Musculoskeletal system 

Mga set ng larawan ng Euler Venn diagram. Application ng Euler-Venn diagram sa paglutas ng mga lohikal na problema


Pederal na Ahensya para sa Edukasyon

Ang institusyong pang-edukasyon ng estado ng mas mataas na propesyonal na edukasyon

Pambansang Pananaliksik

Tomsk Polytechnic University

Institute of Natural Resources

Kagawaran ng VM

ABSTRAK

Paksa : « Euler-Venn diagram»

Tagapagpatupad:

Mag-aaral ng pangkat 2U00

Superbisor:

Panimula…………………………………………………………………………..3

1. Mula sa kasaysayan………………………………………………………………………………..4

2. Euler-Venn diagram………………………………………………………………..4

3. Mga operasyon sa mga hanay ng Euler-Venn diagram……………………….5

a) Pagsasama-sama……………………….. ……………………………………………7

b) Intersection, complement…………………………………………………..7

c) Ang arrow ni Pierce, ang stroke ni Schaeffer at ang pagkakaiba ...……………………………….8

d) Pagkakaiba………………………………………………………………………………8

e) Symmetric difference at equivalence………………………………..9

Konklusyon…………………………………………………………………………10

Mga Sanggunian…………………………………………………………………..11

Panimula

Euler circles - isang geometric na diagram kung saan maaari mong ilarawan ang relasyon sa pagitan ng mga subset, para sa visual na representasyon. Ang mga bilog ay naimbento ni Leonhard Euler. Ito ay ginagamit sa matematika, lohika, pamamahala at iba pang inilapat na mga lugar.

Ang isang mahalagang espesyal na kaso ng mga lupon ng Euler ay ang mga diagram ng Euler-Venn, na naglalarawan sa lahat ng 2n na kumbinasyon ng n katangian, iyon ay, isang may hangganang Boolean algebra. Para sa n = 3, ang Euler-Venn diagram ay karaniwang inilalarawan bilang tatlong bilog na nakasentro sa mga vertices ng isang equilateral triangle at may parehong radius, humigit-kumulang katumbas ng haba ng gilid ng triangle.

Sa paglutas ng isang bilang ng mga problema, ginamit ni Leonhard Euler ang ideya ng paglalarawan ng mga set gamit ang mga bilog. Gayunpaman, bago pa man si Euler, ang pamamaraang ito ay ginamit ng namumukod-tanging pilosopo at matematiko ng Aleman (1646-1716). Ginamit ni Leibniz ang mga ito para sa geometric na interpretasyon ng mga lohikal na koneksyon sa pagitan ng mga konsepto, ngunit mas gusto pa ring gumamit ng mga linear na scheme.

Ngunit si L. Euler mismo ay nakabuo ng pamamaraang ito nang lubusan. Ang Euler circle method ay ginamit din ng German mathematician na si Ernst Schroeder (1841-1902) sa kanyang aklat na Algebra of Logic. Ang mga graphic na pamamaraan ay umabot sa kanilang rurok sa mga akda ng Ingles na logician na si John Venn (1843-1923), na nagpaliwanag sa kanila nang detalyado sa aklat na Symbolic Logic, na inilathala sa London noong 1881. Samakatuwid, ang ganitong mga scheme ay tinatawag na mga diagram ng Euler-Venn.

1.Mula sa kasaysayan

Leonard Euler(1707 - 1783, St. Petersburg, Russian Empire) - mathematician, mekaniko, physicist. Adjunct sa pisyolohiya, propesor ng pisika, propesor ng mas mataas na matematika, na gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng matematika, pati na rin ang mekanika, pisika, astronomiya at isang bilang ng mga inilapat na agham.

Si Euler ang may-akda ng higit sa 800 mga papeles sa mathematical analysis, differential geometry, number theory, approximate calculations, celestial mechanics, mathematical physics, optics, ballistics, shipbuilding, music theory, atbp.

Ginugol niya ang halos kalahati ng kanyang buhay sa Russia, kung saan gumawa siya ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng agham ng Russia. Noong 1726 ay inanyayahan siyang magtrabaho sa St. Petersburg, kung saan lumipat siya pagkaraan ng isang taon. Mula 1711 hanggang 1741, at mula 1766, siya ay isang akademiko ng St. Petersburg Academy of Sciences (noong 1741-1766 ay nagtrabaho siya sa Berlin, habang nananatiling honorary member ng St. Petersburg Academy). Alam niyang mabuti ang Ruso at inilathala ang bahagi ng kanyang mga gawa (lalo na ang mga aklat-aralin) sa Russian. Ang unang Russian academic mathematician (S.K. Kotelnikov) at mga astronomo (S.Ya. Rumovsky) ay mga estudyante ng Euler. Ang ilan sa kanyang mga inapo ay naninirahan pa rin sa Russia.

John Venn (1, English logician. Nagtrabaho siya sa larangan ng class logic, kung saan lumikha siya ng isang espesyal na graphical apparatus (ang tinatawag na Venn diagrams), na ginamit sa logico-mathematical theory ng "formal neural networks". Pagmamay-ari ni Venn ang pagbibigay-katwiran ng mga kabaligtaran na operasyon sa lohikal na calculus ng J. Boole. Ang pangunahing lugar ng interes ni John ay lohika, at naglathala siya ng tatlong papel sa paksa: The Logic of Chance, na nagpasimula ng frequency interpretation o frequency theory of probability noong 1866, Symbolic Logic, kung saan ipinakilala ang mga Venn diagram noong 1881, Principles Empirical Logic" noong 1889, na nagbibigay ng mga katwiran para sa inverse operations sa Boolean logic.

Sa matematika, ang mga guhit sa anyo ng mga bilog na kumakatawan sa mga set ay ginamit sa napakatagal na panahon. Ang isa sa mga unang gumamit ng pamamaraang ito ay isang natatanging Aleman na matematiko at pilosopo (1 Ang mga guhit na may ganitong mga bilog ay natagpuan sa kanyang magaspang na sketch. Pagkatapos ang pamamaraang ito ay lubos na binuo ni Leonard Euler. Nagtrabaho siya ng maraming taon sa St. Petersburg Academy of Sciences. ang kanyang sikat na "Letters to a German Princess", na isinulat sa pagitan ng 1761 at 1768. Sa ilan sa mga "Letters ..." si Euler ay nagsasalita lamang tungkol sa kanyang pamamaraan. Pagkatapos ni Euler, ang parehong pamamaraan ay binuo ng Czech mathematician na si Bernard Bolzano (1Only in unlike Euler, he drawn not circular, but rectangular diagrams. The German mathematician Ernest Schroeder also used the method of Euler circles (1This method is easily used in the book "Algebra of Logic". Inilarawan niya ang paraan sa aklat na " Symbolic Logic", na inilathala sa London noong 1881. Bilang parangal kay Venn, sa halip na mga lupon ng Euler, ang mga kaukulang figure ay minsan tinatawag na Venn diagram; sa ilang mga aklat ay tinatawag din silang Euler-Venn diagram (o mga bilog).

2. Euler-Venn diagram

Ang mga konsepto ng set at subset ay ginagamit sa kahulugan ng maraming mga konsepto ng matematika at, sa partikular, sa kahulugan ng isang geometric figure. Tinukoy namin ang isang eroplano bilang isang unibersal na hanay. Pagkatapos ay maaari nating ibigay ang sumusunod na kahulugan ng isang geometric na pigura sa planimetry:

Geometric na pigura anumang hanay ng mga punto sa isang eroplano ay tinatawag. Upang biswal na ipakita ang mga hanay at ang mga ugnayan sa pagitan ng mga ito, gumuhit sila ng mga geometric na hugis na nasa mga ugnayang ito sa isa't isa. Ang ganitong mga representasyon ng mga set ay tinatawag na Euler–Venn diagram. Ang mga diagram ng Euler-Venn ay gumagawa ng iba't ibang pahayag tungkol sa mga set na nakikita. Inilalarawan nila ang unibersal na hanay bilang isang parihaba, at ang mga subset nito bilang mga bilog. Ito ay ginagamit sa matematika, lohika, pamamahala at iba pang inilapat na mga lugar.

Ang Euler-Venn diagram ay binubuo sa paglalarawan ng isang malaking parihaba na kumakatawan sa unibersal na hanay U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga set. Ang mga numero ay dapat mag-intersect sa pinaka-pangkalahatang kaso na kinakailangan sa problema at dapat na may label na naaayon. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, posible na lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set.

Mga pangunahing operasyon sa mga set:

    Intersection Union Pagkakaiba

3. Mga operasyon sa mga hanay ng Euler-Venn diagram

Isinasaalang-alang ang mga set operation upang makakuha ng mga bagong hanay mula sa mga umiiral na.

Kahulugan. Samahan Ang mga set A at B ay tinatawag na isang set na binubuo ng lahat ng mga elementong iyon na kabilang sa kahit isa sa mga set A, B (Fig. 1):

Kahulugan. pagtawid Ang mga set A at B ay tinatawag na isang set na binubuo ng lahat ng iyon at ang mga elemento lamang na nabibilang nang sabay-sabay sa parehong set A at set B (Larawan 2):

Kahulugan . pagkakaiba Ang set A at B ay ang set ng lahat ng iyon at ang mga elemento lamang ng A na hindi nakapaloob sa B (Larawan 3):

Kahulugan. Pagkakaiba ng simetriko Ang mga set A at B ay ang hanay ng mga elemento ng mga set na ito na nabibilang lamang sa set A, o sa set B lamang (Fig. 4):

Kahulugan. Isang ganap na pandagdag Ang set A ay ang set ng lahat ng elementong iyon na hindi kabilang sa set A (Larawan 5):

Ngayon sa mas detalyadong mga halimbawa.

Hayaang magbigay ng ilang hanay ng mga bagay, na, pagkatapos ng muling pagkalkula, ay maaaring italaga bilang

A = (1, 2, 4, 6) at B = (2, 3, 4, 8, 9)

bilog at puting bagay. Maaari mong tawagan ang orihinal na hanay pundamental, at ang mga subset A at B ay simple lang set.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng apat na klase ng mga elemento:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - ang mga elemento ay walang alinman sa mga pinangalanang katangian,

C 1 = (1, 6) - ang mga elemento ay may ari-arian lamang A (bilog),

C 2 = (3, 8, 9) - ang mga elemento ay may ari-arian lamang B (puti),

C 3 = (2, 4) - ang mga elemento ay may dalawang katangian A at B sa parehong oras.

Sa fig. 1.1. ang mga tinukoy na klase ay inilalarawan sa Euler - Mga diagram ng Venn.

kanin. 1.1

Kadalasan ang mga diagram ay walang ganap na pangkalahatan, halimbawa, ang ipinapakita sa Fig. 1.2. Dito, ang set A ay ganap nang kasama sa B. Para sa kasong ito, ginagamit ang isang espesyal na simbolo ng pagsasama (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Kung ang dalawang kundisyon ay sabay na nasiyahan: A Ì B at B Ì A, pagkatapos ay A = B, sa kasong ito sinasabi namin na ang mga set A at B ay ganap na katumbas.

kanin. 1.2

Matapos matukoy ang apat na klase ng mga elemento at maibigay ang kinakailangang impormasyon tungkol sa mga diagram ng Euler-Venn, ipinakilala namin ang mga operasyon sa mga set. Isaalang-alang muna natin ang operasyon mga asosasyon.

a) Pagsasama-sama

Samahan set A = (1, 2, 4, 6) at B = (2, 3, 4, 8, 9)

tawagin natin ang set

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

kung saan ang È ay ang simbolo para sa unyon ng mga set. Kaya, ang unyon ay sumasaklaw sa tatlong klase ng mga elemento - C 1, C 2 at C 3, na may kulay sa diagram (Larawan 1.3).

Sa lohikal na paraan, ang pagpapatakbo ng pagsasama-sama ng dalawang hanay ay maaaring mailalarawan ng mga salitang: elemento x nabibilang sa set A o set B. Sa kasong ito, ang link na "o" ay sabay-sabay na nangangahulugang ang link na "at". Ang katotohanan na ang elemento ay kabilang x Ang set A ay tinutukoy bilang xн A. Samakatuwid, ano x ay kay A o/at B, ay ipinahayag ng formula:

xО A И B = ( xÎ A) Ú ( xО B),

kung saan ang Ú ay ang simbolo ng lohikal na connective o, na tinatawag disjunction.

b) Intersection, karagdagan

pagtawid Ang set A at B ay tinatawag na set A Ç B, na naglalaman ng mga elementong iyon mula sa A at B na sabay-sabay na kasama sa parehong set. Para sa aming numerical na halimbawa, magkakaroon kami ng:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Ang diagram ng Euler-Venn para sa intersection ay ipinapakita sa fig. 1.4.

Ano x nabibilang nang sabay-sabay sa dalawang set A at B ay maaaring katawanin ng expression:

xО A З B = ( xн A) u ( xО B),

kung saan ang Ù ay ang simbolo ng lohikal na nag-uugnay na "at", na tinatawag pang-ugnay.

Isipin ang isang operasyon na nagreresulta sa mga may kulay na lugar C 1 at C 3, na bumubuo ng set A (Larawan 1.5). Pagkatapos ay isa pang operasyon na sasaklaw sa iba pang dalawang lugar - C 0 at C 2 na hindi kasama sa A, na tinutukoy bilang A(fig.1.6).

Kung pagsasamahin natin ang mga shaded na lugar sa parehong diagram, makukuha natin ang buong shaded set 1; ang intersection ng A at A ay magbibigay ng walang laman na set 0, na hindi naglalaman ng anumang mga elemento:

Isang È A= 1, A З A = 0.

Isang grupo ng A pandagdag ang set A sa pangunahing set V (o 1); kaya ang pamagat: karagdagang itakda ang A, o karagdagan parang operasyon. Kumpleto sa boolean variable x, ibig sabihin. x (Hindi- x) ay madalas na tinatawag negasyon ng x.

Pagkatapos ng pagpapakilala ng intersection at complement operations, lahat ng apat na domain Ci sa Euler-Venn diagram ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

C 0 = A Ç B, C 1 = A B, C 2 = AÇ B, C 3 = A Ç B.

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga kaugnay na lugar Ci Maaari kang kumatawan sa anumang maraming operasyon, kabilang ang mismong unyon:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

Ang Euler-Venn diagram para sa implikasyon (Fig. 1.10) ay nagpapakita bahagyang ang pagsasama ng set A sa set B, na dapat na makilala mula sa kumpleto mga inklusyon (Larawan 1.2).

Kung nakasaad na "ang mga elemento ng set A ay kasama sa set B", kung gayon ang lugar C 3 ay dapat na may kulay, at ang lugar C 1 na may parehong pangangailangan ay dapat iwanang puti. Tungkol sa mga rehiyon C 0 at C 1 na matatagpuan sa A, tandaan na wala tayong karapatang iwan silang puti, ngunit, obligado pa rin tayo sa mga lugar na nahuhulog sa A, lilim.

E) Symmetric difference at equivalence

Ito ay nananatiling magbigay ng dalawa pang magkakaugnay na komplementaryong operasyon - simetriko na pagkakaiba at katumbas. Ang simetriko na pagkakaiba ng dalawang set A at B ay ang pagsasama ng dalawang pagkakaiba:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Ang pagkakapareho ay tinutukoy ng mga elemento ng set A at B na karaniwan sa kanila. Gayunpaman, ang mga elementong wala sa alinman sa A o B ay itinuturing ding katumbas:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

Sa fig. Ipinapakita ng 1.11 at 1.12 ang pagtatabing ng mga diagram ng Euler-Venn.

Sa konklusyon, tandaan namin na ang simetriko pagkakaiba ay may ilang mga pangalan: mahigpit na disjunction, eksklusibong alternatibo, kabuuan modulo dalawa. Ang operasyong ito ay maaaring ihatid sa mga salita - "alinman sa A o B", i.e. ito ay isang lohikal na nag-uugnay na "o", ngunit walang nag-uugnay na "at" na kasama dito.

Konklusyon

Ang mga diagram ng Euler-Venn ay mga geometric na representasyon ng mga set. Ang simpleng diagramming ay nagbibigay ng visual na representasyon ng unibersal na hanay U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang saradong figure) na kumakatawan sa mga set. Ang mga figure ay bumalandra sa pinaka-pangkalahatang kaso na kinakailangan sa problema at tumutugma sa matalinghagang imahe. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, posible na lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set. Nagbibigay-daan ito sa amin na magkaroon ng pinaka kumpletong larawan ng problema at solusyon nito. Ang pagiging simple ng mga diagram ng Euler-Venn ay ginagawang posible na gamitin ang pamamaraang ito sa mga lugar tulad ng matematika, lohika, pamamahala at iba pang mga inilapat na lugar.

Bibliograpiya

1. Diksyunaryo ng lohika. - M.: Tumanit, ed. sentro ng VLADOS. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. Venn Diagram sa Wolfram MathWorld.

Leonhard Euler (1707-1783) - sikat na Swiss at Russian mathematician, miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, nanirahan halos buong buhay niya sa Russia. Ang pinakasikat sa istatistika, computer science at logic ay ang Euler circle (Euler-Venn diagram), na ginagamit upang tukuyin ang saklaw ng mga konsepto at set ng mga elemento.

John Venn (1834-1923) - pilosopo at logician ng Ingles, co-inventor ng Euler-Venn diagram.

Magkatugma at hindi magkatugma ang mga konsepto

Ang isang konsepto sa lohika ay nangangahulugang isang anyo ng pag-iisip na sumasalamin sa mga mahahalagang katangian ng isang klase ng mga homogenous na bagay. Ang mga ito ay tinutukoy ng isa o isang pangkat ng mga salita: "mapa ng mundo", "nangingibabaw na ikalima-ikapitong chord", "Lunes", atbp.

Sa kaso kapag ang mga elemento ng saklaw ng isang konsepto ay ganap o bahagyang nabibilang sa saklaw ng isa pa, ang isa ay nagsasalita ng magkatugma na mga konsepto. Kung, gayunpaman, walang elemento ng saklaw ng isang partikular na konsepto ang nabibilang sa saklaw ng isa pa, mayroon tayong mga hindi tugmang konsepto.

Sa turn, ang bawat isa sa mga uri ng mga konsepto ay may sariling hanay ng mga posibleng relasyon. Para sa mga magkatugmang konsepto, ito ang mga sumusunod:

  • pagkakakilanlan (katumbas) ng mga volume;
  • intersection (partial coincidence) ng mga volume;
  • subordination (subordination).

Para sa hindi tugma:

  • subordination (koordinasyon);
  • kabaligtaran (contrarity);
  • kontradiksyon (contradiction).

Sa eskematiko, ang ugnayan sa pagitan ng mga konsepto sa lohika ay karaniwang tinutukoy gamit ang mga lupon ng Euler-Venn.

Mga ugnayang pagkakapantay-pantay

Sa kasong ito, ang mga termino ay nangangahulugan ng parehong paksa. Alinsunod dito, ang mga volume ng mga konseptong ito ay ganap na pareho. Halimbawa:

A - Sigmund Freud;

Si B ang nagtatag ng psychoanalysis.

Isang parisukat;

Ang B ay isang equilateral rectangle;

Ang C ay isang equiangular rhombus.

Ganap na magkatugma ang mga lupon ng Euler ay ginagamit para sa pagtatalaga.

Intersection (partial match)

Isang guro;

Si B ay mahilig sa musika.

Tulad ng makikita mula sa halimbawang ito, ang mga volume ng mga konsepto ay bahagyang nag-tutugma: ang isang tiyak na grupo ng mga guro ay maaaring maging mga mahilig sa musika, at kabaliktaran - maaaring may mga kinatawan ng propesyon ng pagtuturo sa mga mahilig sa musika. Ang isang katulad na saloobin ay magiging sa kaso kapag si A ay, halimbawa, isang "mamamayan", at si B ay isang "driver".

Subordination (subordination)

Schematically denoted bilang Euler circles ng iba't ibang kaliskis. Ang relasyon sa pagitan ng mga konsepto sa kasong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na ang subordinate na konsepto (mas maliit sa dami) ay ganap na kasama sa subordinate (mas malaki sa dami). Kasabay nito, ang subordinate na konsepto ay hindi ganap na nauubos ang subordinate.

Halimbawa:

Isang puno;

B - pine.

Ang konsepto B ay magiging subordinate sa konsepto A. Dahil ang pine tree ay kabilang sa mga puno, ang konsepto A ay nagiging subordinate sa halimbawang ito, "sumisipsip" sa saklaw ng konsepto B.

Subordination (koordinasyon)

Ang saloobin ay nagpapakilala sa dalawa o higit pang mga konsepto na nagbubukod sa isa't isa, ngunit sa parehong oras ay nabibilang sa isang tiyak na karaniwang generic na bilog. Halimbawa:

A - klarinete;

B - gitara;

C - byolin;

Ang D ay isang instrumentong pangmusika.

Ang mga konsepto A, B, C ay hindi nagsasalubong sa isa't isa, gayunpaman, lahat sila ay kabilang sa kategorya ng mga instrumentong pangmusika (konsepto D).

Kabaligtaran (salungat)

Ang magkasalungat na relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay nagpapahiwatig na ang mga konseptong ito ay kabilang sa parehong genus. Kasabay nito, ang isa sa mga konsepto ay may ilang mga katangian (mga tampok), habang ang iba ay tinatanggihan ang mga ito, na pinapalitan ang mga ito ng kabaligtaran sa kalikasan. Kaya, tayo ay nakikitungo sa mga antonim. Halimbawa:

A - dwarf;

Si B ay isang higante.

Ang bilog ng Euler na may magkasalungat na relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay nahahati sa tatlong mga segment, ang una ay tumutugma sa konsepto A, ang pangalawa - sa konsepto B, at ang pangatlo - sa lahat ng iba pang posibleng mga konsepto.

Kontradiksyon (contradiction)

Sa kasong ito, ang parehong mga konsepto ay mga species ng parehong genus. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ang isa sa mga konsepto ay nagpapahiwatig ng ilang mga katangian (mga tampok), habang ang iba ay tinatanggihan ang mga ito. Gayunpaman, sa kaibahan sa kaugnayan ng mga magkasalungat, ang pangalawa, kabaligtaran na konsepto ay hindi pinapalitan ang mga tinanggihan na pag-aari ng iba, mga alternatibo. Halimbawa:

Ang A ay isang mahirap na gawain;

Ang B ay isang madaling gawain (hindi-A).

Ang pagpapahayag ng dami ng mga konsepto ng ganitong uri, ang bilog ng Euler ay nahahati sa dalawang bahagi - ang pangatlo, intermediate na link sa kasong ito ay hindi umiiral. Kaya, ang mga konsepto ay kasalungat din. Sa kasong ito, ang isa sa kanila (A) ay nagiging positibo (nagpapatibay ng ilang tampok), at ang pangalawa (B o hindi A) ay nagiging negatibo (nagpapawalang-bisa sa kaukulang tampok): "puting papel" - "hindi puting papel", "pambansa kasaysayan" - "kasaysayan ng ibang bansa", atbp.

Kaya, ang ratio ng mga volume ng mga konsepto na may kaugnayan sa bawat isa ay ang pangunahing katangian na tumutukoy sa mga lupon ng Euler.

Mga relasyon sa pagitan ng mga hanay

Kinakailangan din na makilala sa pagitan ng mga konsepto ng mga elemento at set, ang dami nito ay ipinapakita ng mga lupon ng Euler. Ang konsepto ng isang set ay hiniram mula sa agham ng matematika at may medyo malawak na kahulugan. Ang mga halimbawa sa lohika at matematika ay nagpapakita nito bilang isang tiyak na hanay ng mga bagay. Ang mga bagay mismo ay mga elemento ng set na ito. "Marami ang iniisip ng marami bilang isa" (Georg Kantor, tagapagtatag ng set theory).

Ang pagtatalaga ng mga set ay isinasagawa ng A, B, C, D ... atbp., ang mga elemento ng set ay maliit na titik: a, b, c, d ... atbp. Ang mga halimbawa ng isang set ay maaaring mga mag-aaral sa parehong silid-aralan, mga aklat na nakatayo sa isang tiyak na istante (o, halimbawa, lahat ng mga aklat sa isang partikular na aklatan), mga pahina sa isang talaarawan, mga berry sa isang paglilinis ng kagubatan, atbp.

Sa turn, kung ang isang tiyak na hanay ay hindi naglalaman ng isang solong elemento, kung gayon ito ay tinatawag na walang laman at tinutukoy ng tanda na Ø. Halimbawa, ang hanay ng mga intersection point ay ang hanay ng mga solusyon sa equation x 2 = -5.

Pagtugon sa suliranin

Ang mga lupon ng Euler ay aktibong ginagamit upang malutas ang isang malaking bilang ng mga problema. Ang mga halimbawa sa lohika ay malinaw na nagpapakita ng koneksyon sa set theory. Sa kasong ito, ginagamit ang mga talahanayan ng katotohanan ng mga konsepto. Halimbawa, ang bilog na may label na A ay kumakatawan sa rehiyon ng katotohanan. Kaya ang lugar sa labas ng bilog ay kakatawan ng false. Upang matukoy ang lugar ng diagram para sa isang lohikal na operasyon, dapat mong lilim ang mga lugar na tumutukoy sa bilog ng Euler kung saan ang mga halaga nito para sa mga elemento A at B ay magiging totoo.

Ang paggamit ng mga bilog na Euler ay nakahanap ng malawak na praktikal na aplikasyon sa iba't ibang industriya. Halimbawa, sa isang sitwasyon na may isang propesyonal na pagpipilian. Kung ang paksa ay nag-aalala tungkol sa pagpili ng isang propesyon sa hinaharap, maaari siyang magabayan ng mga sumusunod na pamantayan:

A-anong gusto kong gawin?

D - anong makukuha ko?

P - paano ako kikita ng magandang pera?

Ilarawan natin ito sa anyo ng isang diagram: sa lohika - ang intersection relation):

Ang magiging resulta ay ang mga propesyon na nasa intersection ng lahat ng tatlong bilog.

Ang mga lupon ng Euler-Venn ay sumasakop sa isang hiwalay na lugar sa matematika kapag kinakalkula ang mga kumbinasyon at katangian. Ang mga bilog na Euler ng hanay ng mga elemento ay nakapaloob sa larawan ng isang parihaba na nagsasaad ng unibersal na hanay (U). Sa halip na mga bilog, maaari ding gumamit ng iba pang mga closed figure, ngunit ang kakanyahan nito ay hindi nagbabago. Ang mga figure ay bumalandra sa bawat isa, ayon sa mga kondisyon ng problema (sa pinaka-pangkalahatang kaso). Gayundin, ang mga figure na ito ay dapat na may label na naaayon. Ang mga elemento ng mga set na isinasaalang-alang ay maaaring mga puntos na matatagpuan sa loob ng iba't ibang mga segment ng diagram. Batay dito, ang mga partikular na lugar ay maaaring kulayan, sa gayon ay itinalaga ang mga bagong nabuong hanay.

Sa mga hanay na ito, pinahihintulutang magsagawa ng mga pangunahing operasyong matematikal: pagdaragdag (kabuuan ng mga hanay ng mga elemento), pagbabawas (pagkakaiba), pagpaparami (produkto). Bilang karagdagan, salamat sa mga diagram ng Euler-Venn, posible na ihambing ang mga hanay sa bilang ng mga elementong kasama sa mga ito, nang hindi binibilang ang mga ito.

1. Panimula

Sa kurso ng Informatics at ICT ng elementarya at mataas na paaralan, ang mga mahahalagang paksa tulad ng "Mga Pundamental ng lohika" at "Paghahanap ng impormasyon sa Internet" ay sakop. Kapag nilulutas ang isang tiyak na uri ng problema, maginhawang gumamit ng mga lupon ng Euler (mga diagram ng Euler-Venn).

Tulong sa matematika. Ang mga diagram ng Euler-Venn ay pangunahing ginagamit sa set theory bilang isang eskematiko na representasyon ng lahat ng posibleng intersection ng ilang set. Sa pangkalahatan, inilalarawan nila ang lahat ng 2n kumbinasyon ng n katangian. Halimbawa, para sa n=3, ang Euler-Venn diagram ay karaniwang inilalarawan bilang tatlong bilog na nakasentro sa vertices ng isang equilateral triangle at may parehong radius, humigit-kumulang katumbas ng haba ng gilid ng triangle.

2. Pagtatanghal ng mga lohikal na connective sa mga query sa paghahanap

Kapag pinag-aaralan ang paksang "Paghahanap ng impormasyon sa Internet", ang mga halimbawa ng mga query sa paghahanap gamit ang mga lohikal na koneksyon, na katulad ng kahulugan sa mga unyon na "at", "o" ng wikang Ruso, ay isinasaalang-alang. Ang kahulugan ng mga lohikal na connective ay nagiging mas malinaw kung ilarawan natin ang mga ito sa tulong ng isang graphical scheme - Euler circles (Euler-Venn diagrams).

lohikal na link Humiling ng halimbawa Paliwanag Mga bilog ni Euler
& - "AT" Paris & unibersidad Ang lahat ng pahina kung saan binanggit ang dalawang salita ay pipiliin: Paris at unibersidad Fig.1
| - "O" Paris | unibersidad Ang lahat ng mga pahina na naglalaman ng mga salitang Paris at/o unibersidad ay pipiliin Fig.2

3. Koneksyon ng mga lohikal na operasyon sa set theory

Sa tulong ng mga diagram ng Euler-Venn, makikita ng isa ang koneksyon sa pagitan ng mga lohikal na operasyon at set theory. Maaari mong gamitin ang mga slide upang ipakita Annex 1.

Ang mga lohikal na operasyon ay tinutukoy ng kanilang sariling mga talahanayan ng katotohanan. SA Appendix 2 Ang mga graphical na paglalarawan ng mga lohikal na operasyon ay isinasaalang-alang nang detalyado kasama ng kanilang mga talahanayan ng katotohanan. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng pagbuo ng diagram sa pangkalahatang kaso. Sa diagram, ang lugar ng bilog na may pangalang A ay nagpapakita ng katotohanan ng pahayag A (sa set theory, ang bilog A ay ang pagtatalaga ng lahat ng elemento na kasama sa set na ito). Alinsunod dito, ang lugar sa labas ng bilog ay nagpapakita ng halaga ng "false" ng kaukulang pahayag. Upang maunawaan kung aling lugar ng diagram ang magiging isang pagpapakita ng isang lohikal na operasyon, kinakailangan na lilim lamang ang mga lugar kung saan ang mga halaga ng lohikal na operasyon sa set A at B ay katumbas ng "totoo".

Halimbawa, ang halaga ng implikasyon ay "totoo" sa tatlong kaso (00, 01 at 11). Pag-shading nang sunud-sunod: 1) ang lugar sa labas ng dalawang intersecting na bilog, na tumutugma sa mga halaga A=0, B=0; 2) ang lugar na nauugnay lamang sa bilog B (crescent), na tumutugma sa mga halaga A=0, B=1; 3) ang lugar na nauugnay sa parehong bilog A at bilog B (intersection) - tumutugma sa mga halaga A=1, B=1. Ang pagsasama ng tatlong lugar na ito ay magiging isang graphical na representasyon ng lohikal na implikasyon na operasyon.

4. Ang paggamit ng mga lupon ng Euler sa patunay ng mga lohikal na pagkakapantay-pantay (mga batas)

Upang mapatunayan ang mga lohikal na pagkakapantay-pantay, maaaring ilapat ang pamamaraan ng Euler-Venn diagram. Patunayan natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ¬(AvB) = ¬A&¬B (batas ni Morgan).

Para sa isang visual na representasyon ng kaliwang bahagi ng equation, gagawin namin ito nang sunud-sunod: lilim namin ang parehong mga bilog (ilalapat namin ang disjunction) na may kulay abo, pagkatapos, upang ipakita ang inversion, liliman namin ng itim ang lugar sa labas ng mga bilog:

Fig.3 Fig.4

Para sa isang visual na representasyon ng kanang bahagi ng equation, gumaganap kami nang sunud-sunod: nililimlim namin ang lugar para sa pagpapakita ng inversion (¬A) sa kulay abo at, katulad din, ang lugar na ¬B ay nasa kulay abo din; pagkatapos, upang ipakita ang conjunction, kailangan mong kunin ang intersection ng mga kulay abong lugar na ito (ang resulta ng overlay ay ipinapakita sa itim):

Fig.5 Fig.6 Fig.7

Nakikita namin na ang mga lugar para sa pagpapakita ng kaliwa at kanang bahagi ay pantay. Q.E.D.

5. Mga gawain sa format ng GIA at USE sa paksa: "Paghahanap ng impormasyon sa Internet"

Problema No. 18 mula sa demo na bersyon ng GIA 2013.

Ang talahanayan ay nagpapakita ng mga query sa search server. Para sa bawat kahilingan, ipinahiwatig ang code nito - ang kaukulang titik mula A hanggang D. Ayusin ang mga request code mula kaliwa hanggang kanan sa pagkakasunud-sunod bumababa ang bilang ng mga pahina na mahahanap ng search engine para sa bawat query.

Code Hiling
A (Lumipad at Pera) | Samovar
B Lumipad at Pera at Bazaar at Samovar
SA Lumipad | Pera | Samovar
G Lumipad at Pera at Samovar

Para sa bawat query, bumuo tayo ng Euler-Venn diagram:

Kahilingan A Kahilingan B Kahilingan B Humiling kay G

Sagot: VAGB.

Gawain B12 mula sa demo na bersyon ng USE-2013.

Ipinapakita ng talahanayan ang mga query at ang bilang ng mga pahinang nahanap nila para sa isang partikular na segment ng Internet.

Hiling Mga pahinang natagpuan (sa libo-libo)
Frigate | Maninira 3400
Frigate at Destroyer 900
Frigate 2100

Ilang pahina (sa libu-libo) ang makikita para sa query Maninira?

Ipinapalagay na ang lahat ng mga kahilingan ay naisakatuparan nang halos sabay-sabay, upang ang hanay ng mga pahina na naglalaman ng lahat ng mga hinanap na salita ay hindi nagbago sa panahon ng pagpapatupad ng mga kahilingan.

F - ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) kapag hiniling Frigate;

E - ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) kapag hiniling Maninira;

Ang X ay ang bilang ng mga pahina (sa libo-libo) para sa query na nagbabanggit Frigate At Hindi nabanggit Maninira;

Ang Y ay ang bilang ng mga pahina (sa libu-libo) para sa query na nagbabanggit Maninira At Hindi nabanggit Frigate.

Bumuo tayo ng Euler-Venn diagram para sa bawat kahilingan:

Hiling Euler-Venn diagram Bilang ng mga pahina
Frigate | Maninira Fig.12 3400
Frigate at Destroyer Fig.13 900
Frigate Fig.14 2100
Maninira Fig.15 ?

Ayon sa mga diagram na mayroon kami:

  1. X + 900 + Y \u003d F + Y \u003d 2100 + Y \u003d 3400. Mula dito makikita namin ang Y \u003d 3400-2100 \u003d 1300.
  2. E \u003d 900 + U \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Sagot: 2200.

6. Paglutas ng mga lohikal na makabuluhang problema gamit ang pamamaraan ng Euler-Venn diagram

Mayroong 36 na tao sa klase. Ang mga mag-aaral ng klase na ito ay dumalo sa mathematical, physical at chemical circle, at 18 tao ang pumapasok sa mathematical circle, 14 tao ang pumapasok sa physical, at 10 tao ang dumalo sa chemical. ang mga tao ay dumadalo sa parehong matematika at matematika at kemikal, 3 - parehong pisikal at kemikal.

Ilang estudyante sa klase ang hindi pumapasok sa anumang club?

Upang malutas ang problemang ito, napaka-maginhawa at malinaw na gumamit ng mga lupon ng Euler.

Ang pinakamalaking bilog ay ang hanay ng lahat ng mag-aaral sa klase. Sa loob ng bilog mayroong tatlong intersecting set: mga miyembro ng mathematical ( M), pisikal ( F), kemikal ( X) mga bilog.

Hayaan MFH- maraming mga lalaki, bawat isa ay dumadalo sa lahat ng tatlong mga lupon. MF-H- maraming mga lalaki, bawat isa ay dumadalo sa matematika at pisikal na mga bilog at Hindi bumisita sa kemikal ¬M¬PH- maraming lalaki, bawat isa ay pumapasok sa isang chemistry circle at hindi pumapasok sa physics at mathematics circles.

Ipinakilala namin ang mga set sa katulad na paraan: ¬MFH, M¬PH, M¬F-H, ¬MF-H, ¬M-F-H.

Ito ay kilala na ang lahat ng tatlong mga bilog ay dinaluhan ng 2 tao, samakatuwid, sa rehiyon MFH isulat ang bilang 2. 8 tao ang pumapasok sa parehong mathematical at physical circle, at kasama sa kanila ay mayroon nang 2 tao na pumapasok sa lahat ng tatlong circle, pagkatapos ay sa rehiyon MF-H sumulat ng 6 na tao (8-2). Katulad nito, tinutukoy namin ang bilang ng mga mag-aaral sa natitirang mga hanay:

Ibuod natin ang bilang ng mga tao sa lahat ng rehiyon: 7+6+3+2+4+1+5=28. Samakatuwid, 28 tao mula sa klase ang dumalo sa mga lupon.

Kaya 36-28 = 8 mag-aaral ang hindi pumapasok sa mga lupon.

Matapos ang mga pista opisyal sa taglamig, tinanong ng guro ng klase kung alin sa mga lalaki ang pumunta sa teatro, sinehan o sirko. Lumabas na sa 36 na estudyante sa klase, dalawa ang hindi pa nakakapanood ng sine. hindi sa teatro, hindi sa sirko. 25 tao ang bumisita sa sinehan, 11 tao ang bumisita sa teatro, 17 tao ang bumisita sa sirko; pareho sa sinehan at sa teatro - 6; at sa sinehan at sa sirko - 10; pareho sa teatro at sa sirko - 4.

Ilang tao na ang bumisita sa sinehan, teatro, at sirko?

Hayaang x ang bilang ng mga bata na nakapunta na sa sinehan, teatro, at sirko.

Pagkatapos ay maaari mong buuin ang sumusunod na diagram at bilangin ang bilang ng mga lalaki sa bawat lugar:

6 na tao ang bumisita sa sinehan at teatro, ibig sabihin ay 6 na tao lamang ang bumisita sa sinehan at teatro.

Katulad nito, tanging sa sinehan at sa sirko (ika-10) na tao.

Tanging sa teatro at sirko (4) pers.

25 tao ang pumunta sa sinehan, ibig sabihin, 25 lang sa kanila ang pumunta sa sinehan - (ika-10) - (ika-6) - x = (9 + x).

Katulad nito, sa teatro lamang mayroong (1 + x) tao.

Sa circus lang may (3 + x) tao.

Wala sa teatro, sinehan at sirko - 2 tao.

Kaya 36-2=34 na tao. dumalo sa mga kaganapan.

Sa kabilang banda, maaari nating ibuod ang bilang ng mga tao na nasa teatro, sinehan at sirko:

(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34

Kasunod nito na isang tao lamang ang dumalo sa lahat ng tatlong mga kaganapan.

Kaya, ang Euler circles (Euler-Venn diagrams) ay nakahanap ng praktikal na aplikasyon sa paglutas ng mga problema sa USE at GIA na format at sa paglutas ng mga makabuluhang lohikal na problema.

Panitikan

  1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitin. Logic sa computer science. M.: Informatics and Education, 2006. 155 p.
  2. L.L. Bosova. Arithmetic at lohikal na pundasyon ng mga computer. M.: Informatics at edukasyon, 2000. 207 p.
  3. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Teksbuk. Informatics at ICT para sa grade 8: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 220 p.
  4. L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Teksbuk. Informatics at ICT para sa grade 9: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 244 p.
  5. Website ng FIPI: http://www.fipi.ru/

Ang mga diagram ng Euler-Venn ay mga geometric na representasyon ng mga set. Ang pagtatayo ng diagram ay binubuo sa imahe ng isang malaking rektanggulo na kumakatawan sa unibersal na set U, at sa loob nito - mga bilog (o ilang iba pang mga saradong figure) na kumakatawan sa mga hanay.

Ang mga numero ay dapat mag-intersect sa pinaka-pangkalahatang kaso na kinakailangan sa problema at dapat na may label na naaayon. Ang mga puntong nasa loob ng iba't ibang bahagi ng diagram ay maaaring ituring na mga elemento ng kaukulang set. Gamit ang diagram na binuo, posible na lilim ang ilang mga lugar upang ipahiwatig ang mga bagong nabuong set.

Isinasaalang-alang ang mga set operation upang makakuha ng mga bagong hanay mula sa mga umiiral na.

Kahulugan. Ang unyon ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng mga elementong iyon na kabilang sa kahit isa sa mga set A, B (Fig. 1):

Kahulugan. Ang intersection ng set A at B ay isang set na binubuo ng lahat ng mga at tanging mga elementong iyon na sabay-sabay na nabibilang sa parehong set A at set B (Fig. 2):

Kahulugan.

Ang pagkakaiba ng set A at B ay ang set ng lahat ng iyon at ang mga elemento lamang ng A na hindi nakapaloob sa B (Fig. 3):

Kahulugan. Ang simetriko pagkakaiba ng set A at B ay ang hanay ng mga elemento ng mga set na ito na nabibilang lamang sa set A o sa set B lamang (Larawan 4):

Kahulugan. Ang absolute complement ng set A ay ang set ng lahat ng elementong iyon na hindi kabilang sa set A (Fig. 5):


kanin. 6.
Sinigurado namin na sa parehong mga kaso nakakakuha kami ng pantay na hanay. Samakatuwid, ang orihinal na kaugnayan ay wasto.

Kwento

Kahulugan 1

Tinanong si Leonard Euler: posible ba, habang naglalakad sa paligid ng Koenigsberg, na lampasan ang lahat ng mga tulay ng lungsod nang hindi dumaan sa alinman sa mga ito nang dalawang beses. Ang isang plano ng lungsod na may pitong tulay ay nakalakip.

Sa isang liham sa isang Italian mathematician na kilala niya, nagbigay si Euler ng isang maikli at magandang solusyon sa problema ng Königsberg bridges: sa ganoong kaayusan, ang problema ay hindi malulutas. Kasabay nito, ipinahiwatig niya na ang tanong ay tila interesante sa kanya, dahil. "Hindi sapat ang geometry o algebra para sa solusyon nito...".

Kapag nilulutas ang maraming problema, inilarawan ni L. Euler ang mga hanay gamit ang mga bilog, kaya naman tinawag ang mga ito "Mga lupon ng Euler". Ang pamamaraang ito ay ginamit kahit na mas maaga ng Aleman na pilosopo at matematiko na si Gottfried Leibniz, na ginamit ang mga ito upang geometriko na ipaliwanag ang mga lohikal na relasyon sa pagitan ng mga konsepto, ngunit mas madalas na gumamit ng mga linear na diagram. Si Euler, sa kabilang banda, ay binuo ng lubos na paraan. Ang mga pamamaraan ng graphic ay naging tanyag lalo na salamat sa English logician at pilosopo na si John Venn, na nagpakilala ng mga Venn diagram at ang mga katulad na scheme ay madalas na tinatawag Mga diagram ng Euler-Venn. Ginagamit ang mga ito sa maraming lugar, halimbawa, sa set theory, probability theory, logic, statistics at computer science.

Prinsipyo ng diagram

Hanggang ngayon, ang mga diagram ng Euler-Venn ay malawakang ginagamit upang schematically na ilarawan ang lahat ng posibleng intersection ng ilang set. Ipinapakita ng mga diagram ang lahat ng $2^n$ na kumbinasyon ng n katangian. Halimbawa, para sa $n=3$, ang diagram ay nagpapakita ng tatlong bilog na may mga sentro sa mga vertices ng isang equilateral triangle at ang parehong radius, na humigit-kumulang katumbas ng haba ng gilid ng triangle.

Tinutukoy ng mga lohikal na operasyon ang mga talahanayan ng katotohanan. Ang diagram ay nagpapakita ng isang bilog na may pangalan ng set na kinakatawan nito, halimbawa, $A$. Ang lugar sa gitna ng bilog na $A$ ay magpapakita ng katotohanan ng expression na $A$, at ang lugar sa labas ng bilog - false. Upang magpakita ng isang lohikal na operasyon, tanging ang mga lugar na iyon ang may kulay kung saan ang mga halaga ng lohikal na operasyon para sa mga hanay na $A$ at $B$ ay totoo.

Halimbawa, ang pagsasama ng dalawang set na $A$ at $B$ ay totoo lamang kung ang parehong set ay totoo. Sa kasong ito, ang resulta ng conjunction ng $A$ at $B$ sa diagram ay ang lugar sa gitna ng mga bilog, na sabay-sabay na kabilang sa set na $A$ at ang set na $B$ (ang intersection ng set).

Figure 1. Conjunction ng set na $A$ at $B$

Paggamit ng Euler-Venn diagram upang patunayan ang mga lohikal na pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang natin kung paano ginagamit ang paraan ng pagbuo ng mga diagram ng Euler-Venn upang patunayan ang mga lohikal na pagkakapantay-pantay.

Patunayan natin ang batas ng de Morgan, na inilalarawan ng pagkakapantay-pantay:

Patunay:

Larawan 4. $A$ inversion

Larawan 5. $B$ inversion

Figure 6. Conjunction ng $A$ at $B$ inversions

Matapos ihambing ang lugar para sa pagpapakita ng kaliwa at kanang bahagi, nakita namin na sila ay pantay. Mula dito ay sumusunod ang bisa ng lohikal na pagkakapantay-pantay. Ang batas ni De Morgan ay napatunayan gamit ang Euler-Venn diagram.

Paglutas ng problema sa paghahanap ng impormasyon sa Internet gamit ang mga diagram ng Euler-Venn

Upang maghanap ng impormasyon sa Internet, maginhawang gumamit ng mga query sa paghahanap na may mga lohikal na connective na katulad ng kahulugan sa mga unyon na "at", "o" ng wikang Ruso. Ang kahulugan ng mga lohikal na connective ay nagiging mas malinaw kung ilarawan natin ang mga ito sa tulong ng Euler-Venn diagram.

Halimbawa 1

Ang talahanayan ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga query sa search server. Ang bawat kahilingan ay may sariling code - isang sulat mula $A$ hanggang $B$. Kailangan mong ayusin ang mga request code sa pababang pagkakasunud-sunod ng bilang ng mga page na natagpuan para sa bawat kahilingan.

Larawan 7

Solusyon:

Bumuo tayo ng Euler-Venn diagram para sa bawat query:

Larawan 8

Sagot: BVA.

Paglutas ng isang lohikal na makabuluhang problema gamit ang Euler-Venn diagram

Halimbawa 2

Sa panahon ng mga holiday sa taglamig, mula sa $36$ na mga mag-aaral sa $2$ na klase, hindi sila pumunta sa sinehan, teatro, o sa sirko. $25$ ang mga tao ay pumunta sa sinehan, $11$ sa teatro, $17$ sa sirko; kapwa sa sinehan at sa teatro - $6$; at sa sinehan at sa sirko - $10$; at sa teatro at sa sirko - $4$.

Ilang tao na ang bumisita sa sinehan, teatro, at sirko?

Solusyon:

Tukuyin natin ang bilang ng mga lalaki na nakapunta na sa sinehan, teatro, at sirko - $x$.

Bumuo tayo ng isang diagram at alamin ang bilang ng mga lalaki sa bawat lugar:

Larawan 9

Wala sa teatro, o sa sinehan, o sa sirko - $2$ bawat tao.

Kaya $36 - 2 = $34 na tao. dumalo sa mga kaganapan.

$6$ tao ang pumunta sa sinehan at teatro, ibig sabihin, ($6 - x)$ lang ang pumunta sa sinehan at teatro.

$10$ na tao ang pumunta sa sinehan at sa sirko, kaya sa sinehan lang at sa sirko ($10 - x$) na mga tao.

$4$ na tao ang pumunta sa teatro at sa sirko, ibig sabihin, ang teatro at sirko lamang ($4 - x$) ang mga tao ang pumunta sa teatro at sa sirko.

$25$ tao ang pumunta sa sinehan, ibig sabihin, $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ lang ang napunta sa sinehan.

Katulad nito, ($1+x$) lang ang mga tao ang pumunta sa teatro.

Tanging ($3+x$) ang mga tao ang pumunta sa sirko.

Kaya, nagpunta kami sa teatro, sinehan at sirko:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Yung. isang tao lamang ang pumunta sa teatro, at sa sinehan, at sa sirko.