Тригонометричне рівняння визначення. Тригонометричні рівняння

Концепція рішення тригонометричних рівнянь.

Для розв'язання тригонометричного рівняння перетворіть його на одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Рішення тригонометричного рівняння зрештою зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

Розв'язання основних тригонометричних рівнянь.

Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:
sin x = a; cos x = a
tg x = a; ctg x = a
Розв'язання основних тригонометричних рівнянь передбачає розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).
Приклад 1. Sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = π/3. Одиничне коло дає ще одну відповідь: 2π/3. Запам'ятайте, що всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x та cos x дорівнює 2πn, а періодичність tg x та ctg x дорівнює πn. Тому відповідь записується так:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Приклад 2. х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор) ви отримаєте відповідь: х = 2π/3. Поодиноке коло дає ще одну відповідь: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; х2 = -2π/3 + 2π.
Приклад 3. tg (x – π/4) = 0.
Відповідь: х = π/4 + πn.
Приклад 4. ctg 2x = 1732.
Відповідь: х = π/12 + πn.

Перетворення, що використовуються під час вирішення тригонометричних рівнянь.

Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються перетворення алгебри (розкладання на множники, приведення однорідних членів і т.д.) і тригонометричні тотожності.
Приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється на рівняння 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити наступні основні тригонометричні рівняння: cos x = 0; sin (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Знаходження кутів за відомими значеннями функцій.
- Перед вивченням методів розв'язання тригонометричних рівнянь вам необхідно навчитися знаходити кути за відомими значеннями функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення чи калькулятора.
- Приклад: х = 0,732. Калькулятор дасть відповідь x = 42,95 градусів. Одиничне коло дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.
Відкладіть рішення на одиничному колі.
- Ви можете відкласти рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі є вершинами правильного багатокутника.
- Приклад: Рішення x = π/3 + πn/2 на одиничному колі є вершинами квадрата.
- Приклад: Рішення x = π/4 + πn/3 на одиничному колі є вершинами правильного шестикутника.
Методи розв'язання тригонометричних рівнянь.
- Якщо це тригонометричне рівняння містить лише одну тригонометричну функцію, розв'яжіть це рівняння як основне тригонометричне рівняння. Якщо це рівняння включає дві або більше тригонометричні функції, то існують 2 методи розв'язання такого рівняння (залежно від можливості його перетворення).
  - Метод 1.
- Перетворіть це рівняння на рівняння виду: f(x)*g(x)*h(x) = 0, де f(x), g(x), h(x) - основні тригонометричні рівняння.
- Приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2*sin х*соs х, замініть sin 2x.
- 2соs х + 2*sin х*соs х = 2cos х*(sin х + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.
- Приклад 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть це рівняння на рівняння виду: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.
- Приклад 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння на рівняння виду: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Тепер розв'яжіть два основні тригонометричні рівняння: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.
  - Метод 2.
- Перетворіть це тригонометричне рівняння на рівняння, що містить лише одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t і т.д.).
- Приклад 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Рішення. У цьому рівнянні замініть (cos^2 x) на (1 - sin^2 x) (відповідно до тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin x на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два корені: t1 = -1 та t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Приклад 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Рішення. Замініть tg x на t. Перепишіть вихідне рівняння у такому вигляді: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.
Особливі тригонометричні рівняння.
- Існує кілька особливих тригонометричних рівнянь, які потребують конкретних перетворень. Приклади:
- a * sin x + b * cos x = c; a(sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
- a*sin^2 x + b*sin x*cos x + c*cos^2 x = 0
Періодичність тригонометричних функцій.
- Як згадувалося раніше, всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються через певний період. Приклади:
  - Період функції f(x) = sin x дорівнює 2π.
  - Період функції f(x) = tg x дорівнює π.
  - Період функції f(x) = sin 2x дорівнює π.
  - Період функції f(x) = cos(x/2) дорівнює 4π.
- Якщо період вказано у завданні, обчисліть значення «х» у межах цього періоду.
- Примітка: розв'язання тригонометричних рівнянь – непросте завдання, яке часто призводить до помилок. Тому ретельно перевіряйте відповіді. Для цього можна використовувати графічний калькулятор, щоб побудувати графік рівняння R(х) = 0. У таких випадках рішення будуть представлені у вигляді десяткових дробів (тобто π замінюється на 3,14).

На цьому уроці ми розглянемо основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки, а також перерахуємо основні типи тригонометричних рівнянь та систем. Крім цього, вкажемо загальні рішення найпростіших тригонометричних рівнянь та їх окремі випадки.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання В5 та С1.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 10. Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння та їх системи.

Теорія

Конспект уроку

Ми з вами вже застосовували термін «тригонометрична функція». Ще на першому уроці цієї теми ми визначили їх за допомогою прямокутного трикутника та одиничного тригонометричного кола. Використовуючи такі методи завдання тригонометричних функцій, ми можемо зробити висновок, що їм одному значенню аргументу (чи кута) відповідає суворо одне значення функції, тобто. ми маємо право називати синус, косинус, тангенс і котангенс саме функціями.

У цьому уроці саме час спробувати абстрагуватися від розглянутих раніше способів обчислення значень тригонометричних функцій. Сьогодні ми перейдемо до звичного підходу алгебри роботи з функціями, ми розглянемо їх властивості і зобразимо графіки.

Що стосується властивостей тригонометричних функцій, то особливу увагу слід звернути на:

Область визначення та область значень, т.к. для синуса та косинуса є обмеження по області значень, а для тангенсу та котангенсу обмеження по області визначення;

Періодичність всіх трігонометричних функцій, т.к. ми вже зазначали наявність найменшого ненульового аргументу, додавання якого змінює значення функції. Такий аргумент називають періодом функції та позначають буквою. Для синуса/косинусу та тангенсу/котангенсу ці періоди різні.

Розглянемо функцію:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція непарна ;

Побудуємо графік функції. При цьому зручно починати побудову із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Крім того, для побудови корисно пам'ятати значення синусів декількох основних табличних кутів, наприклад, що це дозволить побудувати першу повну «хвилю» графіка і потім перемальовувати її вправо та вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням на період, тобто. на .

Тепер розглянемо функцію:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення;

2) Область значень ;

3) Функція парна З цього випливає симетричність графіка функції щодо осі ординат;

4) Функція не є монотонною на всій своїй ділянці визначення;

Побудуємо графік функції. Як і при побудові синуса зручно починати із зображення області, яка обмежує графік зверху числом 1 і числом знизу , що пов'язано з областю значень функції. Також нанесемо на графік координати кількох точок, для чого необхідно пам'ятати значення косінусів кількох основних табличних кутів, наприклад, що за допомогою цих точок ми можемо побудувати першу повну хвилю графіка і потім перемальовувати її вправо і вліво, користуючись тим, що картинка повторюватиметься зі зміщенням період, тобто. на .

Перейдемо до функції:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення крім , де . Ми вже вказували на попередніх уроках, що не існує. Це твердження можна узагальнити з огляду на період тангенсу;

2) Область значень, тобто. значення тангенсу не обмежені;

3) Функція непарна ;

4) Функція монотонно зростає у межах своїх так званих гілок тангенсу, які ми зараз побачимо на малюнку;

5) Функція періодична з періодом

Побудуємо графік функції. У цьому зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки тангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. При цьому не забуваємо, що кожна гілка монотонно зростає. Усі гілки зображаємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює . Це видно з того, що кожна гілка виходить усуненням сусідньої на вздовж осі абсцис.

І завершуємо розглядом функції:

Основні властивості цієї функції:

1) Область визначення крім , де . По таблиці значень тригонометричних функцій ми знаємо, що немає. Це твердження можна узагальнити з огляду на період котангенсу;

2) Область значень, тобто. значення котангенсу не обмежені;

3) Функція непарна ;

4) Функція монотонно зменшується в межах своїх гілок, які схожі на гілки тангенсу;

5) Функція періодична з періодом

Побудуємо графік функції. У цьому, як й у тангенса, зручно починати побудова із зображення вертикальних асимптот графіка у точках, які входять у область визначення, тобто. і т.д. Далі зображаємо гілки котангенсу всередині кожної з утворених асимптотами смужок, притискаючи їх до лівої асимптоти та до правої. У цьому випадку враховуємо, що кожна гілка монотонно зменшується. Усі гілки і тангенсу зображуємо однаково, т.к. функція має період, що дорівнює .

Окремо слід зазначити той факт, що тригонометричні функції зі складним аргументом можуть мати нестандартний період. Йдеться про функції виду:

У них період дорівнює. І про функції:

У них період дорівнює.

Як бачимо, для обчислення нового періоду стандартний період ділиться на множник при аргументі. Від інших видозмін функції він не залежить.

Докладніше розібратися та зрозуміти, звідки беруться ці формули, ви зможете в уроці про побудову та перетворення графіків функцій.

Ми підійшли до однієї з найголовніших частин теми «Тригонометрія», яку ми присвятимо рішенню тригонометричних рівнянь. Вміння вирішувати такі рівняння важливе, наприклад, при описі коливальних процесів у фізиці. Уявимо, що ви на спортивній машині проїхали кілька кіл на картинзі, визначити скільки часу ви вже берете участь у гонці в залежності від положення машини на трасі допоможе розв'язання тригонометричного рівняння.

Запишемо найпростіше тригонометричне рівняння:

Рішенням такого рівняння є аргументи, синус яких дорівнює. Але ми вже знаємо, що через періодичність синуса таких аргументів існує безліч. Таким чином, розв'язуванням цього рівняння будуть і т.п. Те саме стосується і вирішення будь-якого іншого найпростішого тригонометричного рівняння, їх буде нескінченна кількість.

Тригонометричні рівняння поділяються на кілька основних типів. Окремо слід зупинитись на найпростіших, т.к. решта до них зводяться. Таких рівнянь чотири (за кількістю основних тригонометричних функцій). Їх відомі загальні рішення, їх необхідно запам'ятати.

Найпростіші тригонометричні рівняння та їх загальні рішеннявиглядають наступним чином:

Зверніть увагу, що значення синуса і косинуса необхідно враховувати відомі нам обмеження. Якщо, наприклад, то рівняння не має рішень і застосовувати зазначену формулу не слід.

Крім того, зазначені формули коренів містять параметр як довільного цілого числа . У шкільній програмі це єдиний випадок, коли рішення рівняння без параметра містить у собі параметр. Це довільне ціле число показує, що можна виписати нескінченну кількість коренів будь-якого із зазначених рівнянь просто підставляючи замість черги всі цілі числа.

Ознайомитись із докладним отриманням зазначених формул ви можете, повторивши розділ «Тригонометричні рівняння» у програмі алгебри 10 класу.

Окремо необхідно звернути увагу на вирішення окремих випадків найпростіших рівнянь з синусом і косинусом. Ці рівняння мають вигляд:

До них не слід застосовувати формули знаходження спільних рішень. Такі рівняння найзручніше вирішуються з використанням тригонометричного кола, що дає більш простий результат, ніж формули загальних рішень.

Наприклад, рішенням рівняння є . Спробуйте самі отримати цю відповідь і вирішити решту вказаних рівнянь.

Крім зазначеного типу тригонометричних рівнянь, що найчастіше зустрічається, існують ще кілька стандартних. Перерахуємо їх з урахуванням тих, які ми вже зазначили:

1) Найпростіші, наприклад, ;

2) Окремі випадки найпростіших рівняньнаприклад, ;

3) Рівняння зі складним аргументомнаприклад, ;

4) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом винесення загального множниканаприклад, ;

5) Рівняння, що зводяться до найпростіших шляхом перетворення тригонометричних функційнаприклад, ;

6) Рівняння, що зводяться до найпростіших за допомогою замінинаприклад, ;

7) Однорідні рівняннянаприклад, ;

8) Рівняння, що вирішуються з використанням властивостей функційнаприклад, . Нехай вас не лякає, що в цьому рівнянні дві змінні, воно вирішується при цьому;

А також рівняння, що вирішуються з використанням різних методів.

Крім розв'язання тригонометричних рівнянь необхідно вміти розв'язувати їх системи.

Найчастіше зустрічаються системи наступних типів:

1) У яких одне з рівнянь статечненаприклад, ;

2) Системи із найпростіших тригонометричних рівняньнаприклад, .

На сьогоднішньому уроці ми розглянули основні тригонометричні функції, їх властивості та графіки. А також познайомилися із загальними формулами розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь, вказали основні типи таких рівнянь та їх систем.

У практичній частині уроку ми розберемо методи розв'язання тригонометричних рівнянь та їх систем.

Вставлення 1.Розв'язання окремих випадків найпростіших тригонометричних рівнянь.

Як ми вже говорили в основній частині уроку, окремі випадки тригонометричних рівнянь із синусом і косинусом виду:

мають простіші рішення, ніж дають формули загальних рішень.

Для цього використовується тригонометричне коло. Розберемо метод їх розв'язання на прикладі рівняння.

Зобразимо на тригонометричному колі точку, в якій значення косинуса дорівнює нулю, воно є координатою по осі абсцис. Як бачимо, таких точок дві. Наше завдання вказати чому дорівнює кут, який відповідає цим точкам на колі.

Починаємо відлік від позитивного спрямування осі абсцис (осі косінусів) і при відкладанні кута потрапляємо в першу зображену точку, тобто. одним із рішень буде це значення кута. Але ж нас ще влаштовує кут, який відповідає другій точці. Як потрапити до неї?

При вирішенні багатьох математичних завдань, особливо тих, що зустрічаються до 10 класу, порядок виконуваних дій, що призведуть до мети, визначено однозначно. До таких завдань можна віднести, наприклад, лінійні та квадратні рівняння, лінійні та квадратні нерівності, дробові рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних. Принцип успішного вирішення кожної із згаданих завдань полягає в наступному: треба встановити, до якого типу належить розв'язувана задача, згадати необхідну послідовність дій, які призведуть до потрібного результату, тобто. відповіді, та виконати ці дії.

Очевидно, що успіх чи неуспіх у вирішенні того чи іншого завдання залежить головним чином від того, наскільки правильно визначено тип рівняння, що вирішується, наскільки правильно відтворена послідовність всіх етапів його вирішення. Зрозуміло, у своїй необхідно володіти навичками виконання тотожних перетворень і обчислень.

Інша ситуація виходить з тригонометричними рівняннями.Встановити факт те, що рівняння є тригонометричним, дуже неважко. Складнощі з'являються щодо послідовності дій, які призвели до правильної відповіді.

На вигляд рівняння часом буває важко визначити його тип. А не знаючи типу рівняння, майже неможливо вибрати із кількох десятків тригонометричних формул потрібну.

Щоб розв'язати тригонометричне рівняння, треба спробувати:

1. привести всі функції, що входять до рівняння до «однакових кутів»;
2. привести рівняння до «однакових функцій»;
3. розкласти ліву частину рівняння на множники тощо.

Розглянемо основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь

I. Приведення до найпростіших тригонометричних рівнянь

Схема розв'язання

Крок 1.Виразити тригонометричну функцію через відомі компоненти.

Крок 2Знайти аргумент функції за формулами:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Крок 3Знайти невідому змінну.

приклад.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Рішення.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Відповідь: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

ІІ. Заміна змінної

Схема розв'язання

Крок 1.Привести рівняння до виду алгебри щодо однієї з тригонометричних функцій.

Крок 2Позначити отриману функцію змінної t (якщо необхідно ввести обмеження на t).

Крок 3Записати та вирішити отримане рівняння алгебри.

Крок 4.Зробити зворотну заміну.

Крок 5.Вирішити найпростіше тригонометричне рівняння.

приклад.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Рішення.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нехай sin (x/2) = t, де | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 чи е = -3/2, не задовольняє умові |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Відповідь: x = π + 4πn, n Є Z.

ІІІ. Метод зниження порядку рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Замінити дане рівняння лінійним, використовуючи при цьому формули зниження ступеня:

sin 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Крок 2Вирішити отримане рівняння за допомогою методів І та ІІ.

приклад.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Рішення.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Відповідь: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однорідні рівняння

Схема розв'язання

Крок 1.Привести це рівняння до виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однорідне рівняння першого ступеня)

або на вигляд

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння другого ступеня).

Крок 2Розділити обидві частини рівняння на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

і отримати рівняння щодо tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Крок 3Вирішити рівняння відомими способами.

приклад.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.

Рішення.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Нехай tg x = t, тоді

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 або t = -4, отже

tg x = 1 або tg x = -4.

З першого рівняння x = π/4 + πn, n º Z; з другого рівняння x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Відповідь: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод перетворення рівняння за допомогою тригонометричних формул

Схема розв'язання

Крок 1.Використовуючи всілякі тригонометричні формули, привести дане рівняння до рівняння, яке вирішується методами I, II, III, IV.

Крок 2Вирішити отримане рівняння відомими методами.

приклад.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Рішення.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 або 2cos x + 1 = 0;

З першого рівняння 2x = π/2 + πn, n Є Z; із другого рівняння cos x = -1/2.

Маємо х = π/4 + πn/2, n Є Z; із другого рівняння x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Через війну х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Відповідь: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Вміння та навички вирішувати тригонометричні рівняння є дуже важливими, їхній розвиток потребує значних зусиль, як з боку учня, так і з боку вчителя.

З рішенням тригонометричних рівнянь пов'язані багато завдань стереометрії, фізики, та інших. Процес розв'язання таких завдань хіба що містить у собі багато знання й уміння, які набувають щодо елементів тригонометрії.

Тригонометричні рівняння займають важливе місце у процесі навчання математики та розвитку особистості загалом.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати тригонометричні рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Клас: 10

«Рівняння існуватимуть вічно».

А. Ейнштейн

Цілі уроку:

Освітні:
- поглиблення розуміння методів розв'язання тригонометричних рівнянь;
- сформувати навички розрізняти, правильно відбирати способи розв'язання тригонометричних рівнянь.
Виховні:
- виховання пізнавального інтересу до навчального процесу;
- формування вміння аналізувати поставлене завдання;
- сприяти поліпшенню психологічного клімату у класі.
Розвиваючі:
- сприяти розвитку навички самостійного набуття знань;
- сприяти вмінню учнів аргументувати свою думку;

Обладнання:плакат з основних тригонометричних формул, комп'ютер, проектор, екран.

1 урок

I. Актуалізація опорних знань

Усно вирішити рівняння:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = -;
4) sin2x = 0;
5) sinx = -;
6) sinx =;
7) tgx =;
8) cos 2 x - sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х = ± + 2к;
4) х = до;
5) х = (-1) + к;
6) х = (-1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; до Z.

ІІ. Вивчення нового матеріалу

– Сьогодні ми з вами розглянемо складніші тригонометричні рівняння. Розглянемо 10 способів їх вирішення. Далі буде два уроки для закріплення, і наступного уроку буде перевірна робота. На стенді «До уроку» вивішено завдання, аналогічні яким будуть на перевірочній роботі, треба їх вирішувати до перевірочної роботи. (Напередодні перед перевірочною роботою вивісити на стенді рішення цих завдань).

Отже, переходимо до розгляду способів розв'язання тригонометричних рівнянь. Одні з цих способів вам, напевно, видадуться важкими, інші – легкими, т.к. деякими прийомами розв'язання рівнянь ви вже володієте.

Чотири учні класу отримали індивідуальне завдання: розібратися і показати вам 4 способи розв'язання тригонометричних рівнянь.

(Виступаючі учні заздалегідь підготували слайди. Інші учні класу записують основні етапи розв'язання рівнянь у зошит.)

1 учень: 1 спосіб. Розв'язання рівнянь розкладанням на множники

sin 4x = 3 cos 2x

Для вирішення рівняння скористаємося формулою синуса подвійного кута sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x - 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Добуток цих множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнюватиме нулю.

2x = + до, до Z чи sin 2x = 1,5 – немає рішень, т.к | sin| 1
x = + к; до Z.
Відповідь: x = + к, до Z.

2 учень. 2 спосіб. Розв'язання рівнянь перетворенням суми або різниці тригонометричних функцій на твір

cos 3x + sin 2x - sin 4x = 0.

Для вирішення рівняння скористаємося формулою sin-sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x - 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Отримане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

Безліч рішень другого рівняння повністю входить до множини рішень першого рівняння. Значить

Відповідь:

3 учень. 3 спосіб. Розв'язання рівнянь перетворенням твору тригонометричних функцій на суму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для вирішення рівняння скористаємося формулою

Відповідь:

4 учень. 4 спосіб. Розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних рівнянь

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Нехай sin x = t де | t |. Отримаємо квадратне рівняння 2t 2 + 3t - 2 = 0,

D=9+16=25.

Таким чином . не задовольняє умову t |.

Отже sin x = . Тому .

Відповідь:

ІІІ. Закріплення вивченого за підручником А. Н. Колмогорова

1. № 164(а), 167(а) (квадратне рівняння)
2. № 168 (а) (розкладання на множники)
3. № 174 (а) (перетворення суми на твір)
4. (перетворення твору на суму)

(В кінці уроку показати рішення цих рівнянь на екрані для перевірки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x - 1 = 0.
Нехай sin x = t, | t | 1. Тоді
2 t 2 + t - 1 = 0, t = - 1, t =. Звідки

Відповідь: – .

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x - 1 = 0.

Нехай tg x = 1, тоді отримаємо рівняння 3t2 + 2t - 1 = 0.

Відповідь:

№ 168 (а)

Відповідь:

№ 174 (а)

Вирішити рівняння:

Відповідь:

2 урок (урок-лекція)

IV. Вивчення нового матеріалу(продовження)

– Отже, продовжимо вивчення способів розв'язання тригонометричних рівнянь.

5 спосіб. Розв'язання однорідних тригонометричних рівнянь

Рівняння виду a sin x + b cos x = 0, де a та b – деякі числа, називаються однорідними рівняннями першого ступеня щодо sin x або cos x.

Розглянемо рівняння

sin x - cos x = 0. Розділимо обидві частини рівняння cos x. Так можна зробити, втрати кореня не станеться, т.к. , якщо cos x = 0,то sin x = 0. Але це суперечить основному тригонометричному тотожності sin 2 x + cos 2 x = 1.

Отримаємо tg x - 1 = 0.

tg x = 1,

Рівняння виду a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,де a, b, c –деякі числа називаються однорідними рівняннями другого ступеня щодо sin x або cos x.

Розглянемо рівняння

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Розділимо обидві частини рівняння на cos x, причому втрати кореня не відбудеться, т.к. cos x = 0 не є коренем цього рівняння.

tg 2 x - 3tg x + 2 = 0.

Нехай tg x = t. D = 9 - 8 = 1.

Тоді звідси tg x = 2 чи tg x = 1.

У результаті x = arctg 2 + , x =

Відповідь: arctg 2 + ,

Розглянемо ще одне рівняння: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Перетворимо праву частину рівняння у вигляді 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тоді отримаємо:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Отримали 2 рівняння, яке вже розібрали).

Відповідь: arctg 2+k,

6 спосіб. Розв'язання лінійних тригонометричних рівнянь

Лінійним тригонометричним рівнянням називається рівняння виду a sin x + b cos x = сде a, b, c – деякі числа.

Розглянемо рівняння sin x + cos x= – 1.
Перепишемо рівняння у вигляді: