Panimula

Ang logarithms ay naimbento upang mapabilis at gawing simple ang mga kalkulasyon. Ang ideya ng logarithm, iyon ay, ang ideya ng pagpapahayag ng mga numero bilang isang kapangyarihan ng parehong base, ay kabilang kay Mikhail Stiefel. Ngunit sa panahon ng Stiefel, ang matematika ay hindi masyadong binuo at ang ideya ng logarithm ay hindi natagpuan ang pag-unlad nito. Ang mga logarithm ay naimbento nang sabay-sabay at nakapag-iisa ng Scottish scientist na si John Napier (1550-1617) at ng Swiss Jobst Burgi (1552-1632). Si Napier ang unang naglathala ng akda noong 1614. na pinamagatang "Paglalarawan ng kamangha-manghang talahanayan ng mga logarithms", ang teorya ng logarithms ni Napier ay ibinigay sa isang medyo kumpletong dami, ang paraan para sa pagkalkula ng mga logarithms ay ibinigay sa pinakasimpleng paraan, samakatuwid ang mga merito ni Napier sa pag-imbento ng logarithms ay mas malaki kaysa sa mga ng Burgi. Si Burgi ay nagtrabaho sa mga talahanayan sa parehong oras bilang Napier, ngunit itinatago ang mga ito ng isang lihim sa loob ng mahabang panahon at inilathala lamang ang mga ito noong 1620. Pinagkadalubhasaan ni Napier ang ideya ng logarithm noong 1594. kahit na ang mga talahanayan ay nai-publish makalipas ang 20 taon. Noong una, tinawag niya ang kanyang mga logarithm na "artipisyal na mga numero" at pagkatapos lamang iminungkahi na tawagan ang mga "artipisyal na numero" sa isang salitang "logarithm", na sa Griyego ay "mga numerong nauugnay", kinuha ang isa mula sa isang pag-unlad ng aritmetika, at ang isa ay mula sa isang geometric progression na espesyal na pinili para dito.progreso. Ang mga unang talahanayan sa Russian ay nai-publish noong 1703. na may partisipasyon ng isang kahanga-hangang guro noong ika-18 siglo. L. F. Magnitsky. Sa pagbuo ng teorya ng logarithms, ang gawain ng akademikong St. Petersburg na si Leonard Euler ay may malaking kahalagahan. Siya ang unang nag-isip ng logarithm bilang kabaligtaran ng exponentiation, ipinakilala niya ang mga terminong "base ng logarithm" at "mantissa" na pinagsama ni Briggs ang mga talahanayan ng logarithms na may base 10. Ang mga desimal na talahanayan ay mas maginhawa para sa praktikal na paggamit, ang kanilang teorya ay mas simple kaysa sa na sa logarithms ni Napier . Samakatuwid, ang mga desimal na logarithm ay tinatawag na brigs. Ang terminong "katangian" ay ipinakilala ni Briggs.

Noong mga panahong iyon, noong unang nagsimulang mag-isip ang mga pantas tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami, malamang na wala pang mga barya o pitaka. Ngunit sa kabilang banda, may mga tambak, pati na rin ang mga kaldero, mga basket, na perpekto para sa papel ng mga cache-store na naglalaman ng hindi kilalang bilang ng mga item. Sa sinaunang mga problema sa matematika ng Mesopotamia, India, China, Greece, ang hindi kilalang dami ay nagpahayag ng bilang ng mga paboreal sa hardin, ang bilang ng mga toro sa kawan, ang kabuuan ng mga bagay na isinasaalang-alang kapag naghahati ng ari-arian. Ang mga eskriba, opisyal, at pari ay nagsimula sa lihim na kaalaman, na bihasa sa agham ng pagbibilang, ay matagumpay na nakayanan ang gayong mga gawain.

Ang mga mapagkukunan na dumating sa amin ay nagpapahiwatig na ang mga sinaunang siyentipiko ay nagtataglay ng ilang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa hindi kilalang dami. Gayunpaman, hindi isang solong papyrus, hindi isang solong clay tablet ang nagbibigay ng paglalarawan ng mga pamamaraan na ito. Paminsan-minsan lang ibinibigay ng mga may-akda ang kanilang mga numerical na kalkulasyon na may masamang komento tulad ng: "Tingnan mo!", "Gawin mo!", "Nahanap mo ito ng tama." Sa ganitong kahulugan, ang pagbubukod ay ang "Arithmetic" ng Greek mathematician na si Diophantus ng Alexandria (III siglo) - isang koleksyon ng mga problema para sa pag-compile ng mga equation na may isang sistematikong pagtatanghal ng kanilang mga solusyon.

Gayunpaman, ang gawain ng iskolar ng Baghdad noong ika-9 na siglo ay naging unang manwal para sa paglutas ng mga problema na naging malawak na kilala. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Ang salitang "al-jabr" mula sa Arabic na pamagat ng treatise na ito - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - sa paglipas ng panahon ay naging salitang "algebra" na kilala ng lahat, at ang gawain mismo ni al-Khwarizmi ay nagsilbing panimulang punto sa pag-unlad ng agham ng paglutas ng mga equation.

Logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay

1. Logarithmic equation

Ang isang equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng sign ng logarithm o sa base nito ay tinatawag na logarithmic equation.

Ang pinakasimpleng logarithmic equation ay ang equation ng form

log a x = b . (1)

Pahayag 1. Kung a > 0, a≠ 1, equation (1) para sa anumang real b may tanging solusyon x = a b .

Halimbawa 1. Lutasin ang mga equation:

a) log 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Solusyon. Gamit ang Pahayag 1, nakukuha namin ang a) x= 2 3 o x= 8; b) x= 3 -1 o x= 1/3; c)

o x = 1.

Ipinakita namin ang mga pangunahing katangian ng logarithm.

P1. Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

saan a > 0, a≠ 1 at b > 0.

P2. Ang logarithm ng produkto ng mga positibong salik ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithm ng mga salik na ito:

log a N isa · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Magkomento. Kung ang N isa · N 2 > 0, pagkatapos ay ang ari-arian P2 ay kunin ang form

log a N isa · N 2 = log a |N 1 | +log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N isa · N 2 > 0).

P3. Ang logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Magkomento. Kung ang

, (na katumbas ng N 1 N 2 > 0) pagkatapos ay ang ari-arian P3 ay kunin ang form (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Ang logarithm ng kapangyarihan ng isang positibong numero ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng numerong ito:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Magkomento. Kung ang k- kahit na numero ( k = 2s), pagkatapos

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Ang formula para sa paglipat sa ibang base ay:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

lalo na kung N = b, nakukuha namin

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Gamit ang mga katangiang P4 at P5, madaling makuha ang mga sumusunod na katangian

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

at kung sa (5) c- kahit na numero ( c = 2n), nangyayari

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Inililista namin ang mga pangunahing katangian ng logarithmic function f (x) = log a x :

1. Ang domain ng logarithmic function ay ang hanay ng mga positibong numero.

2. Ang hanay ng mga halaga ng logarithmic function ay ang hanay ng mga tunay na numero.

3. Kailan a> 1 ang logarithmic function ay mahigpit na tumataas (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), at sa 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4 log a 1 = 0 at log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Kung a> 1, kung gayon ang logarithmic function ay negatibo para sa x(0;1) at positibo para sa x(1;+∞), at kung 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) at negatibo para sa x (1;+∞).

6. Kung a> 1, pagkatapos ay ang logarithmic function ay matambok paitaas, at kung a(0;1) - matambok pababa.

Ang mga sumusunod na pahayag (tingnan, halimbawa, ) ay ginagamit sa paglutas ng mga logarithmic equation.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Logarithmic inequalities

Sa mga nakaraang aralin, nakilala natin ang mga logarithmic equation at ngayon alam na natin kung ano ang mga ito at kung paano lutasin ang mga ito. At ang aralin ngayon ay ilalaan sa pag-aaral ng logarithmic inequalities. Ano ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito at ano ang pagkakaiba sa pagitan ng paglutas ng isang logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay?

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ay mga hindi pagkakapantay-pantay na mayroong variable sa ilalim ng tanda ng logarithm o sa base nito.

O, maaari ding sabihin na ang isang logarithmic inequality ay isang inequality kung saan ang hindi kilalang halaga nito, tulad ng sa logarithmic equation, ay nasa ilalim ng sign ng logarithm.

Ang pinakasimpleng logarithmic inequalities ay ganito ang hitsura:

kung saan ang f(x) at g(x) ay ilang expression na nakadepende sa x.

Tingnan natin ito gamit ang sumusunod na halimbawa: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic

Bago malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, nararapat na tandaan na kapag nalutas ang mga ito, ang mga ito ay katulad ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng exponential, lalo na:

Una, kapag lumipat mula sa logarithm patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm, kailangan din nating ihambing ang base ng logarithm sa isa;

Pangalawa, kapag nilulutas ang isang logarithmic inequality gamit ang isang pagbabago ng mga variable, kailangan nating lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may paggalang sa pagbabago hanggang sa makuha natin ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay.

Ngunit kami ang nag-isip ng magkatulad na mga sandali ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ngayon tingnan natin ang isang medyo makabuluhang pagkakaiba. Alam mo at ko na ang logarithmic function ay may limitadong domain ng kahulugan, kaya kapag lumipat mula sa logarithms patungo sa mga expression na nasa ilalim ng sign ng logarithm, kailangan mong isaalang-alang ang saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODV).

Iyon ay, dapat itong isipin na kapag nilulutas ang isang logarithmic equation, maaari muna nating mahanap ang mga ugat ng equation, at pagkatapos ay suriin ang solusyon na ito. Ngunit ang paglutas ng logarithmic inequality ay hindi gagana sa ganitong paraan, dahil ang paglipat mula sa logarithms patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm, kakailanganing isulat ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay.

Bilang karagdagan, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na ang teorya ng hindi pagkakapantay-pantay ay binubuo ng mga tunay na numero, na positibo at negatibong mga numero, pati na rin ang numero 0.

Halimbawa, kapag positibo ang numerong "a", dapat gamitin ang sumusunod na notasyon: a > 0. Sa kasong ito, ang kabuuan at ang produkto ng naturang mga numero ay magiging positibo rin.

Ang pangunahing prinsipyo ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay ay palitan ito ng isang mas simpleng hindi pagkakapantay-pantay, ngunit ang pangunahing bagay ay katumbas ito ng ibinigay. Dagdag pa, nakakuha din kami ng hindi pagkakapantay-pantay at muling pinalitan ito ng isa na may mas simpleng anyo, at iba pa.

Ang paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang variable, kailangan mong hanapin ang lahat ng mga solusyon nito. Kung ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay ay may parehong variable na x, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas, sa kondisyon na ang kanilang mga solusyon ay pareho.

Kapag nagsasagawa ng mga gawain para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, kinakailangang tandaan na kapag ang a > 1, ang logarithmic function ay tataas, at kapag 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Mga paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic

Ngayon tingnan natin ang ilan sa mga pamamaraan na nagaganap sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa at asimilasyon, susubukan naming maunawaan ang mga ito gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Alam namin na ang pinakasimpleng logarithmic inequality ay may sumusunod na anyo:

Sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, ang V - ay isa sa mga palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay gaya ng:<,>, ≤ o ≥.

Kapag ang base ng logarithm na ito ay mas malaki kaysa sa isa (a>1), na ginagawa ang paglipat mula sa logarithm patungo sa mga expression sa ilalim ng sign ng logarithm, pagkatapos ay sa bersyong ito ang inequality sign ay pinapanatili, at ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging ganito:

na katumbas ng sumusunod na sistema:

Sa kaso kung ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa zero at mas mababa sa isa (0

Ito ay katumbas ng sistemang ito:

Tingnan natin ang higit pang mga halimbawa ng paglutas ng pinakasimpleng logarithmic inequalities na ipinapakita sa larawan sa ibaba:

Solusyon ng mga halimbawa

Mag-ehersisyo. Subukan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito:

Ang desisyon ng lugar ng mga tinatanggap na halaga.

Ngayon subukan nating i-multiply ang kanang bahagi nito sa pamamagitan ng:

Tingnan natin kung ano ang magagawa natin:

Ngayon, lumipat tayo sa pagbabago ng mga sublogarithmic na expression. Dahil ang base ng logarithm ay 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

At mula rito ay sumusunod na ang agwat na nakuha natin ay ganap na kabilang sa ODZ at isang solusyon sa gayong hindi pagkakapantay-pantay.

Narito ang sagot na nakuha namin:

Ano ang kailangan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic?

Ngayon subukan nating pag-aralan kung ano ang kailangan natin upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic?

Una, ituon ang lahat ng iyong pansin at subukang huwag magkamali kapag ginagawa ang mga pagbabagong ibinigay sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Gayundin, dapat itong alalahanin na kapag nilutas ang gayong mga hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang maiwasan ang mga pagpapalawak at pagpapaliit ng hindi pagkakapantay-pantay ng ODZ, na maaaring humantong sa pagkawala o pagkuha ng mga extraneous na solusyon.

Pangalawa, kapag nilulutas ang mga logarithmic inequalities, kailangan mong matutunang mag-isip nang lohikal at maunawaan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga konsepto bilang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay at isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay, upang madali kang pumili ng mga solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay, habang ginagabayan ng DHS nito.

Pangatlo, upang matagumpay na malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, ang bawat isa sa inyo ay dapat na ganap na alam ang lahat ng mga katangian ng elementarya na pag-andar at malinaw na maunawaan ang kanilang kahulugan. Kasama sa mga naturang function hindi lamang ang logarithmic, kundi pati na rin ang rational, power, trigonometriko, atbp., sa isang salita, lahat ng iyong pinag-aralan sa algebra ng paaralan.

Tulad ng nakikita mo, nang pag-aralan ang paksa ng logarithmic inequalities, walang mahirap sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, sa kondisyon na ikaw ay matulungin at matiyaga sa pagkamit ng iyong mga layunin. Upang walang mga problema sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay, kailangan mong sanayin hangga't maaari, paglutas ng iba't ibang mga gawain at sa parehong oras kabisaduhin ang mga pangunahing paraan upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga sistema. Sa mga hindi matagumpay na solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic, dapat mong maingat na pag-aralan ang iyong mga pagkakamali upang hindi ka na bumalik sa mga ito muli sa hinaharap.

Takdang aralin

Para sa mas mahusay na asimilasyon ng paksa at pagsasama-sama ng materyal na sakop, lutasin ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Kasama nila ay nasa loob ng logarithms.

Mga halimbawa:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Paano malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic:

Anumang logarithmic inequality ay dapat na bawasan sa anyong \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simbolo \(˅\) ay nangangahulugang alinman sa ). Ang form na ito ay nagpapahintulot sa amin na alisin ang logarithms at ang kanilang mga base sa pamamagitan ng pagpasa sa hindi pagkakapantay-pantay ng mga expression sa ilalim ng logarithms, iyon ay, sa anyong \(f(x) ˅ g(x)\).

Ngunit kapag ginagawa ang paglipat na ito, mayroong isang napakahalagang subtlety:
\(-\) kung - isang numero at mas malaki ito sa 1 - ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nananatiling pareho sa panahon ng paglipat,
\(-\) kung ang base ay isang numerong mas malaki sa 0 ngunit mas mababa sa 1 (sa pagitan ng zero at isa), dapat na baligtarin ang inequality sign, i.e.

Mga halimbawa:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Solusyon: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Sagot: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ one))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Solusyon: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Sagot: \((2;5]\)

Sobrang importante! Sa anumang hindi pagkakapantay-pantay, ang paglipat mula sa form na \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) sa paghahambing ng mga expression sa ilalim ng logarithms ay magagawa lamang kung:

Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: \(\log\)\(≤-1\)

Solusyon:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Binuksan namin ang mga bracket, bigyan .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	I-multiply namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa \(-1\), na inaalala na baligtarin ang tanda ng paghahambing.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Bumuo tayo ng isang linya ng numero at markahan ang mga puntong \(\frac(7)(3)\) at \(\frac(3)(2)\) dito. Tandaan na ang punto mula sa denominator ay nabutas, sa kabila ng katotohanan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit. Ang katotohanan ay ang puntong ito ay hindi magiging isang solusyon, dahil kapag pinapalitan ang isang hindi pagkakapantay-pantay, ito ay magdadala sa atin sa dibisyon ng zero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Ngayon ay i-plot namin ang ODZ sa parehong numerical axis at isulat bilang tugon ang agwat na nahuhulog sa ODZ.
	Isulat ang huling sagot.

Sagot: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Halimbawa . Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Solusyon:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Isulat natin ang ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Tara na sa desisyon.
Solusyon: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Bago sa amin ay isang tipikal na square-logarithmic inequality. ginagawa namin.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Palawakin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Ngayon ay kailangan mong bumalik sa orihinal na variable - x. Upang gawin ito, pumasa kami sa , na may parehong solusyon, at gawin ang reverse substitution.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Ibahin ang anyo \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(naipon) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Magpatuloy tayo sa paghahambing ng mga argumento. Ang mga batayan ng logarithms ay mas malaki kaysa sa \(1\), kaya ang tanda ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nagbabago.
\(\left[ \begin(naipon) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pagsamahin natin ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay at ang ODZ sa isang pigura.
	Isulat natin ang sagot.

Sagot: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

LOGARITHMIC INEQUALITIES SA PAGGAMIT

Sechin Mikhail Alexandrovich

Maliit na Academy of Sciences para sa mga Mag-aaral ng Republika ng Kazakhstan "Seeker"

MBOU "Soviet secondary school No. 1", grade 11, bayan. Distrito ng Sovietsky Soviet

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guro ng MBOU "Soviet secondary school No. 1"

Distrito ng Sovietsky

Layunin: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng C3 logarithmic inequalities gamit ang mga non-standard na pamamaraan, na nagpapakita ng mga interesanteng katotohanan tungkol sa logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

3) Matutong lutasin ang mga partikular na logarithmic C3 na hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga hindi karaniwang pamamaraan.

Mga resulta:

Nilalaman

Panimula…………………………………………………………………………….4

Kabanata 1. Background………………………………………………………………...5

Kabanata 2. Koleksyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ……………………… 7

2.1. Katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat…………… 7

2.2. Paraan ng rasyonalisasyon ……………………………………………………… 15

2.3. Di-karaniwang pagpapalit……………………………………………………………………………………………………………… ..... 22

2.4. Mga gawaing may bitag…………………………………………………… 27

Konklusyon……………………………………………………………… 30

Panitikan………………………………………………………………. 31

Panimula

Ako ay nasa ika-11 baitang at plano kong pumasok sa isang unibersidad kung saan ang matematika ay isang pangunahing asignatura. At iyon ang dahilan kung bakit marami akong ginagawa sa mga gawain ng bahagi C. Sa gawain C3, kailangan mong lutasin ang isang hindi karaniwang hindi pagkakapantay-pantay o isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, kadalasang nauugnay sa mga logarithms. Habang naghahanda para sa pagsusulit, nakatagpo ako ng problema ng kakulangan ng mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic ng pagsusuri na inaalok sa C3. Ang mga pamamaraan na pinag-aaralan sa kurikulum ng paaralan sa paksang ito ay hindi nagbibigay ng batayan para sa paglutas ng mga gawain C3. Iminungkahi ng guro sa matematika na gawin ko ang mga takdang-aralin sa C3 nang mag-isa sa ilalim ng kanyang patnubay. Bilang karagdagan, interesado ako sa tanong: mayroon bang mga logarithms sa ating buhay?

Dahil dito, napili ang tema:

"Mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic sa pagsusulit"

Layunin: pag-aaral ng mekanismo para sa paglutas ng mga problema sa C3 gamit ang mga hindi pamantayang pamamaraan, na nagpapakita ng mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithm.

Paksa ng pag-aaral:

1) Hanapin ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga hindi karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

2) Maghanap ng karagdagang impormasyon tungkol sa logarithms.

3) Matutong lutasin ang mga partikular na problema sa C3 gamit ang mga di-karaniwang pamamaraan.

Mga resulta:

Ang praktikal na kahalagahan ay nakasalalay sa pagpapalawak ng kagamitan para sa paglutas ng mga problema C3. Ang materyal na ito ay maaaring gamitin sa ilang mga aralin, para sa pagsasagawa ng mga bilog, mga opsyonal na klase sa matematika.

Ang produkto ng proyekto ay ang koleksyon na "Logarithmic C3 inequalities with solutions".

Kabanata 1. Background

Noong ika-16 na siglo, mabilis na tumaas ang bilang ng mga tinatayang kalkulasyon, pangunahin sa astronomiya. Ang pagpapabuti ng mga instrumento, ang pag-aaral ng mga paggalaw ng planeta, at iba pang gawain ay nangangailangan ng napakalaki, kung minsan ay maraming taon, mga kalkulasyon. Ang Astronomy ay nasa tunay na panganib na malunod sa hindi natutupad na mga kalkulasyon. Ang mga paghihirap ay lumitaw din sa ibang mga lugar, halimbawa, sa negosyo ng seguro, ang mga talahanayan ng tambalang interes ay kailangan para sa iba't ibang mga halaga ng porsyento. Ang pangunahing kahirapan ay multiplikasyon, dibisyon ng mga multi-digit na numero, lalo na ang mga trigonometriko na dami.

Ang pagtuklas ng logarithms ay batay sa mga kilalang katangian ng mga pag-unlad sa pagtatapos ng ika-16 na siglo. Nagsalita si Archimedes tungkol sa koneksyon sa pagitan ng mga miyembro ng geometric progression q, q2, q3, ... at ang arithmetic progression ng kanilang mga indicator 1, 2, 3, ... sa Psalmite. Ang isa pang kinakailangan ay ang pagpapalawig ng konsepto ng degree sa negatibo at fractional exponents. Itinuro ng maraming may-akda na ang multiplikasyon, paghahati, pagtaas sa isang kapangyarihan, at pagkuha ng ugat ay katumbas ng pagpaparami sa aritmetika - sa parehong pagkakasunud-sunod - karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati.

Narito ang ideya ng logarithm bilang isang exponent.

Sa kasaysayan ng pag-unlad ng doktrina ng logarithms, maraming mga yugto ang lumipas.

Stage 1

Ang logarithms ay naimbento nang hindi lalampas sa 1594 nang nakapag-iisa ng Scottish baron Napier (1550-1617) at makalipas ang sampung taon ng Swiss mekaniko na si Burgi (1552-1632). Parehong nais na magbigay ng isang bagong maginhawang paraan ng mga kalkulasyon ng aritmetika, kahit na nilapitan nila ang problemang ito sa iba't ibang paraan. Napier kinematically ipinahayag ang logarithmic function at sa gayon ay pumasok sa isang bagong larangan ng function theory. Nanatili si Bürgi sa batayan ng pagsasaalang-alang ng mga discrete progressions. Gayunpaman, ang kahulugan ng logarithm para sa pareho ay hindi katulad ng modernong isa. Ang terminong "logarithm" (logarithmus) ay kabilang sa Napier. Nagmula ito sa kumbinasyon ng mga salitang Griyego: logos - "relasyon" at ariqmo - "numero", na nangangahulugang "bilang ng mga relasyon". Sa una, gumamit si Napier ng ibang termino: numeri artificiales - "artificial numbers", kumpara sa numeri naturalts - "natural numbers".

Noong 1615, sa isang pakikipag-usap kay Henry Briggs (1561-1631), isang propesor ng matematika sa Gresh College sa London, iminungkahi ni Napier na kunin ang zero para sa logarithm ng isa, at 100 para sa logarithm ng sampu, o, kung ano ang katumbas ng pareho. , 1 lang. Ganito ang mga decimal logarithms at Ang unang logarithmic table ay na-print. Nang maglaon, ang mga talahanayan ng Briggs ay dinagdagan ng Dutch bookeller at mathematician na si Andrian Flakk (1600-1667). Napier at Briggs, bagama't sila ay dumating sa logarithms bago ang iba, inilathala ang kanilang mga talahanayan nang mas huli kaysa sa iba - noong 1620. Ang mga sign log at Log ay ipinakilala noong 1624 ni I. Kepler. Ang terminong "natural logarithm" ay ipinakilala ni Mengoli noong 1659, na sinundan ni N. Mercator noong 1668, at ang guro sa London na si John Spadel ay naglathala ng mga talahanayan ng natural na logarithm ng mga numero mula 1 hanggang 1000 sa ilalim ng pangalang "New Logarithms".

Sa Russian, ang unang logarithmic table ay nai-publish noong 1703. Ngunit sa lahat ng logarithmic na talahanayan, ang mga pagkakamali ay ginawa sa pagkalkula. Ang unang mga talahanayan na walang error ay nai-publish noong 1857 sa Berlin sa pagproseso ng German mathematician na si K. Bremiker (1804-1877).

Stage 2

Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng logarithms ay nauugnay sa isang mas malawak na aplikasyon ng analytic geometry at infinitesimal calculus. Sa oras na iyon, ang koneksyon sa pagitan ng quadrature ng isang equilateral hyperbola at ang natural na logarithm ay naitatag. Ang teorya ng logarithms ng panahong ito ay nauugnay sa mga pangalan ng isang bilang ng mga mathematician.

German mathematician, astronomer at engineer na si Nikolaus Mercator sa kanyang sanaysay

Ang "Logarithmotechnics" (1668) ay nagbibigay ng isang serye na nagbibigay ng pagpapalawak ng ln(x + 1) sa mga tuntunin ng

kapangyarihan x:

Ang expression na ito ay eksaktong tumutugma sa kurso ng kanyang pag-iisip, bagaman, siyempre, hindi niya ginamit ang mga palatandaan d, ..., ngunit mas masalimuot na mga simbolo. Sa pagkatuklas ng logarithmic series, nagbago ang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms: nagsimula silang matukoy gamit ang infinite series. Sa kanyang mga lektura "elementarya matematika mula sa isang mas mataas na punto ng view", basahin sa 1907-1908, F. Klein iminungkahing gamitin ang formula bilang isang panimulang punto para sa constructing ang teorya ng logarithms.

Stage 3

Kahulugan ng isang logarithmic function bilang isang function ng inverse

exponential, logarithm bilang isang exponent ng isang ibinigay na base

ay hindi na-formula kaagad. Ang gawa ni Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduction to the analysis of infinitesimals" (1748) nagsilbi bilang karagdagang

pagbuo ng teorya ng logarithmic function. Sa ganitong paraan,

134 na taon na ang lumipas mula noong unang ipinakilala ang logarithms

(nagbibilang mula 1614) bago magkaroon ng kahulugan ang mga mathematician

ang konsepto ng logarithm, na ngayon ay batayan ng kurso sa paaralan.

Kabanata 2. Koleksyon ng mga logarithmic inequalities

2.1. Mga katumbas na transition at ang pangkalahatang paraan ng mga agwat.

Mga katumbas na transition

kung a > 1

kung 0 < а < 1

Pangkalahatang paraan ng pagitan

Ang pamamaraang ito ay ang pinaka-unibersal sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng halos anumang uri. Ang scheme ng solusyon ay ganito ang hitsura:

1. Dalhin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ganoong anyo, kung saan ang function ay matatagpuan sa kaliwang bahagi
, at 0 sa kanan.

2. Hanapin ang saklaw ng function
.

3. Hanapin ang mga zero ng isang function
, ibig sabihin, lutasin ang equation
(at ang paglutas ng isang equation ay karaniwang mas madali kaysa sa paglutas ng isang hindi pagkakapantay-pantay).

4. Iguhit ang domain ng kahulugan at mga zero ng function sa isang tunay na linya.

5. Tukuyin ang mga palatandaan ng function
sa mga natanggap na pagitan.

6. Piliin ang mga pagitan kung saan kinukuha ng function ang mga kinakailangang halaga, at isulat ang sagot.

Halimbawa 1

Solusyon:

Ilapat ang paraan ng pagitan

saan

Para sa mga halagang ito, ang lahat ng mga expression sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms ay positibo.

Sagot:

Halimbawa 2

Solusyon:

1st paraan . Ang ODZ ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay x> 3. Pagkuha ng logarithms para sa ganoon x sa base 10, nakukuha namin

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng mga panuntunan sa agnas, i.e. paghahambing ng mga kadahilanan sa zero. Gayunpaman, sa kasong ito ay madaling matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-andar

kaya maaaring ilapat ang paraan ng pagitan.

Function f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ ay tuloy-tuloy para sa x> 3 at naglalaho sa mga punto x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Kaya, tinutukoy namin ang mga agwat ng pare-pareho ng pag-andar f(x):

Sagot:

2nd way . Ilapat natin ang mga ideya ng paraan ng mga pagitan nang direkta sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Para dito, naaalala namin na ang mga expression a b- a c at ( a - 1)(b- 1) magkaroon ng isang tanda. Pagkatapos ang aming hindi pagkakapantay-pantay para sa x> 3 ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay

o

Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pagitan

Sagot:

Halimbawa 3

Solusyon:

Ilapat ang paraan ng pagitan

Sagot:

Halimbawa 4

Solusyon:

Mula noong 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 para sa lahat ng tunay x, pagkatapos

Upang malutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, ginagamit namin ang paraan ng agwat

Sa unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa natin ang pagbabago

pagkatapos ay dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay -0.5< y < 1.

Mula saan, kasi

nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

na isinasagawa sa x, para saan 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ngayon, isinasaalang-alang ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, sa wakas ay nakuha namin

Sagot:

Halimbawa 5

Solusyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang hanay ng mga sistema

o

Ilapat ang paraan ng pagitan o

Sagot:

Halimbawa 6

Solusyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema

Hayaan

pagkatapos y > 0,

at ang unang hindi pagkakapantay-pantay

sistema ay tumatagal ng form

o, lumalawak

square trinomial sa mga kadahilanan,

Paglalapat ng paraan ng pagitan sa huling hindi pagkakapantay-pantay,

nakikita natin na ang mga solusyon nito ay nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon y> 0 ang magiging lahat y > 4.

Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng sistema:

Kaya, ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay lahat

2.2. paraan ng rasyonalisasyon.

Noong nakaraan, ang paraan ng rasyonalisasyon ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nalutas, hindi ito kilala. Ito ay "isang bagong modernong epektibong paraan para sa paglutas ng exponential at logarithmic inequalities" (sipi mula sa aklat ni Kolesnikova S.I.)
At kahit na kilala siya ng guro, may takot - ngunit kilala ba siya ng eksperto sa USE, at bakit hindi nila siya binibigyan sa paaralan? May mga sitwasyon nang sinabi ng guro sa mag-aaral: "Saan mo ito nakuha? Umupo - 2."
Ngayon ang pamamaraan ay itinataguyod sa lahat ng dako. At para sa mga eksperto, may mga alituntunin na nauugnay sa pamamaraang ito, at sa "Ang pinaka kumpletong mga edisyon ng mga karaniwang opsyon ..." sa solusyon C3, ginagamit ang pamamaraang ito.
MAGANDA ANG PARAAN!

"Magic Table"

Sa ibang source

kung a >1 at b >1, pagkatapos ay mag-log a b >0 at (a -1)(b -1)>0;

kung a >1 at 0

kung 0<a<1 и b >1, pagkatapos ay mag-log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

kung 0<a<1 и 00 at (a -1)(b -1)>0.

Ang pangangatwiran sa itaas ay simple, ngunit kapansin-pansing pinapasimple ang solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

Halimbawa 4

log x (x 2 -3)<0

Solusyon:

Halimbawa 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Solusyon:

Sagot. (0; 0.5) U .

Halimbawa 6

Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay na ito, isinusulat namin ang (x-1-1) (x-1) sa halip na ang denominator, at ang produkto (x-1) (x-3-9 + x) sa halip na ang numerator.

Sagot : (3;6)

Halimbawa 7

Halimbawa 8

2.3. Hindi karaniwang pagpapalit.

Halimbawa 1

Halimbawa 2

Halimbawa 3

Halimbawa 4

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Halimbawa 7

log 4 (3 x -1) log 0.25

Gawin natin ang pagpapalit y=3 x -1; pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagkakaroon ng anyo

log 4 log 0.25
.

kasi log 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , pagkatapos ay muling isusulat namin ang huling hindi pagkakapantay-pantay bilang 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Gumawa tayo ng kapalit na t =log 4 y at makuha ang hindi pagkakapantay-pantay t 2 -2t +≥0, ang solusyon kung saan ay ang mga pagitan - .

Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng y, mayroon kaming isang hanay ng dalawang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay
Ang solusyon ng koleksyong ito ay ang mga pagitan 0<у≤2 и 8≤у<+.

Samakatuwid, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng set ng dalawang exponential inequalities,
ibig sabihin, mga pinagsama-sama

Ang solusyon ng unang hindi pagkakapantay-pantay ng set na ito ay ang pagitan 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Kaya, ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa mga pagitan 0<х≤1 и 2≤х<+.

Halimbawa 8

Solusyon:

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng isang sistema

Ang solusyon ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, na tumutukoy sa ODZ, ang magiging hanay ng mga iyon x,

para sa x > 0.

Upang malutas ang unang hindi pagkakapantay-pantay, ginagawa namin ang pagbabago

Pagkatapos ay nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

o

Ang hanay ng mga solusyon ng huling hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa pamamagitan ng pamamaraan

mga pagitan: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, nakukuha namin

o

Marami sa mga iyon x, na nagbibigay-kasiyahan sa huling hindi pagkakapantay-pantay

nabibilang sa ODZ ( x> 0), samakatuwid, ay isang solusyon sa system,

at samakatuwid ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay.

Sagot:

2.4. Mga gawaing may mga bitag.

Halimbawa 1

.

Solusyon. Ang ODZ ng hindi pagkakapantay-pantay ay lahat ng x ay nakakatugon sa kundisyon 0 . Samakatuwid, ang lahat ng x mula sa pagitan 0

Halimbawa 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Ang punto ay ang pangalawang numero ay malinaw na mas malaki kaysa

Konklusyon

Hindi madaling makahanap ng mga espesyal na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa C3 mula sa isang malaking iba't ibang mga mapagkukunang pang-edukasyon. Sa kurso ng gawaing ginawa, nakapag-aral ako ng mga di-karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic. Ang mga ito ay: katumbas na mga transition at ang pangkalahatang paraan ng mga pagitan, ang paraan ng rasyonalisasyon , hindi karaniwang pagpapalit , mga gawain na may mga bitag sa ODZ. Ang mga pamamaraang ito ay wala sa kurikulum ng paaralan.

Gamit ang iba't ibang pamamaraan, nalutas ko ang 27 hindi pagkakapantay-pantay na inaalok sa USE sa bahagi C, katulad ng C3. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga solusyon sa pamamagitan ng mga pamamaraan ay naging batayan ng koleksyon na "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions", na naging produkto ng proyekto ng aking aktibidad. Ang hypothesis na iniharap ko sa simula ng proyekto ay nakumpirma: Ang mga problema sa C3 ay mabisang malulutas kung malalaman ang mga pamamaraang ito.

Bilang karagdagan, natuklasan ko ang mga kagiliw-giliw na katotohanan tungkol sa logarithms. Ito ay kawili-wili para sa akin na gawin ito. Ang aking mga produkto ng proyekto ay magiging kapaki-pakinabang para sa parehong mga mag-aaral at guro.

Mga konklusyon:

Kaya, ang layunin ng proyekto ay nakamit, ang problema ay nalutas. At nakuha ko ang pinakakumpleto at maraming nalalaman na karanasan sa mga aktibidad ng proyekto sa lahat ng yugto ng trabaho. Sa kurso ng pagtatrabaho sa proyekto, ang aking pangunahing epekto sa pag-unlad ay sa kakayahan sa pag-iisip, mga aktibidad na may kaugnayan sa mga lohikal na operasyon ng kaisipan, ang pagbuo ng kakayahang malikhain, personal na inisyatiba, responsibilidad, tiyaga, at aktibidad.

Isang garantiya ng tagumpay kapag gumagawa ng isang proyekto sa pananaliksik para sa Ako ay naging: makabuluhang karanasan sa paaralan, ang kakayahang kunin ang impormasyon mula sa iba't ibang mga mapagkukunan, suriin ang pagiging maaasahan nito, ranggo ito ayon sa kahalagahan nito.

Bilang karagdagan sa direktang kaalaman sa paksa sa matematika, pinalawak niya ang kanyang praktikal na kasanayan sa larangan ng computer science, nakakuha ng bagong kaalaman at karanasan sa larangan ng sikolohiya, nakipag-ugnayan sa mga kaklase, at natutong makipagtulungan sa mga matatanda. Sa kurso ng mga aktibidad ng proyekto, ang organisasyon, intelektwal at komunikasyon na pangkalahatang mga kasanayan sa edukasyon at kakayahan ay binuo.

Panitikan

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may isang variable (karaniwang mga gawain C3).

2. Malkova A. G. Paghahanda para sa Unified State Examination sa Mathematics.

3. S. S. Samarova, Solusyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng logarithmic.

4. Matematika. Koleksyon ng mga gawa sa pagsasanay na na-edit ni A.L. Semyonov at I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-