Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulong pinamagatang LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bibigyan namin ng espesyal na pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Una, ipapakita namin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero gamit ang GCD ng mga numerong ito. Susunod, titingnan natin ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa mga prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Pagkalkula ng Least Common Multiple (LCM) sa pamamagitan ng GCD

Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa amin na kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng isang kilalang pinakadakilang karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Tingnan natin ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM gamit ang ibinigay na formula.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero 126 at 70.

Solusyon.

Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD, na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Iyon ay, una kailangan nating hanapin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito gamit ang nakasulat na formula.

Hanapin natin ang GCD(126, 70) gamit ang Euclidean algorithm: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, samakatuwid, GCD(126, 70)=14.

Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Sagot:

LCM(126, 70)=630 .

Halimbawa.

Ano ang katumbas ng LCM(68, 34)?

Solusyon.

kasi Ang 68 ay nahahati sa 34, pagkatapos ay GCD(68, 34)=34. Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Sagot:

LCM(68, 34)=68 .

Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer na a at b: kung ang numero a ay nahahati sa b, kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a.

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor

Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung bubuo ka ng isang produkto mula sa lahat ng prime factor ng mga ibinigay na numero, at pagkatapos ay ibukod mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga decomposition ng mga ibinigay na numero, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga ibinigay na numero. .

Ang nakasaad na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numero a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numero a at b. Kaugnay nito, ang GCD(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numero a at b (tulad ng inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng GCD gamit ang pagpapalawak ng mga numero sa prime factor).

Magbigay tayo ng halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3·5·5 at 210=2·3·5·7. Buuin natin ang produkto mula sa lahat ng mga salik ng mga pagpapalawak na ito: 2·3·3·5·5·5·7 . Ngayon, mula sa produktong ito ay ibinubukod namin ang lahat ng mga salik na naroroon sa parehong pagpapalawak ng numero 75 at pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga salik na ito ay 3 at 5), pagkatapos ay ang produkto ay kukuha ng anyong 2·3·5·5·7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng 75 at 210, iyon ay, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Halimbawa.

I-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor at hanapin ang hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.

Solusyon.

Isaalang-alang natin ang mga numerong 441 at 700 sa mga pangunahing kadahilanan:

Nakukuha namin ang 441=3·3·7·7 at 700=2·2·5·5·7.

Ngayon, gumawa tayo ng produkto mula sa lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong ito: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (isa lang ang ganoong salik - ito ang numero 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. kaya, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Sagot:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang factorization ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang b ay idinagdag sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong a at b.

Halimbawa, kunin natin ang parehong mga numero 75 at 210, ang kanilang mga decompositions sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3·5·5 at 210=2·3·5·7. Sa mga kadahilanan 3, 5 at 5 mula sa pagpapalawak ng numero 75 idinagdag namin ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 7 mula sa pagpapalawak ng numero 210, nakuha namin ang produkto 2·3·5·5·7, ang halaga nito ay katumbas ng LCM(75, 210).

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Solusyon.

Una naming makuha ang mga decomposition ng mga numero 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Mukha silang 84=2·2·3·7 at 648=2·2·2·3·3·3·3. Sa mga salik 2, 2, 3 at 7 mula sa pagpapalawak ng bilang 84 idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2, 3, 3 at 3 mula sa pagpapalawak ng bilang na 648, nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7, na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 84 at 648 ay 4,536.

Sagot:

LCM(84, 648)=4,536 .

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin natin ang kaukulang teorama, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.

Teorama.

Hayaang ibigay ang mga positive integer na numero a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Isaalang-alang natin ang aplikasyon ng theorem na ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng apat na numero.

Halimbawa.

Hanapin ang LCM ng apat na numero 140, 9, 54 at 250.

Solusyon.

Sa halimbawang ito, isang 1 =140, isang 2 =9, isang 3 =54, isang 4 =250.

Una naming mahanap m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang GCD(140, 9), mayroon kaming 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, samakatuwid, GCD(140, 9)=1 , mula saan GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Ibig sabihin, m 2 =1 260.

Ngayon nahanap namin m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng GCD(1 260, 54), na tinutukoy din natin gamit ang Euclidean algorithm: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pagkatapos ay gcd(1,260, 54)=18, kung saan gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Ibig sabihin, m 3 =3 780.

Ang natitira na lang ay maghanap m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para magawa ito, makikita natin ang GCD(3,780, 250) gamit ang Euclidean algorithm: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Samakatuwid, GCM(3,780, 250)=10, kung saan GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Ibig sabihin, m 4 =94,500.

Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.

Sagot:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Sa maraming mga kaso, ito ay maginhawa upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat mong sundin ang sumusunod na panuntunan. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinaragdag sa mga nagresultang kadahilanan, at iba pa.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang prime factorization.

Halimbawa.

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84, 6, 48, 7, 143.

Solusyon.

Una, nakukuha natin ang mga decomposition ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ay isang prime number, ito ay nagtutugma kasama ang pagkabulok nito sa mga pangunahing salik) at 143=11·13.

Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2, 2, 3 at 7), kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6. Ang agnas ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa agnas ng unang numero 84. Susunod, sa mga kadahilanan 2, 2, 3 at 7 idinagdag namin ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga kadahilanan 2, 2, 2, 2, 3 at 7. Hindi na kailangang magdagdag ng mga multiplier sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil nasa 7 na ito. Sa wakas, sa mga salik 2, 2, 2, 2, 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143. Nakukuha namin ang produkto 2·2·2·2·3·7·11·13, na katumbas ng 48,048.

Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ang mga numerong ito.

Hanapin natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numero 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numero 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag kapwa prime.

Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag kapwa prime, kung ang kanilang greatest common divisor (GCD) ay 1.

Greatest Common Divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.

Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang dalawa).
Ang mga salik na natitira ay 2 * 2 * 3. Ang kanilang produkto ay katumbas ng 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.

Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Kung ang lahat ng ibinigay na numero ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang divisor binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 15, 45, 75 at 180 ay ang numero 15, dahil ang lahat ng iba pang mga numero ay nahahati nito: 45, 75 at 180.

Least common multiple (LCM)

Kahulugan. Least common multiple (LCM) Ang mga natural na numero a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay makikita nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, i-factor natin ang 75 at 60 sa prime factor: 75 = 3 * 5 * 5, at 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (i.e., pinagsama natin ang mga salik).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Nahanap din nila ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero.

Upang maghanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) isama ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 12, 15, 20, at 60 ay 60 dahil nahahati ito sa lahat ng numerong iyon.

Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang tanong ng divisibility ng mga numero. Tinawag nila ang isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisors nito (nang walang numero mismo) na isang perpektong numero. Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33,550,336. Alam lamang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33,550,336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hindi pa rin alam ng mga siyentipiko kung may mga kakaibang perpektong numero o kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, ibig sabihin, ang mga prime number ay parang mga brick kung saan ang natitirang natural na mga numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, hindi gaanong karaniwan ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid (ika-3 siglo BC), sa kanyang aklat na "Mga Elemento", na siyang pangunahing aklat-aralin ng matematika sa loob ng dalawang libong taon, ay nagpatunay na mayroong walang katapusang maraming prime number, ibig sabihin, sa likod ng bawat prime number ay mayroong mas malaking prime. numero.
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician ng parehong panahon, si Eratosthenes, ang gumawa ng pamamaraang ito. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay nilagyan ng ekis ang isa, na hindi prime o composite na numero, pagkatapos ay i-cross out sa isa ang lahat ng mga numerong susunod sa 2 (mga numero na multiple ng 2, ibig sabihin, 4, 6, 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawa, ang lahat ng mga numerong darating pagkatapos ng 3 (mga numero na multiple ng 3, ibig sabihin, 6, 9, 12, atbp.) ay na-cross out. sa huli tanging ang mga prime number lang ang nanatiling hindi natawid.

Ngunit maraming natural na numero ang nahahati din ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang bilang ay nahahati sa kabuuan (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag divisors ng mga numero. Divisor ng isang natural na numero a- ay isang natural na numero na naghahati sa isang ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang divisors ay tinatawag pinagsama-sama .

Pakitandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang salik. Ang mga numerong ito ay: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a At b- ito ang numero kung saan hinahati ang parehong ibinigay na mga numero nang walang natitira a At b.

Common multiples ilang mga numero ay isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng karaniwang multiple ay palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag ang pinakamaliitcommon multiple (CMM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero, kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m At n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m At n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m, n tumutugma sa hanay ng mga multiple ng LCM( m, n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. At:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang koneksyon nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k- iba't ibang mga pangunahing numero, at d 1 ,...,d k At e 1 ,...,e k— non-negative integers (maaari silang maging mga zero kung ang kaukulang prime ay wala sa expansion).

Pagkatapos NOC ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang LCM decomposition ay naglalaman ng lahat ng prime factor na kasama sa kahit isa sa mga decomposition ng mga numero. a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng multiplier na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay maaaring bawasan sa ilang magkakasunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking agnas (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay) sa mga kadahilanan ng nais na produkto, at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagkabulok ng iba pang mga numero na hindi lumilitaw sa unang numero o lumilitaw dito mas kaunting beses;

— ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang pangunahing mga kadahilanan ng numero 28 (2, 2, 7) ay pupunan ng isang kadahilanan na 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa 21 at 28.

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay pupunan ng kadahilanan 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na isang multiple ng lahat ng ibinigay na numero.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay mga pangunahing numero, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

Panuntunan. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.

Iba pang Pagpipilian:

Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Solusyon. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Isinulat namin ang pinakadakilang kapangyarihan ng lahat ng mga pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Pinakamahusay na karaniwang divisor

Kahulugan 2

Kung ang natural na numerong a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.

Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang bilang na $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor ng parehong $a$ at $b$.

Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisors na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$ at tinutukoy ng sumusunod na notasyon:

$GCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero na kailangan mo:

1. Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1

Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Halimbawa 2

Hanapin ang gcd ng mga monomial na $63$ at $81$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:

I-factor natin ang mga numero sa prime factor

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Mahahanap mo ang gcd ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang isang hanay ng mga divisors ng mga numero.

Halimbawa 3

Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.

Solusyon:

Hanapin natin ang hanay ng mga divisors ng numerong $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors ng numerong $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Nangangahulugan ito na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $48$ at $60$ ay $12$.

Kahulugan ng NPL

Kahulugan 3

Mga karaniwang multiple ng natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.

Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na mga numero nang walang natitira. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.

Ang pinakamaliit na common multiple ay tatawaging hindi bababa sa common multiple at ipapatalastas na LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mong:

1. I-factor ang mga numero sa prime factor
2. Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi bahagi ng una

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito

I-factor ang mga numero sa prime factor

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Isulat ang mga salik na kasama sa una

idagdag sa kanila ang mga multiplier na bahagi ng pangalawa at hindi bahagi ng una

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Ang pagsasama-sama ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang isang napakahirap na gawain. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclidean algorithm.

Mga pahayag kung saan nakabatay ang Euclidean algorithm:

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b

Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero na ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.

Mga katangian ng GCD at LCM

1. Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
2. Kung $a\vdots b$ , pagkatapos ay К$(a;b)=a$

Kung ang K$(a;b)=k$ at $m$ ay isang natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$

Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay ang common multiple ng $a$ at $b$

Para sa anumang natural na numerong $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Anumang karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$ ay isang divisor ng numerong $D(a;b)$

Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, kailangan mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "marami".

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A na walang natitira. Kaya, ang mga numero na multiple ng 5 ay maaaring ituring na 15, 20, 25, at iba pa.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang hindi nag-iiwan ng natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang LOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat ang lahat ng multiple ng mga numerong ito sa isang linya hanggang sa makakita ka ng isang bagay na karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy ng malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang notasyong ito ay ginagawa tulad ng sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan ng pagkalkula ng LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kailangan mong i-factor ang mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang agnas ng pinakamalaking numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Ang decomposition ng bawat numero ay maaaring maglaman ng ibang bilang ng mga salik.

Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na numero, dapat mong i-highlight ang mga kadahilanan na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking numero, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa halimbawang ipinakita, isang dalawa ang nawawala.

Ngayon ay maaari mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kaya, ang produkto ng mga pangunahing salik ng mas malaking bilang at ang mga salik ng pangalawang numero na hindi kasama sa pagpapalawak ng mas malaking bilang ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, dapat mong i-factor ang lahat sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang dalawa lamang mula sa pagpapalawak ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng isang mas malaking bilang (isa ay nasa pagpapalawak ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa pagpapalawak ng mas malaking bilang.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang LCM ng labindalawa at dalawampu't apat ay dalawampu't apat.

Kung kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang magkaparehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM (10, 11) = 110.