Kaya, ang Thales theorem ay napatunayan.

Ang paggamit ng teorama na ito ay lubos na mapadali at mapabilis ang solusyon ng mga problemang geometriko. Good luck sa mastering ito nakaaaliw na agham ng matematika!

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Paksa ng aralin

Mga Layunin ng Aralin

• Kilalanin ang mga bagong kahulugan at alalahanin ang ilang napag-aralan na.
• Bumalangkas at patunayan ang mga katangian ng isang parisukat, patunayan ang mga katangian nito.
• Matutong ilapat ang mga katangian ng mga hugis sa paglutas ng mga problema.
• Pagbuo - upang paunlarin ang atensyon, tiyaga, tiyaga, lohikal na pag-iisip, pagsasalita sa matematika ng mga mag-aaral.
• Pang-edukasyon - sa pamamagitan ng isang aralin, upang linangin ang isang matulungin na saloobin sa bawat isa, upang maitanim ang kakayahang makinig sa mga kasama, tulong sa isa't isa, kalayaan.

Mga layunin ng aralin

• Suriin ang kakayahan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema.

Lesson Plan

1. Sanggunian sa kasaysayan.
2. Thales bilang isang mathematician at ang kanyang mga gawa.
3. Magandang tandaan.

Sanggunian sa kasaysayan

• Ginagamit pa rin ngayon ang theorem ni Thales sa maritime navigation bilang panuntunan na hindi maiiwasan ang banggaan sa pagitan ng mga barko na gumagalaw sa isang pare-parehong bilis kung ang mga barko ay patuloy na patungo sa isa't isa.

• Sa labas ng panitikan sa wikang Ruso, kung minsan ang Thales theorem ay tinatawag na isa pang theorem ng planimetry, ibig sabihin, ang pahayag na ang isang naka-inscribe na anggulo batay sa diameter ng isang bilog ay tama. Ang pagtuklas ng teorama na ito ay talagang iniuugnay kay Thales, bilang ebidensya ng Proclus.

• Naunawaan ni Thales ang mga pangunahing kaalaman sa geometry sa Egypt.

Mga pagtuklas at merito ng may-akda nito

Alam mo ba na si Thales ng Miletus ay isa sa pitong pinakatanyag na pantas ng Greece noong panahong iyon. Itinatag niya ang paaralang Ionian. Ang ideyang itinaguyod ni Thales sa paaralang ito ay ang pagkakaisa ng lahat ng bagay. Naniniwala ang pantas na mayroong isang pinagmumulan kung saan nagmula ang lahat ng bagay.

Ang dakilang merito ng Thales ng Miletus ay ang paglikha ng siyentipikong geometry. Ang mahusay na pagtuturo na ito ay nakalikha ng isang deductive geometry mula sa Egyptian art of measurement, na ang batayan ay karaniwang batayan.

Bilang karagdagan sa kanyang malawak na kaalaman sa geometry, si Thales ay bihasa rin sa astronomiya. Si Em ang unang naghula ng kabuuang eclipse ng Araw. Ngunit hindi ito nangyari sa modernong mundo, ngunit sa malayong 585, bago pa man ang ating panahon.

Si Thales ng Miletus ay ang taong napagtanto na ang hilaga ay maaaring tumpak na matukoy ng konstelasyon na Ursa Minor. Ngunit hindi ito ang kanyang huling pagtuklas, dahil nagawa niyang tumpak na matukoy ang haba ng taon, hatiin ito sa tatlong daan at animnapu't limang araw, at itinakda din ang oras ng mga equinox.

Si Thales ay talagang isang komprehensibong binuo at matalinong tao. Bilang karagdagan sa pagiging sikat bilang isang mahusay na mathematician, physicist, at astronomer, siya rin, bilang isang tunay na meteorologist, ay lubos na nahuhulaan ang pag-aani ng oliba.

Ngunit ang pinaka-kapansin-pansin na bagay ay hindi nilimitahan ni Thales ang kanyang kaalaman lamang sa larangang pang-agham at teoretikal, ngunit palaging sinusubukang pagsamahin ang ebidensya ng kanyang mga teorya sa praktika. At ang pinaka-kagiliw-giliw na bagay ay ang dakilang sage ay hindi tumutok sa anumang lugar ng kanyang kaalaman, ang kanyang interes ay may iba't ibang direksyon.

Ang pangalan ng Thales ay naging isang sambahayan na pangalan para sa pantas kahit na noon. Ang kanyang kahalagahan at kahalagahan para sa Greece ay kasing-dakila ng pangalan ng Lomonosov para sa Russia. Siyempre, ang kanyang karunungan ay maaaring bigyang-kahulugan sa iba't ibang paraan. Ngunit tiyak na masasabi natin na siya ay nailalarawan sa pamamagitan ng parehong katalinuhan, at praktikal na talino sa paglikha, at, sa ilang mga lawak, detatsment.

Si Thales ng Miletus ay isang mahusay na matematiko, pilosopo, astronomo, mahilig maglakbay, ay isang mangangalakal at negosyante, ay nakikibahagi sa kalakalan, at isa ring mahusay na inhinyero, diplomat, tagakita at aktibong lumahok sa buhay pampulitika.

Nagawa pa niyang matukoy ang taas ng pyramid sa tulong ng isang staff at isang anino. At naging ganoon. Isang magandang maaraw na araw, inilagay ni Thales ang kanyang mga tauhan sa hangganan kung saan natapos ang anino ng pyramid. Pagkatapos ay naghintay siya hanggang sa ang haba ng anino ng kanyang tungkod ay katumbas ng kanyang taas, at sinukat ang haba ng anino ng pyramid. Kaya, tila natukoy lamang ni Thales ang taas ng pyramid at pinatunayan na ang haba ng isang anino ay nauugnay sa haba ng isa pang anino, tulad ng taas ng pyramid ay nauugnay sa taas ng staff. Sinaktan nito ang pharaoh Amasis mismo.

Salamat kay Thales, ang lahat ng kaalaman na kilala sa oras na iyon ay inilipat sa larangan ng siyentipikong interes. Nagawa niyang dalhin ang mga resulta sa isang antas na angkop para sa pang-agham na pagkonsumo, na nagha-highlight ng isang tiyak na hanay ng mga konsepto. At marahil sa tulong ni Thales, nagsimula ang kasunod na pag-unlad ng sinaunang pilosopiya.

Ang Thales theorem ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa matematika. Nakilala ito hindi lamang sa sinaunang Egypt at Babylon, kundi pati na rin sa ibang mga bansa at naging batayan para sa pag-unlad ng matematika. Oo, at sa pang-araw-araw na buhay, sa pagtatayo ng mga gusali, istruktura, kalsada, atbp., Hindi magagawa ng isang tao kung wala ang Thales theorem.

Theorem ni Thales sa kultura

Ang teorama ni Thales ay naging tanyag hindi lamang sa matematika, ngunit ipinakilala rin ito sa kultura. Minsan, ang grupong musikal ng Argentina na Les Luthiers (Espanyol) ay nagpakita ng isang kanta sa madla, na kanilang inialay sa isang kilalang teorama. Ang mga miyembro ng Les Luthiers ay nagbigay ng patunay para sa direktang teorama para sa mga proporsyonal na segment sa kanilang video clip lalo na para sa kantang ito.

Mga tanong

1. Anong mga linya ang tinatawag na parallel?
2. Saan inilapat ang Thales theorem sa pagsasanay?
3. Tungkol saan ang Thales theorem?

Listahan ng mga mapagkukunang ginamit

1. Encyclopedia para sa mga bata. T.11. Mathematics / Editor-in-Chief M.D. Aksenova.-m.: Avanta +, 2001.
2. “Pinag-isang pagsusulit ng estado 2006. Mathematics. Mga materyales sa edukasyon at pagsasanay para sa paghahanda ng mga mag-aaral / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometry, 7 - 9: isang aklat-aralin para sa mga institusyong pang-edukasyon"

Walang mga paghihigpit sa mutual arrangement ng mga secants sa theorem (ito ay totoo kapwa para sa mga intersecting na linya at para sa mga parallel). Hindi rin mahalaga kung nasaan ang mga segment ng linya sa mga secant.

Patunay sa kaso ng mga parallel na linya

Gumuhit tayo ng linya BC. Ang mga anggulong ABC at BCD ay katumbas ng mga panloob na krus na nakahiga sa ilalim ng magkatulad na mga linya AB at CD at secant BC, at ang mga anggulo ng ACB at CBD ay pantay-pantay bilang panloob na mga krus na nakahiga sa ilalim ng parallel na linya AC at BD at secant BC. Pagkatapos, ayon sa pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, ang mga tatsulok na ABC at DCB ay magkapareho. Ito ay nagpapahiwatig na ang AC = BD at AB = CD. ■

Umiiral din proporsyonal na teorama ng segment:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Ang Thales theorem ay isang espesyal na kaso ng proportional segment theorem, dahil ang pantay na mga segment ay maaaring ituring na proportional na mga segment na may proportionality coefficient na katumbas ng 1.

Inverse theorem

Kung sa Thales theorem ang pantay na mga segment ay nagsisimula mula sa vertex (ang pagbabalangkas na ito ay kadalasang ginagamit sa panitikan ng paaralan), kung gayon ang converse theorem ay magiging totoo din. Para sa intersecting secants, ito ay formulated bilang mga sumusunod:

Kaya (tingnan ang Fig.) mula sa katotohanan na $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ ito ay sumusunod na ang direktang $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Kung ang mga secants ay magkatulad, kung gayon kinakailangan na humiling ng pagkakapantay-pantay ng mga segment sa parehong mga secant sa pagitan ng kanilang mga sarili, kung hindi man ang pahayag na ito ay nagiging hindi tama (isang counterexample ay isang trapezoid na intersected ng isang linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base).

Mga pagkakaiba-iba at Paglalahat

Ang sumusunod na pahayag ay dalawahan sa lemma ni Sollertinsky:

1. 
   pananalita;
2. 
   Katibayan;

1. 
   Theorem sa proporsyonal na mga segment;
2. 
   Teorama ni Ceva;

1. 
   pananalita;
2. 
   Katibayan;

1. 
   Teorama ni Menelaus;

1. 
   pananalita;
2. 
   Katibayan;

1. 
   Mga gawain at ang kanilang mga solusyon;
2. 
   Konklusyon;
3. 
   Listahan ng mga ginamit na mapagkukunan at literatura.

Panimula.

Lahat ng maliliit na bagay ay kailangan

Upang maging makabuluhan...

I. Severyanin
Ang abstract na ito ay nakatuon sa aplikasyon ng paraan ng parallel lines sa patunay ng theorems at paglutas ng problema. Bakit natin ginagamit ang pamamaraang ito? Ngayong akademikong taon, sa olympiad sa matematika ng paaralan, isang geometriko na problema ang iminungkahi, na tila napakahirap sa amin. Ang gawaing ito ay nagbigay ng lakas sa simula ng trabaho sa pag-aaral at pag-unlad ng paraan ng magkatulad na mga linya sa paglutas ng mga problema sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment.

Ang ideya ng pamamaraan mismo ay batay sa paggamit ng pangkalahatang Thales theorem. Ang Thales theorem ay pinag-aralan sa ikawalong baitang, ang generalization nito at ang paksang "Pagkakatulad ng mga Figure" sa ikasiyam na baitang at sa ika-sampung baitang lamang, sa isang panimulang plano, dalawang mahalagang teorema ng Ceva at Menelaus ang pinag-aralan, sa tulong ng kung saan ang isang bilang ng mga problema ay medyo madaling malutas para sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment. Samakatuwid, sa antas ng pangunahing edukasyon, malulutas natin ang isang medyo makitid na hanay ng mga gawain sa materyal na pang-edukasyon na ito. Bagaman sa huling sertipikasyon para sa kurso ng pangunahing paaralan at sa USE sa matematika, ang mga gawain sa paksang ito (Theorem ni Thales. Pagkakatulad ng mga tatsulok, koepisyent ng pagkakapareho. Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tatsulok) ay inaalok sa ikalawang bahagi ng pagsusuri. papel at may mataas na antas ng pagiging kumplikado.

Sa proseso ng pagtatrabaho sa abstract, naging posible na palalimin ang aming kaalaman sa paksang ito. Ang patunay ng theorem sa proporsyonal na mga segment sa isang tatsulok (ang theorem ay hindi kasama sa kurikulum ng paaralan) ay batay sa paraan ng parallel lines. Sa turn, pinahintulutan kami ng teorama na ito na magmungkahi ng isa pang paraan upang patunayan ang mga teorema nina Ceva at Menelaus. At bilang resulta, natutunan namin kung paano lutasin ang mas malawak na hanay ng mga problema para sa paghahambing ng mga haba ng mga segment. Ito ang kaugnayan ng aming trabaho.

Generalized Thales theorem.

pagbabalangkas:

Ang mga parallel na linya na nagsasalubong sa dalawang ibinigay na linya ay pumutol ng mga proporsyonal na segment sa mga linyang ito.
Ibinigay:

Diretso a pinutol ng magkatulad na linya ( PERO 1 AT 1 , PERO 2 AT 2 , PERO 3 AT 3 ,…, PERO n B n) sa mga segment PERO 1 PERO 2 , PERO 2 PERO 3 , …, A n -1 A n, at ang tuwid na linya b- sa mga segment AT 1 AT 2 , AT 2 AT 3 , …, AT n -1 AT n .

Patunay:

Patunayan natin, halimbawa, iyon

Isaalang-alang ang dalawang kaso:

1 kaso (Larawan b)

Direkta a at b ay parallel. Tapos yung quadrilaterals

PERO 1 PERO 2 AT 2 AT 1 at PERO 2 PERO 3 AT 3 AT 2 - paralelograms. kaya lang

PERO 1 PERO 2 =AT 1 AT 2 at PERO 2 PERO 3 =AT 2 AT 3 , kung saan sinusundan iyon

2 kaso (fig. c)

Ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Sa pamamagitan ng tuldok PERO 1 gumuhit tayo ng isang tuwid na linya Sa, parallel sa linya b. She will cross the lines PERO 2 AT 2 at PERO 3 AT 3 sa ilang mga punto MULA SA 2 at MULA SA 3 . mga tatsulok PERO 1 PERO 2 MULA SA 2 at PERO 1 PERO 3 MULA SA 3 ay magkatulad sa dalawang anggulo (anggulo PERO 1 – pangkalahatan, anggulo PERO 1 PERO 2 MULA SA 2 at PERO 1 PERO 3 MULA SA 3 katumbas ng katumbas sa ilalim ng mga parallel na linya PERO 2 AT 2 at PERO 3 AT 3 secant PERO 2 PERO 3 ), kaya naman

1+

O ayon sa ari-arian ng mga sukat

Sa kabilang banda, sa kung ano ang napatunayan sa unang kaso, mayroon tayo PERO 1 MULA SA 2 =AT 1 AT 2 , MULA SA 2 MULA SA 3 =AT 2 AT 3 . Pagpapalit sa proporsyon (1) PERO 1 MULA SA 2 sa AT 1 AT 2 at MULA SA 2 MULA SA 3 sa AT 2 AT 3 , dumating tayo sa pagkakapantay-pantay

Q.E.D.
Theorem sa proporsyonal na mga segment sa isang tatsulok.

Sa mga gilid AC at araw tatsulok ABC ang mga puntos ay minarkahan Upang at M kaya AC:CS=m: n, BM: MC= p: q. Mga segment AM at VC bumalandra sa isang punto O(Larawan 124b).

Patunay:
Sa pamamagitan ng tuldok M gumuhit tayo ng isang tuwid na linya MD(Larawan 124a), parallel VC. Tumawid siya sa gilid AC sa punto D, at ayon sa generalization ng Thales theorem

Hayaan AK=mx. Pagkatapos, alinsunod sa kondisyon ng problema KS=nx, at mula noon KD: DC= p: q, pagkatapos ay muli naming ginagamit ang generalization ng Thales theorem:

Katulad nito, ito ay pinatunayan na .

Ang teorama ni Ceva.
Ang teorama ay pinangalanan pagkatapos ng Italyano na matematiko na si Giovanni Ceva, na nagpatunay nito noong 1678.

pagbabalangkas:

Kung sa mga gilid AB, BC at CA ng tatsulok ABC puntos C ay kinuha ayon sa pagkakabanggit 1 , PERO 1 at B 1 , pagkatapos ay i-segment ang AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto kung at kung lamang

Ibinigay:

Tatsulok ABC at sa mga gilid nito AB, araw at AC ang mga puntos ay minarkahan MULA SA 1 ,PERO 1 at AT 1 .

2.paghiwa A 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto.

Ang paghahati sa magkabilang panig sa kanang bahagi, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay (3).

2. Patunayan natin ang converse assertion. Hayaan ang mga puntos MULA SA 1 ,PERO 1 at AT 1 kinuha sa mga gilid AB, araw at SA upang ang pagkakapantay-pantay (3) ay humahawak. Patunayan natin na ang mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto. Ipahiwatig sa pamamagitan ng titik O ang punto ng intersection ng mga segment A 1 at BB 1 at gumuhit ng isang tuwid na linya KAYA. Tumawid siya sa gilid AB sa ilang mga punto, na tinutukoy namin MULA SA 2 . Dahil sa mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto, pagkatapos ay sa kung ano ang napatunayan sa unang talata

Kaya, ang pagkakapantay-pantay (3) at (4) ay hawak.

Paghahambing ng mga ito, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay = , na nagpapakita na ang mga puntos C 1 at C 2 magbahagi ng panig AB C 1 at C 2 nag-tutugma, at samakatuwid ang mga segment AA 1 , BB 1 at SS 1 bumalandra sa isang punto O.

Q.E.D.
Teorama ni Menelaus.

pagbabalangkas:

Kung sa mga gilid AB at BC at ang extension ng gilid AC (o sa mga extension ng mga gilid AB, BC at AC) ang mga puntos C ay kinuha ayon sa pagkakabanggit 1 , PERO 1 , AT 1 , pagkatapos ang mga puntong ito ay nasa parehong linya kung at kung lamang

Ibinigay:

Tatsulok ABC at sa mga gilid nito AB, araw at AC ang mga puntos ay minarkahan MULA SA 1 ,PERO 1 at AT 1 .

2. puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya
Patunay:
1. Hayaan ang mga puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya. Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay (5) ay nagtataglay. Gastos tayo AD,MAGING at CF parallel sa isang tuwid na linya AT 1 PERO 1 (tuldok D namamalagi sa isang tuwid na linya araw). Ayon sa pangkalahatang Thales theorem, mayroon tayong:

Ang pagpaparami ng kaliwa at kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin

mga. pagkakapantay-pantay (5) hawak.
2. Patunayan natin ang converse assertion. Hayaan ang punto AT 1 kinuha sa gilid ng pagpapatuloy AC, at ang mga puntos MULA SA 1 at PERO 1 - sa mga gilid AB at araw, at sa paraang pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay (5). Patunayan natin na ang mga puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya. Hayaang magsalubong ang tuwid na linya A 1 C 1 sa pagpapatuloy ng panig AC sa punto B 2, pagkatapos, sa pamamagitan ng napatunayan sa unang talata

Paghahambing ng (5) at (6), dumating tayo sa pagkakapantay-pantay = , na nagpapakita na ang mga puntos AT 1 at AT 2 magbahagi ng panig AC sa parehong paggalang. Samakatuwid, ang mga puntos AT 1 at AT 2 nag-tutugma, at samakatuwid ang mga punto PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 kasinungalingan sa parehong linya. Ang converse assertion ay napatunayang katulad sa kaso kapag ang lahat ng tatlong puntos PERO 1 ,MULA SA 1 at AT 1 humiga sa mga extension ng kaukulang panig.

Q.E.D.

Pagtugon sa suliranin.

Solusyon: Ito ay kinakailangan upang mahanap ang ratio AB 1: B 1 C, AC ay ang nais na segment kung saan ang punto B 1 ay namamalagi.

Ang parallel method ay ang mga sumusunod:

1. 
   gupitin ang nais na segment na may mga parallel na linya. Ang isang BB 1 ay naroon na, at ang pangalawang MN ay iguguhit sa puntong M, kahanay ng BB 1.
2. 
   Ilipat ang kilalang ratio mula sa isang gilid ng anggulo patungo sa kabilang panig nito, i.e. isaalang-alang ang mga anggulo ng gilid, na pinutol ng mga tuwid na linyang ito.

Lumipat tayo sa ratio ng interes sa atin AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6:5.

Sagot: AB 1:B 1 C = 6:5.

Magkomento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Menelaus theorem. Paglalapat nito sa tatsulok na AMC. Pagkatapos ang linyang BB 1 ay nagsalubong sa dalawang gilid ng tatsulok sa mga punto B 1 at P, at ang pagpapatuloy ng pangatlo sa punto B. Kaya ang pagkakapantay-pantay ay nalalapat: , Dahil dito
Gawain bilang 2 Sa tatsulok na ABC AN ay ang median. Sa panig ng AC, ang punto M ay kinuha upang ang AM: MC \u003d 1: 3. Ang mga segment na AN at BM ay bumalandra sa punto O, at ang ray CO ay nagsalubong sa AB sa puntong K. Sa anong ratio ang punto K ay naghahati sa segment na AB.

Solusyon: Kailangan nating hanapin ang ratio ng AK sa KV.

1) Gumuhit ng linyang NN 1 na kahanay sa linyang SK at isang linyang NN 2 na kahanay sa linyang VM.

2) Ang mga gilid ng anggulong ABC ay intersected ng mga tuwid na linya SC at NN 1 at, ayon sa generalised Thales theorem, hinuhusgahan natin ang BN 1:N 1 K=1:1 o BN 1 = N 1 K= y.

3) Ang mga gilid ng anggulong BCM ay pinagsalubong ng mga linyang BM at NN 2 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinatapos natin ang CN 2:N 2 M=1:1 o CN 2 = N 2 M=3:2= 1.5.

4) Ang mga gilid ng anggulo NAC ay intersected sa pamamagitan ng mga linya BM at NN 2 at ayon sa pangkalahatang Thales theorem namin tapusin AO: ON=1:1.5 o AO=m ON=1.5m.

5) Ang mga gilid ng anggulo ng BAN ay intersected ng mga tuwid na linya SK at NN 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinapos namin ang AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 o AK \u003d n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

Sagot: AK:KV=1:3.

Magkomento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Ceva's theorem, na inilalapat ito sa tatsulok na ABC. Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga puntong N, M, K ay nasa gilid ng tatsulok na ABC at ang mga segment na AN, CK at VM ay nagsalubong sa isang punto, na nangangahulugan na ang pagkakapantay-pantay ay totoo: , pinapalitan natin ang mga kilalang relasyon, mayroon tayong , AK:KV=1:3.

Gawain Blg. 3 Sa gilid ng BC ng tatsulok na ABC, ang isang punto D ay kinuha na ang BD: DC \u003d 2: 5, at sa gilid ng AC, ang punto E ay ganoon . Sa anong ratio hinati ang mga segment na BE at AD sa puntong K ng kanilang intersection?
Solusyon: Kailangang hanapin ang 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Iguhit ang linyang DD 1 parallel sa linyang BE.

2) Ang mga gilid ng anggulo ALL ay intersected sa pamamagitan ng mga linya BE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, aming tapusin ang CD 1:D 1 E=5:2 o CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Ayon sa kondisyon AE:EC=1:2, i.e. AE \u003d x, EC \u003d 2x, ngunit EC \u003d CD 1 + D 1 E, pagkatapos 2y=5z+2 z=7 z, z=

4) Ang mga gilid ng anggulo ng DCA ay intersected ng mga linyang BE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinapos namin

5) Upang matukoy ang ratio VK:KE, gumuhit kami ng isang tuwid na linya EE 1 at, nakikipagtalo sa katulad na paraan, nakuha namin

Solusyon: Hayaan ang O point ang intersection ng bisector AD at median CE. Kailangan nating hanapin ang ratio AO:OD.

1) Gumuhit ng isang linya DD 1 parallel sa linya CE.

2) Ang mga gilid ng anggulo ABC ay intersected sa pamamagitan ng mga linya CE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatan Thales theorem, namin tapusin BD 1: D 1 E=2:1 o BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Ayon sa kondisyon AE:EB=1:1, i.e. AE=y, EB=y, ngunit EB= BD 1 + D 1 E, kaya y=2p+ p=3 p, p =
4) Ang mga gilid ng anggulo BAD ay intersected sa pamamagitan ng mga linya OE at DD 1 at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, kami ay nagtatapos. .

Sagot: AO:OD=3:1.

Ang Problema №6 Point K ay kinuha sa median AM ng triangle ABC, at AK:KM=1:3. Hanapin ang ratio kung saan ang isang linya na dumadaan sa point K na kahanay sa gilid AC ay naghahati sa gilid ng BC.

Solusyon: Hayaan ang M ay 1 puntos intersection ng isang linya na dumadaan sa point K na parallel sa side AC at side BC. Kinakailangang hanapin ang ratio ng BM 1:M 1 C.

1) Ang mga gilid ng anggulo ng AMC ay intersected ng mga tuwid na linya KM 1 at AC at, ayon sa pangkalahatang Thales theorem, tinatapos namin ang MM 1: M 1 C=3: 1 o MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d z

2) Sa pamamagitan ng kundisyon VM:MS=1:1, ibig sabihin, VM=y, MC=y, ngunit MC=MM 1 + M 1 C, kaya y=3z+ z=4 z,

3) .

Sagot: VM 1:M 1 C = 7:1.

Komento: Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang Menelaus theorem. Paglalapat nito sa tatsulok na ABC. Pagkatapos ay ang tuwid na linya na KN ay nagsalubong sa dalawang panig ng tatsulok sa mga puntong K at K 1, at ang pagpapatuloy ng pangatlo sa puntong N. Kaya ang pagkakapantay-pantay ay nalalapat: , samakatuwid VK 1:K 1 C=2:1.

Gawain #8

Mga site:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Pinag-isang State Examination 2011 Mathematics Task C4 R.K. Gordin M .: MTSNMO, 2011, - 148 s

Konklusyon:

Ang solusyon ng mga problema at theorems para sa paghahanap ng ratio ng mga haba ng mga segment ay batay sa pangkalahatang Thales theorem. Bumuo kami ng isang paraan na nagpapahintulot, nang hindi inilalapat ang Thales theorem, na gumamit ng mga parallel na linya, ilipat ang mga kilalang proporsyon mula sa isang gilid ng anggulo patungo sa kabilang panig at, sa gayon, hanapin ang lokasyon ng mga punto na kailangan namin at ihambing ang mga haba. Ang paggawa sa abstract ay nakatulong sa amin na matutunan kung paano lutasin ang mga geometric na problema na may mataas na antas ng pagiging kumplikado. Napagtanto namin ang katotohanan ng mga salita ng sikat na makatang Ruso na si Igor Severyanin: "Lahat ng hindi gaanong mahalaga ay kinakailangan upang maging makabuluhan ..." at sigurado kami na sa Unified State Examination makakahanap kami ng solusyon sa mga iminungkahing gawain gamit ang ang paraan ng parallel lines.

1 Ang theorem sa proporsyonal na mga segment sa isang tatsulok ay ang theorem na inilarawan sa itaas.