Đáng tin cậy hơn so với phương pháp đồ họa được thảo luận trong đoạn trước.

Phương pháp thay thế

Chúng tôi đã sử dụng phương pháp này ở lớp 7 để giải các hệ phương trình tuyến tính. Thuật toán được phát triển ở lớp 7 khá phù hợp để giải các hệ hai phương trình bất kỳ (không nhất thiết là tuyến tính) với hai biến x và y (tất nhiên, các biến có thể được ký hiệu bằng các chữ cái khác, không quan trọng). Trên thực tế, chúng tôi đã sử dụng thuật toán này trong đoạn trước, khi vấn đề về số có hai chữ số dẫn đến một mô hình toán học, đó là một hệ phương trình. Ta giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế (xem ví dụ 1 ở § 4).

Thuật toán sử dụng phương pháp thay thế khi giải hệ hai phương trình hai biến x, y.

1. Biểu diễn y theo x từ một phương trình của hệ.
2. Thay thế biểu thức kết quả thay vì y thành một phương trình khác của hệ thống.
3. Giải phương trình tìm được x.
4. Thay lần lượt từng nghiệm của phương trình tìm được ở bước thứ ba thay x vào biểu thức y thông qua x thu được ở bước đầu tiên.
5. Viết câu trả lời dưới dạng các cặp giá trị (x; y) lần lượt tìm được ở bước thứ ba và bước thứ tư.

4) Thay lần lượt từng giá trị tìm được của y vào công thức x \u003d 5 - Zy. nếu sau đó
5) Cặp (2;1) và nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Đáp số: (2; 1);

phương pháp cộng đại số

Phương pháp này, giống như phương pháp thay thế, đã quen thuộc với bạn từ khóa học đại số lớp 7, nơi nó được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính. Chúng tôi nhớ lại bản chất của phương pháp trong ví dụ sau.

ví dụ 2 Giải một hệ phương trình

Chúng tôi nhân tất cả các số hạng của phương trình đầu tiên của hệ thống với 3 và giữ nguyên phương trình thứ hai:
Trừ phương trình thứ hai của hệ thống từ phương trình đầu tiên của nó:

Kết quả của phép cộng đại số của hai phương trình của hệ ban đầu, một phương trình thu được đơn giản hơn phương trình thứ nhất và thứ hai của hệ đã cho. Với phương trình đơn giản hơn này, chúng ta có quyền thay thế bất kỳ phương trình nào của một hệ đã cho, ví dụ như phương trình thứ hai. Khi đó hệ phương trình đã cho sẽ được thay bằng một hệ đơn giản hơn:

Hệ này có thể giải bằng phương pháp thế. Từ phương trình thứ hai, chúng ta thấy Thay biểu thức này thay vì y vào phương trình đầu tiên của hệ, chúng ta thu được

Nó vẫn còn để thay thế các giá trị tìm được của x vào công thức

Nếu x = 2 thì

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy hai giải pháp cho hệ thống:

Phương pháp giới thiệu các biến mới

Các bạn đã làm quen với phương pháp đưa một biến mới khi giải phương trình hữu tỉ một biến trong phân môn Đại số lớp 8. Bản chất của phương pháp này để giải các hệ phương trình là như nhau, nhưng từ quan điểm kỹ thuật, có một số tính năng mà chúng ta sẽ thảo luận trong các ví dụ sau.

ví dụ 3 Giải một hệ phương trình

Hãy giới thiệu một biến mới Sau đó, phương trình đầu tiên của hệ thống có thể được viết lại ở dạng đơn giản hơn: Hãy giải phương trình này đối với biến t:

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện và do đó là nghiệm của một phương trình hữu tỉ với biến t. Nhưng điều đó có nghĩa là từ nơi chúng ta tìm thấy x = 2y, hoặc
Do đó, bằng cách sử dụng phương pháp giới thiệu một biến mới, chúng tôi đã quản lý để "phân tầng" phương trình đầu tiên của hệ thống, có vẻ ngoài khá phức tạp, thành hai phương trình đơn giản hơn:

x = 2y; y - 2x.

Cái gì tiếp theo? Và sau đó, mỗi trong số hai phương trình đơn giản thu được phải được xem xét lần lượt trong một hệ thống có phương trình x 2 - y 2 \u003d 3 mà chúng ta chưa nhớ. Nói cách khác, vấn đề được rút gọn thành việc giải hai hệ phương trình:

Cần phải tìm giải pháp cho hệ thống thứ nhất, hệ thống thứ hai và bao gồm tất cả các cặp giá trị kết quả trong câu trả lời. Hãy giải hệ phương trình đầu tiên:

Hãy sử dụng phương pháp thay thế, đặc biệt là vì mọi thứ đã sẵn sàng cho nó ở đây: chúng tôi thay thế biểu thức 2y thay vì x vào phương trình thứ hai của hệ thống. Được

Vì x \u003d 2y nên ta lần lượt tìm được x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. Như vậy, hệ đã cho có 2 nghiệm: (2; 1) và (-2; -1). Hãy giải hệ phương trình thứ hai:

Hãy sử dụng lại phương pháp thay thế: chúng ta thay thế biểu thức 2x thay vì y trong phương trình thứ hai của hệ thống. Được

Phương trình này vô nghiệm, nghĩa là hệ phương trình vô nghiệm. Vì vậy, chỉ các giải pháp của hệ thống đầu tiên nên được bao gồm trong câu trả lời.

Đáp số: (2; 1); (-2;-1).

Phương pháp đưa biến mới vào giải hệ hai phương trình hai biến được sử dụng trong hai phiên bản. Tùy chọn đầu tiên: một biến mới được giới thiệu và chỉ sử dụng trong một phương trình của hệ thống. Đây chính xác là những gì đã xảy ra trong ví dụ 3. Tùy chọn thứ hai: hai biến mới được giới thiệu và sử dụng đồng thời trong cả hai phương trình của hệ thống. Đây sẽ là trường hợp trong ví dụ 4.

Ví dụ 4 Giải một hệ phương trình

Hãy giới thiệu hai biến mới:

Chúng ta học được điều đó sau đó

Điều này sẽ cho phép chúng tôi viết lại hệ thống đã cho ở dạng đơn giản hơn nhiều, nhưng đối với các biến mới a và b:

Vì a \u003d 1 nên từ phương trình a + 6 \u003d 2 ta tìm được: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Do đó, đối với các biến a và b, chúng tôi có một giải pháp:

Trở lại với các biến x, y ta được hệ phương trình

Ta áp dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ này:

Từ đó từ phương trình 2x + y = 3 ta tìm được:
Do đó, đối với các biến x và y, chúng tôi có một giải pháp:

Chúng ta hãy kết thúc phần này bằng một cuộc thảo luận lý thuyết ngắn gọn nhưng khá nghiêm túc. Bạn đã có một số kinh nghiệm trong việc giải các phương trình khác nhau: tuyến tính, bình phương, hữu tỉ, vô tỉ. Bạn biết rằng ý chính của việc giải một phương trình là chuyển dần từ phương trình này sang phương trình khác, đơn giản hơn nhưng tương đương với phương trình đã cho. Trong phần trước, chúng ta đã giới thiệu khái niệm về sự tương đương của phương trình hai biến. Khái niệm này cũng được sử dụng cho các hệ phương trình.

Sự định nghĩa.

Hai hệ phương trình với các biến x và y được gọi là tương đương nếu chúng có cùng nghiệm hoặc cả hai hệ đều vô nghiệm.

Cả ba phương pháp (thay thế, cộng đại số và giới thiệu các biến mới) mà chúng ta đã thảo luận trong phần này đều hoàn toàn đúng theo quan điểm về sự tương đương. Nói cách khác, sử dụng các phương pháp này, chúng ta thay thế một hệ phương trình này bằng một hệ phương trình khác, đơn giản hơn, nhưng tương đương với hệ ban đầu.

Phương pháp đồ thị để giải hệ phương trình

Chúng ta đã học cách giải các hệ phương trình theo những cách phổ biến và đáng tin cậy như phương pháp thay thế, cộng đại số và giới thiệu các biến mới. Và bây giờ hãy nhớ lại phương pháp mà bạn đã học trong bài trước. Đó là, hãy nhắc lại những gì bạn biết về phương pháp giải đồ thị.

Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ thị là việc xây dựng đồ thị cho từng phương trình cụ thể có trong hệ này và nằm trong cùng một mặt phẳng tọa độ, đồng thời là nơi cần tìm giao điểm của các đồ thị này. . Để giải hệ phương trình này là tọa độ của điểm này (x; y).

Cần nhớ rằng đối với một hệ phương trình dạng đồ thị, thường có một nghiệm đúng duy nhất hoặc vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét kỹ hơn từng giải pháp này. Và như vậy, hệ phương trình có thể có nghiệm duy nhất nếu các đường thẳng là đồ thị của các phương trình của hệ cắt nhau. Nếu những đường thẳng này song song, thì một hệ phương trình như vậy hoàn toàn không có nghiệm. Trong trường hợp các đồ thị trực tiếp của các phương trình của hệ trùng khớp nhau, thì một hệ như vậy cho phép bạn tìm được nhiều nghiệm.

Chà, bây giờ chúng ta hãy xem thuật toán giải hệ hai phương trình với 2 ẩn số bằng phương pháp đồ thị:

Đầu tiên, lúc đầu, chúng tôi xây dựng đồ thị của phương trình thứ nhất;
Bước thứ hai sẽ là vẽ đồ thị liên quan đến phương trình thứ hai;
Thứ ba, chúng ta cần tìm giao điểm của các đồ thị.
Và kết quả là ta có được tọa độ của từng giao điểm, đây sẽ là nghiệm của hệ phương trình.

Hãy xem xét phương pháp này chi tiết hơn với một ví dụ. Ta được cho một hệ phương trình cần giải:

Giải phương trình

1. Đầu tiên, chúng ta sẽ dựng đồ thị của phương trình này: x2+y2=9.

Nhưng cần lưu ý rằng đồ thị phương trình này sẽ là một đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính của nó sẽ bằng ba.

2. Bước tiếp theo của chúng ta sẽ là vẽ một phương trình như: y = x - 3.

Trong trường hợp này, chúng ta phải dựng một đường thẳng và tìm các điểm (0;−3) và (3;0).

3. Hãy xem những gì chúng ta có. Ta thấy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A và B của nó.

Bây giờ chúng tôi đang tìm kiếm tọa độ của những điểm này. Ta thấy rằng tọa độ (3;0) tương ứng với điểm A và tọa độ (0;−3) tương ứng với điểm B.

Và kết quả là chúng ta nhận được gì?

Các số (3;0) và (0;−3) thu được tại giao điểm của một đường thẳng với một đường tròn chính xác là nghiệm của cả hai phương trình của hệ. Và từ đó suy ra những con số này cũng là nghiệm của hệ phương trình này.

Tức là đáp án của nghiệm này là các số: (3;0) và (0;−3).

Giải phương trình trong số nguyên là một trong những vấn đề toán học lâu đời nhất. Đã vào đầu thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên. đ. Người Babylon đã biết cách giải các hệ phương trình như vậy với hai biến. Lĩnh vực toán học này đạt đến sự thịnh vượng nhất ở Hy Lạp cổ đại. Nguồn chính đối với chúng tôi là "Số học" của Diophantus, chứa nhiều loại phương trình khác nhau. Trong đó, Diophantus (theo tên của ông và tên của phương trình - phương trình Diophantine) dự đoán một số phương pháp nghiên cứu phương trình bậc 2 và bậc 3, chỉ phát triển vào thế kỷ 19.

Phương trình Diophantine đơn giản nhất ax + y = 1 (phương trình hai biến, bậc một) x2 + y2 = z2 (phương trình ba biến, bậc hai)

Phương trình đại số đã được nghiên cứu đầy đủ nhất; nghiệm của chúng là một trong những bài toán quan trọng nhất trong đại số thế kỷ 16 và 17.

Đến đầu thế kỷ 19, các công trình của P. Fermat, L. Euler, K. Gauss đã nghiên cứu phương trình Diophantine có dạng: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, trong đó a, b, c , d, e, f là hợp số; x, y là các biến chưa biết.

Đây là phương trình bậc 2 với hai ẩn số.

K. Gauss đã xây dựng lý thuyết tổng quát về các dạng bậc hai, làm cơ sở để giải một số dạng phương trình hai biến (phương trình Diophantine). Có một số lượng lớn các phương trình Diophantine cụ thể có thể được giải bằng các phương pháp cơ bản. /p>

tài liệu lý thuyết.

Trong phần này của công việc, các khái niệm toán học cơ bản sẽ được mô tả, các định nghĩa của thuật ngữ sẽ được đưa ra, định lý phân tích sẽ được xây dựng bằng phương pháp hệ số bất định, được nghiên cứu và xem xét khi giải phương trình hai biến.

Định nghĩa 1: Một phương trình dạng ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, trong đó a, b, c, d, e, f là các số; x, y chưa biết gọi là phương trình cấp hai ẩn số.

Trong khóa học toán học, phương trình bậc hai ax2 + inx + c \u003d 0 được nghiên cứu, trong đó a, b, c của số x là một biến, với một biến. Có nhiều cách để giải một phương trình như vậy:

1. Tìm gốc bằng biệt thức;

2. Tìm nghiệm của hệ số chẵn trong (theo D1 =);

3. Tìm nghiệm bằng định lý Vieta;

4. Tìm nghiệm bằng cách chọn bình phương đầy đủ của nhị thức.

Giải một phương trình có nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng không có nghiệm nào.

Định nghĩa 2: Nghiệm của phương trình là một số mà khi thay vào phương trình sẽ tạo thành một đẳng thức thực.

Định nghĩa 3: Nghiệm của phương trình hai biến gọi là cặp số (x, y), khi thay chúng vào phương trình thì ta thấy một đẳng thức đúng.

Quá trình tìm nghiệm của một phương trình thường bao gồm việc thay thế phương trình đó bằng một phương trình tương đương nhưng đơn giản hơn về nghiệm. Các phương trình như vậy được gọi là tương đương.

Định nghĩa 4: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mỗi nghiệm của phương trình này là nghiệm của phương trình kia và ngược lại, và cả hai phương trình được xét trong cùng một miền.

Để giải phương trình hai biến, định lý về khai triển phương trình thành tổng bình phương hoàn hảo (bằng phương pháp hệ số bất định) được sử dụng.

Đối với phương trình bậc 2 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) có một phân thức a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Hãy lập công thức điều kiện để khai triển (2) cho phương trình (1) hai biến.

Định lý: Nếu các hệ số a, c, c của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện a0 và 4av − c20 thì khai triển (2) xác định một cách duy nhất.

Nói cách khác, phương trình (1) với hai biến có thể được rút gọn về dạng (2) bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định, nếu các điều kiện của định lý được thỏa mãn.

Hãy xem một ví dụ về cách thực hiện phương pháp hệ số không xác định.

PHƯƠNG PHÁP #1. Giải phương trình bằng phương pháp hệ số bất định

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 .

1. Kiểm tra sự thỏa mãn các điều kiện của định lý a=2, b=1, c=2, vậy a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Điều kiện của định lý được thỏa mãn, và có thể khai triển theo công thức (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, dựa vào điều kiện của định lý, cả hai phần đẳng thức đều tương đương nhau. Đơn giản hóa phía bên phải của danh tính.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Đánh đồng các hệ số của cùng một biến với lũy thừa của chúng.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Nhận một hệ phương trình, giải nó và tìm giá trị của các hệ số.

7. Thay các hệ số vào (2) thì phương trình có dạng

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 \u003d 2 (x + 0,5y + 0,5) 2 + 0,5 (y -1) 2 + 0

Do đó, phương trình ban đầu tương đương với phương trình

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), phương trình này tương đương với hệ hai phương trình tuyến tính.

Đáp số: (-1;1).

Nếu bạn chú ý đến kiểu phân tích (3), thì bạn có thể thấy rằng nó giống hệt ở dạng chọn một bình phương đầy đủ từ phương trình bậc hai một biến: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Hãy áp dụng thủ thuật này để giải phương trình hai biến. Hãy giải phương trình bậc hai hai biến đã được giải bằng cách sử dụng định lý bằng cách chọn một bình phương đầy đủ.

PHƯƠNG PHÁP #2: Giải phương trình 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Giải: 1. Ta biểu diễn 2x2 dưới dạng tổng của hai số hạng x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Chúng tôi nhóm các thuật ngữ theo cách mà chúng tôi có thể thu gọn theo công thức bình phương đầy đủ.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Chọn các ô vuông đầy đủ từ các biểu thức trong ngoặc.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Phương trình này tương đương với một hệ phương trình tuyến tính.

Trả lời: (-1;1).

So sánh kết quả ta thấy phương trình giải theo phương pháp số 1 sử dụng định lý và phương pháp hệ số bất định còn phương trình giải theo phương pháp số 2 sử dụng phép chọn bình phương có cùng nghiệm nguyên.

Kết luận: Một phương trình bậc hai hai biến có thể khai triển thành tổng bình phương theo hai cách:

➢ Phương pháp thứ nhất là phương pháp hệ số bất định, dựa vào định lý và khai triển (2).

➢ Cách thứ hai là với sự trợ giúp của các phép biến đổi giống hệt nhau, giúp có thể chọn các ô vuông hoàn chỉnh liên tiếp.

Tất nhiên, khi giải các bài toán, phương pháp thứ hai được ưu tiên hơn, vì nó không yêu cầu ghi nhớ mở rộng (2) và điều kiện.

Phương pháp này cũng có thể áp dụng cho phương trình bậc hai ba biến. Việc lựa chọn hình vuông đầy đủ trong các phương trình như vậy tốn nhiều công sức hơn. Tôi sẽ thực hiện loại chuyển đổi này vào năm tới.

Thật thú vị khi lưu ý rằng một hàm có dạng f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f được gọi là hàm bậc hai hai biến. Các hàm bậc hai đóng một vai trò quan trọng trong các ngành toán học khác nhau:

Trong lập trình toán học (lập trình bậc hai)

Trong đại số tuyến tính và hình học (dạng bậc hai)

Trong lý thuyết về phương trình vi phân (rút gọn phương trình tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc).

Trên thực tế, khi giải các bài toán khác nhau này, người ta phải áp dụng quy trình rút bình phương đầy đủ từ phương trình bậc hai (một, hai hoặc nhiều biến).

Các đường có phương trình được mô tả bởi một phương trình bậc hai hai biến được gọi là đường cong bậc hai.

Hình tròn này, hình elip, hyperbola.

Khi vẽ các đường cong này, phương pháp chọn liên tiếp toàn bộ hình vuông cũng được sử dụng.

Hãy xem xét phương pháp chọn liên tiếp một hình vuông đầy đủ hoạt động như thế nào trên các ví dụ cụ thể.

Phần thực hành.

Giải phương trình bằng phương pháp chọn liên tiếp bình phương đầy đủ.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Đáp số: (-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Đáp số: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Đáp số: (-1;1).

Giải phương trình:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(đưa về dạng: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Trả lời: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(đưa về dạng: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Trả lời: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(đưa về dạng: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Trả lời: (7; -7)

Phần kết luận.

Trong công trình khoa học này, các phương trình có hai biến bậc hai đã được nghiên cứu, các phương pháp giải chúng đã được xem xét. Nhiệm vụ được hoàn thành, một phương pháp giải ngắn hơn được xây dựng và mô tả, dựa trên việc chọn một hình vuông đầy đủ và thay thế phương trình bằng một hệ phương trình tương đương, do đó, quy trình tìm nghiệm của phương trình hai biến được đơn giản hóa.

Một điểm quan trọng của công việc là kỹ thuật đang được xem xét được sử dụng để giải các bài toán khác nhau liên quan đến hàm bậc hai, xây dựng các đường cong bậc hai và tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức.

Như vậy, kỹ thuật khai triển phương trình bậc hai hai biến thành tổng bình phương có nhiều ứng dụng nhất trong toán học.

Ta sẽ phân tích hai dạng giải hệ phương trình:

1. Giải hệ bằng phương pháp thế.
2. Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng hạng các phương trình của hệ.

Để giải hệ phương trình phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Chúng tôi bày tỏ. Từ bất kỳ phương trình nào, chúng tôi biểu thị một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế trong một phương trình khác thay vì biến được biểu thị, giá trị kết quả.
3. Chúng tôi giải phương trình kết quả với một biến. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.

Để giải quyết hệ bằng phép cộng (trừ) từng hạng tử cần:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo các hệ số giống nhau.
2. Chúng tôi cộng hoặc trừ các phương trình, kết quả là chúng tôi nhận được một phương trình có một biến.
3. Chúng tôi giải phương trình tuyến tính thu được. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.

Nghiệm của hệ là giao điểm của các đồ thị hàm số.

Hãy để chúng tôi xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.

Ví dụ 1:

Hãy giải bằng phương pháp thế

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

2x+5y=1 (1 phương trình)
x-10y=3 (phương trình thứ 2)

1. Thể hiện
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x với hệ số bằng 1, do đó, việc biểu thị biến x từ phương trình thứ hai là dễ dàng nhất.
x=3+10y

2. Sau khi biểu diễn ta thay 3 + 10y vào phương trình thứ nhất thay cho biến x.
2(3+10y)+5y=1

3. Chúng tôi giải phương trình kết quả với một biến.
2(3+10y)+5y=1 (mở ngoặc)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của đồ thị nên ta cần tìm x và y vì giao điểm gồm x và y Hãy tìm x, ở đoạn đầu ta biểu thị ta thế y vào đó.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Theo thông lệ, khi viết điểm ở vị trí đầu tiên, chúng ta viết biến x và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)

Ví dụ #2:

Hãy giải bằng cách cộng (trừ) từng hạng tử.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng

3x-2y=1 (1 phương trình)
2x-3y=-10 (phương trình thứ 2)

1. Chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số là 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, đối với điều này, chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Chúng tôi nhân phương trình đầu tiên với 2 và phương trình thứ hai với 3 và nhận được tổng hệ số là 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Từ phương trình thứ nhất, trừ phương trình thứ hai để loại bỏ biến x.
__6x-4y=2

5y=32 | :năm
y=6,4

3. Tìm x. Chúng tôi thay thế tìm thấy y trong bất kỳ phương trình nào, giả sử trong phương trình đầu tiên.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Giao điểm sẽ là x=4,6; y=6,4
Đáp số: (4.6; 6.4)

Bạn có muốn chuẩn bị cho kỳ thi miễn phí? gia sư trực tuyến là miễn phí. Không đua đâu.

Hướng dẫn

Phương pháp thế Biểu thị một biến và thế nó vào một phương trình khác. Bạn có thể thể hiện bất kỳ biến nào bạn thích. Ví dụ: biểu thị "y" từ phương trình thứ hai:
x-y=2 => y=x-2 Sau đó thế mọi thứ vào phương trình đầu tiên:
2x+(x-2)=10 Di chuyển mọi thứ không có x sang bên phải và đếm:
2x+x=10+2
3x=12 Tiếp theo, đối với "x, hãy chia cả hai vế của phương trình cho 3:
x = 4. Vì vậy, bạn đã tìm thấy "x. Tìm "tại. Để làm điều này, hãy thay thế "x" vào phương trình mà bạn đã biểu thị "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Kiểm tra. Để làm điều này, thay thế các giá trị kết quả trong các phương trình:
2*4+2=10
4-2=2
Chưa biết đã tìm đúng!

Cách cộng hoặc trừ các phương trình Loại bỏ bất kỳ biến nào cùng một lúc. Trong trường hợp của chúng tôi, điều này dễ thực hiện hơn với "y.
Vì trong “y” là “+” và trong “-” thứ hai, nên bạn có thể thực hiện thao tác cộng, tức là. Chúng tôi thêm bên trái sang bên trái và bên phải sang bên phải:
2x+y+(x-y)=10+2Chuyển đổi:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Thay "x" vào bất kỳ phương trình nào và tìm "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Theo phương pháp 1, bạn có thể tìm thấy những gì bạn tìm thấy một cách chính xác.

Nếu không có biến được xác định rõ ràng, thì cần phải biến đổi một chút các phương trình.
Trong phương trình đầu tiên, chúng ta có "2x" và trong phương trình thứ hai chỉ là "x. Để phép cộng hoặc “x giảm, hãy nhân phương trình thứ hai với 2:
x-y=2
2x-2y=4 Sau đó trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ nhất:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
tìm y \u003d 2 "x bằng cách biểu thị từ bất kỳ phương trình nào, tức là
x=4

video liên quan

Mẹo 2: Cách giải phương trình tuyến tính hai biến

phương trình, được viết dưới dạng tổng quát ax + by + c \u003d 0, được gọi là phương trình tuyến tính với hai biến. Bản thân một phương trình như vậy chứa vô số nghiệm, vì vậy trong các bài toán, nó luôn được bổ sung bằng một thứ gì đó - một phương trình khác hoặc các điều kiện giới hạn. Tùy thuộc vào các điều kiện được cung cấp bởi vấn đề, giải phương trình tuyến tính với hai biến theo những cách khác nhau.

Bạn sẽ cần

• - phương trình tuyến tính với hai biến;
• - phương trình thứ hai hoặc điều kiện bổ sung.

Hướng dẫn

Cho một hệ hai phương trình tuyến tính, giải nó như sau. Chọn một trong các phương trình trong đó các hệ số trước biến nhỏ hơn và thể hiện một trong các biến, ví dụ, x. Sau đó thay giá trị chứa y vào phương trình thứ hai. Trong phương trình kết quả sẽ chỉ có một biến y, di chuyển tất cả các phần có y sang bên trái và các phần tự do sang bên phải. Tìm y và thế vào bất kỳ phương trình ban đầu, tìm được x.

Có một cách khác để giải hệ hai phương trình. Nhân một trong các phương trình với một số sao cho hệ số đứng trước một trong các biến, ví dụ, đứng trước x, giống nhau trong cả hai phương trình. Sau đó trừ một trong các phương trình từ phương trình kia (nếu vế bên phải không bằng 0, hãy nhớ trừ vế bên phải theo cách tương tự). Bạn sẽ thấy rằng biến x đã biến mất và chỉ còn lại một biến y. Giải phương trình thu được và thay thế giá trị tìm được của y vào bất kỳ đẳng thức ban đầu nào. Tìm x.

Cách thứ ba để giải hệ hai phương trình tuyến tính là đồ thị. Vẽ một hệ tọa độ và vẽ đồ thị của hai đường thẳng, các phương trình được chỉ định trong hệ thống của bạn. Để thực hiện việc này, hãy thay hai giá trị x bất kỳ vào phương trình và tìm y tương ứng - đây sẽ là tọa độ của các điểm thuộc đường thẳng. Thuận tiện nhất là tìm giao điểm với các trục tọa độ - chỉ cần thay thế các giá trị x=0 và y=0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng này sẽ là nhiệm vụ.

Nếu chỉ có một phương trình tuyến tính trong các điều kiện của bài toán, thì bạn sẽ được cung cấp các điều kiện bổ sung để bạn có thể tìm ra nghiệm. Đọc kỹ bài toán để tìm các điều kiện này. Nếu biến x và y là khoảng cách, tốc độ, trọng lượng - thoải mái đặt giới hạn x≥0 và y≥0. Rất có thể x hoặc y đang ẩn số lượng , táo, v.v. – thì các giá trị chỉ có thể là . Nếu x là tuổi của con trai, thì rõ ràng là anh ta không thể lớn hơn cha mình, vì vậy hãy chỉ ra điều này trong các điều kiện của bài toán.

Nguồn:

• cách giải phương trình một biến

Bởi bản thân phương trình với ba không xác định có nhiều nghiệm, vì vậy nó thường được bổ sung thêm hai phương trình hoặc điều kiện. Tùy thuộc vào dữ liệu ban đầu là gì, quá trình đưa ra quyết định sẽ phụ thuộc phần lớn.

Bạn sẽ cần

• - một hệ ba phương trình với ba ẩn số.

Hướng dẫn

Nếu hai trong số ba hệ thống chỉ có hai trong số ba ẩn số, hãy thử biểu diễn một số biến theo các biến khác và cắm chúng vào phương trình với ba không xác định. Mục tiêu của bạn với điều này là biến nó thành bình thường phương trình với cái chưa biết. Nếu đây là , giải pháp tiếp theo khá đơn giản - thay giá trị tìm được vào các phương trình khác và tìm tất cả các ẩn số khác.

Một số hệ phương trình có thể được trừ từ phương trình này bằng phương trình khác. Xem liệu có thể nhân một của với hoặc một biến sao cho hai ẩn số được rút gọn cùng một lúc hay không. Nếu có cơ hội như vậy, hãy sử dụng nó, rất có thể, quyết định tiếp theo sẽ không khó. Đừng quên rằng khi nhân với một số, bạn phải nhân cả bên trái và bên phải. Tương tự, khi trừ các phương trình, hãy nhớ rằng vế phải cũng phải được trừ.

Nếu các phương pháp trước không hữu ích, hãy sử dụng phương pháp chung để giải bất kỳ phương trình nào có ba không xác định. Để làm điều này, hãy viết lại các phương trình ở dạng a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Bây giờ hãy tạo một ma trận các hệ số tại x (A), một ma trận các ẩn số (X) và một ma trận các ẩn số (B). Hãy chú ý, nhân ma trận các hệ số với ma trận ẩn số, bạn sẽ nhận được một ma trận, ma trận các phần tử tự do, nghĩa là A * X \u003d B.

Tìm ma trận A lũy thừa (-1) sau khi tìm , lưu ý rằng nó không được bằng 0. Sau đó, nhân ma trận kết quả với ma trận B, kết quả là bạn sẽ nhận được ma trận X mong muốn, cho biết tất cả các giá trị.

Bạn cũng có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bằng phương pháp Cramer. Để làm điều này, hãy tìm định thức cấp ba ∆ tương ứng với ma trận của hệ thống. Sau đó lần lượt tìm thêm ba định thức ∆1, ∆2 và ∆3, thay giá trị của các số hạng tự do thay cho giá trị của các cột tương ứng. Bây giờ hãy tìm x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Nguồn:

• nghiệm của phương trình với ba ẩn số

Giải một hệ phương trình rất phức tạp và thú vị. Hệ thống càng phức tạp thì càng thú vị để giải quyết. Thông thường, trong toán học trung học, có các hệ phương trình với hai ẩn số, nhưng trong toán học cao hơn, có thể có nhiều biến hơn. Hệ thống có thể được giải quyết theo nhiều cách.

Hướng dẫn

Phương pháp phổ biến nhất để giải một hệ phương trình là thay thế. Để làm điều này, bạn cần biểu thị một biến này qua một biến khác và thay thế nó vào biến thứ hai phương trình hệ thống, do đó mang lại phương trìnhđến một biến. Ví dụ, cho các phương trình: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Thật thuận tiện khi biểu thị một trong các biến từ biểu thức thứ hai, chuyển mọi thứ khác sang vế phải của biểu thức, không quên thay đổi dấu của hệ số: x = 3-y.

Chúng tôi mở ngoặc: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Giá trị kết quả của y được thay thế vào biểu thức: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1;x \u003d 2.

Trong biểu thức đầu tiên, tất cả các phần tử là 2, bạn có thể lấy 2 ra khỏi dấu ngoặc cho thuộc tính phân phối của phép nhân: 2 * (2x-y-3) = 0. Bây giờ cả hai phần của biểu thức có thể được rút gọn bởi con số này, sau đó biểu thị y, vì hệ số modulo cho nó bằng một: -y \u003d 3-2x hoặc y \u003d 2x-3.

Giống như trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi thay thế biểu thức này thành biểu thức thứ hai phương trình và chúng ta nhận được: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Thay giá trị kết quả vào biểu thức: y=2x -3;y=4-3=1.

Ta thấy hệ số tại y bằng nhau về giá trị nhưng khác dấu nên nếu cộng các phương trình này vào ta sẽ loại bỏ hoàn toàn y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0;7x -14 \u003d 0;x = 2. Ta thay giá trị của x vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của hệ ta được y = 1.

video liên quan

Bisquare phương trìnhđại diện phương trình cấp độ thứ tư, dạng tổng quát của nó được biểu diễn bằng biểu thức ax^4 + bx^2 + c = 0. Giải pháp của nó dựa trên việc sử dụng phương pháp thế ẩn số. Trong trường hợp này, x^2 được thay thế bằng một biến khác. Do đó, kết quả là một hình vuông bình thường phương trình, đó là để được giải quyết.

Hướng dẫn

Giải hình vuông phương trình phát sinh từ sự thay thế. Để làm điều này, trước tiên hãy tính giá trị theo công thức: D = b^2 ? 4ac. Trong trường hợp này, các biến a, b, c là các hệ số của phương trình của chúng ta.

Tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Để làm điều này, lấy căn bậc hai của các giải pháp thu được. Nếu có một giải pháp, thì sẽ có hai giải pháp - giá trị dương và giá trị âm của căn bậc hai. Nếu có hai nghiệm, phương trình bậc hai sẽ có bốn nghiệm.

video liên quan

Một trong những phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss. Nó bao gồm việc loại trừ liên tiếp các biến, khi hệ phương trình được chuyển đổi thành hệ bậc với sự trợ giúp của các phép biến đổi đơn giản, từ đó tất cả các biến được tìm thấy tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng.

Hướng dẫn

Đầu tiên, đưa hệ phương trình về dạng như vậy khi tất cả các ẩn số sẽ theo một thứ tự được xác định nghiêm ngặt. Ví dụ: tất cả các chữ X chưa biết sẽ xuất hiện đầu tiên trong mỗi dòng, tất cả các chữ Y sẽ xuất hiện sau X, tất cả các chữ Z sẽ xuất hiện sau Y, v.v. Không nên có ẩn số ở vế phải của mỗi phương trình. Tính nhẩm các hệ số đứng trước mỗi ẩn số, cũng như các hệ số ở vế phải của mỗi phương trình.

Phương trình phi tuyến hai ẩn

Định nghĩa 1 . Cho A là một số tập hợp các cặp số (x; y) . Người ta nói rằng tập hợp A đã cho hàm số z từ hai biến x và y , nếu một quy tắc được chỉ định, trong đó một số nhất định được gán cho mỗi cặp số từ tập hợp A.

Việc chỉ định một hàm số z của hai biến x và y thường là chỉ định Cho nên:

ở đâu f (x , y) - bất kỳ chức năng nào khác với chức năng

f (x , y) = rìu+bởi+c ,

trong đó a, b, c là các số đã cho.

Định nghĩa 3 . Giải phương trình (2)đặt tên cho một cặp số x; y) , mà công thức (2) là một đẳng thức đúng.

Ví dụ 1 . giải phương trình

Vì bình phương của bất kỳ số nào đều không âm, nên từ công thức (4) suy ra các ẩn số x và y thỏa mãn hệ phương trình

nghiệm của nó là cặp số (6 ; 3) .

Trả lời: (6; 3)

Ví dụ 2 . giải phương trình

Do đó, nghiệm của phương trình (6) là vô số các cặp số Tốt bụng

(1 + y ; y) ,

trong đó y là bất kỳ số nào.

tuyến tính

Định nghĩa 4 . Giải hệ phương trình

đặt tên cho một cặp số x; y) , thay chúng vào từng phương trình của hệ này, ta thu được đẳng thức đúng.

Hệ thống của hai phương trình, một trong số đó là tuyến tính, có dạng

g(x , y)

Ví dụ 4 . Giải một hệ phương trình

Phán quyết . Hãy biểu diễn ẩn số y từ phương trình thứ nhất của hệ (7) theo ẩn số x và thế biểu thức kết quả vào phương trình thứ hai của hệ:

Giải phương trình

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Do đó,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Hệ thống của hai phương trình, một trong số đó là đồng nhất

Hệ thống của hai phương trình, một trong số đó là thuần nhất, có dạng

trong đó a , b , c là các số đã cho và g(x , y) là một hàm của hai biến x và y .

Ví dụ 6 . Giải một hệ phương trình

Phán quyết . Hãy giải phương trình thuần nhất

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

coi nó như một phương trình bậc hai đối với x chưa biết:

.

Trong trường hợp khi x = - 5y, từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình

5y 2 = - 20 ,

mà không có rễ.

Trong trường hợp khi

từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình

,

có nguồn gốc là số y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Tìm cho mỗi giá trị y này giá trị x tương ứng, ta được hai nghiệm của hệ: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Đáp số: (- 2 ; 3 ), (2 ; - 3)

Ví dụ về giải hệ phương trình các loại khác

Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình (MIPT)

Phán quyết . Chúng tôi giới thiệu các ẩn số mới u và v , được biểu thị dưới dạng x và y theo công thức:

Để viết lại hệ (12) dưới dạng các ẩn số mới, trước tiên chúng ta biểu diễn các ẩn số x và y theo u và v . Từ hệ thống (13) suy ra rằng

Chúng tôi giải hệ thống tuyến tính (14) bằng cách loại trừ biến x khỏi phương trình thứ hai của hệ thống này. Để đạt được điều này, chúng tôi thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ thống (14):

• chúng tôi giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ thống;
• trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai và thay thế phương trình thứ hai của hệ bằng sự khác biệt thu được.

Kết quả là hệ (14) được biến đổi thành hệ tương đương

từ đó chúng tôi tìm thấy

Sử dụng công thức (13) và (15), chúng tôi viết lại hệ thống ban đầu (12) là

Phương trình đầu tiên của hệ thống (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu diễn ẩn số u từ nó theo ẩn số v và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ thống.