Паралелепіпедом називається чотирикутна призма, в основі якої лежать паралелограми. Висотою паралелепіпеда називають відстань між площинами його основами. На малюнку висота показана відрізком . Розрізняють два види паралелепіпедів: прямий та похилий. Як правило, репетитор з математики спочатку дає відповідні визначення призми, а потім переносить їх на паралелепіпед. Ми зробимо також.

Нагадаю, що призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, якщо перпендикулярності немає – призму називають похилою. Цю термінологію успадковує і паралелепіпед. Прямий паралелепіпед – ні що інше, як різновид прямої призми, бічне ребро якої збігається з висотою. Зберігаються визначення таких понять, як грань, ребро і вершина, що є загальними для сімейства багатогранників. З'являються поняття протилежних граней. У паралелепіпеда 3 пари протилежних граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Діагональ паралелепіпеда (діагональ призми) - відрізок, що з'єднує дві вершини багатогранника і не лежить в жодній з його граней.

Діагональний переріз - перетин паралелепіпеда, що проходить через його діагональ і діагональ його основи.

Властивості похилого паралелепіпеда:
1) Усі його грані – паралелограми, а протилежні грані – рівні паралелограми.
2)Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.
3)Кожен паралелепіпед складається із шести рівних за обсягом трикутних пірамід. Щоб показати їх учневі репетитор з математики повинен відрізати від паралелепепеда половинку його діагональним перетином і розбити окремо на 3 піраміди. Їхні підстави повинні лежати в різних гранях вихідного паралелепіпеда. Репетитор математики знайде застосування цієї властивості у аналітичній геометрії. Воно використовується для виведення обсягу піраміди через змішане твір векторів.

Формули об'єму паралелепіпеда:
1) , де - Площа основи, h - Висота.
2) Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі поперечного перерізу на бічне ребро.
Репетитор з математики: Як відомо, формула є спільною для всіх призм і якщо репетитор вже довів її, немає сенсу повторювати те саме для паралелепіпеда Однак у роботі з учнем середнього рівня (слабкому формула не знадобиться) викладачеві бажано діяти з точністю до навпаки. Призму дати спокій, а для паралелепіпеда провести акуратний доказ.
3) , де - обсяг однієї з шести трикутних піраміди з яких складається паралелепіпед.
4) Якщо , то

Площею бічної поверхні паралелепіпеда називається сума площ усіх його граней:
Повна поверхня паралелепіпеда – це сума площ всіх його граней, тобто площа + дві площі основи: .

Про роботу репетитора з похилим паралелепіпедом:
Завданнями на похилий паралелепіпед репетитор з математики займається не часто. Імовірність їхньої появи на ЄДІ досить мала, а дидактика непристойно бідна. Більш-менш пристойне завдання на обсяг похилого паралелепіпеда викликає серйозні проблеми, пов'язані з розподілом розташування точки Н - основи його висоти. В цьому випадку репетитору з математики можна порадити обрізати паралелепіпед до однієї з шести його пірамід (про які йдеться у властивості №3), спробувати знайти її обсяг і помножити його на 6.

Якщо бічне ребро паралелепіпеда має рівні кути зі сторонами основи, то Н лежить на бісектрисі кута A основи ABCD. І якщо, наприклад, ABCD – ромб, то

Завдання репетитора з математики:
1) Грані паралелепіпеда рівні роїби зі стороною 2см і гострим кутом. Знайти обсяг паралелепіпеда.
2) У похилому паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 5см. Перетин, перпендикулярний йому, є чотирикутником із взаємно перпендикулярними діагоналями, що мають довжини 6см і 8 см. Обчислити об'єм паралелепіпеда.
3) У похилому паралелепіпеді відомо, що , а в онуванням ABCD є ромб зі стороною 2см і кутом . Визначте об'єм паралелепіпеда.

Репетитор з математики Олександр Колпаков

Паралелепіпедом називається призма, підставами якої є паралелограми. При цьому всі грані будуть паралелограмами.
Кожен паралелепіпед можна розглядати як призму трьома різними способами, тому що за підстави можна прийняти кожні дві протилежні грані (на рис. "С" та ADA"D").
Розглянуте тіло має дванадцять ребер, по чотири рівні і паралельні між собою.
Теорема 3 . Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці, що збігається з серединою кожної з них.
Паралелепіпед ABCDA"B"C"D" (чорт. 5) має чотири діагоналі AC", BD", CA", DB". Ми повинні довести, що середини двох будь-яких з них, наприклад АС і BD", збігаються. Це випливає з того, що фігура ABC"D", що має рівні та паралельні сторони АВ і C"D", є паралелограм.
Визначення 7 . Прямим паралелепіпедом називається паралелепіпед, що є одночасно і прямою призмою, тобто паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи.
Визначення 8 . Прямокутним паралелепіпедом називається прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник. При цьому всі його межі будуть прямокутниками.
Прямокутний паралелепіпед являє собою пряму призму, яку б з його граней ми не прийняли за основу, тому що кожне його ребро перпендикулярно до ребер, що виходять з ним з однієї вершини, і, отже, перпендикулярно і до площин граней, що визначаються цими ребрами. На противагу цьому прямий, але не прямокутний, паралелепіпед можна розглядати як пряму призму лише одним способом.
Визначення 9 . Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, з яких ніякі два не паралельні між собою (наприклад трьох ребер, що виходять з однієї вершини), називаються його вимірами. Два |прямокутних паралелепіпеда, мають відповідно рівні виміри, очевидно, рівні між собою.
Визначення 10 .Кубом називається прямокутний паралелепіпед, всі три виміри якого рівні між собою, так що всі його грані - квадрати. Два куби, ребра яких рівні між собою, рівні.
Визначення 11 . Похилий паралелепіпед, у якого всі ребра рівні між собою і кути всіх граней рівні або поповнювальні, називається ромбоедром.
Усі грані ромбоедра – рівні ромби. (Форму ромбоедру мають деякі кристали, що мають велике значення, наприклад кристали ісландського шпату.) У ромбоедрі можна знайти таку вершину (і навіть дві протилоложні вершини), що всі кути, що прилягають до неї, рівні між собою.
Теорема 4 . Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох вимірів.
У прямокутному паралелепіпеді ABCDA"B"C"D" (чорт. 6) діагоналі АС" і BD" рівні, тому що чотирикутник ABC"D" - прямокутник (пряма АВ перпендикулярна до площини ВСВ"С, в якій лежить ВС") .
Крім того, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 на підставі теореми про квадрат гіпотенузи. Але на підставі тієї ж теореми AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2 ;
АС" 2 = АВ 2 + АА" 2 + A "D" 2 = АВ 2 + AA" 2 + AD 2 .

У геометрії ключовими поняттями є площина, точка, пряма та кут. Використовуючи ці терміни, можна описати будь-яку геометричну фігуру. Багатогранники зазвичай описують через простіші фігури, які лежать в одній площині, такі як коло, трикутник, квадрат, прямокутник і т.д. У цій статті ми розглянемо, що таке паралелепіпед, опишемо типи паралелепіпедів, його властивості, з яких елементів він складається, а також дамо основні формули для обчислення площі та обсягу для кожного різновиду паралелепіпеда.

Визначення

Паралелепіпед у тривимірному просторі – це призма, всі сторони якої є паралелограмами. Відповідно, вона може мати лише три пари паралельних паралелограмів або шість граней.

Щоб візуалізувати паралелепіпед, уявіть собі звичайну стандартну цеглу. Цегла - гарний приклад прямокутного паралелепіпеда, який може уявити навіть дитина. Іншими прикладами можуть бути багатоповерхові панельні будинки, шафи, контейнери для зберігання харчових продуктів відповідної форми і т.д.

Різновиди фігури

Існує всього два різновиди паралелепіпедів:

1. Прямокутні, всі бічні грані яких знаходяться під кутом 90 про основу і є прямокутниками.
2. Похилі, бічні грані яких розташовані під певним кутом до основи.

На які елементи можна поділити цю фігуру?

• Як і в будь-якій іншій геометричній фігурі, в паралелепіпеді будь-які 2 грані із загальним ребром звуться суміжними, а ті, що його не мають, є паралельними (виходячи з властивості паралелограма, що має попарно паралельні протилежні сторони).
• Вершини паралелепіпеда, що не лежать на одній грані, звуться протилежними.
• Відрізок, який з'єднує такі вершини, є діагоналлю.
• Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що з'єднуються в одній вершині, є його вимірами (а саме його довжиною, шириною і висотою).

Властивості фігури

1. Він завжди побудований симетрично до середини діагоналі.
2. Точка перетину всіх діагоналей ділить кожну діагональ на два рівні відрізки.
3. Протилежні грані рівні за довжиною і лежать на паралельних прямих.
4. Якщо скласти квадрати всіх вимірювань паралелепіпеда, отримане значення дорівнює квадрату довжини діагоналі.

Розрахункові формули

Формули для кожного окремого випадку паралелепіпеда будуть свої.

Для довільного паралелепіпеда правильне твердження, що його обсяг дорівнює абсолютній величині потрійного скалярного добутку векторів трьох сторін, що виходять із однієї вершини. Проте формули обчислення обсягу довільного паралелепіпеда немає.

Для прямокутного паралелепіпеда діють такі формули:

• V = a * b * c;
• Sб = 2 * c * (a + b);
• Sп=2*(a*b+b*c+a*c).

• V – обсяг фігури;
• Sб – площа бічної поверхні;
• Sп – площа повної поверхні;
• a – довжина;
• b – ширина;
• c – висота.

Ще одним окремим випадком паралелепіпеда, в якому всі сторони - квадрати, є куб. Якщо будь-яку із сторін квадрата позначити літерою a, то для площі поверхні та об'єму даної фігури можна буде використовувати такі формули:

• S = 6 * a * 2;
• V = 3 * а.

• S - площа фігури,
• V - обсяг фігури,
• a – довжина грані фігури.

Останній аналізований нами різновид паралелепіпеда - прямий паралелепіпед. У чому різниця між прямим паралелепіпедом і прямокутним паралелепіпедом, запитайте ви. Справа в тому, що основою прямокутного паралелепіпеда може бути будь-який паралелограм, а основою прямого - тільки прямокутник. Якщо позначити периметр основи, що дорівнює сумі довжин усіх сторін, як Po, а висоту позначити літерою h, ми маємо право скористатися такими формулами для обчислення об'єму та площ повної та бічної поверхонь.

Паралелепіпед - це геометрична фігура, всі 6 граней якої є паралелограми.

Залежно від виду цих паралелограмів розрізняють такі види паралелепіпеда:

• прямий;
• похилий;
• прямокутний.

Прямим паралелепіпедом називають чотирикутну призму, ребра якої складають з площиною основи кут 90°.

Прямокутним паралелепіпедом називають чотирикутну призму, всі грані якої прямокутники. Куб є різновидом чотирикутної призми, у якої всі грані і ребра рівні між собою.

Особливості фігури визначають її властивості. До них відносять 4 наступні твердження:

Запам'ятати всі наведені властивості просто, вони легкі для розуміння та виводяться логічно виходячи з виду та особливостей геометричного тіла. Однак, нехитрі твердження можуть бути неймовірно корисні при вирішенні типових завдань ЄДІ та дозволять заощадити час, необхідний для проходження тесту.

Формули паралелепіпеда

Для пошуку відповідей на поставлене завдання недостатньо знати лише властивості фігури. Також можуть знадобитися деякі формули для знаходження площі та обсягу геометричного тіла.

Площа основ знаходиться так само, як і відповідний показник паралелограма або прямокутника. Вибирати основу паралелограма можна самостійно. Як правило, при вирішенні завдань простіше працювати з призмою, в основі якої лежить прямокутник.

Формула знаходження бічної поверхні паралелепіпеда також може знадобитися в тестових завданнях.

Приклади вирішення типових завдань ЄДІ

Завдання 1.

Дано: прямокутний паралелепіпед з вимірами 3, 4 та 12 см.
Необхіднознайти довжину однієї з головних діагоналей фігури.
Рішення: Будь-яке рішення геометричної задачі має починатися з побудови правильного та чіткого креслення, на якому буде позначено «дано» та шукана величина. На малюнку нижче наведено приклад правильного оформлення умов завдання.

Розглянувши зроблений малюнок і згадавши всі властивості геометричного тіла, приходимо до єдино правильного способу розв'язання. Застосувавши 4 властивість паралелепіпеда, отримаємо наступне вираз:

Після нескладних обчислень отримаємо вираз b2=169, отже, b=13. Відповідь завдання знайдено, на його пошук та креслення необхідно витратити не більше 5 хвилин.