizza được chia thành hai phần. Nếu bạn thêm nhiều bánh pizza vào bánh pizza, bạn sẽ nhận được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn:

ví dụ 3. Thêm phân số và .

Một lần nữa, cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta liên tưởng đến một chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn thêm nhiều pizza vào pizza, bạn sẽ nhận được pizza:

Ví dụ 4 Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải theo cách chính xác như những ví dụ trước. Các tử số phải được thêm vào và mẫu số không thay đổi:

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng một bức tranh. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza và thêm nhiều chiếc bánh pizza khác, bạn sẽ nhận được 1 chiếc bánh pizza nguyên vẹn và nhiều chiếc bánh pizza khác.

Như bạn có thể thấy, việc cộng các phân số có cùng mẫu số không khó. Nó là đủ để hiểu các quy tắc sau:

  1. Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số;

Cộng các phân số khác mẫu số

Bây giờ chúng ta sẽ học cách cộng các phân số khác mẫu số. Khi cộng các phân số thì mẫu số của các phân số đó phải bằng nhau. Nhưng chúng không phải lúc nào cũng giống nhau.

Ví dụ, có thể cộng các phân số vì chúng có cùng mẫu số.

Nhưng không thể cộng các phân số cùng một lúc vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng một mẫu số (chung).

Có một số cách để rút gọn các phân số về cùng mẫu số. Hôm nay chúng ta sẽ chỉ xem xét một trong số chúng, vì các phương pháp còn lại có vẻ phức tạp đối với người mới bắt đầu.

Bản chất của phương pháp này nằm ở chỗ đầu tiên (LCM) mẫu số của cả hai phân số được tìm kiếm. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số đầu tiên và thu được thừa số bổ sung đầu tiên. Họ làm tương tự với phân số thứ hai - LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và lấy thừa số thứ hai.

Sau đó, tử số và mẫu số của các phân số được nhân với các yếu tố bổ sung của chúng. Kết quả của những hành động này, các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy.

ví dụ 1. Cộng phân số và

Trước hết, ta tìm bội chung nhỏ nhất của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Bội chung nhỏ nhất của các số này là 6

LCM (2 và 3) = 6

Bây giờ trở lại phân số và . Đầu tiên, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên và lấy thừa số bổ sung đầu tiên. LCM là số 6 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 3. Chia 6 cho 3, ta được 2.

Kết quả số 2 là yếu tố bổ sung đầu tiên. Chúng tôi viết nó xuống phân số đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi tạo một đường xiên nhỏ phía trên phân số và viết thừa số bổ sung tìm được phía trên nó:

Chúng tôi làm tương tự với phân số thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai và lấy thừa số thứ hai. LCM là số 6, mẫu số của phân số thứ hai là số 2. Chia 6 cho 2, ta được 3.

Kết quả số 3 là yếu tố bổ sung thứ hai. Chúng tôi viết nó vào phân số thứ hai. Một lần nữa, chúng tôi tạo một đường xiên nhỏ phía trên phân số thứ hai và viết thừa số bổ sung tìm được phía trên nó:

Bây giờ tất cả chúng ta đã sẵn sàng để thêm. Nó vẫn còn để nhân các tử số và mẫu số của các phân số với các yếu tố bổ sung của chúng:

Nhìn kỹ vào những gì chúng ta đã đến. Ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách cộng các phân số như vậy. Hãy hoàn thành ví dụ này đến cùng:

Vì vậy, ví dụ kết thúc. Để thêm nó hóa ra.

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng một bức tranh. Nếu bạn thêm pizza vào một chiếc bánh pizza, bạn sẽ nhận được một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một phần sáu chiếc bánh pizza khác:

Việc rút gọn các phân số về cùng mẫu số (chung) cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Đưa các phân số và mẫu số chung, chúng tôi nhận được các phân số và . Hai phân số này sẽ được biểu diễn bằng những lát bánh pizza giống nhau. Điểm khác biệt duy nhất là lần này chúng sẽ được chia thành các phần bằng nhau (giảm về cùng mẫu số).

Bức tranh đầu tiên vẽ một phân số (bốn mảnh trên sáu) và bức tranh thứ hai vẽ một phân số (ba mảnh trên sáu). Đặt những mảnh này lại với nhau, chúng ta có được (bảy mảnh trên sáu). Phân số này không chính xác, vì vậy chúng tôi đã đánh dấu phần nguyên trong đó. Kết quả là (một chiếc bánh pizza nguyên vẹn và một chiếc bánh pizza thứ sáu khác).

Lưu ý rằng chúng tôi đã vẽ ví dụ này quá chi tiết. Trong các tổ chức giáo dục, việc viết một cách chi tiết như vậy không phải là thông lệ. Bạn cần có khả năng tìm nhanh LCM của cả mẫu số và thừa số bổ sung cho chúng, cũng như nhân nhanh các thừa số bổ sung mà tử số và mẫu số của bạn tìm được. Khi ở trường, chúng ta sẽ phải viết ví dụ này như sau:

Nhưng cũng có mặt khác của đồng tiền. Nếu các ghi chú chi tiết không được thực hiện ở giai đoạn đầu tiên của việc học toán, thì các câu hỏi thuộc loại “Con số đó đến từ đâu?”, “Tại sao các phân số đột nhiên biến thành các phân số hoàn toàn khác nhau? «.

Để cộng các phân số có mẫu số khác nhau dễ dàng hơn, bạn có thể sử dụng các hướng dẫn từng bước sau:

  1. Tìm BCNN của mẫu số các phân số;
  2. Chia LCM cho mẫu số của từng phân số và nhận thêm một số nhân cho mỗi phân số;
  3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số phụ của chúng;
  4. Cộng các phân số có cùng mẫu số;
  5. Nếu câu trả lời là một phân số không chính xác, thì hãy chọn toàn bộ phần của nó;

ví dụ 2 Tìm giá trị của một biểu thức .

Hãy sử dụng các hướng dẫn ở trên.

Bước 1. Tìm ƯCLN của mẫu số các phân số

Tìm ƯCLN của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của các phân số là các số 2, 3 và 4

Bước 2. Chia LCM cho mẫu số của mỗi phân số và nhận thêm một số nhân cho mỗi phân số

Chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên. LCM là số 12 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 2. Chia 12 cho 2, ta được 6. Ta có thừa số bổ sung đầu tiên là 6. Viết nó lên phân số đầu tiên:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 12 cho 3, ta được 4. Ta có thừa số thứ hai là 4. Viết nó trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ ba là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Ta có thừa số thứ ba là 3. Viết nó trên phân số thứ ba:

Bước 3. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số phụ

Chúng tôi nhân các tử số và mẫu số với các yếu tố bổ sung của chúng tôi:

Bước 4. Cộng các phân số có cùng mẫu số

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau đã biến thành các phân số có cùng mẫu số (chung). Nó vẫn còn để thêm các phân số này. Thêm vào:

Phần bổ sung không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi đã chuyển biểu thức còn lại sang dòng tiếp theo. Điều này được cho phép trong toán học. Khi một biểu thức không vừa với một dòng, nó sẽ được chuyển sang dòng tiếp theo và cần đặt dấu bằng (=) ở cuối dòng đầu tiên và ở đầu dòng mới. Dấu bằng ở dòng thứ hai cho biết đây là phần tiếp theo của biểu thức ở dòng đầu tiên.

Bước 5. Nếu câu trả lời là một phân số không chính xác, thì hãy chọn toàn bộ phần trong đó

Câu trả lời của chúng tôi là một phần không chính xác. Chúng ta phải chọn ra toàn bộ phần của nó. Chúng tôi đánh dấu:

Có một câu trả lời

Phép trừ các phân số có cùng mẫu số

Có hai loại phép trừ phân số:

  1. Phép trừ các phân số có cùng mẫu số
  2. Phép trừ phân số khác mẫu số

Đầu tiên, chúng ta hãy học cách trừ các phân số có cùng mẫu số. Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: hãy tìm giá trị của biểu thức . Để giải quyết ví dụ này, cần phải trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số. Làm thôi nào:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta nghĩ về một chiếc bánh pizza được chia thành bốn phần. Nếu bạn cắt bánh pizza từ bánh pizza, bạn sẽ nhận được bánh pizza:

ví dụ 2 Tìm giá trị của biểu thức .

Một lần nữa, từ tử số của phân số thứ nhất, trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số:

Ví dụ này có thể dễ hiểu nếu chúng ta liên tưởng đến một chiếc bánh pizza được chia thành ba phần. Nếu bạn cắt bánh pizza từ bánh pizza, bạn sẽ nhận được bánh pizza:

ví dụ 3 Tìm giá trị của một biểu thức

Ví dụ này được giải theo cách chính xác như những ví dụ trước. Từ tử số của phân số đầu tiên, bạn cần trừ các tử số của các phân số còn lại:

Như bạn có thể thấy, không có gì phức tạp trong việc trừ các phân số có cùng mẫu số. Nó là đủ để hiểu các quy tắc sau:

  1. Để trừ một phân số khác khỏi một phân số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số;
  2. Nếu câu trả lời là một phần không chính xác, thì bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó.

Phép trừ phân số khác mẫu số

Ví dụ: có thể trừ một phân số cho một phân số vì các phân số này có cùng mẫu số. Nhưng không thể trừ một phân số cho một phân số, vì các phân số này có mẫu số khác nhau. Trong những trường hợp như vậy, các phân số phải được rút gọn về cùng một mẫu số (chung).

Mẫu số chung được tìm theo cùng một nguyên tắc mà chúng ta đã sử dụng khi cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Trước hết, tìm BCNN của mẫu số của cả hai phân số. Sau đó, LCM được chia cho mẫu số của phân số đầu tiên và thu được thừa số bổ sung đầu tiên, được viết trên phân số đầu tiên. Tương tự, LCM được chia cho mẫu số của phân số thứ hai và thu được thừa số bổ sung thứ hai, viết trên phân số thứ hai.

Các phân số sau đó được nhân với các yếu tố bổ sung của chúng. Kết quả của các phép toán này là các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy.

ví dụ 1 Tìm giá trị của một biểu thức:

Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy bạn cần đưa chúng về cùng một mẫu số (chung).

Đầu tiên, chúng tôi tìm LCM của mẫu số của cả hai phân số. Mẫu số của phân số thứ nhất là số 3 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Bội chung nhỏ nhất của các số này là 12

LCM (3 và 4) = 12

Bây giờ trở lại phân số và

Hãy tìm một yếu tố bổ sung cho phân số đầu tiên. Để làm điều này, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số đầu tiên. LCM là số 12 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 3. Chia 12 cho 3, chúng tôi nhận được 4. Chúng tôi viết bốn trên phân số đầu tiên:

Chúng tôi làm tương tự với phân số thứ hai. Chúng tôi chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 12 và mẫu số của phân số thứ hai là số 4. Chia 12 cho 4, ta được 3. Viết một bộ ba trên phân số thứ hai:

Bây giờ tất cả chúng ta đã sẵn sàng cho phép trừ. Nó vẫn còn để nhân các phân số với các yếu tố bổ sung của chúng:

Ta đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau biến thành các phân số có cùng mẫu số. Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy. Hãy hoàn thành ví dụ này đến cùng:

Có một câu trả lời

Hãy thử mô tả giải pháp của chúng tôi bằng một bức tranh. Nếu bạn cắt bánh pizza từ bánh pizza, bạn sẽ nhận được bánh pizza.

Đây là phiên bản chi tiết của giải pháp. Ở trường, chúng ta sẽ phải giải ví dụ này một cách ngắn gọn hơn. Một giải pháp như vậy sẽ như thế này:

Việc rút gọn các phân số về mẫu số chung cũng có thể được mô tả bằng hình ảnh. Đưa các phân số này về mẫu số chung, ta được các phân số và . Các phân số này sẽ được biểu diễn bằng các lát bánh pizza giống nhau, nhưng lần này chúng sẽ được chia thành các phân số giống nhau (rút gọn về cùng mẫu số):

Hình vẽ đầu tiên thể hiện một phân số (tám mảnh ghép trong số mười hai) và bức tranh thứ hai thể hiện một phân số (ba mảnh ghép trên tổng số mười hai). Bằng cách cắt ba mảnh từ tám mảnh, chúng ta có năm mảnh trong tổng số mười hai mảnh. Phân số mô tả năm phần này.

ví dụ 2 Tìm giá trị của một biểu thức

Các phân số này có mẫu số khác nhau, vì vậy trước tiên bạn cần đưa chúng về cùng một mẫu số (chung).

Tìm BCNN của các mẫu số của các phân số này.

Mẫu số của các phân số là các số 10, 3 và 5. Bội số chung nhỏ nhất của các số này là 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Bây giờ chúng tôi tìm thấy các yếu tố bổ sung cho mỗi phân số. Để làm điều này, chúng tôi chia LCM cho mẫu số của từng phân số.

Hãy tìm một yếu tố bổ sung cho phân số đầu tiên. LCM là số 30 và mẫu số của phân số đầu tiên là số 10. Chia 30 cho 10, ta được thừa số bổ sung đầu tiên là 3. Viết nó lên phân số đầu tiên:

Bây giờ chúng tôi tìm thấy một yếu tố bổ sung cho phân số thứ hai. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ hai. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ hai là số 3. Chia 30 cho 3, ta được thừa số thứ hai là 10. Viết nó trên phân số thứ hai:

Bây giờ chúng ta tìm một thừa số bổ sung cho phân số thứ ba. Chia LCM cho mẫu số của phân số thứ ba. LCM là số 30 và mẫu số của phân số thứ ba là số 5. ​​Chia 30 cho 5, ta được thừa số thứ ba là 6. Viết nó trên phân số thứ ba:

Bây giờ mọi thứ đã sẵn sàng cho phép trừ. Nó vẫn còn để nhân các phân số với các yếu tố bổ sung của chúng:

Chúng tôi đi đến kết luận rằng các phân số có mẫu số khác nhau đã biến thành các phân số có cùng mẫu số (chung). Và chúng ta đã biết cách trừ các phân số như vậy. Hãy kết thúc ví dụ này.

Phần tiếp theo của ví dụ sẽ không vừa trên một dòng, vì vậy chúng tôi chuyển phần tiếp theo sang dòng tiếp theo. Đừng quên dấu bằng (=) trên dòng mới:

Câu trả lời hóa ra là một phân số đúng, và mọi thứ dường như phù hợp với chúng tôi, nhưng nó quá cồng kềnh và xấu xí. Chúng ta nên làm cho nó dễ dàng hơn. Những gì có thể được thực hiện? Bạn có thể giảm phân số này.

Để rút gọn một phân số, bạn cần chia tử số và mẫu số của nó cho (gcd) các số 20 và 30.

Vì vậy, chúng tôi tìm thấy GCD của các số 20 và 30:

Bây giờ chúng ta quay lại ví dụ của mình và chia tử số và mẫu số của phân số cho GCD tìm được, nghĩa là cho 10

Có một câu trả lời

Nhân một phân số với một số

Để nhân một phân số với một số, bạn cần nhân tử số của phân số đã cho với số này và giữ nguyên mẫu số.

ví dụ 1. Nhân phân số với số 1.

Nhân tử số của phân số với số 1

Vào có thể hiểu là lấy nửa 1 lần. Ví dụ, nếu bạn lấy pizza 1 lần, bạn sẽ nhận được pizza

Từ định luật nhân, chúng ta biết rằng nếu số nhân và số nhân được hoán đổi cho nhau, thì sản phẩm sẽ không thay đổi. Nếu biểu thức được viết là , thì tích sẽ vẫn bằng . Một lần nữa, quy tắc nhân một số nguyên và một phân số hoạt động:

Mục này có thể được hiểu là lấy một nửa đơn vị. Ví dụ, nếu có 1 chiếc bánh pizza nguyên vẹn và chúng ta lấy một nửa số đó, thì chúng ta sẽ có chiếc bánh pizza:

ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số với 4

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy lấy toàn bộ một phần của nó:

Biểu thức có thể được hiểu là lấy hai phần tư 4 lần. Ví dụ: nếu bạn lấy pizza 4 lần, bạn sẽ nhận được hai chiếc pizza nguyên vẹn.

Và nếu chúng ta đổi chỗ cho số bị nhân và số bị nhân, chúng ta sẽ nhận được biểu thức. Nó cũng sẽ bằng 2. Biểu thức này có thể được hiểu là lấy hai chiếc bánh pizza từ bốn chiếc bánh pizza nguyên vẹn:

phép nhân phân số

Để nhân các phân số, bạn cần nhân các tử số và mẫu số của chúng. Nếu câu trả lời là một phần không chính xác, bạn cần chọn toàn bộ phần trong đó.

ví dụ 1 Tìm giá trị của biểu thức .

Có một câu trả lời. Đó là mong muốn để giảm phần này. Phân số có thể giảm đi 2. Sau đó, giải pháp cuối cùng sẽ có dạng sau:

Biểu thức này có thể được hiểu là lấy một chiếc bánh pizza từ một nửa chiếc bánh pizza. Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Làm thế nào để lấy hai phần ba từ nửa này? Trước tiên, bạn cần chia nửa này thành ba phần bằng nhau:

Và lấy hai từ ba mảnh này:

Chúng ta sẽ lấy bánh pizza. Hãy nhớ một chiếc bánh pizza trông như thế nào được chia thành ba phần:

Một lát từ chiếc bánh pizza này và hai lát chúng tôi đã lấy sẽ có cùng kích thước:

Nói cách khác, chúng ta đang nói về cùng một kích cỡ bánh pizza. Do đó, giá trị của biểu thức là

ví dụ 2. Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời là một phân số không chính xác. Hãy lấy toàn bộ một phần của nó:

ví dụ 3 Tìm giá trị của một biểu thức

Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai:

Câu trả lời hóa ra là một phân số chính xác, nhưng nó sẽ tốt hơn nếu nó giảm đi. Để rút gọn phân số này, bạn cần chia tử số và mẫu số của phân số này cho ước số chung lớn nhất (GCD) của các số 105 và 450.

Vì vậy, hãy tìm GCD của các số 105 và 450:

Bây giờ chúng tôi chia tử số và mẫu số của câu trả lời của chúng tôi cho GCD mà chúng tôi đã tìm thấy, nghĩa là, cho 15

Biểu diễn một số nguyên dưới dạng phân số

Bất kỳ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số. Ví dụ: số 5 có thể được biểu diễn dưới dạng . Từ đó, năm sẽ không thay đổi ý nghĩa của nó, vì biểu thức có nghĩa là "số năm chia cho một", và như bạn biết, bằng năm:

đảo ngược số

Bây giờ chúng ta sẽ làm quen với một chủ đề rất thú vị trong toán học. Nó được gọi là "số đảo ngược".

Sự định nghĩa. Đảo ngược sang sốmột là số mà khi nhân vớimột đưa ra một đơn vị.

Hãy thay thế trong định nghĩa này thay vì một biến một số 5 và cố gắng đọc định nghĩa:

Đảo ngược sang số 5 là số mà khi nhân với 5 đưa ra một đơn vị.

Có thể tìm một số mà khi nhân với 5 được một không? Hóa ra bạn có thể. Hãy biểu diễn năm dưới dạng phân số:

Sau đó nhân phân số này với chính nó, chỉ cần đổi chỗ tử số và mẫu số. Nói cách khác, hãy nhân phân số với chính nó, chỉ đảo ngược:

Điều gì sẽ là kết quả của điều này? Nếu chúng ta tiếp tục giải ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được một:

Điều này có nghĩa là nghịch đảo của số 5 là một số, vì khi 5 được nhân với một thì được một.

Đối ứng cũng có thể được tìm thấy cho bất kỳ số nguyên nào khác.

Bạn cũng có thể tìm nghịch đảo cho bất kỳ phân số nào khác. Để làm điều này, chỉ cần lật nó lại là đủ.

Phép chia một phân số cho một số

Giả sử chúng ta có một nửa chiếc bánh pizza:

Hãy chia đều cho cả hai. Mỗi người sẽ nhận được bao nhiêu chiếc bánh pizza?

Có thể thấy rằng sau khi tách một nửa chiếc bánh pizza sẽ thu được 2 phần bằng nhau, mỗi phần tạo nên một chiếc bánh pizza. Vì vậy, mọi người đều có một chiếc bánh pizza.

Phép chia phân số được thực hiện bằng cách sử dụng nghịch đảo. Nghịch đảo cho phép bạn thay thế phép chia bằng phép nhân.

Để chia một phân số cho một số, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng quy tắc này, chúng tôi sẽ viết ra việc chia một nửa chiếc bánh pizza của chúng tôi thành hai phần.

Vì vậy, bạn cần chia phân số cho số 2. Ở đây số bị chia là một phân số và số chia là 2.

Để chia một phân số cho số 2, bạn cần nhân phân số này với nghịch đảo của ước số 2. Nghịch đảo của ước số 2 là một phân số. Vì vậy, bạn cần nhân với

) và mẫu số bằng mẫu số (ta lấy mẫu số của tích).

Công thức nhân phân số:

Ví dụ:

Trước khi tiến hành phép nhân tử số và mẫu số, cần kiểm tra khả năng rút gọn phân số. Nếu bạn quản lý để giảm phân số, thì bạn sẽ dễ dàng tiếp tục thực hiện các phép tính hơn.

Phép chia một phân số thường cho một phân số.

Phép chia phân số liên quan đến số tự nhiên.

Nó không đáng sợ như nó có vẻ. Như trong trường hợp cộng, chúng tôi chuyển đổi một số nguyên thành một phân số với một đơn vị trong mẫu số. Ví dụ:

Nhân các phân số hỗn hợp.

Quy tắc nhân phân số (hỗn số):

  • chuyển đổi các phân số hỗn hợp thành không chính xác;
  • nhân tử số và mẫu số của phân số;
  • chúng tôi giảm phân số;
  • nếu chúng ta nhận được một phân số không chính xác, thì chúng ta chuyển đổi phân số không chính xác thành hỗn hợp.

Ghi chú!Để nhân một phân số hỗn hợp với một phân số hỗn hợp khác, trước tiên bạn cần đưa chúng về dạng phân số không chính quy, sau đó nhân theo quy tắc nhân các phân số thông thường.

Cách thứ hai để nhân một phân số với một số tự nhiên.

Sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng phương pháp thứ hai để nhân một phân số thông thường với một số.

Ghi chú!Để nhân một phân số với một số tự nhiên, cần chia mẫu số của phân số cho số này và giữ nguyên tử số.

Từ ví dụ trên, rõ ràng tùy chọn này sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng khi mẫu số của một phân số được chia không có phần dư cho một số tự nhiên.

Phân số đa cấp.

Ở trường trung học, các phân số ba tầng (hoặc nhiều hơn) thường được tìm thấy. Thí dụ:

Để đưa một phân số như vậy về dạng thông thường, phép chia cho 2 điểm được sử dụng:

Ghi chú! Khi chia phân số, thứ tự chia rất quan trọng. Hãy cẩn thận, rất dễ nhầm lẫn ở đây.

Ghi chú, Ví dụ:

Khi chia một cho bất kỳ phân số nào, kết quả sẽ là cùng một phân số, chỉ đảo ngược:

Mẹo thực tế để nhân và chia phân số:

1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là tính chính xác và cẩn thận. Thực hiện các phép tính cẩn thận và chính xác, tập trung và rõ ràng. Tốt hơn là bạn nên viết thêm vài dòng vào bản nháp hơn là bối rối với các phép tính trong đầu.

2. Trong các nhiệm vụ với các loại phân số khác nhau - chuyển sang loại phân số thông thường.

3. Chúng tôi rút gọn tất cả các phân số cho đến khi không thể rút gọn được nữa.

4. Chúng tôi đưa các biểu thức phân số đa cấp thành biểu thức thông thường, sử dụng phép chia cho 2 điểm.

5. Chúng ta chia đơn vị thành một phân số trong đầu, đơn giản bằng cách lật ngược phân số lại.

Các số phân số thông thường gặp học sinh lớp 5 lần đầu tiên và đồng hành cùng các em trong suốt cuộc đời, vì trong cuộc sống hàng ngày, người ta thường phải xem xét hoặc sử dụng một đối tượng nào đó không hoàn toàn mà theo từng phần riêng biệt. Sự khởi đầu của nghiên cứu về chủ đề này - chia sẻ. Cổ phiếu là những phần bằng nhau trong đó một đối tượng được phân chia. Rốt cuộc, không phải lúc nào cũng có thể biểu thị, ví dụ, chiều dài hoặc giá của một sản phẩm dưới dạng số nguyên, người ta phải tính đến các phần hoặc phần của bất kỳ thước đo nào. Được hình thành từ động từ "nghiền nát" - chia thành nhiều phần và có nguồn gốc từ tiếng Ả Rập, vào thế kỷ VIII, từ "phân số" đã xuất hiện trong tiếng Nga.

Biểu thức phân số từ lâu đã được coi là phần khó nhất của toán học. Vào thế kỷ 17, khi những cuốn sách giáo khoa toán học đầu tiên xuất hiện, chúng được gọi là "số bị hỏng", rất khó hiển thị theo cách hiểu của mọi người.

Hình thức hiện đại của dư lượng phân số đơn giản, các phần được phân tách chính xác bằng một đường nằm ngang, lần đầu tiên được thúc đẩy bởi Fibonacci - Leonardo of Pisa. Các bài viết của ông được ghi vào năm 1202. Nhưng mục đích của bài viết này là giải thích đơn giản và rõ ràng cho người đọc về cách thực hiện phép nhân các phân số hỗn hợp với các mẫu số khác nhau.

Nhân các phân số khác mẫu số

Ban đầu, cần xác định các loại phân số:

  • Chính xác;
  • Sai lầm;
  • Trộn.

Tiếp theo, bạn cần nhớ cách nhân các phân số có cùng mẫu số. Quy tắc của quá trình này rất dễ hình thành một cách độc lập: kết quả của phép nhân các phân số đơn giản có cùng mẫu số là một biểu thức phân số, tử số là tích của các tử số và mẫu số là tích của các mẫu số của các phân số này . Trên thực tế, mẫu số mới là bình phương của một trong những mẫu số hiện có ban đầu.

Khi nhân phân số đơn giản với các mẫu số khác nhauđối với hai hoặc nhiều yếu tố, quy tắc không thay đổi:

một/b * c/đ = AC / b*d.

Điểm khác biệt duy nhất là số được tạo dưới thanh phân số sẽ là tích của các số khác nhau và tất nhiên, nó không thể được gọi là bình phương của một biểu thức số.

Cần xem xét phép nhân các phân số với các mẫu số khác nhau bằng các ví dụ:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Các ví dụ sử dụng các cách rút gọn biểu thức phân số. Bạn chỉ có thể giảm các số của tử số bằng các số của mẫu số; không thể giảm các thừa số liền kề bên trên hoặc bên dưới thanh phân số.

Cùng với phân số đơn giản còn có khái niệm hỗn số. Một số hỗn hợp bao gồm một số nguyên và một phần phân số, nghĩa là nó là tổng của các số sau:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Phép nhân hoạt động như thế nào?

Một số ví dụ được cung cấp để xem xét.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Ví dụ sử dụng phép nhân một số với phần phân số thông thường, bạn có thể viết ra quy tắc cho hành động này theo công thức:

một* b/c = a*b /c.

Trên thực tế, một sản phẩm như vậy là tổng của các phần còn lại phân số giống hệt nhau và số lượng các thuật ngữ biểu thị số tự nhiên này. Trương hợp đặc biệt:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Có một lựa chọn khác để giải phép nhân một số với số dư phân số. Bạn chỉ cần chia mẫu số cho số này:

d* đ/f = đ/f: d.

Sẽ rất hữu ích khi sử dụng kỹ thuật này khi mẫu số được chia cho một số tự nhiên không có phần dư hoặc, như người ta nói, hoàn toàn.

Chuyển đổi hỗn số thành phân số không chính xác và lấy sản phẩm theo cách được mô tả trước đó:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ví dụ này liên quan đến cách biểu diễn một phân số hỗn hợp dưới dạng một phân số không chính xác, nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một công thức chung:

một bc = a*b+ c / c, trong đó mẫu số của phân số mới được hình thành bằng cách nhân phần nguyên với mẫu số rồi cộng nó với tử số của phần còn lại của phân số ban đầu, còn mẫu số thì giữ nguyên.

Quá trình này cũng hoạt động ngược lại. Để chọn phần nguyên và phần còn lại của phân số, bạn cần chia tử số của một phân số không chính xác cho mẫu số của nó bằng một "góc".

Nhân các phân số không chính xác sản xuất theo cách thông thường. Khi mục nhập nằm dưới một dòng phân số duy nhất, nếu cần, bạn cần giảm các phân số để giảm các số bằng phương pháp này và việc tính toán kết quả sẽ dễ dàng hơn.

Có rất nhiều trợ lý trên Internet để giải quyết các vấn đề toán học thậm chí phức tạp trong các biến thể chương trình khác nhau. Một số lượng đủ các dịch vụ như vậy cung cấp trợ giúp trong việc tính toán phép nhân các phân số với các số khác nhau ở mẫu số - cái gọi là máy tính trực tuyến để tính phân số. Chúng không chỉ có thể nhân mà còn có thể thực hiện tất cả các phép tính số học đơn giản khác với các phân số và hỗn số thông thường. Không khó để làm việc với nó, các trường tương ứng được điền vào trang của trang web, dấu hiệu của hành động toán học được chọn và nhấn “tính toán”. Chương trình tự động đếm.

Chủ đề về các phép toán số học với các số phân số có liên quan trong suốt quá trình giáo dục học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông. Ở trường trung học, họ không còn xem xét loài đơn giản nhất, mà là biểu thức phân số nguyên, nhưng kiến ​​​​thức về các quy tắc chuyển đổi và tính toán, thu được trước đó, được áp dụng ở dạng ban đầu. Kiến thức cơ bản được học tốt mang lại sự tự tin hoàn toàn trong việc giải quyết thành công các nhiệm vụ phức tạp nhất.

Để kết luận, thật hợp lý khi trích dẫn những lời của Leo Tolstoy, người đã viết: “Con người là một phần nhỏ. Con người không có khả năng tăng tử số - công lao của chính mình, nhưng bất kỳ ai cũng có thể giảm mẫu số - ý kiến ​​​​của anh ta về bản thân, và bằng cách giảm này, anh ta tiến gần hơn đến sự hoàn hảo của mình.

Nhân các phân số thông thường

Hãy xem xét một ví dụ.

Giả sử có $\frac(1)(3)$ một phần quả táo trên đĩa. Chúng ta cần tìm phần $\frac(1)(2)$ của nó. Phần bắt buộc là kết quả của phép nhân các phân số $\frac(1)(3)$ và $\frac(1)(2)$. Kết quả của phép nhân hai phân số chung là một phân số chung.

Nhân hai phân số chung

Quy tắc nhân các phân số thông thường:

Kết quả của phép nhân một phân số với một phân số là một phân số có tử số bằng tích các tử số của các phân số bị nhân và mẫu số bằng tích của các mẫu số:

ví dụ 1

Nhân các phân số thông thường $\frac(3)(7)$ và $\frac(5)(11)$.

Phán quyết.

Hãy sử dụng quy tắc nhân các phân số thông thường:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Câu trả lời:$\frac(15)(77)$

Nếu kết quả của việc nhân các phân số thu được một phân số có thể hủy được hoặc không chính xác, thì cần phải đơn giản hóa nó.

ví dụ 2

Nhân các phân số $\frac(3)(8)$ và $\frac(1)(9)$.

Phán quyết.

Chúng tôi sử dụng quy tắc để nhân các phân số thông thường:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kết quả là, chúng tôi nhận được một phân số có thể rút gọn (trên cơ sở chia cho $3$. Chia tử số và mẫu số của phân số cho $3$, chúng tôi nhận được:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Giải pháp ngắn gọn:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Câu trả lời:$\frac(1)(24).$

Khi nhân các phân số, bạn có thể rút gọn tử số và mẫu số để tìm tích của chúng. Trong trường hợp này, tử số và mẫu số của phân số được chia thành các thừa số đơn giản, sau đó các thừa số lặp lại được rút gọn và tìm được kết quả.

ví dụ 3

Tính tích của các phân số $\frac(6)(75)$ và $\frac(15)(24)$.

Phán quyết.

Hãy sử dụng công thức nhân các phân số bình thường:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Rõ ràng, tử số và mẫu số chứa các số có thể giảm theo cặp bằng các số $2$, $3$ và $5$. Chúng tôi phân tách tử số và mẫu số thành các thừa số đơn giản và thực hiện phép rút gọn:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Câu trả lời:$\frac(1)(20).$

Khi nhân các phân số có thể áp dụng quy luật giao hoán:

Nhân một phân số với một số tự nhiên

Quy tắc nhân một phân số thường với một số tự nhiên:

Kết quả của phép nhân một phân số với một số tự nhiên là một phân số trong đó tử số bằng tích của tử số của phân số bị nhân với một số tự nhiên và mẫu số bằng mẫu số của phân số bị nhân:

trong đó $\frac(a)(b)$ là phân số chung, $n$ là số tự nhiên.

Ví dụ 4

Nhân phân số $\frac(3)(17)$ với $4$.

Phán quyết.

Hãy sử dụng quy tắc nhân một phân số bình thường với một số tự nhiên:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Câu trả lời:$\frac(12)(17).$

Đừng quên kiểm tra kết quả của phép nhân để biết tính hợp đồng của một phân số hoặc một phân số không chính xác.

Ví dụ 5

Nhân phân số $\frac(7)(15)$ với $3$.

Phán quyết.

Hãy sử dụng công thức nhân một phân số với một số tự nhiên:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Theo tiêu chí chia cho số $3$), có thể xác định rằng phân số thu được có thể rút gọn:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Kết quả là một phần không chính xác. Hãy lấy toàn bộ phần:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Giải pháp ngắn gọn:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (số năm)\]

Cũng có thể rút gọn các phân số bằng cách thay thế các số ở tử số và mẫu số bằng các khai triển của chúng thành các thừa số nguyên tố. Trong trường hợp này, giải pháp có thể được viết như sau:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Câu trả lời:$1\frac(2)(5).$

Khi nhân một phân số với một số tự nhiên, có thể dùng quy tắc giao hoán:

Phép chia phân số thông thường

Phép chia là phép toán nghịch đảo của phép nhân và kết quả của nó là một phân số mà bạn cần nhân một phân số đã biết để có được một tích đã biết của hai phân số.

Phép chia hai phân số chung

Quy tắc chia phân số thường: Rõ ràng, tử số và mẫu số của phân số kết quả có thể được phân tách thành các thừa số đơn giản và rút gọn:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kết quả là, chúng tôi nhận được một phân số không chính xác, từ đó chúng tôi chọn phần nguyên:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Câu trả lời:$1\frac(5)(9).$

Vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên, nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno xứ Elea đã xây dựng aporia nổi tiếng của mình, trong đó nổi tiếng nhất là aporia "Achilles và con rùa". Đây là âm thanh của nó:

Giả sử Achilles chạy nhanh gấp mười lần con rùa và ở phía sau nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy quãng đường này, con rùa bò một trăm bước theo cùng một hướng. Khi Achilles đã chạy được một trăm bước, con rùa sẽ bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình sẽ tiếp tục vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp rùa.

Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Tất cả bọn họ, bằng cách này hay cách khác, đều coi là aporias của Zeno. Cú sốc mạnh đến nỗi " ... các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục ở thời điểm hiện tại, cộng đồng khoa học vẫn chưa thể đi đến một ý kiến ​​​​chung về bản chất của các nghịch lý ... phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp tiếp cận vật lý và triết học mới đã được tham gia vào nghiên cứu vấn đề ; không ai trong số họ trở thành một giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporias"]. Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu sự lừa dối là gì.

Từ quan điểm của toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ giá trị sang giá trị. Quá trình chuyển đổi này ngụ ý áp dụng thay vì hằng số. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học để áp dụng các đơn vị đo lường thay đổi chưa được phát triển hoặc nó chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Việc áp dụng logic thông thường của chúng ta dẫn chúng ta vào một cái bẫy. Chúng ta, theo quán tính của tư duy, áp dụng hằng đơn vị thời gian cho nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, có vẻ như thời gian đang chậm lại đến dừng hẳn vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể vượt qua con rùa nữa.

Nếu chúng ta biến logic mà chúng ta quen thuộc, mọi thứ sẽ đâu vào đó. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo của đường dẫn của nó ngắn hơn mười lần so với đoạn trước. Theo đó, thời gian dành cho việc vượt qua nó ít hơn mười lần so với lần trước. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm "vô tận" trong tình huống này, thì sẽ đúng khi nói "Achilles sẽ nhanh chóng vượt qua con rùa một cách vô hạn."

Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Giữ nguyên trong các đơn vị thời gian không đổi và không chuyển sang các giá trị tương hỗ. Trong ngôn ngữ của Zeno, nó trông như thế này:

Trong khoảng thời gian Achilles chạy một nghìn bước, con rùa bò một trăm bước theo cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo, bằng với khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đi trước rùa tám trăm bước.

Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh cho vấn đề. Tuyên bố của Einstein về khả năng không thể vượt qua của tốc độ ánh sáng rất giống với aporia "Achilles và con rùa" của Zeno. Chúng tôi vẫn chưa nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng số lượng lớn vô hạn, mà bằng đơn vị đo lường.

Một aporia thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:

Một mũi tên đang bay thì bất động, vì trong mỗi thời điểm nó đứng yên, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn luôn đứng yên.

Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, mũi tên bay nằm ở các điểm khác nhau trong không gian, trên thực tế, đó là chuyển động. Có một điểm khác cần lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định thực tế chuyển động của ô tô, cần có hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm tại các thời điểm khác nhau, nhưng chúng không thể được sử dụng để xác định khoảng cách. Để xác định khoảng cách đến ô tô, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ các điểm khác nhau trong không gian cùng một lúc, nhưng bạn không thể xác định thực tế chuyển động từ chúng (tất nhiên, bạn vẫn cần dữ liệu bổ sung để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn). Điều tôi đặc biệt muốn chỉ ra là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là hai điều khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội khám phá khác nhau.

Thứ tư, ngày 4 tháng 7 năm 2018

Rất rõ ràng, sự khác biệt giữa tập hợp và nhiều tập hợp được mô tả trong Wikipedia. Chúng ta nhìn.

Như bạn có thể thấy, "tập hợp không thể có hai phần tử giống hệt nhau", nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong tập hợp, thì tập hợp đó được gọi là "nhiều tập hợp". Những sinh vật hợp lý sẽ không bao giờ hiểu được logic phi lý như vậy. Đây là cấp độ của những con vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, trong đó tâm trí không có từ "hoàn toàn". Các nhà toán học hành động như những người huấn luyện bình thường, thuyết giảng những ý tưởng ngớ ngẩn của họ cho chúng ta.

Ngày xửa ngày xưa, các kỹ sư xây dựng cây cầu đã ở trong một chiếc thuyền dưới cầu trong quá trình thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu bị sập, người kỹ sư tầm thường sẽ chết dưới đống đổ nát do anh ta tạo ra. Nếu cây cầu chịu được tải trọng, người kỹ sư tài ba đã xây dựng những cây cầu khác.

Cho dù các nhà toán học ẩn đằng sau cụm từ "nhớ tôi, tôi đang ở trong nhà" hay đúng hơn là "toán học nghiên cứu các khái niệm trừu tượng", có một sợi dây rốn kết nối họ với thực tế một cách chặt chẽ. Dây rốn này là tiền. Chúng ta hãy áp dụng lý thuyết tập hợp toán học cho chính các nhà toán học.

Chúng tôi học toán rất giỏi và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở bàn thu ngân, trả lương. Đây là một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ấy và đặt nó trên bàn của chúng tôi thành nhiều chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt các tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một tờ tiền từ mỗi cọc và đưa cho nhà toán học "bảng lương toán học" của mình. Chúng tôi giải thích toán học rằng anh ta sẽ chỉ nhận được phần còn lại của hóa đơn khi anh ta chứng minh rằng tập hợp không có phần tử giống hệt nhau không bằng tập hợp có phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi vui vẻ bắt đầu.

Trước hết, logic của đại biểu sẽ phát huy tác dụng: "bạn có thể áp dụng nó cho người khác, nhưng với tôi thì không!" Hơn nữa, các đảm bảo sẽ bắt đầu rằng các số tiền giấy khác nhau trên các tờ tiền có cùng mệnh giá, có nghĩa là chúng không thể được coi là các yếu tố giống hệt nhau. Chà, chúng tôi tính tiền lương bằng đồng xu - không có số nào trên đồng xu. Ở đây, nhà toán học sẽ điên cuồng nhớ lại vật lý: các đồng xu khác nhau có lượng bụi bẩn khác nhau, cấu trúc tinh thể và sự sắp xếp các nguyên tử cho mỗi đồng xu là duy nhất ...

Và bây giờ tôi có một câu hỏi thú vị nhất: đâu là ranh giới mà các phần tử của nhiều tập hợp biến thành các phần tử của một tập hợp và ngược lại? Một dòng như vậy không tồn tại - mọi thứ đều do các pháp sư quyết định, khoa học ở đây thậm chí còn chưa hoàn thiện.

Nhìn đây. Chúng tôi chọn những sân bóng có cùng diện tích sân. Diện tích của các trường là như nhau, có nghĩa là chúng ta có nhiều trường. Nhưng nếu chúng ta xem xét tên của các sân vận động giống nhau, chúng ta sẽ nhận được rất nhiều, vì tên gọi khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử đồng thời là một tập hợp và nhiều tập hợp. Như thế nào mới đúng? Và ở đây, nhà toán học-pháp sư-shuller lấy ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu kể cho chúng ta về một tập hợp hoặc một tập hợp nhiều tập hợp. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.

Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành với lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy, không có bất kỳ "có thể hình dung như không phải là một tổng thể duy nhất" hoặc "không thể hình dung như một tổng thể duy nhất."

Chủ nhật, ngày 18 tháng 3 năm 2018

Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với tambourine, không liên quan gì đến toán học. Vâng, trong các bài học toán học, chúng ta được dạy cách tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng họ là những pháp sư vì điều đó, để dạy cho con cháu họ những kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không thì các pháp sư sẽ chết.

Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và thử tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức nào trong toán học mà bạn có thể tìm được tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Xét cho cùng, các số là các ký hiệu đồ họa mà chúng ta viết các số và theo ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ nghe như thế này: "Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho bất kỳ số nào." Các nhà toán học không thể giải quyết vấn đề này, nhưng các pháp sư có thể làm điều đó một cách cơ bản.

Hãy tìm hiểu xem chúng ta phải làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các chữ số của một số đã cho. Và như vậy, giả sử chúng ta có số 12345. Cần phải làm gì để tìm tổng các chữ số của số này? Hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.

1. Viết số trên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành ký hiệu đồ họa số. Đây không phải là một hoạt động toán học.

2. Chúng tôi cắt một hình ảnh nhận được thành nhiều hình ảnh có chứa các số riêng biệt. Cắt một hình ảnh không phải là một hoạt động toán học.

3. Chuyển đổi các ký tự đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một hoạt động toán học.

4. Cộng các số kết quả. Bây giờ đó là toán học.

Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là "các khóa học cắt và may" từ các pháp sư được các nhà toán học sử dụng. Nhưng đó không phải là tất cả.

Từ quan điểm của toán học, việc chúng ta viết số trong hệ thống số nào không quan trọng. Vì vậy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được chỉ định dưới dạng một chỉ số ở bên phải của số. Với số lượng lớn 12345, tôi không muốn đánh lừa cái đầu của mình, hãy xem xét số 26 từ bài viết về. Hãy viết số này trong các hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi, chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.

Như bạn có thể thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Nó giống như việc tìm diện tích của một hình chữ nhật tính bằng mét và centimet sẽ cho bạn những kết quả hoàn toàn khác.

Số không trong tất cả các hệ thống số trông giống nhau và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác có lợi cho thực tế là . Một câu hỏi dành cho các nhà toán học: trong toán học, cái không phải là số được biểu thị như thế nào? Đối với các nhà toán học, không có gì ngoài những con số tồn tại? Đối với pháp sư, tôi có thể cho phép điều này, nhưng đối với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ là về những con số.

Kết quả thu được nên được coi là bằng chứng cho thấy hệ thống số là đơn vị đo lường của các con số. Rốt cuộc, chúng ta không thể so sánh các con số với các đơn vị đo lường khác nhau. Nếu cùng một hành động với các đơn vị đo lường khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến các kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.

Toán học thực sự là gì? Đây là khi kết quả của một hành động toán học không phụ thuộc vào giá trị của số, đơn vị đo được sử dụng và người thực hiện hành động này.

Đăng nhập vào cửa Mở cửa và nói:

Ôi! Đây không phải là nhà vệ sinh nữ sao?
- Người phụ nữ trẻ! Đây là một phòng thí nghiệm để nghiên cứu sự thánh thiện vô tận của các linh hồn khi thăng thiên! Nimbus trên đầu trang và mũi tên lên. Nhà vệ sinh nào khác?

Nữ... Một vầng hào quang trên đầu và một mũi tên hướng xuống là nam.

Nếu bạn có một tác phẩm nghệ thuật thiết kế như vậy nhấp nháy trước mắt bạn nhiều lần trong ngày,

Thế thì chẳng có gì ngạc nhiên khi bạn chợt thấy trong xe mình có một biểu tượng lạ:

Cá nhân tôi đã cố gắng nhìn thấy âm bốn độ ở một người đang đi ị (một ảnh) (bố cục gồm nhiều ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không coi cô gái này là một kẻ ngốc không biết vật lý. Cô ấy chỉ có một khuôn mẫu vòng cung về nhận thức của hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.

1A không phải là "âm bốn độ" hay "một a". Đây là "người đàn ông ị" hoặc số "hai mươi sáu" trong hệ thống số thập lục phân. Những người liên tục làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động coi số và chữ cái là một biểu tượng đồ họa.