D(f)- ті значення, які може набувати аргумент, тобто. область визначення функції.

E(f)- ті значення, які може набувати функції, тобто. безліч значень функції.

Способи знаходження областей значень функцій.

послідовне знаходження значень складних аргументів функції;

метод оцінок/кордонів;

використання властивостей безперервності та монотонності функції;

використання похідної;

використання найбільшого та найменшого значень функції;

графічний метод;

метод запровадження параметра;

метод зворотної функції.

Розглянемо деякі з них.

Використовуючи похідну

Загальний підхіддо знаходження безлічі значень безперервної функції f(x) полягає у знаходженні найбільшого та найменшого значення функції f(x) в області її визначення (або у доказі того, що одне з них або обидва не існують).

Якщо потрібно знайти безліч значень функції на відрізку:

знайти похідну цієї функції f "(x);

знайти критичні точки функції f(x) і вибрати ті з них, які належать даному відрізку;

обчислити значення функції на кінцях відрізка та у вибраних критичних точках;

серед знайдених значень вибрати найменше та найбільше значення;

Безліч значень функції укласти між цими значеннями.

Якщо областю визначення функції є інтервал, то використовується та сама схема, але замість значень на кінцях використовуються межі функції при прагненні аргументу до кінців інтервалу. Значення меж не входять у безліч значень.

Метод кордонів/оцінок

Для знаходження множини значень функції спочатку знаходять безліч значень аргументу, а потім відшукують відповідні найменше та найбільше значення функції функції. Використовуючи нерівності – визначають межі.

Суть полягає в оцінці безперервної функції знизу та зверху та у доказі досягнення функцією нижньої та верхньої межі оцінок. При цьому збіг безлічі значень функції з проміжком від нижньої межі оцінки до верхньої зумовлюється безперервністю функції та відсутністю в неї інших значень.

Властивості безперервної функції

Інший варіант полягає в перетворенні функції на безперервну монотонну, тоді використовуючи властивості нерівностей оцінюють безліч значень новоотриманої функції.

Послідовне знаходження значень складних аргументів функції

Заснований на послідовному відшуканні безлічі значень проміжних функцій, з яких складено функцію

Області значень основних елементарних функцій

Функція	Безліч значень
$ y = kx + b $	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1; 1]
$y = (\rm tg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsin(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arccos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Приклади

Знайдіть безліч значень функції:

Використовуючи похідну

Знаходимо область визначення: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^(2)\geq 0$

Знаходимо похідну: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0, якщо x = 0. f"(x) не існує, якщо $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ тобто при x = ±3. Отримуємо три критичні точки: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3, дві з яких збігаються з кінцями відрізка. Обчислимо: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким чином, найменше значення f(x) дорівнює 0, найбільше значення дорівнює 3.

Відповідь: E(f) = .

НЕ використовуючи похідну

Знайдіть найбільше та найменше значення функції:

Так як $
f(x) = 1-cos(2)(x)+cos(x)-frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , то:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ при всіх x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ при всіх x(бо $|\cos (x) | \ leq 1 $);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Відповідь: $\frac(3)(4)$ і $-\frac(3)(2)$

Якщо вирішувати це завдання з допомогою похідних, потрібно буде долати перешкоди, пов'язані з тим, що функція f(x) визначена не так на відрізку, але в усієї числової прямий.

Використовуючи метод меж/оцінок

З визначення синуса слід, $-1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $. Далі скористаємося властивостями числових нерівностей.

$-4 \ leq - 4 \ sin (x) \ leq 4 $, (помножили всі три частини подвійної нерівності на -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (додали до трьох частин подвійної нерівності 5);

Так як дана функція безперервна на всій області визначення, безліч її значень укладено між найменшим і найбільшим її значенням по всій області визначення, якщо такі існують.

У разі безліч значень функції $y = 5 - 4\sin(x)$ є безліч .

З нерівностей $$ \ -1 \ leq \ cos (7x) \ leq 1 \ -5 \ leq 5 \ cos (x) \ leq 5 $ $ отримаємо оцінку $ $ \ \ -6 \ leq y \ leq 6 $ $

При x = р і x = 0 функція набуває значення -6 і 6, тобто. досягає нижньої та верхньої межі оцінки. Як лінійна комбінація безперервних функцій cos(7x) і cos(x), функція y безперервна на всій числовій осі, тому за властивістю безперервної функції вона набуває всіх значень з -6 до 6 включно, і тільки їх, так як через нерівності $- 6 \ leq y \ leq 6 $ інші значення у неї неможливі.

Отже, E(y) = [-6; 6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Відповідь: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Перетворимо вираз $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\pi) (4)) $$.

З визначення косинуса слід $ $ \ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \ -1 \ leq \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4))) \ leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Так як дана функція безперервна по всій області визначення, то безліч її значень укладено між найменшим і найбільшим її значенням, якщо такі існують, безліч значень функції $ y = sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4) )))$ є безліч $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \E (3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Позначимо $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, де -∞≤t≤4. Тим самим завданням зводиться до знаходження безлічі значень функції $y = \log_(0,5)(t)$ на промені (-∞;4). Оскільки функція $y = \log_(0,5)(t)$ визначена лише за t > 0 , її безліч значень на промені (-∞;4) збігається з безліччю значень функції на інтервалі (0;4), що представляє собою перетин променя (-∞;4) з областю визначення (0; +∞) логарифмічної функції. На інтервалі (0;4) ця функція безперервна і зменшується. При t > 0 вона прагне +∞, а при t = 4 набуває значення -2, тому E(y) = (-2, +∞).

Використовуємо прийом, що базується на графічному зображенні функції.

Після перетворень функції маємо: y 2 + x 2 = 25, причому y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Слід нагадати, що $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ - рівняння кола радіусу r.

При цих обмеженнях графіком даного рівняння є верхнє півколо з центром на початку координат і радіусом, що дорівнює 5. Очевидно, що E(y) = .

Відповідь: E(y) = .

Використана література

Область значення функцій у завданнях ЄДІ, Мінюк Ірина Борисівна

Поради щодо знаходження безлічі значень функції, Бєляєва І., Федорова С.

Знаходження безлічі значень функції

Як вирішувати завдання з математики на вступних іспитах, І.І.Мельников, І.М.Сергєєв

ДБОУ ліцей (економічний) с. Ісакли

Вчитель математики Кузаєва В.М.

2016 рік

Довідкові матеріали

Зразок рішенняЗнайти безліч значень функцій

Область значення функції
є

y - будь-яке число

Область значення функції
є y - будь-яке число

Безліч значень

y - будь-яке число

Найбільше значення

Найменше значення

Область визначення х - будь-яке число
, де

, де

Безліч значень
y - будь-яке числоy - будь-яке число

Шаблони графіків деяких тригонометричних функцій

Безліч значень тригонометричних функцій

Варіант 1

У =sin 3х+2.

1) (-5;5) 2) 3) 4) (1;5)

2. Знайдіть область значення функції у =tgх + 1.

1) 3) (-∞;∞) 4)

1) -6 2) 6 3) -4 4) -2

4. Вкажіть найменше ціле число в області значень функції

у = 12,7 + 5 sin(3х-2).

1) -5 2) 8 3) 5 4) 17

5. Вкажіть функцію, множиною значень якої є відрізок [-2;2].

1) у = cos 2х 2) у = sin 2 x 3) y = cos 2 x +2

4) y = 2 sin 4 x

6. Знайдіть безліч значень функціїy = tg 2 xна відрізку

7. Знайдіть суму всіх цілих чисел, що входять у область значень функціїy = 4 cos 2 x – 7.

1) -25 2) 25 3) -22 4) 0

Варіант 2

y = 2 cos 5 x +3.

1) (2;3) 2) 3) (1;5) 4) .

2. Знайдіть область значення функції

1) 3) (-∞;∞) 4) .

3. Вкажіть найменше число в області значень функції

1) 4 2) -3 3) 1 4) -7

4. Вкажіть найбільше ціле в області значень функції

1) 2 2) 13 3) 12 4) -2

5. Вкажіть функцію, множиною значень якої є відрізок [-5;5].

1) y = sin 5x 2) y = 5 cos 5x 3) y = cos (-5x)

4) y = sin 5x + 5

6. Знайдіть безліч значень функції
на відрізку

7. Знайдіть добуток усіх цілих чисел, які входять до області значень функції у = 5 – 3sin 2 x.

1) 120 2) 14 3) -15 4) 0

Варіант 3
1. Вкажіть безліч значень функціїy = sin 3 x + 5.

1) (-4;6) 2) 3) [-1;5) 4) (0;6)

1) 2) (0;3) 3) (1;3) 4) [-1;3)

3. Вкажіть найменше число в області значень функції у = 5tg 2 x+2?

1) 5 2) 0 3) 7 4) 2

1) -1 2) -2,7 3) -2,3 4)-3

5. Вкажіть функцію, множиною значень якої є відрізок

[-17;-13].

1) y = 5 sin x - 8 3) y = -cos x +15

2) y = 2 cos x – 15 4) y = 3 sin x +10

6. Вкажіть найменше натуральне число, яке не входить до множини значень функції

1) 2 2) 4 3) 15 4) 6

7. Скільки цілих чисел належить множині значень функції

y = 2 cos 3 x +10?

1) 2 2) 3 3) 4 5) 5

Варіант 4

1) 2) 4) (-7;-6)

2. Знайдіть область значень функції

1) (1;5) 2) 3) (4;6) 4) [-6;-4]

3. Вкажіть найбільше число в області значень функціїy = -3 ctg 2 x+7.

1) 10 2) 4 3) 7 4) -3

4. Яке з наступних чисел не входить до множини значень функції

1) -6 2) -5 3) -10 4) -7

5. Вкажіть функцію, множиною значень якої є відрізок .

6. Вкажіть найбільше ціле від'ємне число, яке не входить до області значень функції

1) -1 2) -25 3) -6 4) -2

7. Скільки цілих чисел належить множині значень функції

1) 11 2) 3 3) 5 4) 4

Варіант 5

1. Вкажіть безліч значень функції у = 2 -sin 5 x.

1) (2;5) 2) 3) (1;3) 4) [-3;7]

2. Знайдіть область значень функції

1) [-8;-6] 2) [-8;-6) 3) (-8;-6) 4)

3. Вкажіть найменше ціле число в області значень функції

y = 3 + sin 2 2 x.

1) 0 2) 1 3) 3 4) 4

4. Яке з наступних чисел входить до множини значень функції

1) 128 2) 10,5 3) 3 4) -235

5. Вкажіть функцію, множиною значень якої є відрізок [-9;15].

6. Знайдіть суму цілих чисел, що входять до безлічі значень функції

1) 0 2) 7 3) 18 4) 22

7. Знайдіть найбільше значення функції
на відрізку

1) 0,5 2) 1,5 3) 0 4) 2

Варіант 6

1. Вкажіть відрізок, який відповідає безлічі значень функції

1) 2) (-2;-1) 3) (0;1) 4) [-6;-4]

2. Знайдіть область значень функції

3. Вкажіть найбільше число в області значень функції

1) 5 2) -6 3) -3 4) 4

4. Яке з наступних чисел входить до множини значень функції

1) 5 2) 0 3) -3 4) 4

5. Вкажіть функцію, множина значень якої є відрізок .

1) у = 15 - 7 cos 2x 3) y = 7 cos 2x + 3

2) y = 5 cos 4 x 4) y = - tg 2 x + 1

6. Знайдіть добуток цілих чисел, що входять до безлічі значень

y = 3,8 – 1,4 sin 3 x.

1) 17 2) 12 3) 0 4) 60

7. Знайдіть безліч значень функції
на проміжку

1) (3;4) 2) 3)

Варіант 7

2. Знайдіть найменше ціле значення функції

1) 2 2) 0 3) -3 4) -4

1) 0 2) 2 3) 4 4) 6

4. При яких значеннях а рівнянняsin(3 x-4)+5= aможна?

1) 2) 3) (4;6) 4) (-6;4]

sin 2 2 x – 2.

1) [-3;-2] 2) [-1;0] 3) [-4;0] 4) [-3;-1]

на проміжку

2) 0 3) 1

y = 4 sin(x 4 ) -2?

1) 8 2) 9 3) 7 4) 10

Варіант 8

1. Знайдіть безліч значень функціїy = arctgx- 2π.

2. Знайдіть найбільше значення функції

1) 1,75 2) 0 3) 2,25 4) -1,75

3. Яке з таких чисел може бути значенням функції

1) -4 2) -2 3) 0 4) 2

4. При яких значеннях р рівняння -2+cos(4 x-1)= pмає коріння?

1) [-3;-1] 2) [-3;-1) 3) (-3;1] 4) (-3;-1)

5. Знайдіть безліч значень функціїy = -2 tg 2 x + 1.

1) [-1;3] 2) (-∞;1] 3) (-∞;∞) 4) [-1;+∞)

на проміжку
.

1) 0 2) 1 3) -1 4) 3

7. Скільки цілих чисел належить області значень функції

1) 4 2) 3 3) 5 4) 2

Варіант 9

1. Знайдіть область значень функції

2. Знайдіть найбільше ціле значення функції

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

3. Яке з таких чисел може бути значенням функції

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

kрівняння – k + sin(2 x-1) = 2 можна?

1) 2) (4;6) 3) (-3;-1) 4) [-3;-1]

5. Знайдіть безліч значень функції у = -cos 2 3 x + 4.

1) 2) 3) 4)

6. Вкажіть найменше значення функції
на проміжку

2) -1 3) 0 4) 1

7. Знайдіть, скільки цілих чисел входить у область значень функції у = 12cos 3 x +5 sin 3 x.

1) 13 2) 27 3) 26 4) 14

Варіант 10

1. Знайдіть область значень функції

2. Знайдіть найменше значення функції

1) 3,5 2) 0 3) 2,5 4) -3,5

3. Яке з таких чисел може бути значенням функції

1) -4 2) -1 3) 3 4) 7

4. При яких значеннях параметраmрівняння cos (3 x + 2)- m= 5 має коріння?

1) [-6;-4] 2) (-6;-4) 3) (-4;3) 4) [-6;-5]

5. Знайдіть безліч значень функції у = -2ctg 2 3 x + 7.

1) (-∞;5] 2) (-∞;1] 3) (-∞;0] 4) (-∞;7]

6. Вкажіть найбільше значення функції
на проміжку

2) 0 3) 2 4) 1

7. Знайдіть, скільки цілих чисел входить у область значень функції

1) 30 2) 35 3) 17 4) 7

Безліч значень показової та логарифмічної функцій

Варіант 1

1. Знайдіть область значень функції

1) 4) (-∞;3)

2. Вкажіть безліч значень функції

1) (-∞;7) 2) (-∞;-7) 3)(7;∞) 4) (-∞;7]

1) 0 2) 4 3) -3 4) -4

1) 15 2) 20 3) 43 4) 28

1) (0;-2) 2) (0;2) 3) (-∞;+∞) 4) [-2;0)

6. Вкажіть найменше значення функції

1) 1 2) -1 3) 0 4) -5

7. Вкажіть функцію, множиною значень якої є проміжок (1;∞).

Варіант 2

1. Вкажіть безліч значень функції

1) [-1;∞) 2)(-1;∞) 3) (3;∞) 4) 4) [-3;∞)

2. Знайдіть область значень функції

1) (-4;∞) 2) (4;∞) 3) (-∞;4] 4) 4) (-∞;4)

3. Вкажіть найменше значення функції

1) -12 2) -11 3) -10 4) -15

4. Вкажіть число, що не належить до безлічі значень функції

1) -42 2) 3 3) 1 4) -20

5. Вкажіть безліч значень функції

1) (-∞;0) 2) (0;∞) 3) (-∞;∞) 4) [-2;2]

6. Вкажіть найбільше значення функції

1) 10 2) 3 3) 9 4) 2

7. Вкажіть функцію, множиною значень якої є проміжок

(-∞;13).

Варіант 5

1. Вкажіть найменше значення функції

1) 0 2) -1 3) -2 4) -3

2. Яке з наступних чисел входить у область значень функції

1) -3 2) -4 3) 5 4) 0

1) (-∞;2] 2) 2) [-1;1] 3) (-1;1) 4) (0;∞)

6. Знайдіть, на якому відрізку функція
приймає найбільше значення, що дорівнює 2, і найменше значення, що дорівнює -3.

1) 2) (-5;2) 3) 4) (-3;2)

на проміжку

1) -1/2 2) 5 3) 2 4) 4

8. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, що не входять до множини значень функції

1) 3 2) 6 3) 10 4) 8

Варіант 6

1. Вкажіть найбільше значення функції

1) 2 2) 4 3) 3 4) 5

2. Яке з наступних чисел не входить до області значень функції

1) 35 2) 7, 28 3) 7, 85 4) 128

3. Вкажіть безліч значень функції

1) [-1/3;0] 2) (-3;2/5) 3) (0;1/3) 4) (0;2/5)

4. Знайдіть усі точки на ОУ, які є проекціями точок графіка функції

1) (0;∞) 2) 2) (-3;2) 3) [ log 2 3;2] 4) (log 2 3;2)

6. Знайдіть на якому відрізку функція
приймає найменше значення, що дорівнює -2, і найбільше значення, що дорівнює 4.

1) [-17/9;79] 2) [-1,5;82] 3) (-11/9;79] 4) (-17/9;79)

7. Вкажіть найбільше значення функції
на проміжку

[-0,9; 0]. 2. Знайдіть найменше значення функції на відрізку .

4. Скільки цілих значень набуває функція

Відповіді

Частина 1

Безліч значень показової та логарифмічної функції

Частина 2

Поняття функції і все, що з ним пов'язане, відноситься до традиційно складних, не до кінця зрозумілих. Особливим каменем спотикання щодо функції і підготовці до ЄДІ є область визначення і область значень (зміни) функції.
Нерідко учні не бачать різниці між областю визначення функції та областю її значень.
І якщо завдання перебування області визначення функції учням вдається освоїти, то завдання перебування безлічі значень функції викликають вони чималі труднощі.
Мета цієї статті: ознайомлення з методами знаходження значень функції.
У результаті розгляду цієї теми було вивчено теоретичний матеріал, розглянуто способи вирішення завдань на знаходження множин значень функції, підібрано дидактичний матеріал для самостійної роботи учнів.
Ця стаття може бути використана вчителем для підготовки учнів до випускних і вступних іспитів, щодо теми “Область значення функції” на факультативних заняттях елективних курсах з математики.

I. Визначення області значень функції.

Області (множиною) значень E(у) функції y = f(x) називають безліч таких чисел y 0 , для кожного з яких знайдеться таке число x 0 , що: f(x 0) = y 0 .

Нагадаємо області значень основних елементарних функцій.

Розглянемо таблицю.

Функція	Безліч значень
y = kx+b	E(y) = (-∞;+∞)
y = x 2n	E(y) =
y = cos x	E(y) = [-1; 1]
y = tg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = ctg x	E(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin x	E(y) = [-π/2; π/2]
y = arcos x	E(y) =
y = arctg x	E(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg x	E(y) = (0; π)

Зауважимо також, що областю значення будь-якого многочлена парного ступеня є проміжок , де n найбільше значення цього многочлена.

ІІ. Властивості функцій, що використовуються при знаходженні області значень функції

Для успішного знаходження безлічі значень функції треба добре знати властивості основних елементарних функцій, особливо їх області визначення, області значень та характер монотонності. Наведемо властивості безперервних, монотонних функцій, що диференціюються, що найчастіше використовуються при знаходженні безлічі значень функцій.

Властивості 2 і 3, як правило, використовуються разом властивістю елементарної функції бути безперервною у своїй галузі визначення. При цьому найбільш просте і коротке рішення задачі на знаходження множини значень функції досягається на підставі властивості 1, якщо нескладними методами вдається визначити монотонність функції. Вирішення завдання ще спрощується, якщо функція, до того ж, – парна чи непарна, періодична тощо. Таким чином, при вирішенні задач на знаходження множин значень функції слід при необхідності перевіряти та використовувати наступні властивості функції:

• безперервність;
• монотонність;
• диференційність;
• парність, непарність, періодичність тощо.

Нескладні завдання на знаходження безлічі значень функції здебільшого орієнтовані:

а) на використання найпростіших оцінок та обмежень: (2 х >0, -1?sinx?1, 0?cos 2 x?1 і т.д.);

б) виділення повного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на перетворення тригонометричних виразів: 2sin 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5 sin 2 x +1;

г) використання монотонності функції x 1/3 + 2 x-1 зростає R.

ІІІ. Розглянемо методи знаходження областей значень функцій.

а) послідовне знаходження значень складних аргументів функції;
б) метод оцінок;
в) використання властивостей безперервності та монотонності функції;
г) використання похідної;
д) використання найбільшого та найменшого значень функції;
е) графічний метод;
ж) метод запровадження параметра;
з) метод зворотної функції.

Розкриємо суть цих методів на конкретних прикладах.

Приклад 1. Знайдіть область значень E(y)функції y = log 0,5 (4 - 2 · 3 x - 9 x).

Розв'яжемо цей приклад методом послідовного знаходження значень складних аргументів функції. Виділивши повний квадрат під логарифмом, перетворюємо функцію

y = log 0,5 (5 - (1 + 2 · 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)

І послідовно знайдемо безліч значень її складних аргументів:

E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)

Позначимо t= 5 – (3 x +1) 2 , де -∞≤ t≤4. Тим самим завдання зводиться до знаходження множини значень функції y = log 0,5 t на промені (-∞;4) . Так як функція y = log 0,5 t визначена лише при, то її безліч значень на промені (-∞; 4) збігається з безліччю значень функції на інтервалі (0; 4), що представляє собою перетин променя (-∞; 4) з областю визначення (0; + ∞) логарифмічної функції. На інтервалі (0;4) ця функція безперервна і зменшується. При t> 0 вона прагне +∞, а при t = 4 набуває значення -2, тому E(y) =(-2, +∞).

Приклад 2. Знайдіть область значень функції

y = cos7x + 5cosx

Вирішимо цей приклад методом оцінок, суть якого полягає в оцінці безперервної функції знизу і зверху та в доказі досягнення функцією нижньої та верхньої межі оцінок. При цьому збіг безлічі значень функції з проміжком від нижньої межі оцінки до верхньої зумовлюється безперервністю функції та відсутністю в неї інших значень.

З нерівностей -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 отримаємо оцінку -6≤y?6. При x = р і x = 0 функція набуває значення -6 і 6, тобто. досягає нижньої та верхньої межі оцінки. Як лінійна комбінація безперервних функцій cos7x і cosx, функція y безперервна на всій числовій осі, тому за властивістю безперервної функції вона набуває всіх значень з -6 до 6 включно, і тільки їх, тому що через нерівності -6≤y?6 інші значення у неї неможливі. Отже, E(y)= [-6;6].

Приклад 3. Знайдіть область значень E(f)функції f(x)= cos2x + 2cosx.

За формулою косинуса подвійного кута перетворюємо функцію f(x)= 2cos 2 x + 2cosx - 1 і позначимо t= cosx. Тоді f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Оскільки E(cosx) =

[-1;1], то область значень функції f(x)збігається з безліччю значень функції g (t)= 2t 2 + 2t - 1 на відрізку [-1; 1], яке знайдемо графічним методом. Побудувавши графік функції y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на проміжку [-1;1], знаходимо E(f) = [-1,5; 3].

Зауваження – до знаходження безлічі значень функції зводяться багато завдань із параметром, пов'язані, переважно, з розв'язністю і числом розв'язків рівняння і нерівностей. Наприклад, рівняння f(x)= а дозволимо тоді і лише тоді, коли

a E(f)Аналогічно, рівняння f(x)= а має хоча б один корінь, розташований на деякому проміжку Х, або не має жодного кореня на цьому проміжку тоді і тільки тоді, коли належить або не належить безлічі значень функції f(x)на проміжку Х. Також досліджуються із залученням безлічі значень функції та нерівності f(x)≠а, f(x)>а і т.д. Зокрема, f(x)≠а для всіх допустимих значень х якщо a E(f)

Приклад 4. За яких значень параметра а рівняння (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) має єдиний корінь на відрізку [-4;-1].

Запишемо рівняння у вигляді (x + 5) 1/2/(x 2 + 4) = a . Останнє рівняння має хоча б один корінь на відрізку [-4;-1] тоді і тільки тоді, коли належить безлічі значень функції f(x) =(x+5) 1/2/(x2+4) на відрізку [-4;-1]. Знайдемо це безліч, використовуючи властивість безперервності та монотонності функції.

На відрізку [-4;-1] функція y = xІ + 4 безперервна, зменшується і позитивна, тому функція g(x) = 1/(x 2 + 4) безперервна і зростає у цьому відрізку, оскільки за розподілі на позитивну функцію характер монотонності функції змінюється на протилежний. Функція h(x) =(x + 5) 1/2 безперервна і зростає у своїй галузі визначення D(h) =[-5;+∞) і, зокрема, на відрізку [-4;-1], де вона, крім того, позитивна. Тоді функція f(x)=g(x)·h(x), як добуток двох безперервних, зростаючих і позитивних функцій, також безперервна і збільшується на відрізку [-4;-1], тому її безліч значень на [-4;-1] є відрізок [ f(-4); f(-1)] = . Отже, рівняння має рішення на відрізку [-4;-1], причому єдине (за якістю безперервної монотонної функції), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Зауваження. Розв'язність рівняння f(x) = aна деякому проміжку Х дорівнює приналежності значень параметра абезлічі значень функції f(x)на Х. Отже, безліч значень функції f(x)на проміжку Х збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь на проміжку Х. Зокрема, область значень E(f)функції f(x)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння f(x) = aмає хоча б один корінь.

Приклад 5. Знайдіть область значень E(f)функції

Розв'яжемо приклад методом введення параметра, згідно з яким E(f)збігається з безліччю значень параметра а, для яких рівняння

має хоча б один корінь.

При а = 2 рівняння є лінійним - 4х - 5 = 0 з ненульовим коефіцієнтом при невідомій х тому має рішення. При а≠2 рівняння є квадратним, тому воно можна розв'язати тоді і тільки тоді, коли його дискримінант

Оскільки точка а = 2 належить відрізку

то шуканим безліччю значень параметра а,отже, і областю значень E(f)буде весь відрізок.

Як безпосередній розвиток методу введення параметра при знаходженні безлічі значень функції можна розглядати метод зворотної функції, для знаходження якої треба вирішити щодо рівняння f(x)= y, Вважаючи y параметром. Якщо це рівняння має єдине рішення x = g (y), то область значень E(f)вихідної функції f(x)збігається з областю визначення D(g)зворотної функції g(y). Якщо ж рівняння f(x)= yмає кілька рішень x = g 1 (y), x = g 2 (y)і т.д., то E(f)дорівнює об'єднанню областей визначень функції g 1 (y), g 2 (y)і т.д.

Приклад 6. Знайдіть область значень E(y)функції y = 5 2/(1-3x).

З рівняння

знайдемо зворотну функцію x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) та її область визначення D(x):

Оскільки рівняння щодо х має єдине рішення, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞).

Якщо область визначення функції складається з кількох проміжків або функція різних проміжках задана різними формулами, то знаходження області значень функції треба знайти безлічі значень функції кожному проміжку і їх об'єднання.

Приклад 7. Знайдіть області значень f(x)і f(f(x)), де

f(x)на промені (-∞;1], де вона збігається з виразом 4 x + 9 · 4 - x + 3. Позначимо t = 4 x. Тоді f(x) = t + 9/t + 3, де 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x)на промені (-∞;1] збігається з безліччю значень функції g(t) = t + 9/t + 3, на проміжку (0;4], яке знайдемо, використовуючи похідну g'(t) = 1 - 9/t 2. На проміжку (0;4] похідна g’(t)визначено і звертається там в нуль при t = 3. При 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t)зменшується, а інтервалі (3;4) вона зростає, залишаючись безперервною усім проміжку (0;4), поэтом g (3)= 9 – найменше значень цієї функції на проміжку (0;4], тоді як її найбільше значення немає, так при t→0справа функція g(t)→+∞.Тоді, за якістю безперервної функції, безліччю значень функції g(t)на проміжку (0; 4], а значить, і безліччю значень f(x)на (-∞;-1], буде промінь .

Тепер, об'єднавши проміжки – безліч значень функції f(f(x)), позначимо t = f(x). Тоді f(f(x)) = f(t), де При зазначених tфункція f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 і знову приймає всі значення від 5 до 9 включно, тобто. область значень E(fІ) = E(f(f(x))) =.

Аналогічно, позначивши z = f(f(x)), можна знайти область значень E(f 3)функції f(f(f(x))) = f(z)де 5 ≤ z ≤ 9 і т.д. Впевніться, що E(f 3) = .

Найбільш універсальним методом знаходження множини значень функції є використання найбільшого та найменшого значень функції на заданому проміжку.

Приклад 8. При яких значеннях параметра рнерівність 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 xвиконується для всіх -1 ≤ x< 2.

Позначивши t = 2 x, запишемо нерівність у вигляді р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Так як t = 2 x- безперервна зростаюча функція на R,то при -1 ≤ x< 2 переменная

2 -1 ≤ t<2 2 ↔

0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда рвідмінна від значень функції f(t) = t 3 - 2t 2 + tпри 0,5 ≤ t< 4.

Знайдемо спочатку безліч значень функції f(t)на відрізку, де вона всюди має похідну f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Отже, f(t)диференційована, отже, і безперервна на відрізку. З рівняння f'(t) = 0знайдемо критичні точки функції t = 1/3, t = 1,перша з яких не належить відрізку, а друга належить йому. Так як f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36,то, за якістю диференційованої функції, 0 – найменше, а 36 – найбільше значення функції f(t)на відрізку. Тоді f(t),як безперервна функція, приймає на відрізку всі значення від 0 до 36 включно, причому значення 36 набуває тільки при t = 4тому при 0,5 ≤ t< 4, она принимает все значения из промежутка . Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего m a x x ∈ a ; b f (x) и наименьшего значения m i n x ∈ a ; b f (x) . Значит, у нас получится отрезок m i n x ∈ a ; b f (x) ; m a x x ∈ a ; b f (x) , в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Візьмемо завдання, у якому потрібно визначити область значень арксинусу.

Приклад 1

Умова:знайдіть ділянку значень y = a r c sin x .

Рішення

У загальному випадку область визначення арксинусу розташовується на відрізку [-1; 1]. Нам треба визначити найбільше та найменше значення зазначеної функції на ньому.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Ми знаємо, що похідна функції буде позитивною для всіх значень x, розташованих в інтервалі [-1; 1], тобто протягом усієї області визначення функція арксинусу зростатиме. Значить, найменше значення вона набуде при x , рівному - 1 , а найбільше - при x , рівному 1 .

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Таким чином, область значень функції арксинус дорівнюватиме E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Відповідь: E (a r c sin x) = - π 2; π 2

Приклад 2

Умова:обчисліть область значень y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на заданому відрізку [1; 4].

Рішення

Все, що нам потрібно зробити – це обчислити найбільше та найменше значення функції у заданому інтервалі.

Для визначення точок екстремуму треба зробити такі обчислення:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1;4 і л і 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 4; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1;

Тепер знайдемо значення заданої функції в кінцях відрізка та точках x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y(1) = 1 4 - 5 · 1 3 + 6 · 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 · 15 - 33 8 3 + 6 · 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y(4) = 4 4 - 5 · 4 3 + 6 · 4 2 = 32

Значить, безліч значень функції визначатиметься відрізком 117 - 165 33 512; 32 .

Відповідь: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Перейдемо до знаходження безлічі значень безперервної функції y = f (x) у проміжках (a; b), причому a; + ∞, - ∞; b , - ∞ ; + ∞.

Почнемо з визначення найбільшої та найменшої точки, а також проміжків зростання та зменшення на заданому інтервалі. Після цього нам потрібно буде обчислити односторонні межі на кінцях інтервалу та/або межі на нескінченності. Іншими словами, нам треба визначити поведінку функції у заданих умовах. Для цього ми маємо всі необхідні дані.

Приклад 3

Умова:обчисліть область значень функції y = 1 x 2 - 4 на інтервалі (-2; 2).

Рішення

Визначаємо найбільше та найменше значення функції на заданому відрізку

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

У нас вийшло максимальне значення, що дорівнює 0, оскільки саме в цій точці відбувається зміна знака функції і графік переходить до спадання. Див. на ілюстрацію:

Тобто y (0) = 102 - 4 = - 14 буде максимальним значень функції.

Тепер визначимо поведінку функції при такому x, який прагне - 2 з правого боку і до + 2 з лівого боку. Іншими словами, знайдемо односторонні межі:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 · 1 - 0 = - ∞

У нас вийшло, що значення функції зростатимуть від мінус нескінченності до -14 тоді, коли аргумент змінюється в межах від -2 до 0. А коли аргумент змінюється від 0 до 2, значення функції зменшуються до мінус нескінченності. Отже, безліччю значень заданої функції на потрібному інтервалі буде (- ∞ ; - 1 4 ) .

Відповідь: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Приклад 4

Умова: вкажіть безліч значень y = t g x на заданому інтервалі - π 2; π 2 .

Рішення

Нам відомо, що у випадку похідна тангенса в - π 2 ; π 2 буде позитивною, тобто функція зростатиме. Тепер визначимо, як поводиться функція в заданих межах:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Ми отримали зростання значень функції від мінус нескінченності до плюс нескінченності при зміні аргументу від - π 2 до π 2 і можна сказати, що безліччю рішень цієї функції буде безліч усіх дійсних чисел.

Відповідь: - ∞ ; + ∞ .

Приклад 5

Умова:визначте, якою є область значень функції натурального логарифму y = ln x .

Рішення

Нам відомо, що ця функція є визначеною при позитивних значеннях аргументу D(y) = 0; + ∞. Похідна на заданому інтервалі буде позитивною: y = ln x = 1 x . Отже, у ньому відбувається зростання функції. Далі нам потрібно визначити односторонню межу для того випадку, коли аргумент прагне 0 (у правій частині), і коли x прагне нескінченності:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Ми отримали, що значення функції зростатимуть від мінус нескінченності до плюс нескінченності при зміні значень x від нуля до плюс нескінченності. Значить, безліч усіх дійсних чисел – це і є сфера значень функції натурального логарифму.

Відповідь:множина всіх дійсних чисел - область значень функції натурального логарифму.

Приклад 6

Умова:визначте, якою є область значень функції y = 9 x 2 + 1 .

Рішення

Ця функція є певною за умови, що x – дійсне число. Обчислимо найбільші та найменші значення функції, а також проміжки її зростання та зменшення:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

У результаті ми визначили, що ця функція буде спадати, якщо x ≥ 0; зростати, якщо x ≤ 0; вона має точку максимуму y(0) = 9 0 2 + 1 = 9 при змінній, що дорівнює 0 .

Подивимося, як поводиться функція на нескінченності:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 · 1 + ∞ = + 0

З запису видно, що значення функції у разі асимптотично наближатися до 0.

Підіб'ємо підсумки: коли аргумент змінюється від мінус нескінченності до нуля, то значення функції зростають від 0 до 9 . Коли значення аргументу змінюються від 0 до плюс нескінченності, відповідні значення функції зменшуватимуться від 9 до 0 . Ми відобразили це на малюнку:

На ньому видно, що областю значень функції буде інтервал E(y) = (0; 9]

Відповідь: E(y) = (0; 9]

Якщо треба визначити безліч значень функції y = f (x) на проміжках [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ) , то нам доведеться провести такі самі дослідження: ці випадки ми поки не розбиратимемо: далі вони нам ще зустрінуться в завданнях.

А як бути у випадку, якщо область визначення деякої функції є об'єднанням кількох проміжків? Тоді нам треба обчислити безліч значень на кожному з цих проміжків і об'єднати їх.

Приклад 7

Умова:визначте, якою буде область значень y = x x - 2 .

Рішення

Оскільки знаменник функції не повинен бути звернений до 0 , то D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2; + ∞.

Почнемо з визначення множини значень функції на першому відрізку - ∞ ; 2 , який представляє собою відкритий промінь. Ми знаємо, що функція на ньому буде спадати, тобто похідна цієї функції буде негативною.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Тоді у випадках, коли аргумент змінюється у напрямку мінус нескінченності, значення функції асимптотично наближатися до 1 . Якщо значення x міняються від мінус нескінченності до 2 , то значення будуть спадати від 1 до мінус нескінченності, тобто. функція на цьому відрізку набуде значень з інтервалу - ∞ ; 1 . Одиницю ми виключаємо з наших міркувань, оскільки значення функції її не досягають, а лише асимптотично наближаються до неї.

Для відкритого променя 2; + ∞ виконуємо такі самі дії. Функція на ньому також є меншою:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Значення функції на даному відрізку визначаються безліччю 1; + ∞. Отже, потрібна нам область значень функції, заданої умові, буде об'єднанням множин - ∞ ; 1 і 1; + ∞.

Відповідь: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞.

Це можна побачити на графіку:

Особливий випадок – періодичні функції. Їхня область значення збігається з безліччю значень на тому проміжку, який відповідає періоду цієї функції.

Приклад 8

Умова:визначте область значень синуса y = sin x.

Рішення

Синус належить до періодичної функції, яке період становить 2 пі. Беремо відрізок 0; 2 π і дивимося, якою буде безліч значень на ньому.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

У межах 0; 2 π функції будуть точки екстремуму π 2 ​​і x = 3 π 2 . Підрахуємо, чому дорівнюватимуть значення функції в них, а також на межах відрізка, після чого виберемо найбільше і найменше значення.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Відповідь: E (sin x) = - 1; 1 .

Якщо вам потрібно знати області значень таких функцій, як статечна, показова, логарифмічна, тригонометрична, зворотна тригонометрична, то радимо вам перечитати статтю про основні елементарні функції. Теорія, яку ми наводимо тут, дозволяє перевірити вказані там значення. Їх бажано вивчити, оскільки вони часто потрібні під час вирішення завдань. Якщо ви знаєте області значень основних функцій, легко зможете знаходити області функцій, які отримані з елементарних за допомогою геометричного перетворення.

Приклад 9

Умова:визначте область значення y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Рішення

Нам відомо, що відрізок від 0 до пі є область значень арккосинусу. Іншими словами, E (ar c cos x) = 0 ; π або 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Ми можемо отримати функцію a r c cos x 3 + 5 π 7 з арккосинусу, зсунувши та розтягнувши її вздовж осі O x , але такі перетворення нам нічого не дадуть. Отже, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Функція 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 може бути отримана з арккосинусу a r c cos x 3 + 5 π 7 за допомогою розтягування вздовж осі ординат, тобто. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Фіналом перетворень є зсув уздовж осі O y на 4 значення. У результаті отримуємо подвійну нерівність:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Ми отримали, що потрібна нам область значень дорівнюватиме E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Відповідь: E(y) = - 4; 3 π - 4 .

Ще один приклад запишемо без пояснень, т.к. він повністю аналогічний до попереднього.

Приклад 10

Умова:обчисліть, якою буде область значень функції y = 2 2 x - 1 + 3 .

Рішення

Перепишемо функцію, задану за умови, як y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Для статечної функції y = x - 1 2 область значень буде визначена на проміжку 0; + ∞, тобто. x - 1 2 > 0 . В такому випадку:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Значить, E(y) = 3; + ∞.

Відповідь: E(y) = 3; + ∞.

Тепер розберемо, як знайти область значень функції, яка не є безперервною. Для цього нам треба розбити всю область на проміжки та знайти безліч значень на кожному з них, після чого об'єднати те, що вийшло. Щоб краще це зрозуміти, радимо повторити основні види точок розриву функції.

Приклад 11

Умова:дана функція y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Обчисліть область її значень.

Рішення

Ця функція є визначеною всім значень x . Проведемо її аналіз на безперервність при значеннях аргументу, рівних - 3 та 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Маємо непереборний розрив першого роду при значенні аргументу - 3 . При наближенні до нього значення функції прагнуть до - 2 sin 3 2 - 4 , а при прагненні x до - 3 праворуч значення будуть прагнути до - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (-1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Маємо непереборний розрив другого роду у точці 3 . Коли функція прагне щодо нього, її значення наближаються до - 1 , за бажання до тієї ж точці справа – до мінус нескінченності.

Отже, вся область визначення цієї функції є розбитою на 3 інтервали (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ) , (3 ; + ∞) .

На першому з них вийшла функція y = 2 sin x 2 - 4 . Оскільки - 1 ≤ sin x ≤ 1 , отримуємо:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Значить, на даному проміжку (- ∞ ; - 3] безліч значення функції - [ - 6 ; 2 ] .

На напівінтервалі (- 3 ; 3 ) вийшла постійна функція y = - 1. Отже, вся множина її значень у даному випадку буде зводиться до одного числа - 1 .

На другому проміжку 3; + ∞ ми маємо функцію y = 1 x - 3 . Вона є спадною, тому що y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Отже, безліч значень вихідної функції при x > 3 є безліч 0; + ∞. Тепер об'єднаємо отримані результати: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Відповідь: E(y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞.

Рішення показано на графіку:

Приклад 12

Умова: є функція y = x 2 - 3 e x. Визначте безліч її значень.

Рішення

Вона визначена всім значень аргументу, що є дійсні числа. Визначимо, у яких проміжках ця функція зростатиме, а яких спадати:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Ми знаємо, що похідна звернеться до 0 , якщо x = - 1 і x = 3 . Помістимо ці дві точки на вісь і з'ясуємо, які знаки буде мати похідна на інтервалах.

Функція зменшуватиметься на (- ∞ ; - 1 ) ∪ [ 3 ; + ∞) і зростатиме на [ - 1 ; 3]. Точкою мінімуму буде - 1, максимуму - 3.

Тепер знайдемо відповідні значення функції:

y(-1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Подивимося на поведінку функції на нескінченності:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 · 1 + ∞ = + 0

Для обчислення другої межі було використано правило Лопіталя. Зобразимо перебіг нашого рішення на графіку.

На ньому видно, що значення функції зменшуватимуться від плюс нескінченності до - 2 e тоді, коли аргумент змінюється від мінус нескінченності до - 1 . Якщо ж він змінюється від 3 до плюс нескінченності, то значення будуть спадати від 6 e - 3 до 0 але при цьому 0 досягнутий не буде.

Таким чином, E(y) = [- 2 e; + ∞).

Відповідь: E (y) = [- 2 e; + ∞)

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter