Ang isa sa mga sangay ng matematika na kung saan ang mga mag-aaral ay nakayanan ang pinakamalaking paghihirap ay trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong makapag-apply ng trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang maghinuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.

Pinagmulan ng trigonometrya

Ang kakilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng anggulo, ngunit kailangan mo munang malaman kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.

Sa kasaysayan, ang mga tamang tatsulok ay naging pangunahing bagay ng pag-aaral sa seksyong ito ng agham sa matematika. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na isinasaalang-alang gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya, at maging sa sining.

Unang yugto

Sa una, pinag-uusapan ng mga tao ang tungkol sa relasyon ng mga anggulo at panig ng eksklusibo sa halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng seksyong ito ng matematika.

Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, kung saan ang kaalaman na nakuha ay ginagamit ng mga mag-aaral sa pisika at paglutas ng mga abstract na trigonometriko na equation, na nagsimula sa mataas na paaralan.

Spherical trigonometrya

Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan nalalapat ang iba pang mga patakaran, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pagkakaroon nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.

Kunin ang globo at thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Bigyang-pansin - nakuha nito ang hugis ng isang arko. Ito ay may ganitong mga anyo na ang spherical geometry, na ginagamit sa geodesy, astronomy, at iba pang teoretikal at inilapat na mga patlang, ay nakikipag-ugnayan.

Kanang tatsulok

Ang pagkakaroon ng kaunting natutunan tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.

Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Siya ang pinakamatagal. Naaalala namin na, ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical value nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.

Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.

Ang dalawang natitirang panig na bumubuo ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay 180 degrees.

Kahulugan

Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na base, maaari nating buksan ang kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugan na ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1 sa sagot sa problema, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Ang sagot na ito ay malinaw na mali.

Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang parehong resulta ay magbibigay ng dibisyon ng sine sa pamamagitan ng cosine. Tingnan: alinsunod sa pormula, hinati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hinahati namin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply ng hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong ratio tulad ng sa kahulugan ng tangent.

Ang cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng yunit ng tangent.

Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari naming harapin ang mga formula.

Ang pinakasimpleng mga formula

Sa trigonometrya, hindi magagawa ng isang tao nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? At ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.

Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung gusto mong malaman ang halaga ng anggulo, hindi ang gilid.

Hindi matandaan ng maraming estudyante ang pangalawang pormula, na napakapopular din kapag nilulutas ang mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: pagkatapos ng lahat, ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, tanging ang magkabilang panig ng pagkakakilanlan ang hinati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: ang pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, ang mga panuntunan sa conversion at ilang pangunahing formula, maaari mong independiyenteng makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.

Mga formula ng dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento

Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.

Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ang mga ito ay ganap na nagmula sa mga nauna - bilang isang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili, kunin ang anggulo ng alpha na katumbas ng anggulo ng beta.

Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring ma-convert upang mapababa ang antas ng sine, cosine, tangent alpha.

Theorems

Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.

Ang sine theorem ay nagsasaad na bilang resulta ng paghahati ng haba ng bawat panig ng tatsulok sa halaga ng kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin ang parehong numero. Bukod dito, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng ibinigay na tatsulok.

Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Ito ay lumiliko na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto, na pinarami ng dobleng cosine ng anggulo na katabi ng mga ito - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.

Mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin

Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, kilalanin natin ang pinakasikat sa kanila.

Una, hindi mo dapat i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal bago makuha ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang ordinaryong fraction, maliban kung iba ang sinasabi ng kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na pagkakamali, ngunit dapat tandaan na sa bawat yugto ng gawain, maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng oras sa mga hindi kinakailangang operasyon sa matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o dalawa, dahil nangyayari ang mga ito sa mga gawain sa bawat hakbang. Ang parehong naaangkop sa pag-round ng "pangit" na mga numero.

Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nagkakamali kang nakalimutan na ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit nagpapakita rin ng isang kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.

Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo na 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling paghaluin ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.

Aplikasyon

Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadali upang simulan ang pag-aaral ng trigonometrya, dahil hindi nila naiintindihan ang inilapat na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malalayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, magpadala ng isang pagsisiyasat sa pananaliksik sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.

Sa wakas

Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.

Ang buong kakanyahan ng trigonometrya ay bumababa sa katotohanan na ang hindi kilalang mga parameter ay dapat kalkulahin mula sa kilalang mga parameter ng tatsulok. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang magnitude ng tatlong anggulo. Ang buong pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.

Paano mahahanap ang sine, cosine, tangent batay sa mga kilalang haba ng mga binti o hypotenuse, alam mo na ngayon. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugang walang higit sa isang ratio, at ang isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng trigonometriko problema ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito ay tutulungan ka ng ordinaryong matematika ng paaralan.

Sinus acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio kabaligtaran catheter sa hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: kasalanan α.

Cosine Ang acute angle α ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: cos α.

Padaplis acute angle α ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti.
Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod: tg α.

Cotangent acute angle α ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.
Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: ctg α.

Ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.

Mga Panuntunan:

Mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan sa isang tamang tatsulok:

(α - talamak na anggulo sa tapat ng binti b at katabi ng binti a . Gilid Sa - hypotenuse. β - ang pangalawang talamak na anggulo).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- kasalanan2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Habang tumataas ang talamak na anggulosinα attg α pagtaas, atcos α bumababa.

Para sa anumang matinding anggulo α:

kasalanan (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Halimbawang nagpapaliwanag:

Hayaan sa isang tamang tatsulok ABC
AB = 6,
BC = 3,
anggulo A = 30º.

Hanapin ang sine ng anggulo A at ang cosine ng anggulo B.

Solusyon .

1) Una, nakita namin ang halaga ng anggulo B. Ang lahat ay simple dito: dahil sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng mga talamak na anggulo ay 90º, pagkatapos ang anggulo B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Kalkulahin ang kasalanan A. Alam natin na ang sine ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na paa sa hypotenuse. Para sa anggulo A, ang kabaligtaran na binti ay gilid BC. Kaya:

BC 3 1
kasalanan A = -- = - = -
AB 6 2

3) Ngayon ay kinakalkula namin ang cos B. Alam namin na ang cosine ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Para sa anggulo B, ang katabing binti ay ang parehong gilid BC. Nangangahulugan ito na kailangan nating hatiin muli ang BC sa AB - iyon ay, gawin ang parehong mga aksyon tulad ng kapag kinakalkula ang sine ng anggulo A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Ang resulta ay:
kasalanan A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Mula dito sumusunod na sa isang tamang tatsulok ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng cosine ng isa pang talamak na anggulo - at kabaliktaran. Ito mismo ang ibig sabihin ng aming dalawang formula:
kasalanan (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Suriin natin itong muli:

1) Hayaan ang α = 60º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa sinus formula, nakukuha natin:
kasalanan (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Hayaan ang α = 30º. Ang pagpapalit ng halaga ng α sa formula ng cosine, nakukuha natin:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Para sa higit pa sa trigonometrya, tingnan ang seksyon ng Algebra)

Pagtuturo

Ang tatsulok ay tinatawag na right triangle kung ang isa sa mga anggulo nito ay 90 degrees. Binubuo ito ng dalawang paa at hypotenuse. Ang hypotenuse ay ang pinakamahabang bahagi ng tatsulok na ito. Ito ay namamalagi laban sa isang tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay tinatawag na mas maliliit na panig nito. Maaari silang maging pantay sa isa't isa o may iba't ibang laki. Pagkakapantay-pantay ng mga binti na iyong pinagtatrabahuhan gamit ang isang tamang tatsulok. Ang kagandahan nito ay pinagsasama nito ang dalawang figure: isang right-angled at isang isosceles triangle. Kung ang mga binti ay hindi pantay, kung gayon ang tatsulok ay arbitrary at ayon sa pangunahing batas: mas malaki ang anggulo, mas ang isa na nakahiga sa tapat nito ay gumulong.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang hypotenuse sa pamamagitan ng at anggulo. Ngunit bago gamitin ang isa sa mga ito, dapat mong matukoy kung alin at ang anggulo ay kilala. Dahil sa isang anggulo at ang binti na katabi nito, mas madaling mahanap ang hypotenuse sa pamamagitan ng cosine ng anggulo. Ang cosine ng isang acute angle (cos a) sa isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Ito ay nagpapahiwatig na ang hypotenuse (c) ay magiging katumbas ng ratio ng katabing binti (b) sa cosine ng anggulo a (cos a). Ito ay maaaring isulat ng ganito: cos a=b/c => c=b/cos a.

Kung ang isang anggulo at isang kabaligtaran na binti ay ibinigay, pagkatapos ay dapat gawin ang trabaho. Ang sine ng isang matinding anggulo (sin a) sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (a) sa hypotenuse (c). Narito ang prinsipyo ay kapareho ng sa nakaraang halimbawa, ang sine lamang ang kinuha sa halip na ang cosine function. kasalanan a=a/c => c=a/sin a.

Maaari ka ring gumamit ng trigonometric function tulad ng . Ngunit ang paghahanap ng nais na halaga ay bahagyang mas kumplikado. Ang padaplis ng isang matinding anggulo (tg a) sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (a) sa katabi (b). Kapag natagpuan ang parehong mga binti, ilapat ang Pythagorean theorem (ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti) at ang mas malaki ay makikita.

tala

Kapag nagtatrabaho sa Pythagorean theorem, huwag kalimutan na ikaw ay nakikitungo sa isang degree. Ang pagkakaroon ng natagpuan ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, upang makuha ang pangwakas na sagot, dapat mong kunin ang square root.

Mga Pinagmulan:

• kung paano hanapin ang binti at hypotenuse

Ang hypotenuse ay ang gilid sa isang kanang tatsulok na nasa tapat ng 90 degree na anggulo. Upang makalkula ang haba nito, sapat na malaman ang haba ng isa sa mga binti at ang halaga ng isa sa mga talamak na anggulo ng tatsulok.

Pagtuturo

Sa isang kilala at talamak na tamang anggulo, kung gayon ang laki ng hypotenuse ay ang ratio ng binti sa / ng anggulong ito, kung ang ibinigay na anggulo ay kabaligtaran / katabi nito:

h = C1(o C2)/sinα;

h = С1(o С2)/cosα.

Halimbawa: Hayaang ibigay ang ABC na may hypotenuse AB at C. Hayaang ang angle B ay 60 degrees at anggulo A 30 degrees Ang haba ng leg BC ay 8 cm. Kailangan mo ang haba ng hypotenuse AB. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang alinman sa mga pamamaraan na iminungkahi sa itaas:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

salita" binti” ay mula sa mga salitang Griyego na “perpendicular” o “vertical” - ipinaliliwanag nito kung bakit ang magkabilang panig ng isang right-angled triangle, na bumubuo sa siyamnapung degree na anggulo nito, ay pinangalanan sa ganoong paraan. Hanapin ang haba ng alinman sa binti ov ay hindi mahirap kung ang halaga ng anggulo na katabi nito at anumang iba pang mga parameter ay kilala, dahil sa kasong ito ang mga halaga ng lahat ng tatlong anggulo ay talagang malalaman.

Pagtuturo

Kung, bilang karagdagan sa halaga ng katabing anggulo (β), ang haba ng pangalawa binti a (b), pagkatapos ay ang haba binti at (a) ay maaaring tukuyin bilang ang quotient ng haba ng alam binti at sa isang kilalang anggulo: a=b/tg(β). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng trigonometriko na ito. Magagawa mo nang walang tangent kung gagamitin mo ang theorem. Ito ay sumusunod mula dito na ang haba ng ninanais sa sine ng kabaligtaran anggulo sa ratio ng haba ng kilalang binti ngunit sa sine ng isang kilalang anggulo. Kabaligtaran sa ninanais binti y ang isang matinding anggulo ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng isang kilalang anggulo bilang 180°-90°-β = 90°-β, dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay dapat na 180°, at ang isa sa mga anggulo nito ay katumbas ng 90 °. Kaya ang nais na haba binti at maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula na a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Kung ang magnitude ng katabing anggulo (β) at ang haba ng hypotenuse (c) ay kilala, kung gayon ang haba binti at (a) ay maaaring kalkulahin bilang produkto ng haba ng hypotenuse at ang cosine ng kilalang anggulo: a=c∗cos(β). Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng cosine bilang isang trigonometric function. Ngunit maaari mong gamitin, tulad ng sa nakaraang hakbang, ang sine theorem at pagkatapos ay ang haba ng ninanais binti Ang a ay magiging katumbas ng produkto ng sine sa pagitan ng 90° at ang kilalang anggulo na di-time ang ratio ng haba ng hypotenuse sa sine ng tamang anggulo. At dahil ang sine ng 90° ay katumbas ng isa, maaari itong isulat bilang mga sumusunod: a=sin(90°-β)∗c.

Maaaring isagawa ang mga praktikal na kalkulasyon, halimbawa, gamit ang software calculator na kasama sa Windows operating system. Upang patakbuhin ito, maaari mong piliin ang item na "Run" sa pangunahing menu sa pindutan ng "Start", i-type ang calc command at i-click ang "OK" na buton. Ang pinakasimpleng bersyon ng interface ng program na ito na bubukas bilang default ay hindi nagbibigay ng mga function na trigonometric, kaya pagkatapos ilunsad ito, kailangan mong i-click ang seksyong "View" sa menu at piliin ang linyang "Scientific" o "Engineering" (depende sa ang bersyon ng operating system na iyong ginagamit).

Mga kaugnay na video

Ang salitang "katet" ay nagmula sa Russian mula sa Greek. Sa eksaktong pagsasalin, nangangahulugan ito ng isang plumb line, iyon ay, patayo sa ibabaw ng lupa. Sa matematika, ang mga binti ay tinatawag na mga gilid na bumubuo ng isang tamang anggulo ng isang tamang tatsulok. Ang gilid sa tapat ng anggulong ito ay tinatawag na hypotenuse. Ang terminong "binti" ay ginagamit din sa arkitektura at teknolohiya ng hinang.

Gumuhit ng isang tamang tatsulok na ACB. Lagyan ng label ang mga binti nito na a at b, at lagyan ng label ang hypotenuse c. Ang lahat ng panig at anggulo ng isang tamang tatsulok ay tinukoy sa bawat isa. Ang ratio ng binti sa tapat ng isa sa mga talamak na anggulo sa hypotenuse ay tinatawag na sine ng anggulong ito. Sa tatsulok na ito sinCAB=a/c. Ang cosine ay ang ratio sa hypotenuse ng katabing binti, ibig sabihin, cosCAB=b/c. Ang mga kabaligtaran na relasyon ay tinatawag na secant at cosecant.

Ang secant ng anggulong ito ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng hypotenuse sa katabing binti, iyon ay, secCAB=c/b. Ito ay lumiliko ang kapalit ng cosine, iyon ay, maaari itong ipahayag sa pamamagitan ng formula na secCAB=1/cosSAB.
Ang cosecant ay katumbas ng quotient ng paghahati ng hypotenuse sa kabaligtaran na binti at ang kapalit ng sine. Maaari itong kalkulahin gamit ang formula na cosecCAB=1/sinCAB

Ang parehong mga binti ay magkakaugnay at cotangent. Sa kasong ito, ang tangent ay magiging ratio ng gilid a sa gilid b, iyon ay, ang kabaligtaran na binti sa katabi. Ang ratio na ito ay maaaring ipahayag ng formula tgCAB=a/b. Alinsunod dito, ang kabaligtaran na ratio ay ang cotangent: ctgCAB=b/a.

Ang ratio sa pagitan ng mga laki ng hypotenuse at magkabilang binti ay tinutukoy ng sinaunang Greek Pythagoras. Ang theorem, ang kanyang pangalan, ginagamit pa rin ng mga tao. Sinasabi nito na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, iyon ay, c2 \u003d a2 + b2. Alinsunod dito, ang bawat binti ay magiging katumbas ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng hypotenuse at ng kabilang binti. Ang formula na ito ay maaaring isulat bilang b=√(c2-a2).

Ang haba ng binti ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng mga relasyong alam mo. Ayon sa theorems ng sines at cosines, ang binti ay katumbas ng produkto ng hypotenuse at isa sa mga function na ito. Maaari mong ipahayag ito at o cotangent. Ang binti a ay matatagpuan, halimbawa, sa pamamagitan ng formula a \u003d b * tan CAB. Sa eksaktong parehong paraan, depende sa ibinigay na tangent o , ang pangalawang binti ay tinutukoy.

Sa arkitektura, ang terminong "binti" ay ginagamit din. Ito ay inilapat sa isang Ionic na kapital at plumb sa gitna ng likod nito. Iyon ay, sa kasong ito, sa pamamagitan ng terminong ito, ang patayo sa ibinigay na linya.

Sa teknolohiya ng hinang, mayroong isang "binti ng isang fillet weld". Tulad ng sa ibang mga kaso, ito ang pinakamaikling distansya. Narito ang pinag-uusapan natin ang puwang sa pagitan ng isa sa mga bahagi na i-welded sa hangganan ng tahi na matatagpuan sa ibabaw ng kabilang bahagi.

Mga kaugnay na video

Mga Pinagmulan:

• ano ang binti at hypotenuse sa 2019

Sinimulan namin ang aming pag-aaral ng trigonometry na may tamang tatsulok. Tukuyin natin kung ano ang sine at cosine, pati na rin ang tangent at cotangent ng isang matinding anggulo. Ito ang mga pangunahing kaalaman sa trigonometrya.

Tandaan mo yan tamang anggulo ay isang anggulo na katumbas ng 90 degrees. Sa madaling salita, kalahati ng nakabukang sulok.

Matalim na sulok- mas mababa sa 90 degrees.

Madilim na anggulo- higit sa 90 degrees. Kaugnay ng ganoong anggulo, ang "blunt" ay hindi isang insulto, ngunit isang mathematical term :-)

Gumuhit tayo ng tamang tatsulok. Ang isang tamang anggulo ay karaniwang tinutukoy. Tandaan na ang gilid sa tapat ng sulok ay tinutukoy ng parehong titik, maliit lamang. Kaya, ang panig na nakahiga sa tapat ng anggulo A ay tinutukoy.

Ang isang anggulo ay tinutukoy ng katumbas na titik ng Griyego.

Hypotenuse Ang tamang tatsulok ay ang gilid sa tapat ng tamang anggulo.

Mga binti- mga gilid sa tapat ng matutulis na sulok.

Ang binti sa tapat ng sulok ay tinatawag kabaligtaran(kamag-anak sa anggulo). Ang kabilang binti, na nakahiga sa isang gilid ng sulok, ay tinatawag katabi.

Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:

Cosine talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:

Padaplis talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok - ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:

Isa pang (katumbas) na kahulugan: ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng isang anggulo sa cosine nito:

Cotangent talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok - ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran (o, katumbas nito, ang ratio ng cosine sa sine):

Bigyang-pansin ang mga pangunahing ratio para sa sine, cosine, tangent at cotangent, na ibinigay sa ibaba. Sila ay magiging kapaki-pakinabang sa atin sa paglutas ng mga problema.

Patunayan natin ang ilan sa kanila.

Okay, nagbigay kami ng mga kahulugan at nakasulat na mga formula. Ngunit bakit kailangan natin ng sine, cosine, tangent at cotangent?

Alam natin yan ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay.

Alam namin ang relasyon sa pagitan mga partido kanang tatsulok. Ito ang Pythagorean theorem: .

Ito ay lumiliko na ang pag-alam ng dalawang anggulo sa isang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Ang pag-alam ng dalawang panig sa isang tamang tatsulok, maaari mong mahanap ang pangatlo. Kaya, para sa mga anggulo - ang kanilang ratio, para sa mga panig - ang kanilang sarili. Ngunit ano ang gagawin kung sa isang tamang tatsulok ang isang anggulo (maliban sa isang kanan) at isang panig ay kilala, ngunit kailangan mong maghanap ng iba pang mga panig?

Ito ang hinarap ng mga tao noon, paggawa ng mga mapa ng lugar at ng mabituing kalangitan. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na direktang sukatin ang lahat ng panig ng isang tatsulok.

Sine, cosine at tangent - tinatawag din sila trigonometriko function ng anggulo- ibigay ang ratio sa pagitan mga partido at mga sulok tatsulok. Alam ang anggulo, mahahanap mo ang lahat ng trigonometriko na pag-andar nito gamit ang mga espesyal na talahanayan. At ang pag-alam sa mga sine, cosine at tangent ng mga anggulo ng isang tatsulok at isa sa mga gilid nito, mahahanap mo ang natitira.

Gumuhit din kami ng isang talahanayan ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent para sa "magandang" anggulo mula hanggang.

Pansinin ang dalawang pulang gitling sa mesa. Para sa kaukulang mga halaga ng mga anggulo, ang tangent at cotangent ay hindi umiiral.

Suriin natin ang ilang mga problema sa trigonometrya mula sa mga gawain ng Bank of FIPI.

1. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , . Hanapin ang .

Ang problema ay malulutas sa loob ng apat na segundo.

Dahil ang , .

2. Sa isang tatsulok, ang anggulo ay , , . Hanapin ang .

Hanapin natin sa pamamagitan ng Pythagorean theorem.

Nalutas ang problema.

Kadalasan sa mga problema ay may mga tatsulok na may mga anggulo at o may mga anggulo at . Kabisaduhin ang mga pangunahing ratio para sa kanila sa pamamagitan ng puso!

Para sa isang tatsulok na may mga anggulo at ang binti sa tapat ng anggulo sa ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Isang tatsulok na may mga anggulo at isosceles. Sa loob nito, ang hypotenuse ay beses na mas malaki kaysa sa binti.

Isinaalang-alang namin ang mga problema para sa paglutas ng mga tamang tatsulok - iyon ay, para sa paghahanap ng mga hindi kilalang panig o anggulo. Ngunit hindi lang iyon! Sa mga variant ng pagsusulit sa matematika, maraming mga gawain kung saan lumilitaw ang sine, cosine, tangent o cotangent ng panlabas na anggulo ng tatsulok. Higit pa tungkol dito sa susunod na artikulo.

Ang mga konsepto ng sine (), cosine (), tangent (), cotangent () ay hindi mapaghihiwalay na nauugnay sa konsepto ng anggulo. Upang makakuha ng isang mahusay na pag-unawa sa mga ito, sa unang sulyap, kumplikadong mga konsepto (na nagiging sanhi ng estado ng kakila-kilabot sa maraming mga mag-aaral), at upang matiyak na "ang diyablo ay hindi nakakatakot bilang siya ay ipininta", magsimula tayo sa simula pa lamang at nauunawaan ang konsepto ng isang anggulo.

Ang konsepto ng anggulo: radian, degree

Tingnan natin ang larawan. Ang vector ay "lumingon" na may kaugnayan sa punto sa pamamagitan ng isang tiyak na halaga. Kaya ang sukatan ng pag-ikot na ito na may kaugnayan sa paunang posisyon ay magiging sulok.

Ano pa ang kailangan mong malaman tungkol sa konsepto ng anggulo? Well, mga yunit ng anggulo, siyempre!

Ang anggulo, parehong sa geometry at trigonometry, ay maaaring masukat sa mga degree at radian.

Ang anggulo sa (isang degree) ay tinatawag na gitnang anggulo sa bilog, batay sa isang pabilog na arko na katumbas ng bahagi ng bilog. Kaya, ang buong bilog ay binubuo ng "mga piraso" ng mga pabilog na arko, o ang anggulo na inilarawan ng bilog ay pantay.

Iyon ay, ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang anggulo na pantay, iyon ay, ang anggulong ito ay batay sa isang pabilog na arko ang laki ng circumference.

Ang isang anggulo sa radians ay tinatawag na gitnang anggulo sa isang bilog, batay sa isang pabilog na arko, ang haba nito ay katumbas ng radius ng bilog. Well, naintindihan mo ba? Kung hindi, tingnan natin ang larawan.

Kaya, ang figure ay nagpapakita ng isang anggulo na katumbas ng isang radian, iyon ay, ang anggulong ito ay batay sa isang pabilog na arko, ang haba nito ay katumbas ng radius ng bilog (ang haba ay katumbas ng haba o ang radius ay katumbas ng ang haba ng arko). Kaya, ang haba ng arko ay kinakalkula ng formula:

Nasaan ang gitnang anggulo sa radians.

Buweno, alam mo ba ito, maaari mo bang sagutin kung gaano karaming mga radian ang naglalaman ng isang anggulo na inilarawan ng isang bilog? Oo, para dito kailangan mong tandaan ang formula para sa circumference ng isang bilog. Nandiyan siya:

Ngayon, iugnay natin ang dalawang formula na ito at makuha na ang anggulo na inilarawan ng bilog ay pantay. Iyon ay, iugnay ang halaga sa mga degree at radian, nakukuha natin iyon. Kaugnay nito, . Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng "degrees", ang salitang "radian" ay tinanggal, dahil ang yunit ng pagsukat ay karaniwang malinaw mula sa konteksto.

Ilang radians ang? Tama iyan!

Nakuha ko? Pagkatapos ay i-fasten forward:

Anumang kahirapan? Tapos tignan mo mga sagot:

Kanang tatsulok: sine, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo

Kaya, sa konsepto ng anggulo na naisip. Ngunit ano ang sine, cosine, tangent, cotangent ng isang anggulo? Alamin natin ito. Para dito, makakatulong sa atin ang isang tamang tatsulok.

Ano ang tawag sa mga gilid ng right triangle? Iyan ay tama, ang hypotenuse at mga binti: ang hypotenuse ay ang gilid na namamalagi sa tapat ng tamang anggulo (sa aming halimbawa, ito ang gilid); ang mga binti ay ang dalawang natitirang panig at (yaong mga katabi ng tamang anggulo), bukod dito, kung isasaalang-alang natin ang mga binti na may kaugnayan sa anggulo, kung gayon ang binti ay ang katabing binti, at ang binti ay ang kabaligtaran. Kaya, ngayon sagutin natin ang tanong: ano ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo?

Sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.

sa ating tatsulok.

Cosine ng isang anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.

sa ating tatsulok.

Anggulong padaplis- ito ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa katabi (malapit).

sa ating tatsulok.

Cotangent ng isang anggulo- ito ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).

sa ating tatsulok.

Ang mga kahulugang ito ay kinakailangan Tandaan! Upang gawing mas madaling matandaan kung aling binti ang hahatiin sa kung ano, kailangan mong malinaw na maunawaan iyon padaplis at cotangent ang mga binti lamang ang nakaupo, at ang hypotenuse ay lilitaw lamang sa sinus at cosine. At pagkatapos ay maaari kang makabuo ng isang hanay ng mga asosasyon. Halimbawa, ang isang ito:

cosine → touch → touch → katabi;

Cotangent → touch → touch → katabi.

Una sa lahat, kinakailangang tandaan na ang sine, cosine, tangent at cotangent bilang mga ratio ng mga gilid ng isang tatsulok ay hindi nakasalalay sa mga haba ng mga panig na ito (sa isang anggulo). Huwag magtiwala? Pagkatapos ay siguraduhin sa pamamagitan ng pagtingin sa larawan:

Isaalang-alang, halimbawa, ang cosine ng isang anggulo. Sa pamamagitan ng kahulugan, mula sa isang tatsulok: , ngunit maaari nating kalkulahin ang cosine ng isang anggulo mula sa isang tatsulok: . Nakikita mo, ang mga haba ng mga gilid ay iba, ngunit ang halaga ng cosine ng isang anggulo ay pareho. Kaya, ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay nakasalalay lamang sa magnitude ng anggulo.

Kung naiintindihan mo ang mga kahulugan, pagkatapos ay magpatuloy at ayusin ang mga ito!

Para sa tatsulok na ipinapakita sa figure sa ibaba, nakita namin.

Well, nakuha mo ba? Pagkatapos ay subukan ito sa iyong sarili: kalkulahin ang parehong para sa sulok.

Unit (trigonometric) bilog

Sa pag-unawa sa mga konsepto ng degrees at radians, isinasaalang-alang namin ang isang bilog na may katumbas na radius. Ang ganitong bilog ay tinatawag walang asawa. Ito ay lubhang kapaki-pakinabang sa pag-aaral ng trigonometrya. Samakatuwid, pinag-uusapan natin ito nang mas detalyado.

Tulad ng nakikita mo, ang bilog na ito ay binuo sa sistema ng coordinate ng Cartesian. Ang radius ng bilog ay katumbas ng isa, habang ang gitna ng bilog ay nasa pinanggalingan, ang paunang posisyon ng radius vector ay naayos kasama ang positibong direksyon ng axis (sa aming halimbawa, ito ang radius).

Ang bawat punto ng bilog ay tumutugma sa dalawang numero: ang coordinate sa kahabaan ng axis at ang coordinate sa kahabaan ng axis. Ano ang mga coordinate number na ito? At sa pangkalahatan, ano ang kinalaman nila sa paksang nasa kamay? Upang gawin ito, tandaan ang tungkol sa itinuturing na right-angled triangle. Sa figure sa itaas, makikita mo ang dalawang buong right triangle. Isaalang-alang ang isang tatsulok. Ito ay hugis-parihaba dahil ito ay patayo sa axis.

Ano ang katumbas ng mula sa isang tatsulok? Tama iyan. Bilang karagdagan, alam natin na iyon ang radius ng bilog ng yunit, at samakatuwid, . I-substitute ang value na ito sa aming cosine formula. Narito kung ano ang mangyayari:

At ano ang katumbas ng mula sa isang tatsulok? Aba, syempre,! Palitan ang halaga ng radius sa formula na ito at makuha ang:

Kaya, maaari mo bang sabihin sa akin kung ano ang mga coordinate ng isang punto na kabilang sa bilog? Well, hindi pwede? At kung napagtanto mo iyon at mga numero lamang? Anong coordinate ang katumbas nito? Well, siyempre, ang coordinate! Anong coordinate ang katumbas nito? Tama, coordinate! Kaya, ang punto.

At ano kung gayon ang pantay at? Tama, gamitin natin ang mga angkop na kahulugan ng tangent at cotangent at makuha iyon, a.

Paano kung mas malaki ang anggulo? Narito, halimbawa, tulad ng sa larawang ito:

Ano ang nagbago sa halimbawang ito? Alamin natin ito. Upang gawin ito, muli tayong lumiko sa isang right-angled na tatsulok. Isaalang-alang ang isang tamang tatsulok: isang anggulo (bilang katabi ng isang anggulo). Ano ang halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo? Tama, sumunod kami sa kaukulang mga kahulugan ng trigonometriko function:

Well, tulad ng nakikita mo, ang halaga ng sine ng anggulo ay tumutugma pa rin sa coordinate; ang halaga ng cosine ng anggulo - ang coordinate; at ang mga halaga ng tangent at cotangent sa kaukulang mga ratio. Kaya, ang mga relasyon na ito ay naaangkop sa anumang mga pag-ikot ng radius vector.

Nabanggit na na ang paunang posisyon ng radius vector ay nasa kahabaan ng positibong direksyon ng axis. Sa ngayon ay pinaikot natin ang vector na ito nang pakaliwa, ngunit ano ang mangyayari kung paikutin natin ito nang pakanan? Walang kakaiba, makakakuha ka rin ng isang anggulo ng isang tiyak na laki, ngunit ito lamang ang magiging negatibo. Kaya, kapag umiikot ang radius vector pakaliwa, nakukuha namin mga positibong anggulo, at kapag umiikot pakanan - negatibo.

Kaya, alam natin na ang isang buong rebolusyon ng radius vector sa paligid ng bilog ay o. Posible bang paikutin ang radius vector sa pamamagitan ng o sa pamamagitan ng? Well, siyempre kaya mo! Sa unang kaso, samakatuwid, ang radius vector ay gagawa ng isang kumpletong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.

Sa pangalawang kaso, iyon ay, ang radius vector ay gagawa ng tatlong kumpletong rebolusyon at hihinto sa posisyon o.

Kaya, mula sa mga halimbawa sa itaas, maaari nating tapusin na ang mga anggulo na naiiba ng o (kung saan ang anumang integer) ay tumutugma sa parehong posisyon ng radius vector.

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang anggulo. Ang parehong imahe ay tumutugma sa sulok, at iba pa. Ang listahang ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan. Ang lahat ng mga anggulong ito ay maaaring isulat gamit ang pangkalahatang formula o (kung saan ang anumang integer)

Ngayon, alam ang mga kahulugan ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko at gamit ang bilog ng yunit, subukang sagutin kung ano ang katumbas ng mga halaga:

Narito ang isang unit circle para tulungan ka:

Anumang kahirapan? Pagkatapos ay alamin natin ito. Kaya alam natin na:

Mula dito, tinutukoy namin ang mga coordinate ng mga punto na naaayon sa ilang mga sukat ng anggulo. Well, magsimula tayo sa pagkakasunud-sunod: ang sulok sa ay tumutugma sa isang punto na may mga coordinate, samakatuwid:

Hindi umiiral;

Dagdag pa, ang pagsunod sa parehong lohika, nalaman namin na ang mga sulok ay tumutugma sa mga puntos na may mga coordinate, ayon sa pagkakabanggit. Alam ito, madaling matukoy ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko sa kaukulang mga punto. Subukan mo muna ito sa iyong sarili, pagkatapos ay suriin ang mga sagot.

Mga sagot:

ay wala

ay wala

ay wala

ay wala

Kaya, maaari naming gawin ang sumusunod na talahanayan:

Hindi na kailangang tandaan ang lahat ng mga halagang ito. Ito ay sapat na upang matandaan ang pagsusulatan sa pagitan ng mga coordinate ng mga puntos sa bilog ng yunit at ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko:

Ngunit ang mga halaga ng trigonometric function ng mga anggulo sa at, na ibinigay sa talahanayan sa ibaba, dapat tandaan:

Huwag matakot, ngayon ay ipapakita namin ang isa sa mga halimbawa sa halip simpleng pagsasaulo ng kaukulang mga halaga:

Upang magamit ang pamamaraang ito, mahalagang tandaan ang mga halaga ng sine para sa lahat ng tatlong sukat ng anggulo (), pati na rin ang halaga ng tangent ng anggulo c. Ang pag-alam sa mga halagang ito, medyo madaling ibalik ang buong talahanayan - ang mga halaga ng cosine ay inililipat alinsunod sa mga arrow, iyon ay:

Alam ito, maaari mong ibalik ang mga halaga para sa. Ang numerator na " " ay tutugma at ang denominator " " ay tutugma. Ang mga halaga ng cotangent ay inililipat alinsunod sa mga arrow na ipinapakita sa figure. Kung naiintindihan mo ito at naaalala ang diagram na may mga arrow, sapat na upang matandaan ang buong halaga mula sa talahanayan.

Mga coordinate ng isang punto sa isang bilog

Posible bang makahanap ng isang punto (ang mga coordinate nito) sa isang bilog, alam ang mga coordinate ng gitna ng bilog, ang radius nito at anggulo ng pag-ikot?

Well, siyempre kaya mo! Ilabas natin pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto.

Dito, halimbawa, mayroon kaming ganoong bilog:

Ibinigay sa amin na ang punto ay ang sentro ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng punto sa pamamagitan ng degrees.

Tulad ng makikita mula sa figure, ang haba ng segment ay tumutugma sa coordinate ng punto. Ang haba ng segment ay tumutugma sa coordinate ng gitna ng bilog, iyon ay, ito ay katumbas ng. Ang haba ng isang segment ay maaaring ipahayag gamit ang kahulugan ng cosine:

Pagkatapos mayroon kaming na para sa punto ang coordinate.

Sa parehong lohika, nakita namin ang halaga ng y coordinate para sa punto. Sa ganitong paraan,

Kaya, sa mga pangkalahatang termino, ang mga coordinate ng mga puntos ay tinutukoy ng mga formula:

Mga coordinate sa gitna ng bilog,

radius ng bilog,

Anggulo ng pag-ikot ng radius vector.

Tulad ng nakikita mo, para sa bilog ng yunit na aming isinasaalang-alang, ang mga formula na ito ay makabuluhang nabawasan, dahil ang mga coordinate ng sentro ay zero, at ang radius ay katumbas ng isa:

Well, subukan natin ang mga formula na ito para sa isang lasa, pagsasanay sa paghahanap ng mga puntos sa isang bilog?

1. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa isang unit circle na nakuha sa pamamagitan ng pag-on ng isang punto.

2. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa isang unit circle na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang punto sa.

3. Hanapin ang mga coordinate ng isang punto sa isang unit circle na nakuha sa pamamagitan ng pag-on ng isang punto.

4. Punto - ang gitna ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.

5. Punto - ang gitna ng bilog. Ang radius ng bilog ay pantay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng paunang radius vector sa pamamagitan ng.

Nagkakaproblema sa paghahanap ng mga coordinate ng isang punto sa isang bilog?

Lutasin ang limang halimbawang ito (o unawaing mabuti ang solusyon) at matututunan mo kung paano hanapin ang mga ito!

1.

Ito ay makikita na. At alam namin kung ano ang tumutugma sa isang buong pagliko ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumiliko sa. Alam ito, nakita namin ang nais na mga coordinate ng punto:

2. Ang bilog ay yunit na may sentro sa isang punto, na nangangahulugan na maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:

Ito ay makikita na. Alam namin kung ano ang tumutugma sa dalawang kumpletong pag-ikot ng panimulang punto. Kaya, ang nais na punto ay nasa parehong posisyon tulad ng kapag lumingon sa. Alam ito, nakita namin ang nais na mga coordinate ng punto:

Ang sine at cosine ay mga tabular na halaga. Naaalala namin ang kanilang mga halaga at nakuha:

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

3. Ang bilog ay yunit na may sentro sa isang punto, na nangangahulugan na maaari tayong gumamit ng mga pinasimpleng formula:

Ito ay makikita na. Ilarawan natin ang itinuturing na halimbawa sa figure:

Ang radius ay gumagawa ng mga anggulo na may axis na katumbas ng at. Alam na ang mga tabular na halaga ng cosine at sine ay pantay, at nang matukoy na ang cosine dito ay kumukuha ng negatibong halaga, at ang sine ay positibo, mayroon tayo:

Ang mga katulad na halimbawa ay sinusuri nang mas detalyado kapag pinag-aaralan ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function ng trigonometriko sa paksa.

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

4.

Anggulo ng pag-ikot ng radius vector (ayon sa kondisyon)

Upang matukoy ang kaukulang mga palatandaan ng sine at cosine, bumuo kami ng isang bilog na yunit at isang anggulo:

Tulad ng makikita mo, ang halaga, iyon ay, ay positibo, at ang halaga, iyon ay, ay negatibo. Alam ang mga halaga ng tabular ng kaukulang mga function ng trigonometriko, nakuha namin na:

Palitan natin ang nakuha na mga halaga sa aming formula at hanapin ang mga coordinate:

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

5. Upang malutas ang problemang ito, gumagamit kami ng mga formula sa pangkalahatang anyo, kung saan

Ang mga coordinate ng gitna ng bilog (sa aming halimbawa,

Circle radius (ayon sa kondisyon)

Anggulo ng pag-ikot ng radius vector (ayon sa kondisyon).

Palitan ang lahat ng mga halaga sa formula at makuha:

at - mga halaga ng talahanayan. Naaalala namin at pinapalitan ang mga ito sa formula:

Kaya, ang nais na punto ay may mga coordinate.

BUOD AT BATAYANG FORMULA

Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa hypotenuse.

Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran (malayong) binti sa katabing (malapit).

Ang cotangent ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing (malapit) na binti sa kabaligtaran (malayo).