Hôm nay chúng ta sẽ nói về công thức logarit và trình diễn giải pháp ví dụ.

Bản thân chúng hàm ý các mẫu nghiệm theo các tính chất cơ bản của logarit. Trước khi áp dụng các công thức logarit vào giải pháp, trước tiên chúng tôi nhớ lại cho bạn tất cả các thuộc tính:

Bây giờ, dựa trên các công thức (thuộc tính) này, chúng tôi chỉ ra ví dụ về giải logarit.

Ví dụ giải logarit dựa vào căn thức.

logarit một số dương b trong cơ số a (ký hiệu log a b) là số mũ mà a phải tăng lên để được b, với b > 0, a > 0 và 1.

Theo định nghĩa log a b = x tương đương với a x = b nên log a a x = x.

logarit, ví dụ:

log 2 8 = 3, vì 2 3 = 8

log 7 49 = 2 vì 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, vì 5 -1 = 1/5

logarit thập phân là một logarit thông thường, cơ số của nó là 10. Ký hiệu là lg.

log 10 100 = 2 vì 10 2 = 100

logarit tự nhiên- cũng là logarit logarit thông thường, nhưng với cơ số e (e \u003d 2,71828 ... - một số vô tỉ). Gọi tắt là ln.

Nên nhớ các công thức hoặc tính chất của logarit, bởi vì chúng ta sẽ cần chúng sau này khi giải logarit, phương trình logarit và bất phương trình. Hãy xem lại từng công thức với các ví dụ.

• Nhận dạng logarit cơ bản
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Lôgarit của thương bằng hiệu của hai lôgarit
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Các tính chất của bậc của một số logarit và cơ số của logarit

  Số mũ của một số logarit log a b m = mlog a b

  Số mũ của cơ số của logarit log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  nếu m = n, ta có log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Chuyển sang nền tảng mới
  log a b = log c b / log c a,

  nếu c = b, ta có log b b = 1

  thì log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Như bạn có thể thấy, các công thức logarit không phức tạp như vẻ ngoài của chúng. Bây giờ, sau khi xem xét các ví dụ về giải logarit, chúng ta có thể chuyển sang phương trình logarit. Chúng tôi sẽ xem xét các ví dụ về giải phương trình logarit chi tiết hơn trong bài viết: "". Đừng bỏ lỡ!

Nếu bạn vẫn còn thắc mắc về giải pháp, hãy viết chúng trong phần bình luận cho bài viết.

Lưu ý: quyết định học ở một lớp khác, du học như một lựa chọn.

(từ tiếng Hy Lạp λόγος - "từ", "quan hệ" và ἀριθμός - "số") b bởi lý do Một(log α b) được gọi là số như vậy c, Và b= AC, nghĩa là log α b=c Và b=ac là tương đương nhau. Lôgarit có nghĩa nếu a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Nói cách khác logarit con số b bởi lý do MỘTđược xây dựng như một số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể lấy số b(logarit chỉ tồn tại cho các số dương).

Từ công thức này, suy ra phép tính x= log α b, tương đương với việc giải phương trình a x = b.

Ví dụ:

log 2 8 = 3 vì 8=2 3 .

Chúng tôi lưu ý rằng công thức được chỉ định của logarit giúp xác định ngay lập tức giá trị logarit khi số dưới dấu của logarit là một lũy thừa nhất định của cơ số. Thật vậy, công thức của logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b bởi lý do Một bằng Với. Rõ ràng là chủ đề của logarit có liên quan chặt chẽ với chủ đề mức độ của số.

Việc tính toán logarit được gọi là logarit. Logarit là phép toán lấy logarit. Khi lấy logarit, tích của các thừa số được chuyển thành tổng của các số hạng.

điện thế là phép toán nghịch đảo với logarit. Khi điện thế, cơ số đã cho được nâng lên lũy thừa của biểu thức mà trên đó điện thế được thực hiện. Trong trường hợp này, tổng của các số hạng được chuyển thành tích của các thừa số.

Khá thường xuyên, logarit thực với cơ số 2 (nhị phân), e Euler số e ≈ 2,718 (logarit tự nhiên) và 10 (thập phân) được sử dụng.

Ở giai đoạn này, đáng để xem xét mẫu logarit nhật ký 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Và các mục lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 không có ý nghĩa gì, vì trong mục đầu tiên, một số âm được đặt dưới dấu của logarit, trong mục thứ hai - một số âm trong cơ sở và trong phần ba - và một số âm dưới dấu của logarit và đơn vị trong cơ số.

Điều kiện xác định logarit.

Cần xem xét riêng các điều kiện a > 0, a ≠ 1, b > 0. định nghĩa logarit Hãy xem xét lý do tại sao những hạn chế này được thực hiện. Điều này sẽ giúp chúng ta có một đẳng thức có dạng x = log α b, được gọi là đồng nhất logarit cơ bản, xuất phát trực tiếp từ định nghĩa của logarit đã cho ở trên.

lấy điều kiện a≠1. Vì một bằng một với bất kỳ lũy thừa nào, nên đẳng thức x=log α b chỉ có thể tồn tại khi b=1, nhưng log 1 1 sẽ là một số thực bất kỳ. Để loại bỏ sự mơ hồ này, chúng tôi lấy a≠1.

Hãy chứng minh tính tất yếu của điều kiện a>0. Tại a=0 theo công thức của logarit, chỉ có thể tồn tại khi b=0. Và sau đó theo đó nhật ký 0 0 có thể là bất kỳ số thực khác 0 nào, vì 0 với bất kỳ lũy thừa khác 0 nào cũng bằng không. Để loại bỏ sự mơ hồ này, điều kiện a≠0. Và khi Một<0 chúng ta sẽ phải từ chối việc phân tích các giá trị hữu tỷ và vô tỷ của logarit, vì số mũ có số mũ hữu tỷ và vô tỷ chỉ được xác định cho các cơ số không âm. Chính vì điều này mà tình trạng a>0.

Và điều kiện cuối cùng b>0 suy ra từ bất đẳng thức a>0, vì x=log α b, và giá trị của bậc có cơ số dương Một Luôn luôn tích cực.

Các tính năng của logarit.

logaritđặc trưng bởi đặc biệt đặc trưng, dẫn đến việc chúng được sử dụng rộng rãi để tạo điều kiện thuận lợi cho các phép tính tỉ mỉ. Trong quá trình chuyển đổi "sang thế giới của logarit", phép nhân được chuyển thành phép cộng dễ dàng hơn nhiều, phép chia thành phép trừ, nâng lên lũy thừa và lấy căn lần lượt được chuyển thành phép nhân và phép chia theo số mũ.

Công thức của logarit và bảng giá trị của chúng (đối với các hàm lượng giác) được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1614 bởi nhà toán học người Scotland John Napier. Các bảng logarit, được các nhà khoa học khác mở rộng và trình bày chi tiết, được sử dụng rộng rãi trong các tính toán khoa học và kỹ thuật, và vẫn phù hợp cho đến khi máy tính và máy tính điện tử bắt đầu được sử dụng.

Liên quan đến

có thể đặt nhiệm vụ tìm bất kỳ số nào trong ba số từ hai số còn lại đã cho. Cho a và sau đó N được tìm thấy bằng cách lũy thừa. Nếu N được cho và thì a được tìm bằng cách rút căn của lũy thừa x (hoặc lũy thừa). Bây giờ xét trường hợp khi cho trước a và N, cần tìm x.

Cho số N dương: số a dương và không bằng một: .

Sự định nghĩa. Lôgarit của số N cơ số a là số mũ mà bạn cần tăng a để có được số N; logarit được ký hiệu là

Như vậy, trong đẳng thức (26.1), số mũ tìm được là logarit của N mũ a. Mục

có cùng ý nghĩa. Đẳng thức (26.1) đôi khi được gọi là đẳng thức cơ bản của lý thuyết logarit; trên thực tế, nó thể hiện định nghĩa của khái niệm logarit. Theo định nghĩa này, cơ số của logarit a luôn dương và khác đơn vị; số logarit N là số dương. Số âm và số 0 không có logarit. Có thể chứng minh rằng bất kỳ số nào có cơ số cho trước đều có logarit xác định. Do đó, bình đẳng đòi hỏi . Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết ở đây, nếu không thì kết luận sẽ không được chứng minh, vì đẳng thức đúng với mọi giá trị của x và y.

Ví dụ 1. Tìm

Giải pháp. Để có được số, bạn cần nâng cơ số 2 lên lũy thừa Do đó.

Bạn có thể ghi lại khi giải các ví dụ đó theo mẫu sau:

Ví dụ 2. Tìm .

Giải pháp. Chúng ta có

Trong ví dụ 1 và 2, chúng ta dễ dàng tìm được logarit mong muốn bằng cách biểu diễn số có thể logarit dưới dạng một bậc cơ số với số mũ hữu tỷ. Trong trường hợp chung, ví dụ, v.v., điều này không thể thực hiện được vì logarit có giá trị vô tỷ. Chúng ta hãy chú ý đến một câu hỏi liên quan đến lời phát biểu này. Trong § 12, chúng tôi đã đưa ra khái niệm về khả năng xác định bất kỳ lũy thừa thực nào của một số dương cho trước. Điều này là cần thiết cho sự ra đời của logarit, nói chung, có thể là số vô tỷ.

Xét một số tính chất của logarit.

Tính chất 1. Nếu số và cơ số bằng nhau thì logarit bằng một và ngược lại, nếu logarit bằng một thì số và cơ số bằng nhau.

Bằng chứng. Để Theo định nghĩa của logarit, ta có và từ đâu

Ngược lại, đặt Then theo định nghĩa

Tính chất 2. Logarit của cơ số bất kỳ bằng 0.

Bằng chứng. Theo định nghĩa của logarit (lũy thừa không của bất kỳ cơ số dương nào cũng bằng một, xem (10.1)). Từ đây

Q.E.D.

Mệnh đề ngược lại cũng đúng: nếu , thì N = 1. Thật vậy, ta có .

Trước khi phát biểu tính chất sau của logarit, chúng ta hãy đồng ý nói rằng hai số a và b nằm cùng phía với số thứ ba c nếu cả hai đều lớn hơn c hoặc nhỏ hơn c. Nếu một trong những số này lớn hơn c và số kia nhỏ hơn c, thì ta nói rằng chúng nằm ở hai phía đối diện của c.

Tính chất 3. Nếu số và cơ số nằm cùng một phía thì logarit dương; nếu số và cơ sở nằm ở hai phía đối diện của một đơn vị, thì logarit âm.

Chứng minh tính chất 3 dựa trên thực tế là bậc của a lớn hơn 1 nếu cơ số lớn hơn 1 và số mũ dương, hoặc cơ số nhỏ hơn 1 và số mũ âm. Bậc nhỏ hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ âm hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ dương.

Có bốn trường hợp được xem xét:

Chúng tôi giới hạn bản thân trong việc phân tích phần đầu tiên trong số chúng, phần còn lại sẽ được độc giả xem xét độc lập.

Để khi đó số mũ trong đẳng thức không âm cũng không bằng 0, do đó, nó dương, tức là điều cần chứng minh.

Ví dụ 3. Tìm logarit nào sau đây dương và logarit âm:

Giải pháp, a) vì số 15 và cơ sở 12 nằm ở cùng một phía của đơn vị;

b) , vì 1000 và 2 nằm cùng phía với hàng đơn vị; đồng thời, không nhất thiết cơ số phải lớn hơn số logarit;

c), vì 3,1 và 0,8 nằm ở hai phía đối lập của một đơn vị;

g) ; Tại sao?

đ) ; Tại sao?

Các tính chất 4-6 sau đây thường được gọi là quy tắc của logarit: chúng cho phép, khi biết logarit của một số số, tìm logarit của tích, thương, bậc của từng số.

Tính chất 4 (quy tắc tìm logarit của tích). Lôgarit của tích nhiều số dương trong một cơ số cho trước bằng tổng logarit của các số này trong cùng một cơ số.

Bằng chứng. Cho các số dương đã cho.

Đối với logarit tích của chúng, ta viết đẳng thức (26.1) xác định logarit:

Từ đây ta tìm

So sánh số mũ của biểu thức đầu tiên và biểu thức cuối cùng, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:

Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết; logarit của tích hai số âm có nghĩa, nhưng trong trường hợp này, chúng ta có

Nói chung, nếu tích của một số yếu tố là dương, thì logarit của nó bằng tổng logarit của các mô-đun của các yếu tố này.

Tính chất 5 (quy tắc logarit thương). Logarit của một thương của các số dương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia, được lấy trong cùng một cơ số. Bằng chứng. Liên tục tìm

Q.E.D.

Tính chất 6 (quy tắc logarit của bậc). Lôgarit lũy thừa của bất kỳ số dương nào cũng bằng lôgarit của số đó nhân với số mũ.

Bằng chứng. Ta viết lại đẳng thức chính phương (26.1) cho số :

Q.E.D.

Kết quả. Logarit của căn của một số dương bằng logarit của căn số chia cho số mũ của căn:

Chúng ta có thể chứng minh tính đúng đắn của hệ quả này bằng cách trình bày cách thức và cách sử dụng tính chất 6.

Ví dụ 4. Lôgarit cơ số a:

a) (giả sử các giá trị b, c, d, e đều dương);

b) (giả định rằng ).

Lời giải, a) Thật thuận tiện khi chuyển biểu thức này sang lũy ​​thừa phân số:

Dựa trên các đẳng thức (26.5)-(26.7) bây giờ chúng ta có thể viết:

Chúng tôi nhận thấy rằng các phép toán đơn giản hơn được thực hiện trên logarit của các số so với trên chính các số: khi nhân các số, logarit của chúng được cộng, khi chia, chúng bị trừ, v.v.

Đó là lý do tại sao logarit đã được sử dụng trong thực tế tính toán (xem Phần 29).

Hành động nghịch đảo với logarit được gọi là phép thế, cụ thể là: phép thế là hành động mà chính số này được tìm thấy bởi logarit đã cho của một số. Về bản chất, điện thế không phải là bất kỳ hành động đặc biệt nào: nó bắt nguồn từ việc nâng cơ số lên một lũy thừa (bằng logarit của số). Thuật ngữ "thế năng" có thể được coi là đồng nghĩa với thuật ngữ "lũy thừa".

Khi tính thế, cần sử dụng các quy tắc nghịch đảo với quy tắc logarit: thay tổng logarit bằng logarit tích, hiệu của logarit bằng logarit của thương, v.v. Đặc biệt, nếu có bất kỳ yếu tố nào trước dấu của logarit, thì trong quá trình điện thế, nó phải được chuyển sang độ chỉ thị dưới dấu của logarit.

Ví dụ 5. Tìm N nếu biết rằng

Giải pháp. Liên quan đến quy tắc thế vừa nêu, các thừa số 2/3 và 1/3, đứng trước dấu của các logarit ở vế phải của đẳng thức này, sẽ được chuyển sang các số mũ dưới dấu của các logarit này; chúng tôi nhận được

Bây giờ chúng ta thay thế chênh lệch của logarit bằng logarit của thương số:

để được phân số cuối cùng trong dãy đẳng thức này, ta đã giải thoát cho phân số trước khỏi sự vô tỉ ở mẫu số (tiết 25).

Tính chất 7. Nếu cơ số lớn hơn 1 thì số lớn hơn có logarit lớn hơn (và số nhỏ hơn có logarit nhỏ hơn), nếu cơ số nhỏ hơn 1 thì số lớn hơn có logarit nhỏ hơn (và số nhỏ hơn một cái có cái lớn hơn).

Tính chất này cũng được thiết lập như một quy tắc cho logarit của bất đẳng thức, cả hai phần đều dương:

Khi lấy logarit của bất phương trình có cơ số lớn hơn 1 thì dấu của bất phương trình được giữ nguyên, còn khi lấy logarit của bất phương trình có cơ số nhỏ hơn 1 thì dấu của bất phương trình đổi dấu (xem thêm trang 80).

Chứng minh dựa trên tính chất 5 và 3. Xét trường hợp Nếu , thì và, lấy logarit, ta thu được

(a và N/M nằm cùng một phía). Từ đây

Trường hợp sau đây, bạn đọc tự tìm hiểu.

định nghĩa logarit

Lôgarit của số b cơ số a là số mũ mà bạn cần tăng a để có được b.

số e trong toán học, người ta thường biểu thị giới hạn mà biểu thức có xu hướng

số e là số vô tỉ- một số không thể so sánh với một, nó không thể được biểu thị chính xác dưới dạng toàn bộ hoặc dưới dạng phân số hợp lý con số.

Thư e- chữ cái đầu tiên của một từ Latinh miễn tội- để phô trương, do đó tên trong toán học số mũ- hàm số mũ.

Con số eđược sử dụng rộng rãi trong toán học và trong tất cả các ngành khoa học, bằng cách này hay cách khác sử dụng các phép tính toán học cho nhu cầu của họ.

logarit. Tính chất của logarit

Định nghĩa: Lôgarit cơ số của một số dương b là số mũ c mà số a phải tăng lên để có được số b.

Nhận dạng logarit cơ bản:

7) Công thức chuyển đổi sang cơ sở mới:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Các nhiệm vụ và bài kiểm tra về chủ đề “Logarit. Tính chất của logarit»

• Logarit - Các chủ đề quan trọng để lặp lại kỳ thi trong toán học

Để hoàn thành xuất sắc các nhiệm vụ về chủ đề này, bạn phải biết định nghĩa của logarit, các tính chất của logarit, nhận dạng logarit cơ bản, các định nghĩa về logarit thập phân và tự nhiên. Các loại nhiệm vụ chính trong chủ đề này là các nhiệm vụ tính toán và chuyển đổi các biểu thức logarit. Hãy xem xét giải pháp của họ trên các ví dụ sau.

Giải pháp: Sử dụng các tính chất của logarit, chúng tôi nhận được

Giải pháp: sử dụng các thuộc tính của mức độ, chúng tôi nhận được

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Tính chất của logarit, công thức và cách chứng minh.

Logarit có một số tính chất đặc trưng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích chính tính chất của logarit. Ở đây chúng tôi đưa ra công thức của chúng, viết ra các tính chất của logarit dưới dạng công thức, đưa ra các ví dụ về ứng dụng của chúng, đồng thời đưa ra bằng chứng về các tính chất của logarit.

Điều hướng trang.

Tính chất cơ bản của logarit, công thức

Để dễ nhớ và dễ sử dụng, chúng tôi trình bày tính chất cơ bản của logarit như một danh sách các công thức. Trong phần tiếp theo, chúng tôi đưa ra các công thức, bằng chứng, ví dụ về cách sử dụng và các giải thích cần thiết.

Thuộc tính nhật ký đơn vị: log a 1=0 cho bất kỳ a>0 , a≠1 .

Lôgarit của một số bằng cơ số: log a a=1 for a>0 , a≠1 .

Thuộc tính logarit bậc cơ sở: log a a p =p , trong đó a>0 , a≠1 và p là bất kỳ số thực nào.

Lôgarit của tích hai số dương: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
và tính chất logarit của tích n số dương: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .

Thuộc tính logarit riêng: , trong đó a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logarit lũy thừa của một số: log a b p =p log a |b| , trong đó a>0 , a≠1 , b và p là các số sao cho bậc của b p có nghĩa và b p >0 .

Kết quả: , trong đó a>0 , a≠1 , n là số tự nhiên lớn hơn một, b>0 .

Hệ quả 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Hệ quả 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p và q là các số thực, q≠0 , đặc biệt, với b=a ta có .

Tuyên bố và bằng chứng về tài sản

Chúng tôi chuyển sang công thức và chứng minh các tính chất được ghi lại của logarit. Tất cả các tính chất của logarit được chứng minh trên cơ sở định nghĩa của logarit và đồng nhất logarit cơ bản xuất phát từ nó, cũng như các tính chất của bậc.

Hãy bắt đầu với tính chất của logarit đơn vị. Công thức của nó như sau: logarit của đơn vị bằng 0, nghĩa là, đăng nhập 1=0 cho bất kỳ a>0 , a≠1 . Chứng minh rất đơn giản: vì a 0 =1 với bất kỳ a nào thỏa mãn các điều kiện trên a>0 và a≠1 , nên đẳng thức đã được chứng minh log a 1=0 ngay sau định nghĩa của logarit.

Hãy đưa ra các ví dụ về ứng dụng của thuộc tính được xem xét: log 3 1=0 , lg1=0 và .

Hãy chuyển sang thuộc tính tiếp theo: logarit của một số bằng cơ số bằng một, đó là, log a a=1 cho a>0 , a≠1 . Thật vậy, vì a 1 =a với bất kỳ a , nên theo định nghĩa của logarit log a a=1 .

Ví dụ về việc sử dụng thuộc tính này của logarit là log 5 5=1 , log 5.6 5.6 và lne=1 .

Lôgarit của lũy thừa của một số bằng cơ số của logarit thì bằng số mũ. Tính chất này của logarit tương ứng với một công thức có dạng log a a p = p, trong đó a>0 , a≠1 và p là một số thực bất kỳ. Tính chất này theo trực tiếp từ định nghĩa của logarit. Lưu ý rằng nó cho phép bạn chỉ định ngay giá trị của logarit, nếu có thể biểu thị số dưới dấu của logarit dưới dạng cấp cơ số, chúng ta sẽ nói thêm về điều này trong bài viết tính toán logarit.

Ví dụ: log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 và .

Lôgarit của tích hai số dương x và y bằng tích logarit của các số này: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Hãy để chúng tôi chứng minh tài sản của logarit của sản phẩm. Do tính chất của bậc a log a x + log a y =a log a x a log a y , và do đồng nhất logarit chính a log a x =x và log a y = y , nên a log a x a log a y =x y . Do đó, a log a x+log a y =x y , từ đó đẳng thức cần thiết tuân theo định nghĩa của logarit.

Hãy cho thấy các ví dụ về việc sử dụng thuộc tính logarit của tích: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 và .

Tính chất logarit tích có thể được tổng quát thành tích của một số hữu hạn n các số dương x 1 , x 2 , …, x n như log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ví dụ: logarit tự nhiên của một tích có thể được thay thế bằng tổng của ba logarit tự nhiên của các số 4 , e , và .

Logarit của thương của hai số dương x và y bằng hiệu giữa logarit của các số này. Tính chất của logarit thương tương ứng với một công thức có dạng , trong đó a>0 , a≠1 , x và y là một số dương. Tính hợp lệ của công thức này được chứng minh giống như công thức tính logarit của tích: vì , thì theo định nghĩa của logarit .

Đây là một ví dụ về việc sử dụng tính chất này của logarit: .

Hãy chuyển sang tính chất của logarit bậc. Logarit của một bậc bằng tích của số mũ và logarit của mô đun cơ số của bậc này. Chúng tôi viết thuộc tính này của logarit của mức độ dưới dạng công thức: log a b p =p log a |b|, trong đó a>0 , a≠1 , b và p là các số sao cho bậc của b p có nghĩa và b p >0 .

Đầu tiên chúng ta chứng minh tính chất này cho dương b . Đồng nhất logarit cơ bản cho phép chúng ta biểu diễn số b dưới dạng a log a b , sau đó b p =(a log a b) p và biểu thức kết quả, do thuộc tính lũy thừa, bằng a p log a b . Vì vậy, chúng ta đi đến đẳng thức b p =a p log a b , từ đó, theo định nghĩa của logarit, chúng ta kết luận rằng log a b p =p log a b .

Nó vẫn còn để chứng minh tài sản này cho tiêu cực b . Ở đây chúng ta lưu ý rằng biểu thức log a b p cho âm b chỉ có nghĩa đối với số mũ chẵn p (vì giá trị của bậc b p phải lớn hơn 0, nếu không logarit sẽ không có nghĩa), và trong trường hợp này b p =|b| P . Khi đó b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , từ đó log a b p =p log a |b| .

Ví dụ, và ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Nó theo sau từ tài sản trước đó thuộc tính của logarit từ gốc: logarit của căn bậc n bằng tích của phân số 1/n và logarit của biểu thức căn, nghĩa là a>0, a≠1, n là số tự nhiên lớn hơn 1, b>0.

Bằng chứng dựa trên một đẳng thức (xem định nghĩa của số mũ với số mũ phân số), có giá trị đối với mọi số dương b và thuộc tính logarit của bậc: .

Dưới đây là một ví dụ về việc sử dụng thuộc tính này: .

Bây giờ hãy chứng minh công thức chuyển đổi sang cơ số mới của logarit loại . Để làm điều này, chỉ cần chứng minh tính hợp lệ của đẳng thức log c b=log a b log c a . Đồng nhất logarit cơ bản cho phép chúng ta biểu diễn số b dưới dạng a log a b , sau đó log c b=log c a log a b . Vẫn còn sử dụng thuộc tính logarit của bậc: log c a log a b = log a b log c a . Như vậy, đẳng thức log c b=log a b log c a đã được chứng minh, nghĩa là công thức chuyển sang cơ số mới của logarit cũng được chứng minh .

Hãy chỉ ra một vài ví dụ về việc áp dụng tính chất này của logarit: và .

Công thức chuyển sang cơ số mới cho phép bạn chuyển sang làm việc với các logarit có cơ sở “thuận tiện”. Ví dụ: nó có thể được sử dụng để chuyển sang logarit tự nhiên hoặc thập phân để bạn có thể tính giá trị của logarit từ bảng logarit. Công thức chuyển sang cơ số mới của logarit cũng cho phép trong một số trường hợp tìm giá trị của một logarit đã cho, khi đã biết giá trị của một số logarit với các cơ số khác.

Một trường hợp đặc biệt của công thức chuyển sang cơ số mới của logarit cho c=b có dạng thường được sử dụng. Điều này chứng tỏ rằng log a b và log b a là hai số nghịch đảo. Ví dụ, .

Công thức cũng thường được sử dụng, thuận tiện khi tìm các giá trị logarit. Để xác nhận lời nói của chúng tôi, chúng tôi sẽ chỉ ra cách tính giá trị của logarit của biểu mẫu bằng cách sử dụng nó. Chúng ta có . Để chứng minh công thức, chỉ cần sử dụng công thức chuyển sang cơ số mới của logarit a là đủ: .

Nó vẫn còn để chứng minh tính chất so sánh của logarit.

Hãy sử dụng phương pháp ngược lại. Giả sử rằng với a 1 >1 , a 2 >1 và a 1 2 và với 0 1 log a 1 b≤log a 2 b đều đúng. Theo tính chất của logarit, các bất đẳng thức này có thể viết lại thành Và tương ứng, và từ chúng suy ra log b a 1 ≤log b a 2 và log b a 1 ≥log b a 2 tương ứng. Khi đó, theo tính chất của các lũy thừa cùng cơ số, các đẳng thức b log b a 1 ≥b log b a 2 và b log b a 1 ≥b log b a 2 phải được thỏa mãn, tức là a 1 ≥a 2 . Như vậy, ta đã đi đến mâu thuẫn với điều kiện a 1 2 . Điều này hoàn thành bằng chứng.

Tính chất cơ bản của logarit

• Tài liệu cho bài học
• Tải xuống tất cả các công thức

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và chuyển đổi theo mọi cách có thể. Nhưng vì logarit không phải là những số hoàn toàn bình thường, nên có những quy tắc ở đây, được gọi là Các tính chất cơ bản.

Những quy tắc này phải được biết - không có vấn đề logarit nghiêm trọng nào có thể được giải quyết nếu không có chúng. Ngoài ra, có rất ít trong số chúng - mọi thứ đều có thể học được trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: log a x và log a y . Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

Vì vậy, tổng của logarit bằng logarit của sản phẩm và sự khác biệt là logarit của thương số. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là - cùng căn cứ. Nếu các căn cứ khác nhau, các quy tắc này không hoạt động!

Các công thức này sẽ giúp tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được xem xét (xem bài học "Logarit là gì"). Hãy xem các ví dụ - và xem:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 6 4 + log 6 9.

Vì cơ số của logarit là như nhau nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48−log 2 3.

Các cơ sở là như nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135−log 3 5.

Một lần nữa, các cơ sở là như nhau, vì vậy chúng tôi có:
log 3 135−log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ các logarit "xấu", không được xem xét riêng. Nhưng sau khi biến đổi, những con số khá bình thường xuất hiện. Nhiều thử nghiệm dựa trên thực tế này. Vâng, sự kiểm soát đó - các biểu thức tương tự ở tất cả mức độ nghiêm trọng (đôi khi - hầu như không có thay đổi) được đưa ra trong kỳ thi.

Xóa số mũ khỏi logarit

Bây giờ hãy làm phức tạp nhiệm vụ một chút. Nếu có một mức độ trong cơ số hoặc đối số của logarit thì sao? Sau đó, số mũ của mức độ này có thể được lấy ra khỏi dấu của logarit theo các quy tắc sau:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Dễ dàng nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên của họ. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên ghi nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ giảm đáng kể lượng tính toán.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ logarit ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Và một điều nữa: hãy học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là bạn có thể nhập các số trước dấu của logarit vào chính logarit đó. Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 7 49 6 .

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số theo công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

[Chú thích hình]

Lưu ý rằng mẫu số là một logarit có cơ số và đối số là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Chúng ta có:

[Chú thích hình]

Tôi nghĩ rằng ví dụ cuối cùng cần làm rõ. Logarit đã biến đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Họ trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng độ và lấy ra các chỉ số - họ nhận được một phân số “ba tầng”.

Bây giờ hãy nhìn vào phân số chính. Tử số và mẫu số bằng nhau: log 2 7. Vì log 2 7 ≠ 0 nên ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ giữ nguyên mẫu số. Theo các quy tắc của số học, bốn có thể được chuyển đến tử số, điều này đã được thực hiện. Kết quả là đáp án: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với cùng một cơ số. Nếu các căn cứ khác nhau thì sao? Điều gì xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức để chuyển sang một cơ sở mới được giải cứu. Chúng tôi xây dựng chúng dưới dạng một định lý:

Cho logarit log a x đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

[Chú thích hình]

Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x , chúng ta sẽ nhận được:

[Chú thích hình]

Từ công thức thứ hai, có thể hoán đổi cơ số và đối số của logarit, nhưng trong trường hợp này, toàn bộ biểu thức bị “lật ngược”, tức là logarit ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Chỉ có thể đánh giá mức độ tiện lợi của chúng khi giải các phương trình và bất phương trình logarit.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ hoàn toàn không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang một nền tảng mới. Hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 log 2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả logarit là số mũ chính xác. Hãy lấy ra các chỉ số: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Bây giờ hãy lật logarit thứ hai:

[Chú thích hình]

Vì tích không đổi từ hoán vị thừa số nên ta bình tĩnh nhân bốn với hai rồi tính ra logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit đầu tiên là lũy thừa chính xác. Hãy viết nó ra và loại bỏ các chỉ số:

[Chú thích hình]

Bây giờ, hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

[Chú thích hình]

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường, trong quá trình giải, người ta yêu cầu biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số nhất định. Trong trường hợp này, các công thức sẽ giúp chúng tôi:

1. n = log a a n

2. Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n hoàn toàn có thể là bất cứ thứ gì, bởi vì nó chỉ là giá trị của logarit.

   Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Nó được gọi là đồng nhất logarit cơ bản.

   Thật vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên lũy thừa sao cho số b lũy thừa này cho số a? Đúng vậy: đây là cùng một số a . Đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người "treo" nó.

   Giống như các công thức chuyển đổi cơ số mới, đồng nhất logarit cơ số đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

   [Chú thích hình]

   Lưu ý rằng log 25 64 = log 5 8 - chỉ lấy bình phương của cơ số và đối số của logarit. Đưa ra quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số, ta có:

   [Chú thích hình]

   Nếu ai đó không biết, đây là một nhiệm vụ thực sự từ Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước 🙂

   Đơn vị logarit và số không logarit

   Để kết luận, tôi sẽ đưa ra hai đặc điểm nhận dạng khó gọi là thuộc tính - đúng hơn, đây là những hệ quả từ định nghĩa của logarit. Chúng liên tục được tìm thấy trong các bài toán và đáng ngạc nhiên là chúng tạo ra các bài toán ngay cả đối với những học sinh "nâng cao".

   1. log a a = 1 là logarit đơn vị. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào từ chính cơ số này bằng một.
   2. log a 1 = 0 là logarit bằng 0. Cơ số a có thể là bất cứ thứ gì, nhưng nếu đối số là một - logarit bằng 0! Vì a 0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

   Đó là tất cả các thuộc tính. Hãy chắc chắn để thực hành đưa chúng vào thực tế! Tải xuống bảng gian lận ở đầu bài học, in ra - và giải các bài toán.

   logarit. Các tính chất của logarit (cộng và trừ).

   Tính chất của logarit làm theo từ định nghĩa của nó. Và do đó logarit của số b bởi lý do MỘTđược định nghĩa là số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể lấy số b(logarit chỉ tồn tại cho các số dương).

   Từ công thức này suy ra phép tính x=log a b, tương đương với việc giải phương trình trục=b. Ví dụ, nhật ký 2 8 = 3 bởi vì 8 = 2 3 . Công thức của logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b bởi lý do Một bằng Với. Rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan chặt chẽ với chủ đề lũy thừa của một số.

   Với logarit, cũng như với bất kỳ số nào, bạn có thể thực hiện phép cộng, phép trừ và biến đổi theo mọi cách có thể. Nhưng vì logarit không phải là những số hoàn toàn bình thường, các quy tắc đặc biệt của riêng chúng được áp dụng ở đây, được gọi là Các tính chất cơ bản.

   Phép cộng và phép trừ logarit.

   Lấy hai logarit có cùng cơ số: nhật ký x Và đăng nhập một y. Sau đó loại bỏ nó để có thể thực hiện các phép toán cộng và trừ:

   Như chúng ta thấy, tổng logarit bằng logarit của sản phẩm, và sự khác biệt logarit- logarit của thương số. Và điều này đúng nếu những con số MỘT, X Và Tại tích cực và một ≠ 1.

   Điều quan trọng cần lưu ý là khía cạnh chính trong các công thức này là các cơ sở giống nhau. Nếu các căn cứ khác nhau, các quy tắc này không được áp dụng!

   Các quy tắc cộng và trừ logarit có cùng cơ số không chỉ được đọc từ trái sang phải mà còn ngược lại. Kết quả là, chúng ta có các định lý về logarit của tích và logarit của thương.

   Logarit của sản phẩm hai số dương bằng tổng logarit của chúng ; diễn giải định lý này, chúng ta nhận được như sau, nếu các số MỘT, x Và Tại tích cực và một ≠ 1, Cái đó:

   Logarit của thương của hai số dương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia. Nói cách khác, nếu các số MỘT, X Và Tại tích cực và một ≠ 1, Cái đó:

   Ta áp dụng các định lý trên để giải ví dụ:

   Nếu số x Và Tại là tiêu cực, sau đó công thức logarit sản phẩm trở nên vô nghĩa. Vì vậy, nó bị cấm viết:

   vì các biểu thức log 2 (-8) và log 2 (-4) hoàn toàn không được xác định (hàm logarit Tại= nhật ký 2 X chỉ được xác định cho các giá trị dương của đối số X).

   định lý tíchđược áp dụng không chỉ cho hai mà còn cho vô số yếu tố. Điều này có nghĩa là đối với mọi tự nhiên k và mọi số dương x 1 , x 2 , . . . ,xn có một danh tính:

   Từ định lý logarit thương có thể thu được thêm một tính chất của logarit. Người ta biết rằng nhật ký Một 1= 0, do đó,

   Vậy có đẳng thức:

   Logarit của hai số đối nhau trên cùng một cơ sở sẽ chỉ khác nhau về dấu hiệu. Vì thế:

   logarit. Tính chất của logarit

   logarit. Tính chất của logarit

   Xét bình đẳng. Hãy cho chúng tôi biết các giá trị và chúng tôi muốn tìm giá trị của .

   Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm một số mũ mà bạn cần phải gõ để có được .

   Cho phép biến có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, khi đó các hạn chế sau được áp dụng cho các biến: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Nếu chúng ta biết các giá trị của và , và chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ tìm ẩn số, thì với mục đích này, một phép toán được đưa ra, được gọi là logarit.

   Để tìm giá trị ta lấy logarit của một số Qua sự thành lập :

   Lôgarit của một số đối với cơ số là số mũ mà bạn cần tăng để có được .

   Đó là nhận dạng logarit cơ bản:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   về cơ bản là một ký hiệu toán học logarit định nghĩa.

   Phép toán logarit là nghịch đảo của lũy thừa, vì vậy tính chất của logarit có liên quan chặt chẽ với các thuộc tính của mức độ.

   Chúng tôi liệt kê chính tính chất của logarit:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Nhóm thuộc tính sau đây cho phép bạn biểu diễn số mũ của biểu thức dưới dấu của logarit hoặc đứng ở cơ số của logarit dưới dạng hệ số trước dấu của logarit:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Nhóm công thức tiếp theo cho phép bạn chuyển từ logarit có cơ số cho trước sang logarit có cơ số tùy ý và được gọi là công thức chuyển đổi sang một cơ sở mới:

   10.

   12. (hệ quả từ tài sản 11)

   

   Ba tính chất sau không được biết nhiều nhưng chúng thường được sử dụng khi giải phương trình logarit hoặc khi rút gọn các biểu thức chứa logarit:

   13.

   14.

   15.

   Trường hợp đặc biệt:

   — logarit thập phân

   — logarit tự nhiên

   Khi đơn giản hóa các biểu thức chứa logarit, một cách tiếp cận chung được áp dụng:

   1. Ta biểu diễn phân số thập phân dưới dạng phân số bình thường.

   2. Chúng ta biểu diễn hỗn số dưới dạng phân số không chính xác.

   3. Các số ở cơ số của logarit và dưới dấu của logarit được phân tích thành các thừa số nguyên tố.

   4. Chúng tôi cố gắng đưa tất cả logarit về cùng một cơ số.

   5. Áp dụng các tính chất của logarit.

   Hãy xem các ví dụ về rút gọn các biểu thức chứa logarit.

   ví dụ 1

   Tính toán:

   Hãy đơn giản hóa tất cả các số mũ: nhiệm vụ của chúng ta là đưa chúng về logarit, cơ số của nó bằng cơ số của số mũ.

   ==(theo thuộc tính 7)=(theo thuộc tính 6) =

   Thay thế các chỉ số mà chúng tôi đã thu được trong biểu thức ban đầu. Chúng tôi nhận được:

   Đáp số: 5,25

   Ví dụ 2 Tính:

   

   Chúng tôi đưa tất cả logarit về cơ số 6 (trong trường hợp này, logarit từ mẫu số của phân số sẽ "di chuyển" sang tử số):

   Hãy phân tích các số dưới dấu logarit thành các thừa số nguyên tố:

   Áp dụng tính chất 4 và 6:

   Chúng tôi giới thiệu sự thay thế

   Chúng tôi nhận được:

   Trả lời 1

   logarit . Nhận dạng logarit cơ bản.

   Các tính chất của logarit. logarit thập phân. logarit tự nhiên.

   logarit số dương N trong cơ số (b > 0, b 1) được gọi là số mũ x mà bạn cần tăng b để có được N .

   Mục nhập này tương đương với mục sau: b x = N .

   VÍ DỤ: log 3 81 = 4 vì 3 4 = 81 ;

   nhật ký 1/3 27 = – 3 vì (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Định nghĩa trên của logarit có thể được viết dưới dạng một đơn vị:

   

   Tính chất cơ bản của logarit.

   2) nhật ký 1 = 0 vì b 0 = 1 .

   3) Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số:

   4) Logarit của thương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia:

   5) Lôgarit của bậc bằng tích của số mũ và lôgarit của cơ số:

   Hậu quả của tài sản này là như sau: đăng nhập gốc bằng logarit của căn số chia cho lũy thừa của căn:

   

   6) Nếu cơ số của logarit là một mức độ, thì giá trị đối ứng của số mũ có thể được lấy ra khỏi dấu hiệu nhật ký vần:

   

   Hai thuộc tính cuối cùng có thể được kết hợp thành một:

   

   7) Công thức cho mô đun chuyển tiếp (tức là chuyển đổi từ một cơ số của logarit sang một cơ số khác):

   

   Trong một trường hợp cụ thể, khi N = một chúng ta có:

   

   logarit thập phân gọi điện logarit cơ số 10. Nó được ký hiệu là lg, tức là. nhật ký 10 N= nhật ký N. Lôgarit của các số 10, 100, 1000, . p lần lượt là 1, 2, 3, …, tức là có rất nhiều tích cực

   đơn vị, có bao nhiêu số 0 trong dãy số logarit sau một. Logarit của các số 0.1, 0.01, 0.001, . p lần lượt là –1, –2, –3, …, tức là có nhiều số âm bằng số 0 trong số logarit trước số 1 (kể cả số nguyên 0). Lôgarit của các số còn lại có phần phân số là bọ ngựa. Phần nguyên của logarit được gọi là đặc trưng. Đối với các ứng dụng thực tế, logarit thập phân là thuận tiện nhất.

   logarit tự nhiên gọi điện logarit cơ số e. Nó được ký hiệu là ln, tức là đăng nhập e N=ln N. Con số e không hợp lý, giá trị gần đúng của nó là 2,718281828. Đó là giới hạn mà số (1 + 1 / N) N với sự gia tăng không giới hạn N(cm. giới hạn tuyệt vời đầu tiên trên trang Giới hạn dãy số).
   Nghe có vẻ kỳ lạ nhưng logarit tự nhiên hóa ra lại rất thuận tiện khi thực hiện các thao tác khác nhau liên quan đến phân tích các hàm. Tính logarit cơ số e nhanh hơn nhiều so với bất kỳ cơ sở nào khác.

• Hôm nay bạn cần gì để nhận con nuôi ở Nga? Việc nhận con nuôi ở Nga, ngoài quyết định cá nhân có trách nhiệm, còn liên quan đến một số thủ tục xác minh nhà nước đối với các ứng cử viên. Lựa chọn khắt khe ở giai đoạn chuẩn bị góp phần […]
• Thông tin miễn phí theo TIN hoặc OGRN từ sổ đăng ký thuế trên toàn nước Nga - trực tuyến Trên Cổng dịch vụ thuế thống nhất, thông tin về đăng ký nhà nước của các pháp nhân, doanh nhân cá nhân, […]
• Hình phạt khi lái xe không có giấy tờ (bằng lái xe, bảo hiểm, STS) Đôi khi, do đãng trí, người lái xe không có giấy phép lái xe và bị phạt vì lái xe không có giấy tờ. Hãy nhớ lại rằng một người lái xe ô tô lái xe với anh ta chắc chắn […]
• Hoa dành cho nam giới. Bạn có thể tặng loại hoa nào cho một người đàn ông? Những bông hoa nào có thể được tặng cho một người đàn ông? Không có nhiều hoa "nam", nhưng có những loài được trao cho nam giới. Một danh sách nhỏ các loài hoa trước mặt bạn: Hoa cúc. hoa hồng. Hoa cẩm chướng. […]
• Bản ghi nhớ là một dạng tài liệu đặc biệt được sử dụng trong môi trường nội bộ của doanh nghiệp và giúp giải quyết nhanh chóng các vấn đề sản xuất hiện tại. Thông thường, tài liệu này được soạn thảo với mục đích đưa ra một số […]
• Khi nào và làm thế nào để nhận được một phần lương hưu được tài trợ ở Sberbank? Sberbank là ngân hàng đối tác của quỹ hưu trí nhà nước. Trên cơ sở này, những công dân đã cấp lương hưu được tài trợ có thể chuyển […]
• Trợ cấp trẻ em ở Ulyanovsk và vùng Ulyanovsk năm 2018 Ngoài ra, các chương trình được luật liên bang phê duyệt đang hoạt động ở tất cả các vùng. Hãy xem ai và những lợi ích nào có thể tin cậy. Khi chính quyền khu vực […]
• Hướng dẫn chi tiết cách soạn thảo giấy ủy quyền đại diện cho quyền lợi của cá nhân trước tòa Trong vụ án dân sự, trọng tài, vụ án hành chính hay hình sự, quyền lợi của cả nguyên đơn và bị đơn đều có thể được đại diện bởi luật sư: […]

Các tính chất cơ bản.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

cùng căn cứ

log6 4 + log6 9.

Bây giờ hãy làm phức tạp nhiệm vụ một chút.

Ví dụ giải logarit

Nếu có một mức độ trong cơ số hoặc đối số của logarit thì sao? Sau đó, số mũ của mức độ này có thể được lấy ra khỏi dấu của logarit theo các quy tắc sau:

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân theo logarit ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Chuyển sang nền tảng mới

Để logarit logax đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Xem thêm:

Các tính chất cơ bản của logarit

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Số mũ là 2,718281828…. Để nhớ số mũ, bạn có thể nghiên cứu quy tắc: số mũ là 2,7 và gấp đôi năm sinh của Leo Tolstoy.

Tính chất cơ bản của logarit

Biết quy tắc này, bạn sẽ biết cả giá trị chính xác của số mũ và ngày sinh của Leo Tolstoy.

Ví dụ về logarit

Lấy logarit của biểu thức

ví dụ 1
MỘT). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Theo tính chất 3,5 ta tính được

2.

3.

4. Ở đâu .

Ví dụ 2 Tìm x nếu

Ví dụ 3. Cho giá trị của logarit

Tính log(x) nếu

Tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và chuyển đổi theo mọi cách có thể. Nhưng vì logarit không phải là những số hoàn toàn bình thường, nên có những quy tắc ở đây, được gọi là Các tính chất cơ bản.

Những quy tắc này phải được biết - không có vấn đề logarit nghiêm trọng nào có thể được giải quyết nếu không có chúng. Ngoài ra, có rất ít trong số chúng - mọi thứ đều có thể học được trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: logax và logay. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Vì vậy, tổng của logarit bằng logarit của sản phẩm và sự khác biệt là logarit của thương số. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là - cùng căn cứ. Nếu các căn cứ khác nhau, các quy tắc này không hoạt động!

Các công thức này sẽ giúp tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được xem xét (xem bài học "Logarit là gì"). Hãy xem các ví dụ và xem:

Vì cơ số của logarit là như nhau nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log2 48−log2 3.

Các cơ sở là như nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log2 48−log2 3 = log2(48:3) = log2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log3 135−log3 5.

Một lần nữa, các cơ sở là như nhau, vì vậy chúng tôi có:
log3 135−log3 5 = log3(135:5) = log3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ các logarit "xấu", không được xem xét riêng. Nhưng sau khi biến đổi, những con số khá bình thường xuất hiện. Nhiều thử nghiệm dựa trên thực tế này. Có, kiểm soát - các biểu thức tương tự ở tất cả mức độ nghiêm trọng (đôi khi - hầu như không có thay đổi) được đưa ra trong kỳ thi.

Xóa số mũ khỏi logarit

Dễ dàng nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên của họ. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên ghi nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ giảm đáng kể lượng tính toán.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ logarit ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Và một điều nữa: hãy học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là bạn có thể nhập các số trước dấu của logarit vào chính logarit đó. Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log7 496.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số theo công thức đầu tiên:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số là một logarit có cơ số và đối số là lũy thừa chính xác: 16 = 24; 49 = 72. Ta có:

Tôi nghĩ rằng ví dụ cuối cùng cần làm rõ. Logarit đã biến đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số.

Các công thức của logarit. Logarit là ví dụ về các giải pháp.

Họ trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng độ và lấy ra các chỉ số - họ nhận được một phân số “ba tầng”.

Bây giờ hãy nhìn vào phân số chính. Tử số và mẫu số bằng nhau: log2 7. Vì log2 7 ≠ 0 nên ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ giữ nguyên mẫu số. Theo các quy tắc của số học, bốn có thể được chuyển đến tử số, điều này đã được thực hiện. Kết quả là đáp án: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với cùng một cơ số. Nếu các căn cứ khác nhau thì sao? Điều gì xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức để chuyển sang một cơ sở mới được giải cứu. Chúng tôi xây dựng chúng dưới dạng một định lý:

Để logarit logax đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng ta sẽ nhận được:

Từ công thức thứ hai, có thể hoán đổi cơ số và đối số của logarit, nhưng trong trường hợp này, toàn bộ biểu thức bị “lật ngược”, tức là logarit ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Chỉ có thể đánh giá mức độ tiện lợi của chúng khi giải các phương trình và bất phương trình logarit.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ hoàn toàn không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang một nền tảng mới. Hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log5 16 log2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả logarit là số mũ chính xác. Hãy lấy ra các chỉ số: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Bây giờ hãy lật logarit thứ hai:

Vì tích không đổi từ hoán vị thừa số nên ta bình tĩnh nhân bốn với hai rồi tính ra logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit đầu tiên là lũy thừa chính xác. Hãy viết nó ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ, hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường, trong quá trình giải, người ta yêu cầu biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số nhất định. Trong trường hợp này, các công thức sẽ giúp chúng tôi:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n hoàn toàn có thể là bất cứ thứ gì, bởi vì nó chỉ là giá trị của logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Nó được gọi như thế này:

Thật vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên một mức độ sao cho số b trong mức độ này cho số a? Đúng rồi: đây là số giống nhau a. Đọc kỹ lại đoạn này - nhiều người “treo” nó.

Giống như các công thức chuyển đổi cơ số mới, đồng nhất logarit cơ số đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng log25 64 = log5 8 - vừa lấy bình phương ra khỏi cơ số và đối số của logarit. Đưa ra quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số, ta có:

Nếu ai đó không biết, đây là một nhiệm vụ thực sự từ Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước 🙂

Đơn vị logarit và số không logarit

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra hai đặc điểm nhận dạng khó gọi là thuộc tính - đúng hơn, đây là những hệ quả từ định nghĩa của logarit. Chúng liên tục được tìm thấy trong các bài toán và đáng ngạc nhiên là chúng tạo ra các bài toán ngay cả đối với những học sinh "nâng cao".

1. logaa = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào từ chính cơ số đó bằng một.
2. loga 1 = 0 là. Cơ số a có thể là bất kỳ thứ gì, nhưng nếu đối số là một, thì logarit bằng 0! Vì a0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả các thuộc tính. Hãy chắc chắn để thực hành đưa chúng vào thực tế! Hãy tải xuống cheat sheet ở đầu bài học, in ra và giải các bài toán.

Xem thêm:

Lôgarit của số b với cơ số a biểu thị biểu thức. Để tính logarit có nghĩa là tìm một lũy thừa x () mà tại đó đẳng thức là đúng

Các tính chất cơ bản của logarit

Các tính chất trên cần phải được biết, vì trên cơ sở của chúng, hầu hết các bài toán và ví dụ đều được giải dựa trên logarit. Các thuộc tính kỳ lạ còn lại có thể được rút ra bằng các thao tác toán học với các công thức này

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Khi tính toán các công thức tính tổng và hiệu của logarit (3.4) được gặp khá thường xuyên. Phần còn lại hơi phức tạp, nhưng trong một số nhiệm vụ, chúng không thể thiếu để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp và tính toán các giá trị của chúng.

Các trường hợp phổ biến của logarit

Một số logarit phổ biến là những logarit có cơ số chẵn là 10, hàm mũ hoặc hàm số mũ.
Logarit cơ số 10 thường được gọi là logarit cơ số 10 và được ký hiệu đơn giản là lg(x).

Từ bản ghi có thể thấy rằng những điều cơ bản không được ghi trong bản ghi. Ví dụ

Lôgarit tự nhiên là lôgarit có cơ số là số mũ (kí hiệu là ln(x)).

Số mũ là 2,718281828…. Để nhớ số mũ, bạn có thể nghiên cứu quy tắc: số mũ là 2,7 và gấp đôi năm sinh của Leo Tolstoy. Biết quy tắc này, bạn sẽ biết cả giá trị chính xác của số mũ và ngày sinh của Leo Tolstoy.

Và một logarit cơ số hai quan trọng khác là

Đạo hàm của logarit của hàm bằng một chia cho biến

Lôgarit nguyên hàm hoặc nguyên hàm được xác định bởi sự phụ thuộc

Tài liệu trên đủ để bạn giải nhiều dạng bài toán liên quan đến logarit và logarit. Để đồng hóa tài liệu, tôi sẽ chỉ đưa ra một vài ví dụ phổ biến từ chương trình giảng dạy ở trường và đại học.

Ví dụ về logarit

Lấy logarit của biểu thức

ví dụ 1
MỘT). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Theo tính chất 3,5 ta tính được

2.
Theo tính chất sai phân của logarit, ta có

3.
Sử dụng tính chất 3.5 ta tìm được

4. Ở đâu .

Một biểu thức có vẻ phức tạp sử dụng một loạt các quy tắc được đơn giản hóa thành dạng

Tìm giá trị logarit

Ví dụ 2 Tìm x nếu

Giải pháp. Để tính toán, chúng tôi áp dụng tính chất 5 và 13 cho đến thuật ngữ cuối cùng

Thay thế trong hồ sơ và thương tiếc

Vì các cơ sở bằng nhau, chúng ta đánh đồng các biểu thức

logarit. Cấp độ đầu tiên.

Đặt giá trị của logarit đã cho

Tính log(x) nếu

Giải: Lấy logarit của biến để viết logarit thông qua tổng các số hạng

Đây mới chỉ là bước đầu làm quen với logarit và các tính chất của chúng. Thực hành các phép tính, nâng cao kỹ năng thực hành của bạn - bạn sẽ sớm cần những kiến ​​​​thức thu được để giải các phương trình logarit. Sau khi nghiên cứu các phương pháp cơ bản để giải các phương trình như vậy, chúng tôi sẽ mở rộng kiến ​​​​thức của bạn về một chủ đề khác không kém phần quan trọng - bất phương trình logarit ...

Tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và chuyển đổi theo mọi cách có thể. Nhưng vì logarit không phải là những số hoàn toàn bình thường, nên có những quy tắc ở đây, được gọi là Các tính chất cơ bản.

Những quy tắc này phải được biết - không có vấn đề logarit nghiêm trọng nào có thể được giải quyết nếu không có chúng. Ngoài ra, có rất ít trong số chúng - mọi thứ đều có thể học được trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: logax và logay. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Vì vậy, tổng của logarit bằng logarit của sản phẩm và sự khác biệt là logarit của thương số. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là - cùng căn cứ. Nếu các căn cứ khác nhau, các quy tắc này không hoạt động!

Các công thức này sẽ giúp tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được xem xét (xem bài học "Logarit là gì"). Hãy xem các ví dụ và xem:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log6 4 + log6 9.

Vì cơ số của logarit là như nhau nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log2 48−log2 3.

Các cơ sở là như nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log2 48−log2 3 = log2(48:3) = log2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log3 135−log3 5.

Một lần nữa, các cơ sở là như nhau, vì vậy chúng tôi có:
log3 135−log3 5 = log3(135:5) = log3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ các logarit "xấu", không được xem xét riêng. Nhưng sau khi biến đổi, những con số khá bình thường xuất hiện. Nhiều thử nghiệm dựa trên thực tế này. Có, kiểm soát - các biểu thức tương tự ở tất cả mức độ nghiêm trọng (đôi khi - hầu như không có thay đổi) được đưa ra trong kỳ thi.

Xóa số mũ khỏi logarit

Bây giờ hãy làm phức tạp nhiệm vụ một chút. Nếu có một mức độ trong cơ số hoặc đối số của logarit thì sao? Sau đó, số mũ của mức độ này có thể được lấy ra khỏi dấu của logarit theo các quy tắc sau:

Dễ dàng nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên của họ. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên ghi nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ giảm đáng kể lượng tính toán.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ logarit ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Và một điều nữa: hãy học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại, tức là bạn có thể nhập các số trước dấu của logarit vào chính logarit đó.

Cách giải logarit

Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log7 496.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số theo công thức đầu tiên:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số là một logarit có cơ số và đối số là lũy thừa chính xác: 16 = 24; 49 = 72. Ta có:

Tôi nghĩ rằng ví dụ cuối cùng cần làm rõ. Logarit đã biến đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Họ trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng độ và lấy ra các chỉ số - họ nhận được một phân số “ba tầng”.

Bây giờ hãy nhìn vào phân số chính. Tử số và mẫu số bằng nhau: log2 7. Vì log2 7 ≠ 0 nên ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ giữ nguyên mẫu số. Theo các quy tắc của số học, bốn có thể được chuyển đến tử số, điều này đã được thực hiện. Kết quả là đáp án: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với cùng một cơ số. Nếu các căn cứ khác nhau thì sao? Điều gì xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức để chuyển sang một cơ sở mới được giải cứu. Chúng tôi xây dựng chúng dưới dạng một định lý:

Để logarit logax đã cho. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Đặc biệt, nếu chúng ta đặt c = x, chúng ta sẽ nhận được:

Từ công thức thứ hai, có thể hoán đổi cơ số và đối số của logarit, nhưng trong trường hợp này, toàn bộ biểu thức bị “lật ngược”, tức là logarit ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Chỉ có thể đánh giá mức độ tiện lợi của chúng khi giải các phương trình và bất phương trình logarit.

Tuy nhiên, có những nhiệm vụ hoàn toàn không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang một nền tảng mới. Hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log5 16 log2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả logarit là số mũ chính xác. Hãy lấy ra các chỉ số: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Bây giờ hãy lật logarit thứ hai:

Vì tích không đổi từ hoán vị thừa số nên ta bình tĩnh nhân bốn với hai rồi tính ra logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit đầu tiên là lũy thừa chính xác. Hãy viết nó ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ, hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường, trong quá trình giải, người ta yêu cầu biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số nhất định. Trong trường hợp này, các công thức sẽ giúp chúng tôi:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n hoàn toàn có thể là bất cứ thứ gì, bởi vì nó chỉ là giá trị của logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Nó được gọi như thế này:

Thật vậy, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên một mức độ sao cho số b trong mức độ này cho số a? Đúng rồi: đây là số giống nhau a. Đọc kỹ lại đoạn này - nhiều người “treo” nó.

Giống như các công thức chuyển đổi cơ số mới, đồng nhất logarit cơ số đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Lưu ý rằng log25 64 = log5 8 - vừa lấy bình phương ra khỏi cơ số và đối số của logarit. Đưa ra quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số, ta có:

Nếu ai đó không biết, đây là một nhiệm vụ thực sự từ Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước 🙂

Đơn vị logarit và số không logarit

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra hai đặc điểm nhận dạng khó gọi là thuộc tính - đúng hơn, đây là những hệ quả từ định nghĩa của logarit. Chúng liên tục được tìm thấy trong các bài toán và đáng ngạc nhiên là chúng tạo ra các bài toán ngay cả đối với những học sinh "nâng cao".

1. logaa = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào từ chính cơ số đó bằng một.
2. loga 1 = 0 là. Cơ số a có thể là bất kỳ thứ gì, nhưng nếu đối số là một, thì logarit bằng 0! Vì a0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả các thuộc tính. Hãy chắc chắn để thực hành đưa chúng vào thực tế! Hãy tải xuống cheat sheet ở đầu bài học, in ra và giải các bài toán.