Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay umiral na mula noong sinaunang panahon. Nagpakita sila at humingi ng solusyon, dahil mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa mga papyri ng Sinaunang Ehipto, na may nilalaman sa matematika - ang Rhind papyrus (XIX siglo BC) - ay naglalaman ng sumusunod na gawain: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung tao, sa kondisyon na ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay isa. ikawalo ng isang sukat.

At sa mga gawaing matematika ng mga sinaunang Griyego ay may mga eleganteng teorema na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Hypsicles ng Alexandria (ika-2 siglo, na nag-compile ng maraming kawili-wiling mga problema at nagdagdag ng ikalabing-apat na libro sa "Elemento" ni Euclid, ay bumalangkas ng ideya: "Sa isang pag-unlad ng aritmetika na may pantay na bilang ng mga miyembro, ang kabuuan ng mga miyembro ng ika-2 kalahati ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng mga miyembro ng 1st sa pamamagitan ng square 1 / 2 na mga miyembro.

Ang pagkakasunud-sunod an ay tinutukoy. Ang mga numero ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga miyembro nito at karaniwang tinutukoy ng mga titik na may mga indeks na nagpapahiwatig ng serial number ng miyembrong ito (a1, a2, a3 ... basahin: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" at iba pa).

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang katapusan o may hangganan.

Ano ang pag-unlad ng arithmetic? Ito ay nauunawaan bilang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang termino (n) na may parehong bilang d, na siyang pagkakaiba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang gayong pag-unlad ay itinuturing na tumataas.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay sinasabing may hangganan kung iilan lamang sa mga unang termino nito ang isasaalang-alang. Sa napakaraming bilang ng mga miyembro, isa na itong walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng sumusunod na formula:

an =kn+b, habang ang b at k ay ilang numero.

Ang pahayag, na kabaligtaran, ay ganap na totoo: kung ang pagkakasunud-sunod ay ibinigay ng isang katulad na pormula, kung gayon ito ay eksaktong pag-unlad ng aritmetika, na may mga katangian:

1. Ang bawat miyembro ng progression ay ang arithmetic mean ng nakaraang miyembro at ng susunod.
2. Ang kabaligtaran: kung, simula sa ika-2, ang bawat termino ay ang arithmetic mean ng nakaraang termino at ang susunod, i.e. kung ang kundisyon ay natutugunan, ang ibinigay na sequence ay isang arithmetic progression. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay kasabay ng isang tanda ng pag-unlad, kaya karaniwang tinatawag itong katangian ng pag-unlad.
   Sa parehong paraan, ang theorem na sumasalamin sa property na ito ay totoo: ang isang sequence ay isang arithmetic progression lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinman sa mga miyembro ng sequence, simula sa ika-2.

Ang katangiang katangian para sa anumang apat na numero ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng formula na an + am = ak + al kung n + m = k + l (m, n, k ang mga numero ng pag-unlad).

Sa isang arithmetic progression, ang anumang kinakailangang (Nth) na termino ay makikita sa pamamagitan ng paglalapat ng sumusunod na formula:

Halimbawa: ang unang termino (a1) sa isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang ikaapatnapu't limang termino ng pag-unlad na ito. a45 = 1+4(45-1)=177

Binibigyang-daan ka ng formula na an = ak + d(n - k) na matukoy ang n-th na miyembro ng isang arithmetic progression sa pamamagitan ng alinman sa k-th na miyembro nito, sa kondisyon na ito ay kilala.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression (ipagpalagay na ang 1st n miyembro ng huling progression) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn = (a1+an) n/2.

Kung kilala rin ang 1st term, kung gayon ang isa pang formula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika na naglalaman ng n termino ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay depende sa mga kondisyon ng mga gawain at ang paunang data.

Ang natural na serye ng anumang mga numero gaya ng 1,2,3,...,n,... ay ang pinakasimpleng halimbawa ng pag-unlad ng arithmetic.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng aritmetika, mayroon ding isang geometriko, na may sariling mga katangian at katangian.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementary hanggang medyo solid.

Una, harapin natin ang kahulugan at pormula ng kabuuan. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay kasing simple ng lowing. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, nakakatipid ang formula.

Ang sum formula ay simple:

Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng marami.

S n ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una sa huli. Ito ay mahalaga. Idagdag nang eksakto lahat mga miyembro sa isang hilera, walang gaps at jumps. At, eksakto, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng mga terminong lima hanggang ikadalawampu, ang direktang paggamit ng formula ay magiging nakakadismaya.)

a 1 - ang una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.

isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng row. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit, kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.

n ay ang numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito tumutugma sa bilang ng mga idinagdag na termino.

Tukuyin natin ang konsepto huli miyembro isang n. Pagpuno ng tanong: anong uri ng miyembro ang gagawin huling, kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?

Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ... basahin nang mabuti ang takdang-aralin!)

Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang may hangganan, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung anong uri ng pag-unlad ang ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinigay: sa pamamagitan ng isang serye ng mga numero, o sa pamamagitan ng formula ng ika-na miyembro.

Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ay ibubunyag namin ang mga lihim na ito.)

Mga halimbawa ng mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:

Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.

Ini-encrypt ng mga may-akda ng mga takdang-aralin ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.

1. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino.

Magaling. Madali.) Upang matukoy ang halaga ayon sa pormula, ano ang kailangan nating malaman? Unang Miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang bilang ng huling termino n.

Kung saan makukuha ang huling numero ng miyembro n? Oo, sa parehong lugar, sa kondisyon! Sinasabi nito na hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Aba, anong numero ito huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n papalitan natin sa formula isang 10, ngunit sa halip n- sampu. Muli, ang bilang ng huling miyembro ay kapareho ng bilang ng mga miyembro.

Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 at isang 10. Ito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng nth term, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi alam kung paano gawin ito? Bisitahin ang nakaraang aralin, nang wala ito - wala.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

isang 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ito ay nananatiling palitan ang mga ito, at bilangin:

Hanggang dito na lang. Sagot: 75.

Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:

2. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; isang 1 \u003d 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino.

Agad naming isinulat ang sum formula:

Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng kapalit:

isang 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:

Sagot: 423.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n palitan lamang ang formula ng ika-n na termino, makukuha natin:

Nagbibigay kami ng mga katulad, nakakakuha kami ng bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tulad ng nakikita mo, ang ika-1 na termino ay hindi kinakailangan dito. isang n. Sa ilang mga gawain, ang formula na ito ay nakakatulong nang malaki, oo ... Maaalala mo ang formula na ito. At maaari mo lamang itong bawiin sa tamang oras, tulad ng dito. Pagkatapos ng lahat, ang pormula para sa kabuuan at ang pormula para sa ika-n na termino ay dapat tandaan sa lahat ng paraan.)

Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):

3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na mga multiple ng tatlo.

Paano! Walang unang miyembro, walang huli, walang pag-unlad... Paano mabuhay!?

Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin mula sa kondisyon ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ano ang dalawang-digit na numero - alam natin. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) What two-digit number will una? 10, siguro.) huling bagay dalawang digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga tatlong-digit ...

Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na pantay na nahahati sa tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? Syempre! Ang bawat termino ay naiiba sa nauna nang mahigpit na tatlo. Kung 2, o 4, ay idinagdag sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang isang bagong numero ay hindi na mahahati sa 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa heap: d = 3. Kapaki-pakinabang!)

Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:

Ano ang magiging numero n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay maling nagkakamali ... Mga Numero - palagi silang magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumalon sa nangungunang tatlo. Hindi sila magkatugma.

Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga termino gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa maalalahanin. Kailangan mong tandaan ang pormula para sa ika-n na termino. Kung ang formula ay inilapat sa aming problema, makuha namin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung miyembro ng pag-unlad. Yung. n = 30.

Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:

Tumingin kami at nagagalak.) Inilabas namin ang lahat ng kailangan para sa pagkalkula ng halaga mula sa kondisyon ng problema:

a 1= 12.

isang 30= 99.

S n = S 30.

Ang natitira ay elementarya arithmetic. Palitan ang mga numero sa formula at kalkulahin:

Sagot: 1665

Isa pang uri ng mga sikat na puzzle:

4. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.

Tinitingnan namin ang sum formula at ... kami ay nabalisa.) Ang formula, hayaan mo akong ipaalala sa iyo, kinakalkula ang kabuuan mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.

Maaari mong, siyempre, ipinta ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at ilagay ang mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ...

May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ang ikalawang bahagi - dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga miyembro ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. Ganito:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Ito ay nagpapakita na upang mahanap ang kabuuan S 20-34 maaaring gawin sa pamamagitan ng simpleng pagbabawas

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Ang parehong mga kabuuan sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Nagsisimula na ba tayo?

Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa kondisyon ng gawain:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at ang unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Binibilang namin ang mga ito ayon sa pormula ng nth term, tulad ng sa problema 2:

isang 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

isang 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

Walang natira. Ibawas ang kabuuan ng 19 na termino mula sa kabuuan ng 34 na termino:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

Sagot: 262.5

Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na tampok sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin kung ano, tila, ay hindi kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa buong resulta. Ang ganitong "pagkukunwari sa mga tainga" ay kadalasang nagliligtas sa masasamang palaisipan.)

Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)

Praktikal na payo:

Kapag nilulutas ang anumang problema para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing formula mula sa paksang ito.

Formula ng nth term:

Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin, kung saang direksyon mag-iisip upang malutas ang problema. Tumutulong.

At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.

5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.

Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.

6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 =-5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino.

Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Mababasa mo ito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong palaisipan ay madalas na matatagpuan sa GIA.

7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa Holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang pinakamamahal na tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa bawat kasunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?

Mahirap ba?) Makakatulong ang karagdagang pormula mula sa gawain 2.

Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Kung bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang isang numerical sequence ay isang function ng isang natural na argumento.

Numero a 1 tinawag ang unang miyembro ng sequence , numero a 2 — ang pangalawang miyembro ng sequence , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag ika-na miyembro ng sequence , at ang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkalapit na miyembro isang n at isang n +1 pagkakasunud-sunod ng miyembro isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), a isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, dapat kang tumukoy ng isang paraan na nagbibigay-daan sa iyong makahanap ng isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay sa nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyong matukoy ang isang miyembro ng sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

ang pagkakasunod-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 at -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

kung a 1 = 1 , a isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung ang a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ang unang pitong miyembro ng numerical sequence ay itinakda tulad ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas at walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Prime number sequence:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag humihina , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ay isang pataas na pagkakasunod-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ay isang pababang pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa sa pagtaas ng bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression tinatawag ang isang sequence, ang bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - ilang numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng susunod at naunang mga miyembro ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression.

Upang magtakda ng pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang tukuyin ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

isang n=	isang n-1 + isang n+1
	2

bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang pag-unlad ng aritmetika kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Dahil dito,

isang n+1 + isang n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = isang n,
2		2

◄

Tandaan na n -th miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

isang n=	a n-k +a n+k
	2

sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika na ito na pantay na may pagitan dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n ang mga miyembro ng isang arithmetic progression ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga extreme terms sa bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung ito ay kinakailangan upang sum ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n atS n naka-link ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

• kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

geometric na pag-unlad tinatawag ang isang sequence, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - ilang numero.

Kaya, ang ratio ng susunod na termino ng geometric na pag-unlad na ito sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng isang geometric progression.

Upang magtakda ng isang geometric na pag-unlad, sapat na upang tukuyin ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n -th term ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

b n = b 1 · q n -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng isang geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

Ang mga numero a, b at c ay magkakasunod na miyembro ng ilang geometric na pag-unlad kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

patunayan natin na ang sequence na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Dahil dito,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa kinakailangang paninindigan. ◄

Tandaan na n ika kataga ng isang geometric progression ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang anumang nakaraang termino b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · q n - k.

Halimbawa,

para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng sinumang miyembro ng isang geometric na progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga miyembro ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

exponentially

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng geometric progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= n.b. 1

Tandaan na kung kailangan nating buuin ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Halimbawa,

exponentially 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n at S n naka-link ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at q> 1;

b 1 < 0 at 0 < q< 1;

• Ang isang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 at 0 < q< 1;

b 1 < 0 at q> 1.

Kung ang q< 0 , pagkatapos ay ang geometric progression ay sign-alternating: ang odd-numbered terms nito ay may parehong sign sa unang termino nito, at even-numbered terms ay may kabaligtaran na sign. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin ng formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay tinatawag na infinite geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa sa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Ito ay akma sa kaso

1 < q< 0 .

Sa ganoong denominator, ang sequence ay sign-alternating. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang numero kung saan ang kabuuan ng una n mga tuntunin ng pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Isaalang-alang natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , pagkatapos

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 at

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ay isang geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ay isang geometric progression na may denominator q , pagkatapos

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . ay isang geometric progression na may denominator 6 at

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Mga halimbawa para sa arithmetic at geometric progression kinuha mula sa "Collection of problems for applicants. Mathematics" na inilathala ng Volyn State University na pinangalanang Lesya Ukrainka noong 2001. Basahing mabuti ang mga sagot at piliin ang pinakakailangan para sa iyong sarili.

Pangkat A (level 1)

Halimbawa 1. Kalkulahin ang ikaanim na termino ng pag-unlad ng arithmetic 21.3; 22.4; … ,
Solusyon: Hanapin ang pagkakaiba (hakbang) ng pag-unlad
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 22.4-21.3 \u003d 1.1.
Susunod, kinakalkula namin ang ikaanim na termino ng pag-unlad ng aritmetika
isang 6 \u003d isang 1 + (6-1) d \u003d 21.3 + 5 * 1.1 \u003d 26.8.

Halimbawa 2. Kalkulahin ang ikaanim na termino ng geometric progression 5; sampu; dalawampu; ...
Solusyon: Hanapin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 10/5 \u003d 2.
Kinakalkula namin ang ikaanim na termino ng isang geometric na pag-unlad
b 6 \u003d b 1 q 6-1 \u003d 5 * 25 \u003d 5 * 32 \u003d 160.

Halimbawa 3. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 1 \u003d 2.1 isang 10 \u003d 12.9. Kalkulahin ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Solusyon: Katawanin natin ang ikasampung termino ng progression bilang isang formula
isang 10 \u003d isang 1 + (10-1) d \u003d isang 1 + 9d.
Palitan ang mga kilalang halaga at lutasin
12.9=2.1+9d;
9d=12.9-2.1=10.8;
d=10.8/9=1.2.
Sagot: pagkakaiba ng pag-unlad d=1.2.

Halimbawa 4. Sa geometric progression b 1 =2.56; b 4 \u003d 4.42368. Kalkulahin ang denominator ng pag-unlad.
Solusyon: Hanapin ang denominator ng progression
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 4.42368 / 2.56 \u003d 1.728.
Hindi mo magagawa nang walang calculator dito.
Sagot: ang denominator ng progress ay q=1.728.

Halimbawa 5. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 1 \u003d 20.1, d \u003d 1.3. Kalkulahin ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad.
Solusyon: Ang kabuuan ng pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Gumaganap ng mga Pagkalkula
S 8 \u003d (2 * 20.1 + (8-1) * 1.3) * 8 / 2 \u003d 197.2.
Sagot: S 8 \u003d 197.2.

Halimbawa 6 . Sa isang geometric progression b 1 =1.5; q=1.2. Kalkulahin ang kabuuan ng unang apat na termino ng pag-unlad.
Solusyon: Ang kabuuan ng geometric progression ay kinakalkula ng formula

Paghahanap ng kabuuan ng pag-unlad

Sagot: S 8 \u003d 8.052.

Halimbawa 7 . Sa pag-unlad ng arithmetic isang 1 \u003d 1.35 d \u003d -2.4. Kalkulahin ang bilang ng termino ng pag-unlad, katumbas ng -25.05.
Solusyon: Ang isang miyembro ng isang arithmetic progression ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula
a n \u003d a 1 + (n-1) d.
Sa kondisyon, alam ang lahat maliban sa ordinal number, mahahanap natin ito
-25.05=1.35+(n-1)(-2.4) ;

Sagot: n=12.

Halimbawa 8. Kalkulahin ang ikapitong termino ng progression 23.5; 24.82; 26.14; ...
Solusyon: Dahil hindi tinukoy ng kundisyon kung aling pag-unlad ang nakatakda, kailangan mo muna itong itakda. Kunin ang aritmetika na iyon
d=a 2 -a 1 = 24.82-23.5=1.32;
d \u003d a 3 -a 2 \u003d 26.14-24.82 \u003d 1.32.
Paghahanap ng ikapitong termino ng pag-unlad
isang 7 \u003d isang 1 + (7-1) d \u003d 23.5 + 6 * 1.32 \u003d 31.42.
Sagot: isang 7 \u003d 31.42.

Halimbawa 9. Kalkulahin ang bilang ng progression member 2.1; 3.3; 4.5; ... , katumbas ng 11.7 .
Solusyon: Madaling i-verify na may naibigay na pag-unlad ng arithmetic. Paghahanap ng pagkakaiba sa pag-unlad
d \u003d a 2 -a 1 \u003d 3.3-2.1 \u003d 1.2.
Ayon sa pormula ng termino ng pag-unlad
a n \u003d a 1 + (n-1) d
hanapin ang numero
11.7=2.1+(n-1)*1.2;

Sagot: n= 9 .

Halimbawa 10. Kalkulahin ang ikaapat na termino ng progression 1.5; 1.8; 2.16; ... .
Solusyon: Nang walang pagsuri, masasabi nating geometric ang progression. Hanapin ang denominator nito
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1.5 \u003d 1.2.
Kalkulahin ang ika-4 na miyembro ng geometric progression gamit ang formula
b 4 \u003d b 1 q 3 \u003d 1.5 * 1.2 3 \u003d 2.592.
Sagot: b 4 \u003d 2.592.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang bilang ng miyembro ng progression 1,2; 1.8; 2.16; ... katumbas ng 4.05.
Solusyon: Mayroon kaming geometric progression. Hanapin ang denominator ng progression
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 1, 8 / 1.2 \u003d 1.5.
Hanapin ang progression number mula sa dependence
b n = b 1 q n-1 .
4.05=1.2*1.5n-1;
1.5 n-1 \u003d 4.05 / 1.2 \u003d 3.375 \u003d 1.5 3;
n-1=3; n=4.
Sagot: n=4.

Halimbawa 12. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 5 \u003d 14.91 isang 9 \u003d 20.11. Kalkulahin ang isang 1.
Solusyon: Ipinapahayag namin ang ika-9 na termino ng pag-unlad hanggang 5
isang 9 \u003d isang 5 + (9-5) d
at hanapin ang hakbang ng pag-unlad
20.11=14.91+4d;
4d=5.2; d=5.2/4=1.3.
Ipinapahayag namin ang ika-5 termino ng pag-unlad sa mga tuntunin ng 1 at kalkulahin ang una
a 5 = a 1 +4d;
14.91 \u003d isang 1 +5.2;
isang 1 \u003d 14.91-5.2 \u003d 9.71.
Sagot: isang 1 \u003d 9.71.

Halimbawa 13 . Sa pag-unlad ng aritmetika, isang 7 \u003d 12.01; isang 11 \u003d 17.61. Kalkulahin ang pagkakaiba ng pag-unlad.
Solusyon: Nagpapahayag kami ng 11 termino ng pag-unlad hanggang 7
isang 11 \u003d isang 7 + (11-7) d.
Mula dito kinakalkula namin ang hakbang ng pag-unlad
17.61=12.01+4d;
4d=5.6; d=5.6/4=1.4.
Sagot: d=1.4.

Halimbawa 14. Sa geometric progression b 5 =64; b 8 =1. Kalkulahin ang b 3 .
Solusyon: Ipinapahayag namin ang ika-8 termino ng pag-unlad sa mga tuntunin ng 5
b 8 \u003d b 5 q 8-5.
Mula dito makikita natin ang denominator ng pag-unlad
1=64 q 3 ;
q 3 \u003d 1/64 \u003d (1/4) 3;
q=1/4.
Katulad nito, nakikita natin ang b 3 hanggang b 5
b 3 \u003d b 5 / q 2 \u003d 64 * 4 2 \u003d 1024.
Sagot: b 3 \u003d 1024.

Halimbawa 15. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 9 + a 15 \u003d 14.8. Kalkulahin ang isang 12
Solusyon: Sa halimbawang ito, dapat tandaan na ang ika-12 miyembro ng progression ay nasa gitna sa pagitan ng numero 9 at 15 nito. Samakatuwid, ang mga kalapit na termino ng pag-unlad (9, 15 ) ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng 12 bilang mga sumusunod
isang 9 \u003d isang 12 - (12-9) d;
isang 15 \u003d isang 12 + (15-9) d;
isang 9 \u003d isang 12 -3d;
isang 15 = isang 12 + 3d.
Isa-isahin natin ang matinding mga tuntunin ng pag-unlad
a 9 + a 15 = a 12 -3d+ a 12 + 3d=2a 12.
Mula dito makikita natin ang ika-12 termino ng pag-unlad
isang 12 \u003d (a 9 + a 15) / 2 \u003d 14.8 / 2 \u003d 7.4.
Sagot: isang 12 \u003d 7.4.

Halimbawa 16. Exponentially b 10 *b 14 =289. Kalkulahin ang module 12 ng termino ng pag-unlad | b 12 |.
Solusyon: Ang algorithm para sa paglutas ng problema ay nakapaloob sa nakaraang halimbawa. Kinakailangang ipahayag ang 10 at 14 na miyembro ng isang geometric na pag-unlad hanggang 12. Sa pamamagitan ng mga katangian ng isang geometric na pag-unlad, nakukuha natin
b 10 \u003d b 12 / q 2; b 14 = b 12 * q 2 .
Madaling makita na kapag nagtatrabaho sila, nawawala ang tanda ng pag-unlad.
b 10 * b 14 \u003d (b 12) 2 \u003d 289 \u003d 17 2.
Mula dito makikita natin ang modyul | b 12 |
(b 12) 2 =289=17 2 -> | b 12 |=17.
Sagot: | b 12 |=17.

Halimbawa 17. Exponentially b 8 =1.3. Kalkulahin ang b 6 *b 10 .
Solusyon: Ang scheme ng pagkalkula ay katulad ng nakaraang halimbawa - ipinapahayag namin ang 6 at 10 miyembro ng progression hanggang 8.
b 6 \u003d b 8 / q 2; b 10 = b 8 * q 2 .
Kapag pinarami ang mga ito, ang mga denominador ay nababawasan at nakukuha natin ang parisukat ng kilalang termino ng pag-unlad.
b 6 *b 10 \u003d (b 8) 2 \u003d 1.3 2 \u003d 1.69.
Sagot: b 6 * b 10 \u003d 1.69.

Halimbawa 18. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 10 \u003d 3.6: isang 12 \u003d 8. Kalkulahin ang isang 8
Solusyon: Isulat natin ang mga miyembro ng progression sa isang serye a 8 , a 10 , a 12 . Sa pagitan nila ang parehong hakbang, hanapin natin ito
isang 12 = isang 10 +2d;
2d \u003d isang 12 - isang 10 \u003d 8-3.6 \u003d 4.4.
Sa parehong paraan nahanap namin ang isang 8
isang 10 = isang 8 +2d;
isang 8 \u003d isang 10 -2d \u003d 3.6-4.4 \u003d -0.8.
Narito ang ilang mga simpleng kalkulasyon.
Sagot: isang 8 \u003d -0.8.

Halimbawa 19. Exponentially b 14 =8; b 16 =2. Kalkulahin ang b 12 .
Solusyon: Inaalis ang mga detalyadong paliwanag, isusulat namin ang produkto ng ika-14 at ika-16 na termino ng pag-unlad
b 14 *b 16 =(b 12) 2 .
Ito ay katumbas ng geometric mean. Sa paghahanap ng ugat ng produkto ng mga termino, nakukuha natin ang nais na halaga
(b 12) 2 \u003d 8 * 2 \u003d 16; b 12 =4.
Sagot: b 12 \u003d 4.

Halimbawa 20. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 5 \u003d 3.4; isang 11 \u003d 6.9. Kalkulahin ang isang 17 .
Solusyon: Sa pagitan ng 5,11 at 17 na miyembro ng progression ay ang parehong hakbang at ito ay katumbas ng 6d. Samakatuwid, ang pangwakas na solusyon ay maaaring isulat bilang
isang 17 \u003d isang 11 + 6d \u003d isang 11 + (a 11 - isang 5) \u003d 2 * 6.9-3.4 \u003d 10.4.
Sa tingin ko naiintindihan mo kung bakit ganoon ang rekord. Kung hindi - subukang magpinta ng 11 termino ng progression hanggang 5 at maging 6d .
Sagot: isang 17 \u003d 10.4.

Halimbawa 21. Kalkulahin ang ika-6 na miyembro ng geometric progression 3; 12;... .
Solusyon: Hanapin ang denominator ng progression
q \u003d b 2 / b 1 \u003d 12/3 \u003d 4.
Gamitin natin ang pangkalahatang pormula ng termino ng isang geometric na pag-unlad
b n = b 1 *q n-1 .
Mula dito nakukuha natin
b 6 \u003d b 1 * q 5 \u003d b 2 * q 4.
Tulad ng makikita mo, ang pangunahing bagay sa talaan ay ang kabuuan ng index (2) at ang antas (4) ay tumutugma sa ordinal na numero ng miyembro ng pag-unlad (6). Gumaganap ng mga Pagkalkula
b 6 \u003d 12 * 4 4 \u003d 12 * 256 \u003d 3072.
Nakakuha kami ng isang malaking bilang, ngunit ang geometric na pag-unlad ay naiiba dahil ang mga miyembro nito ay maaaring mabilis na lumalaki o bumababa.
Sagot: b 6 \u003d 3072.

Halimbawa 22. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, isang 3 \u003d 48; a 5 =42. Kalkulahin ang isang 7 .
Solusyon: Dahil ang pagkakaiba sa pagitan ng pag-unlad sa pagitan ng mga ibinigay na miyembro at ng nais na isa ay naging at katumbas ng 2d, ang formula para sa ika-7 miyembro ng pag-unlad ay magiging katulad ng
isang 7 \u003d isang 5 + 2d \u003d isang 5 + (a 5 - isang 3);
at 7 \u003d 2 * 42-48 \u003d 36.
Sagot: a 7 \u003d 36.

Arithmetic at geometric progressions

Teoretikal na impormasyon

Teoretikal na impormasyon

	Arithmetic progression	Geometric na pag-unlad
Kahulugan	Arithmetic progression isang n tinatawag ang isang pagkakasunud-sunod, bawat miyembro kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang miyembro, idinagdag na may parehong numero d (d- pagkakaiba sa pag-unlad)	geometric na pag-unlad b n tinatawag ang isang pagkakasunud-sunod ng mga di-zero na numero, ang bawat termino kung saan, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong numero q (q- denominator ng pag-unlad)
Paulit-ulit na formula	Para sa anumang natural n a n + 1 = a n + d	Para sa anumang natural n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
pormula ng ika-apat na termino	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
katangian ng ari-arian
Kabuuan ng unang n termino

Mga halimbawa ng mga gawain na may mga komento

Ehersisyo 1

Sa pag-unlad ng aritmetika ( isang n) a 1 = -6, a 2

Ayon sa pormula ng ika-n na termino:

isang 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Ayon sa kondisyon:

a 1= -6, kaya isang 22= -6 + 21d.

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d= isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 2

Hanapin ang ikalimang termino ng geometric progression: -3; 6;....

1st way (gamit ang n-term formula)

Ayon sa formula ng n-th na miyembro ng isang geometric na pag-unlad:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

kasi b 1 = -3,

2nd way (gamit ang recursive formula)

Dahil ang denominator ng progression ay -2 (q = -2), kung gayon:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Sagot: b 5 = -48.

Gawain 3

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n) a 74 = 34; isang 76= 156. Hanapin ang pitumpu't limang termino ng pag-unlad na ito.

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang katangian ng katangian ay may anyo .

Samakatuwid:

.

Palitan ang data sa formula:

Sagot: 95.

Gawain 4

Sa pag-unlad ng aritmetika ( a n ) a n= 3n - 4. Hanapin ang kabuuan ng unang labimpitong termino.

Upang mahanap ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, dalawang formula ang ginagamit:

.

Alin sa kanila ang mas maginhawang ilapat sa kasong ito?

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang formula ng ika-na miyembro ng orihinal na pag-unlad ay kilala ( isang n) isang n= 3n - 4. Maaaring matagpuan kaagad at a 1, at isang 16 nang hindi nahanap d. Samakatuwid, ginagamit namin ang unang formula.

Sagot: 368.

Gawain 5

Sa pag-unlad ng aritmetika isang n) a 1 = -6; a 2= -8. Hanapin ang dalawampu't dalawang termino ng progression.

Ayon sa pormula ng ika-n na termino:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Sa kondisyon, kung a 1= -6, pagkatapos isang 22= -6 + 21d. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba ng mga pag-unlad:

d= isang 2 – isang 1 = -8 – (-6) = -2

isang 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Sagot: isang 22 = -48.

Gawain 6

Ang ilang magkakasunod na termino ng isang geometric na pag-unlad ay naitala:

Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x .

Kapag nag-solve, ginagamit namin ang formula para sa nth term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 para sa mga geometric na pag-unlad. Ang unang miyembro ng pag-unlad. Upang mahanap ang denominator ng progression q, kailangan mong kunin ang alinman sa mga tuntuning ito ng progression at hatiin sa nauna. Sa aming halimbawa, maaari mong kunin at hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin ang q \u003d 3. Sa halip na n, pinapalitan namin ang 3 sa formula, dahil kinakailangan upang mahanap ang ikatlong termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad.

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa formula, nakukuha namin:

.

Sagot: .

Gawain 7

Mula sa mga pag-usad ng arithmetic na ibinigay ng formula ng ika-n na termino, piliin ang isa kung saan nasiyahan ang kundisyon isang 27 > 9:

Dahil ang tinukoy na kundisyon ay dapat matugunan para sa ika-27 na termino ng pag-unlad, pinapalitan namin ang 27 sa halip na n sa bawat isa sa apat na pag-unlad. Sa ika-4 na pag-unlad ay nakukuha natin:

.

Sagot: 4.

Gawain 8

Sa pag-unlad ng aritmetika a 1= 3, d = -1.5. Tukuyin ang pinakamalaking halaga ng n kung saan hawak ang hindi pagkakapantay-pantay isang n > -6.