Cho xác suất của chúng và xác suất có điều kiện tương ứng đã biết. Khi đó xác suất để biến cố xảy ra là:

Công thức này được gọi là tổng công thức xác suất. Trong sách giáo khoa, nó được xây dựng theo một định lý, bằng chứng của nó là cơ bản: theo đại số biến cố, (sự kiện xảy ra và hoặc một sự kiện đã xảy ra và sau khi nó đến sự kiện hoặc một sự kiện đã xảy ra và sau khi nó đến sự kiện hoặc …. hoặc một sự kiện đã xảy ra và sự kiện đã theo dõi). Vì các giả thuyết không tương thích và sự kiện phụ thuộc, sau đó theo định lý bổ sung cho xác suất của các sự kiện xung khắc (bước đầu tiên) và định lý nhân xác suất của các sự kiện phụ thuộc (bước thứ hai):

Có lẽ, nhiều người dự đoán nội dung của ví dụ đầu tiên =)

Bất cứ nơi nào bạn nhổ - ở khắp mọi nơi:

Nhiệm vụ 1

Có ba chiếc bình giống hệt nhau. Hộp thứ nhất có 4 bi trắng và 7 bi đen, hộp thứ hai chỉ có bi trắng và hộp thứ ba chỉ có bi đen. Người ta chọn ngẫu nhiên một cái bình và lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ đó. Xác suất mà quả bóng này là màu đen là gì?

Dung dịch: xem xét sự kiện - một quả bóng đen sẽ được rút ra từ một chiếc bình được chọn ngẫu nhiên. Sự kiện này có thể xảy ra do thực hiện một trong các giả thuyết sau:
– thùng thứ nhất sẽ được chọn;
– bình thứ 2 sẽ được chọn;
– hũ thứ 3 sẽ được chọn.

Vì chiếc bình được chọn ngẫu nhiên nên việc chọn chiếc bình nào trong ba chiếc bình đều có thể, Do đó:

Lưu ý rằng các giả thuyết trên hình thức nhóm đầy đủ các sự kiện, nghĩa là, theo điều kiện, một quả bóng đen chỉ có thể xuất hiện từ những chiếc bình này, và chẳng hạn, không bay ra khỏi bàn bi-a. Hãy làm một kiểm tra trung gian đơn giản:
OK, hãy tiếp tục:

Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng + 7 bi đen = 11 bi, mỗi bi nét cổ điển:
là xác suất rút được bi đen với điều kiện rằng chiếc bình đầu tiên sẽ được chọn.

Hộp thứ hai chỉ chứa các quả bóng màu trắng, vì vậy nếu được chọn sự xuất hiện của một quả bóng đen trở thành Không thể nào: .

Và cuối cùng, trong chiếc bình thứ ba chỉ có những quả bóng đen, có nghĩa là những quả bóng tương ứng xác suất có điều kiện khai thác quả bóng đen sẽ là (sự kiện chắc chắn).

là xác suất để một quả bóng đen được rút ra từ một chiếc bình được chọn ngẫu nhiên.

Câu trả lời:

Ví dụ được phân tích một lần nữa cho thấy tầm quan trọng của việc HIỂU ĐIỀU KIỆN. Hãy giải quyết các vấn đề tương tự với bình và quả bóng - với sự giống nhau bên ngoài của chúng, các phương pháp giải quyết có thể hoàn toàn khác nhau: ở đâu đó chỉ cần áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất, đâu đó sự kiện sống độc lập, một vài nơi sự phụ thuộc, và ở đâu đó chúng ta đang nói về các giả thuyết. Đồng thời, không có tiêu chí chính thức rõ ràng nào để chọn giải pháp cho con đường - bạn hầu như luôn cần phải suy nghĩ về nó. Làm thế nào để cải thiện kỹ năng của bạn? Chúng tôi giải quyết, chúng tôi giải quyết và chúng tôi giải quyết một lần nữa!

Nhiệm vụ 2

Có 5 khẩu súng trường khác nhau trong trường bắn. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một người bắn nhất định lần lượt bằng 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 và 0,4. Xác suất bắn trúng mục tiêu là bao nhiêu nếu xạ thủ bắn một phát từ khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên?

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Trong hầu hết các vấn đề theo chủ đề, tất nhiên, các giả thuyết không có khả năng xảy ra như nhau:

Nhiệm vụ 3

Có 5 khẩu súng trường trong kim tự tháp, ba trong số đó được trang bị kính ngắm quang học. Xác suất để người bắn trúng mục tiêu khi bắn từ súng trường có ống ngắm là 0,95; đối với súng trường không có ống ngắm, xác suất này là 0,7. Tìm xác suất mục tiêu sẽ bị bắn trúng nếu xạ thủ bắn một phát từ khẩu súng trường được lấy ngẫu nhiên.

Dung dịch: trong vấn đề này, số lượng súng trường giống hệt như trong vấn đề trước, nhưng chỉ có hai giả thuyết:
- người bắn sẽ chọn một khẩu súng trường có ống ngắm quang học;
- người bắn sẽ chọn một khẩu súng trường không có ống ngắm.
Qua định nghĩa cổ điển của xác suất: .
Điều khiển:

Xét sự kiện: - người bắn trúng mục tiêu bằng một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.
Theo điều kiện: .

Theo công thức xác suất tổng:

Câu trả lời: 0,85

Trong thực tế, một cách rút gọn để thiết kế một nhiệm vụ mà bạn cũng quen thuộc là hoàn toàn có thể chấp nhận được:

Dung dịch: theo định nghĩa cổ điển: lần lượt là xác suất chọn súng trường có và không có ống ngắm quang học.

Theo điều kiện, - xác suất bắn trúng mục tiêu với các loại súng trường tương ứng.

Theo công thức xác suất tổng:
là xác suất để người bắn bắn trúng mục tiêu bằng một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.

Câu trả lời: 0,85

Nhiệm vụ sau đây cho một giải pháp độc lập:

nhiệm vụ 4

Động cơ hoạt động ở ba chế độ: bình thường, cưỡng bức và chạy không tải. Ở chế độ không hoạt động, xác suất hỏng hóc của nó là 0,05, ở chế độ bình thường - 0,1 và ở chế độ bắt buộc - 0,7. 70% thời gian động cơ chạy ở chế độ bình thường, và 20% ở chế độ cưỡng bức. Xác suất hỏng động cơ trong quá trình vận hành là bao nhiêu?

Để đề phòng, hãy để tôi nhắc bạn - để có được xác suất, tỷ lệ phần trăm phải được chia cho 100. Hãy thật cẩn thận! Theo quan sát của tôi, điều kiện của các bài toán đối với công thức xác suất toàn phần thường bị cố lẫn lộn; và tôi đặc biệt chọn một ví dụ như vậy. Tôi sẽ cho bạn biết một bí mật - tôi gần như đã bối rối =)

Lời giải cuối bài (dạng ngắn gọn)

Các vấn đề cho công thức Bayes

Các tài liệu có liên quan chặt chẽ với nội dung của đoạn trước. Hãy để sự kiện xảy ra là kết quả của việc thực hiện một trong các giả thuyết . Làm thế nào để xác định xác suất mà một giả thuyết cụ thể đã xảy ra?

với điều kiện sự kiện đó vừa mới xảy ra, xác suất của các giả thuyết đánh giá quá cao theo các công thức đã nhận được tên của linh mục người Anh Thomas Bayes:

- xác suất xảy ra giả thuyết;
- xác suất xảy ra giả thuyết;
…
là xác suất mà giả thuyết là đúng.

Thoạt nhìn, nó có vẻ hoàn toàn vô lý - tại sao phải tính toán lại xác suất của các giả thuyết nếu chúng đã được biết trước? Nhưng trên thực tế có sự khác biệt:

- đây là tiên nghiệm(ước lượng trước kiểm tra) xác suất.

- đây là hậu thế(ước lượng sau kiểm tra) xác suất của các giả thuyết giống nhau, được tính toán lại liên quan đến "các tình huống mới được phát hiện" - có tính đến thực tế là sự kiện đã xảy ra.

Hãy xem xét sự khác biệt này với một ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ 5

Kho nhận 2 đợt hàng: đợt 1 - 4000 cái, đợt 2 - 6000 cái. Tỷ lệ trung bình của các sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong đợt đầu tiên là 20% và trong lần thứ hai - 10%. Lấy ngẫu nhiên từ kho, sản phẩm hóa ra là tiêu chuẩn. Tìm xác suất để nó là: a) từ lô đầu tiên, b) từ lô thứ hai.

Phần đầu tiên các giải pháp bao gồm việc sử dụng công thức xác suất tổng. Nói cách khác, các phép tính được thực hiện với giả định rằng bài kiểm tra chưa được sản xuất và sự kiện "sản phẩm hóa ra là tiêu chuẩn" cho đến khi nó đến.

Hãy xem xét hai giả thuyết:
- sản phẩm lấy ngẫu nhiên sẽ là sản phẩm của đợt 1;
- Sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ đợt hàng thứ 2.

Tổng cộng: 4000 + 6000 = 10000 mặt hàng trong kho. Theo định nghĩa cổ điển:
.

Điều khiển:

Xem xét sự kiện phụ thuộc: – một mặt hàng được lấy ngẫu nhiên từ nhà kho sẽ là Tiêu chuẩn.

Trong lô hàng đầu tiên 100% - 20% = 80% hàng chuẩn, do đó: với điều kiện rằng nó thuộc về bên thứ nhất.

Tương tự ở lô thứ 2 100% - 10% = 90% hàng chuẩn và là xác suất để một mặt hàng được chọn ngẫu nhiên trong kho sẽ là mặt hàng tiêu chuẩn với điều kiện rằng nó thuộc về bên thứ 2.

Theo công thức xác suất tổng:
là xác suất để một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên từ kho sẽ là sản phẩm tiêu chuẩn.

Phần hai. Giả sử rằng một sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ kho hóa ra là tiêu chuẩn. Cụm từ này được đánh vần trực tiếp trong điều kiện và nó nói lên thực tế rằng sự kiện đã xảy ra.

Theo công thức Bayes:

a) - xác suất để sản phẩm tiêu chuẩn được chọn thuộc lô đầu tiên;

b) - xác suất để sản phẩm đạt tiêu chuẩn được chọn thuộc lô thứ 2.

Sau đánh giá lại các giả thuyết, tất nhiên, vẫn hình thành nhóm đầy đủ:
(kiểm tra;-))

Câu trả lời:

Ivan Vasilyevich, người đã thay đổi nghề nghiệp một lần nữa và trở thành giám đốc của nhà máy, sẽ giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của việc đánh giá lại các giả thuyết. Anh ấy biết rằng hôm nay cửa hàng thứ nhất đã vận chuyển 4000 mặt hàng vào kho và cửa hàng thứ 2 - 6000 sản phẩm, và anh ấy đến để đảm bảo điều này. Giả sử tất cả các sản phẩm đều cùng loại và đựng trong cùng một thùng hàng. Đương nhiên, Ivan Vasilyevich trước đó đã tính toán rằng sản phẩm mà bây giờ anh ta sẽ lấy ra để xác minh rất có thể sẽ được sản xuất bởi xưởng thứ nhất và có khả năng là do xưởng thứ hai sản xuất. Nhưng sau khi món đồ được chọn trở thành tiêu chuẩn, anh ấy thốt lên: “Thật tuyệt vời! - nó đã được phát hành bởi hội thảo thứ 2. Do đó, xác suất của giả thuyết thứ hai được đánh giá quá cao để tốt hơn và xác suất của giả thuyết thứ nhất bị đánh giá thấp: . Và sự đánh giá quá cao này không phải là vô lý - xét cho cùng, xưởng thứ 2 không chỉ sản xuất nhiều sản phẩm hơn mà còn hoạt động tốt hơn gấp 2 lần!

Bạn nói, chủ nghĩa chủ quan thuần túy? Một phần - vâng, hơn nữa, chính Bayes đã giải thích hậu thế xác suất như mức độ tin cậy. Tuy nhiên, không phải mọi thứ đều đơn giản như vậy - có một yếu tố khách quan trong cách tiếp cận Bayesian. Rốt cuộc, khả năng sản phẩm sẽ là tiêu chuẩn (0,8 và 0,9 tương ứng cho cửa hàng thứ 1 và thứ 2)đây là sơ bộ(tiên nghiệm) và vừa phảiước lượng. Nhưng, nói một cách triết học, mọi thứ đều trôi chảy, mọi thứ đều thay đổi, kể cả xác suất. Rất có thể là tại thời điểm nghiên cứu shop thứ 2 thành công hơn tăng tỷ lệ hàng chuẩn (và/hoặc giảm cửa hàng đầu tiên), và nếu bạn kiểm tra nhiều hơn hoặc tất cả 10 nghìn mặt hàng trong kho, thì các giá trị được đánh giá quá cao sẽ gần với sự thật hơn nhiều.

Nhân tiện, nếu Ivan Vasilyevich trích xuất một phần không chuẩn, thì ngược lại - anh ta sẽ ngày càng “nghi ngờ” cửa hàng thứ nhất - cửa hàng thứ hai. Tôi đề nghị bạn kiểm tra nó cho chính mình:

nhiệm vụ 6

Kho nhận 2 đợt hàng: đợt 1 - 4000 cái, đợt 2 - 6000 cái. Tỷ lệ trung bình của các sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong đợt đầu tiên là 20%, trong lần thứ hai - 10%. Một sản phẩm được lấy ngẫu nhiên từ nhà kho hóa ra là không phải Tiêu chuẩn. Tìm xác suất để nó là: a) từ lô đầu tiên, b) từ lô thứ hai.

Điều kiện sẽ được phân biệt bằng hai chữ cái mà tôi đã tô đậm. Vấn đề có thể được giải quyết từ đầu hoặc bạn có thể sử dụng kết quả của các phép tính trước đó. Trong mẫu, tôi đã thực hiện một giải pháp hoàn chỉnh, nhưng để tránh sự chồng chéo hình thức với Nhiệm vụ số 5, sự kiện “Sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ kho hàng sẽ không đạt tiêu chuẩn”được đánh dấu bằng .

Kế hoạch đánh giá lại xác suất của Bayesian được tìm thấy ở khắp mọi nơi và nó cũng được khai thác tích cực bởi nhiều loại kẻ lừa đảo khác nhau. Hãy xem xét một công ty cổ phần ba chữ cái đã trở thành một cái tên quen thuộc, thu hút tiền gửi của người dân, được cho là đầu tư vào đâu đó, thường xuyên trả cổ tức, v.v. Điều gì đang xảy ra? Ngày này qua ngày khác, tháng này qua tháng khác, và ngày càng có nhiều sự thật mới, được truyền tải thông qua quảng cáo và truyền miệng, chỉ làm tăng mức độ tin tưởng vào kim tự tháp tài chính (đánh giá lại Bayes sau do các sự kiện trong quá khứ!). Đó là, trong mắt của người gửi tiền, có một sự gia tăng liên tục về khả năng "đây là một văn phòng nghiêm túc"; trong khi xác suất của giả thuyết ngược lại (“đây là những kẻ lừa đảo thông thường”), tất nhiên, giảm và giảm. Phần còn lại, tôi nghĩ, là rõ ràng. Đáng chú ý là danh tiếng kiếm được giúp ban tổ chức có thời gian trốn tránh thành công Ivan Vasilyevich, người không chỉ không có một loạt chốt mà còn không có quần.

Chúng ta sẽ quay lại với những ví dụ không kém phần thú vị sau, nhưng hiện tại, có lẽ trường hợp phổ biến nhất với ba giả thuyết là tiếp theo:

nhiệm vụ 7

Đèn điện được sản xuất tại ba nhà máy. Nhà máy thứ nhất sản xuất 30% tổng số đèn, nhà máy thứ 2 - 55% và nhà máy thứ 3 - phần còn lại. Sản phẩm của nhà máy thứ nhất chứa 1% đèn bị lỗi, nhà máy thứ 2 - 1,5%, nhà máy thứ 3 - 2%. Cửa hàng nhận sản phẩm từ cả ba nhà máy. Đèn tôi mua bị lỗi. Xác suất mà nó được sản xuất bởi nhà máy 2 là gì?

Lưu ý rằng trong các bài toán về công thức Bayes ở điều kiện nhất thiết một số Chuyện gì đã xảy ra một sự kiện, trong trường hợp này, việc mua một chiếc đèn.

Sự kiện đã tăng lên và dung dịch thuận tiện hơn để sắp xếp theo phong cách "nhanh chóng".

Thuật toán hoàn toàn giống nhau: ở bước đầu tiên, chúng tôi tìm xác suất mà chiếc đèn đã mua sẽ sẽ là khiếm khuyết.

Sử dụng dữ liệu ban đầu, chúng tôi dịch tỷ lệ phần trăm thành xác suất:
lần lượt là xác suất đèn được sản xuất bởi các nhà máy thứ 1, thứ 2 và thứ 3.
Điều khiển:

Tương tự: - xác suất sản xuất đèn bị lỗi cho các nhà máy tương ứng.

Theo công thức xác suất tổng:

- khả năng đèn mua bị lỗi.

Bước hai. Để đèn đã mua bị lỗi (sự kiện đã xảy ra)

Theo công thức Bayes:
- xác suất đèn bị lỗi đã mua được sản xuất bởi nhà máy thứ hai

Câu trả lời:

Tại sao xác suất ban đầu của giả thuyết thứ 2 tăng lên sau khi đánh giá lại? Rốt cuộc, nhà máy thứ hai sản xuất đèn có chất lượng trung bình (nhà máy thứ nhất tốt hơn, nhà máy thứ ba kém hơn). Vậy tại sao nó lại tăng hậu thế xác suất đèn bị lỗi là của nhà máy thứ 2? Điều này không còn do "danh tiếng" mà là do quy mô. Vì nhà máy số 2 sản xuất số lượng đèn lớn nhất nên họ đổ lỗi cho nó (ít nhất là do chủ quan): “rất có thể, chiếc đèn bị lỗi này là từ đó”.

Thật thú vị khi lưu ý rằng xác suất của giả thuyết thứ nhất và thứ ba đã được đánh giá quá cao theo hướng dự kiến ​​và trở nên bằng nhau:

Điều khiển: , đã được xác minh.

Nhân tiện, về đánh giá thấp và đánh giá quá cao:

nhiệm vụ 8

Trong nhóm sinh viên có 3 người có trình độ đào tạo cao, 19 người có trình độ trung bình và 3 người có trình độ thấp. Xác suất thi đỗ của các học sinh này lần lượt là: 0,95; 0,7 và 0,4. Được biết, một số sinh viên đã vượt qua kỳ thi. xác suất là gì:

a) anh ấy đã chuẩn bị rất tốt;
b) được chuẩn bị vừa phải;
c) đã được chuẩn bị kém.

Thực hiện tính toán và phân tích kết quả đánh giá lại các giả thuyết.

Nhiệm vụ gần với thực tế và đặc biệt hợp lý đối với nhóm học sinh bán thời gian, nơi giáo viên thực tế không biết khả năng của học sinh này hay học sinh kia. Trong trường hợp này, kết quả có thể gây ra hậu quả khá bất ngờ. (đặc biệt là đối với các bài kiểm tra trong học kỳ 1). Nếu một học sinh không chuẩn bị tốt may mắn nhận được một vé, thì giáo viên có khả năng coi anh ta là một học sinh giỏi hoặc thậm chí là một học sinh giỏi, điều này sẽ mang lại lợi ích tốt trong tương lai (tất nhiên, bạn cần “nâng tầm” và duy trì hình ảnh của mình). Nếu một học sinh học, nhồi nhét, lặp đi lặp lại trong 7 ngày 7 đêm, nhưng anh ta chỉ đơn giản là không may mắn, thì các sự kiện tiếp theo có thể phát triển theo cách tồi tệ nhất có thể - với nhiều lần thi lại và cân bằng trên bờ vực khởi hành.

Không cần phải nói, danh tiếng là vốn liếng quan trọng nhất, không phải ngẫu nhiên mà nhiều tập đoàn mang tên và họ của những người cha sáng lập, những người đã lãnh đạo doanh nghiệp cách đây 100-200 năm và trở nên nổi tiếng không chê vào đâu được.

Vâng, cách tiếp cận Bayes là chủ quan ở một mức độ nhất định, nhưng ... đó là cách cuộc sống vận hành!

Hãy củng cố tài liệu bằng một ví dụ công nghiệp cuối cùng, trong đó tôi sẽ nói về những điểm phức tạp về kỹ thuật của giải pháp chưa từng gặp:

nhiệm vụ 9

Ba phân xưởng của nhà máy sản xuất các bộ phận cùng loại, được lắp ráp trong một thùng chứa chung để lắp ráp. Biết rằng cửa hàng thứ nhất sản xuất số linh kiện gấp 2 lần cửa hàng thứ hai và gấp 4 lần cửa hàng thứ ba. Ở xưởng thứ nhất, lỗi là 12%, ở xưởng thứ hai - 8%, ở xưởng thứ ba - 4%. Để kiểm soát, một phần được lấy từ thùng chứa. Xác suất mà nó sẽ bị lỗi là gì? Xác suất mà bộ phận bị lỗi đã lấy ra được sản xuất bởi cửa hàng thứ 3 là bao nhiêu?

Taki Ivan Vasilyevich lại cưỡi ngựa =) Bộ phim phải có một kết thúc có hậu =)

Dung dịch: trái ngược với Nhiệm vụ số 5-8, một câu hỏi được hỏi rõ ràng ở đây, câu hỏi này được giải quyết bằng công thức tổng xác suất. Nhưng mặt khác, điều kiện hơi “được mã hóa” và kỹ năng soạn các phương trình đơn giản nhất của trường sẽ giúp chúng ta giải được bài toán ngược này. Đối với "x", thật tiện lợi khi lấy giá trị nhỏ nhất:

Gọi là phần sản xuất của phân xưởng thứ ba.

Theo điều kiện phân xưởng thứ nhất sản xuất gấp 4 lần phân xưởng thứ ba nên phần của phân xưởng thứ nhất là .

Ngoài ra, phân xưởng thứ nhất sản xuất số sản phẩm gấp 2 lần so với phân xưởng thứ hai, nghĩa là phần của phân xưởng sau: .

Hãy lập và giải phương trình:

Như vậy: - xác suất để bộ phận lấy ra khỏi thùng chứa lần lượt được xuất xưởng bởi xưởng 1, 2 và 3.

Điều khiển: . Ngoài ra, sẽ không thừa khi nhìn lại cụm từ “Biết rằng phân xưởng thứ nhất làm ra sản phẩm gấp 2 lần phân xưởng thứ hai và gấp 4 lần phân xưởng thứ ba” và đảm bảo rằng các xác suất thu được thực sự tương ứng với điều kiện này.

Đối với "X", ban đầu có thể lấy phần của cửa hàng thứ nhất hoặc phần của cửa hàng thứ 2 - xác suất sẽ giống nhau. Tuy nhiên, bằng cách này hay cách khác, phần khó khăn nhất đã được thông qua và giải pháp đang đi đúng hướng:

Từ điều kiện ta thấy:
- xác suất chế tạo một chi tiết bị lỗi cho các phân xưởng tương ứng.

Theo công thức xác suất tổng:
là xác suất mà một bộ phận được lấy ngẫu nhiên từ vật chứa sẽ không đạt tiêu chuẩn.

Câu hỏi hai: xác suất mà bộ phận bị lỗi được lấy ra được sản xuất bởi cửa hàng thứ 3 là bao nhiêu? Câu hỏi này giả định rằng bộ phận đã được gỡ bỏ và được phát hiện là có lỗi. Chúng tôi đánh giá lại giả thuyết bằng công thức Bayes:
là xác suất mong muốn. Khá được mong đợi - xét cho cùng, xưởng thứ ba không chỉ sản xuất ra những bộ phận có tỷ lệ nhỏ nhất mà còn dẫn đầu về chất lượng!

Trong trường hợp này, tôi đã phải đơn giản hóa phân số bốn tầng, mà trong các bài toán về công thức Bayes phải làm khá thường xuyên. Nhưng đối với bài học này, bằng cách nào đó, tôi đã vô tình nhặt được các ví dụ trong đó có thể thực hiện nhiều phép tính mà không cần phân số thông thường.

Vì không có điểm “a” và “be” trong điều kiện, nên tốt hơn là cung cấp câu trả lời bằng nhận xét bằng văn bản:

Câu trả lời: - khả năng bộ phận được lấy ra khỏi vật chứa sẽ bị lỗi; - xác suất mà bộ phận bị lỗi đã được loại bỏ được sản xuất bởi xưởng thứ 3.

Như bạn có thể thấy, các bài toán về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes khá đơn giản, và có lẽ vì lý do này mà chúng thường cố gắng làm phức tạp thêm điều kiện, điều mà tôi đã đề cập ở đầu bài viết.

Các ví dụ bổ sung có trong tệp với giải pháp làm sẵn cho F.P.V. và công thức Bayes Ngoài ra, có lẽ có những người muốn làm quen sâu hơn với chủ đề này trong các nguồn khác. Và chủ đề thực sự rất thú vị - nó có giá trị gì một mình nghịch lý bayes, điều này biện minh cho lời khuyên hàng ngày rằng nếu một người được chẩn đoán mắc một căn bệnh hiếm gặp, thì việc tiến hành một cuộc kiểm tra độc lập lần thứ hai và thậm chí hai lần là điều hợp lý. Có vẻ như họ làm điều đó chỉ vì tuyệt vọng ... - nhưng không! Nhưng chúng ta đừng nói về những điều buồn.

là xác suất mà một sinh viên được chọn ngẫu nhiên sẽ vượt qua kỳ thi.
Hãy để học sinh vượt qua kỳ thi. Theo công thức Bayes:
một) - xác suất học sinh vượt qua kỳ thi đã được chuẩn bị rất tốt. Xác suất khách quan ban đầu được đánh giá quá cao, bởi vì hầu như luôn luôn một số "trung bình" gặp may mắn với các câu hỏi và họ trả lời rất chặt chẽ, điều này tạo ấn tượng sai lầm về sự chuẩn bị hoàn hảo.
b) là xác suất mà sinh viên vượt qua kỳ thi được chuẩn bị vừa phải. Xác suất ban đầu hóa ra được đánh giá quá cao một chút, bởi vì học sinh có mức độ chuẩn bị trung bình thường chiếm đa số, ngoài ra, giáo viên sẽ đưa vào đây những “học sinh xuất sắc” trả lời không thành công, và thỉnh thoảng là một học sinh học kém may mắn được một vé.
Trong) - xác suất sinh viên vượt qua kỳ thi được chuẩn bị kém. Xác suất ban đầu được đánh giá quá cao cho điều tồi tệ hơn. Không đáng ngạc nhiên.
Kiểm tra:
Câu trả lời :

biểu mẫu sự kiện nhóm đầy đủ, nếu ít nhất một trong số chúng sẽ nhất thiết xảy ra do kết quả của thử nghiệm và không nhất quán theo cặp.

Giả sử rằng sự kiện Một chỉ có thể xảy ra cùng với một trong số các sự kiện không tương thích theo cặp tạo thành một nhóm hoàn chỉnh. Hãy gọi các sự kiện tôi= 1, 2,…, N) giả thuyết kinh nghiệm bổ sung (một tiên nghiệm). Xác suất xuất hiện của biến cố A được xác định theo công thức xác suất đầy đủ :

Ví dụ 16 Có ba cái bình. Hộp thứ nhất chứa 5 quả bóng trắng và 3 quả đen, hộp thứ hai chứa 4 quả bóng trắng và 4 quả đen, hộp thứ ba chứa 8 quả bóng trắng. Một trong các bình được chọn ngẫu nhiên (ví dụ, điều này có thể có nghĩa là một lựa chọn được thực hiện từ một bình phụ chứa ba quả bóng được đánh số 1, 2 và 3). Người ta lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ chiếc bình này. xác suất mà nó sẽ là màu đen là gì?

Dung dịch. Biến cố Một– bóng đen được rút ra. Nếu biết quả bóng được lấy ra từ chiếc bình nào, thì xác suất cần thiết có thể được tính theo định nghĩa xác suất cổ điển. Hãy để chúng tôi đưa ra các giả định (giả thuyết) về chiếc bình nào được chọn để lấy quả bóng.

Quả bóng có thể được lấy từ chiếc bình thứ nhất (giả thuyết), hoặc từ chiếc bình thứ hai (giả thuyết), hoặc từ chiếc bình thứ ba (giả thuyết). Vì có các cơ hội như nhau để chọn bất kỳ chiếc bình nào, nên .

Do đó nó theo sau đó

Ví dụ 17.Đèn điện được sản xuất tại ba nhà máy. Nhà máy thứ nhất sản xuất 30% tổng số đèn điện, nhà máy thứ hai - 25%,
và thứ ba cho phần còn lại. Sản phẩm của nhà máy thứ nhất chứa 1% đèn điện bị lỗi, nhà máy thứ hai - 1,5%, nhà máy thứ ba - 2%. Cửa hàng nhận sản phẩm từ cả ba nhà máy. Xác suất mà một chiếc đèn mua ở cửa hàng bị lỗi là bao nhiêu?

Dung dịch. Phải nhập các giả định về việc bóng đèn được sản xuất tại nhà máy nào. Biết được điều này, chúng ta có thể tìm ra xác suất nó bị lỗi. Hãy giới thiệu ký hiệu cho các sự kiện: Một– đèn điện đã mua bị lỗi, – đèn được sản xuất bởi nhà máy thứ nhất, – đèn được sản xuất bởi nhà máy thứ hai,
– đèn được sản xuất bởi nhà máy thứ ba.

Xác suất mong muốn được tìm thấy theo công thức xác suất tổng:

Công thức Bayes. Hãy là một nhóm đầy đủ các sự kiện xung khắc theo cặp (các giả thuyết). NHƯNG là một sự kiện ngẫu nhiên. Sau đó,

Công thức cuối cùng cho phép bạn đánh giá quá cao xác suất của các giả thuyết sau khi biết kết quả của phép thử, do đó sự kiện A xuất hiện, được gọi là công thức bayes .

Ví dụ 18. Trung bình 50% bệnh nhân mắc bệnh được đưa vào bệnh viện chuyên khoa Đến, 30% mắc bệnh l, 20 % –
bị bệnh m. Xác suất chữa khỏi hoàn toàn bệnh K bằng 0,7 đối với bệnh l và m các xác suất này tương ứng là 0,8 và 0,9. Bệnh nhân nhập viện đã ra viện khỏe mạnh. Tìm xác suất bệnh nhân này mắc bệnh K.

Dung dịch. Chúng tôi đưa ra các giả thuyết: - bệnh nhân mắc bệnh Đến l, bệnh nhân bị bệnh m.

Khi đó, theo điều kiện của bài toán, ta có . Hãy giới thiệu một sự kiện NHƯNG Bệnh nhân nhập viện đã ra viện khỏe mạnh. Theo điều kiện

Theo công thức xác suất toàn phần, ta được:

Công thức Bayes.

Ví dụ 19. Giả sử có năm quả bóng trong bình và tất cả các giả định về số quả bóng trắng đều có thể xảy ra như nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong bình và quả bóng đó có màu trắng. Giả định có khả năng nhất về thành phần ban đầu của chiếc bình là gì?

Dung dịch. Hãy đặt giả thuyết rằng trong bình có bóng trắng , tức là có thể đưa ra sáu giả định. Khi đó, theo điều kiện của bài toán, ta có .

Hãy giới thiệu một sự kiện NHƯNG Một quả bóng trắng được rút ngẫu nhiên. Hãy tính toán . Vì , nên theo công thức Bayes ta có:

Do đó, giả thuyết là có thể xảy ra nhất, vì .

Ví dụ 20. Hai trong số ba yếu tố hoạt động độc lập của thiết bị máy tính bị lỗi. Tìm xác suất để phần tử thứ nhất và thứ hai bị hỏng nếu xác suất hỏng của phần tử thứ nhất, thứ hai và thứ ba lần lượt bằng 0,2; 0,4 và 0,3.

Dung dịch. Biểu thị bởi NHƯNG sự kiện - hai yếu tố không thành công. Có thể đưa ra các giả thuyết sau:

- phần tử thứ nhất và thứ hai bị lỗi và phần tử thứ ba có thể sử dụng được. Vì các phần tử hoạt động độc lập nên áp dụng định lý nhân:

Ví dụ 1. Một công ty sản xuất máy tính mua các bộ phận giống nhau từ ba nhà cung cấp. Đầu tiên cung cấp 50% của tất cả các thành phần, thứ hai - 20%, thứ ba - 30% của các bộ phận.
Được biết, chất lượng của các bộ phận được cung cấp là khác nhau và trong các sản phẩm của nhà cung cấp đầu tiên, tỷ lệ lỗi là 4%, thứ hai - 5%, thứ ba - 2%. Xác định xác suất để một bộ phận được chọn ngẫu nhiên trong số tất cả các bộ phận nhận được sẽ bị lỗi.

Dung dịch. Hãy ký hiệu các sự kiện: A - "mặt hàng được chọn bị lỗi", H i - "mặt hàng được chọn nhận từ nhà cung cấp thứ i", i = 1, 2, 3 Các giả thuyết H 1 , H 2 , H 3 tạo thành một nhóm hoàn chỉnh sự kiện không tương thích. Theo điều kiện
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H 1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H 3) = 0,02

Theo công thức xác suất toàn phần (1.11), xác suất của biến cố A bằng
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02=0,036
Xác suất để một bộ phận được chọn ngẫu nhiên bị lỗi là 0,036.

Giả sử sự kiện A đã xảy ra trong các điều kiện của ví dụ trước: bộ phận được chọn hóa ra bị lỗi. Xác suất nó được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên là gì? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi công thức Bayes.
Chúng tôi bắt đầu phân tích xác suất chỉ với các giá trị sơ bộ, tiên nghiệm về xác suất của các sự kiện. Sau đó, một thử nghiệm đã được thực hiện (một phần đã được chọn) và chúng tôi đã nhận được thông tin bổ sung về sự kiện mà chúng tôi quan tâm. Với thông tin mới này, chúng tôi có thể tinh chỉnh các giá trị của xác suất trước đó. Các giá trị mới của xác suất của các sự kiện giống nhau sẽ là xác suất hậu nghiệm (hậu thực nghiệm) của các giả thuyết (Hình 1.5).

Sơ đồ đánh giá lại giả thuyết
Giả sử biến cố A chỉ xảy ra cùng với một trong các giả thuyết H 1 , H 2 , …, H n (nhóm đầy đủ các biến cố xung khắc). Ta ký hiệu xác suất tiên nghiệm của các giả thuyết P(H i) xác suất có điều kiện của biến cố A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Nếu thí nghiệm đã được thực hiện và kết quả là sự kiện A đã xảy ra, thì xác suất hậu nghiệm của các giả thuyết sẽ là xác suất có điều kiện P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Trong ký hiệu của ví dụ trước, P(H 1 |A) là xác suất mà bộ phận được chọn, bị lỗi, được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên.
Chúng ta quan tâm đến xác suất của biến cố H k |A Xét sự xuất hiện đồng thời của biến cố H k và A, tức là biến cố AH k . Xác suất của nó có thể tìm được theo hai cách, sử dụng công thức nhân (1.5) và (1.6):
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Bằng các vế phải của các công thức này
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

do đó xác suất sau của giả thuyết H k là

Mẫu số là tổng xác suất của biến cố A. Thay P(A) vào giá trị của nó theo công thức xác suất tổng (1.11), ta được:
(1.12)
Công thức (1.12) được gọi là công thức bayes và được sử dụng để đánh giá lại xác suất của các giả thuyết.
Trong các điều kiện của ví dụ trước, chúng tôi tìm thấy xác suất bộ phận bị lỗi được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên. Chúng ta hãy tóm tắt trong một bảng các xác suất tiên nghiệm của các giả thuyết P(H i) mà chúng ta biết theo điều kiện, các xác suất có điều kiện P(A|H i) các xác suất chung được tính toán trong quá trình giải P(AH i) = P(H i) P(A|H i) và được tính theo công thức (1.12) một xác suất hậu nghiệm P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Bảng 1.3).

Bảng 1.3 - Đánh giá lại các giả thuyết

giả thuyết Xin chào	xác suất
	Trước P(H i)	Có điều kiện P(A|H i)	Chung P(AH i)	Một hậu nghiệm P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - phần nhận được từ nhà cung cấp đầu tiên	0.5	0.04	0.02
H 2 - một phần nhận được từ nhà cung cấp thứ hai	0.2	0.05	0.01
H 3 - một phần nhận được từ nhà cung cấp thứ ba	0.3	0.02	0.006
Tổng	1.0	-	0.036	1

Hãy xem xét hàng cuối cùng của bảng này. Cột thứ hai chứa tổng xác suất của các biến cố xung khắc H 1 , H 2 , H 3 tạo thành một nhóm hoàn chỉnh:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
Trong cột thứ tư, giá trị trong mỗi hàng (xác suất chung) có được bằng quy tắc nhân xác suất bằng cách nhân các giá trị tương ứng trong cột thứ hai và thứ ba và ở hàng cuối cùng 0,036 là tổng xác suất của sự kiện A (bằng công thức xác suất toàn phần).
Trong cột 5, xác suất sau của các giả thuyết được tính bằng công thức Bayes (1.12):

Các xác suất sau P(H 2 |A) và P(H 3 |A) được tính tương tự, với tử số của phân số là các xác suất chung được ghi trong các hàng tương ứng của cột 4 và mẫu số là xác suất tổng của các sự kiện A ghi vào hàng cuối cùng của cột 4.
Tổng xác suất của các giả thuyết sau thí nghiệm bằng 1 và được viết ở dòng cuối cùng của cột thứ năm.
Vì vậy, xác suất bộ phận bị lỗi được nhận từ nhà cung cấp đầu tiên là 0,555. Xác suất hậu nghiệm lớn hơn xác suất tiên nghiệm (do khối lượng cung cấp lớn). Xác suất sau thử nghiệm mà bộ phận bị lỗi được nhận từ nhà cung cấp thứ hai là 0,278 và cũng lớn hơn xác suất trước thử nghiệm (do số lượng sản phẩm bị loại bỏ lớn). Xác suất sau thử nghiệm mà một bộ phận bị lỗi được lấy từ nhà cung cấp thứ ba là 0,167.

Ví dụ #3. Có ba chiếc bình giống hệt nhau; hũ thứ nhất chứa hai viên bi trắng và một đen; trong phần thứ hai, ba người da trắng và một người da đen; trong phần ba - hai quả bóng trắng và hai quả bóng đen. Đối với thí nghiệm, một chiếc bình được chọn ngẫu nhiên và một quả bóng được lấy ra khỏi đó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.
Dung dịch. Hãy xem xét ba giả thuyết: H 1 - chiếc bình đầu tiên được chọn, H 2 - chiếc bình thứ hai được chọn, H 3 - chiếc bình thứ ba được chọn và sự kiện A - quả bóng trắng được lấy ra.
Vì các giả thuyết đều có thể xảy ra như nhau theo điều kiện của bài toán, nên

Các xác suất có điều kiện của biến cố A theo các giả thuyết này lần lượt bằng nhau:
Theo công thức tổng xác suất

Ví dụ #4. Có 19 khẩu súng trường trong kim tự tháp, 3 trong số đó có ống ngắm quang học. Người bắn, bắn từ súng trường có ống ngắm quang học, có thể bắn trúng mục tiêu với xác suất 0,81 và bắn từ súng trường không có ống ngắm quang học, xác suất 0,46. Tìm xác suất để người bắn trúng mục tiêu bằng cách bắn từ một khẩu súng trường được chọn ngẫu nhiên.
Dung dịch.Ở đây bài kiểm tra đầu tiên là lựa chọn súng trường ngẫu nhiên, bài kiểm tra thứ hai là bắn mục tiêu. Hãy xem xét các sự kiện sau: A - người bắn sẽ bắn trúng mục tiêu; H 1 - người bắn sẽ lấy một khẩu súng trường có ống ngắm quang học; H 2 - người bắn sẽ lấy một khẩu súng trường không có ống ngắm quang học. Chúng tôi sử dụng công thức xác suất tổng. Chúng ta có

Xem xét rằng súng trường được chọn cùng một lúc và sử dụng công thức xác suất cổ điển, chúng tôi nhận được: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Xác suất có điều kiện được đưa ra trong tuyên bố vấn đề: P(A|H 1) = 0;81 và P(A|H 2) = 0;46. Do đó,

Ví dụ số 5. Từ một hộp chứa 2 bi trắng và 3 bi đen, người ta lấy ngẫu nhiên 2 bi và thêm vào hộp 1 bi trắng. Tính xác suất để lấy được bi trắng.
Dung dịch. Biến cố “lấy được bi trắng” kí hiệu là A. Biến cố H 1 - Lấy ngẫu nhiên hai bi trắng; H 2 - rút ngẫu nhiên hai quả bóng đen; H 3 - một quả bóng trắng và một quả bóng đen đã được rút ra. Sau đó, xác suất của các giả thuyết đưa ra

Xác suất có điều kiện theo các giả thuyết này tương ứng bằng nhau: P(A|H 1) = 1/4 - xác suất rút được bi trắng nếu hiện tại có một bi trắng và ba bi đen trong hũ, P(A|H 2) = 3/4 - xác suất lấy được bi trắng nếu trong hũ hiện có 3 bi trắng và 1 bi đen, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - xác suất rút được bi trắng nếu trong hũ lúc này có hai quả bóng trắng và một quả bóng đen. Theo công thức tổng xác suất

Ví dụ số 6. Hai phát súng được bắn vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng lần thứ nhất là 0,2, lần thứ hai là 0,6. Xác suất tiêu diệt mục tiêu bằng một đòn là 0,3, với hai - 0,9. Tìm xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.
Dung dịch. Gọi biến cố A là mục tiêu bị tiêu diệt. Để làm được điều này, chỉ cần bắn trúng một trong hai phát hoặc bắn trúng mục tiêu liên tiếp bằng hai phát không trượt là đủ. Hãy đưa ra các giả thuyết: H 1 - cả hai phát bắn đều trúng mục tiêu. Khi đó P(H 1) = 0,2 0,6 = 0;12. H 2 - lần đầu tiên hoặc lần thứ hai bỏ lỡ. Khi đó P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Giả thuyết H 3 - cả hai phát bắn đều trượt - không được tính đến, vì xác suất tiêu diệt mục tiêu bằng không. Khi đó các xác suất có điều kiện tương ứng bằng nhau: xác suất tiêu diệt mục tiêu trong điều kiện cả hai lần bắn thành công là P(A|H 1) = 0,9 và xác suất tiêu diệt mục tiêu trong điều kiện chỉ có một lần bắn thành công là P( A|H 2) = 0,3. Khi đó xác suất tiêu diệt mục tiêu theo công thức xác suất toàn phần bằng.

Hệ quả của hai định lý chính của lý thuyết xác suất - định lý cộng và nhân - là công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Trong ngôn ngữ của đại số sự kiện, tập hợp , , ¼, được gọi là nhóm đầy đủ các sự kiện, nếu:

1. Các sự kiện không tương thích theo cặp, tức là , , ;.

2. Tóm lại, chúng tạo nên toàn bộ không gian xác suất .

Định lý 5 (Công thức xác suất toàn phần). Nếu sự kiện NHƯNG chỉ có thể xảy ra nếu một trong các sự kiện (giả thuyết), ,¼,, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, xảy ra, thì xác suất của sự kiện NHƯNG bằng

Bằng chứng. Vì các giả thuyết , , , là những giả thuyết duy nhất có thể xảy ra và sự kiện Một theo điều kiện của định lý chỉ có thể xảy ra cùng với một trong các giả thuyết, sau đó . Từ sự không nhất quán của các giả thuyết theo sau là sự không nhất quán .

Ta áp dụng định lý cộng xác suất ở dạng (6):

Theo định lý nhân. Thay biểu diễn này vào công thức (13), cuối cùng ta có: , điều cần chứng minh.

Ví dụ 8 Một công ty xuất nhập khẩu sắp ký hợp đồng cung cấp thiết bị nông nghiệp cho một trong các nước đang phát triển. Nếu đối thủ cạnh tranh chính của công ty không đồng thời đăng ký hợp đồng, thì xác suất nhận được hợp đồng được ước tính là 0,45; mặt khác, ở mức 0,25. Theo các chuyên gia của công ty, xác suất đối thủ cạnh tranh sẽ đưa ra các đề xuất để ký kết hợp đồng là 0,40. Xác suất ký kết hợp đồng là gì?

Dung dịch. NHƯNG -“công ty sẽ ký kết hợp đồng”, - “đối thủ cạnh tranh sẽ đưa ra đề xuất của mình”, - “đối thủ cạnh tranh sẽ không đưa ra đề xuất của mình”. Theo nhiệm vụ , . Xác suất có điều kiện để một công ty giành được hợp đồng , . Theo công thức tổng xác suất

Một hệ quả của định lý nhân và công thức xác suất toàn phần là công thức Bayes.

công thức bayes cho phép bạn tính toán lại xác suất của từng giả thuyết, với điều kiện là sự kiện đó đã xảy ra. (Áp dụng khi sự kiện NHƯNG, chỉ có thể xuất hiện với một trong các giả thuyết tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh, đã xảy ra và cần tiến hành đánh giá lại định lượng về xác suất tiên nghiệm của các giả thuyết này đã biết trước khi thử nghiệm, tức là nó là cần thiết để tìm ra một hậu nghiệm (thu được sau khi thử nghiệm) xác suất có điều kiện của các giả thuyết), ,,…, .

Định lý 6 (công thức Bayes). Nếu sự kiện NHƯNG xảy ra, thì xác suất có điều kiện của các giả thuyết được tính theo một công thức được gọi là công thức Bayes:

Bằng chứng.Để có được công thức mong muốn, chúng tôi viết định lý nhân xác suất của các sự kiện NHƯNG và dưới hai hình thức:

ở đâu Q.E.D.

Ý nghĩa của công thức Bayes là khi một sự kiện xảy ra NHƯNG, những thứ kia. khi có được thông tin mới, chúng ta có thể kiểm tra và sửa các giả thuyết đưa ra trước khi thử nghiệm. Cách tiếp cận này, được gọi là Bayesian, cho phép điều chỉnh các quyết định quản lý trong nền kinh tế, ước tính các tham số chưa biết về phân phối các đặc điểm đang được nghiên cứu trong phân tích thống kê, v.v.

Nhiệm vụ 9. Nhóm gồm 6 học sinh xuất sắc, 12 học sinh giỏi và 22 học sinh trung bình. Một học sinh A có khả năng trả lời 5 và 4 như nhau, một học sinh giỏi có khả năng trả lời 5, 4 và 3 như nhau, và một học sinh trung bình có khả năng trả lời 4, 3 và 2 như nhau. Một học sinh được chọn ngẫu nhiên đã trả lời 4. Xác suất mà một học sinh tầm thường được gọi là gì?

Dung dịch. Hãy xem xét ba giả thuyết:

Sự kiện trong câu hỏi. Từ điều kiện của bài toán, được biết rằng

, , .

Tìm xác suất của các giả thuyết. Vì nhóm chỉ có 40 học sinh và 6 học sinh giỏi nên . Tương tự như vậy, , . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta tìm được

Bây giờ chúng tôi áp dụng công thức Bayes cho giả thuyết:

Ví dụ 10 Một nhà phân tích kinh tế chia tình hình kinh tế trong nước thành “tốt”, “trung bình” và “xấu” một cách có điều kiện và ước tính xác suất của chúng trong một thời điểm nhất định là 0,15; lần lượt là 0,70 và 0,15. Một số chỉ số về điều kiện kinh tế tăng với xác suất 0,60 khi tình hình "tốt"; với xác suất 0,30 khi tình huống ở mức trung bình và với xác suất 0,10 khi tình huống "xấu". Giả sử rằng chỉ số điều kiện kinh tế đã tăng lên ở thời điểm hiện tại. Xác suất mà nền kinh tế của đất nước đang bùng nổ là gì?

Dung dịch. NHƯNG= "chỉ số điều kiện kinh tế của đất nước sẽ tăng lên", H1= “tình hình kinh tế trong nước là “tốt””, H 2= "tình hình kinh tế trong nước là 'tầm thường'", H 3= "tình hình kinh tế trong nước là 'xấu'". Theo điều kiện: , , . Xác suất có điều kiện: ,, . Chúng ta cần tìm xác suất. Chúng tôi tìm thấy nó bằng cách sử dụng công thức Bayes:

Ví dụ 11. Công ty thương mại nhận tivi từ ba nhà cung cấp theo tỷ lệ 1:4:5. Thực tế đã chỉ ra rằng TV đến từ nhà cung cấp thứ 1, thứ 2 và thứ 3 sẽ không phải sửa chữa trong thời gian bảo hành với tỷ lệ tương ứng là 98%, 88% và 92% các trường hợp.

Hệ quả tất yếu của cả hai định lý chính - định lý cộng xác suất và định lý nhân xác suất - được gọi là công thức xác suất tổng.

Hãy để nó được yêu cầu xác định xác suất của một số sự kiện có thể xảy ra cùng với một trong các sự kiện:

tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích. Chúng tôi sẽ gọi những sự kiện này là giả thuyết.

Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này

, (3.4.1)

những thứ kia. xác suất của một sự kiện được tính bằng tổng các tích của xác suất của từng giả thuyết và xác suất của sự kiện theo giả thuyết này.

Công thức (3.4.1) được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Bằng chứng. Vì các giả thuyết tạo thành một nhóm hoàn chỉnh nên sự kiện chỉ có thể xuất hiện khi kết hợp với bất kỳ giả thuyết nào sau đây:

Do các giả thuyết không nhất quán nên các kết hợp cũng không tương thích; áp dụng định lý cộng cho chúng, ta được:

Áp dụng định lý nhân cho biến cố, ta được:

,

Q.E.D.

Ví dụ 1. Có ba chiếc bình giống hệt nhau; hũ thứ nhất chứa hai viên bi trắng và một đen; trong lần thứ hai - ba màu trắng và một màu đen; trong phần ba - hai quả bóng trắng và hai quả bóng đen. Ai đó chọn ngẫu nhiên một trong các bình và lấy một quả bóng từ đó. Tìm xác suất để quả bóng này có màu trắng.

Dung dịch. Hãy xem xét ba giả thuyết:

Lựa chọn chiếc bình đầu tiên,

Lựa chọn bình thứ hai,

Lựa chọn bình thứ ba

và sự kiện là sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng.

Do các giả thuyết, theo điều kiện của bài toán, đều có xác suất như nhau, nên

.

Xác suất có điều kiện của sự kiện theo các giả thuyết này tương ứng bằng nhau:

Theo công thức tổng xác suất

.

Ví dụ 2. Bắn ba phát vào một máy bay. Xác suất bắn trúng lần thứ nhất là 0,4, lần thứ hai là 0,5, lần thứ ba là 0,7. Ba cú đánh rõ ràng là đủ để vô hiệu hóa một chiếc máy bay; trúng một phát thì xác suất máy bay hỏng là 0,2, trúng hai phát là xác suất 0,6. Tìm xác suất để máy bay ngừng hoạt động sau ba lần bắn.

Dung dịch. Hãy xem xét bốn giả thuyết:

Không một quả đạn nào trúng máy bay,

Một quả đạn trúng máy bay

Máy bay bị trúng hai quả đạn.

Ba quả đạn trúng máy bay.

Sử dụng các định lý cộng và nhân, chúng tôi tìm thấy xác suất của các giả thuyết này:

Các xác suất có điều kiện của sự kiện (hỏng máy bay) theo các giả thuyết này là:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta được:

Lưu ý rằng giả thuyết đầu tiên không thể được đưa vào xem xét, vì số hạng tương ứng trong công thức xác suất tổng biến mất. Điều này thường được thực hiện khi áp dụng công thức xác suất tổng, không xem xét nhóm đầy đủ các giả thuyết không nhất quán, mà chỉ xem xét những giả thuyết trong số chúng mà theo đó một sự kiện nhất định có thể xảy ra.

Ví dụ 3. Hoạt động của động cơ được điều khiển bởi hai bộ điều chỉnh. Một khoảng thời gian nhất định được xem xét, trong đó mong muốn đảm bảo động cơ hoạt động không gặp sự cố. Nếu cả hai bộ điều chỉnh đều có mặt, thì động cơ hỏng với xác suất , nếu chỉ bộ thứ nhất hoạt động, với xác suất , nếu chỉ bộ thứ hai hoạt động, nếu cả hai bộ điều chỉnh đều hỏng, với xác suất . Cái đầu tiên của bộ điều chỉnh có độ tin cậy, cái thứ hai -. Tất cả các yếu tố thất bại độc lập với nhau. Tìm tổng độ tin cậy (xác suất hoạt động không hỏng hóc) của động cơ.