Визначення Упорядковану сукупність (x 1 , x 2 , ... , x n) n дійсних чисел називають n-вимірним вектором, а числа x i (i = ) - компонентами,або координатами,

приклад. Якщо, наприклад, деякий автомобільний завод має випустити у зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів та 150 комплектів для вантажних автомобілів та автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100 10, 50, 150), що має п'ять компонент.

Позначення. Вектори позначають жирними малими літерами або літерами з рисою або стрілкою вгорі, наприклад, aабо. Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають однакову кількість компонентів і їх відповідні компоненти рівні.

Компоненти вектора не можна міняти місцями, наприклад (3, 2, 5, 0, 1)та (2, 3, 5, 0, 1) різні вектори.
Операції над векторами.Твором x= (x 1, x 2, ..., x n) на дійсне числоλ називається векторλ x= (λ x 1, x 2, ..., x n).

Сумоюx= (x 1, x 2, ..., x n) і y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) називається вектор x + y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Векторні простір. N -мірний векторний простір R n визначається як безліч всіх n-мірних векторів, для яких визначено операції множення на дійсні числа та додавання.

Економічна ілюстрація. Економічна ілюстрація n-вимірного векторного простору: простір благ (товарів). Під товаромми розумітимемо деяке благо чи послугу, що надійшли у продаж у певний час у певному місці. Припустимо, що є кінцеве число готівкових товарів n; кількості кожного з них, придбані споживачем, характеризуються набором товарів

x= (x 1, x 2, ..., x n),

де через x i позначається кількість i-го блага, набутого споживачем. Будемо вважати, що всі товари мають властивість довільної ділимості, так що може бути куплено будь-яку невід'ємну кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів є векторами простору товарів C = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = ).

Лінійна незалежність. Система e 1 , e 2 , ... , e m n-вимірних векторів називається лінійно залежноюякщо знайдуться такі числаλ 1 , λ 2 , ... , λ m , з яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівністьλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; в іншому випадку дана система векторів називається лінійно незалежною, тобто зазначена рівність можлива лише у разі, коли все . Геометричний зміст лінійної залежності векторів R 3 , що інтерпретуються як спрямовані відрізки, пояснюють такі теореми.

Теорема 1. Система, що складається з одного вектора, лінійно залежить тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Теорема 2. Для того щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні (паралельні).

Теорема 3 . Для того щоб три вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарні (лежали в одній площині).

Ліва та права трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів a, b, cназивається правою, якщо спостерігачеві з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, cу вказаному порядку здається таким, що відбувається за годинниковою стрілкою. В іншому випадку a, b, c -ліва трійка. Усі праві (або ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Базис та координати. Трійка e 1, e 2 , e 3 некомпланарних векторів у R 3 називається базисом, а самі вектори e 1, e 2 , e 3 - базисними. Будь-який вектор aможе бути єдиним чином розкладений за базовими векторами, тобто представлений у вигляді

а= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

числа x 1 , x 2 , x 3 у розкладанні (1.1) називаються координатамиaу базисі e 1, e 2 , e 3 і позначаються a(x 1, x 2, x 3).

Ортонормований базис. Якщо вектори e 1, e 2 , e 3 попарно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормованим, а координати x 1 x 2 x 3 - прямокутними.Базисні вектори ортонормованого базису позначатимемо i, j, k.

Припускатимемо, що в просторі R 3 обрана права система декартових прямокутних координат (0, i, j, k}.

Векторний витвір. Векторним твором ана вектор bназивається вектор c, який визначається такими трьома умовами:

1. Довжина вектора cчисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах aі b,тобто.
c= |a||b| sin ( a^b).

2. Вектор cперпендикулярний до кожного з векторів aі b.

3. Вектори a, bі c, взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку

Для векторного твору cвводиться позначення c =[ab] або
c = a × b.

Якщо вектори aі bколінеарні, то sin( a^b) = 0 і [ ab] = 0, зокрема, [ aa] = 0. Векторні твори ортів: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Якщо вектори aі bзадані у базисі i, j, kкоординатами a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1, b 2, b 3), то

Змішаний твір. Якщо векторний твір двох векторів аі bскалярно множиться на третій вектор c,то такий твір трьох векторів називається змішаним творомі позначається символом a b c.

Якщо вектори a, bі cу базисі i, j, kзадані своїми координатами
a(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), то

.

Змішаний твір має просте геометричне тлумачення - це скаляр, по абсолютній величині, рівний об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох даних векторах.

Якщо вектори утворюють праву трійку, їх змішаний твір є число позитивне, рівне зазначеному обсягу; якщо ж трійка a, b, c -ліва, то a b c<0 и V = - a b c, отже V =|a b c|.

Координати векторів, які у задачах першого розділу, передбачаються заданими щодо правого ортонормованого базису. Поодинокий вектор, спрямований вектор а,позначається символом ао. Символом r=ОМпозначається радіус-вектор точки М, символами а, АВ або|а|, | АВ|позначаються модулі векторів аі АВ.

приклад 1.2. Знайдіть кут між векторами a= 2m+4nі b= m-n, де mі n -одиничні вектори та кут між mі nдорівнює 120 о.

Рішення. Маємо: cos φ = ab/ab, ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, отже a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, отже b = . Остаточно маємо: cosφ = = -1/2, φ = 120 o .

приклад 1.3.Знаючи вектори AB(-3,-2,6) та BC(-2,4,4), обчисліть довжину висоти AD трикутника ABC.

Рішення. Позначаючи площу трикутника ABC через S, отримаємо:
S = 1/2 BC AD. Тоді AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2 | AB ×AC|. AC=AB+BCотже, вектор ACмає координати
. .

приклад 1.4 . Дано два вектори a(11,10,2) та b(4,0,3). Знайдіть одиничний вектор c,ортогональний вектор aі bі спрямований так, щоб упорядкована трійка векторів a, b, cбула правою.

Рішення.Позначимо координати вектора cщодо даного правого ортонормованого базису через x, y, z.

Оскільки c ⊥ a, c ⊥b, то ca= 0, cb= 0. За умовою завдання потрібно, щоб c = 1 і a b c >0.

Маємо систему рівнянь для знаходження x,y,z: 11x+10y+2z=0, 4x+3z=0, x2+y2+z2=0.

З першого та другого рівнянь системи отримаємо z = -4/3 x, y = -5/6 x. Підставляючи y та z у третє рівняння, матимемо: x 2 = 36/125, звідки
x =± . Використовуючи умову a b c > 0, отримаємо нерівність

З урахуванням виразів для z та y перепишемо отриману нерівність у вигляді: 625/6 x > 0, звідки випливає, що x>0. Отже, x = , y = -, z = -.

7.1. Визначення векторного твору

Три некомпланарних вектори a, b і с, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця третього вектора з найкоротший поворот від першого вектора а до другого вектора b видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки, і ліву, якщо за годинниковою (див. рис. 16).

Векторним добутком вектора на вектор b називається вектор з , який:

1. Перпендикулярний векторам a і b, тобто з ^ а і с ^ b;

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах а іbяк у сторонах (див. рис. 17), тобто.

3. Вектори a, b і з утворюють праву трійку.

Векторний твір позначається а х b або [а, b]. З визначення векторного твору безпосередньо випливають такі співвідношення між ортами i jі k(див. рис. 18):

i x j = k , j x k = i , k x i = j .
Доведемо, наприклад, що i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, але | i x j| = | i | |J | sin(90°)=1;

3) вектори i, j і kутворюють праву трійку (рис. 16).

7.2. Властивості векторного твору

1. При перестановці співмножників векторне твір змінює знак, тобто. а хb = (b хa) (див. рис. 19).

Вектори а хb і b ха колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінною), але протилежно спрямовані (трійки а, b, а хb і a, b, b x a протилежної орієнтації). Стало бути a xb = -(b xa).

2. Векторний твір має поєднану властивість щодо скалярного множника, тобто l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Нехай l>0. Вектор l (а хb) перпендикулярний векторам а та b. Вектор ( lа) х bтакож перпендикулярний векторам а і b(Вектори а, lа лежать у одній площині). Значить, вектори l(а хb) та ( lа) х bколінеарні. Очевидно, що й напрямки збігаються. Мають однакову довжину:

Тому l(a хb) = lа хb. Аналогічно доводиться при l<0.

3. Два ненульові вектори а і bколінеарні тоді й тільки тоді, коли їхній векторний твір дорівнює нульовому вектору, тобто а ||b<=>а хb = 0.

Зокрема, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Векторний твір має розподільну властивість:

(a + b )хс = а хс + bхс.

Приймемо без підтвердження.

7.3. Вираз векторного твору через координати

Ми використовуватимемо таблицю векторного твору векторів i , jі k:

якщо напрям найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, твір дорівнює третьому вектору, а то й збігається - третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори а = а х i + a y j+a z kі b = b x i+b y j+b z k. Знайдемо векторний твір цих векторів, перемножуючи їх як багаточлени (відповідно до властивостей векторного твору):

Отриману формулу можна записати ще коротше:

оскільки права частина рівності (7.1) відповідає розкладу визначника третього порядку за елементами першого рядка.Рівність (7.2) легко запам'ятовується.

7.4. Деякі програми векторного твору

Встановлення колінеарності векторів

Знаходження площі паралелограма та трикутника

Згідно з визначенням векторного твору векторів аі b |а хb | =|а | * | b | sin g, т. е. S пар = | а x b |. І, отже, D S = 1/2 | а х b |

Визначення моменту сили щодо точки

Нехай у точці А прикладена сила F = АВі нехай Про- Деяка точка простору (див. рис. 20).

З фізики відомо, що моментом сили F щодо точки Проназивається вектор М,який проходить через точку Прота:

1) перпендикулярний площині, що проходить через точки О, А, В;

2) чисельно дорівнює добутку сили на плече

3) утворює праву трійку з векторами ОА та A .

Отже, М = ОА х F .

Знаходження лінійної швидкості обертання

Швидкість vточки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю wнавколо нерухомої осі визначається формулою Ейлера v = w хr , де r = ОМ , де О-деяка нерухома точка осі (див. рис. 21).

У цій статті докладно зупинимося на понятті векторного твору двох векторів. Ми дамо необхідні визначення, запишемо формулу для знаходження координат векторного твору, перерахуємо та обґрунтуємо його властивості. Після цього зупинимося на геометричному сенсі векторного твору двох векторів та розглянемо рішення різних характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення векторного твору.

Перед тим, як дати визначення векторного твору, розберемося з орієнтацією впорядкованої трійки векторів у тривимірному просторі.

Відкладемо вектори від однієї точки. Залежно від напрямку вектора, трійка може бути правою або лівою. Подивимося з кінця вектора те що, як відбувається найкоротший поворот від вектора до . Якщо найкоротший поворот відбувається проти годинникової стрілки, то трійка векторів називається правою, в іншому випадку - лівий.

Тепер візьмемо два не коллінеарні вектори і . Відкладемо від точки А вектори та . Побудуємо деякий вектор, перпендикулярний одночасно і і. Очевидно, що при побудові вектора ми можемо вчинити подвійно, поставивши йому або один напрямок, або протилежний (дивіться ілюстрацію).

В залежності від напрямку вектора впорядкована трійка векторів може бути правою або лівою.

Так ми впритул підійшли до визначення векторного твору. Воно дається для двох векторів, заданих у прямокутної системи координаттривимірного простору.

Визначення.

Векторним твором двох векторіві , заданих у прямокутній системі координат тривимірного простору, називається такий вектор, що

Векторний добуток векторів і позначається як .

Координати векторної праці.

Зараз дамо друге визначення векторного твору, яке дозволяє знаходити його координати координат заданих векторів і.

Визначення.

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторний твір двох векторів і є вектор , де координатні вектори.

Це визначення дає нам векторний твір у координатній формі.

Векторний твір зручно представляти у вигляді визначника квадратної матриці третього порядку, перший рядок якої є орти, у другому рядку знаходяться координати вектора, а в третьому – координати вектора в заданій прямокутній системі координат:

Якщо розкласти цей визначник за елементами першого рядка, то отримаємо рівність з визначення векторного твору в координатах (за потреби звертайтесь до статті):

Слід зазначити, що координатна форма векторного твору повністю узгоджується з визначенням, даним у першому пункті цієї статті. Більше того, ці два визначення векторного твору є еквівалентними. Доказ цього факту можете переглянути у книзі, вказаній наприкінці статті.

Властивості векторного твору.

Так як векторний добуток у координатах представимо у вигляді визначника матриці, то на підставі легко обґрунтовуються наступні властивості векторного твору:

Наприклад доведемо властивість антикомутативності векторного твору.

За визначенням і . Нам відомо, що значення визначника матриці змінюється на протилежне, якщо переставити місцями два рядки. що доводить властивість антикомутативності векторного твору.

Векторний твір – приклади та рішення.

Здебільшого зустрічаються три типи завдань.

У задачах першого типу задані довжини двох векторів та кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твору. У цьому випадку використовується формула .

приклад.

Знайдіть довжину векторного твору векторів і якщо відомо .

Рішення.

Ми знаємо з визначення, що довжина векторного твору векторів і дорівнює добутку довжин векторів і на синус кута між ними, тому, .

Відповідь:

.

Завдання другого типу пов'язані з координатами векторів, у яких векторний твір, його довжина чи ще шукається через координати заданих векторів і .

Тут можлива безліч різних варіантів. Наприклад, може бути задані не координати векторів і , які розкладання по координатним векторам виду і вектори і можуть бути задані координатами точок їх початку і кінця.

Розглянемо характерні приклади.

приклад.

У прямокутній системі координат задані два вектори . Знайдіть їхній векторний твір.

Рішення.

За другим визначенням векторний добуток двох векторів у координатах записується як:

До такого ж результату ми дійшли б, якби векторний твір записали через визначник

Відповідь:

.

приклад.

Знайдіть довжину векторного добутку векторів і , де - Орти прямокутної декартової системи координат.

Рішення.

Спершу знайдемо координати векторного твору у заданій прямокутній системі координат.

Так як вектори мають координати і відповідно (при необхідності дивіться статтю координати вектора у прямокутній системі координат), то за другим визначенням векторного твору маємо

Тобто, векторний твір має координати заданої системі координат.

Довжину векторного твору знаходимо як квадратний корінь із суми квадратів його координат (цю формулу довжини вектора ми отримали в розділі знаходження довжини вектора):

Відповідь:

.

приклад.

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок. Знайдіть якийсь вектор, перпендикулярний і одночасно.

Рішення.

Вектори мають координати і відповідно (дивіться статтю знаходження координат вектора через координати точок). Якщо знайти векторний добуток векторів і , то воно за визначенням є вектором, перпендикулярним і к і к , тобто є рішенням нашої задачі. Знайдемо його

Відповідь:

- один із перпендикулярних векторів.

У задачах третього типу перевіряється навичка використання властивостей векторного добутку векторів. Після застосування властивостей застосовуються відповідні формули.

приклад.

Вектори перпендикулярні і їх довжини рівні відповідно 3 і 4 . Знайдіть довжину векторного твору .

Рішення.

За якістю дистрибутивності векторного твору ми можемо записати

В силу поєднаного властивості винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі:

Векторні твори і дорівнюють нулю, оскільки і тоді.

Так як векторний добуток антикоммутативно, то .

Отже, за допомогою властивостей векторного твору ми дійшли рівності .

За умовою вектори та перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює . Тобто у нас є всі дані для знаходження необхідної довжини

Відповідь:

.

Геометричний зміст векторного твору.

За визначенням довжина векторного добутку векторів дорівнює . А з курсу геометрії середньої школи нам відомо, що площа трикутника дорівнює половині добутку довжин двох сторін трикутника на синус кута між ними. Отже, довжина векторного добутку дорівнює подвоєної площі трикутника, що має сторонами вектори і якщо їх відкласти від однієї точки. Іншими словами, довжина векторного добутку векторів і дорівнює площі паралелограма зі сторонами та кутом між ними, рівним . У цьому полягає геометричне значення векторного твору.

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб тощо. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти в двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть вектор довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все математично коректно – вектор можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка докладання вектора має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, зліва внизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор спрямований протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Переставте доданки місцями і простежте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для здачі теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ятьЦе дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за потреби ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань корені зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .