Ito ay nakatuon sa mga pangunahing kaalaman ng matematikal na lohika, na hindi lamang isang hiwalay na seksyon ng matematika, ngunit napakahalaga din kapag pinag-aaralan ang buong tore (at hindi lamang mga tore). "Mayroon at natatangi", "ito ay sumusunod mula dito", "kinakailangang kondisyon", "kasapatan", "kung at pagkatapos lamang" - pamilyar na mga parirala, hindi ba? At ito ay hindi lamang "tungkulin" cliches na maaaring pabayaan - ito ay matatag na mga expression na may mahigpit na kahulugan na malalaman natin sa artikulong ito. Bilang karagdagan, ang materyal ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga nagsisimula na direktang mag-aral ng lohika ng matematika - Isasaalang-alang ko ang base nito: mga pahayag at aksyon sa kanila, mga formula, pangunahing batas + ilang praktikal na gawain. At, siyempre, matututunan mo ang isang napakahalaga, at kung minsan ay napaka nakakatawa, pagkakaiba sa pagitan ng matematikal na lohika at ang aming "ordinaryong" lohika. Simulan natin ang paglalagay ng pundasyon:

Mga pagbigkas at mga anyo ng proposisyon

pahayag ay isang panukala na masasabi totoo ito o mali. Ang mga pahayag ay karaniwang tinutukoy ng maliliit na letrang Latin, at ang kanilang katotohanan / kasinungalingan ng isa at sero, ayon sa pagkakabanggit:

- record na ito (hindi dapat malito sa modyul!) nagsasabi sa amin na ang pahayag totoo;
- at ang entry na ito ay tungkol sa katotohanan na ang pahayag mali.

Halimbawa:

- Ang mga pagong ay hindi lumilipad
- Ang buwan ay parisukat;
- dalawang beses dalawa ang magiging dalawa;
- Ang lima ay higit sa tatlo.

Malinaw na ang mga pahayag at totoo: ,
at mga pahayag at mali:

Siyempre, hindi lahat ng pangungusap ay pahayag. Ang mga ito, sa partikular, ay kinabibilangan ng mga pangungusap na interogatibo at insentibo:

Hindi mo ba pwedeng sabihin sa akin kung paano makapasok aklatan?
Tara ligo na tayo!

Malinaw, walang tanong ng katotohanan o kasinungalingan dito. Dahil walang pag-uusap tungkol sa mga ito sa kaso ng kawalan ng katiyakan o hindi kumpletong impormasyon:

Bukas papasa si Peter sa pagsusulit- kahit natutunan niya ang lahat, ito ay hindi isang katotohanan na siya ay papasa; at kabaliktaran - kung wala siyang alam, marahil ay ipapasa niya "sa bola".

... halika, Pet, huwag kang mag-alala - papasa ka =)

– at dito hindi natin alam kung ano ang katumbas ng “en”, kaya hindi rin ito isang pahayag.

Gayunpaman, ang huling pangungusap ay maaaring palawigin sa isang pagbigkas, o sa halip, sa proposisyonal na anyo, na nagpapahiwatig ng karagdagang impormasyon tungkol sa "en". Bilang isang tuntunin, ang mga proposisyonal na anyo ay nakasulat sa tinatawag na mga quantifier. Dalawa sila:

– pangkalahatang quantifier (baligtad na titikA - mula sa Ingles.lahat) naiintindihan at binasa bilang "para sa lahat", "para sa alinmang (oh) (mga)";

– existential quantifier (bukas na sulatE - mula sa Ingles.umiral) naiintindihan at binabasa bilang "umiiral".

- para sa sinuman natural na numero nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Ang anyo ng ekspresyong ito mali, dahil maliwanag na hindi ito tumutugma sa mga natural na numero .

- at narito na ang proposisyonal na anyo totoo, Paano totoo at, halimbawa, ang pahayag na ito:
… mabuti, paano kung mayroong natural na numero na mas mababa sa -10?

Binabalaan kita laban sa walang ingat na paggamit ng quantifier na ito, dahil ang "para sa sinuman" ay maaaring maging "hindi para sa sinuman" sa lahat.

Pansin! Kung hindi mo naiintindihan ang isang bagay sa notasyon, mangyaring bumalik sa aralin tungkol sa set.

- umiiral natural na numero na higit sa dalawa. totoo...at, higit sa lahat, hindi ka maaaring makipagtalo =)

– kasinungalingan

Kadalasan ang mga quantifier ay "nagtatrabaho sa parehong koponan":

- para sa sinuman vector mayroong isang kabaligtaran na vector. malaking titik totoo, o sa halip, ang axiom (tinanggap ang pahayag nang walang patunay) espasyo ng vector.

Tandaan na ipinahihiwatig ng existential quantifier ang katotohanan mismo ang pagkakaroon ng isang bagay (kahit isa) na nakakatugon sa ilang mga katangian. Hayaang umiral ang nag-iisang puting uwak sa mundo, ngunit umiiral sila. Bukod dito, sa matematika (parehong paaralan at mas mataas) ang isang mahusay na maraming theorems ay pinatunayan sa pag-iral at lamang pagiging natatangi anumang bagay. Ang patunay ng naturang teorama ay binubuo ng dalawang bahagi:

1) Ang pagkakaroon ng isang bagay na nakakatugon sa ilang pamantayan. Sa bahaging ito, ang mismong katotohanan ng pagkakaroon nito ay napatunayan.

2) Ang pagiging natatangi ng ibinigay na bagay. Ang puntong ito ay karaniwang napatunayan sa pamamagitan ng kontradiksyon, ibig sabihin. ipinapalagay na mayroong isang 2nd object na may eksaktong parehong mga katangian, at pagkatapos ay ang pagpapalagay na ito ay pinabulaanan.

Gayunpaman, sinisikap nilang huwag takutin ang mga mag-aaral sa gayong terminolohiya, at ang teorama ay madalas na ipinakita sa isang nakatalukbong na anyo, halimbawa:

Sa anumang tatsulok, maaari kang mag-inscribe ng isang bilog at, bukod dito, isa lamang

Sa pamamagitan ng paraan, ano ang isang teorama pa rin? Malalaman natin ang lohikal na kakanyahan ng kakila-kilabot na salitang ito sa lalong madaling panahon ....

Mga lohikal na operasyon (mga aksyon sa mga pahayag)

Tulad ng maaari kang magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika na may mga numero (magdagdag, magparami, atbp.), ang mga pahayag ay mayroon ding sariling mga operasyon. Mayroong tatlong pangunahing lohikal na operasyon:

negasyon mga pahayag;

pang-ugnay o lohikal na pagpaparami ng mga panukala;

disjunction o lohikal na pagdaragdag ng mga pahayag.

sa pagkakasunud-sunod:

1) Negasyon ng pahayag

HINDI at simbolo

Pagtanggi ang pagbigkas ay tinatawag na pagbigkas (basahin ang "hindi a"), alin mali kung totoo, at totoo- kung mali:

Kaya, halimbawa, ang pahayag - ang mga pagong ay hindi lumilipad totoo: ,
at ang negasyon nito lilipad ang mga pagong kung sipain mo sila ng malakas– mali: ;

pahayag - dalawang beses dalawa ay dalawa mali: ,
at pagtanggi nito - hindi totoo na twice two ay magiging dalawa- totoo: .

By the way, no need to laugh at the example with turtles;) mga sadista

Ang isang magandang pisikal na modelo ng operasyong ito ay isang ordinaryong bombilya at isang switch:

ilaw sa - lohikal o totoo,
nakapatay ang ilaw - logical zero o false.

2) Conjunction (lohikal na pagpaparami ng mga pahayag)

Ang operasyong ito ay tumutugma sa lohikal na nag-uugnay AT at isang simbolo din

pang-ugnay (basahin ang "a at maging"), na totoo kung at kung lamang pareho mga kasabihan at:

Ang operasyong ito ay nangyayari rin sa lahat ng oras. Bumalik tayo sa ating bayani mula sa unang desk: ipagpalagay na si Petya ay makapasok sa pagsusulit sa mas mataas na matematika kung pumasa siya sa kanyang term paper At ulat ng paksa. Isaalang-alang ang mga sumusunod na pahayag:
– Ipinasa ni Petya ang term paper;
- Pumasa si Petya sa pagsusulit.

Tandaan na, sa kaibahan ng mga salita "Ibibigay ni Petya bukas" Dito, sa anumang sandali ng oras, masasabi mo kung ito ay totoo o mali.

pahayag (the bottom line is that Petya is admitted to the exam) ay magiging totoo kung at kung nakapasa siya sa kursong papel At account para sa . Kung may hindi man lang naibigay (tingnan ang tatlong linya sa ibaba ng talahanayan), kung gayon ang pang-ugnay ay mali.

At napapanahon, isang mahusay na halimbawa sa matematika ang pumasok sa aking isipan: ang tanda ng sistema ay nag-uugnay sa mga equation / hindi pagkakapantay-pantay na kasama dito ayon lamang sa panuntunan AT. Kaya, halimbawa, pagsulat ng dalawang linear equation sa sistema nagpapahiwatig na kailangan nating hanapin ang GANITONG mga ugat (kung mayroon sila), na nagbibigay-kasiyahan din sa una At pangalawang equation.

Ang itinuturing na lohikal na operasyon ay umaabot sa mas malaking bilang ng mga pahayag. Relatibong pagsasalita, kung mayroong 5 equation sa system, kung gayon ang mga ugat nito ( kung mayroon sila) dapat din satisfy ang 1st At ika-2 At ika-3 At ika-4 At 5th equation ng system na ito.

At sa pagtatapos ng talata, muling bumaling tayo sa home-grown electrical engineering: ang conjunctive rule ay mahusay na modelo ng switch sa kuwarto at ang switch sa electrical panel sa pasukan (series connection). Isaalang-alang ang mga pahayag:

– nakabukas ang switch sa kwarto;

– nakabukas ang switch sa entrance.

Marahil, naunawaan na ng lahat na ang pang-ugnay ay binabasa sa pinaka natural na paraan:
– nakabukas ang switch sa kwarto At Ang switch sa pasukan ay naka-on.

Malinaw, kung at kung . Sa tatlong iba pang mga kaso (suriin kung alin) magbubukas ang circuit at mamamatay ang ilaw: .

Magdagdag tayo ng isa pang pahayag:
– ang switch sa substation ay nakabukas.

Katulad nito, ang pang-ugnay ay magiging totoo kung at kung lamang . Dito, sa pamamagitan ng paraan, magkakaroon na ng 7 magkakaibang mga pagpipilian para sa pagsira sa kadena.

3) Disjunction (lohikal na pagdaragdag ng mga pahayag)

Ang operasyong ito ay tumutugma sa lohikal na nag-uugnay O at simbolo

disjunction mga pahayag at tawag sa pahayag (basahin ang "a o maging"), na kung saan ay mali kung at kung ang parehong mga pahayag at ay mali:

Ipagpalagay natin na mayroong 2 tanong sa mas mataas na kard ng pagsusulit sa matematika at ang mag-aaral ay pumasa sa pagsusulit kung sumagot siya para sa kahit isa tanong. Isaalang-alang ang mga sumusunod na pahayag:
– Sinagot ni Peter ang unang tanong;
– Sinagot ni Petya ang 2nd question.

Ang disjunctive notation ay nagbabasa nang simple at malinaw: Sumagot si Petya sa 1st o 2nd tanong at nagpapahiwatig ng tatlong totoong resulta (tingnan ang talahanayan). Kasabay nito, hindi papasa si Peter sa pagsusulit sa tanging kaso - kung "i-screw up" niya ang parehong mga tanong:

Dapat pansinin na madalas nating nauunawaan ang unyon na "o" bilang "eksklusibo o", at, higit pa rito, madalas itong kailangang maunawaan bilang ganoon! Mula sa parehong parirala tungkol sa pagpasa sa pagsusulit, malamang na tapusin ng isang tao na sinagot lamang ni Petya ang 1st o ang 2nd tanong lamang. Gayunpaman, ang itinuturing na OR ay hindi isang philistine na "o".

Ang lohikal na pagpapatakbo ng karagdagan ay naaangkop din para sa tatlo o higit pang mga pahayag. Ilang tapat na guro ang nagtatanong ng 10-15 na tanong at naglalagay ng pagsusulit kung may alam man lang ang estudyante =) Sa madaling salita, itinatago ng lohikal na O ang link sa likod nito "para sa kahit isa"(at hindi ibig sabihin na ito ay STRICTLY one!).

Buweno, lumihis tayo sa kuryente ng sambahayan: ang karamihan sa mga site sa Internet ay matatagpuan sa mga propesyonal na server, na kadalasang binibigyan ng dalawang power supply. Sa electrical engineering, tinatawag itong parallel connection, na nagmomodelo lang ng OR rule - gumagana ang server kung gumagana ito kahit isa yunit ng kuryente. Ang kagamitan, sa pamamagitan ng paraan, ay sumusuporta sa "mainit" na kapalit, i.e. ang nasunog na PSU ay maaaring palitan nang hindi pinapatay ang server. Ang parehong kuwento na may mga hard drive - sila ay nadoble sa tinatawag na array ng RAID, at higit pa rito, ang Data Center mismo, kung saan matatagpuan ang mga server, ay karaniwang pinapagana ng dalawang independiyenteng linya ng kuryente + isang diesel generator kung sakali. Ang mga hakbang na ito ay nagbibigay-daan sa amin na magbigay ng maximum na oras ng paggana para sa mga site.

At dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga computer, sila ... ay batay sa mga itinuturing na lohikal na operasyon! Mukhang hindi kapani-paniwala, ngunit pag-isipan natin ito - ano ang "maiintindihan" ng mga "piraso ng bakal" sa pangkalahatan? At mauunawaan nila ang mga sumusunod:

may current sa wire lohikal na yunit;
ang wire ay de-energized lohikal na zero.

Ang katotohanang ito ang pangunahing sanhi ng katotohanan na ang pagsukat ng dami ng impormasyon ay batay sa kapangyarihan ng dalawa:
atbp.

Ang pinakasimpleng "computer" ay... isang simpleng switch - nag-iimbak ito ng impormasyon sa 1 bit (totoo o mali sa kahulugan sa itaas). Ang central processing unit ng isang modernong computer ay may daan-daang milyon (!) transistors, at ang pinaka-kumplikadong software, ang pinaka "fancy game" ay decomposed sa maraming mga zero at isa, na naproseso gamit ang elementarya lohikal na mga operasyon!

At ang susunod na dalawang operasyon na aming isasaalang-alang ay hindi independent, ibig sabihin, maipahayag ang mga ito sa pamamagitan ng negasyon, conjunction at disjunction:

Implikasyon at lohikal na kahihinatnan.
Kinakailangang kondisyon. Sapat na kondisyon

Masakit na pamilyar na mga pagliko: "samakatuwid", "ito ay sumusunod mula dito", "kung, kung gayon", atbp.

implikasyon mga pahayag (package) At (bunga) tinatawag nila ang isang pahayag na mali sa tanging kaso - kapag ito ay totoo, at - ay mali:

Ang pangunahing kahulugan ng operasyon ay (basahin at tingnan ang talahanayan mula sa itaas hanggang sa ibaba):

katotohanan lamang ang maaaring sumunod sa katotohanan at hindi makasunod sa kasinungalingan;

anumang bagay ay maaaring sundin mula sa isang kasinungalingan (dalawang linya sa ibaba), kung saan:

ang katotohanan ng premise ay sapat na kondisyon para sa katotohanan ng konklusyon,

at ang katotohanan ng konklusyon ay kinakailangang kondisyon para sa katotohanan ng premise.

Tingnan natin ang isang partikular na halimbawa:

Gumawa tayo ng implikasyon ng mga pahayag - umuulan At- basa sa labas:

Kung ang parehong mga pahayag ay totoo, kung gayon ang implikasyon ay siyempre totoo rin. – kung umuulan sa labas, basa sa labas. At the same time, hindi pwede umuulan noon, A tuyo sa labas :

Kung walang ulan, Iyon maaari itong tuyo sa labas :

sobrang basa :
(halimbawa, dahil sa katotohanan na ang niyebe ay natunaw).

At ngayon INIISIP NATIN ang mga salitang "naselyohang" na ito pangangailangan At kasapatan:

Ang ulan ay sapat isang kundisyon para ito ay basa sa labas, at sa kabilang banda, basa sa kalye kailangan para ipagpalagay na umuulan (dahil kung tuyo, tiyak na hindi umuulan).

Ang baligtad na implikasyon ay labag sa batas: - may basa pa rin sa kalye hindi sapat upang bigyang-katwiran ang katotohanan ng pag-ulan, at bukod pa, ang ulan ay hindi KINAKAILANGAN na sanhi ng kahalumigmigan (dahil, halimbawa, ang granizo ay maaaring dumaan at matunaw).

Tila malinaw, ngunit kung sakali, ilan pang mga halimbawa:

- Upang matutunan kung paano gawin mga operasyon ng matrix, kailangan makapagdagdag at makapag-multiply ng mga numero. Ngunit ito, tulad ng tama mong hulaan, hindi sapat.

– Upang matutunan kung paano gumawa ng aritmetika tama na makatapos ng 9 na klase. Ngunit ito ay hindi kundisyon kailangan- Maaari ring magturo ng pagbilang si Lola, at kahit sa kindergarten.

– Upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok tama na alamin ang gilid nito at ang taas na iginuhit sa gilid na iyon. Gayunpaman, muli, hindi ito pangangailangan, ang lugar ng isang tatsulok ay maaari ding matagpuan sa tatlong panig (Heron's formula) o, halimbawa, gamit ang produkto ng vector.

– Para sa pagpasok sa pagsusulit sa mas mataas na matematika Petya kailangan ulat sa coursework. Pero ito hindi sapat- dahil kailangan mo pang ipasa ang pagsubok.

- Upang ang buong grupo ay makatanggap ng kredito tama na magdala ng isang kahon ng cognac sa guro. At dito, dahil madaling ipagpalagay, wala pangangailangan to learn something =) Pero, pansinin mo, hindi naman bawal ang paghahanda;)

Mayroon bang mga kinakailangan at kasabay na sapat na mga kondisyon? tiyak! At malapit na tayong makarating sa kanila. At ngayon tungkol sa isang mahalagang prinsipyo ng mathematical logic:

Ang lohika ng matematika ay pormal

Interesado siya sa katotohanan o kamalian ng mga pahayag, ngunit hindi sa nilalaman nito.! Kaya, kung gumawa tayo ng isang implikasyon Kung ang mga pagong ay hindi lumipad, ang dalawang beses na dalawa ay katumbas ng apat., kung gayon ito ay magiging totoo! Sa madaling salita, ang anumang totoong pahayag ay maaaring bigyang-katwiran ng anumang katotohanan. (1st line ng table), at mula sa punto ng view ng pormal na lohika, ito ay magiging totoo!

Ngunit ang mas kawili-wiling ay ang sitwasyon na may maling mensahe: anumang kasinungalingan ay maaaring bigyang-katwiran ang anuman - parehong katotohanan at kasinungalingan:

– kung ang Buwan ay parisukat, kung gayon;
- kung ang mga penguin ay nagsusuot ng felt boots, ang mga pagong ay nagsusuot ng tsinelas.

At ano? Ayon sa talahanayan, ang parehong mga pahayag ay totoo!

Ang mga katotohanang ito ay tinatawag kabalintunaan ng implikasyon, ngunit sa katotohanan, siyempre, isinasaalang-alang namin ang mga halimbawang may katuturan mula sa punto ng view ng aming lohika ng nilalaman.

At isa pang napakahalagang punto: ang implikasyon ay madalas na ipinahiwatig ng isang icon (basahin din "samakatuwid", "sumusunod dito"), na ginagamit din namin sa kurso ng paglutas ng mga problema, pagpapatunay ng mga teorema, atbp. At dito Ito ay tungkol sa pagtutugma ng mga label.- kung ano ang ginagamit namin sa "ordinaryong" mathematical kalkulasyon, mahigpit na pagsasalita, ay hindi isang implikasyon. Ano ang pagkakaiba? Kapag nalutas namin ang isang problema at isinulat iyon ("mula sa isang sumusunod ay"), pagkatapos ay inilagay namin ang pahayag halatang totoo, at higit pa rito, hinuhusgahan natin mula rito ang isa pang katotohanan . Sa mathematical logic ito ay tinatawag lohikal na kahihinatnan. Karaniwan, ang kinahinatnan ay napapailalim sa pagbibigay-katwiran, at samakatuwid, kapag naghahanda ng mga papeles, palaging subukang ipaliwanag kung aling mga axiom, theorems, nalutas na mga problema, atbp. ginamit mo para dito o sa output na iyon.

Ang teorama, sa kakanyahan nito, ay isa ring lohikal na kahihinatnan: ang kondisyon nito ay batay sa totoo mga parsela (mga axiom, dati nang napatunayang theorems, atbp.). Ang patunay ay nagtatatag ng katotohanan ng kahihinatnan, at sa prosesong ito ay hindi magagamit ang maling pangangatwiran.

Ang unproved theorem ay tinatawag hypothesis, at mayroong dalawang pagpipilian: maaaring i-deduce nito ang katotohanan mula sa katotohanan at isang teorama, o ang hypothesis ay hindi tama, i.e. mula sa maraming totoong pagpapadala sumusunod sa "hindi":. Sa kaso ng isang pagtanggi, ang isang maliit na konklusyon ay nakuha tulad ng " Ang hypothesis ni Ivan Petrov ay hindi tama", ngunit ito rin ay may malaking halaga - maglakas-loob, mahal na mga mambabasa!

Isaalang-alang bilang isang halimbawa, siyempre, hindi isang mega-theorem, ngunit isang pahayag na nangangailangan ng katwiran, kahit na simple. Kahit na hindi magiging =) =):

- ang numero ay nahahati sa 4;
- ang numero ay nahahati sa 2.

Ito ay malinaw na ang kahihinatnan totoo, iyon ay, mula sa katotohanan na ang numero ay nahahati sa 4, ang divisibility nito sa pamamagitan ng 2 ay sumusunod. At, nang naaayon, ang kabaligtaran na konklusyon ay isang kasinungalingan:

Kasabay nito, muli kong iginuhit ang iyong pansin sa katotohanan na ang premise ay una nang ipinostula bilang totoo (kumpara sa implikasyon, kung saan maaari itong maging mali).

Para sa mga lohikal na kahihinatnan din sa kurso ng konsepto kailangan At kasapatan, kopyahin ang ilang linya mula sa itaas:

ang katotohanan ng mensahe ay sapat na kondisyon para sa katotohanan ng konklusyon,

ang katotohanan ng konklusyon ay kinakailangang kondisyon para sa katotohanan ng premise.

Sa kaso natin:

Ang divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 4 ay sapat kundisyon para ito ay mahahati ng 2. At sa kabilang banda, ang divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 2 ay kailangan divisibility ng 4.

Dapat tandaan na ang itinuturing na halimbawa ay maaari ding isulat bilang isang implikasyon:
(gamit ang talahanayan, pag-aralan ang lahat ng mga layout sa iyong sarili)

Gayunpaman sa pangkalahatang kaso, ang "paglipat ng mga konsepto" ay hindi tama! Ibig sabihin, kung iyan ang pinag-uusapan, hindi ibig sabihin na magiging wasto ang implikasyon. At magbibigay ako ng gayong halimbawa sa huling talata. at dapat pumasa sa 3 pagsusulit (kung hindi man ay hindi ibibigay ang session) at kasabay nito tama na (dahil walang ibang kailangang gawin).

Ang kakaiba ng equivalence ay mayroong alinman pareho, o Wala, Halimbawa:

Si Petya ay gumagawa ng barbell kung at kung si Masha ay sumasayaw sa mesa

Nangangahulugan ito na si Petya ang gumagawa ng barbell at si Masha ay sumasayaw sa mesa, o pareho silang nakahiga sa sopa Peter, karapat-dapat ka! =) Ganyan palakaibigang Petya at Masha. Ngayon ay isang tila katulad na parirala na walang "noon at pagkatapos lamang":

Si Petya ay gumagawa ng barbell nang si Masha ay sumasayaw sa mesa

Ngunit medyo nagbago ang kahulugan: dito maaari nating ipagpalagay na kung minsan ay hinihila ni Petya ang bar nang walang Masha, at sa kabilang banda, si Masha ay "walang pakialam" kung si Petya ay umindayog sa kanyang sayaw.

Ito ang lakas ng kinakailangan at sapat na kondisyon! - ito ay nagkakaisa at nagdidisiplina =)

... I wanted to distribute the roles on the contrary for fun, but then I changed my mind ... kung tutuusin, hindi ito ma-promote =)

Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa disiplina - ang isang makatwirang diskarte ay ipinapalagay lamang ang pangangailangan at kasapatan - kapag ang isang tao ay gumagawa ng eksakto hangga't kinakailangan upang makamit ang anumang layunin, at wala na. Ito, siyempre, ay nakakabagot sa ordinaryong buhay, ngunit tinatanggap sa lahat ng posibleng paraan sa pangangatwiran sa matematika, na hinihintay na natin:

Ang isang tatsulok ay equilateral kung at kung ito ay may pantay na mga anggulo

mga kasabihan - equilateral triangle At - may pantay na anggulo ay maaaring maiugnay sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay, ngunit sa pagsasanay ay halos palaging ikinonekta natin ang mga ito sa isang double-edged sign Ang lohikal na kahihinatnan ay tinatawag na hypotenuse

Ang puntong ito ay talagang ang Pythagorean theorem, ang pormulasyon na pamilyar sa atin mula sa paaralan: "Kung ang tatsulok ay right-angled, kung gayon".

2) Sa ikalawang hakbang, ito ay makatwiran kasapatan:
- dito ito ay kinakailangan upang patunayan na ang bisa ng pagkakapantay-pantay sapat upang gawing tama ang tatsulok.

Muli, ang mga mag-aaral ay hindi natatakot sa mga naturang salita, at ang pangalawang punto ay nabuo sa anyo ng inverse Pythagorean theorem: "Kung, kung gayon ang tatsulok ay right-angled."

Mayroong maraming "kung at pagkatapos lamang" na mga koneksyon sa matematika, at nagbigay ako ng isang karaniwang pamamaraan para sa pagpapatunay sa kanila. At, siyempre, palaging pag-aralan kung ano "kailangan"

Hinihintay kita sa ikalawang bahagi ng ating kapana-panabik na aralin, kung saan makikilala natin ang pangunahing mga lohikal na pormula at batas at lutasin ang mga praktikal na problema. Upang malutas ang mga problema, kakailanganin mo ng limang tablet mula sa pahinang ito, kaya inirerekumenda ko kaagad na muling isulat ang mga ito sa isang piraso ng papel - upang ang mga ito ay nasa harap ng iyong mga mata.

Bilang karagdagan, ibubunyag ko sa iyo ang sikreto ng isang matagumpay na pag-aaral ng lohika ng matematika;)

modernong matematikal na modelo ng pormal na lohika bilang isang agham ng tamang pangangatwiran. Ayon sa angkop na pagpapahayag ng lohikal na Ruso na si Poretsky, ang lohika ng matematika ay ang kakanyahan ng lohika sa paksa at matematika - sa mga tuntunin ng paraan ng paglutas ng mga problema ng isang tao. Ang sistematikong pag-unlad ng lohika ng matematika ay nagsimula sa gawain ni Bolzano, Frege, Russell, at Wittgenstein. Ang kakanyahan ng lohika na ito ay ang pagsasaalang-alang ng karamihan sa mga lohikal na kategorya (konsepto, panaguri, paghatol, hinuha, konklusyon, patunay) bilang mga lohikal na pag-andar na ang saklaw ay mga halaga ng katotohanan. Paano binibigyang-kahulugan ang mga lohikal na pag-andar at lahat ng mga lohikal na operator (ang mga terminong "Lahat", "Umiiral", "Ilan", "Isa", "Wala", "at", "o", "kung, kung gayon", "magkapareho", "posible ", "kailangan", atbp., atbp.). Ang lahat ng mga lohikal na function ay tinukoy, sa huli, sa isang tabular na paraan gamit ang lahat ng posibleng kumbinasyon ng inilagay na bilang ng mga halaga ng katotohanan sa "input" at "output" ng mga function na ito. Kaya, halimbawa, ang lohikal na relasyon na "kung, kung gayon ..." ay na-modelo gamit ang function =), na tinatawag na materyal na implikasyon.

Mahusay na Kahulugan

Hindi kumpletong kahulugan ↓

MATHEMATICAL LOGIC

lohika, na binuo sa isang eksaktong agham na gumagamit ng matematika. pamamaraan, o, ayon kay P. S. Poretsky, lohika ayon sa paksa, matematika sa pamamagitan ng mga pamamaraan. Ang ideya ng pagtatayo ng M. l. ay unang ipinahayag ni Leibniz. Ngunit noong ika-19 na siglo lamang. sa Op. Ang "Mathematical Analysis of Logic" ni Boole (G. Boole, "The mathematical analysis of logic", 1847) ay nagsimula sa sistematikong pag-unlad ng agham na ito. mga solusyon kung saan ang mga lumang paraan ng klasikal na pormal na lohika ay hindi angkop. Isa sa mga problemang ito ay ang problema ng hindi mapatunayan ng ika-5 postulate ni Euclid sa geometry. Ang problemang ito ay konektado sa axiomatic method, na siyang pinakakaraniwang paraan ng lohikal na sistematisasyon ng matematika. Nangangailangan ito ng eksaktong pagbabalangkas ng basic, na tinatanggap nang walang patunay ng mga probisyon ng binuong teorya - ang tinatawag na axiom, kung saan ang lahat ng karagdagang nilalaman nito ay lohikal na hinuhusgahan. "Ang klasikal na prototype ng naturang konstruksiyon ng isang matematikal na teorya ay ang Euclidean na konstruksyon ng geometry. Kaugnay ng anumang axiomatic theory, isang bilang ng mga lohikal na problema ay natural na lumitaw Sa partikular, lumitaw ang problema ng lohikal na kalayaan ng mga axiom ng isang ibinigay na teorya, na binubuo sa pagtatatag na wala sa mga axiom ng teorya ang maaaring lohikal na mahihinuha mula sa iba pang mga axiom. Para sa Euclidean geometry para sa dalawang millennia, ang tanong ng lohikal. kalayaan ng ika-5 postulate ng Euclid. Maraming mga walang saysay na pagtatangka ang ginawa upang ihinuha ito mula sa iba pang mga axiom ng Euclidean geometry, hanggang, sa wakas, sa mga gawa ni N. I. Lobachevsky, sa unang pagkakataon, ang paniniwala ay tahasang ipinahayag sa imposibilidad ng naturang konklusyon. Ang paniniwalang ito ay pinalakas ng pagtatayo ni Lobachevskii ng isang bagong geometry, na lubhang naiiba sa Euclidean. Sa geometry ng Lobachevsky, maingat na binuo ng lumikha nito, walang mga kontradiksyon ang natagpuan; ito inspiradong kumpiyansa na ang mga kontradiksyon ay hindi maaaring lumitaw sa lahat, gaano man kalayo ang derivation ng mga kahihinatnan mula sa axioms ng bagong geometry ay naisulong. Kasunod nito, Aleman pinatunayan ng mathematician na si F. Klein na ang mga kontradiksyon ay hindi maaaring lumitaw sa Lobachevsky geometry kung hindi sila maaaring lumabas sa Euclidean geometry (tingnan ang Axiomatic Method). Kaya't lumitaw at bahagyang nalutas sa kasaysayan ang mga unang problema ng "hindi mapapatunayan" at pagkakapare-pareho sa axiomatic. mga teorya. Ang eksaktong pagbabalangkas ng naturang mga problema, ang kanilang pagsasaalang-alang bilang mga problema sa matematika, ay nangangailangan ng pagpipino ng konsepto ng patunay. Kahit anong mathematical ang patunay ay binubuo sa pare-parehong aplikasyon ng ilang lohikal. mga pondo sa panimulang posisyon. Ngunit lohikal. ibig sabihin ay hindi isang bagay na ganap, naayos minsan at para sa lahat. Sila ay binuo ng mga siglo ng kasanayan ng tao; "... ang praktikal na aktibidad ng tao bilyun-bilyong beses ay kailangang humantong sa kamalayan ng tao sa pag-uulit ng iba't ibang lohikal na figure, upang ang mga figure na ito ay makatanggap ng halaga ng isang axiom" (Lenin V.I., Soch., 38, pp. 181–82). Ang kasanayan ng tao ay, gayunpaman, sa bawat kasaysayan limitadong yugto, at ang dami nito ay lumalaki sa lahat ng oras. Lohika nangangahulugan na ang kasiya-siyang sinasalamin ang pag-iisip ng tao sa isang partikular na yugto o sa isang partikular na lugar ay maaaring hindi na angkop para sa bakas. entablado o sa ibang mga lugar. Pagkatapos, depende sa pagbabago sa nilalaman ng paksang isinasaalang-alang, ang paraan ng pagsasaalang-alang nito ay nagbabago din - nagbabago ang mga lohikal. mga pasilidad. Nalalapat ito lalo na sa matematika, kasama ang mga abstraction na may malawak na antas. Walang kabuluhan na pag-usapan ang tungkol sa lohika dito. nangangahulugang tungkol sa isang bagay na ibinigay sa kabuuan nito, bilang tungkol sa isang bagay na ganap. Ngunit makatuwirang isaalang-alang ang lohikal. ibig sabihin ay ginagamit sa pareho o ibang partikular na setting na nakatagpo sa matematika. Ang kanilang pagtatatag para sa k.-l. axiomatic teorya at bumubuo ng nais na pagpipino ng konsepto ng patunay para sa teoryang ito. Ang kahalagahan ng refinement na ito para sa pag-unlad ng matematika ay naging partikular na malinaw sa kamakailang mga panahon. Sa pagbuo ng set theory, ang mga siyentipiko ay nakatagpo ng isang bilang ng mga mahihirap na problema, sa partikular, sa problema ng kapangyarihan ng continuum, na iniharap ni G. Kantor (1883), na hanggang 1939 ay hindi natagpuan na kasiya-siya. lumalapit. Sinabi ni Dr. mga problemang matigas ang ulo lumalaban solusyon natugunan sa naglalarawang teorya ng mga set na binuo ni Sov. mga mathematician. Unti-unting naging malinaw na ang kahirapan ng mga problemang ito ay lohikal, na ito ay nauugnay sa hindi kumpletong pagkakakilanlan ng inilapat na lohika. ibig sabihin at axioms at na ang mga pagkakaisa. ang paraan upang mapagtagumpayan ito ay upang linawin ang pareho. Ito ay naging, samakatuwid, na ang solusyon sa mga problemang ito ay nangangailangan ng paglahok ng ML, na, samakatuwid, ay isang agham na kinakailangan para sa pagbuo ng matematika. Sa ngayon ang panahon ng pag-asa na naka-pin sa M. l. kaugnay ng mga problemang ito, nabigyang-katwiran na ang kanilang mga sarili. Sa pagsasaalang-alang sa problema sa continuum, isang napaka makabuluhang resulta ang nakuha ni K. Gödel (1939), na nagpatunay ng pagkakapare-pareho ng pangkalahatang continuum hypothesis ng Cantor sa mga axiom ng set theory, sa kondisyon na ang mga huli ay pare-pareho. Tungkol sa isang bilang ng mga mahihirap na problema sa descriptive set theory, ang mahahalagang resulta ay nakuha ni P. S. Novikov (1951). Paglilinaw ng mga konsepto ng patunay sa axiomatic. ang teorya ay isang mahalagang yugto sa pag-unlad nito. Ang mga teoryang dumaan sa yugtong ito, i.e. axiomatic mga teoryang may itinatag na lohikal. ibig sabihin, ay tinatawag na deduktibo at sa n at teoriya m at. Para lamang sa kanila ang mga problema ng provability at consistency sa axiomatic na interesado sa mga mathematician ay nagpapahintulot sa isang eksaktong pagbabalangkas. mga teorya. Upang malutas ang mga problemang ito sa modernong M. l. ginagamit ang paraan ng pormalisasyon ng ebidensya. Ang ideya ng paraan ng pormalisasyon ng patunay ay pag-aari niya. matematiko D. Hilbert. Ang pagsasagawa ng ideyang ito ay naging posible salamat sa nakaraang pag-unlad ng M. l. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano at iba pa. Sa panahon, ang paraan ng proof formalization ay isang makapangyarihang tool sa pananaliksik sa mga problema ng pagpapatibay ng matematika. Ang aplikasyon ng paraan ng pormalisasyon ay karaniwang nauugnay sa paglalaan ng lohikal. bahagi ng itinuturing na teoryang deduktibo. Ang lohikal na ito isang bahagi, na, tulad ng buong teorya, ay hugis sa anyo ng isang tiyak na calculus, i.e. ang isang sistema ng mga pormal na axiom at mga tuntunin ng pormal na hinuha ay maaaring ituring bilang isang malayang kabuuan. Ang pinakasimpleng lohikal Ang calculus ay propositional calculus, classical at constructive. Ang pormal na pagkakaiba sa pagitan ng dalawang propositional calculi ay sumasalamin sa isang malalim na pagkakaiba sa kanilang mga interpretasyon tungkol sa kahulugan ng mga propositional variable at lohikal. connectives (tingnan ang Intuitionism, Calculus of Problems, Propositional Logic). Ang pinaka-tinatanggap na ginagamit sa pagbuo ng deductive mathematical. ang mga teorya ay naroroon. klasikong panahon. predicate calculus, na isang pag-unlad at pagpipino ng klasiko. Ang teorya ng paghatol ni Aristotle at kasabay nito ang kaukulang set-theoretic. sistema ng abstraction. Ang constructive predicate calculus ay kabilang sa classical. predicate calculus sa parehong paraan tulad ng constructive propositional calculus sa classical. propositional calculus. Ang pinakamahalaga sa mga pagkakaiba sa pagitan ng dalawang predicate calculi na ito ay may kinalaman sa kanilang interpretasyon ng partikular o eksistensyal na mga paghatol. Habang nasa constructive predicate calculus, ang mga naturang paghatol ay binibigyang kahulugan bilang mga pahayag tungkol sa posibilidad ng pagtukoy. mga istruktura at itinuturing na itinatag lamang kapag ang mga istrukturang ito ay ipinahiwatig, sa klasiko. Sa predicate calculus, ang mga eksistensyal na proposisyon ay karaniwang itinuturing na hiwalay sa mga nakabubuo na posibilidad bilang ilang uri ng "dalisay" na mga pahayag tungkol sa pag-iral (cf. nakabubuo na direksyon). Ang isang mas kasiya-siyang interpretasyon ng mga umiiral na paghatol ay klasikal. calculus ng panaguri, na nag-uugnay sa kahulugan. Sa katulad na paraan, ang calculus na ito na may constructive predicate calculus ay natuklasan ni A. N. Kolmogorov noong 1925. Sa matematika, lohikal. Ang calculus ay inilapat sa kumbinasyon ng tiyak. axioms ng deployable deductive theories. Halimbawa, ang teorya ng natural na mga numero ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga axiom ng Peano para sa arithmetic sa predicate calculus (classical o constructive). Ang lohikal na unyon na ginamit sa kasong ito. ang simbolismo na may matematikal ay hindi lamang nagpapahintulot sa iyo na gumuhit ng matematika. teorya sa anyo ng calculus, ngunit maaari ding maging susi sa paglilinaw ng kahulugan ng matematika. mga alok. Sa ngayon oras ng kuwago. Ang mathematician na si N. A. Shanin ay bumuo ng eksaktong mga panuntunan para sa nakabubuo na interpretasyon ng matematika. mga paghatol na sumasaklaw sa malawak na larangan ng matematika. Ang paglalapat ng mga tuntuning ito ay magiging posible lamang pagkatapos na maisulat ang pinag-uusapang paghatol sa isang naaangkop na tumpak na lohikal-matematikong wika. wika. Bilang resulta ng aplikasyon ng mga alituntunin ng interpretasyon, ang isang nakabubuo na gawain na nauugnay sa paghatol na ito ay maaaring ibunyag. Gayunpaman, hindi ito palaging nangyayari: hindi sa bawat matematiko. ang isang panukala ay kinakailangang nauugnay sa isang nakabubuo na gawain. Ang mga sumusunod na konsepto at ideya ay nauugnay sa calculus. Ang isang calculus ay sinasabing pare-pareho kung walang pormula ng anyong U ang makukuha rito kasama ng pormula U (kung saan mayroong negation sign). Ang problema sa pagtatatag ng pagkakapare-pareho ng calculus na ginamit sa matematika ay isa sa Ch. mga gawain M. l. Sa ngayon oras na ang problemang ito ay nalutas lamang sa isang limitadong oras. dami. Iba't ibang ginagamit. mga konsepto ng pagkakumpleto ng calculus. Isinasaisip ang saklaw ng isa o isa pang makabuluhang tinukoy na lugar ng matematika, ang isang calculus ay itinuturing na kumpleto na may kinalaman sa lugar na ito kung anumang pormula na nagpapahayag ng isang tunay na pahayag mula sa lugar na ito ay maaaring makuha dito. Ang isa pang ideya ng pagiging kumpleto ng isang calculus ay nauugnay sa pangangailangang magbigay ng alinman sa isang patunay o isang pagtanggi para sa anumang panukalang nabuo sa calculus. Ang pinakamahalagang kahalagahan kaugnay ng mga konseptong ito ay ang Gödel-Rosser theorem, na iginigiit ang hindi pagkakatugma ng kinakailangan sa pagkakumpleto sa mga kinakailangan sa pagkakapare-pareho para sa isang napakalawak na klase ng calculi. Ayon sa Gödel-Rosser theorem, walang pare-parehong calculus mula sa klase na ito ang maaaring maging kumpleto patungkol sa arithmetic: para sa anumang ganoong calculus, ang isang tamang aritmetika ay maaaring mabuo. isang pahayag na pormal ngunit hindi maaaring makuha sa calculus na ito (cf. Metateorya). Ang teorama na ito, nang hindi binabawasan ang halaga ng M. l. bilang isang makapangyarihang kasangkapan sa pag-oorganisa sa agham, sa panimula ay pumapatay ng mga pag-asa para sa disiplinang ito bilang isang bagay na may kakayahang makamit ang unibersal na saklaw ng matematika sa loob ng balangkas ng isang deduktibong teorya. Ang ganitong pag-asa ay ipinahayag ng marami. mga siyentipiko, kabilang si Hilbert - ang pangunahing kinatawan ng pormalismo sa matematika - isang direksyon na sinubukang bawasan ang lahat ng matematika sa mga manipulasyon na may mga formula ayon sa tiyak na minsan at para sa lahat ng itinatag na mga patakaran. Ang resulta nina Gödel at Rosser ay nagdulot ng matinding suntok sa direksyong ito. Sa bisa ng kanilang teorama, kahit na ang medyo elementarya na bahagi ng matematika gaya ng aritmetika ng mga natural na numero ay hindi maaaring saklawin ng isang teoryang deduktibo. M. l. organikong konektado sa cybernetics, partikular sa teorya ng relay-contact circuits at automata, machine mathematics at mathematical linguistics. Mga Aplikasyon M. l. sa relay-contact circuit ay batay sa katotohanan na ang anumang two-pole relay-contact circuit sa susunod. sa kahulugan ng pagmomodelo ng isang tiyak na formula U classical. propositional calculus. Kung ang circuit ay kinokontrol ng n relay, kung gayon ang U ay naglalaman ng parehong bilang ng iba't ibang proposisyonal na mga variable, at kung tinukoy natin sa pamamagitan ng bi ang proposisyon na "Relay number na nagtrabaho ako", ang circuit ay isasara kung at kung ang resulta ng pagpapalit ng mga proposisyon b1, ... , bn sa halip na ang mga katumbas na lohikal. mga variable sa U. Ang pagtatayo ng tulad ng isang simulate na formula na naglalarawan sa "mga kondisyon sa pagtatrabaho" ng circuit ay lumalabas na mas simple para sa tinatawag na. ?-scheme, nakuha batay sa elementarya na single-contact circuit sa pamamagitan ng parallel at serial connections. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang parallel at series na koneksyon ng circuits ay modelo, ayon sa pagkakabanggit, disjunction at conjunction ng mga hatol. Sa katunayan, ang isang circuit na nakuha sa pamamagitan ng parallel (serye) na koneksyon ng mga circuit C1 at C2 ay sarado kung at tanging kung ang circuit C1 ay sarado o (at) ang circuit C2 ay sarado. Ang aplikasyon ng propositional calculus sa mga relay circuit ay nagbukas ng isang mabungang diskarte sa mahahalagang problema sa modernong panahon. teknolohiya. Kasabay nito, ang koneksyon sa pagitan ng teorya at kasanayan ay humantong sa pagbabalangkas at bahagyang solusyon ng marami bago at mahirap na mga problema ng M. l., bukod sa kung saan, una sa lahat, ang tinatawag na. ang problema ng minimization, na binubuo sa paghahanap ng mga epektibong pamamaraan para sa paghahanap ng pinakasimpleng formula na katumbas ng isang ibinigay na formula. Ang mga relay-contact circuit ay isang espesyal na kaso ng mga control circuit na ginagamit sa modernong. mga awtomatikong makina. Kontrolin ang mga circuit ng iba pang mga uri, sa partikular, mga circuit mula sa mga vacuum tube o mga elemento ng semiconductor, na may mas praktikal. halaga, ay maaari ding mabuo sa tulong ng M. l., na nagbibigay ng sapat na paraan para sa parehong pagsusuri at synthesis ng naturang mga scheme. Wika M. l. naging angkop din sa teorya ng programming, na nilikha sa kasalukuyan. oras na may kaugnayan sa pag-unlad ng matematika ng makina. Sa wakas, nilikha sa M. l. ang apparatus ng calculus ay naging applicable sa mathematical linguistics, na nag-aaral ng wika ng matematika. paraan. Isa sa mga pangunahing Ang problema ng agham na ito ay ang eksaktong pagbabalangkas ng mga tuntunin ng gramatika ng wikang pinag-uusapan, i.e. isang tumpak na kahulugan ng kung ano ang dapat na maunawaan ng "wastong gramatika na parirala ng wikang ito". Gaya ng ipinakita ni Amer. scientist Chomsky, mayroong lahat ng dahilan upang maghanap ng solusyon sa problemang ito sa sumusunod na anyo: ang isang tiyak na calculus ay binuo, at ang mga expression na binubuo ng mga character ng alpabeto ng isang partikular na wika at deduced sa calculus na ito ay idineklara na grammatically tamang mga parirala. Ang trabaho sa direksyon na ito ay nagpapatuloy. Tingnan din ang Algebra ng logic, Constructive logic, Combinatorial logic, Logic ng mga klase, Logical calculus, Modal logic, at lit. kasama ang mga artikulong ito. A. Markov. Moscow.

Isa sa mga pangalan ng modernong lohika, na dumating sa pangalawa. sahig. 19 maaga ika-20 siglo sa halip na tradisyonal na lohika. Ang terminong simbolikong lohika ay ginagamit din bilang isa pang pangalan para sa modernong yugto sa pag-unlad ng agham ng lohika. Kahulugan…… Philosophical Encyclopedia

lohika ng matematika- SYMBOLIC LOGIC, matematikal na lohika, teoretikal na lohika, ang lugar ng lohika kung saan ang mga lohikal na konklusyon ay sinisiyasat sa pamamagitan ng lohikal na calculus batay sa isang mahigpit na simbolikong wika. Ang terminong L. Kasama." ay, tila, ang unang pagkakataon ... ... Encyclopedia of Epistemology at Philosophy of Science

MATHEMATICAL LOGIC- Tinatawag din itong simbolikong lohika. M. l. ito ang parehong Aristotelian syllogistic logic, ngunit ang masalimuot na pandiwang konklusyon lamang ang pinapalitan dito ng mga simbolo ng matematika. Nakamit nito, una, ang kaiklian, pangalawa, ang kalinawan, sa ... ... Encyclopedia ng pag-aaral sa kultura

MATHEMATICAL LOGIC- MATHEMATICAL logic, deductive logic, gamit ang mathematical na pamamaraan para sa pag-aaral ng mga paraan ng pangangatwiran (konklusyon); matematikal na teorya ng deduktibong paraan ng pangangatwiran ... Modern Encyclopedia

MATHEMATICAL LOGIC- deductive logic, kabilang ang mga pamamaraan ng matematika para sa pag-aaral ng mga pamamaraan ng pangangatwiran (konklusyon); teoryang matematikal ng mga pamamaraang deduktibong pangangatwiran. Ang lohika ng matematika ay tinatawag ding lohika na ginagamit sa matematika ... Malaking Encyclopedic Dictionary

MATHEMATICAL LOGIC- (symbolic logic), analytical section ng logic, ang resulta ng paglalapat ng mathematical method sa mga problema ng classical logic. Isinasaalang-alang ang mga konsepto na maaaring totoo o mali, ang kaugnayan sa pagitan ng mga konsepto at ang pagpapatakbo ng mga ito, kabilang ang ... ... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo

MATHEMATICAL LOGIC- isa sa mga nangungunang seksyon ng modernong lohika at matematika. Nabuo noong 1920 Art. bilang isang pagsasakatuparan ng ideya ng posibilidad na isulat ang lahat ng mga paunang pagpapalagay sa wika ng mga palatandaan na katulad ng mga matematika at sa gayon ay pinapalitan ang pangangatwiran ng mga kalkulasyon. ... ... Ang pinakabagong pilosopikal na diksyunaryo

lohika ng matematika- pangngalan, bilang ng mga kasingkahulugan: 1 logistik (9) diksyunaryo ng kasingkahulugan ng ASIS. V.N. Trishin. 2013... diksyunaryo ng kasingkahulugan

lohika ng matematika- - Mga paksa sa telekomunikasyon, mga pangunahing konsepto ng EN mathematical logic ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

MATHEMATICAL LOGIC- teoretikal na lohika, simbolikong lohika, isang sangay ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng matematika. mga patunay at tanong ng mga pundasyon ng matematika. Sanaysay sa kasaysayan. Ang ideya ng pagbuo ng isang unibersal na wika para sa lahat ng matematika at pormalisasyon batay sa ... ... Mathematical Encyclopedia

Mga libro

• Logic ng matematika, Ershov Yuri Leonidovich, Palyutin Evgeny Andreevich. Binabalangkas ng aklat ang pangunahing klasikal na calculus ng mathematical logic: ang propositional calculus at ang predicate calculus; mayroong isang buod ng mga pangunahing konsepto ng set theory at theory ... Bumili ng 1447 UAH (Ukraine lamang)
• Logic ng matematika, YL Ershov. Binabalangkas ng aklat ang pangunahing klasikal na calculus ng mathematical logic: propositional calculus at predicate calculus; mayroong buod ng mga pangunahing konsepto ng set theory at theory ...

Ang lohika ng matematika, tulad ng klasikal na lohika, ay nagsasaliksik sa mga proseso ng hinuha at nagbibigay-daan sa isa na gumawa ng mga konklusyon mula sa katotohanan ng ilang mga paghatol tungkol sa katotohanan o kamalian ng iba, anuman ang kanilang partikular na nilalaman. Ang paggamit ng mga pamamaraan ng matematika sa lohika (algebraization ng lohika at ang pagbuo ng lohikal na calculi) ay nagbunga ng pag-unlad ng isang bagong lugar ng matematika na tinatawag na "Mathematical Logic". Ang pangunahing gawain ng lohika ng matematika ay ang pormalisasyon ng kaalaman at pangangatwiran. Ang matematika ay isang agham kung saan ang lahat ng mga pahayag ay napatunayan sa tulong ng mga hinuha, kaya ang lohika ng matematika, sa esensya, ay ang agham ng matematika.

Ang lohika ng matematika ay nagbigay ng paraan para sa pagbuo ng mga lohikal na teorya at ang computing apparatus para sa paglutas ng mga problema. Ang lohika ng matematika at ang teorya ng mga algorithm ay nakahanap ng malawak na aplikasyon sa iba't ibang larangan ng siyentipikong pananaliksik at teknolohiya (halimbawa, sa teorya ng automata, sa linguistics, sa teorya ng relay-contact circuits, sa pananaliksik sa ekonomiya, sa teknolohiya ng computer, sa mga sistema ng impormasyon, atbp.). Ang mga pangunahing konsepto ng mathematical logic ay sumasailalim sa mga aplikasyon nito tulad ng mga database, expert system, at logic programming system. Ang parehong mga konsepto ay naging metodolohikal na batayan para sa paglalarawan ng pagsusuri at pagmomodelo ng automated integrated production.

Ang mga tanong na pinag-aralan ng matematikal na lohika ay maaaring isaalang-alang kapwa sa pamamagitan ng teoryang semantiko (semantiko), na nakabatay sa konsepto ng algebra, at ng pormal na teorya ng axiomatic (syntactic), batay sa konsepto ng logical calculus. Sinusuri ng kursong ito ang dalawa sa mga approach na ito, simula sa propositional algebra, na kung saan ay pangkalahatan sa predicate algebra, at pareho sa mga ito ay nagsisilbi upang maunawaan ang pagbuo ng logical calculi at ang kanilang mga espesyal na kaso: propositional calculus at predicate calculus.

Seksyon I. Propositional Algebra

Ang propositional algebra ay maaaring isipin bilang isang pagsasalin sa isa pang (algebraic) na wika ng mga resultang natutunan sa seksyong "Boolean Functions" gamit ang functional na wika. Gamit ang functional na diskarte, ang bawat isa sa mga lohikal na operasyon at formula ay nauugnay sa isang tiyak na may dalawang halaga na function. Sa algebraic na diskarte, ang mga lohikal na operasyon ay binibigyang kahulugan bilang algebraic, na kumikilos sa isang hanay ng dalawang elemento.

1. Mga pahayag at operasyon sa mga ito. Mga pormula

kasabihan anumang pahayag ay tinatawag, tungkol sa kung saan posible na sabihin nang tiyak at obhetibo kung ito ay totoo o mali.

Halimbawa, ang pahayag na "2 > 0" ay isang pahayag at totoo, at ang pahayag na "2< 0" - ложно, утверждение "x 2 + y 2 = z 2 " высказыванием не является, так как оно может быть, как истинным, так и ложным при различных значениях переменных x, y, z. Высказывание полностью определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng simple at kumplikadong mga pahayag, ang isang pahayag ay tinatawag na simple kung walang bahagi nito ay isang pahayag. Ang mga simpleng pahayag ay ilalarawan ng mga inisyal na malalaking titik ng alpabetong Latin na A, B, C o A 1 , A 2 , . . .. Ang mga compound na pahayag ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na sila ay nabuo mula sa ilang mga simpleng pahayag sa tulong ng mga lohikal na operasyon, i.e. ay mga formula ng propositional algebra.

Alalahanin na ang isang algebraic na istraktura o algebra ay isang istraktura na nabuo ng isang tiyak na hanay kasama ang mga operasyong ipinakilala dito. Tukuyin natin ang algebra ng mga proposisyon.

Tukuyin sa pamamagitan ng B = (0, 1) ay ang hanay ng mga pahayag. Tinutukoy namin ang mga operasyon sa set B .

Pagtanggi Ang pahayag A ay tinatawag na isang pahayag na nagsusuri sa totoo kung ang A ay mali, at kabaliktaran. Ang negation ay denoted (A) at isang unary operation.

Hayaang maging ilang pahayag ang A at B, ipinakilala namin ang mga binary operation sa mga ito.

pang-ugnay Ang mga pahayag na A at B ay tinatawag na isang pahayag na kumukuha ng halaga na totoo kung at tanging kung ang parehong mga pahayag A at B ay totoo. Ang pang-ugnay ay tinutukoy - A B (AB).

disjunction Ang mga pahayag na A at B ay tinatawag na isang pahayag na kumukuha ng halaga na totoo kung ang hindi bababa sa isa sa mga pahayag na A o B ay totoo. Ang disjunction ay tinutukoy - A b.

implikasyon Ang mga pahayag na A at B ay tinatawag na isang pahayag na nagsusuri sa mali kung at kung ang A ay tama at ang B ay mali. Tinutukoy bilang AB.

Pagkakapantay-pantay ng mga pahayag na A at B ay tinatawag na isang pahayag na nagsusuri sa totoo kung at tanging kung ang mga pahayag A at B ay may parehong halaga. Pagtatalaga ng operasyon - АВ (АВ).

Ang mga lohikal na operasyon ay tinukoy din gamit ang mga talahanayan na tinatawag mga talahanayan ng katotohanan . Nagpapakita kami ng talahanayan ng buod ng katotohanan para sa lahat ng ipinakilalang lohikal na operasyon.

Propositional (propositional) variable Ang isang variable na ang mga halaga ay simpleng mga proposisyon ay tinatawag. Tukuyin ang mga propositional variable sa pamamagitan ng X 1 , X 2 , . . . , X n .

Ang ideya ng isang propositional algebra formula ay ipinakilala sa pamamagitan ng induction. Mga pormula ng propositional algebra ay:

1) logical constants 0 at 1;

2) propositional variable;

3) kung A At SA - mga formula, pagkatapos ay ang bawat isa sa mga expression ( A), (A) (SA), (A) (SA), (A) (SA), (A) ~ (SA) ay isang pormula;

4) mga formula maliban sa mga itinayo ayon sa mga talata. 1) - 3), hindi.

Tukuyin sa pamamagitan ng M ay ang set ng lahat ng formula ng propositional algebra, M ay sarado sa ilalim ng mga lohikal na operasyon.

Para sa formula na binuo ayon sa aytem 3 ng formula A At B ay tinatawag na mga subformula. Maaaring bawasan ang bilang ng mga panaklong sa isang formula. Ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga operasyon sa isang formula ay tinutukoy ng kanilang priyoridad. Listahan ng mga lohikal na operasyon sa pababang pagkakasunud-sunod ng priyoridad:
~. Ang pagpapalit ng pagkakasunud-sunod ng mga operasyon, tulad ng sa algebraic na operasyon, ay ginagawa gamit ang mga panaklong.

Hayaan U – formula sa mga propositional variable X 1 , X 2 , . . . , X n, denoted U(X 1 , X 2 , . . . , X n). Set ng mga kongkretong halaga ng mga propositional variable X 1 , X 2 , . . . , X n ay tinatawag na interpretasyon ng pormula U at ipinapahiwatig ako(U).

Ang formula ay tinatawag magagawa , kung mayroong isang hanay ng mga variable na halaga kung saan kinukuha ng formula na ito ang halaga 1 (mayroong interpretasyon ako(U) kung saan totoo ang formula).

Ang formula ay tinatawag mapapabulaanan , kung mayroong isang hanay ng mga variable na halaga kung saan kinukuha ng formula na ito ang halaga 0 (mayroong interpretasyon ako(U) kung saan mali ang formula).

Ang formula ay tinatawag magkaparehong totoo (TI-formula) o tautolohiya , kung ang formula na ito ay tumatagal ng halaga 1 para sa lahat ng hanay ng mga variable na halaga (ang formula ay totoo sa lahat ng mga interpretasyon).

Ang formula ay tinatawag kaparehong mali (TL-formula) o kontradiksyon kung ang formula na ito ay kumukuha ng halaga 0 para sa lahat ng hanay ng mga variable na halaga (ang formula ay mali sa lahat ng interpretasyon).

Mga pormula A At SA tinawag katumbas (tinutukoy A  SA) kung para sa anumang mga halaga ng mga propositional variable ang halaga ng formula A tumutugma sa halaga ng formula SA.

Ang mga gawain sa pagtukoy ng pagkakapantay-pantay, kasiyahan, pagtanggi, magkaparehong katotohanan at kasinungalingan ng mga pormula ay maaaring malutas gamit ang pagbuo ng mga talahanayan ng katotohanan, ngunit may mga hindi gaanong masalimuot na paraan upang malutas ang mga problemang ito.

Panimula

Mga tanong sa pag-aaral:

Mga konsepto at kahulugan ng mathematical logic.

Mga pangunahing operasyon ng propositional algebra.

Mga batas at kahihinatnan ng Boolean algebra.

Konklusyon

Panimula

Ang teoretikal na batayan para sa pagtatayo ng mga kompyuter ay mga espesyal na disiplina sa matematika. Isa sa mga ito ay ang algebra ng lohika, o Boolean algebra (Si J. Boole ay isang English mathematician noong ika-19 na siglo, ang nagtatag ng disiplinang ito). Ang apparatus nito ay malawakang ginagamit upang ilarawan ang mga computer circuit, ang kanilang disenyo at pag-optimize.

1. Mga konsepto at kahulugan ng mathematical logic.

Logics- isang agham na nag-aaral ng mga batas at anyo ng pag-iisip; ang doktrina ng mga pamamaraan ng pangangatwiran at ebidensya.

Ang lohika ng matematika (teoretikal na lohika, simbolikong lohika) ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga patunay at tanong ng mga pundasyon ng matematika. "Ang paksa ng modernong matematikal na lohika ay iba-iba." Ayon sa kahulugan ng P. S. Poretsky, "ang lohika ng matematika ay lohika ayon sa paksa, matematika sa pamamaraan." Ayon sa kahulugan ng N. I. Kondakov, "ang lohika ng matematika ay ang pangalawa, pagkatapos ng tradisyonal na lohika, yugto sa pagbuo ng pormal na lohika, paglalapat ng mga pamamaraan sa matematika at isang espesyal na kagamitan ng mga simbolo at paggalugad ng pag-iisip sa tulong ng calculus (pormal na mga wika)." Ang kahulugan na ito ay tumutugma sa kahulugan ng S. K. Kleene: ang lohika ng matematika ay "ang lohika na binuo sa tulong ng mga pamamaraang matematika." Gayundin, tinukoy ni A. A. Markov ang modernong lohika bilang "isang eksaktong agham na naglalapat ng mga pamamaraan sa matematika." Ang lahat ng mga kahulugang ito ay hindi sumasalungat, ngunit umakma sa bawat isa.

Ang paggamit ng mga pamamaraan sa matematika sa lohika ay nagiging posible kapag ang mga paghatol ay nabuo sa ilang tiyak na wika. Ang ganitong mga tiyak na wika ay may dalawang panig: syntax at semantics. Ang Syntax ay isang hanay ng mga panuntunan para sa pagbuo ng mga bagay sa wika (karaniwang tinatawag na mga formula). Ang semantics ay isang hanay ng mga kumbensyon na naglalarawan sa aming pag-unawa sa mga formula (o ilan sa mga ito) at nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang ilang mga formula na totoo at ang iba ay hindi.

Pinag-aaralan ng lohika ng matematika ang mga lohikal na koneksyon at ugnayang pinagbabatayan lohikal (deduktibo) hinuha, gamit ang wika ng matematika.

Ang mga batas ng mundo, ang kakanyahan ng mga bagay, ang karaniwan sa kanila, natututo tayo sa pamamagitan ng abstract na pag-iisip. Ang mga pangunahing anyo ng abstract na pag-iisip ay mga konsepto, paghatol at hinuha.

konsepto- isang paraan ng pag-iisip na sumasalamin sa mga mahahalagang katangian ng isang indibidwal na bagay o klase ng mga homogenous na bagay. Ang mga konsepto sa wika ay ipinahahayag sa mga salita.

Ang saklaw ng konsepto- isang set ng mga bagay, bawat isa ay may mga katangian na bumubuo sa nilalaman ng konsepto. Ang mga konsepto ng pangkalahatan at isahan ay nakikilala.

Ang mga sumusunod na ugnayan ng mga konsepto ay nakikilala sa dami:

pagkakakilanlan o coincidence of volumes, ibig sabihin ang volume ng isang konsepto ay katumbas ng volume ng isa pang konsepto;

pagpapailalim o pagsasama ng mga volume: ang dami ng isa sa mga konsepto ay ganap na kasama sa dami ng isa pa;

pagbubukod volume - isang kaso kung saan walang isang tampok na nasa dalawang volume;

interseksyon o bahagyang coincidence ng mga volume;

pagpapailalim volume - ang kaso kapag ang mga volume ng dalawang konsepto, hindi kasama ang isa't isa, ay kasama sa dami ng pangatlo.

Paghuhukom- ito ay isang anyo ng pag-iisip kung saan ang isang bagay ay pinagtitibay o tinatanggihan tungkol sa mga bagay, palatandaan o kanilang mga kaugnayan.

hinuha- isang anyo ng pag-iisip, kung saan mula sa isa o higit pang mga paghuhusga, na tinatawag na lugar, tayo, ayon sa ilang mga tuntunin ng hinuha, ay nakakakuha ng isang konklusyon ng paghatol.

Algebra sa malawak na kahulugan ng salita, ang agham ng mga pangkalahatang operasyon na katulad ng pagdaragdag at pagpaparami, na maaaring maisagawa hindi lamang sa mga numero, kundi pati na rin sa iba pang mga bagay sa matematika.

Algebra ng lohika (propositional algebra, Boolean algebra 1 ) - isang sangay ng mathematical logic, na nag-aaral ng mga lohikal na operasyon sa mga pahayag. Kadalasan ay ipinapalagay (tinatawag na binary o binary logic, sa kaibahan, halimbawa, ternary logic) na ang mga pahayag ay maaari lamang maging totoo o mali.

Mga halimbawa ng algebras: algebra ng mga natural na numero, algebra ng mga rational na numero, algebra ng polynomial, algebra ng mga vector, algebra ng matrices, algebra ng mga set, atbp. Ang mga bagay ng algebra ng lohika o Boolean algebra ay mga proposisyon.

pahayag- ay anumang pangungusap ng anumang wika (pahayag), ang nilalaman nito ay maaaring matukoy bilang totoo o mali.

Anumang pahayag o totoo, o mali; hindi ito maaaring magkasabay.

Sa natural na wika, ang mga pagbigkas ay ipinahayag sa mga pangungusap na paturol. Ang mga pangungusap na padamdam at interogatibo ay hindi mga pahayag.

Maaaring ipahayag ang mga pahayag gamit ang matematika, pisikal, kemikal at iba pang mga palatandaan. Mula sa dalawang numerical na expression, ang mga pahayag ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga ito sa pantay o hindi pagkakapantay-pantay na mga palatandaan.

Ang pahayag ay tinatawag simple lang(elementarya) kung walang bahagi nito ang mismong pahayag.

Ang isang pahayag na binubuo ng mga simpleng pahayag ay tinatawag pinagsama-sama(mahirap).

Ang mga simpleng pahayag sa algebra ng lohika ay tinutukoy ng malalaking letrang Latin:

A= (Si Aristotle ang nagtatag ng lohika),

SA= (Tumubo ang mga saging sa mga puno ng mansanas).

Ang pagbibigay-katwiran sa katotohanan o kamalian ng mga simpleng pahayag ay napagpasyahan sa labas ng algebra ng lohika. Halimbawa, ang katotohanan o kamalian ng pahayag na: "Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees" ay itinatag ng geometry, at - sa geometry ni Euclid ang pahayag na ito ay totoo, at sa geometry ni Lobachevsky ito ay mali.

Ang isang totoong pahayag ay itinalaga ng 1, isang mali - 0. Kaya, A = 1, SA = 0.

Ang algebra ng lohika ay nakuha mula sa semantikong nilalaman ng mga pahayag. Siya ay interesado lamang sa isang katotohanan - ang ibinigay na pahayag ay totoo o mali, na ginagawang posible upang matukoy ang katotohanan o kamalian ng mga tambalang pahayag sa pamamagitan ng mga algebraic na pamamaraan.