Ang konsepto ng parallel lines

Kahulugan 1

Mga parallel na linya– ang mga tuwid na linya na nasa parehong eroplano ay hindi nagtutugma at walang mga karaniwang punto.

Kung ang mga tuwid na linya ay may isang karaniwang punto, kung gayon sila bumalandra.

Kung ang lahat ng mga punto ay tuwid tugma, pagkatapos ay mayroon tayong isang tuwid na linya.

Kung ang mga linya ay namamalagi sa iba't ibang mga eroplano, kung gayon ang mga kondisyon para sa kanilang paralelismo ay medyo mas malaki.

Kapag isinasaalang-alang ang mga tuwid na linya sa parehong eroplano, ang sumusunod na kahulugan ay maaaring ibigay:

Kahulugan 2

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel, kung hindi sila magsalubong.

Sa matematika, ang mga parallel na linya ay karaniwang tinutukoy gamit ang parallelism sign na "$\parallel$". Halimbawa, ang katotohanan na ang linyang $c$ ay kahanay ng linyang $d$ ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

$c\parallel d$.

Ang konsepto ng parallel na mga segment ay madalas na isinasaalang-alang.

Kahulugan 3

Ang dalawang segment ay tinatawag parallel, kung nakahiga sila sa magkatulad na linya.

Halimbawa, sa figure ang mga segment na $AB$ at $CD$ ay magkatulad, dahil nabibilang sila sa mga parallel na linya:

$AB \parallel CD$.

Kasabay nito, ang mga segment na $MN$ at $AB$ o $MN$ at $CD$ ay hindi magkatulad. Ang katotohanang ito ay maaaring isulat gamit ang mga simbolo tulad ng sumusunod:

$MN ∦ AB$ at $MN ∦ CD$.

Ang paralelismo ng isang tuwid na linya at isang segment, isang tuwid na linya at isang sinag, isang segment at isang sinag, o dalawang sinag ay tinutukoy sa katulad na paraan.

Makasaysayang sanggunian

Mula sa Griyego, ang konsepto ng "parallelos" ay isinalin bilang "pagdating sa tabi" o "hawak sa tabi ng isa't isa." Ang terminong ito ay ginamit sa sinaunang paaralan ng Pythagoras bago pa man matukoy ang magkatulad na mga linya. Ayon sa mga makasaysayang katotohanan, si Euclid noong $III$ na siglo. BC. ang kanyang mga gawa gayunpaman ay nagsiwalat ng kahulugan ng konsepto ng parallel lines.

Noong sinaunang panahon, ang simbolo para sa pagtatalaga ng mga parallel na linya ay may kakaibang anyo sa ginagamit natin sa modernong matematika. Halimbawa, ang sinaunang Greek mathematician na si Pappus noong $III$ na siglo. AD Ang paralelismo ay ipinahiwatig gamit ang isang pantay na tanda. Yung. ang katotohanan na ang linyang $l$ ay kahanay ng linyang $m$ ay dating tinukoy ng “$l=m$”. Nang maglaon, ang pamilyar na "$\parallel$" na tanda ay nagsimulang gamitin upang tukuyin ang paralelismo ng mga linya, at ang pantay na tanda ay nagsimulang gamitin upang tukuyin ang pagkakapantay-pantay ng mga numero at expression.

Parallel lines sa buhay

Madalas hindi natin napapansin na sa ordinaryong buhay tayo ay napapalibutan ng malaking bilang ng magkatulad na linya. Halimbawa, sa isang music book at isang koleksyon ng mga kanta na may mga tala, ang staff ay ginawa gamit ang parallel lines. Ang mga parallel na linya ay matatagpuan din sa mga instrumentong pangmusika (halimbawa, mga kuwerdas ng alpa, gitara, mga susi ng piano, atbp.).

Ang mga de-koryenteng kawad na matatagpuan sa kahabaan ng mga kalye at kalsada ay tumatakbo din parallel. Ang mga riles ng metro at mga linya ng riles ay matatagpuan parallel.

Bilang karagdagan sa pang-araw-araw na buhay, ang mga parallel na linya ay matatagpuan sa pagpipinta, sa arkitektura, at sa pagtatayo ng mga gusali.

Mga parallel na linya sa arkitektura

Sa ipinakita na mga imahe, ang mga istruktura ng arkitektura ay naglalaman ng mga parallel na linya. Ang paggamit ng mga parallel na linya sa konstruksiyon ay nakakatulong upang mapataas ang buhay ng serbisyo ng naturang mga istraktura at nagbibigay sa kanila ng pambihirang kagandahan, kaakit-akit at kadakilaan. Ang mga linya ng kuryente ay sadyang inilalagay nang magkatulad upang maiwasan ang pagtawid o paghawak sa mga ito, na hahantong sa mga short circuit, pagkawala ng kuryente at pagkawala ng kuryente. Upang ang tren ay malayang makagalaw, ang mga riles ay ginawa rin sa parallel lines.

Sa pagpipinta, ang mga parallel na linya ay inilalarawan bilang nagtatagpo sa isang linya o malapit dito. Ang pamamaraan na ito ay tinatawag na pananaw, na sumusunod mula sa ilusyon ng pangitain. Kung titingnan mo ang distansya sa loob ng mahabang panahon, ang mga parallel na linya ay magmumukhang dalawang linyang nagtatagpo.

Na nakahiga sa parehong eroplano at maaaring nag-tutugma o hindi nagsalubong. Sa ilang mga kahulugan ng paaralan, ang mga magkatulad na linya ay hindi itinuturing na magkatulad; ang gayong kahulugan ay hindi isinasaalang-alang dito.

Ari-arian

1. Ang paralelismo ay isang binary equivalence relation, kung kaya't hinahati nito ang buong hanay ng mga linya sa mga klase ng mga linyang parallel sa isa't isa.
2. Sa anumang punto maaari kang gumuhit ng eksaktong isang tuwid na linya parallel sa ibinigay na isa. Ito ay isang natatanging pag-aari ng Euclidean geometry; sa ibang mga geometry ang numero 1 ay pinalitan ng iba (sa Lobachevsky geometry mayroong hindi bababa sa dalawang ganoong linya)
3. 2 magkatulad na linya sa kalawakan ay nasa parehong eroplano.
4. Kapag nagsalubong ang 2 magkatulad na linya, ang pangatlo, ay tinatawag secant:
   1. Ang secant ay kinakailangang mag-intersect sa parehong mga linya.
   2. Kapag nag-intersecting, 8 anggulo ang nabuo, ang ilang mga pares na katangian ay may mga espesyal na pangalan at katangian:
      1. Nakahiga nang crosswise ang mga anggulo ay pantay.
      2. Kaugnay ang mga anggulo ay pantay.
      3. Unilateral ang mga anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°.

Sa Lobachevsky geometry

Sa Lobachevsky geometry sa eroplano sa pamamagitan ng isang punto Hindi ma-parse ang expression (lexical error): Csa labas ng linyang ito $AB$

Mayroong walang katapusang bilang ng mga tuwid na linya na hindi nagsalubong AB. Sa mga ito, parallel sa AB dalawa lang ang pinangalanan.

Diretso CE tinatawag na equilateral (parallel) na linya AB sa direksyon mula sa A Upang B, Kung:

1. puntos B At E humiga sa isang gilid ng isang tuwid na linya AC ;
2. tuwid CE hindi bumabagtas sa linya AB, ngunit bawat sinag na dumadaan sa loob ng isang anggulo ACE, tumatawid sa sinag AB .

Ang isang tuwid na linya ay tinukoy nang katulad AB sa direksyon mula sa B Upang A .

Ang lahat ng iba pang mga linya na hindi nagsalubong sa isang ito ay tinatawag ultraparallel o divergent.

Tingnan din

Wikimedia Foundation. 2010.

• Mga tumatawid na linya
• Nesterikhin, Yuri Efremovich

Tingnan kung ano ang "Parallel lines" sa ibang mga diksyunaryo:

PARALLEL DIRECT- PARALLEL LINES, mga hindi intersecting na linya na nakahiga sa parehong eroplano... Modernong encyclopedia

PARALLEL DIRECT Malaking Encyclopedic Dictionary

Mga parallel na linya- PARALLEL LINES, non-intersecting lines na nakahiga sa parehong eroplano. ... Illustrated Encyclopedic Dictionary

Mga parallel na linya- sa Euclidean geometry, mga tuwid na linya na nasa parehong eroplano at hindi nagsalubong. Sa absolute geometry (Tingnan ang Absolute geometry), sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang partikular na linya, hindi bababa sa isang tuwid na linya ang dumadaan sa isang punto na hindi sumasalubong sa ibinigay na linya. SA… … Great Soviet Encyclopedia

parallel lines- mga linyang walang intersecting na nakahiga sa parehong eroplano. * * * PARALLEL LINES PARALLEL LINES, mga hindi intersecting na linya na nakahiga sa parehong eroplano... encyclopedic Dictionary

PARALLEL DIRECT- sa Euclidean geometry, ang mga tuwid na linya ay nasa parehong eroplano at hindi nagsalubong. Sa ganap na geometry, sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang naibigay na linya ay dumaan ang hindi bababa sa isang linya na hindi bumalandra sa ibinigay na linya. Sa Euclidean geometry mayroon lamang... ... Mathematical Encyclopedia

PARALLEL DIRECT- hindi nagsasalubong na mga linya na nakahiga sa parehong eroplano... Likas na agham. encyclopedic Dictionary

Parallel na mundo sa fiction- Maaaring naglalaman ang artikulong ito ng orihinal na pananaliksik. Magdagdag ng mga link sa mga mapagkukunan, kung hindi, maaari itong itakda para sa pagtanggal. Higit pang impormasyon ay maaaring nasa pahina ng pag-uusap. Ito... Wikipedia

Mga Parallel na Mundo- Ang isang parallel na mundo (sa fiction) ay isang katotohanan na kahit papaano ay umiiral nang sabay-sabay sa atin, ngunit independyente nito. Ang autonomous reality na ito ay maaaring magkaroon ng iba't ibang laki: mula sa isang maliit na heograpikal na lugar hanggang sa isang buong uniberso. Sa parallel... Wikipedia

Parallel- mga linya Ang mga tuwid na linya ay tinatawag na P. kung ang mga ito o ang kanilang mga extension ay hindi nagsalubong sa isa't isa. Ang balita mula sa isa sa mga linyang ito ay nasa parehong distansya mula sa isa pa. Gayunpaman, kaugalian na sabihin: dalawang P. tuwid na linya ay nagsalubong sa kawalang-hanggan. ganyan…… Encyclopedia ng Brockhaus at Efron

Mga libro

• Set ng mga mesa. Mathematics. ika-6 na baitang. 12 talahanayan + pamamaraan, . Ang mga talahanayan ay naka-print sa makapal na naka-print na karton na may sukat na 680 x 980 mm. Ang kit ay may kasamang brochure na may mga gabay sa pagtuturo para sa mga guro. Pang-edukasyon na album ng 12 mga sheet. Divisibility…

Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya

Theorem 1. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang secant:

ang mga crossed angle ay pantay, o

katumbas ang mga anggulo, o

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon

magkatulad ang mga linya(Larawan 1).

Patunay. Nililimitahan namin ang aming sarili sa pagpapatunay ng kaso 1.

Hayaang ang mga intersecting na linya a at b ay crosswise at ang mga anggulo AB ay pantay. Halimbawa, ∠ 4 = ∠ 6. Patunayan natin na isang || b.

Ipagpalagay na ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Pagkatapos ay bumalandra sila sa isang punto M at, samakatuwid, ang isa sa mga anggulo 4 o 6 ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM. Para sa katiyakan, hayaang ∠ 4 ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM, at ∠ 6 ang panloob. Mula sa theorem sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay sumusunod na ang ∠ 4 ay mas malaki kaysa sa ∠ 6, at ito ay sumasalungat sa kondisyon, na nangangahulugan na ang mga linya a at 6 ay hindi maaaring magsalubong, kaya sila ay parallel.

Bunga 1. Dalawang magkaibang linya sa isang eroplanong patayo sa parehong linya ay magkatulad(Larawan 2).

Magkomento. Ang paraan na pinatunayan lang natin ang kaso 1 ng Theorem 1 ay tinatawag na paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon o pagbabawas sa katarantaduhan. Natanggap ng pamamaraang ito ang unang pangalan dahil sa simula ng argumento ay ginawa ang isang pagpapalagay na taliwas (salungat) sa kailangang patunayan. Ito ay tinatawag na humahantong sa kahangalan dahil sa ang katunayan na, ang pangangatwiran sa batayan ng pagpapalagay na ginawa, tayo ay dumating sa isang walang katotohanan na konklusyon (sa walang katotohanan). Ang pagtanggap ng gayong konklusyon ay nagpipilit sa atin na tanggihan ang palagay na ginawa sa simula at tanggapin ang isa na kailangang patunayan.

Gawain 1. Bumuo ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M at parallel sa isang ibinigay na linya a, hindi dumadaan sa punto M.

Solusyon. Gumuhit kami ng isang tuwid na linya p sa pamamagitan ng puntong M patayo sa tuwid na linya a (Larawan 3).

Pagkatapos ay gumuhit kami ng isang linya b hanggang sa punto M patayo sa linya p. Ang linya b ay parallel sa linya a ayon sa corollary ng Theorem 1.

Ang isang mahalagang konklusyon ay sumusunod mula sa problemang isinasaalang-alang:
sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, palaging posible na gumuhit ng isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang pangunahing pag-aari ng mga parallel na linya ay ang mga sumusunod.

Axiom ng mga parallel na linya. Sa pamamagitan ng isang naibigay na punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na linya, mayroon lamang pumasa sa isang linya na kahanay sa ibinigay na isa.

Isaalang-alang natin ang ilang mga katangian ng mga parallel na linya na sumusunod mula sa axiom na ito.

1) Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, pagkatapos ay nag-intersect din ito sa isa (Fig. 4).

2) Kung ang dalawang magkaibang linya ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel (Fig. 5).

Ang sumusunod na teorama ay totoo rin.

Theorem 2. Kung ang dalawang parallel na linya ay intersected ng isang transversal, kung gayon:

ang mga crosswise na anggulo ay pantay;

ang mga katumbas na anggulo ay pantay;

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°.

Bunga 2. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa(tingnan ang Fig. 2).

Magkomento. Ang Theorem 2 ay tinatawag na kabaligtaran ng Theorem 1. Ang konklusyon ng Theorem 1 ay ang kondisyon ng Theorem 2. At ang kondisyon ng Theorem 1 ay ang pagtatapos ng Theorem 2. Hindi lahat ng theorem ay may inverse, iyon ay, kung ang isang ibinigay na theorem ay totoo, kung gayon ang inverse theorem ay maaaring mali.

Ipaliwanag natin ito gamit ang halimbawa ng theorem sa mga patayong anggulo. Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ang converse theorem ay magiging: kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon sila ay patayo. At ito, siyempre, ay hindi totoo. Ang dalawang pantay na anggulo ay hindi kailangang patayo.

Halimbawa 1. Dalawang magkatulad na linya ay tinatawid ng isang pangatlo. Ito ay kilala na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang panloob na isang panig na anggulo ay 30°. Hanapin ang mga anggulong ito.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 6 ang kundisyon.

Hindi sila nagsasalubong, gaano man sila katagal ipagpatuloy. Ang paralelismo ng mga tuwid na linya sa pagsulat ay tinukoy bilang mga sumusunod: AB|| SAE

Ang posibilidad ng pagkakaroon ng gayong mga linya ay pinatunayan ng teorama.

Teorama.

Sa pamamagitan ng anumang punto na kinuha sa labas ng isang naibigay na linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang punto na kahanay sa linyang ito.

Hayaan AB itong tuwid na linya at SA ilang punto na kinuha sa labas nito. Ito ay kinakailangan upang patunayan na sa pamamagitan ng SA maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya parallelAB. Ibaba natin ito sa AB mula sa punto SA patayoSAD at pagkatapos ay magsasagawa kami SAE^ SAD, kung ano ang posible. Diretso C.E. parallel AB.

Upang patunayan ito, ipagpalagay natin ang kabaligtaran, ibig sabihin, iyon C.E. nagsasalubong AB sa isang punto M. Pagkatapos mula sa punto M sa isang tuwid na linya SAD magkakaroon tayo ng dalawang magkaibang perpendicular MD At MS, na imposible. Ibig sabihin, C.E. hindi makatawid sa AB, ibig sabihin. SAE parallel AB.

Bunga.

Dalawang patayo (CEAtD.B.) sa isang tuwid na linya (CD) ay parallel.

Axiom ng mga parallel na linya.

Sa pamamagitan ng parehong punto imposibleng gumuhit ng dalawang magkaibang linya parallel sa parehong linya.

So, kung straight SAD, iginuhit sa pamamagitan ng punto SA parallel sa linya AB, pagkatapos ang bawat iba pang linya SAE, iginuhit sa parehong punto SA, hindi maaaring magkatulad AB, ibig sabihin. pagpapatuloy niya magsalubong Sa AB.

Ang pagpapatunay na hindi ito lubos na halatang katotohanan ay naging imposible. Ito ay tinatanggap nang walang patunay, bilang isang kinakailangang palagay (postulatum).

Mga kahihinatnan.

1. Kung tuwid(SAE) bumabagtas sa isa sa parallel(NE), pagkatapos ay sumasalubong ito sa isa pa ( AB), dahil kung hindi sa pamamagitan ng parehong punto SA magkakaroon ng dalawang magkaibang linya na magkatulad na dumadaan AB, na imposible.

2. Kung ang bawat isa sa dalawa direkta (AAtB) ay parallel sa parehong ikatlong linya ( SA) , tapos sila parallel sa pagitan nila.

Sa katunayan, kung ipagpalagay natin iyon A At B bumalandra sa isang punto M, pagkatapos ay dadaan ang dalawang magkaibang linyang magkatulad sa puntong ito SA, na imposible.

Teorama.

Kung ang linya ay patayo sa isa sa mga parallel na linya, pagkatapos ay patayo ito sa isa pa parallel.

Hayaan AB || SAD At E.F. ^ AB.Kailangang patunayan iyon E.F. ^ SAD.

PerpendikularEF, interseksyon sa AB, tiyak na tatawid at SAD. Hayaan ang intersection point H.

Ipagpalagay natin ngayon iyan SAD hindi patayo sa E.H.. Pagkatapos ng ilang iba pang tuwid na linya, halimbawa H.K., ay magiging patayo sa E.H. at samakatuwid ay sa pamamagitan ng parehong punto H magkakaroon ng dalawa tuwid na parallel AB: isa SAD, ayon sa kondisyon, at ang iba pa H.K. tulad ng dati nang napatunayan. Dahil imposible ito, hindi ito maaaring ipagpalagay na NE ay hindi patayo sa E.H..

KABANATA III.
PARALLEL DIRECT

§ 35. MGA ALAMAT NG PARALLEL NA DALAWANG LINE.

Ang teorama na ang dalawang patayo sa isang linya ay parallel (§ 33) ay nagbibigay ng senyales na ang dalawang linya ay parallel. Posibleng makakuha ng mas pangkalahatang mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya.

1. Ang unang tanda ng paralelismo.

Kung, kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang ikatlo, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa crosswise ay pantay, kung gayon ang mga linyang ito ay parallel.

Hayaang mag-intersect ang mga tuwid na linyang AB at CD ng tuwid na linyang EF at / 1 = / 2. Kunin ang punto O - ang gitna ng segment KL ng secant EF (Fig. 189).

Ibaba natin ang perpendikular na OM mula sa punto O papunta sa tuwid na linya AB at ipagpatuloy ito hanggang sa mag-intersect ito sa tuwid na linyang CD, AB_|_MN. Patunayan natin na ang CD_|_MN.
Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang tatsulok: MOE at NOK. Ang mga tatsulok na ito ay katumbas ng bawat isa. talaga: / 1 = / 2 ayon sa mga kondisyon ng teorama; ОK = ОL - sa pamamagitan ng pagtatayo;
/ MOL = / NOK, parang patayong anggulo. Kaya, ang gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isa pang tatsulok; kaya naman, /\ MOL = /\ NOK, at samakatuwid
/ LMO = / ALAM, ngunit / Direkta ang LMO, ibig sabihin / Straight din ang KNO. Kaya, ang mga linyang AB at CD ay patayo sa parehong linya MN, samakatuwid, sila ay parallel (§ 33), na kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Tandaan. Ang intersection ng mga tuwid na linya MO at CD ay maaaring itatag sa pamamagitan ng pag-ikot ng tatsulok na MOL sa paligid ng punto O ng 180°.

2. Ang pangalawang tanda ng paralelismo.

Tingnan natin kung ang mga tuwid na linya na AB at CD ay magkatulad kung, kapag nag-intersect ang mga ito sa ikatlong tuwid na linya EF, ang mga katumbas na anggulo ay pantay.

Hayaang magkapantay ang ilang kaukulang mga anggulo, halimbawa / 3 = / 2 (drawing 190);
/ 3 = / 1, dahil ang mga anggulo ay patayo; Ibig sabihin, / 2 ay magiging pantay / 1. Ngunit ang mga anggulo 2 at 1 ay nagsasalubong sa panloob na mga anggulo, at alam na natin na kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa pangatlo, ang mga intersecting na anggulo sa loob ay magkapareho, kung gayon ang mga linyang ito ay magkatulad. Samakatuwid AB || CD.

Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang ikatlo, ang mga katumbas na anggulo ay pantay, kung gayon ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

Ang pagtatayo ng mga parallel na linya gamit ang isang ruler at isang drawing triangle ay batay sa property na ito. Ginagawa ito bilang mga sumusunod.

Ikabit natin ang tatsulok sa ruler gaya ng ipinapakita sa drawing 191. Ililipat natin ang tatsulok upang ang isa sa mga gilid nito ay dumulas sa ruler, at gumuhit ng ilang tuwid na linya sa kabilang panig ng tatsulok. Magiging parallel ang mga linyang ito.

3. Ang ikatlong tanda ng paralelismo.

Ipaalam sa amin na kapag ang dalawang tuwid na linya na AB at CD ay nagsalubong sa ikatlong tuwid na linya, ang kabuuan ng anumang panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d(o 180°). Magiging parallel ba ang mga tuwid na linyang AB at CD sa kasong ito (Fig. 192).

Hayaan / 1 at / Ang 2 ay panloob na isang panig na anggulo at nagdaragdag ng hanggang 2 d.
Pero / 3 + / 2 = 2d bilang magkatabing mga anggulo. Kaya naman, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Mula rito / 1 = / 3, at ang mga panloob na anggulo na ito ay nakahiga sa crosswise. Samakatuwid AB || CD.

Kung, kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang pangatlo, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d, pagkatapos ang dalawang linyang ito ay magkatulad.

Mag-ehersisyo.

Patunayan na ang mga linya ay parallel:
a) kung ang mga panlabas na crosswise na anggulo ay pantay (Fig. 193);
b) kung ang kabuuan ng mga panlabas na isang panig na anggulo ay katumbas ng 2 d(pagguhit 194).